2021年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_全国卷·数学（2008-2025）

绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动 ,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷 上无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． ì 1 ü   1. 设集合M = x 0< x<4 ,N =íx £ x£5ý，则M I N =（ ） î 3 þ ì 1ü ì 1 ü A. íx 0< x£ ý B. íx £ x<4ý î 3þ î 3 þ     x 4£ x<5 x 0< x£5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 1 ì 1 ü 【详解】因为M ={x|0< x<4},N ={x| £ x£5}，所以M ÇN =íx| £ x<4ý, 3 î 3 þ 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到 第1页 | 共24页如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应 的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可 作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02´3=0.10=10%,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为 0.10+0.14+0.20´2=0.64=64%>50%,故D正确； 第2页 | 共24页该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3´0.02+4´0.04+5´0.10+6´0.14+7´0.20+8´0.20+9´0.10+10´0.10+11´0.04+12´0.02+13´0.02+14´0.02=7.68(万元)，超 过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率 的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均 频率 值的估计值.注意各组的频率等于 ´组距 . 组距 3. 已知(1-i)2z =3+2i，则z =（ ） 3 3 3 3 A. -1- i B. -1+ i C. - +i D. - -i 2 2 2 2 【答案】B 【解析】 3+2i 【分析】由已知得z = ，根据复数除法运算法则，即可求解. -2i 【详解】(1-i)2z =-2iz =3+2i， 3+2i (3+2i)×i -2+3i 3 z = = = = -1+ i. -2i -2i×i 2 2 故选：B. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视 力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的 数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 »1.259） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据L,V 关系，当L=4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 第3页 | 共24页【详解】由L=5+lgV ，当L=4.9时，lgV =-0.1， - 1 1 1 则V =10-0.1 =10 10 = » »0.8. 1010 1.259 故选：C. 5. 已知F,F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且ÐFPF =60°, PF =3 PF ，则C的离心率为（ 1 2 1 2 1 2 ） 7 13 A. B. C. 7 D. 13 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 PF , PF ，结合余弦定理可得答案. 1 2 【详解】因为 PF =3 PF ，由双曲线的定义可得 PF - PF =2 PF =2a， 1 2 1 2 2 所以 PF =a， PF =3a； 2 1 因为ÐFPF =60°,由余弦定理可得4c2 =9a2 +a2 -2´3a×a×cos60°， 1 2 c2 7 7 整理可得4c2 =7a2，所以e2 = = ，即e= . a2 4 2 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键. 6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面 体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） 第4页 | 共24页A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断. 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示， 所以其侧视图为 故选：D 7. 