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2025-2026 学年河北省张家口市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−3,−1,1,2,3}，B={−4,−2,1,2}，则A∩B=( )
A. {1,2} B. {1,2,3} C. {−4,−3,−2,−1,3}
D. {−4,−3,−2,−1,1,2,3}
2.命题“∃x∈(0,π)，sinx>cosx”的否定是( )
A. ∃x∈(0,π)，sinx0
A. (0,+∞) B. (2,+∞) C. (0,2) D. (0,2]
8.已知 ， ， ，则( )
a=log 0.2 b=log √5 c=0.50.4
0.5 2
A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>a>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若b>a>0，则( )
b a
A. b+1>a B. ab>a2 C. a3>b3 D. >
a b
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1 12
10.已知x，y为正实数，且x+ =1，则( )
y
A. 02
2 2
C. y+ 的最小值为6 D. y+ 的最小值为8
x x
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+ y)=f(x)+f(y)，且∀x ，x ∈[0,+∞)，当x ≠x 时，
1 2 1 2
(x −x )[f(x )−f(x )]<0，则下列说法正确的是( )
1 2 1 2
A. f(0)=0 B. f(x)是偶函数
C. f(−2)<−f(3) D. 若xf(x)<0，则x∈(0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(6, )，则α= ．
6
1
13.若sinx−cosx= ，则sinxcosx= ．
4
14.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数
1
y=f(x+a)−b为奇函数.已知函数f(x)= x3+x2+x+2的图象只有一个对称中心，则对称中心为 ；
3
记函数f(x)在区间[−4,2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−3≤x≤2}，B={x|x>2m−1}．
(1)若m=1，求A∪(∁ B)．
R
(2)是否存在实数m，使得A⊆B成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
16.(本小题15分)
已知锐角α满足cosα−3sinα=0．
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2 1(1)求sinα，cosα的值；
π
sin(π−β)−3sin( −β)
(2)若角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求 2 的值．
2sin(π+β)+cos(−β)
17.(本小题15分)
已知函数 ．
f(x)=2x2−4|x|−3
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)在区间[−2,4]上的值域；
(3)当x>0时，f(x)≥ax−11恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在一个半径为60的扇形OAB中，∠AOB=90°，点C为扇形OAB中一点，且到OA和OB的距离分
别为20和10，过点C的直线EF与OA和OB分别交于点E，F．
求 ⏜ 的长．
(1)
AB
(2)求图中阴影部分CAB的面积．
(3)当OE为多长时，△OEF的面积最小？最小面积是多少？
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3 119.(本小题17分)
定义在区间Ⅰ上的函数F(x)，如果满足：对任意x∈I，存在常数T>0，都有−T≤F(x)≤T成立，则称
m−x
函数F(x)是I上的有界函数.已知函数f(x)= (m>0)，g(x)=lgf(x)，h(x)=f(2x ).
m+x
(1)证明：函数g(x)为奇函数．
已知 ，且 ，当 时，若 ， ， ，求实数 的取
(2) p(x)=2−ax (a>0 a≠1) m=1 ∃x x ∈[0,1) g(x )=p(x ) a
1 2 1 2
值范围．
(3)讨论是否存在正数T，使得函数h(x)是区间[0,1]上的有界函数.若存在，求出T的取值范围；若不存在，
请说明理由．
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4 1参考答案
1.A
2.C
3.A
4.D
5.D
6.B
7.D
8.B
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.−1
15
13.
