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模型39 波的叠加与干涉类综合问题
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1. 波的叠加
1）波的独立传播：两列波在彼此相遇并穿过后，仍然保持各自的波长、频率等运动特征不变，继续
沿着原来的方向传播，彼此之间互不影响。
2）波的叠加：几列波相遇时，每列波能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区
域里，任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和
2.波的干涉
1）定义：频率相同的两列波叠加，某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，并且振动加强和振
动减弱的区域相互间隔的现象，叫波的干涉.
2）产生稳定干涉现象的条件
①两列波的频率相同，相位差必须保持不变.
②产生稳定干涉图样的两列波的振幅越接近，干涉图样越明显。
3）干涉的普遍性：一切波在一定条件下都能够发生干涉，干涉是波特有的现象。
4）干涉图样及其特点
①干涉图样
②特点
a)加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)。
b)加强区和减弱区的位置固定不变，加强区与减弱区互相间隔。
③振动加强点和减弱点的理解
a）振动加强区域或振动减弱区域的空间位置是不变的，
01 模型概述
1
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b)加强点：振幅最大，为两列波的振幅之和，即A＝A1＋A2
c)减弱点：振幅最小，为两列波的振幅之差，即A＝|A1－A2|
d)每个质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动，质点的位移都随时间变化，如加强点的位
移也可以为零，某时刻减弱点的位移也可以大于加强点的位移，若两列波的振幅相等，则减弱点的合振幅
为零，并不振动。
e)两列波在空间相遇发生干涉，两列波的波峰相遇点为加强点，波峰和波谷的相遇点是减弱的
点，加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大;减弱的点只是振幅小了，也并非任一时刻的位移都
最小.
5）波的干涉现象中加强点、减弱点的条件及判断
①直观判断法：在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强
点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，
形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之
间．
②图像法：在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，
而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形
成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
③公式法：波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之
差Δr。
a)当两相干波源振动步调一致时
若
(n=0,1,2,…),则振动加强;
若
(n=0,1,2,…),则振动减弱.
b)当两相干波源振动步调相反时
若
(n=0,1,2,…),则振动加强;
若
(n=0,1,2,…),则振动减弱.
02 典题攻破
2
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1.波的叠加
【典型题1】（2024·浙江·模拟预测）如图甲，两列沿相反方向传播的横波，形状相当于正弦曲线的一半，
上下对称，其振幅均为A，传播速度均为v。
时刻两列波刚好相遇，一段时间后在ab 间出现了两列
波“消失”的现象，如图乙所示，a、b 间距为L，c 为ab 的中点。则（ ）
A．相遇过程中c 点的位移始终为0
B．
时，a 质点的速度最大
C．
时，b 质点的加速度向上且达到最大
D．
时，a、b 间距为10L
【答案】A
【详解】A．c 点为振动减弱点，相遇过程中，c 点的位移始终为0，故A 正确；
B．根据同侧法，
时刻，向右传播的波单独引起的振动方向向下，向左传播的波单独引起的振动方
向向下，且
时刻，a 质点位于平衡位置，故此时a 质点的速度最大，根据波形平移法可知，
时，
a 质点位于平衡位置，只有向左传播的波在a 质点处振动，a 质点的速度不是最大，故B 错误；
C．根据波形平移法可知，
时，b 质点位于平衡位置，加速度为零，故C 错误；
D．质点不会随波迁移，故
时，a、b 间距为L，故D 错误。
故选A。
2.波的干涉点个数问题
【典型题2】13．（2024·浙江金华·三模）（多选）如图所示，在操场平面内建立平面直角坐标系，平面内
有一半径为
的圆形轨道，圆心在O 处，A、B 分别为圆上两点。现于
、
两
点分别安装了两个扬声器。两个扬声器连续振动发出简谐声波，其振动图像如下图所示。已知声波在空
3
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气中的传播速率为
，两波频率均为
，振幅相等。甲同学从B 点沿直线运动到A 点
（不含A、B 点），乙同学从B 点沿圆轨道逆时针运动半周到A 点（不含A、B 点）。下列说法正确的
是（ ）
A．甲同学有7 次听不到声音
B．甲同学听不到声音的位置坐标可能为
C．乙同学有7 次听不到声音
D．乙同学听不到声音的位置坐标方程为
（
，
，
，
）
【答案】ABC
【详解】AB．根据题意，由公式可知，波长为
因为振源反相振动，故当
时，是振动减弱点，听不到声音，由于
