2023年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_全国卷·数学（2008-2025）

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 理科数学 一、选择题 A={x∣x=3k+1,kÎZ},B={x∣x=3k+2,kÎZ} ð (A B)= 1. 设集合 ，U为整数集， U U （ ） A. {x|x=3k,kÎZ} B. {x∣x=3k-1,kÎZ} C. {x∣x=3k-2,kÎZ} D. Æ 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集Z=x|x=3k,kÎZ U x|x=3k+1,kÎZ U x|x=3k+2,kÎZ ，U =Z ，所 以，ð U A U B=x|x=3k,kÎZ ． 故选：A． 2. 若复数 a+i1-ai=2,aÎR，则a =（ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为 a+i1-ai=a-a2i+i+a =2a+  1-a2 i=2， ì2a=2 所以í ，解得：a =1． î1-a2 =0 故选：C. 3. 执行下面的程序框遇，输出的B=（ ） 第1页 | 共24页A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出． 【详解】当n=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A=1+2=3，B=3+2=5，n=1+1=2； 当n=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8，B=8+5=13，n=2+1=3； 当n=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21，B=21+13=34，n=3+1=4； 当n=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34． 故选：B. 4. 向量 a r = b r =1, c r = 2 ，且a r +b r +c r =0 r ，则cosáa r -c r ,b r -c r ñ =（ ） 1 2 2 4 A. - B. - C. D. 5 5 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形,根据几何意义求解. r 【详解】因为a r +b r +c r =0 r ,所以a r + b = - c r , 即a r2 +b r 2 +2a r ×b r =c r2,即1+1+2a r ×b r =2,所以a r ×b r =0. 如图,设O uu A ur =ar,O uu B ur =b r ,O uu C ur =cr, 第2页 | 共24页由题知,OA=OB=1,OC = 2, OAB是等腰直角三角形, V 2 2 AB边上的高OD= ,AD= , 2 2 2 3 2 所以CD=CO+OD= 2+ = , 2 2 AD 1 3 tanÐACD= = ,cosÐACD= , CD 3 10 r cosáa r -c r ,b -c r ñ =cosÐACB=cos2ÐACD=2cos2ÐACD-1 2 æ 3 ö 4 =2´ ç ÷ -1= . è 10 ø 5 故选:D. 5. 已知正项等比数列 a  中，a =1,S 为 a  前n项和，S =5S -4，则S =（ ） n 1 n n 5 3 4 A 7 B. 9 C. 15 D. 30 . 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于 q 的方程,计算出 q ,即可求出S . 4 【详解】由题知1+q+q2 +q3+q4 =5  1+q+q2 -4, 即q3+q4 =4q+4q2,即q3+q2 -4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0. 由题知q>0,所以q= 2. 所以S =1+2+4+8=15. 4 故选:C. 6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球 第3页 | 共24页俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件 概率的知识求解. 【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40， 记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B， 50 5 40 4 则P(A)= = ,P(AB)= = ， 70 7 70 7 4 P(AB) 7 所以P(B∣A)= = =0.8. P(A) 5 7 故选:A. 7. “sin2a+sin2b=1”是“sina+cosb=0”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. π 【详解】当sin2a+sin2b=1时，例如a= ,b=0但sina+cosb¹0， 2 即sin2a+sin2b=1推不出sina+cosb=0； 当sina+cosb=0时，sin2a+sin2b=(-cosb)2 +sin2b=1， 即sina+cosb=0能推出sin2a+sin2b=1. 综上可知，sin2a+sin2b=1是sina+cosb=0成立的必要不充分条件. 故选：B x2 y2 8. 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，其中一条渐近线与圆(x-2)2 +(y-3)2 =1交于 A， a2 b2 B两点，则| AB|=（ ） 第4页 | 共24页1 5 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. c2 a2 +b2 b2 【详解】由e= 5，则 = =1+ =5， a2 a2 a2 b 解得 =2， a 所以双曲线的一条渐近线不妨取y =2x， |2´2-3| 5 则圆心(2,3)到渐近线的距离d = = ， 22 +1 5 1 4 5 所以弦长| AB|=2 r2 -d2 =2 1- = . 