文档内容
几何-曲线型几何-圆-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆 B 1.了解有关圆的概念和性质 少考
2.学习圆的周长和面积公式的推导
3.运用圆的性质以及周长和面积公
式进行计算
知识提要
圆
概念
圆是由一条曲线围成的平面图形．
圆中心的一点叫圆心，用 O 表示．
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示．
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示．
直径所在的直线是圆的对称轴．
性质
圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；
在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍．d=2r；圆有无数条对称轴；
圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；
所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
公式
圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
精选例题
圆
1. 在图中所示的 10×12 的网格图中，猴子 KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中
最大的圆的半径是 4，图中阴影部分的面积是 ．（圆周率 π 取 3）
【答案】 21.5
【分析】 根据半径为 4 可观察得出小正方形的边长为 1，
阴影部分的面积=大圆面积-空白面积.
大圆的面积：
S=π×42=48,
空白面积：
3
S=5×2+ ×π×12×2+π×22=10+4.5+12=26.5,
4
阴影部分面积：
48-26.5=21.5.2. 如图所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，
7，则图中阴影部分的面积是 平方米．（π 取 3）
【答案】 0.84
【分析】 阴影面积为：
π×12+π×(32-22 )+π×(52-42 )+π×(72-62
)
π×1+π×(3+2)+π×(5+4)+π×(7+6)¿=¿28π¿=¿84(平方分米)¿=¿0.84(平方米).¿
¿
3. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
1，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．
【答案】 π
【分析】 若大圆里有若干个小圆，且大圆的直径等于这些小圆的直径和，则大圆的周
长等于所有小圆的周长和，则该图形周长等于一个大圆的周长，πd=π．
4. 如图所示，已知最大的圆的直径是 100cm，则最小的圆的直径是 cm．【答案】 50
【分析】
已知最大的圆的直径是 100cm，而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线所以大正方形的
面积为
100×100÷2=5000(cm2
)
图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半．所以小正方
形的面积为
5000÷2=2500(cm2
)
所以小正方形的为 50cm 而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是
50cm．
5. 在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆
的直径分别为 24.2m，19.3m，4.9m，这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的
鞋匠刀形 (Arbelos)，即下图中阴影部分所示的图形，那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周
长为 （圆周率用 π 表示）．【答案】 24.2π
【分析】
三个半圆的周长和
(19.3×π+4.9×π+24.2×π)÷2=24.2π
6. 一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可
以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为 平方米．（
π 取 3.14）【答案】 50.465
3
【分析】 长方形的对角线长为 5，在羊圈外，羊能够到达的图形包括 个半径为 4
4
1
的圆以及 个半径为 1 的圆，所以羊能够达到的总面积为
4
3 1
3×4+ ×π×42+ ×π×12≈50.465(平方米)．
4 4
7. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分 Ⅰ 与Ⅱ的面积之和为
（圆周率用 π 表示）．
【答案】 π-2
1
【分析】 Ⅰ和Ⅱ部分面积为 大圆-直角边为2的等腰直角三角形，如图所示：
4
Ⅰ和Ⅱ部分面积和为
1 1
π×22- ×2×2=π-2.
4 2
8. 如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边
BC 的中点，那么阴影部分的面积是 ．（π 取 3.14）【答案】 51.75
【分析】
102+
1
×π×
(10) 2
-
[1
×5×15+
1
×(15+5)×5
]
2 2 2 2
100+12.5π-87.5¿=¿51.75.¿
¿
9. 如右图所示，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的
面积是 平方厘米．（取 π=3.14）
【答案】 17.875
【分析】 详解：如图2所示，阴影部分面积等于梯形 ABCD 的面积 减去一个四分
1
之一圆的面积，即 (5+10)×5÷2- ×52π=17.875．
410. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分的面积为 （圆周率用 π
表示）．
【答案】 4π-8
【分析】 可以把中间的四个叶子形状的图形分成两半，刚好可以补到正方形外边的空
白处．所以大圆的面积减去内接正方形的面积，就是阴影部分的面积．
4×4
S =π×22- =4π-8
阴 2
11. 如图所示，大圆的直径是小圆的 5 倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧
组成．如果已知阴影部分的面积等于 4，那么图中空白部分的面积等于 ．
【答案】 21
【分析】 设小圆的半径为 r，则阴影部分的面积为：
1 1
[π(2r) 2-2πr2]+ [π(3r) 2-3πr2]=πr2+3πr2=4πr2,
2 2
所以
πr2=1,
故空白面积为：
π(5r) 2-4=25πr2-4=21.12. 如图，斜边为 6 的等腰直角三角形 ABC 放在半径为 5 的圆内，现在保持 B、C 和圆
接触，让三角形 ABC 沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形 ABC 扫过的图形面积是
．（π 取 3.14）
【答案】 75.36
【分析】 连接 OA 并延长，交 BC 于 E，
得到直角三角形 OBE，BE=3，根据勾股定理可知，OE=5，则
OA=4-3=1.
