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绝密★启用前
6. 设直线 l :x-2y+3= 0 与直线 l :( m+1)x-( m2 +2)y+ 3m - 1 = 0 的方向向量共线，则 l 与 l 之间
1 2 1 2
江西赣州市 2025—2026 学年高二年级 10 月 联考
的 距离为
数 学 试 卷
A . B . 或 C . 或 D .
试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
7. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图 1) , 其几何模型可以简化为如图 2 所
注意事项：
示 的几何体，其中ABCD-A B C D 是长方体，且 AB= 6 , BC= BB = 4 , A B C D -A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
1 . 考查范围：必修第二册第六章占 20% , 选择性必修第一册第一章占 80% 。 是棱台，侧 面的梯形均为等腰梯形，A B = 3 , 棱台的高为 2 , 则该几何体的表面积为
2 2
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 D 2 C 2
3 . 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 A
2 ·· D 1 C
改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 A ' :
试卷 上无效。
I
I
I
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 , D - - - - - - - - - - - - - - - - - - C
,
,',
A B
图 1 图 2
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目 要求的． A . 110+9\ B . 119+9\ C . 125+9\ D . 149+9\
1 . 直线 4x- 4\ y+1 = 0 的倾斜角为 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，P(3 , 4) , Q(1 , 1) , 则∠POQ 平分线的方程为
A . y = x B . y = x C . y = x D . y = x
2 . 坐标原点 O 到直线 x+y-\ = 0 的距离为 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是
A . 任意一条直线的倾斜角都存在
2 2
3. 若直线 x+3y- 2= 0 平分圆(x-a) +(y- 2) = 1 的周长，则 a =
B . 倾斜角为钝角的直线必过第三象
A . 4 B . 2 C . 1 D . - 4 限 C . 两条平行的直线一定有相等的
斜率
4. 已知圆 C
1
:x2 +y2 = 1 与圆 C
2
:x2 - 2√3 ax+y2 - 2ay- 1= 0(a≠0) 交于 A , B 两点，则直线 AB 的一般式
D . 若直线 l 的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
10. 在正方体 ABCD-A B C D 中，M , N 分别为 BC , CD 的中点，点 P 是 D M 上靠近点 M 的三
方程为 1 1 1 1 1
等分 点，则
A . M , N , B , D 四点共面
1 1
B . A , P , C 三点共线
1
C . 异面直线 B M 与 AA 所成角的正弦值为
5 . 圆 O :x2 +y 2 = 与圆 O : 的公切线条数为 1 1
1 2
A . 0 B . 2 C . 3 D . 4
D . 直线 A P 与底面 ABCD 所成角的正弦值为
1
2 2
11 . 已知直线 l:ax+by = ab(ab>0)与圆 C:(x- 1) +(y+1) = 4 , 则
A . l 截 C 的弦长可能为 4 B . l 截 C 的弦长不可能为 3
C . 当 ab<2 时，l 一定与 C 相交 D . 当 ab>2 时，l 可能与 C 相切
高二数学 第 1 页（共 4 页） 高二数学 第 2 页（共 4 页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 17. (15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1 , 2) , B(5 , 0) .
( ) (1)若两个分别以 A , B 为圆心的圆相切，设其半径分别为 r , r , 讨论 r , r 满足的等量关系；
12 . 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 m ( m≠0) , 且 l 过点 A m , m ， 则 l 的斜率为 ． (2)若圆心为 P(a , b)的圆经过 A , B 两点，求圆 P 的方程． 1 （ 结 2 果 用含 a 1 的 2 式 子表示）
13. 过( - 1 , 0) , (3 , 0) , (0 , 2)三点的圆的标准方程为 ．
14. 在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC , AB⊥BC , PA= AB= BC= 2 , M , N 分别为 PA , AB 的中点，
平面 α过点 M 且平行于平面 PNC , 则 α截三棱锥 P-ABC 所得截面图形的形状为 ，截
面图形 的周长为 ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 . ( 13 分）如图 ， 在△ABC 中 ， AC⊥BC , AB = \ 5 , BC= 2 , 将△ABC 沿 AC 旋转至△PAC , 使得 PB= 2\ ．
(1)求点 A 到平面 PBC 的距离；
(2)求二面角 A -BP- C 的余弦值． 18. (17 分）过点 M( - 2 , 0)的直线 l 与圆 O :x2 +y2 = 1 交于 A , B 两点，分别在 A , B 处作圆 O 的切
P 线， 这两条切线相交于点 N.
