（教师版）浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测数学试题与解析_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260520浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测数学试题与解析

浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。(解析来源于锤子数学)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合A=y|y=-x2  ,B={x∣x>2}，则下列说法正确的是
A. A∩B=B B. A∪B=R C. ∁ R A  ∪B=B D. ∁ R B  ∩A=A
【答案】D
【解析】A=y|y=-x2  =y|y≤0  ,B={x∣x>2},
∴A∩B=∅,A∪B≠R,C R A=0,+∞  ,C R A  ∪B=0,+∞  ≠B,
C R B=(-∞,2],C R B  ∩A=-∞,0  =A.
2.已知α,β,γ是空间中三个不同的平面,a,b,c是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若a⊥b,b⊥c,则a⎳c B. 若α⊥β,β⊥γ,则α⎳γ
C. 若a⊥α,a⊥β,则α⎳β D. 若a⎳α,a⎳β,则α⎳β
【答案】C
【解析】垂直于同一条直线的两个不同平面平行,a⊥α,a⊥β,α,β为不同平面,∴α⎳β,C正确.
3.图中是抛物形拱桥，当水面在l时，拱顶部离水面1m，水面宽2m，水面下降1m后,水面的宽约为(其中
2≈1.414,精确到0.1m)
A. 1.4m B. 2.8m C. 4.2m D. 5.7m
【答案】B
【解析】以拱顶为原点,竖直向下为y轴,设抛物线为y=ax2a>0  ,y=1时水面宽为2米,
∴1,1  在抛物线上,∴a=1,水面下降1米后,y=2,x2=2,水面宽为2 2≈2.8米.
4.某函数的图像如图所示,则该函数解析式可能为
数学试题 第 1 页 共 11 页x-1 x2-1 ex
A. B. C. D. x2-1
ex ex x+1
 ex
【答案】B
【解析】由图像知,x→+∞⇒fx  →0+,且fx  >0;
x→-∞⇒fx  →+∞,并有两个零点,选项B中fx 
x2-1
= ,零点为x=±1x→-∞⇒fx
ex
 →+∞,x→
+∞⇒fx  →0+,与图像相符.
5.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】C
【解析】圆锥轴截面为等腰三角形,内切球、外接球球心重合,
轴截面的内心、外心重合,∴轴截面为等边三角形.
3 a 3 1
设等边三角形边长为a,则 a=1,a=2 3,r= = 3,h= a=3,V= πr2h=3π.
6 2 2 3
1+sinA 1+sinB
6.在△ABC中,角A,B,C为三个内角,则“ = ”是“A=B”的
cosA cosB
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
π 1+sinA 1+sinB
【解析】A=B⇒A< ,等式成立.反过来,等式有意义,由 = ,得1+sinA
2 cosA cosB
 cosB=
1+sinB  cosAcosB-cosA=sinBcosA-sinAcosB,cosB-cosA=sinB-A
A-B A+B A-B
2sin sin +cos
2 2 2