所以扫过阴影面积为：
π52-π12=24π=75.36.
13. 如下图所示的四个正方形的边长都是 1，图中的阴影部分的面积依次用 S ,S ,S ,S 表
1 2 3 4
示，则 S ,S ,S ,S 从小到大排列依次是 ．
1 2 3 4【答案】 S 1) 倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的
滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【答案】 n-1 或 n+1．
【分析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为 2π×(n-1)．
2π×(n-1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n-1（圈）．
2π⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为 2π×(n+1)．
2π×(n+1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n+1（圈）．
2π
32. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的
面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 20
【分析】 阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成
一个顶角为 60∘ 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分
的面积等于两个圆的面积，为 20．
33. 如图所示，小半圆的直径在大半圆直径上，且线段 EF 平行于大圆直径与小圆相切，若
EF=5 厘米，求大半圆比小半圆面积多多少？（注：π 取 3.14）
【答案】 9.8125 平方厘米．【分析】
不妨设大半圆的半径是 R，小半圆的半径是 r，我们将小半圆的圆心与大半圆的圆心重叠，
那么面积差就是圆环的一半，根据
1
S= π(R2-r2 ),
2
三角形 AOF 是直角三角形，根据勾股定理：
R2-r2=
(5) 2
=2.52,
2
所以面积差是 S=3.14×2.52÷2=9.8125(平方厘米)．
34. 在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，
以 AD 为半径的圆的一部分．求阴影部分的面积．
【答案】 1.14 平方厘米π 1
【分析】 如右图所示，S = ×AD2- AD2 ，
1 4 2
S +S =
1
π×
(AC) 2
-
1
AD2=
1
π×AC2-
1
AD2 ．
2 3 2 2 2 8 2
因为 AC2=2AD2=4，
所以阴影部分的面积为：
π 1 1 1 1 1
×AD2- AD2+ π×AC2- AD2= π×AC2- AC2=π-2=1.14(平方厘米)．
4 2 8 2 4 2
另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面
π 1
积，所以阴影部分的面积为
×AD2+ π×AC2-AD2=1.14(平方厘米)．
4 8
35. 把四个直径为 8cm 的圆柱形饮料瓶捆扎在一起，截图如下图，那么围绕一周的绳子长度
是多少？
【答案】 57.12cm
【分析】 为绕一周的长度，分为四段弧和四段直线段．
四段弧形，考虑实际情况，以下图为例：
曲直交换的位置，从而得知每段对应圆周的四分之一，总共正好一个周长，即 π×d，
得 25.12cm．
四段直的，每段长为直径，所以为 8×4=32cm．总计围绕一周的长度为 57.12cm．
36. 图中有 7 个相同的面积为 10 的圆，那么阴影部分面积是多少．【答案】 20
【分析】 如图，三个小箭头形状能拼成一个半圆，所以原图面积为 2 个圆，为 20．
37. 如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘 A 直径为 10 厘米，盘 B 直径
为 40 厘米，盘 C 直径为 20 厘米．问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？
（π 取 3.14．）【答案】 31.4
1 1
【分析】 A 顺时针转一周时，C 顺时针转 周，同轴的 B 也顺时针转 周，从
2 2
而绳索被拉动的距离等于 B 的半个圆周长即 π×20≈62.8，这时重物应该上升去
1
×62.8=31.4．所以重物上升 31.4 厘米．
2
38. 如下图所示，图中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：
涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？5
【答案】
11
【分析】 不妨设 1 是最小的半圆的半径．于是其余两种半圆的半径便是 3 和 4．
分别用 S 及 S 表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积，由图可知
1 2
S =π ( 12+ 1 ×12+ 1 ×(42-32 ) ) =5π,
1 2 2
S =π×42-S =11π.