5 5 故选：D 9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连 续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e， 假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A2 =12 4 种方法， 同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5´12=60种. 故选：B. æ πö π 1 1 10. 已知 f x 为函数 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数，则 y = f x 与y = x- 的交点个 è 6ø 6 2 2 数为（ ） 第5页 | 共24页A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 1 1 【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x=-sin2x，再作出 f x 与 y = x- 的部分大致图像， 2 2 1 1 考虑特殊点处 f x 与y = x- 的大小关系，从而精确图像，由此得解. 2 2 æ πö π 【详解】因为 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数为 è 6ø 6 é æ πö πù æ πö y =cos ê 2 ç x+ ÷ + ú =cos ç 2x+ ÷ =-sin2x，所以 f x=-sin2x， ë è 6ø 6û è 2ø 1 1 æ 1ö 而y = x- 显然过ç 0,- ÷与 1,0 两点， 2 2 è 2ø 1 1 作出 f x 与y = x- 的部分大致图像如下， 2 2 3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1 考虑2x=- ,2x= ,2x= ，即x=- ,x= ,x= 处 f x 与y = x- 的大小关系， 2 2 2 4 4 4 2 2 3π æ 3πö æ 3πö 1 æ 3πö 1 3π+4 当x=- 时， f ç - ÷ =-sin ç - ÷ =-1，y = ´ ç - ÷ - =- <-1； 4 è 4 ø è 2 ø 2 è 4 ø 2 8 3π æ3πö 3π 1 3π 1 3π-4 当x = 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = <1； 4 è 4 ø 2 2 4 2 8 7π æ7πö 7π 1 7π 1 7π-4 当x= 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = >1； 4 è 4 ø 2 2 4 2 8 1 1 所以由图可知， f x 与y = x- 的交点个数为3. 2 2 故选：C. 11. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC = PD=3,ÐPCA=45°，则 PBC的面 V 积为（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 5 2 第6页 | 共24页【答案】C 【解析】 【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 PDO@ PCO， PDB@ PCA，从而得到 V V V V PA= PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA= 17 ，从而求得PB= 17，由此在 V PBC中利用余弦 定理与三角形面积公式即可得解； 1 uuur uuur 法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA= 17 ，cosÐPCB= ，从而求得PA×PC =-3，再利用空 3 间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,ÐBPD的方程组，从而求得PB= 17，由此在 V PBC中利用 余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一： 连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图， 因为底面ABCD为正方形，AB =4，所以AC = BD =4 2，则DO =CO =2 2 ， 又PC =PD=3，PO=OP，所以 PDO@ PCO，则ÐPDO=ÐPCO， V V 又PC =PD=3，AC = BD =4 2，所以 V PDB@ V PCA，则PA= PB， 在△PAC中，PC =3,AC =4 2,ÐPCA=45°， 2 则由余弦定理可得PA2 = AC2 +PC2 -2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17， 2 故PA= 17 ，则PB= 17， 故在 PBC中，PC =3,PB= 17,BC =4， V PC2 +BC2 -PB2 9+16-17 1 所以cosÐPCB= = = ， 2PC×BC 2´3´4 3 2 2 又0<ÐPCB<π，所以sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = ， 3 第7页 | 共24页1 1 2 2 所以 PBC的面积为S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2. V 