A+B A-B A-B
=0,sin +cos >0,∴sin =0,
2 2 2
∴A=B,所以为充要条件.
x2 y2
7.已知双曲线C: - =1的左右焦点分别为F ,F ,直线y=3与双曲线的右支交于点P且∠FPF =
a2 b2 1 2 1 2
π
2 ,PF 2 的中点记为Q,且OQ  =3,则双曲线C的离心率为
3+ 3
A. 3 B. C. 2 3 D. 3+1
2
【答案】D
【解析】设F 1-c,0  ,F 2c,0  ,Px,3  x>0 
π
.∠FPF = , 1 2 2
则PF2+PF2=FF2,x+c2+9+x-c2+9=4c2,∴x2+9=c2.
1 2 1 2
x+c 3
Q ,
2 2
 ,OQ 
x+c2 9
=3, + =9,∴x+c=3 3.c2-x2=9,
4 4
数学试题 第 2 页 共 11 页∴c-x  c+x  =9,∴c-x= 3,∴c=2 3,x= 3.
PF =6,PF =2 3,2a=PF -PF =6-2 3,a=3- 3,
1 2 1 2
c 2 3
e= = = 3+1.
a 3- 3
8.已知函数fx  =ex-x+1,gx  =klnx,hx  =kx-k,在区间0,+∞  上恒有fx  ≥hx  ≥gx  ,求k
的取值范围
A. 0,e2-1  B. 0,e2-1  C. 0,e-1  D. 0,e-1 
【答案】A
【解析】方法一:由hx  ≥gx  ⇒kx-lnx-1  ≥0恒成立,x=1显然成立,
x>0且x≠1时,x-lnx-1>0,∴必有k≥0
由fx  ≥hx  ⇒ex-x+1≥kx-1  ,∵ex-x+1>x+1-x+1=2,
当0<x≤1时,左边>2,右边≤0,不等式显然成立.
ex-x+1
当x>1时,k≤
x-1
 ,
min
ex-x+1 ex ex-1 ex
而 = -1=e⋅ -1≥e2-1(x=2时取“=”)(运用了x>0时, ≥e)
x-1 x-1 x-1 x
∴0≤k≤e2-1,A正确.
方法二:hx  -gx  =kx-1-lnx  ,lnx≤x-1,等号在x=1
时成立.hx  ≥gx  恒成立⇔k≥0.k=0时,fx  ≥0=hx  =gx  成立.
以下设k>0,令Fx  =fx  -hx  =ex-k+1  x+k+1.
Fx  =ex-k-1,Fx  =ex>0,Fx  =0⇒x=lnk+1 
Fx  =F lnk+1
min
   =k+1  2-lnk+1   
k>0,k+1>0.Fx  ≥0恒成立⇔2-lnk+1  ≥0.lnk+1  ≤2⇒k≤e2-1
综上,0≤k≤e2-1.
方法三:hx  ≥gx  ⇒kx-k≥klnx⇒kx-1-lnx  ≥0.
∵x∈0,+∞  时x-1-lnx≥0恒成立,∴k≥0.
fx  ≥hx  ⇒ex-x+1≥kx-1  .当x∈1,+∞ 
ex-x+1
时,k≤ .
x-1
设φx 
ex-x+1
= ,φx
x-1

ex-1
=
 x-1  -ex-x+1 
x-1 
x-2
=
2
 ex
x-1 
.
2
x∈1,2  时,φx  <0,φx  单调递减;x∈2,+∞  时,φx  >0,φx  单调
递增.∴φx  =φ2
min
 =e2-1.∴k≤e2-1.
当x∈0,1  时,x-1<0,ex-x+1>0,且k≥0,∴ex-x+1≥kx-1  恒成立.
当x=1时,e≥0恒成立.综上,0≤k≤e2-1.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. χ2独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上,则R2=1
D. 已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差
数学试题 第 3 页 共 11 页为3cm
【答案】ACD
【解析】χ2独立性检验用于随机样本数据,普查数据不适用,A对.
数据共10个,后5个数为4,4,5,8,9,所以上四分位数为5,B错.
所有散点落在斜率非0的直线上，则拟合完全，R2=1，C对.
残差=176-173=3cm，D对.
     
10.已知平面内的三个非零向量a,b,c满是b⋅b-a 
  
=b2,且a-b 
 
=b-c 
 
=c-a  =2,则下列说法正
确的是
   
A. a⊥b B. a-b 
 
⋅b-c  =-2
   
C. a⋅c的最小值为1 D. a⋅c的最大值为3
【答案】ABD
  
【解析】由b⋅b-a 

=b 
2     
得b⋅b-a⋅b=b 
2  
,所以a⋅b=0,A对.
      
令u=a-b,v=b-c,u 

=v 
 
=u+v 
 
=2,4=u+v 
2 
=u 
2 
+v 
2    
+2u⋅v=8+2u⋅v
   
所以u⋅v=-2,即a-b 
 
⋅b-c  =-2,B对.

设a 

=x,b 
   
=y,x>0,y>0,由a⋅b=0,a-b  =2得x2+y2=4.