等比数列 a  的公比为q，前n项和为S ，设甲：q>0，乙： S  是递增数列，则（ ） n n n A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 S  是递增数列时，必有a >0成立即可 n n 说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为 -2,-4,-8, L 时，满足q>0， 第5页 | 共24页但是 S  不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． n 若 S  是递增数列，则必有a >0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 n n q>0成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过 程． 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是 珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水 平面上的投影A¢,B¢,C¢满足ÐA¢C¢B¢=45°，ÐA¢B¢C¢=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB¢与 CC¢的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A¢B¢C¢的高度差AA¢-CC¢约为（ 3 »1.732）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A'B'，进而得到答案 ． 第6页 | 共24页【详解】 过C作CH ^ BB'，过B作BD^ AA'， 故AA'-CC'= AA'-BB'-BH= AA'-BB'+100= AD+100， 由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD= DB． 所以AA'-CC'= DB+100= A'B'+100． 100 因为ÐBCH =15°，所以CH =C'B'= tan15° 在 A'B'C'中，由正弦定理得： V A'B' C'B' 100 100 = = = ， sin45° sin75° tan15°cos15° sin15° 6- 2 而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°= ， 4 2 100´4´ 所以 2 ， A'B'= =100( 3+1)»273 6- 2 所以AA'-CC'= A'B'+100»373． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将AA'-CC'的长度通过作辅助线的方式转化为A'B'+100． æ pö cosa 9. 若aÎ ç 0, ÷ ,tan2a= ，则tana=（ ） è 2ø 2-sina 15 5 5 15 A. B. C. D. 15 5 3 3 【答案】A 【解析】 sin2a 2sinacosa 1 【分析】由二倍角公式可得tan2a= = ，再结合已知可求得sina= ，利用同角三 cos2a 1-2sin2a 4 第7页 | 共24页角函数的基本关系即可求解. cosa 【详解】 tan2a= Q 2-sina sin2a 2sinacosa cosa \tan2a= = = ， cos2a 1-2sin2a 2-sina æ pö 2sina 1 1 Q aÎ ç 0, ÷，\cosa¹0，\ = ，解得sina= ， è 2 ø 1-2sin2a 2-sina 4 15 sina 15 \cosa= 1-sin2a= ，\tana= = . 4 cosa 15 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina. 10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） 1 2 2 4 A. B. C. D. 3 5 3 5 【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有C1 =5种排法，若2个0不相邻，则有C2 =10种排法， 5 5 10 2 所以2个0不相邻的概率为 = . 5+10 3 故选：C. 11. 已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC ^ BC,AC = BC =1，则三棱锥O-ABC的体 积为（ ） 2 3 2 3 A. B. C. D. 12 12 4 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得 ABC 为等腰直角三角形，得出 ABC 外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距 V V 离，进而求得体积. 第8页 | 共24页【详解】Q AC ^ BC,AC = BC =1，\ V ABC 为等腰直角三角形，\AB = 2 ， 2 则 ABC 外接圆的半径为 ，又球的半径为1， V 2 设O到平面ABC的距离为d ， 2 æ 2 ö 2 则d = 12 -ç ÷ = ， ç ÷ 2 2 è ø 1 1 1 2 2 所以V = S ×d = ´ ´1´1´ = . O-ABC 3 VABC 3 2 2 12 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面 距离的勾股关系求解. 12. 设函数 f x 的定义域为R， f x+1 为奇函数， f x+2 为偶函数，当xÎ1,2 时， æ9ö f(x)=ax2 +b．