2 2 3 法二： 连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图， 因为底面ABCD为正方形，AB =4，所以AC = BD =4 2， 在△PAC中，PC =3,ÐPCA=45°， 2 则由余弦定理可得PA2 = AC2 +PC2 -2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17，故 2 PA= 17 ， PA2 +PC2 -AC2 17+9-32 17 所以cosÐAPC = = =- ，则 2PA×PC 2´ 17´3 17 uuur uuur uuur uuur æ 17 ö PA×PC = PA PC cosÐAPC = 17´3´ç- ÷=-3， ç ÷ 17 è ø 不妨记PB=m,ÐBPD=q， uuur 1uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur2 因为PO= PA+PC = PB+PD ，所以 PA+PC = PB+PD ， 2 2 即 u P u A ur2 + u P u C ur2 +2 u P u A ur × u P u C ur = u P u B ur2 + u P u D ur2 +2 u P u B ur × u P u D ur ， 则17+9+2´-3=m2 +9+2´3´mcosq，整理得m2 +6mcosq-11=0①， 又在△PBD中，BD2 = PB2 +PD2 -2PB×PDcosÐBPD，即32=m2 +9-6mcosq，则 m2 -6mcosq-23=0②， 两式相加得2m2 -34=0，故PB=m= 17 ， 故在 PBC中，PC =3,PB= 17,BC =4， V 第8页 | 共24页PC2 +BC2 -PB2 9+16-17 1 所以cosÐPCB= = = ， 2PC×BC 2´3´4 3 2 2 又0<ÐPCB<π，所以sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = ， 3 1 1 2 2 所以 PBC的面积为S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2. V 2 2 3 故选：C. x2 y2 3 12. 己知椭圆 + =1，F,F 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosÐFPF = ，则|PO|= 9 6 1 2 1 2 5 （ ） 2 30 3 35 A. B. C. D. 5 2 5 2 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PFF 的面积，即可得到点P的坐标，从而得出 OP 的 1 2 值； 2 2 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF PF , PF + PF ，再结合中线的向量公式以及数量积 1 2 1 2 即可求出； 2 2 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF + PF ，即可根据中线定理求出． 1 2 π ÐFPF 【详解】方法一：设ÐFPF =2q,00，解得：b=1+ 3， 由S =S +S 可得， VABC VABD VACD 第12页 | 共24页1 1 1 ´2´b´sin60o = ´2´AD´sin30o + ´AD´b´sin30o， 2 2 2   2 3 1+ 3 3b AD= = =2 解得： ． b 3+ 3 1+ 2 故答案为：2． 方法二：由余弦定理可得，22 +b2 -2´2´b´cos60o =6，因为b>0，解得：b=1+ 3， 6 b 2 6+ 2 2 由正弦定理可得， = = ，解得：sinB= ，sinC = ， sin60o sinB sinC 4 2 因为1+ 3 > 6 > 2，所以C =45o，B=180o -60o -45o =75o， 又ÐBAD=30o，所以ÐADB=75o，即AD= AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义 结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 三、解答题 17. 已知数列 a  中，a =1，设S 为 a  前n项和，2S =na ． n 2 n n n n （1）求 a  的通项公式； n ìa +1ü （2）求数列í n ý的前n项和T ． î 2n þ n 【答案】（1）a =n-1 n n æ1ö （2）T =2-2+n ç ÷ n è2ø 【解析】 ìS ,n=1 【分析】（1）根据a =í 1 即可求出； n S -S ,n³2 î n n-1 （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为2S =na ， n n 当n=1时，2a =a ，即a =0； 1 1 1 第13页 | 共24页当n=3时，21+a =3a ，即a =2， 3 3 3 当n³2时，2S =n-1a ，所以2S -S =na -n-1a =2a ， n-1 n-1 n n-1 n n-1 n a a a 化简得： n-2a =n-1a ，当n³3时， n = n-1 = = 3 =1，即a =n-1， n n-1 n-1 n-2 L 2 n 当n=1,2,3时都满足上式，所以a =n-1  nÎN* ． n 【小问2详解】 a +1 n æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n 因为 n = ，所以T =1´ +2´ +3´ + +n´ ， 2n 2n n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø 2 3 n n+1 1 æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö T =1´ +2´ + +(n-1)´ +n´ ， 2 n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø 两式相减得， 1 é æ1ö nù ´ê1- ç ÷ ú 1 æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n æ1ö n+1 2 êë è2ø úû æ1ö n+1 ， T = + + + + -n´ = -n´ 2 n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø 1 è ç 2 ÷ ø 1- 2 æ nöæ1ö n æ1ö n =1- ç 1+ ÷ç ÷ ，即T =2-2+n ç ÷ ，nÎN*． è 2øè2ø n è2ø 18. 在三棱柱ABC- ABC 中，AA =2，AC ^底面ABC，ÐACB=90°，A到平面BCC B 的距离为 1 1 1 1 1 1 1 1 1． （1）求证：AC = AC； 1 （2）若直线AA 与BB 距离为2，求AB 与平面BCC B 所成角的正弦值． 1 1 1 1 1 【答案】（1）证明见解析 13 （2） 13 第14页 | 共24页【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得AO^平面BCC B ，再由勾股定理求出O 1 1 1 为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出AB 的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 1 【小问1详解】 如图， Q A 1 C ^底面ABC，BCÌ面ABC， \AC ^ BC ，又BC ^ AC，AC,AC Ì平面ACC A ，ACÇ AC =C, 1 1 1 1 1 \BC ^平面ACC A ，又BCÌ平面BCC B ， 1 1 1 1 \平面ACC A ^平面BCC B ， 1 1 1 1 过A 1 作A 1 O^CC 1 交CC 1 于O，又平面ACC 1 A 1I平面BCC 1 B 1 =CC 1 ，A 1 OÌ平面ACC 1 A 1 ， \AO^平面BCC B 1 1 1 Q A 1 到平面BCC 1 B 1 的距离为1，\A 1 O=1， 在Rt△ACC 中，AC ^ AC ,CC = AA =2， 1 1 1 1 1 1 1 设CO= x，则CO=2-x， 1 Q △A 1 OC,△A 1 OC 1 ,△A 1 CC 1 为直角三角形，且CC 1 =2， CO2 + AO2 = AC2，AO2 +OC2 =C A2，AC2 + AC2 =CC2， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \1+x2 +1+(2-x)2 =4，解得x=1， \AC = AC = AC = 2， 1 1 1 第15页 | 共24页\AC = AC 1 【小问2详解】 Q AC = A 1 C 1 ,BC ^ A 1 C,BC ^ AC ， \Rt△ACB≌Rt△ACB 1 \BA= BA ， 1 过B作BD^ AA ，交AA 于D，则D为AA 中点， 1 1 1 由直线AA 与BB 距离为2，所以BD=2 1 1 Q A 1 D=1，BD=2，\A 1 B= AB= 5， 在Rt△ABC ，\BC = AB2 - AC2 = 3， 延长AC，使AC =CM ，连接C M ， 1 由CM∥AC ,CM = AC 知四边形ACMC 为平行四边形， 1 1 1 1 1 1 \C M∥AC，\C M ^平面ABC，又AM Ì平面ABC， 1 1 1 \C M ^ AM 1 则在Rt△AC M 中，AM =2AC,C M = AC，\AC = (2AC)2 + AC2 ， 1 1 1 1 1 在Rt△ABC 中，AC = (2AC)2 + AC2 ，BC = BC = 3， 1 1 1 1 1 1 \AB = (2 2)2 +( 2)2 +( 3)2 = 13, 1 又A到平面BCC B 距离也为1， 1 1 1 13 所以AB 与平面BCC B 所成角的正弦值为 = . 1 1 1 13 13 19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）． （1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 第16页 | 共24页实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 （i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表： 3.841， 20´20´20´20 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 20. 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2 =2px(p>0)交于A,B两点，且| AB|=4 15． （1）求 p； uuur uuur （2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MF×NF =0，求 V MNF 面积的最小值． 【答案】（1） p =2 （2）12-8 2 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 p； （2）设直线MN ：x=my+n，M x 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ,利用M uuu F r × u N u F ur =0，找到m,n的关系，以及 V MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【小问1详解】 设Ax ,y ,Bx ,y  ， A A B B 第18页 | 共24页ìx-2y+1=0 由í 可得，y2 -4py+2p=0，所以y + y =4p,y y =2p， îy2 =2px A B A B 所以 AB = x -x 2 +y - y 2 = 5 y - y = 5´ y + y 2 -4y y =4 15， A B A B A B A B A B 即2p2 - p-6=0，因为 p >0，解得： p =2． 