取a=x,0 

,b=0,y  ,则三个向量的终点构成边长为2的等边三角形,
 x+ 3y y+ 3x
c= ,
2 2

x- 3y y- 3x
或 ,
2 2

  x2± 3xy
,a⋅c=
2
π  
令x=2cosθ,y=2sinθ,0<θ< ,a⋅c=1+cos2θ± 3sin2θ
2
π
取加号时,1+cos2θ+ 3sin2θ=1+2cos2θ-
3

π
≤3,θ= 时取等号.
6
π
取减号时,1+cos2θ- 3sin2θ=1+2cos2θ+
3

π
≥-1,θ= 时取等号.
3
 
所以a⋅c的最小值为-1,最大值为3,C错,D对.
11.已知无穷数列a n  前n项和为S ,若存在i, j∈1,2,⋯,n n  ,当i≠ j时,S i  =S j  ,则称a n  为“绝对数
列”.则下列选项正确的是
A. 已知数列a n =2n-5n∈N*  ，则数列a n  为“绝对数列”
B. 若数列a
n
 和b
n
 均为“绝对数列”,则a +b
n n
 为“绝对数列”
C. 若等比数列a
n
 为“绝对数列”,则公比为-1
D. 存在两个公差均不为0的等差数列a
n
 和b
n
 ,使得数列a
n
 ,b
n
 ,a +b
n n
 和a b
n n
 均为“绝对数
列”
【答案】AD
【解析】方法一:对于A,∵a 1 =-3,a 2 =-1,a 3 =1,∴S 1 =S 3 ,∴S 1  ≤S 3  ，A正确.
对于B,取a =2n-5(受A的启发),b =5-n,a +b =n,显然a +b
n n n n n n
 不为“绝对数列”,B错.
对于C,取a n =-2  n-1,则a 1 =1,a 2 =-2,∴S 1 =1,S 2 =-1,S 1  =S 2  符合a n  为“绝对数列”,但q=
-2≠-1,C错.
对于D,取a =b =n-2,则对a n n n  ,b n  而言,S 1 =S 2 ,∴S 1  =S 2  a n +b n =2n-2  ,a n b n =n-2  2,也
都有S 1  =S 2  ,符合a n  ,b n  ,a +b n n  ,a b n n  均为“绝对数列”,D正确.
数学试题 第 4 页 共 11 页方法二:对A,a =2n-5,
n
S n =nn+1  -5n=n2-4n=nn-4  ,S 1 =-3,S 3 =-3,S 1  =S 3  ,A正确.
对B,取a =n-2,b =3-n,设前n项和分别为A ,B ,C ,
n n n n n
nn-3
A =
n

,A =A =-1,所以a
2 1 2 n
 为绝对数列;
n5-n
B =
n

,B =B =3,所以b
2 2 3 n
 为绝对数列;
a n +b n =1,C n =n,i<j时,C i  =i,C j  =j,所以C i  ≠C j  ,B错误.
对C,取等比数列a n =-2  n-1,则q=-2,S 1 =1,S 2 =-1,S 1  =S 2  ,但q≠-1C错误.
对D,取a =n-2,b =2n-4,公差分别为1,2,A =A =-1,B =B =-2,a +b =3n-6,C =C =
n n 1 2 1 2 n n 1 2
-3,a n b n =2n-2  2,P =2,P =2,D正确. 1 2
方法三:对于A,a n =2n-5⇒S n =n2-4nS 1 =-3,S 3 =-3⇒S 1  =S 3  ,A正确.
对于B,取等差数列a =2n-5⇒S =n2-4n,有S =S =-3
n n 1 3
取等差数列b =-2n+7⇒其前n项和T =-n2+6n,
n n
有T =T =8a +b =2⇒其前n项和M =2nn∈N*⇒M 单调递增且大于0,
2 4 n n n n
不存在i≠j使得M i  =M j  ,B错误.
对于C,取a 1 =1,q=-2⇒S 1 =1,S 2 =-1⇒S 1  =S 2  ,此时公比不等于-1,C错误.
对于D,取a =n-2,b =n-3a =0⇒S =S =-1b =0⇒其前n项和T 满足T =T =-3a +b =2n
n n 2 1 2 3 n 2 3 n n
-5⇒其前n项和M =n2-4n⇒M =M =-3a b
n 1 3 n n
=n-2  n-3  ⇒第2项为0⇒其前n项和H 满足H =H =2四者均满足条件,D正确. n 1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.复数z=1+i 
i
1+
2
 ，则z  = .
【答案】 3
【解析】z  =1+i 
i
×1+
2