若 f 0+ f 3=6，则 f ç ÷ =（ ） è2ø 9 3 7 5 A. - B. - C. D. 4 2 4 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过 f x+1 是奇函数和 f x+2 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 f x=-2x2 +2，进 而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为 f x+1 是奇函数，所以 f -x+1=-f x+1 ①； 因为 f x+2 是偶函数，所以 f x+2= f -x+2 ②． 令x=1，由①得： f 0=-f 2=-4a+b ，由②得： f 3= f 1=a+b， 因为 f 0+ f 3=6，所以-4a+b+a+b=6Þa =-2， 令x=0，由①得： f 1=-f 1Þ f 1=0Þb=2，所以 f x=-2x2 +2． 思路一：从定义入手． æ9ö æ5 ö æ 5 ö æ 1ö f = f +2 = f - +2 = f - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2ø è2 ø è 2 ø è 2ø 第9页 | 共24页æ 1ö æ 3 ö æ3 ö æ5ö f - = f - +1 =-f +1 =-f ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2ø è 2 ø è2 ø è2ø æ5ö æ1 ö æ 1 ö æ3ö -f =-f +2 =-f - +2 =- f ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è2ø è2 ø è 2 ø è2ø æ9ö æ3ö 5 所以 f ç ÷ =-f ç ÷ = ． è2ø è2ø 2 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 f x 的周期T =4． æ9ö æ1ö æ3ö 5 所以 f ç ÷ = f ç ÷ =-f ç ÷ = ． è2ø è2ø è2ø 2 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计 算的效果． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 2x-1 13. 曲线y = 在点-1,-3处的切线方程为__________． x+2 【答案】5x- y+2=0 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当x=-1时，y =-3，故点在曲线上． 2x+2-2x-1 5 求导得：y¢= = ，所以y¢| =5． x+22 x+22 x=-1 故切线方程为5x- y+2=0． 故答案为：5x- y+2=0． 14. 已知向量a r =3,1,b r =1,0,c r =a r +kb r ．若a r ^c r ，则k =________． 10 【答案】- . 3 【解析】 r 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 【详解】 Q a r =3,1,b r =1,0,\c r =a r +kb r =3+k,1 , 第10页 | 共24页10 Q a r ^c r ,\a r n c r =33+k+1´1=0，解得k =- , 3 10 故答案为：- . 3 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量 p r =x ,y ,q r =x ,y  垂直的充分必要条件是其数量积x x + y y =0 . 1 1 2 2 1 2 1 2 x2 y2 15. 已知F,F 为椭圆C： + =1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 1 2 16 4 PQ = FF ，则四边形PFQF 的面积为________． 1 2 1 2 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知可得PF ^ PF ，设|PF |=m,|PF |=n，利用勾股定理结合m+n=8，求出mn，四 1 2 1 2 边形PFQF 面积等于mn，即可求解. 1 2 【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|=|FF |，所以四边形PFQF 为矩形， 1 2 1 2 设|PF |=m,|PF |=n，则m+n =8,m2 +n2 =48， 1 2 所以64=(m+n)2 =m2 +2mn+n2 =48+2mn， mn=8，即四边形PFQF 面积等于8. 1 2 故答案为：8. 16. 已知函数 f x=2cos(wx+j)的部分图像如图所示，则满足条件 æ æ 7pööæ æ4pöö ç f(x)- f ç - ÷÷ç f(x)- f ç ÷÷ >0的最小正整数x为________． è è 4 øøè è 3 øø 第11页 | 共24页【答案】2 【解析】 7p 4p 【分析】先根据图象求出函数 f(x)的解析式，再求出 f(- ), f( )的值，然后求解三角不等式可得最 4 3 小正整数或验证数值可得. 3 13p p 3p 2p 【详解】由图可知 T = - = ，即T = =p，所以w=2； 4 12 3 4 w p p p 由五点法可得2´ +j= ，即j=- ； 3 2 6 æ pö 所以 f(x)=2cos ç 2x- ÷. è 6 ø 7p æ 11pö 4p æ5pö 因为 f(- )=2cos ç - ÷ =1， f( )=2cos ç ÷ =0； 4 è 3 ø 3 è 2 ø 7p 4p 所以由(f(x)- f(- ))(f(x)- f( ))>0可得 f(x)>1或 f(x)<0； 4 3 æ pö æp pö 因为 f 1=2cos ç 2- ÷ <2cos ç - ÷ =1，所以， è 6 ø è 2 6 ø æ pö 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 f(x)<0，即cos ç 2x- ÷ <0， è 6ø p 5p p 5p 解得kp+ < x10>6.635, 270´130´200´200 39 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 18. 