文档文本内容
江苏省镇江市2025-2026 学年高一上学期11 月期中监测
数学试卷
一、单选题
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车
距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h 的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于
，乙车的刹车距离
略超过
．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：
）与车速（单位：
）之间分别有如下
关系：
．则（ ）
A．甲、乙两车均超过规定限速
B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速
C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速
D．甲、乙两车均未超过规定限速
8．已知函数
，定义域为
．则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列各组函数是同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
的图象与轴交于两点
．则（ ）
A．
B．若
，则
C．当
时，
D．
11．已知函数
，则（ ）
A．函数
的图象关于
点对称
B．如果函数
的定义域为
，则值域为
C．方程
有且仅有三个不同的实数解
D．如果不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
三、填空题
12．已知集合
，请用列举法表示
．
13．因式分解：
．
14．已知函数
是定义在
上的偶函数，
，且在
上单调递增．则函数
在
上
单调递 （增、减），不等式
的解集为 ．
四、解答题
15．已知集合
．
(1)求
和
；
(2)若
，求实数的取值范围．
16．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价（元/立方米）
不超过
立方米部分
超过
立方米但不超过
立方米部分
超过
立方米部分
一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为
元．
(1)求
关于的函数解析式；
(2)若该户本月缴纳的水费为
元，求此户居民本月用水量．
17．已知函数
．
(1)解关于的不等式
；
(2)当
时，求
的最小值；
(3)对任意
，不等式
恒成立，求的取值范围．
18．已知函数
，甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数，分别得到如下结论：
甲：函数
图象的对称中心为
；
乙：
；
丙：函数
只有增区间，没有减区间；
丁：函数
的图象与两坐标轴共有3 个不同的交点；
其中有且只有3 位同学的结论是对的．
(1)下列四个函数：
，
，
，
只有一个函数满足题意，求满足题意的
的解析式；
(2)已知函数
．
①若
的定义域为
，求
的值域；
②探求函数
对称中心的坐标，并证明你探究的结论．
19．已知函数
是奇函数．
(1)求λ 的值；
(2)判断
的单调性，并用证明你的结论；
(3)对
，不等式
恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
D
A
B
A
BC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．A
【详解】由
，则
．
故选：A．
2．B
【详解】对A、C、D：取
，
，
，
，此时
，
，
，故A、C、D 错误；
对B：由
，则
，
，
又
是增函数，
，故B 正确，
故选：B．
3．B
【详解】
的解集为
,
的解集为
,易知
,
即条件推不出结论，不具有充分性；结论可以推出条件，具有必要性，
故“
”是“
”成立的必要不充分条件.
故选：B.
4．D
【详解】对于A，
定义域为
，
，所以
不恒成立，故A 不符合题意；
对于B，
定义域为
，
，
，所以
不恒成立，故B 不符合题意；
对于C，
定义域为
，
，
当
时
，所以
不恒成立，故C 不符合题意；
对于D，
定义域为
，
，
则
为偶函数，故D 符合题意；
故选：D．
5．D
【详解】
，
，
，则
，
．
故选：D．
6．A
【详解】依题意，
，
①因为
，所以
.
②由于
，所以
，
即：
因此，
.
所以
，所以
.
故选：A
7．B
【详解】因为甲车的刹车距离小于
且
，所以
，得到
；
因为乙车的刹车距离略超过
且
，所以
，得到
；
所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
故选：B
8．A
【详解】因为函数
的定义域为
所以
，解得
.
所以
的定义域为
由
得
所以
.
当
，即
时，
，
当
，即
时，
.
所以
的值域为
,
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，
的定义域为
，
的定义域为
，
所以
不是同一函数，故A 不符合题意；
对于B，
与
定义域和对应关系均相同，是同一函数，故B 符合题意；
对于C，
的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，故C 符合题意；
对于D，
定义域不同，不是同一函数，故D 不符合题意；
故选：BC．
10．ABD
【详解】由题意知
有两个不相等的实数根
，
对于A，由题意，
，解得
，故A 正确；
对于B，根据韦达定理，得
，
，解得
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
，故C 不正确；
对于D，因为
所以
，
令
，所以
，
当
时等号成立，所以
，故D 成立.
