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江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ，则 的实部是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知 的顶点为 ， ， ，则 边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．6
3．已知直线 ： 在 轴上的截距是在 轴上的截距的3倍，则实数 的值是（ ）
A．6 B． C． 或1 D．6或1
4．已知 在圆 ： 外，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长
的乘积.已知椭圆 的中心为原点，焦点 ， 均在 轴上，其面积为 ，若椭圆 上一点 满足
，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆 ： 与圆 ： 相交于 ， 两点，则弦 的长度为
（ ）A． B． C． D．
7．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线的一个顶点.以 为
直径的圆与双曲线的一条渐近线交于 ， 两点，且 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆 ： 的切线 与圆 ： 交于 ， 两点，则 面积的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ， ， ，且四边形 是矩形，则（ ）
A．直线 的斜率为
B．直线 的方程为
C．四边形 的面积为6
D．以 为直径的圆的方程为
10．已知左、右焦点分别为 ， 的椭圆 上有一动点 （异于长轴端点 ， ），则下列说法
正确的是（ ）
A． 的取值范围为
B．射线 与椭圆交于点 ，则 的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点 ，使得 为直角三角形D．直线 ， 的斜率之积为
11．高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”曲线 ，其
方程为 .对于曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．当且仅当 时，直线 与曲线 有唯一公共点
B．曲线 上存在唯一的点 ，使得 点到 与到 的距离之差为8
C．曲线 所围成的封闭曲线面积小于
D．若曲线 上恰好存在4个不同点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围为
三、填空题
12．与双曲线 ： 有相同焦点，且过点 的双曲线的标准方程为 .
13．复数 满足 ，则 的最大值为 .
14．椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上一点，且 ，若
内切圆的半径 ，则椭圆 的离心率为 .
四、解答题
15．已知复数 .
(1)若 是关于 的方程 的一个根，求 的值；(2)若复数 满足 ，且 是纯虚数，求复数 .
16．已知三条直线 ： ， ： ， ： ，且 与 间的距离是
.
(1)求 的值；
(2)求过直线 与 的交点，且垂直于 的直线方程；
(3)求与 平行且到 ， 距离相等的直线 的方程.
17．在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点 出发，发现一个目标机器人在点 处正欲逃
跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.
(1)若追踪机器人在点 处成功拦截目标机器人，求点 的轨迹方程；
(2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（ 的区域）内成功拦截?并说
明理由.
18．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，射线 与椭
圆 交于点 ， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 过点 且与椭圆 只有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：直线 过定点.19．已知双曲线 ： ，过右焦点 作直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，交两条渐近线于 ，
两点，点 ， 在第一象限， 为坐标原点.
(1)证明：点 到两条渐近线的距离之积为定值；
(2)求 面积的最小值；
(3)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，求 的取值范围.参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D B B A ABD AC
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】由复数的除法结合实部的概念可得.
【详解】 ，
所以 的实部是 .
故选：B.
2．C
【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解.
【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为 ，
则 边上的中线长即为CD长度，
根据两点间距离公式可知： ，
故 边上的中线长为 .
故选：C.
3．C
【分析】根据直线的一般式方程，求出直线在 轴与 轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解
.
【详解】由题可知若 ，则直线在 轴上的截距不存在，不符合题意，因此 .
令 ，得直线在 轴上的截距为 ；令 ，得直线在 轴上的截距为 ,
,解得 或 .
故选：C.
4．A
【分析】先将圆方程化为标准式，分别根据圆的存在性和点在圆外的条件列不等式，求解后取交集得到
的取值范围.【详解】将圆 的方程化为标准式 .
因为圆存在，所以 ，即 .
点 在圆外，圆心为 ，点 到圆心的距离的平方为 ，
半径的平方为 ，故 ，解得 .
综上， .
故选：A
5．D
【分析】先根据焦点位置确定椭圆标准方程形式，再利用椭圆定义求 ，结合面积公式求 ，进而得到标
准方程.
【详解】因为椭圆 的中心为原点，焦点 均在 轴上，故其标准方程为 .
由椭圆定义， ，得 .
又椭圆面积为 ，由题知 ，即 ，解得 ，
故 ， ，
因此椭圆 的标准方程为 .
故选：D
6．B
【分析】先求出圆 圆心坐标、半径，再求出直线 的方程，再结合弦长公式即可求解.
【详解】圆 ： 即圆 ： ，圆心坐标、半径依次为
，
圆 ： 与圆 ： 方程相减得， ，即
，圆心 到直线 的距离为 ，
所以 .
故选：B.
