2021年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2021·高考数学真题

2021年上海市夏季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.已知z =1+i,z =2+3i（其中i为虚数单位），则z +z = ． 1 2 1 2 【思路分析】复数实部和虚部分别相加 z +z =3+4i 【解析】： 1 2 【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题． 2、已知A=  x 2x1  ,B =1,0,1,则 AI B = 【思路分析】求出集合A，再求出A B I ì 1ü 【解析】：A=  x 2x1  =íx x ý，所以AI B =1,0 î 2þ 【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 3、若x2 + y2 2x4y =0,则圆心坐标为 【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标 【解析】：x2 + y2 2x4y =0可以化为（x1）2 +（y2）2 =5所以圆心为 (1,2) 【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题． uuur uuur 4、如图边长为3的正方形ABCD,则ABAC = 【思路分析】利用向量投影转化到边上. uuur uuur uuur 2 【解析】方法一：ABAC = AB =9 uuur uuur uuur uuur p 方法二：由已知| AB|=3，| AC|=3 2 ，< AC , AB>= ， 4 uuur uuur 2 则ABAC =3´3 2´ =9； 2 【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题； 3 5、已知 f(x)= +2,则 f1(1)= x 【思路分析】利用反函数定义求解. 3 【解析】由题意，得原函数的定义域为：(¥,0)U(0,+¥)，结合反函数的定义，得1= +2， x 解得x=3，所以， f1(1)=3； 【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题． 6.已知二项式 x+a5 的展开式中，x2的系数为80，则a=________ ． 【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解. 【解析】T =Crarx5r r =3,C3a3 =80,a =2 r+1 5 5 【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数 幂运算；基础题。 第1页 | 共12页ìx3  7、已知í2x y20,目标函数z = x y，则 z 的最大值为  3x+ y80 î 【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z的几何意义求最值. 【解析】如图，可行域的三个顶点为：(3,4)、(2,2)，(3,1)， 结合直线方程与z的几何意义，得x=3，y =1，则z =4； 最大值 当x=3,y =1,z =4 max 【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结 合思想； 8、已知无穷递缩等比数列a =3,b =a ,a  的各项和为9,则数列 b  的各项和为 1 n 2n n n 【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到b 通项公式，根据特点求 n 和. a 3 2 【解析】S = 1 = =9q = ， 1q 1q 3 2 4 b 2 18 b =a =a ´q2n1 =3´( )2n1 b =2,q = S = 1 = = n 2n 1 3 1 0 9 b 1q 4 5 0 1 9 【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式； 同时考查了学生的数学阅读与计算能力。 9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕 着下底底面旋转一周，则ABC面积的范围 【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求ABC面积的的方法； 【解析】由题意，当点C在下底底面圆弧上的运动时，ABC的底边 AB=2， 所以，ABC面积的取值与高C O 相关； 2 1 当C O^ AC 时，C O 最大为：C O = 12 +22 = 5，ABC面积的 2 1 1 2 1 2 1 1 最大值为： ´2´ 5 = 5； 2 1 当AB^ BC 时，C O 最小为：BC =2，ABC面积的最大值为： ´2´2=2； 1 2 1 1 2 所以，ABC面积的取值范围为：[2, 5]； 【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等 价转化思想。 10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同 的概率为________． 