故选：ABD
11．ABD
【详解】对于A，
，
则函数
的图象关于
点对称，故A 正确；
对于B，因为
都是
上的增函数，
所以
在
单调递增，且
，
，故值域为
，故B 正确；
对于C，令
，即
，
解得：
所以方程
有且仅有两个不同的实数解，故C 错误；
对于D，不等式
的解集为
，
则
是方程
即
的根，
所以
，解得
，
则不等式
为
，
即
，
，解得
，
则不等式
的解集为
，故D 正确；
故选：ABD．
12．
【详解】由
可得
代入方程
中，解得
，
.
所以
.
故答案为：
.
13．
【详解】因为
，
所以设
，
，
则
，解得
，
所以
，
故答案为：
14． 减
【详解】
函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，
在
上单调递减，
又
，所以
或
时，
，
时，
，
不等式
，
，或
，
，或
，
解得
，或
，
即不等式
的解集为
．
故答案为：减；
15．(1)
，
或
(2)
【详解】（1）因为集合
，
所以
.
或
则
或
或
，
（2）因为
，所以
，
又因为
，
所以的取值范围为
.
16．(1)
(2)
立方米
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上所述，
关于的函数解析式为
.
（2）由（1）可知，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
因此当月缴纳的水费为
元时，用水量
，
所以
，解得
（立方米），
答：此户居民本月用水量为
立方米.
17．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）不等式
化简得：
，
①当
时，解得
，即不等式的解集为
，
②当
时，解得
或
，即不等式的解集为
，
③当
时，解得
或
，即不等式的解集为
．
综上所述，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
．
（2）函数
的对称轴为
，
①当
，即
时，
在
上为增函数，
所以
；
②当
，即
时，
在
上为减函数，
所以
；
③当
，即
时，
．
综上所述，
的最小值为
.
（3）依题意可得
对于
恒成立，
所以
且
，
即
，解得
或
，
即的取值范围为
．
18．(1)
(2)①
；②
，证明见解析
【详解】（1）（法一）函数是
满足甲、乙、丙结论．
因为对称中心为
，设
，
又
，得
，所以
，
所以
．
（法二）函数是
满足甲、乙、丙结论．
因为
，对称中心为
，
所以
，
因为
，可得
，所以
，
所以
．
（2）①函数
，则
在
为单调递增函数，
，
.
所以
的值域为
(
②法一)函数
图象的对称中心为
，证明如下：
设
是函数图象上任一点，则
，
关于
的对称点为
，
因为
，且
．
所以
．
即点
也在
图象上．
所以
的图象关于点
中心对称．
(法二)设函数
对称中心为
，则
为奇函数，
所以
，
所以
，
整理得：
恒成立．
所以
，
所以
．
所以函数
对称中心为
．
（法三）
，
设
，因为
，
所以
为奇函数，对称中心为
，
所以
的对称中心为
．
19．(1)1
(2)增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）法一、因为函数
是R 上奇函数，
所以
恒成立，
则
，
由于
，则
，所以
．
法二、因为函数
是R 上奇函数，
所以
，
即
，解得
．
当
时，由于
，
此时函数
是奇函数，所以
．
（2）函数
为增函数，证明如下：
任取
，因为
，
由于
是增函数，所以
，又因为
，
所以
，
所以
，
所以函数
为增函数．
（3）因为
为单调增函数，
当
，不等式
恒成立，
所以
恒成立，
即
，
则
，
在
为增函数，则
，
所以
，
有
．
令
，
则
，
令
，由于
，设
，
则
，
由于
，
则
，
所以
，
所以
在
单调递增．
所以函数
在
为增函数，
则
，则
，