已知数列 a  的各项均为正数，记S 为 a  的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一 n n n 个成立．   ①数列 a  是等差数列：②数列 S 是等差数列；③a =3a ． n n 2 1 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，可设出 S ，结合a ,S 的关系求出a ，利用 a  是等差数列可证 n n n n n a =3a ； 2 1 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 S ，结合等差数列定义可证； n 选②③作条件证明①时，设出 S =an+b，结合a ,S 的关系求出a ，根据a =3a 可求b，然后可证 n n n n 2 1 a  是等差数列. n 【详解】选①②作条件证明③： 设 S =an+b(a >0)，则S =an+b2 ， n n 当n=1时，a =S =a+b2 ； 1 1 当n³ 2时，a =S -S =an+b2 -an-a+b2 =a2an-a+2b ； n n n-1 因为 a  也是等差数列，所以a+b2 =a2a-a+2b，解得b=0； n 所以a =a22n-1 ，所以a =3a . n 2 1 选①③作条件证明②： 因为a =3a ， a  是等差数列， 2 1 n 第14页 | 共24页所以公差d =a -a =2a ， 2 1 1 nn-1 所以S =na + d =n2a ，即 S = a n， n 1 2 1 n 1 因为 S - S = a n+1- a n= a ， n+1 n 1 1 1   所以 S 是等差数列. n 选②③作条件证明①： 设 S =an+b(a >0)，则S =an+b2 ， n n 当n=1时，a =S =a+b2 ； 1 1 当n³ 2时，a =S -S =an+b2 -an-a+b2 =a2an-a+2b ； n n n-1 4a 因为a =3a ，所以a3a+2b=3a+b2 ，解得b=0或b=- ； 2 1 3 当b=0时，a =a2,a =a22n-1 ，当n³ 2时，a -a =2a2满足等差数列的定义，此时 a  为等差 1 n n n-1 n 数列； 4a 4 a 当b=- 时， S =an+b=an- a， S =- <0不合题意，舍去. 3 n 3 1 3 综上可知 a  为等差数列. n 【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等 差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法. 19. 已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方形，AB= BC =2，E，F分别为AC和CC 的中点 1 1 1 1 1 1 ，D为棱AB 上的点．BF ^ AB 1 1 1 1 第15页 | 共24页（1）证明：BF ^ DE； （2）当BD为何值时，面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 1 1 1 1 【答案】（1）见解析；（2）BD= 1 2 【解析】 【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线 垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案． 【详解】因为三棱柱ABC-ABC 是直三棱柱，所以BB ^底面ABC，所以BB ^ AB 1 1 1 1 1 因为AB //AB，BF ^ AB ，所以BF ^ AB， 1 1 1 1 又BB ÇBF = B，所以AB^平面BCC B ． 1 1 1 所以BA,BC,BB 两两垂直． 1 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图． 1 第16页 | 共24页所以B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B 0,0,2,A 2,0,2,C 0,2,2 ， 1 1 1 E1,1,0,F0,2,1 ． 由题设Da,0,2 （0£a£2）． uuuv uuuv （1）因为BF =0,2,1,DE =1-a,1,-2， uuuv uuuv 所以BF×DE =0´1-a+2´1+1´-2=0，所以BF ^ DE． ur （2）设平面DFE的法向量为m=x,y,z， uuuv uuuv 因为EF =-1,1,1,DE =1-a,1,-2， uuuv ìmv×EF =0 ì-x+ y+z =0 所以í îmv× u D uu E v =0 ，即í î 1-ax+ y-2z =0 ． 令z =2-a，则mv =3,1+a,2-a uuur 因为平面BCC B 的法向量为BA=2,0,0， 1 1 设平面BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为q， 1 1 uuuv mv×BA 6 3 则 cosq= = = ． uuuv mv × BA 2´ 2a2 -2a+14 2a2 -2a+14 1 27 当a= 时，2a2 -2a+4取最小值为 ， 2 2 3 6 = 此时cosq取最大值为 27 3 ． 2 2 æ 6 ö 3 所以sinq = 1-ç ÷ = ， min ç 3 ÷ 3 è ø 1 此时BD= ． 