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高一数学第二次月考题参考答案 第1 页 （共5 页）
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2025—2026 学年度第一学期高一第二次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 （选择题，共58 分）
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
A
A
D
C
B
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。）
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD
【选择题解析】
1．
的否定为，“ ”的否定为“ ”，
“
，
”的否定为“
，
”，故选：C.
2．由任意角的概念和角的分类可知α=−7π
6
是第二象限角，故选B.
3．由于
,
,∴f( 2).
−
f( )<0,
−
又f(0)=2
0+3>0,f(1)=2
1
1+3>0,
−
f(2)=2
2
4+3>0,
−
由零点存在性定理，f(x)在区间
内有零点；故选A.
4．y=0.2
x在R上为减函数，∴0.2
0.5<0.2
0.4<1 ，
，
∴
. 故选A.
5．∵
的定义域为
，
∴
，∴
为奇函数，排除B、D；
又当
时，
，故A 满足，C 排除; 故选A.
6．当x≤0时，f(x)=(
1
2)
x
=2
x
−，则：2
x
−≥2，
因为指数函数y=2
t是增函数，所以−
.
当 x>0时，f(x)=log2x，则：log2x≥2，对数函数y=log2t是增函数，所以x≥2
2=4
所以x 的取值范围是(
∞
−
故选D.
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7．由已知，函数
与函数
互为反函数，则
．
由题设，当
时，
，则
．
因为
为奇函数，所以
.故选：C．
8．解法一：f (x)=3+ax
x
2+2 关于点(0,3)对称，故M+N=6
解法二：特殊值法：可令a=1,x
x
2+2
={
0, (x=0)
1
x+2
x
(x≠0) 则有基本不等式：
x= ❑√2时，最大值M=3+
❑√2
4
, x=−❑√2时，最小值N=3−
❑√2
4
, M+N=6，故
选B.
9．这道题需要结合函数的单调性来分析每个选项，已知0 < a < b < c：
选项A，因为c > 0，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，
由a < b 可得ac < bc，该选项不成立。
选项B，函数y=x
3在R上是增函数，因为 a< b，所以a
3<b
3，该选项成立。
选项C，函数y=(
1
2)
x
在R上是减函数，因为 a< b，所以(
1
2)
a
>(
1
2)
b
，该选项成立。
选项D，函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数，
因为0<a< b，所以log2a<log2b，该选项成立。故选BCD。
10．选项A，设
，恒过点
，解得
，即
；A 正确
选项B，f(x)定义域为
；B 错误
选项C，f(x)=1
x
2 ，在
上单调递增，在
上单调递减：C 错误
选项D，f(x)值域为
，故无最小值；D 正确 故选:AD.
11．因为∀x,y∈R，则有f (x−y)=f (x)−f (y)，
令x=y=0，则f (0)=f (0)−f (0)，则f (0)=0，故A 正确；
设∀x1,x2∈R且x1<x2，则x2−x1>0，由f (x−y)=f (x)−f (y)，
令x=x2，y=x1，则f(x2−x1)=f(x2)−f(x1)，因为x>0时，f (x)<0，又x2−x1>0，
故f(x2−x1)<0，
所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)<0，所以f(x2)<f(x1)，
令x=0，则f (0−y)=f (0)−f (y)=f (−y),故f (x)为奇函数，
又因为连续函数f ( x)
，即f (x)在R上单调递减，故B 错误；
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又f (1)= 2
−， f (0)=0 所以f (
1
−)=f (0)−f (1)=2，f (
2
−)=4
f (
3
−)=f (
2
−)−f (1)=6,
f (x)在R上单调递减，故f (x)在[
3,3
−
]上的最大值为f (
3
−)=6，故C 正确；
不等式f(3x
2)>f (2x)
2
−⇒f(3x
2)−f (2x)> 2
−
⇒f(3x
2
2
−x)>f (1)⇒3x
2
2
−x<1 3
⇒x
2
2
−x
1<0
−
解集为{x|−1
3 <x<1}故D 正确；故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92 分）
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12．
13．
14．
(3, 4]
【解析】
12．由题意可得
，解得
.
因此，函数
的定义域为
.故答案为：
.
13．由三角函数的定义可得
，
，
因此，
，故答案为
．
14．已知f ( x)−loga x=0恰好有4 个解，即y=f ( x)与y=loga x 有4 个交点，
即图像
f (x)=⟨x⟩−x
要满足恰好有4 个交点，即
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a>1
loga3<1 ⇒3<a≤4
loga4≥1
故答案为(3, 4].
四、解答题（本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）
15.【详解】
（1）原式=2×1
2
1+
−(
3
2)
2
=9
4 .
…………6 分
（2）原式=
log34−log332
9 +log38=log3(4÷32
9 ×8)=log3(4×9
32 ×8)=log39=2
…………13 分
16.【详解】
（1）由题可知
，
，
解得
，
，所以
.
…………5 分
因为
，所以
，所以
在
上的值域为
.……8 分
（2）当
时，
在区间
上单调递增，
…………9 分
所以
，
，
…………12 分
因此
，解得
或
（舍去）.
…………14 分
所以
.
…………15 分
17.【详解】
（1）根据图象，模型B
，最符合题意.
……2 分
（2）①因为销售利润x 为0 万元时，总奖金y 为0 万元，
所以
，即
，
…………5 分
又因为销售利润x 为30 万元时，总奖金y 为3 万元，
所以
，即
，
…………8 分
由
解得
，所以
，
…………10 分
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②如果总奖金不少于9 万元，即
，…………12 分
即
，即
，解得
，
…………14 分
所以至少应完成销售利润210 万元.
…………15 分
18.【详解】
（1）由
，解得：
或
，所以定义域为
…………5 分
（2）
为奇函数，证明如下：
…………6 分
由（1）可知，定义域关于原点对称
又
，
所以
为奇函数；
…………10 分
（3）因为
，
…………12 分
又外部函数
为增函数，内部函数
在
上为增函数，
由复合函数的单调性知函数
在
上为增函数，
…………14 分
所以
，
又
对于
恒成立，所以
，所以
，
所以实数
的范围是
.
…………17 分
19.【详解】
（1）对任意的
，
，所以，函数f (x)=log2(4
x+1)+kx的定义域为
，
因为函数f (x)=log2(4
x+1)+kx的偶函数，则
，
即log2(4
−x+1)−kx=log2(4
x+1)+kx，
所以，2kx=log2(4
−x+1)−log2(4
x+1)=log24
−x+1
4
x+1
=log24
x(4
−x+1)
4
x(4
x+1)
=log21
4
x
，所以，k= 1
−.
…………5 分
特殊值法求：例如f (
1
−)=f (1), f (
2
−)=f(2)求对给4 分，不检验扣1 分
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（2）因为f (x)=log2(4
x+1)−x
2=0
−
，即log2(4
x+1)=x+2
即4
x+1=2
x+2⇒(2
x)
2+1=4∙
2
x⇒(2
x)
2
4
−∙2
x+1=0
令t=2
x,则t
2
4
−t+1=0⇒t=2±❑√3⇒x=log2(2±❑√3)
…………10 分
（3）函数
与
图象有
个公共点，
f ( x)=log2(4x+1)−x=log2(4x+1)−log22x=log2(2x+2−x)
由
可得
，
可得
，即
，
因为
，则
，
设
，则
，又
在
上单调递增，
由题意可知，关于的方程
有两个不等的正根，
所以，
，解得
.
即
的取值范围为
.
…………17 分