【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题； 【解析】由题意A、B、C、D四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：C2 种，则甲、乙两 4 个人每人选2个场馆的参观方法有：C2C2 种； 4 4 由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C1C1C1 种； 4 3 2 （或等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：C1P2 种）； 4 3 第2页 | 共12页（或等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：C2C2 种； 4 2 甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：C2 种； 4 所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：1C2C2 C2 种）； 4 2 4 C1C1C1 24 2 所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为： p = 4 3 2 = = ； C2C2 36 3 4 4 【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列 、组合题解之；有点“区分度”； 11、已知抛物线y2 =2px(p >0),若第一象限的点A、B在抛物线上，抛物线焦点为F, AF =2, BF =4, AB =3,则直线AB的斜率为 【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征； 【解析】方法一：如图，设A(x , y )，B(x , y )，再由抛物线的定义结合 1 1 2 2 p p 题设得| AF |= x + =2，|BF |= x + =4，则x x =2， 1 2 2 2 2 1 又| AB|= (x x )2 +(y  y )2 =3，解得y  y = 5， 2 1 2 1 2 1 H y  y 5 则直线AB的斜率为： 2 1 = ； x x 2 2 1 方法二：过A、B分别向准线引垂线，垂足为A、B ， 1 1 直线AB与x轴的交点为P， 由抛物线定义，得AA =2，BB =4，AH ^ BB 于H ， 1 1 1 则BN = BB HB == BB AA =2，又由已知| AB|=3，则| AH |= 5， 1 1 1 1 5 结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线AB的斜率为：tanÐBPF =tanÐABH = ) 2 方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论”，弦长公式 1+k2 |x x |=3， 2 1 5 5 即 1+k2 ´2=3，解得k =± ，结合题设与图像k >0，所以k = ） 2 2 【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要 利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结 合与平面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜率来； 12.已知a ÎN*(i =1,2,¼9)，且对任意kÎN*2k 8 都有a =a +1或a =a 1中有且 i k k1 k k+1 仅有一个成立，a 1 =6，a 9 =9，则a 1 + L +a 9 的最小值为________． 【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系； 【答案】31； 【解析】方法一：由题设，知：a 1； i a =a +1或a =a 1中恰有一个成立； 2 1 2 3 a =a +1或a =a 1中恰有一个成立； 3 2 3 4 … a =a +1或a =a 1中恰有一个成立； 8 7 8 9 第3页 | 共12页则①a =a +1=7，a =a 1，a =a 1，a =a 1， 2 1 3 4 5 6 7 8 则a +a ++a =25+2(a +a +a），当a =a =a =1时，a +a ++a 的和为最小值为 1 2 9 3 5 7 3 5 7 1 2 9 ：31； ②a =a 1，a =a 1，a =a 1，a =a 1， 2 3 4 5 6 7 8 9 则a +a ++a =26+2(a +a +a），当a =a =a =1时，a +a ++a 的和为最小值为 1 2 9 4 6 8 4 6 8 1 2 9 ：32； 因此，a +a ++a 的最小值为：31）； 1 2 9 方法二：：a =a +1或a =a 1中恰有一个成立；等价为：a =a +1或a =a +1中恰有一 2 1 2 3 2 1 3 2 个成立； a =a +1或a =a 1中恰有一个成立；等价为：a =a +1或a =a +1中恰有一个成立； 3 2 3 4 3 2 4 3 … a =a +1或a =a 1中恰有一个成立；等价为：a =a +1或a =a +1中恰有一个成立； 8 7 8 9 3 2 9 8 又要求a +a ++a 的和为最小，所以，希望尽量出现1和2， 1 2 9 则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9； 因此，a +a ++a 的最小值为：31；） 1 2 9 方法三：：设b =a a ，b 或b 恰好只有一个为1； k k+1 k k k+1 ①b =b =b =b =1, 1 3 5 7 a =6,a =7,a 1,a =a +12,a 1,a =a +12,a 1,a =a +12, 1 2 3 4 3 5 6 5 7 8 7 a +a +a +a +a +a +a +a ++a =6+7+1+2+1+2+1+2+9=31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ②b =b =b =b =1, 2 4 6 8 a =8,a 1,a =a +12,a 1,a =a +12,a 1,a =a +12, 8 2 3 2 4 5 4 7 7 6 a +a +a +a +a +a +a +a ++a =6+1+2+1+2+1+2+8+9=32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 1 +a 2 ++a 9 的最小值为31 ） 方法四：：由题设，知：a 1；由题设，得： i a =a +1 Å 2 1 a =a +1 Ä 3 2 a =a +1 Å 4 3 a =a +1 Ä 5 4 a =a +1 Å 6 5 a =a +1 Ä 7 6 a =a +1 Å 8 7 a =a +1 Ä 9 8 再结合题设，要使a +a ++a 的和为最小， 1 2 9 ①考虑按Å：a +a ++a =(a +a ++a +a )+(a +a +a +a ) 1 2 9 1 3 7 9 2 4 6 8 =6+9+(a +a +a )+(a +a +a +a +4) =25+2(a +a +a )25+2´3=31 3 5 7 1 3 5 7 3 5 7 当且仅当a =a =a =1时，等号成立； 3 5 7 ②考虑按Ä：a +a ++a =(a +a ++a +a )+(a +a +a +a ) 1 2 9 1 3 7 9 2 4 6 8 =6+9+(a +a +a )+(a +a +a +a 4) =20+2(a +a +a ) 3 5 7 1 3 5 7 3 5 7 第4页 | 共12页=20+2(a +a +a +3) =26+2(a +a +a )26+2´3=32>31 2 4 6 2 4 6 当且仅当a =a =a =1时，等号成立；） 2 4 6 【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最小 ”；进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑 推理核心素养，根据题设推理出1，2连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单但 容易出错； 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ） A. f(x)=3x B. f(x)= x3 C. f(x)=logx D. f(x)=3x 3 【思路分析】注意研究函数性质的方法； 【解析】排除法：B、C、D涉及函数都是增函数； 【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题； ì x=3t4t3 14、已知参数方程í (tÎ[1,1]),以下哪个图像是该方程的图像 （ ） îy=2t+ 1t2 【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法； 【解析】方法一（特值法）：令y =2t 1t2 =0，解得t =1,0,1，代入参数方程，得 x=1,0,1， 所以，方程对应的曲线一定过(1, 0)、(0, 0)、(1, 0)，故选B； 方法二：在方程对应的曲线上任取一点P(x , y )，对应的参数为：t ， 1 1 1 ìx =3t 4t3  1 1 1 由题意，得í ； î y 1 =2t 1 1t 1 2 ìx =3(t )4(t )3 =x  2 1 1 1 当t =t 时，代入已知的参数方程 ，得í ， 1 î y 2 =2(t 1 ) 1(t 1 )2 =y 1 所以，点Q(x , y )=(x , y )也在方程对应的曲线上， 2 2 1 1 所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称； 1 3 3 取t = ，代入参数方程，则x=1，y = ，即点R(1, )在曲线上； ） 2 2 2 3 3 验证点S(1, )、T(1, )都不在曲线上； 2 2 1 因为，当x=3t4t3 =1时，t =1或t = ， 2 第5页 | 共12页3 当y =2t 1t2 = 时， 2 1 3 3 t = 或t = ，所以，点S(1, )不在方程对应的曲线上； 2 2 2 故，方程对应的曲线不关于x轴成对称； 1 因为，当x=3t4t3 =1时，t =1或t = ， 2 3 1 3 3 当y =2t 1t2 = 时， t = 或t = ，所以，点T(1, )不在方程对应的曲线上； 2 2 2 2 故，方程对应的曲线不关于y轴成对称；故选B； 【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法1： 结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。 é pù é pù 15.已知 f x=3sinx+2，对于任意的x Î 0, ，都存在x Î 0, ，使得 2 ê ë 2 ú û 1 ê ë 2 ú û f x +2f x +=3成立，则下列选项中，可能的值是（ ） 1 2 3p 4p 6p 7p A. B. C. D. 5 5 5 5 【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”； 【解析】方法一：由题设 f(x )+2f(x +)=3，变形得 f(x )=32f(x +)， 1 2 1 2 p p 又由题设“ f(x)=3sinx+2对任意的x Î[0, ]，都存在x Î[0, ]使得 f(x )+2f(x +)=3成 1 2 2 2 1 2 立”， p 若设函数 f(x)=3sinx+2对任意的x Î[0, ]的值域为A， 1 2 p 设函数y =32f(x +)==16sin(x +)，x Î[0, ]的值域为B，则AÍ B， 2 2 2 2 7p 又因为 f(x )Î[2,5] ；而y =32f(x +)==16sin(x +)，当= 时， 1 2 2 5 7p 19p x +Î[ , ] ， 2 5 10 19p 19p y =32f(x +)==16sin(x +)Î[16sin ,5]，而16sin »0.85<2符合题意； 2 2 10 10 sinx 1 方法二：由题意，得3sinx +2+2[3sin(x +)+2]=3，解得sin(x +)= 1 ， 1 2 2 2 p sinx 1 1 又对于任意的x Î[0, ]时，sin(x +)= 1 Î[1, ]， 1 2 2 2 2 p p 1 原问题，等价为：当x