1
= 2× 1+ = 3.
2
13.已知实数a,b满足ab+5=3a+2b，且a>2，则a+b的最小值为 .
【答案】7
【解析】由ab+5=3a+2b得a-2  b-3 
1
=1,a>2,所以b=3+
a-2 
,a+b=5+a-2  +
1
a-2 
,a-2 
1
+
a-2 
≥2,
所以a+b≥7.当a-2=1,即a=3,b=4时,a+b的最小值为7.
14.甲有2个白球和1个黑球,乙有3个白球,甲乙两人每次交换1个球,经过5次交换后，黑球仍然在甲手中
的概率为 .
122
【答案】
243
【解析】方法一:记n次交换后球仍在甲手中的概率为P
n
2 1
∴P n+1 = 3 P n + 3 1-P n 
1 1 1
= 3 P n + 3 ,令P n+1 +x= 3 P n +x  ,
1 1 2 1 1 1 1 1
∴x=- ,P - = - = ≠0,∴P - = ⋅
2 1 2 3 2 6 n 2 6 3

n-1
1 1 1
⇒P = + ⋅
n 2 2 3

n 1 1 1 122
,∴P = + × = .
5 2 2 243 243
数学试题 第 5 页 共 11 页1 2
方法二:每次交换,黑球所在者手中均有3个球,黑球被交换的概率为 ,不被交换的概率为 .5次后
3 3
黑球仍然在甲手中,即5次中黑球被交换次数为偶数.
2
P=C0
5 3

5 1
+C2
5 3

2 2

3

3 1
+C4
5 3

4 2

3

32 80 10 122
= + + = .
243 243 243 243
方法三:设经过n次交换后,黑球在甲手中的概率为p ,则黑球在乙手中的概率
n
为1-p ,p =1.由全概率公式得到,
n 0
2
p n =p n-1 × 3 ×1+1-p n-1 
1 1 1
×1× = p + 3 3 n-1 3
1 1 1
变形得到p - = p -
n 2 3 n-1 2

1 1 1 1 1
,因为p - = ,所以p - = ×
0 2 2 n 2 2 3

n
1 1 1
化成p = + ×
n 2 2 3

n 1 1 1
,n=5⇒p = + ×
5 2 2 3

5 122
= .
243
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosA+ 3csinA=b+a.
(1)求C的大小；
AE
(2)若CE平分∠ACB交AB于点E，求 的取值范围.
BE
【解析】(1)sinCcosA+ 3sinCsinA=sinB+sinA=sinAcosC+cosAsinC+sinA
π
∴ 3sinC-cosC=1,2sinC-
6

π
=1,sinC-
6

1 π π 5π π π
= ,而- <C- < ,∴C- = ⇒C
2 6 6 6 6 6
π
= .
3
AE CA b
(2)解法1:∵CE平分∠ACB, = =
BE CB a
1
在△ABC中,c2=a2+b2-2ab⋅ =a2+b2-ab
2
∵△ABC为锐角三角形,∴   a2+c2>b2 ⇒   2a2+b2-ab>b2 ⇒ 1 < b <2
b2+c2>a2 a2+2b2-ab>a2 2 a
AE 1
∴ 的取值范围为 ,2
BE 2
 .
π
sinA+
AE CA b sinB 3
解法2:∵CE平分∠ACB∴ = = = =
BE CB a sinA

1 3
sinA+ cosA
2 2 1 3
= = +
sinA sinA 2 2tanA
π
0<A<
 2 π π 3
在锐角△ABC中 ⇒ <A< ,∴tanA>
π π 6 2 3
0<π-A- <
3 2
3 3 AE 1
∴0< < , ∈ ,2
tanA 2 BE 2
 .
 
