文档文本内容
河北省沧州市四校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知 ， ，则线段 的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如果点 的坐标满足方程 ，则 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线
3．已知椭圆 ： ，若过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点， 为线段 的中点，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，
则两平面间的距离是
A． B． C． D．
5．直线 为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐
代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 ： 的右支与 轴
及直线 ， 围成的曲边四边形 绕 轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，则此双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行六面体 中， ， ，则直
线 与直线 所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个
圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆
的面积为 ，两个焦点分别为 ，点 是椭圆 上的动点，点 是点 关于原
点的对称点，若四边形 的周长为8，则四边形 面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．2
二、多选题9．已知圆 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，圆 与圆 相离
B．当 时， 是圆 与圆 的一条公切线
C．当 时，圆 与圆 相交
D．当 时，圆 与圆 的公共弦所在直线方程是
10．如图，正方体 的棱长为1，E，F，G分别为 的中点，则下列说法正确的
是（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面 的距离相等
11．已知点 是双曲线 ： 的右支上一点， ， 为双曲线 的左、右焦点， 的面积为
20，则下列说法正确的有（ ）
A．点 的横坐标为 B． 的周长为
C． 的内切圆半径为1 D． 的内切圆圆心的横坐标为4
三、填空题12．若直线 与直线 垂直，则 .
13．已知圆 的方程为 ，点 是直线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线 ，
， ， 为切点，则四边形 的面积的最小值为 ，直线 过定点 .
14．已知双曲线 ： 与椭圆 有公共的左、右焦点 ， ，以线段 为
直径的圆与双曲线 及其渐近线在第一象限内分别交于点 ， ，且线段 的中点在另一条渐近线上，
则 （ 为坐标原点）的面积为 .
四、解答题
15．已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)若线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
16．已知抛物线 ，过点 作直线 .
(1)若直线 与抛物线 只有一个公共点，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 ，且交抛物线 于 、 两点，求线段 的长.
17．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， 分别是 的
中点，F在SE 上，且 .
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
18．如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为 ，隧道的高为 .车辆只能在道路中
心线一侧行驶，一辆宽为 ，高为 的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.（参考数据：
）
19．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右焦点， ， 分别为
的左、右顶点，椭圆 的右顶点到右焦点的距离为1， 为坐标原点.椭圆 上一点 在第一象限，点 与
点 关于原点对称，连接 ，并延长与椭圆 交于点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B D A B A ABD BC
题号 11
答案 ABD
1．C
根据题意，利用中点公式，准确计算，即可求解.
【详解】由点 ， ，
则线段 的中点坐标为 ，即 .
故选：C.
2．D
根据所给方程的几何意义分析点 的轨迹.
【详解】设 ，则 .
由题可知， ，
所以点 的轨迹是射线.
故选：D.
3．A
设 点坐标，代入椭圆方程中，作差化简可得答案.
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，
因此 ，点 ， 满足椭圆方程 ，
两式相减得： ，即 ，
则 ，即 ，
整理得 ，因此直线 的斜率为 .故选：A
4．B
【详解】 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ， ，且两平面的一个法向
量 两平面间的距离 ，故选B.
5．D
由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得 ，可得倾斜角 的范围.
【详解】直线 为常数）的斜率为 ，
故直线的倾斜角 满足 ．又 ， ，
， ，或 ， ，
故选：D．
6．A
求出点 的坐标，将其代入双曲线方程中，求出方程即可.
【详解】由题意可得， ， ，且 、 都在双曲线 上，
所以 ，解得 ，则双曲线的渐近线方程为 .
故选：A.
7．B
利用基底表示出 ，结合向量夹角公式求得正确答案.
【详解】连接 ，
以 为空间一组基底，
则 ，，
所以 ，
，
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ,
由于异面直线夹角的取值范围是 ，所以 .
故选：B
8．A
根据面积以及焦点三角形的周长可得 ，即可根据面积公式即可求解.
【详解】由于 是点 关于原点的对称点， 也关于原点对称，故四边形 为平行四边形，
由题意知 ，得 ，又 ，得 ，又 ，解得 ，
三角形 的面积为 ，
当 取最大1时，三角形 的面积最大， 的最大值为 ，
所以四边形 面积的最大值为 .
故选：A
9．ABD
通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆
圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径为.
则两圆的圆心距 .
对于A，当 时， . ，知圆 与圆 相离，A正确；
对于B，当 时， ，由 可得两圆相离.
因圆心 到 的距离为 ；圆心 到 的距离为 ，
故 是圆 与圆 的一条公切线，B正确；
对于C，当 时， ，因为 ，两圆相离，C错误；
对于D，当 时，将两圆方程相减得： ，
整理得 ，即圆 与圆 的公共弦所在直线方程是 ，D正确.
故选：ABD.10．BC
A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得
到平面 截正方体的截面为 ，然后求面积；D选项根据点 和点 与平面 的位置判断.