Î[0, ]时，即x +Î[,+ ]时，sin(x +)取遍[1, ]能所有 2 2 2 2 2 2 的数； 所以，一定存在整数k， 7p 3p p 3p 11p p 使得：[2kp+ ,2kp+ ]Í[,+ ]或者[2kp+ ,2kp+ ]Í[,+ ]， 6 2 2 2 6 2 6p 7p 8p 9p 解得Î[2kp+ ,2kp+ ]或者Î[2kp+ ,2kp+ ]，所以选D；） 6 6 6 6 第6页 | 共12页方法三： f(x )=3sinx +2,2f(x +)=6sin（x +）+4, f(x )+2f(x +)=3 1 1 2 2 1 2 1 sinx +2sin(x +)=1,sinx Î[0,1],sin(x +)Î[1, ] 1 2 1 2 2 7p 4 3p Î[2kp+p,2kp+ ]或Î[2kp+ p,2kp+ ],kÎz 6 3 2 6p 19p 59p p 7p = ,x =0,x Î[0,2p]上有2解，x = , [0, ],舍去的可能值是 ，选D 5 1 2 2 30 30 2 5 【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以 集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查 了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。 x ,y ,x ,y ,x ,y x + y = x + y = x + y 16、已知两两不同的 满足 ， 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 且x < y ， x < y ， x < y ， x y +x y =2x y >0 ，则下列选项中恒成立的是（ ） 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 A. 2x < x +x B. 2x > x +x C. x 2 < x x D. x 2 > x x 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化 ìx =sa,y =s+a,a >0 1 1  【解析】方法一：íx =sb,y =s+b,b>0a2 +c2 =2b2,s2 b2 >0 2 2  x =sc,y =s+c,c>0 î 3 3 (a+c)2 =2(a2 +c2)(ac)2 =a2 +c2 +2ac<2(a2 +c2)=4b2 a,b,c>0a+c<2b x +x <2x 1 3 2 方法二：举特例去选择，x =4,y =5,x =2,y =7,x =1,y =8,代入 1 1 2 2 3 3 方法三：令x + y = x + y = x + y =2a，则由已知x 1 3 = f(x )，又函数在(¥,a)递增，所以 1 3 > x ） 2 2 2 2 2 【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根 据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大； 三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图，在长方体ABCDABC D 中，AB = BC =2,AA =3 1 1 1 1 1 （1)若P是边AD 的动点，求三棱锥PADC的体积；（2)求AB 与平面ACC A 所成的角的大 1 1 1 1 1 小. 【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明OB ^平面ACC A ，找到线面角度，再计 1 1 1 算 1 1 1 【解析】（1)如图1，V = S ´h= ´ ´2´2´3=2； PADC 3 ADC 3 2 （2）如图2，QOB ^ AC ,OB ^OO OB ^平面ACC A =ÐB AO 为AB 与平面ACC A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所成的角；在RtB AO 中 1 1 BO 2 26 26 BO = 2,AB = 13,sin= 1 1 = = ,=arcsin 1 1 1 AB 13 13 13 1 第7页 | 共12页图1 图2 【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、 逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18、在ΔABC中，已知a =3,b=2c 2p （1)若ÐA= ,求ΔABC的面积；（2)若2sinBsinC=1,求ΔABC的周长. 3 【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解b，c的值；再利用面积公式求ΔABC的面积． （2）根据b=2c与2sinBsinC=1建立关于角度的三角方程，求解sinC,sinB的值，在求sinA ，则根据正弦定理以及a =3，则三边可求． b2 +c2 a2 (2c)2 +c2 32 1 3 7 6 7 【解析】（1)cosA=  = c= ,b= ； 2bc 2´(2c)c 2 7 7 1 1 2p 1 3 7 3 9 3 S = bcsinA= ´2c2´sin = ´2´( )2´ = ABC 2 2 3 2 7 2 14 1 2 b=2csinB =2sinC2´2sinCsinC=1sinC = ,sinB = （2） 3 3 4 2 5 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= ± 9 9 asinC 4 2± 5 c= = ,=三角形周长l =a+b+c=a+3c=3+4 2± 5 sinA 3 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题． 