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数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考
生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细
则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有
出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部
分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重
的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． BCD 10．AC 11．ACD
11.D 解析：这 7 个球按如下方式放入该容器.当球与圆台相切时，过点 A,B,C 作圆台
r 3 1 1
的轴截面.则 = ，此时r =4−2 3> ，故能将7个半径为 的球平铺放入该容器
2−2r 3 2 2
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分15分．
18 5
12．2 13． 2n−3 14．
5
14.解析：由OB⋅AB=4,得OB⋅(OB−OA)=8−OA⋅OB=4,得OA⋅OB=4
数学试题解答 第1页（共9页）
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设A,B的中点为C,则OC = 1 (OA+OB),OC 2 = 1 (OA+OB)2 = 1 ×(4+8+2×4)=5
2 4 4
2×4 4 5
所以C的轨迹为以O为圆心, 5 为半径的圆.又O到直线MN 的距离为 = ,
2 5 5
9 5 18 5
故C到直线MN 的距离的最大值为 ,则d +d 的最大值为 .
5 1 2 5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13 分）本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查
运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑
推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分13分．
解法一：（1）因为a +a =2n+1,故a −(n+1)=−(a −n)……………………………3分
n n+1 n+1 n
又a =3,得a −1=2…………………………………………5分
1 1
故{a −n}是以2为首项,−1为公比的等比数列. …………………………………………6分
n
（2）由(1)得a −n=2×(−1)n−1,故a =2×(−1)n−1+n………………………………9分
n n
1−(−1)29 1+29
所以S =2× + ×29=2+15×29=437………………………………13分
29 1−(−1) 2
解法二：（1）同解法一；
（2）S =(2+1)+(−2+2)+(2+3)+3+(−2+28)+(2+29)……………………8分
29
3+31 0+26
=(3+5+3+31)+(0+2+326)= ×15+ ×14=17×15+13×14=437………13分
2 2
16．（15 分）本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、
运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推
理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分15分．
1 c 1
解法一：（1）因为椭圆C的离心率为 ，所以 = ，………………………………1分
2 a 2
又c2 =a2 −b2，所以a=2c，b= 3c.……………………………………………………2分
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1………………………………………………………………3分
4c2 3c2
3
当m=0时，l的方程为x=1，代入椭圆C的方程得：y2 =3c2 − ……………………5分
4
数学试题解答 第2页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司3 3
又因为|PQ|=3，所以y2 =3c2 − =( )2
4 2
所以解得c=1，……………………………………………………………………………5分
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.………………………………………………………6分
4 3
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，则N(4,y )
1 1 2 2 1
x=my+1
由x2 y2 消去x得：(3m2 +4)y2 +6my−9=0，………………………………8分
+ =1
4 3
−6m −9
则y + y = ，y y = ，………………………………………………9分
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
5 3 3
QM =( −x ,−y )=( −my ,−y )，NM =(− ,−y ),………………………………11分
2 2 2 2 1
2 2 2
3 3 3
因为(− )(−y )−( −my )(−y )= (y + y )−my y
2 2 1 1 2 1 2
2 2 2
3 −6m −9 −9m+9m
= ( )−m = =0………………………………………………14分
2 3m2 +4 3m2 +4 3m2 +4
所以QM //NM ，且有公共点M ，故Q，M ，N三点共线. …………………………15分
解法二：（1）同解法一；
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，则N(4,y )
1 1 2 2 1
x=my+1
由x2 y2 消去x得：(3m2 +4)y2 +6my−9=0，……………………………………8分
+ =1
4 3
−6m −9