π
16.如图，已知平行四边形ABCD，AB=4,BC=6，∠ABC= ，E是线段BC上的点，且2BE=EC,F为线
3
段AD中点，现将△ABE沿AE翻折至△AB E，使得BB =2.
1 1
 
(1)若点M在线段B C上，且B M =3MC，证明:FM⎳平面AB E；
1 1 1
(2)求直线DB 与平面AB E所成角的正弦值.
1 1
数学试题 第 6 页 共 11 页B
1
M
C
B
E
A F D
【解析】(1)证明:过M作MG⎳CE交B E于点G，连接AG
1
B
1
M
G
C
B
H E
A F D
  GM B M 3 2
∵B M =3MC,∴ = 1 = ,而CE= BC.
1 CE B C 4 3
1
1 1 //
∴GM= BC,又∵AF= BC,GM∥BC∥AF,∴GM=AF
2 2
∴四边形AFMG为平行四边形,∴MF⎳AG,
∵FM⊄平面AB E,AG⊂平面AB E,
1 1
∴FM⎳平面AB E.
1
1
(2)BE=2,AB=4，在△ABE中，AE= 4+16-2×2×4× =2 3
2
∴AE2+BE2=AB2,∠AEB=90°,∵AE⊥BE,AE⊥B E,BE∩B E=E
1 1
∴AE⊥平面BB E，又∵AE⊂平面ABCD，∴平面BB E⊥平面ABCD
1 1
过B 作B H⊥BE于点H,B H⊥平面ABCD,
1 1 1
∵B E=BE=BB =2,∴△BB E为等边三角形,∴B H= 3,
1 1 1 1
1
S =2 3,S = ×6×2 3=6 3
△AB1E △ADE 2
h
设D到平面AB E的距离为h,DB 与平面AB E所成角为θ,∴sinθ=
1 1 1 B D
1
1 1
由V =V ⇒ ×2 3⋅h= ×6 3⋅ 3⇒h=3 3,
D-AB1E B1-ADE 3 3
3 3
B D = B H2+DH2= 3+61=8,∴sinθ= .
1 1 1 8
17.设数列a n  的前n项和为S n ,a 1 =-50,当n≥2时满足nS n -n+1  S =n3-n. n-1
(1)求S ；
n
S
(2)令b = n ，记T 为b
n n n n
 的前n项和，当n为何值时，T 取最小值.
n
【解析】
(1)nS n -n+1  S n-1 =nn+1  n-1  ,n≥2，两边同除以nn+1 
S S
∴ n - n-1 =n-1, n+1 n
数学试题 第 7 页 共 11 页S S S S S S S S
n≥2时, n = 1 + 2 - 1 + 3 - 2 +⋯+ n - n-1
n+1 2 3 2 4 3 n+1 n
=-25+1+2+⋯+n-1 
nn-1
=-25+
 1 1
= n2- n-25
2 2 2
∴n≥2时,S n =n+1 
1 1
 n2- n-25 2 2  ,而S =-50也满足上式, 1
∴S n =n+1 
1 1
 n2- n-25 2 2  .
(2)b n =n+1 
n 25 1
 - - 2 n 2 
n2 25 51
= - - 关于n∈N*单调递增 2 n 2
49 25 51 25 51
注意到b = - - <0,b =32- - >0,
1 2 7 2 8 8 2
∴1≤n≤7时,b <0,n≥8时,b >0
n n
故n=7时,T 最小.
7
18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x上点Pt2,2t  处的切线与双曲线x2-y2=1相交于不同的两点
A,B.
(1)若P为AB中点，求实数t的值；
(2)若0<t<1，且在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数t的值；
(3)若t>1，求△OAB面积的最小值.
【解析】方法一:(1)y2=4x在Pt2,2t 
t2+x
处的切线方程为2ty=4⋅ ,
2
即x-ty+t2=0,易知t≠0.设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2 
x2-y2=1
∴   x 1 2-y 1 2=1 ⇒x 1 +x 2
2 2
 x 1 -x 2  =y 1 +y 2  y 1 -y 2 
y -y 1
∴2t2=4t⋅ 1 2 =4tk =4t⋅ =4,∴t=± 2.
x -x AB t
1 2
(2)Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,AB中点Rx 0 ,y 0 
x=ty-t2
联立
 ⇒t2-1
x2-y2=1
 y2-2t3y+t4-1=0,
Δ=4t6-4t2-1  t4-1  =4t4+t2-1  >0
AB  = 1+t2⋅y -y
1 2

2 t4+t2-1
= 1+t2⋅
t2-1 
y +y t3
,y = 1 2 =
0 2 t2-1
1 t3
∴CR= 1+ 
t2 t2-1

t2
= 1+t2⋅
t2-1

3 t2
,∵△ABC为等边三角形,∴CR= AB∴ 1+t2⋅
2 t2-1
 =
3 2 t4+t2-1
1+t2⋅
2 t2-1 
⇒2t4+3t2-3=0.
-3+ 33
∴t2= ,∵t∈0,1
4