32
5
14.(−1, )
3
10
3
15.解：(1)m=1时，集合A={x|−3≤x≤2}，B={x|x>1}，
故∁ B={x|x≤1}，
R
可得A∪(∁ B)={x|x≤2}；
R
(2)A⊆B，可得2m−1<−3，解得m<−1．
故m的取值范围为(−∞,−1)．
16.解：(1)已知锐角α满足cosα−3sinα=0，
则cosα=3sinα>0，
又sin2α+cos2α=1，
√10 3√10
即sinα= ，cosα= ；
10 10
(2)角β的终边与角α的终边关于x轴对称，
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5 1√10 3√10
则sinβ= ，cosβ=− ，
10 10
1
则tanβ=− ，
3
π
sin(π−β)−3sin( −β)
即 2 sinβ−3cosβ
=
2sin(π+β)+cos(−β) −2sinβ+cosβ
1
− −3
tanβ−3 3
= = =−2．
−2tanβ+1 2
+1
3
17.解：(1)因为f(x)=2x2−4|x|−3，
{2x2+4x−3,x<0
所以f(x)= ；
2x2−4x−3,x≥0
画函数f(x)的图象如图所示：
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6 1(2)当x≥0时，函数f(x)=2x2−4x−3在[0,1]上单调递减，在[1,4]单调递增；
f(0)=−3，f(1)=−5，f(4)=13，
当x<0时，函数f(x)=2x2+4x−3在[−2,−1]单调递减，在[−1,0)单调递增；
f(−1)=−5，f(−2)=−3；
综上所述，函数在[−2,4]上的最小值为−5，最大值为13，故值域为[−5,13]；
(3)当x>0时，函数f(x)=2x2−4x−3，
8
由f(x)≥ax−11恒成立，化简得到当x>0时，a≤2x+ −4恒成立；
x
8 √ 8
由基本不等式2x+ −4≥2 2x⋅ −4=4，
x x
8 8
当且仅当2x= ，即x=2时取等号，2x+ −4有最小值4，
x x
8
因为x>0时，a≤2x+ −4恒成立，所以a≤4；
x
所以实数a的取值范围是(−∞,4]．
π
18.解：(1)扇形OAB的半径r=60，圆心角∠AOB=90°= ，
2
π
由弧长公式得弧AB的长为rθ=60× =30π．
2
1 1
(2)扇形OAB面积S = πr2= π×602=900π，
扇 形OA4B 4
1 1
S +S = ×60×10+ ×60×20=900，
△OCA △OCB 2 2
阴影面积S =900π−900．
阴影
10 20
(3)设OE=x，OF= y，直线EF过C(10,20)，由截距式方程得 + =1，
x y
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7 110 20 √200
由基本不等式得1= + ≥2 ，
x y xy
解得xy≥800，当且仅当y=2x时取等号．
10 20
代入到 + =1得x=20，y=40，
x y
1
故(S ) = ×40×20=400．
△OEF min 2
当OE=20时，△OEF面积最小，
最小面积为400．
m−x
19.解：(1)证明：由题意得g(x)=lgf(x)=lg (m>0)，
m+x
函数g(x)的定义域为(−m,m)，
∀x∈(−m,m)，−x∈(−m,m)，
m−x m+x m−x m+x
g(x)+g(−x)=lg +lg =lg( × )=lg1=0，
m+x m−x m+x m−x
即g(−x)=−g(x)，
所以函数g(x)为奇函数；
1−x 2
(2)当m=1时，g(x)=lg =lg(−1+ )，
1+x 1+x
2 2
当x∈[0,1)时，−1+ ∈(0,1]，g(x)=lg(−1+ )∈(−∞,0],
1+x 1+x
记函数g(x)在[0,1)上的值域为A，则A=(−∞,0]，
记函数p(x)在[0,1)上的值域为B，
若x ，x ∈[0,1)，g(x )=p(x )，则A∩B≠⏜，
1 2 1 2
当a>1时，函数p(x)在[0,1)上单调递减，则B=(2−a,1]，
{2−a<0
则 ，解得a>2，
a>1
当00)
(3)由题意得 m+2x m+2x
1+
1
⋅2x
，
m
1 1 2
函数v= ⋅2x (m>0)在[0,1]上单调递增，则v∈[ , ]，
m m m
2 1 2 2m 2m
函数u= 在[ , ]上单调递减，则u∈[ , ]，
1+v m m m+2 m+1
m−2 m−1
所以h(x)∈[ , ]，
m+2 m+1
m−1 m−2 m−1
当| |≥| 时，即m≥√2时，T∈[ ,+∞),
m+1 m+2 m+1
m+1 m+2
| |≥| | 2−m
当 m−1 m−2 时，即0