(1)当 NA⊥NB 时，求 sin∠BMO 的值；
C
(2)当 l 的斜率为 时，求△OAB 的面积；
B
A (3)当 MN = 2 时，求△NAB 的外接圆的周长．
16. ( 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l :x-my+ 1 = 0 过定点 A , 直线 l : mx+y- m - 1 = 0
1 2
过定 点 B , l 与 l 交于点 P.
1 2
(1)求 AB ; 19. (17 分）设圆 M:(x-3) 2 +(y- 4) 2 = 25 , 直线 l:( m+1)x+(2m+1)y = 7m+4.
(2)求△PAB 面积的最大值．
(1)证明：l 始终与圆 M 相交；
(2)设 l 与圆 M 交于 A , B 两点．
(i)求过 A , B , 且半径为 5 的圆的圆心 N 到原点 O 的距离的最值；
—→ —→
(ii)证明：存在唯一的定点 P , 使 PA ·PB 为定值，并求出该定值．江西赣州市 2025—2026 学年高二年级 10 月 月考
数学参考答案及评分细则
1 .【答案】A
【解析】设该直线的倾斜角为 α, 其斜率 k = = = tan α, 由 α∈ [0 , π)可知 α= 故选 A .
7.【答案】C
【解析】先求下半部分，表面积为 6×4×3+ 4×4×2 = 104. 再求上半部分，上长方形的面积为 3×2=
6. 前后两部分的 梯形的高为 则这两个梯形的面积之和为(6+3) ×\ × ×2=
9\ ．左右两部分的梯形的 高为 则这两个梯形的面积之和为(4+ 2) × ×
×2= 15 , 因此总表面积为 125+ 9\ ．故 选 C.
8.【答案】C
【解析】设直线 OQ 的倾斜角为 α, 直线 OP 的倾斜角为 β,则 tan α= 1 , tan β= , 易得∠POQ 平
分线的倾斜角为ｎ α β
α β ａｎ
α αβ t α β
+ = ,且 tan( + ) = ｔ ｎ ｔａ β = -7 , 故 tan( + ) = β= -7 , 解得 tan
1 a n
β β
= 或 tan =
（舍去），故∠POQ 平分线的方程为 y = x. 故选 C .12.【答案】1
易得 l 过点 故直线 l 的斜率 k = = 12
(
13.【答案】(x- 1) 2 y =
+
[a = 1 ,
[( - 1 -a) 2 = 2 | 1
| r | b = ,
【解析】不妨设圆的标准方程为(x-a) 2 +( 2 y
r
= - 2 +b2 , 由{ (3 r2, 可解得
程
{
为
4
|
于是圆的标准方
b)
-a) 2 +b2 = a2
r2,
l
| r 2 =
65
,
+(2-b) 2 = 16
2
(
(x- 1) 2 y = .
+
14 .【答案】三角形 \ ＋\ （第一空 2 分 ， 第二空 3 分）
【解析】如图，取 AN 的中点 E ,AC 的中点 D , 连接 DE , ME , MD. 显然 DE∥NC , 而 NCC平面
PNC , DE丈平面 PNC , 故 DE∥平面 PNC , 同理可得 ME∥平面 PNC , 而 ME∩DE = E , MEC平面
MDE , DEC平面 MDE , 故平面 MDE∥平面 PNC
,
故所截得图形为三角形．易知△MDE ∽ △PCN
,
且相似比为 1 :2 , 易解得 PN= NC =\ ，PC= 2\ ， 故△MDE 的
周长为\ ＋\ ．
P
M
N
A ·· · ·.. E · ·· B
D
C
15. 解：(1)在△ABC 中，AC⊥BC , AB = \ ，BC= 2 , 由勾股定理可得
AC= 1 , ( 1 分） 由旋转不改变原图形的性质，因为 AC⊥BC , 所以
AC⊥PC , (2 分）
又因为 BC∩PC= C , BC , PCC平面 PBC , (3 分）
所以 AC⊥平面 PBC , (4 分）
故点 A 到平面 PBC 的距离即 AC = 1 . (5 分）
(2)取 BP 的中点为 D , 连接 AD , DC ,
由(1)知 AC⊥平面 PBC , 又 CDC平面 PBC , 所以 AC⊥CD.