-3+ 33
,∴t= .
2
(3)设直线AB与x轴交于E,∴E-t2,0 
1
∴S △OAB = 2 ⋅OE  ⋅y -y 1 2 
1 2 t4+t2-1 t2
= t2⋅ = t4+t2-1, 2 t2-1 t2-1
m+1
令t2-1=m,m>0,∴S △OAB = m m+1 
m+1
2+m+1-1= m2+3m+1 m
1
= m+
m

1
m+ +3≥2 2+3=2 5
m
数学试题 第 8 页 共 11 页1
m=

m
当且仅当 1 即m=1,t= 2时取“=”,∴S △OAB
m=
m
 =2 5. min
方法二:(1)抛物线y2=4x在Pt2,2t  处的切线为ty=x+t2
由题意,t≠0,所以x=ty-t2
设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,且x =ty -t2,i=1,2. i i
联立得ty-t2  2-y2=1,t2-1  y2-2t3y+t4-1=0
2t3
由题意,t2≠1,于是y 1 +y 2 = t2-1 ,y 1 y 2 =t2+1,y 1 -y 2 
4t4+t2-1
2=

t2-1  2
又x 1 +x 2 =ty 1 +y 2 
2t2 t2 t3
-2t2= ,所以AB中点为M , t2-1 t2-1 t2-1 
t2 t3
若P为AB中点,则t2= ,2t=
t2-1 t2-1
∴t2=2,∴t=± 2
t3
(2)当0<t<1时，M = <0.
y t2-1
3
若△ABC为正三角形,且C在x轴上,则M y 2= 4 t2y 1 -y 2  2
t6
t2-1 
3 4t4+t2-1
= t2⋅
2 4

t2-1 
,t4=3t4+t2-1
2

33-3 33-3
2t4+3t2-3=0,∴t2= ,∴t=
4 2
1-t2
此时t4+t2-1= >0,符合题意.
2
1
(3)当t>1时，S ΔOAB = 2 x 1 y 2 -x 2 y 1 
x 1 y 2 -x 2 y 1 =ty 1 -t2  y 2 -ty 2 -t2  y 1 =t2y 1 -y 2 
t2 t4+t2-1
,∴S = △OAB t2-1
u2u2+u-1
令u=t2,则u>1,S2 =
△OAB

u-1  2
u-2
S2 -20=
△OAB
 2 u2+5u-5 
u-1 
≥0,等号成立时,u=2,即t= 2.
2
∴S △OAB  =2 5. min
19.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ 1 :y=axa>1  与Γ 2 :xy=mm>0  交于点A.
(1)当a=e时，求曲线Γ 1 在0,1  的切线方程；
(2)若直线OA与Γ 相切于点A,求am的值；
1
3若直线OA与Γ 1 交于另一点B,且OB  ≥2OA  ,求am的取值范围.
【解析】方法一:(1)Γ 1 :y=ex,y=ex,k=1,Γ 1 在0,1  处的切线方程为y=x+1.
(2)设Ax 0 ,ax0  ,Γ :y=ax,y=axlna， 1
∴Γ 在A处的切线斜率k =ax0lna=
ax0
⇒x lna=1,ax0=e,
1 OA x 0
0
又∵Γ 与Γ 交于点A,∴A也在Γ 上,∴x ⋅ax0=m⇒ex =m
1 2 2 0 0
∴am=aex0=ax0

e=ee.
(3)设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,∵O,A,B三点共线，
数学试题 第 9 页 共 11 页∴k OA =k OB ⇒ x y 1 1 = x y 2 2 ⇒ y y 2 1 = x x 2 1 ,而   y y 1 2 = = a a x x 1 2 ⇒   l l n n y y 1 2 = = x x 1 2 l l n n a a
x lny y
⇒ 2 = 2 = 2 ,∵OB
x lny y 1 1 1
 ≥2OA 
OB
⇒

OA 
BS
=

AT 
y
= 2 ≥2
y 1
y lnty lnt
令 2 =t,∴ 1 =t⇒lny = ,t≥2,
y lny 1 t-1
1 1
令gt 
lnt
= ,gt
t-1