【详解】
A选项： 为正方体，所以 ，直线 与直线 不垂直，所以直线 与直线
不垂直，故A错；
B选项：取 中点 ，连接 ， ，因为 ， ， 分别为 ， ， 中点，
所以 ， ，又 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 ∥平面 ，
因为 平面 ，所以 ∥平面 ，故B正确；
C选项：连接 ， ，因为 为 的中点，所以 ，所以平面 截正方体的截面为
， ，
故C正确；D选项：连接 交 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
因为 为 的中点，所以 ， ，又 ，所以 ，
即 为 的三等分点， 不是 的中点，所以点 和点 到平面 的距离不相等，故D错.
故选：BC．
11．ABD
根据三角形 的面积，及焦距的长求得点 的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点 的横坐标，判断
A；由点 的纵坐标及两点间距离公式，求得 ，利用双曲线的定义求得 ，进而求得 的周长
判断B；由等面积法求得 的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得
的内切圆圆心的横坐标，判断D.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
设 ，
对于A，因为 的面积为20，即 ，所以 .
代入双曲线 ： ，得 ，所以 .故A正确；
对于B，由A知 ，所以 .
所以 的周长为 .故B正确；
对于C，设 的内切圆半径为，则 ，解得 .故C错误；
对于D，设 的内切圆 在 上的切点分别为 .
则设 ，则 ，解得 .所以D正确.
故选：ABD.
12． 或0
根据两条直线垂直的充要条件可得.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以 ，即 ，解得 或 .
故答案为： 或0.
13．
将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的
方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得.
【详解】如图：
因为 ，
所以只有 最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得，
，所以此时 .
再设 ，则 ，因四边形 在以 为直径的圆上，得圆的方程： ，即 ，
与 相减，得直线 的方程为， ，再由 ，
所以直线 的方程为， ，即 ，
令 ，得 ，所以直线过定点 .
故答案为： ； .
14．6
由椭圆的方程写出焦点 ， 的坐标，得到以线段 为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点
的坐标，进而得到线段 的中点的坐标，代入另一条渐近线求得 的值，得到双曲线 的方程，与
圆的方程联立求得点 的坐标，根据 （ 为坐标原点）的面积等于 求得其面积.
【详解】由椭圆 知 ，所以 .
双曲线 ： 的渐近线方程为 .
以线段 为直径的圆的方程为 .
由 ，得 ，所以 ，所以 .
记线段 的中点为 ，则 .
点 在 上，所以 ，解得 ，所以 .所以双曲线 的方程为： .
由 ，得 ，所以 .
所以 （ 为坐标原点）的面积为 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）先求得线段 的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线 的方程求得圆心 的坐
标，进而求得半径，从而求得圆 的标准方程.
（2）设出点 的坐标，用 的坐标表示点 的坐标，将点 的坐标代入圆 的方程，化简求得点
的轨迹方程.
【详解】（1）设点 为线段 的中点，直线 为线段 的垂直平分线，则 ．
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
所以圆心 ，
半径 ，
所以圆 的方程为 ．
（2）设点 ．因为点 的坐标为 ，所以 即
又点 在圆 上运动，所以 ，
即线段 的中点 的轨迹方程为 ．
16．(1) 或 或
(2)
（1）对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率不存在时，直接验证即可；在直线 的斜率存
在时，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物线方程联立，由 求出 的值，综合可得出
直线 的方程；
（2）设 、 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长
公式可求得 的值.
【详解】（1）若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，与抛物线 只有一个公共点，符合题意；
若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，
联立 消去 得 ，
因为直线 与抛物线 只有一个公共点，
所以 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 .
综上，直线 的方程为 或 或 .
（2）因为直线 过点 ，又过点 ，所以直线 的方程为 ，
设 、 ，联立 消去 得 ，则 ，
因为点 为抛物线 的焦点，故 ，即线段 的长为 .
17．(1)证明见解析
(2)存在，
（1）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由 ，求得 ，得到 的坐标，结合
，即可证得 ；
（2）假设存在满足条件的点 ，设 ，求得平面 和平面 的法向量分别为 和
，结合向量的夹角公式，列出方程，求得 的值，即可得到答案.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以 .
（2）解：假设存在满足条件的点 ，设 ，则 ，
所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为 为 的中点，且 ，所以 ，
由（1）得 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又因为平面 与 的夹角为 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，所以满足条件的点 存在，且 .
18．不能，理由见解析
建立平面直角坐标系，求解圆拱形所在的圆的方程，进而判断.
【详解】解：如图，以水平直线为 轴，隧道的高所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
设截面圆拱形所在圆圆心为 ，由题意知 ， ，由 ，得 ，解得 ，
所以半径 ，
所以圆的方程为 ，
因为车辆只能在道路中心线一侧行驶，
所以当 时， .
所以一辆宽为 ，高为 的货车不能驶入这个隧道.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明：由椭圆的方程得 ， ，
设 ， ，则 ，
由题意得直线 斜率不为零，设直线 的方程为 ，联立 得 ，
显然 ， ， ，
所以
，
