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2025~2026 学年度第一学期期中考试高一数学试题
（考试时间120 分钟 试卷满分150 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合
，
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解析：
.
故选：B.
2. 已知
且
，命题“
，
”的否定是（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】D
解析：命题“
，
”的否定是“
，
”.
故选：D.
3.
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 9
【答案】B
解析：
.
故选：B
4. 已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】D
解析：函数
，
所以
的单调递增区间是
，依题意知，
，
所以
，即实数
的取值范围是
故选：D．
5. 设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
解析：因为
，所以
，
当
时，
无意义，所以“
”时，“
”不一定成立；
当
时，
，所以“
”能推出“
”.
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱
歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这
三项比赛的人数至少为（ ）
A. 7
B. 9
C. 12
D. 15
【答案】C
解析：设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为
，
，
，且
，
，
为正整数，
则由题意得
，
，
，可得
，
即
，所以
，
，故参加这三项比赛的人数至少为
．
故选：C.
7. 已知定义在
上的奇函数
在
上的图象如图所示，则不等式
的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：根据奇函数的图象特征，作出
在
上的图象如图所示，
由
，得
，
等价于
或
解得
或
，或
．
故不等式解集为
．
故选：C.
8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数
，称为狄利克雷函数，则关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A.
的定义域为
B.
的值域为
C.
，
D. 任意一个非零有理数T，
对任意
恒成立
【答案】D
解析：解：因为
，所以函数的定义域为
，值域为
，故A、B 错误；
因为
或
且
与均为有理数，所以
或
，故C
错误；
对于任意一个非零有理数
，若
有理数，则
也为有理数，则
；
若
为无理数，则
也为无理数，则
；
综上可得任意一个非零有理数
，
对任意
恒成立，即D 正确；
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 式子
可表示自变量为x、因变量为y 的函数
B. 若
，则
C. 函数
的图象与直线
最多有1 个交点
D. 若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素
【答案】BC
解析：对于A，要使
有意义，则
，即
，无解，
所以式子
不可表示自变量为x、因变量为y
函数，错误；
对于B，因为
，所以
，正确；
对于C，根据函数定义，在定义域内任意x 只能对应唯一的函数值y，
所以函数
的图象与直线
最多有1 个交点，正确；
对于D，对于函数
，值域只含有一个元素1，但是定义域为全体实数，错误.
故选：BC
10. 若“
，
或
”为真命题，“
”为假命题，则集合M 可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
解析：命题“
，
”为假命题，则命题“
，
”为真命题，可得
，
命题“
，
或
”为真命题，则
或
，
所以
或
或
，显然，B，D 选项中的区间为
的子集．
故选：BD．
11. 已知
是正数，且
，则下列选项正确的是（ ）
A.
的最大值为
B.
的最小值为
C.
的最大值为2
D.
的最小值为
【答案】ABD
解析：A.
，解得
，
当且仅当
且
，即
时，
的最大值为
，A 正确；
B.
，
当且仅当
时，
的最小值为
，B 正确；
C.
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值为1，C 错误；
D.
，
当且仅当
，
，即
时等号成立，
故
的最小值为
，D 正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知
，求
__________.
【答案】9
解析：
，
又
.
故答案为：
13. 不等式
的解集是______.
【答案】
解析：
，所以
，
因为
，所以
，解得
，
即不等式
的解集为
.
故答案为：
14. 已知关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是___________．
【答案】
解析：要使不等式
在
上有解，
则
，在
上有解，
令
，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
时，
，
因此要使不等式
在
上有解，
则
，
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集
，集合
，非空集合
，其中
.
（1）若“
”是“
”的充分条件，求
的取值范围；
（2）若“
”是“
”的必要不充分条件，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（1）
由题意得到
，由“
”是“
”的充分条件可得
，
则
，解得
，则实数
的取值范围是
.
（2）
由于集合B 为非空集合，所以
，解得
，
由“
”是“
”的必要不充分条件可得
是
的真子集，
所以
，解得
，所以
，
当且仅当{
2−a=1
1+2a=5，即{
a=1
a=2时，
.该方程组无解，所以
恒成立，因此
是
的真子集的条
件与
的条件相同
故实数a 的取值范围是
.
16. （1）计算：
；
（2）设a 是非零实数，已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
解析：（1）
. .
（2）因为
，所以
，所以
，
则
，
，
所以
.
17. 已知函数
为偶函数．
（1）求
的值；
（2）若函数
，且
恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（1）
由
是偶函数得
，
即
，解得
．
（2）
由（1）得
，则
，
因为
恒成立，
即
．
当
时，
，
因为
，所以
，
则
，则
，
因此
，即
，
故函数
在区间
上单调递增，
则
，
则原不等式等价于
，解得
，
故
的取值范围是
．
18. 如图，长方形
（
）的周长为
.
图 图
（1）若点
在线段
上运动，点
在线段
上运动，且满足
，
，则
面
积的最大值是多少？
（2）沿
折叠使点
到点
位置，如图
所示，
交
于点
，请解决下面两个问题.
（ⅰ）求
的周长；
（ⅱ）
的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时
的长度，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；
（2）（ⅰ）
；（ⅱ）存在，
.
（1）
由题意，长方形
（
）的周长为
，
，
所以
，
设
，则
，
所以
，
由于
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
面积的最大值是
.
（2）
（ⅰ）沿
折叠使点
到点
位置，
交
于点
，
所以
，
，
，所以
，
所以
，
所以
；
（ⅱ）设
，则
，
由
可得
，解得
.
由（ⅰ）知，
，
在
中，有
，
解得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的面积存在最大值为
，此时
.
19. 给出定义：若a，b 为常数，
满足
，则称函数
的图象关于点
成中心对称．已知函数
，定义域为A．
（1）判断
的图象是否关于点
成中心对称；
（2）当
时，求证：
．
（3）对于给定的
，设计构造过程：
，
，…，
，…．如果
（
），构造过程将继续下去；如果
，构造过程将停止．若对任意
，构造过
程可以无限进行下去，求a 的值．
【答案】（1）
图象关于点
成中心对称
（2）证明见解析 （3）
（1）
因为
，
所以
．
由定义可知，
的图象关于点
成中心对称．
（2）
设
，
则
，
所以
在
上是增函数，
所以
在
上是增函数，
所以当
时，
，即
．
（3）
因为构造过程可以无限进行下去，
所以
对任意
恒成立，
即关于x 的方程
无解，
即关于x 的方程
无解或有唯一解
，