因为 BC= CP , AB= AP , 所以 CD⊥BP ,
AD⊥PB , (7 分） 故∠ADC 为二面角 A -BP- C
的平面角．(9 分）在等腰三角形 PBC 中 ， 由 PB= 2\ ， BC= 2 , 解得 CD= 1 , (10 分）
即二面角 A -BP- C 的余弦值为 ．( 13 分）
P
D
` 、、 C
B
A
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
16. 解：(1)易得点 A( - 1 , 0) , ( 1 分）
将 l 表示为 m (x-1)+y- 1= 0 , 易知该直线可表示为过直线 x-1= 0 与 y- 1= 0 交点的
2
直线，(3 分） 易知交点为 B(1 , 1) , (4 分）
(2) 由 1 ·m+( -m ) ·1= 0 可知两条直线垂直，垂足为 P , 故 AP丄
BP , (9 分） 故由勾股定理可知 AP 2 + BP 2 = AB 2 = 5 , ( 11
分）
1 AP 2 + BP 2 5
故△PAB 的面积 S = AP BP i ≤ = ,
2l · l l 4
( 13 分）
4
当且仅当 AP = BP = 时等号成立，故△PAB 面积的最大值为 ．( 15 分）
【评分细则】
第二问考生不说明取等条件不扣分．17. 解：(1) 由题知，两圆圆心距 AB = \ = 2\ ，(2 分）
当两圆外切时 ， 两圆半径之和等于圆心距 ， 即 r +r = 2\ ；(4 分）
1 2
-r
当两圆内切时 ， 两圆半径之差的绝对值等于圆心距 ， 即 r = 2\ ．(7 分）
1 2
(2)设圆 P 的方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r2 , (8 分）
因为圆 P 经过 A , B 两点，将其代入圆的方程，得
将两式相减消去 r2 , 整理得 b= 2a-5 , (12 分）
所以(1 -a) 2 +[2- (2a-5)] 2 = r2 , 解得 r2 = 5a2 - 30a+50 , (14 分）
所以圆 P 的方程为(x-a) 2 +(y- 2a+5) 2 = 5a2 - 30a+50.
( 15 分） 【评分细则】
第一问讨论内切时，若半径的等量关系未写绝对值扣 1 分．
18. 解：(1)不妨记 ON 与 AB 交于点 P , 由几何关系易知
ON⊥AB , ( 1 分） 由 NA⊥NB , OA⊥NA , OB⊥NB 可知四
边形 OANB 是矩形，
由 OA = OB 可知其为正方形．(3 分）
于是 OP = OA = , 而 OM = 2 , (5 分）
(2)易得 tan∠PMO = , 由 OM = 2 可解得 OP =
, (9 分） 而 PA = \ ＝ ，于是 AB
= , ( 11 分）
故△OAB 的面积 S = OP AB = . (12 分）
(3)注意到 MN = MO , 而 ON⊥AB , 故 P 为 ON 的中点，易知 P 为 AB 的
中点，( 13 分） 故由垂直关系和对角线关系可知四边形 OANB 是菱形，
由 OB⊥NB 可知其为正方形，且边长 OA = 1 , ( 15 分）
\
故△NAB 的外接圆半径即正方形 OANB 的对角线长的一半即
2
,
故△NAB 的外接圆的周长为\ π. (17 分）
【评分细则】若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
19. (1)证明：圆 M:(x-3) 2 +(y-4) 2 = 25 , 其圆心 M 的坐标为(3 , 4) ,
半径 r= 5 , 直线 l:( m+1)x+(2m+1)y = 7m+4 , 即 m (x+2y- 7)+
(x+y-4) = 0.