2 1
所以
S :S =5:11.
1 2
39. 如图，在一块面积为 12.56 平方厘米的纸板中，裁出了 2 个同样大小的圆纸板．问：余
下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 6.28 平方厘米
【分析】 大圆的面积是 12.56 平方厘米，可求出大圆的半径是 2 厘米，那么小圆
的半径是 1 厘米，面积是 3.14 平方厘米．阴影部分的面积是 12.56-3.14-3.14=6.28 平
方厘米．
40. 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的
面积．【答案】 2.5
【分析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图
形．
1
由右图可见，阴影部分面积等于 大圆面积减去一个小圆面积，再加上 120∘ 的小扇形面积
6
1 1 2
（即 小圆面积），所以相当于 大圆面积减去 小圆面积．而大圆的半径为小圆的 3
3 6 3
倍，所以其面积为小圆的 32=9 倍，那么阴影部分面积为
(1
×9-
2)
×π×12=
5
π=2.5．
6 3 6
41. 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个
圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【答案】 两图中阴影部分的面积相等．
【分析】 设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有
a a a
个圆，从而正方形内部共有 × 个圆，于是这些圆的总面积为：
2r 2r 2r
a a 1
S =πr2 ⋅ ⋅ = πa2 ．
阴影 2r 2r 4
可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边
长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分
的面积就是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
42. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知大圆半径是 20 厘米，那么阴影面积是多少？（π 取
3.14）
【答案】 456 平方厘米
【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正
方形，那么阴影面积是大圆减正方形面积．大圆半径为 20 厘米，则正方形面积是
1
S= ×402=800(平方厘米),
2
阴影面积是
S=202π-800=456(平方厘米).
43. 有 10 个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．小圆半径为 1
厘米，求所有阴影面积的和（π=3.14）
【答案】 78.5 平方厘米．【分析】 将所有阴影放在同一个扇形内，如下图，所以
1
S = ×3.14×102=78.5(平方厘米)．
阴影 4
44. 如图，在一块面积为 28.26 平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：
余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 6.28．
【分析】 28.26×3.14=32，大圆半径是 3 厘米．小圆半径是 1 厘米，所以边角料
面积为 28.26-7×12×3.14=6.28 平方厘米．
45. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【答案】 8
【分析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积∶大圆面积
=πr2:πR2=1:9，
1
小圆面积 =36× =4，7 个小圆总面积 =4×7=28，
9
边角料面积 =36-28=8(平方厘米)．
46. 下图中的大正方形边长为 4 厘米，每个圆弧皆是半径为 1 厘米的半圆或四分之一圆，请
( 22)
问阴影部分面积为多少平方厘米？ π=
7【答案】 10
【分析】 将图形分割如下图所示，阴影部分可拼成 10 个小正方形．所以阴影部分
面积为 1×1×10=10(平方厘米)．
1 1
47. 有一辆杂技自行车，前轮的半径是 4 分米，后轮的半径是 3 分米，那么当后轮转的
11 3
圈数比前轮多 10 圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值 3.14．）
【答案】 113.04 米．
1 1
【分析】 由于前后轮的半径比是 4 :3 =27:22，所以前后轮的周长比也是
11 3
27:22，那么当转过相同路程时，前后轮转过的圈数比是 22:27，所以当后轮转的圈数与前
10
轮多转 10 圈时，车的前轮转了 ×22=44 圈，后轮转了 54 圈，前进了
27-22
1 1
2×3.14×4 ×44× =113.04 米．
11 10
48. 如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有
离开也没有滑动）．在圆周上设一个定点 P，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止
滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的．那么，圆的半径是多
少厘米？（设圆周率为 3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全
部写出）【答案】 4.47 或 2.31．
【分析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的，所以这个圆的
运动情况有两种可能．一种是圆滚动了不足一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆
滚动了 270∘．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一
圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了
270∘+360∘=630∘.