1
t-1
t
=
 -lnt
t-1 
1
1- -lnt
t
=
2 t-1 
1
<0(运用了lnt≥1- ,当且仅当t=1时取“=”)
2 t
∴gt  在2,+∞  上单调递减,0<gt  ≤g2  =ln2⇒0<lny ≤ln2,1<y ≤2 1 1
又∵A也在Γ 2 上,∴x 1 y 1 =m,∴am=ax1y1=ax1  y1=yy1=ey1lny1 1
而y 1 lny 1 在y 1 ∈1,2  上单调递增,∴0<y lny ≤ln4,∴1<am≤4. 1 1
方法二:(1)当a=e时,y=ex,x=0处切线斜率为e0=1,y-1=x∴y=x+1.
(2)设Ax 1 ,ax1  ,x >0,k=lna， 1
∵OA与Γ 相切于A，
ax1
=kax1，∴kx =1.
1 x 1
1
又A∈Γ 2 ,m=x 1 ax1,∴lnam  =mlna=x ax1lna=kx ekx1=e 1 1
∴am=ee.
(3)设Ax 1 ,ax1  ,Bx 2 ,ax2  ，由OB  ≥2OA  ，可设x ≥2x >0， 2 1
令r=
x
2 ,则r≥2.∵A,B,O三点共线,
ax1
=
ax2
,∴ax2-x1=r.
x x x
1 1 2
设t=x lna,则er-1
1

lnr
t=r,∴t= .
r-1
φr 
lnr
= 在r≥2时连续递减,且r→+∞⇒φr
r-1
 →0,r≥2时,0<t≤ln2;
反过来,0<t≤ln2时,也存在r≥2与之对应.
又m=x 1 ax1,lnam  =mlna=x ax1lna=tet. 1
0<t≤ln2,∴0<tet≤2ln2,∴1<am≤4.
∴am的取值范围为1<am≤4.
方法三:(1)当a=e时,Γ :y=ex,∴y=ex在x=0处切线斜率k=e0=1
1
∴曲线Γ 1 在0,1  处的切线方程为y-1=1⋅x-0  ⇒y=x+1.
(2)设Ax 1 ,y 1  ,∴y =ax1且x y =mΓ 的导数为y=axlna 1 1 1 1
∵直线OA与Γ 相切于点A,∴直线OA的斜率k=ax1lna
1
数学试题 第 10 页 共 11 页∵A在直线OA上，∴k=
y
1 =
ax1
，∴ax1lna=
ax1
⇒x lna=1⇒x =
1
∴y =aln
1
a =e,∴m=x y =
x x x 1 1 lna 1 1 1
1 1 1
e
⇒mlna=e,∴am=emlna=ee.
lna
(3)设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，由于A,B在第一象限，且OB  ≥2OA 
∴x 2 ≥2x 1 >0,令x 2 =tx 1t≥2  ,∵O,A,B三点共线,
∴
y
1 =
y
2 ⇒
ax1
=
atx1
,∴at-1 x x x tx
1 2 1 1
 x1=t⇒t-1 
lnt
x lna=lnt⇒x lna= 1 1 t-1
∵m=x y =x ax1,∴mlna=x lna⋅ax1=x lna⋅ex1lna
1 1 1 1 1
令ut 
lnt
= ,t∈2,+∞
t-1
 ,∴ut 
1
t-1
t
=
 -lnt
t-1 
1
1- -lnt
t
=
2 t-1  2
令ht 
1
=1- -lnt,ht
t

1 1 1-t
= - = <0t≥2
t2 t t2

∴ht  在2,+∞  上单调递减,∴ht  ≤h2 
1
= -ln2<0,∴ut
2
 <0,
∴ut  在2,+∞  上单调递减t→+∞⇒ut  →0,u2  =ln2
∴ut  ∈0,ln2  ,令gu  =ueu,u∈0,ln2  ,gu  =u+1  eu>0
∴gu  在0,ln2  上单调递增u→0⇒gu  →0,
gln2  =ln2⋅eln2=2ln2=ln4,∴gu  ∈0,ln4  ,∴mlna∈0,ln4 
∴am=emlna=egu  ∈1,4  .
数学试题 第 11 页 共 11 页