7．B
【分析】将以 为直径的圆的方程与双曲线的一条渐近线联立，可求出点 、 坐标，再利用
大小计算可得 ，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】由双曲线对称性，不妨设 、 在渐近线 上，
且 ， 是双曲线左顶点，
则以 为直径的圆的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
则 ， ，又 ，则 ，
设其右顶点为 ，
故 ，
故 ，则 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B.8．A
【分析】 面积的大小与线段 的长度有关，要求 面积的取值范围，只需求出 的范围，
即可求解．
【详解】圆 的切线 交圆 于 ， 两点，则 面积为 （ 为圆 的半径），
圆 ： 的半径为 ， 是圆 ： 的一条弦，
圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
圆心 到 的距离最小时， 最大，圆心 到 的距离最大时， 最小，如图：
的最小值为 ， 的最大值为 ，
面积的最小值为 ， 面积的最大值为 .
因此， 面积的取值范围是 .
故选：A.
9．ABD
【分析】利用两点斜率公式计算斜率求解判断A；结合矩形对边平行及两点式斜率公式求得直线 的斜
率，然后代入点斜式直线方程并化简即可判断B；利用两点距离公式求出 ，即可求解矩形面积判断C；根据矩形性质转化为求以 为直径的圆的方程，求出圆心和半径，即可求解圆的方程判断D.
【详解】对于A，因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，正确；
对于B，由 ， 得直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为1，
又 ，所以直线 的方程为 即 ，正确；
对于C，因为 ， ， ，所以 ，
，
所以矩形 的面积为 ，错误；
对于D，根据矩形性质可知，以 为直径的圆也是以 为直径的圆，
则圆心为AC中点 即 ，半径为 ，
所以所求圆的方程为 ，即 ，正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】根据椭圆的性质计算判断AB，根据直角顶点的位置分类讨论可判断C，结合直线的斜率公式计
算可判断D.
【详解】对于A，椭圆 ， ，
根据椭圆的性质， 的取值范围为 ，
点 异于长轴端点 ， ，所以 的取值范围为 ，A正确.
对于B，根据焦点弦中通径最短可得， 的最小值为 ，B错误.
对于C，当 轴时， ，此时 为直角.当 轴时， ，此时 为直角.
当 ，即 时，设 ，由 ，
， ，
因为 ，无解，
综上可知，椭圆上存在4个不同的点 ，使得 为直角三角形，C正确.
对于D，设 ， ，D错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】分析曲线C在各个象限的方程，可得其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.根据直线 与各段弧
相应的圆相切时 的值，确定直线 与曲线 有唯一公共点时k的取值范围，从而判断A；由双曲线
的定义，结合图象判断满足条件的点只有一个，从而判断B；由弓形面积的计算方法估计封闭曲线的面积，
从而判断C；根据直线与圆相切及平行线间的距离，结合图象可确定实数 的取值范围，从而判断D.
【详解】对于曲线 ： ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， .
所以其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.对于A，直线 与曲线 均过坐标原点，因此直线 与曲线 有唯一公共点时，该公共点即为坐
标原点.
若 ，
当 与直线 ，即 相切时， ，解得 ，所以当 时，
直线 与曲线 在第一象限及y轴（除坐标原点）无交点；
若 ，
当 与直线 ，即 相切时， ，解得 ，所以当 时，
直线 与曲线 在第二象限无交点；
同理可得当 时，直线 与曲线 在第三象限无交点；当 时，直线 与曲线 在第四
象限及y轴（除坐标原点）无交点.
综上，当且仅当 时，直线 与曲线 有唯一公共点.所以选项A正确.
对于B，由双曲线的定义可知，到 与到 的距离之差为8的点在以 与 为焦点，实轴长
为8的双曲线的下支上，其标准方程为 .
与曲线C有且只有一个交点，即 .所以选项B正确.
对于C，曲线 所围成的封闭曲线由四个相同的弓形组成.
如图， 的面积为 . ，所以
.
所以 ，所以 所在扇形的面积大于 ，
每个弓形的面积大于 ，所以四个弓形的面积大于 .所以选项C错误.
对于D，当直线 与 相切时， ，解得 ；
同理可得，当直线 与 相切时， ；
当直线 与 相切时， ；
当直线 与 相切时， .
如图记
设直线 到直线 的距离为1，则 解得 ；
设直线 到直线 的距离为1，则 解得 或 ；
设直线 到直线 的距离为1，则 解得 ，或 ；
设直线 到直线 的距离为1，则 解得 .
因为曲线 上恰好存在4个不同点到直线 的距离为1，所以实数 的取值范围为
.所以选项D正确.
