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2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（文）
一､选择题
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则C (M N)=（ )
U U
A.{5} B.{1,2}
C.{3,4} D.{1,2,3,4}
2.设iz =4+3i，则z =（ ）
A.-3-4i B.–3+4i
C.3-4i D.3+4i
3.已知命题 p:$xÎR,sinx<1；命题q:"xÎR,e|x| ³1，则下列命题中为真命题的是（
）
A. pÙq B.ØpÙq
C. pÙØq D.Ø(pÚq)
x x
4.函数 f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（ ）
3 3
A.3p和 2 B.3p和2
C.6p和 2 D.6p和2
x+ y³4,
5.若x,y满足约束条件x- y2,则z =3x+ y的最小值为（ ）
y3,
A.18 B.10
C.6 D.4
p 5p
6.cos2 -cos2 =（ ）
12 12
1 3
A. B.
2 3
第1页 | 共4页2 3
C. D.
2 2
1 1
7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
2 3
3 2
A. B.
4 3
1 1
C. D.
3 6
8.下列函数中最小值为4的是（ ）
4
A. y = x2 +2x+4 B. y =|sinx|+
|sinx|
4
C. y =2x +22-x D. y =lnx+
lnx
1-x
9.设函数 f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+x
A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1
10.在正方体ABCD-ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 所成的角为
1 1 1 1 1 1 1
p p
A. B.
2 3
p p
C. D.
4 6
x2
11.设B是椭圆C: + y2 =1的上顶点，点P在C上，则 PB 的最大值为
5
5
A. B. 6
2
C. 5 D.2
12.设a¹0，若x=a为函数 f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则
A.ab
C.aba2
二、填空题
r r r r
13.已知向量a =(2,5)，b=(l,4)，若a//b，则l= .
第2页 | 共4页x2 y2
14.双曲线 - =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
4 5
15.记DABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3， B=60°,
a2 +c2 =3ac，则b= .
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为
s2和s2.
1 2
（1）求x，y，s2，s2；
1 2
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
s2 +s2
y-x³2 1 2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
10
不认为有显著提高）.
18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M 为BC的中点，且
PB AM .
（1）证明：平面PAM 平面PBD﹔
（2）若PD= DC =1，求四棱锥P-ABCD的体积.
第3页 | 共4页na
19.设{a }是首项为1的等比数列，数列{b }满足b = n .已知a ，3a ，9a ，成等差
n n n 3 1 2 3
数列.
（1）求{a }和{b }的通项公式；
n n
S
（2）记S ，和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明：T < n .
n n n n n 2
20.已知抛物线C：y2 =2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2.
（1）求C的方程，
r r
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF ，求直线OQ斜率的最大值
.
21.已知函数 f(x)= x3-x2 +ax+1.
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）求曲线y = f(x)过坐标原点的切线与曲线y = f(x)的公共点的坐标.
22.在直角坐标系xOy中， C 的圆心为C(2,1)，半径为1.
（1）写出 C 的一个参数方程;
（2）过点F(4,1)作 C 的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，
求这两条切线的极坐标方程.
23.已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3|.
（1）当a =1时，求不等式 f(x)³6的解集；
（2）若 f(x)>-a，求a的取值范围.
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