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江西省赣州市十八（市、区）二十四校2025-2026学年高二上学期第54次
期中联考数学试题
一、单选题
1．已知空间四点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．已知 分别是双曲线 的左､右焦点， 是 上一点，且 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在空间直角坐标系 中，点 到 平面的距离为1，到 平面的距离为2，到 平面的距离
为3.则以 为直径的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正三棱锥 中， 分别是 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线 与抛物线 关于直线 对称，则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 分别是椭圆 的左､右顶点，点 满足 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．8．已知圆 ，点 ，在圆 上存在点 ，使得 为钝角，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 在 轴上的截距为3
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 相交于一点，则
10．在正四棱台 中， ，则（ ）
A． 和 是相等向量
B．
C．向量 在向量 上的投影向量为
D．向量 在向量 上的投影数量为2
11．如图，在等腰梯形 中. 为线段 上的一点.以 ， 为顶点
的双曲线 经过点 ，且 ，则 的离心率可能为（ ）A． B． C．2 D．
三、填空题
12．在空间直角坐标系 中，点 为整数，则 的最小值为 .
13．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为 的椭圆被一条橫线截去一小部分后剩下的
图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为 .底部的宽度为 .则该镜子的高度为 .
14．在三棱柱 中， 的外心
为 ,则 的长为 .
四、解答题
15．已知圆 的圆心在直线 上，且圆 过 和 两点.
(1)求圆 的标准方程；
(2)求圆 与圆 的公共弦长.
16．已知双曲线 .(1)求 的取值范围.
(2)已知 的渐近线方程为 .
①求 的值；
②若过点 的直线 与 交于 两点.且 为 的中点，求 的斜率.
17．已知直线 ，圆 .
(1)证明： 过定点 .
(2)若 与圆 相切，求 的方程.
(3)若点 在圆 上，求 的取值范围.
18．已知 是抛物线 的焦点， 为 上一个动点，且 的最小值为2.
(1)求 ；
(2)若 为坐标原点， .求 ；
(3)已知直线 的倾斜角与直线 的倾斜角之差为 均经过 与 交于 两点， 与 交于 两
点，且 ，求 的方程.
19．以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆 的焦距
为 ，短轴长为2.
(1)求 及 的辅助圆的方程.
(2)已知与 轴平行，且不经过原点 的直线 与 及 的辅助圆分别交于 两点（ 均在同一个象
限），过 作 的辅助圆的切线与 轴交于点 ，且直线 的斜率为 ，记 的面积为 ，证明：
.
(3)已知斜率不为0，且不经过原点 的直线 与 交于 两点，判断在 的辅助圆上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形.若存在，求 面积的最大值；若不存在，说明理由.参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C D C B BC BCD
题号 11
答案 BCD
1．C
【详解】依题意， .
故选：C
2．C
【详解】由 ，得 ， ，
圆心 到 的距离 ，即 ，
所以 与圆 的位置关系是相离.
故选：C
3．D
【详解】由题意得 得 .
故选：D
4．B
【详解】在空间直角坐标系 中，设点 ，
因为点 到 平面的距离为1，到 平面的距离为2，到 平面的距离为3；
所以
则以 为直径的球的半径为 ，
所以该球的表面积为 .
故选：B
5．C【详解】由 ，
所以 ，由于 ，所以
在正三棱锥中， ，则三角形 是等边三角形，
分别是 中点，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C
6．D
【详解】由题意得 的焦点为 ，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 得
故 的焦点坐标为 .
故选：D
7．C
【详解】过 作 垂直于 轴，垂足为 .
由于 ，所以 ， ，
则 .在 中，由 ，得 ，
.
故选：C
8．B
【详解】如图，设圆 ，当圆 上存在一点在圆 内时， 为钝角，
所以点 在圆 内，等价于圆 与圆 相交，内切或内含，
，得 .
故选：B
9．BC
【详解】选项A：令 中 ，得 ，故 在x轴上的截距为 ，A错误.
选项B： 斜率为 ， 斜率为 ，若 ，则 ，解得 ，B正确.
选项C：若 ，则 ，解得 ，C正确.
选项D：由 解得 ，所以 与 的交点为 ，代入 得 ，解得 ，D错误.