则y + y = ，y y = ，…………………………………………………9分
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
−y 2y −y 2y
k = 2 = 2 ，k = 1 = 1 ,………………………………………11分
QM 5 2my −3 NM 3 3
−x 2 −
2 2 2
2y 2y 6y −2y (2my −3)
因为k −k = 2 − 1 = 2 1 2
QM NM 2my −3 3 3(2my −3)
2 2
−6m −9
6× −4m×
=
6(y
1
+ y
2
)−4my
1
y
2 =
3m2 +4 3m2 +4
=0………………………………14分
3(2my −3) 3(2my −3)
2 2
数学试题解答 第3页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以k =k ，且有公共点M ，故Q，M ，N三点共线. ……………………15分
QM NM
解法三：（1）同解法一；
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，则N(4,y )
1 1 2 2 1
x=my+1
由x2 y2 消去x得：(3m2 +4)y2 +6my−9=0，……………………………………8分
+ =1
4 3
−6m −9
则y + y = ，y y = ，……………………………………………………9分
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
y − y
直线QN的方程为y− y = 2 1(x−4)，
1 x −4
2
y − y
即y= 2 1 (x−4)+ y ，……………………………………………………………11分
my −3 1
2
5 y − y 5
令x= 得y= 2 1 ( −4)+ y ，
2 my −3 2 1
2
−3(y − y )+2y (my −3) −3(y + y )+2my y
即y= 2 1 1 2 = 2 1 1 2 ，
2(my −3) 2(my −3)
2 2
−6m −9
3× −2m×
因此y=
3m2 +4 3m2 +4
=0，…………………………………………14分
2(2my −3)
2
5
故点M( ,0)在直线QN上，所以Q，M ，N三点共线. ………………………15分
2
17．（15分）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空
间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结
合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础
性与综合性．满分15分．
解法一：（1）平面四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD；
因为BC=CD，所以△BCD为等腰直角三角形，
在Rt△ABD中，因为AB = 6 ，AD= 2，
所以∠ABD=30°， BD= AB2+AD2 = 6+2 =2 2 ，所以BC =CD=2.……………2分
6− 2
在ABC中，cos∠ABC =cos(∠ABD+∠CBD)=cos(30°+45°)= ，…………4分
4
由余弦定理得
数学试题解答 第4页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司6− 2 ( )2
AC2 = AB2 +BC2 −2AB⋅BCcos∠ABC =6+4−2× 6×2× =4+2 3= 3+1 ，
4
所以AC = 3+1.………………………………………………………………………7分
（2）以BD的中点O为原点，以OB，OC为x，y轴正方向，以垂直于平面BCD的直线
Oz为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，………………………………8分
( ) ( ) ( )
则B 2,0,0 ，C 0, 2,0 ，D − 2,0,0 .
设P(x,y,z)，由（1）可知，PB = 6 ，PD= 2，
又因为CP= 6，
( )2
x− 2 +y2+z2 =6,
( )2
所以x2+ y− 2 +z2 =6,
(
x+ 2
)2
+y2+z2 =2,
2 2 2 2
解得x=− ，y=− ，z=1，即P
− ,− ,1
，…………………………10分
2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 ( )
则CP=− ,− ,1.BP=− ,− ,1,BD= −2 2,0,0 .……………………11分
2 2 2 2
设平面PBD的一个法向量n=(x,y,z)，设直线CP与平面PBD所成角为θ，
3 2 2
n⋅BP=− x− y+z=0
则 2 2 ，取y= 2，则z=1，x=0，
n⋅BD=−2 2x=0
( )
所以，n= 0, 2,1 ，………………………………………………………………13分
CP⋅n
2
所以sinθ= cos CP,n = = ，
CP ⋅ n 3
2
所以直线CP与平面PBD所成角的正弦值为 .……………………………………15分
3
解法二：（1）平面四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD；
所以平面四边形ABCD为圆内接四边形
数学试题解答 第5页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司又因为BC=CD，所以△BCD为等腰直角三角形，
所以BD是圆的直径，
在Rt△ABD中，AB = 6 ，AD= 2，
所以 BD= AB2+AD2 = 6+2 =2 2 ，∠ABD=30°，∠ADB=60°，…………………2分
6+ 2
sin∠ABC =sin(∠ABD+∠CBD)=sin(30°+45°)= .………………………4分
4
AC AB
由正弦定理得 = ，又∠BCA=∠ADB=60°，
sin∠ABC sin∠BCA
ABsin∠ABC 6+ 2 2
故AC = = 6× × = 3+1.………………………………………7分
sin∠BCA 4 3
(2)在RtDPBD中,PD= 2,BD=2 2 ,故PB= 6……………………………………8分
由PC = 6,取BC的中点E,BD的中点F .连接EF ,则PE⊥BC,EF ⊥BC.