1 2 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出Da,0,2 （0£a£2），在第二问中通过余 弦值最大，找到正弦值最小是关键一步． 20. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP^OQ．已知点 M 2,0 ，且 e M 与l相切． （1）求C， e M 的方程； 第17页 | 共24页（2）设A 1 ,A 2 ,A 3 是C上的三个点，直线A 1 A 2 ，A 1 A 3 均与 e M 相切．判断直线A 2 A 3 与 e M 的位置关系， 并说明理由． 【答案】（1）抛物线C: y2 = x， M 方程为(x-2)2 + y2 =1；（2）相切，理由见解析 e 【解析】 【分析】（1）根据已知抛物线与x=1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出 P,Q坐标，由OP^OQ，即可求出 p；由圆M 与直线x=1相切，求出半径，即可得出结论； （2）先考虑AA 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若AA ,AA ,A A 斜率存在，由A,A ,A 1 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3 三点在抛物线上，将直线AA ,AA ,A A 斜率分别用纵坐标表示，再由AA ,AA 与圆M 相切，得出 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 y + y ,y ×y 与y 的关系，最后求出M 点到直线A A 的距离，即可得出结论. 2 3 2 3 1 2 3 【详解】（1）依题意设抛物线C: y2 =2px(p>0),P(1,y ),Q(1,-y )， 0 0 uuur uuur OP ^OQ,\OP×OQ =1- y2 =1-2p =0,\2p =1， Q 0 所以抛物线C的方程为y2 =x， M(0,2), e M 与x=1相切，所以半径为1， 所以 M 的方程为(x-2)2 + y2 =1； e （2）设A(x y ),A (x ,y ),A (x ,y ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 若AA 斜率不存在，则AA 方程为x=1或x=3， 1 2 1 2 若AA 方程为x=1，根据对称性不妨设A(1,1)， 1 2 1 则过A与圆M 相切的另一条直线方程为y =1， 1 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A ，不合题意； 3 若AA 方程为x=3，根据对称性不妨设A(3, 3),A (3,- 3), 1 2 1 2 3 则过A与圆M 相切的直线AA 为 y- 3 = (x-3)， 1 1 3 3 y - y 1 1 3 又k = 1 3 = = = ,\y =0， A 1 A 3 x -x y + y 3+ y 3 3 1 3 1 3 3 x =0,A (0,0)，此时直线AA,A A 关于x轴对称， 3 3 1 3 2 3 第18页 | 共24页所以直线A A 与圆M 相切； 2 3 若直线AA ,AA ,A A 斜率均存在， 1 2 1 3 2 3 1 1 1 则k = ,k = ,k = ， A 1 A 2 y + y A 1 A 3 y + y A 2 A 3 y + y 1 2 1 3 2 3 1 所以直线AA 方程为y- y = x-x  ， 1 2 1 y + y 1 1 2 整理得x-(y + y )y+ y y =0， 1 2 1 2 同理直线AA 的方程为x-(y + y )y+ y y =0， 1 3 1 3 1 3 直线A A 的方程为x-(y + y )y+ y y =0， 2 3 2 3 2 3 |2+ y y | Q A 1 A 2 与圆M 相切， \ 1+(y 1 + 2 y )2 =1 1 2 整理得(y2 -1)y2 +2y y +3- y2 =0， 1 2 1 2 1 AA 与圆M 相切，同理(y2 -1)y2 +2y y +3- y2 =0 1 3 1 3 1 3 1 所以y ,y 为方程(y2 -1)y2 +2y y+3- y2 =0的两根， 2 3 1 1 1 2y 3- y2 y + y = - 1 ,y ×y = 1 ， 2 3 y2 -1 2 3 y2 -1 1 1 M 到直线A A 的距离为： 2 3 3- y2 |2+ 1 | |2+ y y | y2 -1 2 3 = 1 1+(y + y )2 2y 2 3 1+(- 1 )2 y2 -1 1 | y2 +1| y2 +1 = 1 = 1 =1， (y2 -1)2 +4y2 y2 +1 1 1 1 所以直线A A 与圆M 相切； 2 3 综上若直线AA ,AA 与圆M 相切，则直线A A 与圆M 相切. 1 2 1 3 2 3 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化 为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用AA ,AA 的对称性，抽象出 y + y ,y ×y 与y 关系 1 2 1 3 2 3 2 3 1 第19页 | 共24页，把y ,y 的关系转化为用y 表示. 2 3 1 xa 21. 