19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度） 营业额都比前一季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比 前一季度增长4%. （1）求2021第一季度起20季度的营业额总和； （2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加0.05亿元可以知道数列为一个等差数列， 求解20季度营业收入总额为即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式， 利用计算器计算求解不等式即可。 【解析】（1）设a 为第n季度的营业额，b 为利润，由题意得，a 的首项为1.1亿元， n n n 公差为0.05亿元,所以2021到2025年， 20´19 20季度营业收入总额为：S =20a + ´d =31.5（亿元） 20 1 2 第8页 | 共12页（2）由已知得，a =a +(n1)d =1.1+0.5(n1) n 1 由已知的， b n 的首项为0.16亿元，公比为1.04 ,即b n =b 1 qn1 =0.16´1.04n1 所以a 18%0h2 =2m2 4h= 2m2 4 k = ， 2m2 4 uuur uuuur 即对于任意m< 2，使得FA//F B的直线有且仅有一条； 1 2 【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题． 21、如果对任意x ,x Ρ 使得x x ÎS都有 f(x ) f(x )ÎS ,则称 f(x)是S 关联的. 1 2 1 2 1 2 （1)判断并证明 f(x)=2x1是否是[0,+¥)关联？是否是[0,1]关联？ （2) f(x)是 3 关联的，在[0,3)上有 f(x)= x2 2x,解不等式2 f(x)3 ； （3)“ f(x)是 3 关联的，且是[0,+¥)关联”当且仅当“ f(x)是[1,2]关联的”． 【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断； （2）根据“ f(x)是 3 关联”有： f(x+3) f(x)=3；以及函数解析式作出函数图像，利用图 像解不等式； （3）分为充分性、必要性两个方面证明； 【解析】(1)x x Î[0,+¥), f(x ) f(x )=(2x 1)(2x 1)= x x Î[0,+¥), f(x)=2x1是 1 2 1 2 1 2 1 2 [0,+¥) 关联； x x Î[0,1], f(x ) f(x )=(2x 1)(2x 1)=2(x x )Î[0,2], f(x)=2x1不是[0,1]关联 1 2 1 2 1 2 1 2 ； （2) f (x) x = x2 3x是以3为周期的函数，然后就是要在[2 x,3 x]里面， 可以看出只有[0,3),[3,6)两个周期中可以找到解,答案是[1+ 3,5] （3）充分性：Q f(x+1)= f(x)+1，且 f(x)递增，所以对于x+1 y x+2 f(x)+1= f(x+1) f(y) f(x+2)= f(x)+2成立。 必要性：Q f(x+1) f(x)1， f(x+2) f(x+1)1， f(x+2) f(x)2 第10页 | 共12页可以得到 f(x+1)= f(x)+1 故对x< y x+1，我们对x,y+1用[1,2]关联的条件得到 f(x)+1 f(y+1)= f(y)+1 于是 f(x) f(y).对于正整数n，x+n< y  x+n+1 则有 f(y)= f(yn)+n f(x)+n> f(x).也成立. 方法二：（1）①设x x Î0,+¥ ，x x 1且为 0,+¥ ， 1 2 1 2 f(x ) f(x )=2x 12x +1=2(x x )2且满足 0,+¥ ， f(x)=2x1是 0,+¥ 关联的. 1 2 1 2 1 2 ②设x x Î0,1 ， f(x ) f(x )=2x 12x +1=2(x x )Î0,2 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 故 f(x)=2x1不是 0,1 关联的. （2）因为 f(x)是 3 关联的，所以当任意的xÎR 时， f(x+3) f(x)=3， 又Q xÎ0,3 时， f(x)= x2 2x，函数图像如下图： 易知，a=1+ 3，∴原不等式的解为 a,5 即为 é1+ 3,5ù . ë û （3）证明：Q f(x)是 1 关联，可知对任意的xÎR 有 f(x+1) f(x)=1， ìx x 0 Q f(x)是 0,+¥ 关联，可知对任意的x ,x Î0,+¥ 有í 1 2 ，为不减函数； 1 2 f(x ) f(x )0 î 1 2 可以设g(x)= f(x+x) f(x) ， 当x=1时，g(1)= f(x+1) f(x)=1， 当x=2时，g(2)= f(x+2) f(x)= f(x+1)+1 f(x)=2， 因为当x确定时，g(x)是关于x的不减函数，所以xÎ1，2 ，gxÎ1，2 有 f(x)是 1,2 关联. ②当 f(x)是 1,2 关联，有xÎ1,2 ，∴g(x)= f(x+x) f(x)Î1,2 ， 当g(1)= f(x+1) f(x)Î1,2 ，g(2)= f(x+2) f(x)Î1,2 时， 假设g(1)>1，有 f(x+1) f(x)>1. f(x+2) f(x)>f(x+1)+1 f(x)>2， 又∵g(2)= f(x+2) f(x)Î1,2 ，矛盾. 故只有g(1)=1，易得g(2)=2. 利用 f(x+1) f(x)=1 得 f(x)是 1 关联， ， 依次可得g(n)=n，nÎZ+ ， 即当xÎn,n+1 ，有g(x)În,n+1 ， 当在n®+¥时，xÎ0,+¥ ，gxÎ0,+¥ . 【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时 考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题． 第11页 | 共12页第12页 | 共12页