.
联立 解得 即直线 l 过定点 P (1 , 3) (2 分）
0
由于 P M = \ ＝\ ＝\ <5 = r ,
0
所以 P (1 , 3)位于圆 M 的内部，即直线 l 始终过圆内的一个点，它必然会与圆交于两
0
个不同的点， 因此，直线 l 始终与圆M 相交．(4 分）
(2)(i)解：由题意得点 N 到 A , B 的距离
均为 5 , 由于 M(3 , 4)到 A , B 的距离也
为 5 ,
所以N 与 M 重合，或 N 是 M 关于直线 l 的
对称点， 所以 NP = MP = \ ，
0 0
则 N 的轨迹是以 P (1 , 3)为圆心、\ 为半径的圆(x- 1) 2 +(y - 3) 2 = 5 . (7 分）
0
且 N 的轨迹不过点 ， ，因为直线 l 表示除 x+2y- 7 = 0 之外的所有过点 P (1 , 3)的直线．
0
/
OP = \ 1 2 +3 2 = \ ，(8 分）
0
所以 ON 的最大值为 \ ＋ \ ， 最小值为 \ － \ ．(10 分）
(ii)证明：定点 P 即为 P (1 , 3) . ( 11 分）
0
-→ -→
先证明存在性：即证明当 P 为 P (1 , 3)时，P A ·P B 为一个定值，
0 0 0
-→ -→ -→
- - - - - - - - -
取线段 AB 的中点为 Q , 则 P · P = ( P ＋ ＱＡ) · ( P ＋ ＱＢ) = P 2 - ＱＡ2 = ( P
→ → → →
→
- - - -
Ｍ2 - M Ｑ2 ) - ( M Ａ2 - M Ｑ2 ) = P Ｍ2 -r2 = -20 , 故定值为- 20. ( 13 分）
-→ -→
再证明唯一性：假设存在不同于 P (1 , 3)的定点 P(x ,y ) , 使得 PA ·PB 也是一个与 m 无关的定
0 p p
值 k.→ → → →
- - - - - - - - - - - -
由 P Ａ= P P ，P Ｂ= P P ，则 P Ａ ·P Ｂ= (P P ）· (P P ），
- - - - - - - - - - - - -
也即 k= P ·P P ·P P ·P + P 2 = P ·P P · (P +P ）+ P 2 .
- - -
由于 P ·P 20 , 且 P 和 P 都是定点，故 P 2 也是一个与 m 无关的定值，
0
- - - -
则 k= -20-P · (P +P ）+ P 2 . ( 15 分）
- - - -
由于 k , - 20 和 P 2 都是定值，则 P · (P +P ）也是一个定值，
-→ -→ -→ -→ -→设 K 是弦 AB 的中点，则 P A+P B= 2P K , 故等价于 2P P ·P K 也是
0 0 0 0 0
一个定值， 当 m= - 1 时，直线 l 为 y= 3 , 对应 K (3 , 3) ;
1
当 时，直线 l 为 x= 1 , 对应 K (1 , 4) ;
2
当 m= 0 时，直线 l 为 x+y= 4 , 对应 K .
3
→ → →
- - - - - - -
设 P = (x - 1 ,y - 3) , 则 P ·P Ｋ = 2x - 2 , P ·P Ｋ = y - 3 , P ·P Ｋ = x y +1 .
p p 1 p 2 p 3 p p
由于恒为定值，故 解得 x = 1 ,y = 3 , 即 P , 与 P 重合，假设矛
p p 0
．
盾
因此，定点 P 是唯一的． → →
- -
综上，存在唯一的定点 P(1 , 3) , 使 P Ａ ·P Ｂ 是定值- 20. (17 分）
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