故选：ABD.12．
【分析】设双曲线方程为 ，将点 代入求出 的值，从而可得双曲线方
程.
【详解】由题意可设双曲线方程为 ，又经过点 ，
所以 ，即 ，解得 或 (舍)，
所以双曲线的标准方程为 ，
故答案为： .
13． /
【分析】设复数 ，确定复数z对应的点在圆 上，结合 的几何意义以及圆
的性质，即可求得答案.
【详解】设复数 ，则 ，
即复数z对应的点在圆 上，
而 表示的是z对应的点和复数 对应的点 之间的距离，
则 的最大值即为圆 上的点和点 之间的距离的最大值，
由于 ，即 在圆 外，
则圆 上的点和点 之间的距离的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故答案为：14．
【分析】利用余弦定理找到 ，再将 的面积为 用 表示，利用三角形
内切圆半径公式找到 ，利用正弦定理得出 ，使两个式子相等，解出
，根据离心率公式即可得到答案.
【详解】设 ， .
由椭圆定义可知： ， ， ，
在 中，利用余弦定理可知：
，而 ，
所以 ，故 ，
而 的面积为 ，
的周长为： ，
由三角形内切圆半径公式可知： ，
在 中，利用正弦定理可知： ，
所以由题知： ，
化简得： ，故椭圆 的离心率 .故答案为： .
15．(1)
(2) 或 .
【分析】（1）将 代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得；
（2）设 ，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得.
【详解】（1）由 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，即有 ，
化简得 ，则 ；
（2）设 ，所以 ，
又 ，且 是纯虚数，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 方程化为 ，利用两平行线距离公式列式求解即可；
（2）先联立方程求得直线 与 的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为 ，将点的坐标
代入计算即可；
（3）由题可设所求直线 方程为 ，利用平行线距离列式求得 ，即可得解.【详解】（1）因为 ： ， ： ，
所以 与 间的距离为 ，
即 ，因为 ，所以 ，解得 ；
（2）由直线 与 的方程联立方程组 ，解得 .
即两直线的交点坐标为 ，
设所求直线方程为 ，代入 得
解得 ，
故所求的直线方程为 ，即 .
（3）直线 ： ， ： ，
由题可设所求直线 方程为 ，则有 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故所求的直线方程为 ，即 .
17．(1)
(2)不会总能在安全区内成功拦截，理由见解析
【分析】（1）设追踪机器人在点 处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解；
（2）判断点 的轨迹圆与直线 的位置关系即可得出结论.
【详解】（1）设追踪机器人在点 处拦截目标机器人，
因为追踪机器人与目标机器人速度之比为 ，
所以相遇时 ，
所以 ，
即两机器人相遇点 的轨迹方程为 ；
（2）点 的轨迹圆的圆心为 ，半径 ，
因为圆心到 的距离 ，
所以点 的轨迹圆与 相交，
则相遇点会出现在安全区外，
故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截.
18．(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即得椭圆方程.
（2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0求解.
（3）当直线 斜率存在时，设出该直线方程并与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式及韦达定理求出直
线所过定点，再验证直线 斜率不存在所过定点即可.
【详解】（1）由 的周长为 ，得 ，解得 ，
由椭圆 过点 ，得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（2）由直线 与椭圆只有一个公共点，且点 在椭圆上，得该直线的斜率存在，
设直线 的方程为 ，即 ，
由 消去 得 ，
由 ，解得 ，
所以直线 的方程为： .
（3）当直线 斜率存在时，如图，设直线 方程为 ， ，
由 消去 得 ，
，即 ，则 ，
而，
由 ，得 ，解得 ，则直线 过点 ；
当直线 斜率不存在时， ，
由 ，得 ，解得 ，直线 也过点 ，
所以直线 过定点 .
19．(1)证明见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）求出双曲线渐近线，设出点 ,应用点到直线的距离公式即可；
（2）设出直线 ,联立直线 与双曲线方程，根据韦达定理表示出 两点纵坐标的差的绝对值，则
,再求其最大值；
（3）联立直线 与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1）,（2）中的结论分别表示出 与
,代入求范围.
【详解】（1）由题意知 ,双曲线的渐近线方程为 ,
设 , ,则 .
设点 到两条渐近线的距离为 ,
则 .
（2）设直线 的方程为 ,因为直线 与双曲线的右支相交，故 .
,有 .
.
令 ,则 （当 时取等号）.
（3）由 ,得 ,则 ,
得 .同理，可得 .
所以， .
故， ,因为 ,所以 .