因为两条线段共长 30 厘米，所以 270∘ 的弧长或者 630∘ 的弧长再加上两个半径是 30 厘
米．
270
2πr× +2r=30(厘米),
360
或者
630
2πr× +2r=30(厘米),
360
所以圆的半径是 4.47 厘米或 2.31 厘米．
49. 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积与灰
色部分面积什么关系．【答案】 相等
【分析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积
1
的 ，则 4 个小圆的面积之和等于大圆的面积．而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆
4
盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．
50. 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 O 、O 、O 为圆心，求
1 2 3
阴影部分的面积．（π=3）
【答案】 150 平方厘米
【分析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面
积，等于大正方形的面积减去一个 90∘ 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
1
S -S -[(S -S )÷4]=20×20- π×(20) 2-[(20×20-100π)÷4]=75(平方厘米),
正方形 扇形 正方形 圆 4
所以阴影部分的面积为 75×2=150(平方厘米)．
51. 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到
起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？【答案】 见解析．
【分析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等
边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了
180∘-60∘-60∘=60∘.
而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120∘．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的
圆旋转了
360∘-60∘-60∘-90∘=150∘.
而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300∘．
长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一
圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边．
120∘×8+300∘×4=2160∘,
所以这枚硬币转动了 2160∘，即自身转动了 6 圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2π 即滚动了一圈．
52. 如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小
铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【答案】 3
【分析】 如图，同样考虑小圆的一条半径 OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚
动了大圆的半周时，半径 OA 滚动了 540∘，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一
周时，小圆自身转了 3 圈．也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这
个圆的周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一
圈，所以本题中小圆自身转了 3 圈．
53. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个
环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积
是 77.1 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π=3.14）
【答案】 4.1 平方厘米．
【分析】 ⑴每个圆环的面积为：
π×42-π×32=7π=21.98(平方厘米)
⑵五个圆环的面积和为：
21.98×5=109.9(平方厘米)
⑶八个阴影的面积为：109.9-77.1=32.8(平方厘米)
⑷每个阴影的面积为：
32.8÷8=4.1(平方厘米)
54. 下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。
【答案】 257 平方厘米．
【分析】 直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方
形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用割补法，可以得到下图。其中的阴影部分的面积与
原图相同，等于一个正方形与 4 个半圆（即 2 个圆）的面积之和，为
(2r) 2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257(厘米2 ).
55. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲（上方阴影）的面积
比阴影乙（下方阴影）的面积大 7，求 BC 长．（π 取 3.14）【答案】 15
【分析】 阴影甲和阴影乙的面积差等于半圆的面积减去直角三角形ABC的面积，半
1 (20) 2
圆的面积为 ×π× =50π≈157，
2 2
S 2×150
所以 S =157-7=150，BC= △ABC = =15．
△ABC AB 20
56. 如图，是一个边长是 12 厘米的正方形，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π≈3.14）
【答案】 41.04
【分析】 根据容斥原理，阴影面积是
1
×
(12) 2
×3.14+
1
×122×3.14-
1
×12×12=41.04(平方厘米).
2 2 8 2
57. 如图（1）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让 A 点不动，
把整个半圆逆时针转 60∘，此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14）【答案】 4.71 平方厘米
【分析】 图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个
半圆面积与一个圆心角为 60∘ 的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为 60∘ 的扇形面积，
1
即
×π×32=4.71．
6
58. 如下图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中
的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（π 取 3）
【答案】 19
【分析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看出，与原图相比，
正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补
1
在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图
4
形的面积为 42+π×12=19（平方厘米）．
在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的
图形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关
键。
59. 如图，直角三角形的三条边长度为 6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积
为多少？【答案】 24-4.5π
【分析】 S =S -S ，
阴影 直角三角形 半圆
6×r 10×r
设半圆半径为 r，直角三角形面积用 r 表示为： + =8r
2 2
1
又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为 ×6×8=24，
2
所以 8r=24，r=3
1
所以 S =24- ×9π=24-4.5π
阴影 2
60. 如图所示，正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，E、F 分别为所在半圆弧的中点．求
阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 73.12 平方厘米．
【分析】 从图中可以看出，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去
△AED 的面积，即
8×8+π×42÷2-8×12÷2=41.12而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即
8×8+π×42-41.12=73.12(平方厘米).
61. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚
到位置 ②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14，答案保留两位小数．）
【答案】 228.07
【分析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示．
半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4π 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面
积之和是
(18+16+14)×4=192(平方厘米);
60∘ 的扇形 BGH 的面积为
1 8π
×42×π= ;
6 3
PIMNO 部分的面积为 (12+π) 平方厘米．
所以总面积为
8π 23
4π+192+ +12+π=204+ π≈228.07(平方厘米).