因为PEEF =E,所以BC ⊥平面PEF.
因为BC⊂平面BCD,所以平面BCD ⊥平面PEF……10分
在DPEF中,PE= 5,EF =1,PF = 2，所以
1+2−5 2
cos∠EFP= =−
2×1× 2 2
3π
因为∠EFP∈(0,π),所以∠EFP= ……………………………………………………11分
4
过P作PH ⊥EF 交EF 的延长线于H
π
则PH ⊥平面BCD,且PH =PF⋅sin =1………………………………………………12分
4
设C到平面PBD的距离为h
1 1 1 1
由V =V ,所以 × × 2× 6×h= × ×2×2×1
C−PBD P−BCD 3 2 3 2
2
所以h= ………………………………………………………………14分
3
2 2
所以直线CP与平面PBD所成角的正弦值为 = .………………………15分
3× 6 3
数学试题解答 第6页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司18．（17 分）本小题主要考查统计、条件概率公式、概率的分布及期望、考查数学建模能
力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数
据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分．
(1)某同学一道类解答最终扣分为1.5分包括AI 扣1分,AI 扣2分;
1 2
AI 扣2分,AI 扣1分;
1 2
AI 扣1分,AI 扣3分,仲裁扣2分;
1 2
AI 扣3分,AI 扣1分,仲裁扣2分四种情况,
1 2
故P(X =1.5)=P(X =1,X =2)+P(X =2,X =1)+P(X =1,X =3,X =2)+P(X =3,X =1,X =2)
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 5
= × ×2+ × × ×2= ………………………………………………5分
4 2 4 4 2 16
(2)(ⅰ)因为P(X =1)=P(X =1,X =1)+P(X =1,X =3,X =1)+P(X =3,X =1,X =1)
1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 3
= × + × ×2= …………………………………………………………6分
4 4 4 4 32
5
P(X =1.5)= ，
16
1 1 1
P(X =2)=P(X =2,X =2) = × = ……………………………………………7分
1 2 2 2 4
1 1
单题扣2分的概率为 ,Y � B(5, )
4 1 4
1 3 90
P(Y =3)=C3( )3×( )2 =
1 5 4 4 45
1 3 15
P(Y =4)=C4( )4×( )=
1 5 4 4 45
1 1
P(Y =5)=C5( )5 = ················································································· 9分
1 5 4 45
15
故P(Y ≥3)=
106
,P(Y =4|Y ≥3)=
45
=
15
. ··············································· 11分
1 45 1 1 106 106
45
数学试题解答 第7页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司21 21
(ⅱ)原本单题扣分不高于2分的概率为 ,则 <q<1
32 32
由Y � B(5,q),有P(Y ≥4)=C4q4×(1−q)+C5q5 ≥0.9,得5q4 −4q5 ≥0.9 ··············· 14分
2 2 5 5
令 f(q)=5q4 −4q5, f'(q)=20q3 −20q4 =20q3(1−q)>0
21
故 f(q)在( ,1)单调递增. ………………………………………………………15分
32
又 f(0.88)=5×0.884 −4×0.885 ≈5×0.60−4×0.53=0.88<0.9
f(0.89)=5×0.894 −4×0.895 ≈5×0.63−4×0.56=0.91>0.9
所以q的最小值为0.89. ············································································· 17分
19．（17 分）本题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推
理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数
形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与
综合性．满分17分．
解：（1） f′(x)=acosx+cos3x ……………………………………………………….1分
π π π 3π 2 2
因为 f(x)在 取得极值，所以 f′( )=acos +cos = a− =0
4 4 4 4 2 2
解得a=1…………………………………………………………………………………2分
当a=1时， f′(x)=cosx+cos3x=2cosxcos2x=2cosx(2cos2 x−1)……………………3分
π π π π
(0, ) ( , )
4 4 4 2
x
f′(x) + 0 −
f(x) � 极大 �
………………………………………………………………………………………………4分
π
所以 f(x)在 取得极大值………………………………………………………………5分
4
π π
注：若用 f′′( )=−2 2<0，则 f(x)在 取得极大值，扣1分.
