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2025—2026 学年度第一学期高二第二次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D A A B A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BD BCD AD
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
． 13．50 14．
12
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）设等差数列 的公差为 ，则 ， …………2分
故 ， …………3分
所以 . …………6分
（2）由 ，且 ， …………9分
所以 ， …………11分
故 时 取得最大，最大值为 . …………13分
16.（1）由题知 ， ，则 ， …………3分椭圆 的方程为 . …………4分
（2）设直线 方程为 ，点 ， ， …………5分
由方程组 ，化简得： ，…………7分
，可得 . …………9分
， …………11分
，
解得 ， …………14分
直线 方程 或 . …………15分
17.（1）因为 ，O是 中点，所以 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 . …………5分
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点， 为 轴， 为y轴，垂直 且过O的直线
为x轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ，
设 , …………7分
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．……9分
又平面 的一个法向量为 ， …………10分
所以 ，解得 ． …………12分又点C到平面 的距离为 ，所以 …………13分
， …………14分
所以三棱锥 的体积为 ． …………15分
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作 ，垂足为点G．
作 ，垂足为点F，连结 ，
则 ． ……7分
因为 平面 ，所以 平面 ，
为二面角 的平面角．……9分
因为 ，所以 ．
由已知得 ，故 ．
又 ，所以 ．
因为 ， …………13分
．……15分
18.（1）因为函数 ，
所以 ， ……3分
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ……4分
（2）由（1）可知 ， …………5分
所以
…………9分
（3）由（2）可知： ，
所以由 ， …………10分
因为 ，所以由 ， …………11分
设 ，
由 ， …………14分
由二次函数性质可知：当 时，函数 是减函数，
， ，
于是有 时， ，
所以 ， ，因此 ，
存在 ，使得 成立，则有 ， …………16分
因此实数k的最大值 . …………17分
19.（1）由 ，得 ，
为抛物线 上位于第一象限内的一点，
设 ， ，则 ，即 ， …………1分
由题知， ，解得 ， …………3分
抛物线 的方程为 ； …………4分
（2）由上可知，点 的坐标为 ，
若直线 的斜率不存在，则直线 垂直于 轴，
P是 与 轴的交点，显然是 的中点，
若直线 的斜率存在，易知该直线斜率不为0，
可设直线 的方程为 ， ……5分
联立 整理得 ， ……6分
设点 ， 的坐标分别为 ， ，则 ， …………7分
则 ， 的坐标分别为 ， ，
直线 的方程为 ，于是点 的坐标为 ， …………8分， ， 三点在同一直线上， ，
是线段 的中点； …………9分
（3）可设 （ ）， …………10分
由上可得 ， ，
由 ，得 ，解得 ， …………11分
点 的坐标为 ，由题意得直线 必不垂直于 轴，
可设 ，联立
整理得 ， …………12分
其中 恒成立，
设 ， ，
由韦达定理，有 ， ， …………13分
进而得 ，
， …………14分
，
综上可得，直线 ， 的斜率之积为定值 . …………17分