3 3
62. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面
积大 7，求 BC 长．（π 取 3.14）【答案】 15
【分析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处
理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1
个半圆和 1 个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．
因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积比直角三角形面积大 7．
半圆面积为：
1
×π×102=157,
2
则直角三角形的面积为
157-7=150,
可得
BC=2×150÷20=15.
63. 如图所示，两个边长均为 6 厘米的正方形，左图中的阴影部分是 4 个圆，右图中的阴影
部分是 9 个圆．哪个图中的阴影部分面积大？
【答案】 面积相等．【分析】 设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有
a a a
个圆，从而正方形内部共有 × 个圆，于是这些圆的总面积为：
2r 2r 2r
a a 1
S =πr2 ⋅ ⋅ = πa2 ．可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说
阴影 2r 2r 4
阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正
方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的．由于上图中两个正方形的边长相同，所以
两图中阴影部分的面积相等．
64. 如图，正方形的面积是 8，阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 4.56
【分析】 四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积，四个半圆可以
拼成两个相同的圆，而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是 6.28，
那么阴影部分的面积就是 6.28×2-8=4.56．
65. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线．请证明：一定存在 3 个点，
π
以它 们为顶点的三角形面积小于 ．
6
【答案】 略
π
【分析】 证明：将半径为 1 的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 ，根
6
据抽屉原理，至少有三个点在同—部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即
π
．
666. 已知三角形 ABC 是直角三角形，AC=4 厘米，BC=2 厘米，求阴影部分的面积．（π
取 3.14）
【答案】 3.85 平方厘米．
【分析】 设两个半圆的交点为 D，接 CD，
S =S -S +S -S
阴影 大半圆 △ADC 小半圆 △BDC
¿ ¿
所以，
1 (4) 2 1 (2) 2 1
S阴影 = π× + π× - ×2×4
2 2 2 2 2
¿ =3.85(平方厘米).
67. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么
阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 18.24
【分析】 如下图，我们将原题中阴影部分分成 ①、②、③、④ 4 个部分，并且这
4 个部分的面积相等．有 ②、③ 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．
二分之一圆的面积为
1
×4×4×π≈8×3.14=25.12.
2
其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为
1
×8×4=16,
2
所以 ②、③ 部分的面积和为
25.12-16=9.12(平方厘米).
而 ①、②、③、④ 四部分的面积和为 ②、③ 部分的面积和的 2 倍，即为
9.12×2=18.24(平方厘米).
所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米．
68. 如图，求阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 2.28
【分析】 阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个
整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为 l，圆的直径为 d，则
l2
=4,
2
则l2=8,d2=8,
圆的面积为
πd2
S= =2π=6.28,
4
阴影的面积为
S =6.28-4=2.28.
阴
69. 如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆．RS 平行于 PQ．如果大半圆的半径是
1 米，那么阴影部分是多少平方米？（π 取 3.14）
【答案】 1.07
【分析】 如左下图所示，弓形 RS 的面积等于扇形 ORS 的面积与三角形 ORS 的
1 1 π 1
面积之差，为 ×π×12- ×1×1= - （平方米），
4 2 4 2
1 (RS) 2 1 OR2+OS2 1 12+12 π
半圆 ROS 的面积为 ×π× = π× = π× = （平方米），
2 2 2 4 2 4 4
π 1 π 1
所以阴影部分的面积为 - + = ×(π-1)=1.07（平方米）．
4 2 4 270. 如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、C 为某传动机械的一
部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：
（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？
（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？
【答案】 （1）顺时针转动；（2）3
【分析】 （1）当 A 顺时针转动时，带动逆时针转动，
当 B 逆时针转动时带动 C 顺时针转动．所以当 A 匀速顺时针转动时，C 顺时针转动．
（2）当 A 转动时可带动 B 转动，而 B 转动时可带动 C 转动，且 A，B，C 转动时，
所转过的长度相等，即当 A 转动一圈时，即 A 上的定点转了一圈，转过的长度为圆 A 的
周长，
L =2×π×15=30π(厘米),
A
此时，C 上的点也转过了 30π 厘米，所以当 A 转动一圈时，C 转动的圈数是：
30π
=3(圈).