4 4
数学试题解答 第8页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司1
（2） f(x)=asinx+ (sinxcos2x+cosxsin2x)
3
1 4
=asinx+ (3sinx−4sin3x)=(a+1)sinx− sin3x………………………………………6分
3 3
令t =sinx，则t∈[−1,1]，
4
g(t)=(a+1)t− t3,t∈[−1,1]…………………………………………………………7分
3
g′(t)=a+1−4t2,t∈[−1,1]，
当a≥3时，g′(t)≥0，所以g(t)在[−1,1]上单调递增，
1
g(t) =g(1)=a− ………………………………………………………………8分
max 3
3 3
1 (a+1)2 (a+1)2
由(a+1)3 −(3a−1)2 =a(a−3)2 ≥0，可得a− ≤ ，所以 f(x)≤ ………9分
3 3 3
当0≤a<3时，
a+1 a+1 a+1 a+1
g(t)在(−1,− )递减，(− , )递增，( ,1)递减，
2 2 2 2
a+1
g(t) =max{g(−1),g( )}
max 2
3
1 (a+1)2
g(−1)=−a+ ，(a+1)3 −(3a−1)2 =a(a−3)2 ≥0，所以g(−1)≤ ，
3 3
3 3 3
a+1 (a+1)2 4(a+1)2 (a+1)2
g( )= − = ，
2 2 3 8 3
3
(a+1)2
综上：当a≥0时， f(x)≤ .…………………………………………11分
3
1
(3)令h(x)=kln(x+1)−sinx− sin3x,x≥0
3
k
h′(x)= −cosx−cos3x,x≥0
x+1
h′(0)=k−2，
当k <2时，h′(0)<0，∃δ >0，当x∈(0,δ)时，h′(x)<0，
1 1
所以h(x)在(0,δ)单调递减，h(x)<h(0)=0，不合题意舍去……………………13分
1
数学试题解答 第9页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司故k ≥2.
1
当k =2时，h(x)=2ln(x+1)−sinx− sin3x,x≥0
3
2
h′(x)= −cosx−cos3x,x≥0
x+1
2
h′′(x)=− +sinx+3sin3x,x≥0
(x+1)2
h′′(0)=−2
所以∃δ >0，当x∈(0,δ)时，h′′(x)<0，
2 2
则h′(x)在(0,δ)上单调递减，h′(x)<h′(0)=0，
2
所以h(x)在(0,δ)上单调递减，h(x)<h(0)=0，不合题意舍去…………………15分
2
1
当k =3时，h(x)=3ln(x+1)−sinx− sin3x,x≥0
3
3
h′(x)= −cosx−cos3x,x≥0
x+1
1
当x∈[0, ]时，h′(x)≥2−cosx−cos3x≥0，
2
1
所以h(x)在[0, ]上单调递增，h(x)≥h(0)=0，符合题意；
2
1
当x∈( ,+∞)时，
2
3
1 22
由（2）可知，sinx+ sin3x≤
3 3
3
3 22 8 1
所以h(x)≥3ln( )− >1−( )2 >0
2 3 9
综上，整数k的最小值为3. ………………………………………………17分
数学试题解答 第10页（共9页）
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