【小问2详解】 因为F1,0 ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x=my+n，M x ,y ,Nx ,y  ， 1 1 2 2 ìy2 =4x 由í 可得，y2 -4my-4n=0，所以，y + y =4m,y y =-4n， îx=my+n 1 2 1 2 D=16m2 +16n>0Þm2 +n>0， 因为M uuu F r × u N u F ur =0，所以 x -1x -1+ y y =0， 1 2 1 2 即 my +n-1my +n-1+ y y =0， 1 2 1 2 亦即  m2 +1  y y +mn-1y + y +n-12 =0， 1 2 1 2 将y + y =4m,y y =-4n代入得， 1 2 1 2 4m2 =n2 -6n+1，4  m2 +n  =n-12 >0， 所以n¹1，且n2 -6n+1³0，解得n³3+2 2或n£3-2 2 ． n-1 设点F 到直线MN 的距离为d，所以d = ， 1+m2 MN = x -x 2 +y - y 2 = 1+m2 y - y = 1+m2 16m2 +16n 1 2 1 2 1 2 =2 1+m2 4  n2 -6n+1  +16n =2 1+m2 n-1， 1 1 n-1 所以 MNF 的面积S = ´ MN ´d = ´ ´2 1+m2 n-1 =n-12 ， V 2 2 1+m2 而n³3+2 2或n£3-2 2 ，所以，  2 当n=3-2 2时， V MNF 的面积S = 2-2 2 =12-8 2． min 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关 系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 第19页 | 共24页sinx æ πö 21. 已知 f(x)=ax- ,xÎ ç 0, ÷ cos3 x è 2ø （1）若a= 8，讨论 f(x)的单调性； （2）若 f(x)0. è2 ø è 4ø æ πö æπ πö 所以 f(x)在ç 0, ÷上单调递增,在ç , ÷上单调递减 è 4ø è4 2ø 【小问2详解】 设g(x)= f(x)-sin2x at2 +2t-3 2 3 g¢(x)= f¢(x)-2cos2x= g(t)-2  2cos2 x-1  = -2(2t-1)=a+2-4t+ - 设 t2 t t2 第20页 | 共24页2 3 j(t)=a+2-4t+ - t t2 2 6 -4t3-2t+6 2(t-1)(2t2 +2t+3) j¢(t)=-4- + = =- >0 t2 t3 t3 t3 所以j(t)0. æ pö 所以$t Î(0,1),使得jt =0,即$x Î ç 0, ÷,使得g¢x =0. 0 0 0 è 2ø 0 当tÎt ,1,j(t)>0,即当xÎ0,x ,g¢(x)>0,g(x)单调递增. 0 0 所以当xÎ0,x ,g(x)> g(0)=0,不合题意. 0 综上,a的取值范围为(-¥,3]. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t =cosx在定义域内是减函数,若t =cosx ,当 0 0 tÎt ,1,j(t)>0,对应当xÎ0,x ,g¢(x)>0. 0 0 四、选做题 ìx=2+tcosa 22. 已知P(2,1)，直线l:í （t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两 îy =1+tsina 点，|PA|×|PB|=4． （1）求a的值； （2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 3π 【答案】（1） 4 第21页 | 共24页（2）rcosa+rsina-3=0 【解析】 【分析】（1）根据t的几何意义即可解出； （2）求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出． 【小问1详解】 π 因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以 0． （1）求不等式 f x< x的解集； （2）若曲线y = f x 与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a． æa ö 【答案】（1）ç ,3a ÷ è3 ø 2 6 （2） 3 【解析】 【分析】（1）分x£a和x>a讨论即可; （2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可. 【小问1详解】 若x£a,则 f(x)=2a-2x-a< x, 第22页 | 共24页a a 即3x>a,解得x> ,即 < x£a, 3 3 若x>a,则 f(x)=2x-2a-a< x, 解得x<3a,即a < x <3a , æa ö 综上,不等式的解集为ç ,3a ÷. è3 ø 【小问2详解】 ì-2x+a,x£a f(x)=í . î2x-3a,x>a 画出 f(x)的草图,则 f(x)与坐标轴围成△ADO与 ABC V æa ö æ3a ö V ABC的高为a,D(0,a),A ç ,0 ÷ ,B ç ,0 ÷,所以| AB|=a è2 ø è 2 ø 1 1 3 2 6 所以S +S = OA ×a+ AB ×a = a2 =2,解得a= VOAD VABC 2 2 4 3 第23页 | 共24页第24页 | 共24页