2×π×5
所以当 A 转动一圈时，C 转动了 3 圈．
71. 下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少．【答案】 4.5
【分析】 如图可知 EF= 3，设大半圆半径为 R，小圆半径为 r，如右图 R=EH，
r=HG=EG，根据勾股定理得 R2=2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
S =S -S
阴影 小圆 柳叶
=S -2(S -S )
小圆 扇形EHF △EHF
=S -2S +2S
小圆 扇形EHF △EHF
=S -S +2S
小圆 大半圆 △EHF
=2S
△EHF
=EF×GH=3×3÷2=4.5
72. 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当
太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影（如下图）．那么，阴影部分的面积是多少平方米．【答案】 5
【分析】 等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如下图，图中阴影部分的面积与
原图阴影部分的面积相等．由 A 与 Aʹ，B 与 Bʹ 面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．
10÷2=5(平方米)．73. 图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
【答案】 1:1
【分析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲=120∘的扇形-三角形-小弓形;
阴影部分乙=三角形+小弓形;
由于 120∘ 扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：综上所述：
(1 1) 1
阴影部分甲的面积=圆的面积的 - =圆的面积的 .
3 6 6
所以甲、乙面积之比为 1:1．
74. 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂有
阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【答案】 5:11
【分析】 假设最小圆的半径为 r，则三种半圆曲线的半径分别为 4r，3r 和 r．
1 1 1
阴影部分的面积为： π(4r) 2- π(3r) 2+ πr2+πr2=5πr2 ，
2 2 2
空白部分的面积为：π(4r) 2-5πr2=11πr2，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:11．75. 在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒 5 米，已知拖拉机前轮直径 0.8 米，后轮直
径 1.25 米．设某一时刻两轮上与地面接触的点为 A 和 B，那么经过多少秒后，A 和 B
再次同时与地面接触？（圆周率取近似值 3）
【答案】 2 秒．
【分析】 前轮与后轮的周长比是 0.8:1.25=16:25，因此走同样的路程，前轮与后
轮转的圈数比是 25:16；从此时到 A 和 B 再次同时与地面接触，两轮都转了整数圈，所以
A 轮转了 25 圈，B 轮转了 16 圈，走的路程是 0.8×3×25=60 米，需要的时间是
60÷5=12 秒．
76. 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个
圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 8 平方厘米
【分析】 如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径
的两倍，等于 4 厘米，所以面积为 4×4÷2=8 平方厘米．77. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
78. 一枚半径为 1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚
过后回到原来的位置，那么与原 A 点重合的点是哪个．硬币自己转动几周，硬币圆心的运动
轨迹周长为多少．【答案】 6π
1
【分析】 先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆， ×(2×2π)×3=6π，
2
6π÷2π=3，即为 3 周，所以答案为 A 点，3 周，6π．
79. △ABC 为等腰直角三角形，D 为半圆中点，BC 为半圆直径．已知 AB=BC=10，那么
阴影部分面积为多少？（圆周率取 3.14）【答案】 32.125
【分析】 设 BC 中点为 O，连接 OD，则 OD=5，OB=5，
2 1 1 2
BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=5× =3 ，PO=OB-BP=5-3 =1 ，
3 3 3 3
1 1 1 2 1 2 1
S = ×AB×BP= ×10×3 =16 ，S = ×5×1 =4 ，
△ABP 2 2 3 3 △OPD 2 3 6
2 1 1 1 25
阴影部分的面积为 16 + ×π×52-4 =12 + π=32.125．
3 4 6 2 4
80. 如图中，正方形的边长是 5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆周
率取 3.14）【答案】 142.75cm2
【分析】 ( π×52× 3 +5×5÷2 ) ×2=142.75(cm2 )．
4
81. 如图，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线
段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？
【答案】 16
【分析】 方法一：根据题意，令空白部分的半圆的半径为 r，则可知：
(r+6) 2+(r+2) 2=4r2，解之得：r=10．
S =(2r) 2-πr2=400-100π；
中间阴影
[1 1 ]
S = (2+r)(6+r)- πr2 ×4=384-100π．
四角阴影 2 4
所以 S -S =(400-100π)-(384-100π)=16．
中间阴影 四角阴影方法二：四角上的阴影部分加上一个圆的面积等于 4 个直角三角形的面积，中间阴影
部分加上一个圆的面积等于中间正方形的面积，根据差不变原理，阴影部分的面积差等于正方
形面积与 4 个直角三角形的面积差，根据弦图可得，两者的差为 (6-2) 2=16．
82. 如图，这是一个卡通图案，图中的正方形边长是 4 厘米，各个小半圆的半径相同，则阴
影部分的面积是多少平方厘米（π 取 3.14）．
【答案】 22.28
【分析】 四个小半圆互相抵消，阴影部分等于正方形加半圆，故面积为：
1
42+ π22=22.28(cm2 ).
