文档内容
绝密☆启用前 试卷类型：A
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场
号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位
置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答
在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合M ={x∣ x <4}, N ={x∣3x³1}，则M I N =（ ）
ì 1 ü
A. x 0£ x<2 B. íx £ x<2ý C. x 3£ x<16 D.
î 3 þ
ì 1 ü
íx £ x<16ý
î 3 þ
2. 若i(1-z)=1，则z+z =（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 在 V ABC中，点D在边AB上，BD =2DA．记C uu A ur =m r，C uu D ur =n r，则C uu B ur =（ ）
r r r r r r
A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D.
r r
2m+3n
4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水
库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水
面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从
海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（ 7 »2.65）（ ）
A. 1.0´109m3 B. 1.2´109m3 C. 1.4´109m3 D.
1.6´109m3
5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
第1页 | 共5页1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
æ pö 2p
6. 记函数 f(x)=sin ç wx+ ÷ +b(w>0)的最小正周期为T．若 0)上，过点B(0,-1)的直线
交C于P，Q两点，则（ ）
A. C的准线为y =-1 B. 直线AB与C相切
C. OP × OQ >|OA 2 D. |BP|×|BQ|>|BA|2
第2页 | 共5页æ3 ö
12. 已知函数 f(x)及其导函数 f¢(x)的定义域均为R，记g(x)= f¢(x)，若 f ç -2x ÷，
è2 ø
g(2+x)均为偶函数，则（ ）
æ 1ö
A. f(0)=0 B. g ç - ÷ =0 C. f(-1)= f(4) D.
è 2ø
g(-1)= g(2)
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
æ yö
13. ç 1- ÷ (x+ y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．
è xø
14. 写出与圆x2 + y2 =1和(x-3)2 +(y-4)2 =16都相切的一条直线的方程
________________．
15. 若曲线 y =(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
x2 y2
16. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，F ，离心率
a2 b2 1 2
为 1 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE |=6，则 ADE的周长是
2 1 2 V
________________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
ìS ü 1
17. 记S 为数列 a 的前n项和，已知a =1,í ný是公差为 的等差数列．
n n 1 î a þ 3
n
（1）求
a
的通项公式；
n
1 1 1
（2）证明： + + L + <2．
a a a
1 2 n
cosA sin2B
18. 记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
V
1+sinA 1+cos2B
2p
（1）若C = ，求B；
3
a2 + b2
（2）求 的最小值．
c2
19. 如图，直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积为4，V A
1
BC 的面积为2 2．
第3页 | 共5页（1）求A到平面ABC的距离；
1
（2）设D为AC的中点，AA = AB，平面ABC ^平面ABB A ，求二面角
1 1 1 1 1
A-BD-C的正弦值．
20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好
和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时
在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险
P(B|A) P(B|A)
程度的一项度量指标，记该指标为R．
P(A|B) P(A|B)
（ⅰ）证明：R = × ；
P(A|B) P(A|B)
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估
计值．
n(ad-bc)2
附K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
第4页 | 共5页P K2 ³k 0 . 050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
x2 y2
21. 已知点A(2,1)在双曲线C: - =1(a >1)上，直线l交C于P，Q两点，直线
a2 a2 -1
AP,AQ的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若tanÐPAQ =2 2 ，求△PAQ的面积．
22. 已知函数 f(x)=ex -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y =b，其与两条曲线y= f(x)和y = g(x)共有三个不同的交点，并
且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
第5页 | 共5页