已知a >0且a ¹1，函数 f(x)= (x >0)． ax （1）当a=2时，求 f x 的单调区间； （2）若曲线y = f x 与直线y =1有且仅有两个交点，求a的取值范围． æ 2 ù é 2 ö 【答案】（1）ç 0, ú 上单调递增； ê ,+¥ ÷上单调递减；（2） 1,eÈe,+¥ . è ln2û ëln2 ø 【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线y = f x 与直线y =1有且仅有两个交点等价转化为方程 lnx lna a = 有两个不同的实数根，即曲线y = gx 与直线y = 有两个交点，利用导函数研究gx 的 x a lna lna 1 单调性，并结合gx 的正负，零点和极限值分析gx 的图象，进而得到0< < ，发现这正好是 a e 0< ga< ge ，然后根据gx 的图象和单调性得到a的取值范围. f x= x2 , f¢x= 2x n 2x -x2 n 2xln2 = x n 2x2-xln2 【详解】（1）当a=2时， 2x  2x2 4x , 2 2 2 令 f 'x=0得x= ,当0< x< 时， f¢x>0 ,当x> 时， f¢x<0 , ln2 ln2 ln2 æ 2 ù é 2 ö ∴函数 f x 在ç 0, ú 上单调递增； ê ,+¥ ÷上单调递减； è ln2û ëln2 ø xa lnx lna lnx （2） f x= =1Û ax = xa Û xlna=alnxÛ = ,设函数gx= , ax x a x 1-lnx 则g¢x= ,令g¢x=0，得x=e , x2 在 0,e 内g¢x>0 , gx 单调递增； 在 e,+¥ 上g¢x<0 , gx 单调递减； 1 \gx = ge= , max e 又g1=0，当x趋近于+¥时，gx 趋近于0， 第20页 | 共24页a 所以曲线y = f x 与直线y =1有且仅有两个交点，即曲线y = gx 与直线y = 有两个交点的充分 lna lna 1 必要条件是0< < ,这即是0< ga< ge , a e 所以a的取值范围是 1,eÈe,+¥ . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较 难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象， 利用数形结合思想求解. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 r=2 2cosq． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为 1,0 ，M为C上的动点，点P满足 u A u P ur = 2 u A u M uur ，写出Р的轨迹C 的参数方程， 1 并判断C与C 是否有公共点． 1  2 ìïx=3- 2+2cosq 【答案】（1） x- 2 + y2 =2；（2）P的轨迹C 的参数方程为í （q为参数）， 1 ïîy =2sinq C与C 没有公共点. 1 【解析】 【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为r2 =2 2rcosq，将x=rcosq,y=rsinq代入可得；   （2）设Px,y ，设M 2+ 2cosq, 2sinq ，根据向量关系即可求得P的轨迹C 的参数方程，求出 1 两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】（1）由曲线C的极坐标方程r=2 2cosq可得r2 =2 2rcosq，  2 将x=rcosq,y=rsinq代入可得x2 + y2 =2 2x，即 x- 2 + y2 =2，  2 即曲线C的直角坐标方程为 x- 2 + y2 =2；   （2）设Px,y ，设M 2+ 2cosq, 2sinq 第21页 | 共24页uuur uuuur Q AP = 2AM ，     \x-1,y= 2 2+ 2cosq-1, 2sinq = 2+2cosq- 2,2sinq ， ìïx-1=2+2cosq- 2 ìïx=3- 2+2cosq 则í ，即í ， ïîy =2sinq ïîy =2sinq ìïx=3- 2+2cosq 故P的轨迹C 的参数方程为í （q为参数） 1 ïîy =2sinq     Q 曲线C的圆心为 2,0 ，半径为 2 ，曲线C 1 的圆心为 3- 2,0 ，半径为2， 则圆心距为3-2 2 ， 3-2 2 <2- 2 ，\两圆内含， Q 故曲线C与C 没有公共点. 1 【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知函数 f(x)= x-2,g(x)= 2x+3 - 2x-1． （1）画出y = f x 和y = gx 的图像； （2）若 f x+a³ gx ，求a的取值范围． 11 【答案】（1）图像见解析；（2）a³ 2 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像； æ1 ö （2）根据函数图像数形结和可得需将y = f x 向左平移可满足同角，求得y = f x+a 过A ç ,4 ÷时 è2 ø 第22页 | 共24页a的值可求. ì2-x,x<2 【详解】（1）可得 f(x)= x-2 =í ，画出图像如下： îx-2,x³2 ì 3 -4,x<- ï 2 ï ï 3 1 g(x)= 2x+3 - 2x-1 =í4x+2,- £ x< ，画出函数图像如下： 2 2 ï ï 1 4,x³ ï î 2 （2） f(x+a)=|x+a-2|， 如图，在同一个坐标系里画出 f x,gx 图像， y = f x+a 是y = f x 平移了 a 个单位得到， 则要使 f(x+a)³ g(x)，需将y = f x 向左平移，即a >0， 第23页 | 共24页æ1 ö 1 11 5 当y = f x+a 过A ç ,4 ÷时，| +a-2|=4，解得a= 或- （舍去）， è2 ø 2 2 2 11 11 则数形结合可得需至少将y = f x 向左平移 个单位，\a³ . 2 2 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 第24页 | 共24页