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2025-2026学年度期中考试
高二数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若过点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A．12 B．9 C． D．
3．从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件 “抽到小于3的数”，事件 “抽
到大于2的数”，事件 “抽到大于1的奇数”，则（ ）
A． 和 不互斥 B． 和 互斥且不对立
C． 和 不互斥 D． 和 互斥且不对立
4．在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为 ，
，则l，m所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，
其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥 中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
7在棱长为1的正方体 中，直线 与平面 所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知两条直线 ， ，有一动圆（圆心和半径都在变动）
与 都相交，并且 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，
则（ ）
A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为
C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为
D．“甲或乙被录用”的概率为
10．已知直线 与圆 恒有两个不同的公共点 ，则下列
叙述正确的有（ ）
A．直线 过定点
B．半径 的取值范围是
C．当 时，线段 长的最小值为
D．当 时，圆 上到直线 的距离为2的点恰好有三个，则
试卷第2页，共3页11．如图1，在平行四边形中， ， ， ， 是 中点，把 沿
直线 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 ， ， 是 中点，设
平面 与平面面 所成二面角为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值是
D．当 时，三棱锥 外接球的半径最大值是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中
靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为
.
13．已知圆 与圆 ，若两圆有四条公切线，
则直线 与圆 的位置关系是 ．
14．记球 为体积为1的正方体 的内切球， 为平面 与球 交线上
一动点，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）如图所示，已知三角形的三个顶点为 ，求：
(1)边 上的中线所在直线的方程；
(2)边 上的高 所在直线的方程；
(3)设 分别是线段 的中点，求直线 所在直线的方程.
16．（15分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀
的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一
局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独
立且每局比赛无平局．
(1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率；
(2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为 ．现已决定出乙作为第一局的裁判，
求甲恰好胜一局的概率．
17．（15分）如图，在正方体 中， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
试卷第4页，共3页(3)若正方体的棱长为2，求点 到平面 的距离.
18．（17分）已知圆 的圆心在直线： 上，圆 过点 ，且圆 与x
轴相切，圆 ： （ ）与圆 内切，切点为A．
(1)求圆 的标准方程；
(2)求r的值以及点A的坐标；
(3)过点A的直线l与圆 ， 在第一象限分别交于B，C两点，若 ，求直线l的
方程．
19．（17分）如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点
是线段 上的动点（不与点 重合），且满足 ，实数 .
(1)求三棱锥 的体积.
(2)若二面角 的余弦值不超过 ，求实数 的取值范围.
(3)求四面体 的外接球半径的取值范围.参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D A B D A D ABD ACD BD
12． 13．相离 14．
15．（1）由已知得 的中点 ，即 ，
边 上的中线 的两点式方程为 ，即 ；.......................4分
（2）因为 ，
又 ，则 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，即 ........................8分
（3）由已知得 的中点 ，即 ，
因为 分别是线段 的中点，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
则直线 所在直线的方程为： ，即 ........................13分
16．（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典
概型，
样本空间： 共 个样本点，
事件 含有：
.......................4分共12个样本点，故 ．.......................................................6分
（2）记事件 为第 局甲胜， ，由题意知 ，
记事件 为甲恰好胜一局，有如下两种情况：
①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，
因为每局比赛结果相互独立，所以事件 与 与 也独立，则
，.......................10分
，.......................13分
因为 ，且事件 与 互斥，
所以 ，
所以甲恰好胜一局的概率为 ．......................15分
17．（1） ，
平面 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．.......................4分
（2）设正方体边长为2，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所
示空间直角坐标系，
答案第2页，共2页则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
，.......................8分
设直线 与平面 所成角为 ，则
．.......................10分
（3） 正方体棱长为2，同（2）中假设，
，平面 的法向量 ，
点 到平面 的距离 ．.......................15分
18．（1）设圆 ，由题意可知 ，
解得 ，所以圆 的标准方程为 ................5分
（2）圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ，因为两圆内切于点 ，所以 ，
解得 或 （舍去），......................................................................................8分
所以圆 的标准方程为 ，联立 ，解得 ，
所以 点的坐标为 ...........................................................................................10分
（3）由题意可知，直线 的斜率显然是存在的且大于 ，设直线 的方程为 ，即
，
圆 的圆心到直线 距离 ，根据弦长公式可得
，.......................................................13分
圆 的圆心到直线 距离 ，根据弦长公式可得
，......................................................16分
所以 ，解得 或 （舍去），
故直线 的方程为 ..................................................................................17分
答案第4页，共2页19．（1）根据题意， ，
又 ，
因为在直三棱柱 中， ， ，
当点 是线段 上的中点时， 平面 ，
所以点 到平面 的距离 ，即三棱锥 的高 ，
所以 ......................5分
（2）在直三棱柱 中， ， ， ，
则以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， ， ，
又 ，则 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ， ，故 ，..........8分
又在直三棱柱 中， ，则 平面 ，
所以平面 的法向量为 ，
又二面角 的平面角为锐角，则二面角的余弦值为：
，
令 ，因为 ，则 ，故 ，
即 ，则 ，即 ，故 ，所以 .....................11分
（3）设四面体 的外接球心 的坐标为 ，半径为 ，
则 ，
故 ，
则 ，所以外接球心 的坐标为 ，
代入得 ，
即 ，...............................................13分
则 ，当 时， 取得最小值为 ，
当 或 时， ，所以 ，.....................15分
答案第6页，共2页所以 ，当 时， 取得最小值为 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以四面体 的外接球半径的取值范围为 ......................17分
