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2025-2026 学年度第一学期高一期中学情调研测试
数学试题
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知
，
则
是
的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若
，则
的化简结果是（ ）
A.1
B.-1
C.
D.
4.下列结论正确的是（ ）
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，
，则
D.若
，
，则
的取值范围是
5.设函数
，若
，则
（ ）
A.0 或2
B.0 或3
C.2
D.0 或2 或3
6.已知实数
，
，
，且
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是
，
后的温度是
，
则
，其中
表示环境温度，
称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃的房间
中，如果咖啡降温到
大约需要
，那么降温到30℃大约需要（参考数据：
，
）（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数
的定义域为
，对任意的
，
，
.若对任意
，
，有
，则满足
时实数
的取值范
围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若
，则实数
的值为1 或2
B.命题“
，
”的否定是“
，
”
C.命题“
，
”是真命题
D.若集合
只有一个元素，则实数
的值为1
10.下列说法中正确的有（ ）
A.
，
，对任意的
，
，表示从
到
的函数
B.已知函数
，则
，
C.若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D.函数
的值域为
11.已知
，
为正实数，且
，则（ ）
A.
的最小值为1
B.
的最小值为4
C.
的最大值为4
D.
的最小值为
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.函数
的定义域为_____.
13.已知命题“
，不等式
”为假命题，则实数
的取值范围为_____.
14.已知函数
在
上是单调函数，则实数
的取值范围为_____.
四、解答题：本大题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13 分）已知集合
，
，实数集
为全集.
（1）当
时，求
，
；
（2）若
，求实数
的取值范围.
16.（本小题15 分）已知集合
，
.
（1）若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围；
（2）若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
17.（本小题15 分）（1）计算：
；
（2）已知
，求
的值.
18.（本小题17 分）设函数
.
（1）若关于
的不等式
的解集是
，求实数
的值；
（2）存在实数
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围；
（3）解关于
的不等式：
.
19.（本小题17 分）对于定义域为
的函数
，若存在区间
，使
在
上的值
域为
，则称区间
为函数
的“漂亮区间”.已知函数
.
（1）证明：函数
在区间上
单调递减；
（2）若函数
.
（i）判断并证明函数
的奇偶性；
（ii）函数
，
存在“漂亮区间”
，求实数
的取值范围.
1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.BC 10.ABC 11.ABD
12.
13.
14.
15.（1）当
时，
，
，……2 分
所以
；……4 分
又
，……6 分
所以
……8 分
（2）
，
，
因为
，所以
，解得：
，
所以实数
的取值范围为
……13 分
16.（1）由“
”是“
”的充分条件，得
，……1 分
又因为
，……3 分
所以，当
时，
，解得
，满足题意；……5 分
当
时，则
，解得
……8 分
综上，
，故实数
的取值范围为
……9 分
（2）因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以
且
，……11 分
又
，
，
则
，解得
，
故实数
的取值范围是
……15 分
17.（1）原式
……6 分
（2）因为
，所以
，
，……9 分
，……12 分
所以，原式
……15 分
18.（1）由题意得
为方程
的两根，且
，
由韦达定理得
，
，解得
，
……3 分
（2）
，即
，所以
，……5 分
题目等价于存在实数
，使得
成立，
故只需
，即
……8 分
（3）由题意得
，即
，
故
，
若
，则
，解得
，故解集为
；……9 分
若
，
的两根为
，，且
，
故
的解集为
；……11 分
若
，①当
，即
时
的解集为
；……13 分
②当
即
时，由
，故解集为
；……14 分
③当
即
时，
的解集为
……16 分
综上，当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
……17 分
19.（1）设任意
，
，且
，
则
……3 分
因为
，所以
，
，
所以
，即
，
所以，
在
上是单调递减函数……5 分
（2）（i）判断：函数
是奇函数，……6 分
证明如下：
由
知函数定义域为
，关于原点对称，
由
得，
总有
，故函数
是奇函数……9 分
（ii）因为
，所以函数
，
由（1）知
在
上单调递减，……10 分
因为存在“漂亮区间”
，则
有解，……12 分
即
是方程
的两个不等的负实根，
即方程
在
有两个不等的实根……14 分
所以
，所以
，所以
