宁德市2026届高中毕业班质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考
生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细
则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有
出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部
分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重
的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． BCD 10．AC 11．ACD
11.D解析：这7个球按如下方式放入该容器.当球与圆台相切时，过点A,B,C作圆台的
轴截面.则 ，此时 ，故能将7个半径为 的球平铺放入该容器
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分15分．
数学试题解答 第1页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司12．2 13． 14．
14.解析：由 ,得 ,得
设 , 的中点为 ,则 ,
所以 的轨迹为以 为圆心, 为半径的圆.又 到直线 的距离为 ,
故 到直线 的距离的最大值为 ,则 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查
运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑
推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分13分．
解法一：（1）因为 ,故 ……………………………3分
又 ,得 …………………………………………5分
故 是以 为首项, 为公比的等比数列. …………………………………………6分
（2）由(1)得 ,故 ………………………………9分
所以 ………………………………13分
解法二：（1）同解法一；
（2） ……………………8分
………13分
16．（15分）本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、
数学试题解答 第2页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推
理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分15分．
解法一：（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，………………………………1分
又 ，所以 ， .……………………………………………………2分
所以椭圆方程为 ………………………………………………………………3分
当 时， 的方程为 ，代入椭圆 的方程得： ……………………5分
又因为 ，所以
所以解得 ，……………………………………………………………………………5分
故椭圆 的方程为 .………………………………………………………6分
（2）设 ， ，则
由 消去 得： ，………………………………8分
则 ， ，………………………………………………9分
， ,………………………………11分
因为
………………………………………………14分
所以 ，且有公共点 ，故 ， ， 三点共线. …………………………15分
解法二：（1）同解法一；
（2）设 ， ，则
数学试题解答 第3页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司由 消去 得： ，……………………………………8分
则 ， ，…………………………………………………9分
， ,………………………………………11分
因为
………………………………14分
所以 ，且有公共点 ，故 ， ， 三点共线. ……………………15分
解法三：（1）同解法一；
（2）设 ， ，则
由 消去 得： ，……………………………………8分
则 ， ，……………………………………………………9分
直线 的方程为 ，
即 ，……………………………………………………………11分
令 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
因此 ，…………………………………………14分
故点 在直线 上，所以 ， ， 三点共线. ………………………15分
17．（15分）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空
间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结
合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础
性与综合性．满分15分．
解法一：（1）平面四边形 中， ， ；
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
在 中，因为 ， ，
所以 ， ，所以 .……………2分
在 中， ，…………4分
由余弦定理得
，
所以 .………………………………………………………………………7分
（2）以 的中点 为原点，以 ， 为x，y轴正方向，以垂直于平面 的直线
为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，………………………………8分
则 ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司设 ，由（1）可知， ， ，又因为 ，
所以
解得 ， ， ，即 ，…………………………10分
则 . , .……………………11分
设平面 的一个法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以， ，………………………………………………………………13分
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .……………………………………15分
解法二：（1）平面四边形 中， ， ；
所以平面四边形 为圆内接四边形
又因为 ，所以 为等腰直角三角形，
所以 是圆的直径，
在 中， ， ，
所以 ， ， ，…………………2分
数学试题解答 第6页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司.………………………4分
由正弦定理得 ，又 ，
故 .………………………………………7分
(2)在 中, , ,故 ……………………………………8分
由 ,取 的中点 , 的中点 .连接 ,则 , .
因为 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 ……10
分
在 中, , , ，所以
因为 ,所以 ……………………………………………………11分
过 作 交 的延长线于
则 平面 ,且 ………………………………………………12分
设 到平面 的距离为
由 ,所以
所以 ………………………………………………………………14分
数学试题解答 第7页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .………………………15分
18．（17分）本小题主要考查统计、条件概率公式、概率的分布及期望、考查数学建模能
力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数
据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分．
(1)某同学一道类解答最终扣分为1.5分包括 扣1分, 扣2分;
扣2分, 扣1分;
扣1分, 扣3分,仲裁扣2分;
扣3分, 扣1分,仲裁扣2分四种情况,
故
………………………………………………5分
(2)(ⅰ)因为
…………………………………………………………6分
，
……………………………………………7分
单题扣 分的概率为 ,
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学科网（北京）股份有限公司··················································································9分
故 , .················································11分
(ⅱ)原本单题扣分不高于 分的概率为 ,则
由 ,有 ,得 ················14分
令 ,
故 在 单调递增. ………………………………………………………15分
又
所以 的最小值为 .··············································································17分
19．（17分）本题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推
理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数
形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与
综合性．满分17分．
解：（1） ……………………………………………………….1分
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学科网（北京）股份有限公司因为 在 取得极值，所以
解得 …………………………………………………………………………………2分
当 时， ……………………3分
0
极大
………………………………………………………………………………………………4分
所以 在 取得极大值………………………………………………………………5分
注：若用 ，则 在 取得极大值，扣1分.
（2）
………………………………………6分
令 ，则 ，
…………………………………………………………7分
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
………………………………………………………………8分
由 ，可得 ，所以 ………9分
当 时，
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学科网（北京）股份有限公司在 递减， 递增， 递减，
， ，所以 ，
，
综上：当 时， .…………………………………………11分
(3)令
，
当 时， ， ，当 时， ，
所以 在 单调递减， ，不合题意舍去……………………13分
故 .
当 时，
所以 ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递减， ，不合题意舍去…………………15分
当 时，
当 时， ，
所以 在 上单调递增， ，符合题意；
当 时，
由（2）可知，
所以
综上，整数 的最小值为3. ………………………………………………17分
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