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2025-2026 学年高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．设集合
，则集合
的子集个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．15
2．命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．已知
R，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若直角三角形的面积为72，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．
B．
C．24
D．20
6．已知
是定义域为
的奇函数，且当
时，
是减函数.若
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据
和小数记录法的数据
满足关系式
.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9，则其视力用小数记录法记录的数据
约为（ ）（参考数据：
）
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1.0
二、多选题
9．已知函数
的定义域为
，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的最大值为2
C．
的最小值为
D．
的单调递增区间为
和
10．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，
，则
11．若，，
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
三、填空题
12．已知集合
，
，若
，则实数
的值为 .
13．若函数
是定义在
上的偶函数，则
.
14．当
时，不等式
恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（1）计算：
；
（2）若
，求下列式子的值：
①
；
②
.
16．设全集为
，集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
是
的必要条件，求实数的取值范围.
17．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为1200 立方米，深度为3 米，池底每平方米的造价为100
元，池壁每平方米的造价为120 元，设池底长方形的长为米.
(1)用含的表达式表示池壁面积；
(2)当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
18．函数
是
上的奇函数，且当
时，函数的解析式为
.
(1)求
的值；
(2)用定义证明
在
上是减函数；
(3)求函数
的解析式.
19．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数
的最小值.解：利
用基本不等式
，
，可得
，于是
，当且仅当
时，取得最小值
.
提示：基本不等式
，
(1)老师请你模仿例题，研究函数
的最小值；
(2)求函数
的最小值；
(3)当
时，求函数
的最小值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
A
C
C
D
C
ACD
BCD
题号
11
答案
BC
1．C
用列举法表示集合A，可得集合
的子集个数.
【详解】
，所以集合
的子集个数是
.
故选：C.
2．A
由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】“
，
”的否定为
，
.
故选：A
3．A
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若
，则
，则
成立．
而当
且
时，满足
，但
不成立；
“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：
．
4．A
由
，求解即可．
【详解】要使函数有意义，则
，
解得
.
故函数定义域为
，
故选：A
5．C
利用基本不等式求解即可.
【详解】设直角三角形的两条直角边长为
，则
，
，
直角三角形的面积为
，故
，
则两条直角边的和
，当且仅当
时等号成立，
故两条直角边的和的最小值是24.
故选：C.
6．C
利用函数的奇偶性和
上的单调性，推出函数在
上的单调性，再利用单调性求解抽象不等式即可.
【详解】因为函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
是减函数.
则当
时，
是减函数，所以
是定义域为
上的减函数，
则
等价于
，解得
.
故选：C.
7．D
先由题意及根与系数的关系得到
，
，再代入不等式即可求解．
【详解】因为
的解集为
，
故
且-2，1 为方程
的解．
故
，
故
，
，
故不等式
即为
，
故
，故
，
故选：D
8．C
根据题意可得
，化对数为指数形式，结合题中数据运算求解.
【详解】由题意知：
，
当
时，可得
，解得
，
则
，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.
故选：C
9．ACD
根据图象直接判断单调区间和最值即可.
【详解】对于A，由图象可知：
的单调递减区间为
，A 正确；
对于B，当
时，
，B 错误；
对于C，当
时，
，C 正确；
对于D，由图象可知：
的单调递增区间为
和
，D 正确．
故选：ACD
10．BCD
根据指数运算性质可判断AB，根据对数的运算性质可判断CD.
【详解】对于A，由指数运算性质可得：
，故A 错误；
对于B，由指数运算性质可得：
，故B 正确；
对于C，由题意
，故C 正确；
对于D，
，
，
则
.故D 正确.
故选：BCD
11．BC
取特殊值判断AD，利用不等式的性质判断B，利用作差法判断C.
【详解】对于A，取
，
，满足
且
，但
，不满足
，故A 错误；
对于B，因
，故可知
，则
，
所以
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
因为
，所以
，所以
，所以
成立，故C 正确；
对于D，取
，
，
，满足
且
，
但
，不满足
，故D 错误.
故选：BC.
12．5
运用集合并集的运算、集合之间的包含关系求出
的值.
【详解】因为集合
，
，
所以
且
且
，
由
，知
是
的子集，
所以
，故
.
故答案为：
13．1
根据偶函数的定义与性质，求参数的取值.
【详解】由定义域关于原点对称，所以
，所以a=1.
又
，所以b=0.
所以，a+b=1.
故答案为：1.
14．
分
和
两种情况讨论,结合一元二次不等式恒成立求解即可.
【详解】当
时不等式
恒成立，
当
时，不等式
恒成立，需满足
，解得：
.
综上
.
故答案为：
.
15．（1）5；（2）①
；②
（1）利用对数式的运算性质和换底公式计算即得；
（2）利用所求与已知式的关系，采取将所求式取平方求第① 题；将已知式取平方求第② 题.
【详解】（1）
；
（2）①因为
，由
，所以，
；
②由已知可得
，解得
.
16．(1)
(2)
或
（1）根据补集和交集的定义和运算即可求解；
（2）由题意可得
，分类讨论
和
两种情况，列出对应的不等式（组），解之即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
或
，
，
；
（2）因为
是
的必要条件，所以
.
当
时，
，解得
，符合题意；
当
时，有
，解得
或
.
综上所述：
或
.
17．(1)
(2)
，68800
（1）求出池底面积和池底长方形的宽，从而可利用表示出；
（2）利用表示出总造价
，利用基本不等式可求得最低造价和此时的取值.
【详解】（1）由题意得：池底面积为
平方米，池底长方形的宽为
米，
.
（2）设总造价为
元，则：
，
化简得：
，
由题意知
，
当且仅当
，即
时取等号
（元）.
答：当水池设计成底边长为20 米的长方形时，最低造价是68800 元.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因
为
上的奇函数，则
.
（2）任取
，由
，
因为
，则
，
，
，故
，
即
，所以
在
上是减函数.
（3）当
时，
，
，
因
为
上的奇函数，则
且
，
综上，可得函数
的解析式为
.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
，由
，
知
，
当且仅当
时，取到最小值
；
（2）由
，由
，
知
，
当且仅当
时，取到最小值
；
（3）由
，
，由
，
知
；
