文档文本内容
张家口市2025-2026 学年度高一年级第一学期期中考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效
､
.
3.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章第二章第三章
､
､
.
一选择题
､
：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知命题
，则
是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.“
”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数
的单调递增区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知定义在
上的偶函数
在
上单调递减，则
的大小顺序是
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.定义集合
和
的运算：
，若集合
，则
的真
子集个数为（ ）
A.31 B.32 C.62 D.63
8.某热销产品预计第一年的年销售利润为
，第二年的年销售利润的增长率为
，第三年的年销售
利润的增长率为
，且这两年的年销售利润的平均增长率为
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二多项选择题
､
：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.若
，则下列命题正确的是（ ）
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
且
，则
10.已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A.
为奇函数
B.
为奇函数
C.
在
上单调递减
D.
在
上单调递增
11.已知
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A.
的最小值为9 B.
的最大值为
C.
的最小值为
D.
的最小值为6
三填空题
､
：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.已知函数
则
__________.
13.已知
，则
的最小值为__________.
14.已知幂函数
的图象过点
，若
，则
的取值范围为__________.
四解答题
､
：本大题共5 小题，共77 分.解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤
､
.
15.（13 分）
（1）已知
，求
的解析式；
（2）已知
为二次函数，且
，求
的解析式.
16.（15 分）
已知命题
，不等式
恒成立，命题
：关于
的方程
有两个不相
等的正实数根.
（1）若命题
为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题
均为假命题，求实数的取值范围.
17.（15 分）
定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
，有
.
（1）求
的值，并证明：当
时，
；
（2）证明：函数
在
上是增函数；
（3）求
在
上的值域.
18.（17 分）
已知函数
.
（1）当
时，求函数
的最小值；
（2）若关于
的不等式
的解集为
，求实数
的值；
（3）设关于
的不等式
的解集为
，若
，求实数
的取值范围.
19.（17 分）
设函数
在区间
上有定义，若对任意
，都存在
，使得
，则称函
数
为区间
上的“
关联函数”.
（1）判断函数
在区间
上是否为“
关联函数”，并说明理由；
（2）若函数
为区间
上的“
关联函数”，求实数
的取值范围；
（3）若存在唯一的实数
，使得函数
为
上的“
关联函数”，求的值.
1.B 全集
，所以
.故选B.
2.A 因为命题
，则
.故选A.
3.B
，解得
，故“
”是“
”
的必要不充分条件.故选B.
4.B 由题意可得
，解得
或
，又
的单调递增区间为
在
上单调递增，故函数
的单调递增区间为
.故选B.
5.C 因为
的定义域为
，所以
的定义域为
，因为
，所以
的定义域为
.故选C.
6.C 依题意，
在
上单调递减，
，得
，
所以
.故选C.
7.D 由新定义知，
，所以
的真子集的个数为
.故选D.
8.D 由题意得，
，则
，因为
，即
，所以
，所以
，当且仅当
时取等号.故选D.
9.ABC 对于A，若
，则
，所以
，故A 正确；对于B，若
，则
，故B
正确；对于C，若
，则
，故
，C 正确；对于D，取
，满足
且
，但
，不满足
，故D 错误.故选ABC.
10.BCD 由题可知，
的定义域为
的定义域为
，定义域为
，为偶函数，在
上单调
递减，在
上单调递增，故A 错误，C 正确；
，定义域为
，
为奇函数，在
上单调递增，在
上单调递增，故B 正确，D 正确.故选BCD.
11.AD 对于A，因为
且
，所以
，当且仅当
，即
时等号
成立，故A 正确；对于B，
，故
，当且仅当
，即
时等号成
立，故B 错误；对于C，由
得
，则
，当
时等号成立，故C
错误；对于
，当且仅当
时等号成立，故D
正确.故选AD.
12.
因为
，
所以
.
13.2 因为
，故
2，当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为2.
14.
由题意可设
，由于函数
的图象过点
，故
，所以
，即
，所以函数
在
上单调递增，且为奇函数，由
可得
，所以
，解得
，
故
的取值范围为
.
15.解：（1）
.
（2）设
，则
则
，
所以
解得
所以
.
16.解：（1）对于命题
，
不等式
恒成立，
当
时，
恒成立，
当
时，则需
解得
，
综上，
，即实数的取值范围为
.
（2）若
是真命题，则
解得
，
则若
是假命题，实数的取值范围为
或
.
由（1）知，若
为假命题，则的取值范围为
或
，
所以若命题
均为假命题，则实数的取值范围为
或
.
17.解：（1）令
，则
，
又
，故
.
令
，则
，
当
时，
，所以
.
（2）法一：由（1）知
，
，且
，令
，
则
，
则
，
因为
，所以
，
所以
在
上是增函数.
法二：
，且
，
所以
，
由
，得
，则
，又
，
所以
，
即
，
所以
在
上是增函数.
（3）令
，得
，
由（1）可得
，
因为
在
上是增函数，
所以
在
上的值域为
.
18.解：（1）当
时，函数
，
当
时，函数
取得最小值，最小值为-4.
（2）因为关于
的不等式
的解集为
，
所以1，5 是一元二次方程
的两个根，
所以
解得
.
（3）由
，可得
，
①当
，即
时，
，
要使
，则
或
，
解得
或
，又
，可得
或
；
②当
，即
时，
，满足
；
③当
，即
时，
，
要使
，则
或
，
解得
或
，又
，可得
.
综上，实数
的取值范围
.
19.解：（1）由题知：对任意
，都存在
，使得
，
设函数
在区间
上值域
在区间
上值域
，则
，
因为函数
是增函数，所以值域
，
函数
在区间
上单调递减，所以值域
，
因为
不是
的子集，所以函数
在区间
上不是“
关联函数”.
（2）因为函数
为区间
上的“
关联函数”，
所以对任意
，都存在
，使得
，可得
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
即
解得
，
因此实数
的取值范围为
.
（3）
的值域为
，即
，
的对称轴为直线
，且开口向下，
①当
时，
在
上单调递减，又
，
则值域为
，由
，得
解得
，因为
唯一，所以
，解得
，不满足
，故舍去；
②当
时，
在
上单调递增，又
，
则值域为
，由
，得
解得
，因为
唯一，所以
，解得
，不满足
，故舍去；
③当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的最大值为
，又
，
（i）当
，即
时，
的值域
，
由
，得
解得
，
因为
唯一，所以
，解得
，其中
符合题意；
（ii）当
，即
时，
的值域
，
由
，得
解得
，
因为
唯一，所以
，解得
，其中
符合题意.
综上所述，的值为
或
.