2
83. 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的长
度是多少厘米？（π 取 3）【答案】 45
【分析】 由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与6个 BC 弧长之和．
将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360∘，
所以 BC 弧所对的圆心角是 60∘，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长．
而线段 AB 等于塑料管的直径，
由此知绳长为：5×6+5π=45(厘米)．
84. 图中的长方形的长与宽的比为 8:3，求阴影部分的面积．
【答案】 244【分析】 如下图，设半圆的圆心为 O，连接 OC．
从图中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根据勾股定理可得 BC=12．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
1
为：π×202× -(16×2)×12=200π-384=244．
2
85. 请看下图，共有多少个圆圈？
【答案】 25
【分析】 此题中，各圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数．
共有个 25 圆圈．
86. 某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如
图）．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？【答案】 10.84cm2
【分析】 将古钱币分成 8 个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正
方形，中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
(4) 2 (4) 2 (4) 2
π - ×2+ ×2÷4×π=6π-8=10.84 (cm2 )．
2 2 2
87. 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘米，
半径为 10 厘米，求阴影部分的面积．1
【答案】 124 平方厘米
3
【分析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结 AO ，AO ，BO ，BO ，O O ，如图所示，就可以得到两个等
1 2 1 2 1 2
边三角形（各边长均等于半径），则 ∠AO O =∠BO O =60∘，即 ∠AO B=120∘．
2 1 2 1 2
这样就可以求出以 O 为圆心的扇形 AO BO 的面积，然后再减去三角形 AO B 的面积，
2 1 2 2
就得到弓形的面积，三角形 AO B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB，高
2
是 O O 的一半．
1 2
所以，阴影部分面积 =2×(S -S )
扇形AO B △AO B
2 2
=2× ( 3.14×102× 120 - 1 ×17× 10)
360 2 2
1 1
=209 -85=124 (平方厘米)．
3 3
88. 左图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60∘，
此时 B 点移动到 C 点，如右图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π 取
3.14．）【答案】 略
【分析】 右图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆以及以 AC 为半径的 60∘
扇形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积．
那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60∘ 扇形的面积，即
60
×32×π≈1.5×3.14=4.71(平方厘米).
360
89. 12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形（圆心的连线）．用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这
枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【答案】 6
【分析】 对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”
上的转动，一是在”边”上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度 ÷2π= 自身转动圈数．结
论：一样多；都是 6 圈．
90. 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分
的面积是多少？
【答案】 20
【分析】 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个下图阴影部分的面积和．而图形 ① 可以通过割补得到图形 ②，
1
而图形 ② 是一个圆心角为 60∘ 的扇形，即 圆．
6
1
所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积．
6
即原题图中阴影部分面积为 2×10=20.
91. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．
【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．92. 如下图所示，AB 为圆 O 的直径，点 D 在圆 O 上．在梯形 ABCD 中，线段 AB 与
线段 DC 都分别垂直于 BC；AB=2CD；弧 DMB 是以点 C 为圆心的圆弧．请问下图中
22
阴影部分的面积与圆 O 的面积之比是多少？（取 π= ）
7
13
【答案】
44
22
【分析】 不妨设两圆的半径为 1，则圆 O 的面积为 ，阴影部分的面积等于梯形
7
ABCD 的面积减去弓形 DMB 的面积的 2 倍：
1 1 22 1 13
×(1+2)×1-2× × ×12+2× ×12= ,
2 4 7 2 14
所以面积比为
13 22 13
: = .
14 7 44
93. 图中的三个图形都是由 A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为 A×B、
C×D、A×D．请你画出表示 A×C 的图形．【答案】 见解析．
【分析】 观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它
们共有的字母是 A，因此 A 表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一
条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段．这样，由第一个图形可知 B
表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而 A×C 表示的图形应为竖向线段和小圆组
合而成，即下图．