故选：BC
10．BCD
【详解】如图， 和 是相反向量，A错误.
根据正四棱台的性质可知 ，则 ，B正确.
A B C D
1 1 1 1
设上底面 在下底面的射影为 ，
延长 交 于点 ，连接 .
根据正四棱台的性质可知 ，
平面 ，
平面 平面 ， ，
向量 在向量 上的投影向量为 .
，
则 向量 在向量 上的投影向量为 ，C正确.
向量 在向量 上的投影数量为 ，D正确.
故选：BCD
11．BCD
【详解】如图，以 的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设，得 ，易得 ，
则 .
设 ，则 ，得 ，
则 ，将 ，
代入 的方程，得 ，得 ，
则 .
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，故 .
故选：BCD.
12．4
【详解】 ，
因为 为整数，所以 的最小值为4.
故答案为：4
13．9
【详解】如图，以椭圆的中心为原点 ，建立直角坐标系，
设椭圆的方程为 ，焦距为 .由 得
所以椭圆的方程为 .
当 时， ，得 .
由图可知镜子的高度为 .
故答案为：
14．
【详解】
设 ,由题意知 ,则
,得 ,得 ,
因为 ,所以
.
故答案为： .
15．(1)
(2)
【详解】（1）设圆 ，
由题意得
得
所以圆 的标准方程为 .
（2）圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心距 ，所以两圆相交.
由 ，两式相减得 ，
则圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为 .因为点 到直线 的距离 ，
所以圆 与圆 的公共弦长为 .
16．(1)
(2)① ；②
【详解】（1）由题意得 ，
得 ，所以 的取值范围为 .
（2）①由 ，得 ，则 ，
所以 的渐近线方程为 ，得 .
②由①得 .设 ，则 .
由
得 ，得 ，
得 ，所以 的斜率为 .因为 在 上支的上侧， 的斜率 ，所以 与 必定相交于两点.
第（2）②问还可以这样解答：
由①得 .易知 的斜率必定存在，设 ， ）.
由 得 ，
得 ，解得 .
此时 ，所以 的斜率为 .
17．(1)证明见解析
(2) 或
(3)
【详解】（1）由题意得 .
由
得 所以 过定点 .
（2）法一：
由题意得圆 的圆心为 ，半径为1.由 ，得 或1.
故 的方程为 或 .
法二：
由题意得圆 的圆心为（0，1），半径为1.
当 的斜率不存在时，直线 与圆 相切.
当 的斜率存在时，设 ，即 .
由 ，得 ，则 .
故 的方程为 或 .
（3）由题意得 ，
表示点 到点 的距离的平方.
因为 ，
所以 1.
故 ，
即 的取值范围为 .
18．(1)
(2)(3)
【详解】（1）由抛物线的性质可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，即 ，解得 ；
（2）由（1）得 抛物线 的准线方程为 .
过点 作 ，垂足为 .设 ，因 ，则 ,得 ，
则点 的纵坐标为 ，由抛物线定义得 ，解得 ，所以 .
（3）设 的倾斜角为 ，易得 ，斜率 ，则 的倾斜角为 ，
其斜率 .
设点 易得 .
由 消元得 ，则有
于是， .
以 代 ，得 .
由 ，可得 ，解得 或 .
当 时， ，又 ，所以 不符合题意，
故 的方程为 ，即 .19．(1) ，
(2)证明见解析
(3)存在，最大值为1
【详解】（1）设 的焦距为 ，则 得
所以 的方程为 ，
的辅助圆的方程为 .
（2）方法一：证明：设 ，直线 与 轴交于点 ，则 .
由 得 .
易证 ，则 ，得 ，
所以 .
方法二：证明：不妨假设 均在第一象限或第二象限，设直线 的方程为 或0
），由 ，得 ，得 .
直线 ，令 ，得 .
故 .
同理可证 在第三象限或第四象限时， .故 .
（3）设点 .
由 得 ，
由 ，得 ，
得
假设在 的辅助圆上存在点 ，使得四边形 是平行四边形，则 ，
得 .
因为 在 的辅助圆上，所以 ，得 ，满足 ，所以在 的辅助圆上存在点 ，使得四边形 是平行四边形.
直线 在 轴上的截距为 ，
则
，
将 ，
得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 面积的最大值为1.