则有
即
满足上式时，听不到声音，当
时
当
时
当
时
当
时
共7 次听不到声音，故AB 正确；
CD．根据题意，设听不到声音的位置坐标为
，则有
4
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且
整理可得，该同学听不见声音的点的位置坐标方程为
且
联立可得
可知乙同学有7 次听不到声音，故C 正确，D 错误。
故选ABC。
3.波的干涉综合问题
【典型题3】（2024·陕西安康·模拟预测）（多选）自古就享有人间天堂美誉之称的江南，河湖交错，水网
纵横，如诗如画。如图1 所示，两个完全相同的水滴同时落在平静水面上的A、B 两点，将水滴形成的
涟漪（水波）视为简谐横波且两列波的波长相等，A、B 两点间的距离为2m，O 点为A、B 连线的中点，
C 点在AB 连线上且位于A 点右侧0.5m 处。已知A 点形成的波的传播速度大小为0.5m/s，其在
时刻
的波动图像如图2 所示。下列说法正确的是（ ）
A．A 点形成的波的周期为0.5s
B．O 点为振动加强点，其位移不可能为0
C．两列波的波峰能在C 点相遇
D．在两列波相遇的区域能形成稳定的干涉图样
E．A、B 点连线上（不含A、B 点）共有13 个振动加强点
【答案】ACD
【详解】A．由题图2 知，A 点形成的波的波长
，传播的周期为
5
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故A 正确；
BD．由于A、B 点形成的波的振动情况完全相同，则两波能形成稳定的干涉图样，A、B 的中点O 为振
动加强点，O 点的位移可能为0，故D 正确，B 错误；
C．C 点到B 点与A 点的波程差为
即C 点是振动加强点，两列波的波峰能在C 点相遇，故C 正确；
E．波长为
由于两个波源相位相同，所以AB 中点为振动加强点，中点向两边移动到两波源距离差为波长整数倍为
振动加强点，则
代入数据并由对称性知，则A、B 点连线上（不含A、B 点）左右各7 个振动加强点，加中间的共有15
个，故E 错误。
故选ACD。
【典型题4】（2024·江西南昌·三模）如图所示为水池某时刻的水波图样，S1、S2为水池边缘的两个波源，
将水波视为简谐横波，实线为波峰，虚线为波谷，此时S1、S2均处在波谷位置，可以通过调节波源S1的
振动频率，使两波源的振动完全相同，在水面上形成稳定干涉图样，已知波源S2振动形成的水波波长
为20cm，波速为40cm/s，两列波的振幅均为5cm，两列波的传播速度大小相同，S1、S2两点之间的距
离为100cm，S1、S2、P 三点在同一水平面上，且刚好构成一个直角三角形，∠S1S2P=53°，sin53°=0.8，
Q 为两波源连线的中点，则下列判断正确的是（ ）
A．将波源S1的振动频率调高后形成稳定干涉图样
B．形成稳定干涉后，S1、S2连线上共有8 个振动加强点
C．形成稳定干涉后，P 点处质点振动的振幅为5cm
D．Q 点从平衡位置振动1.25s 后通过的路程为1m
【答案】A
【详解】A．由图可知，波源S1 形成的波长大，则频率小，要形成稳定干涉图样，则频率要与S2 相同，
所以要将振动频率调高，故A 正确；
B．振动加强点到两波源的距离差为波长的整数倍，则有
6
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（n=0，1，2……）
可知分别距离S1 为10cm、20cm、30cm、40cm、50cm、60cm、70cm、80cm、90cm，共有9 个振动加
强点，故B 错误；
C．P 点距离两波源的距离差为
所以P 点是振动加强点，振幅为10cm，故C 错误；
D．由于两列波传播速度相同，且Q 到两波源距离相等，则两列波同时传播到Q，但由于两列波波长不
同，频率不同，不能形成稳定干涉，Q 点从平衡位置振动1.25s 后通过的路程不等于1m，故D 错误。
故选A。
1．（2025·安徽蚌埠·一模）干涉型消声器是一种高效、低耗的噪声控制设备，通过声波干涉原理可实现噪
声的消除，它的结构如图所示。波长为
的声波沿水平管道自左向右传播，在声波到达a 处时，分成两
束相干波，它们分别通过
和
的路程，在b 处相遇。设路程差
，要达到消弱噪声的目的，
应为（ ）
A．半波长的奇数倍
B．半波长的偶数倍
C．波长的奇数倍
D．波长的偶数倍
【答案】A
【详解】根据干涉特点知，两相干波源的距离差为波长的整数倍时，此点为振动增强点，而消除噪声不
能加强；距离差为半波长的奇数倍时，此点为振动减弱点，达到消弱噪声的目的。
故选A。
2．（2024·河南·二模）如图为一“环腔式”降噪器的原理图，可以对高速气流产生的噪声进行降噪。
波长为
的声波沿水平管道自左侧入口进入后分成上、下两部分，分别通过通道①、②继续向前传播，
03 针对训练
7
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在右侧汇聚后噪声减弱，其中通道①的长度为10
，下列说法正确的是（ ）
A．该降噪器是利用波的衍射原理设计的
B．通道②的长度可能为8.5
C．通道②的长度可能为8
D．该降噪器对所有频率的声波均能起到降噪作用
【答案】B
【详解】A．该降噪器是利用声波干涉原理设计，A 错误；
BCD．根据波的叠加原理可知，该降噪器对于路程差为
（n＝0，1，2，3…）
声波降噪效果良好，对不符合上述条件的声波降噪作用较差，甚至不能起到降噪作用，故而并非对所有
波长或频率的声波均有效，CD 错误，B 正确。
故选B。
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）消除噪声污染是当前环境保护的重要课题，。内燃机、通风机等在排放
各种高速气流的过程中都会发出噪声，如图所示的消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声。假设频率
为f，传播速度为v 的声波沿水平管道自左向右传播，抵达A 点时，分成上下两束波沿着虚线α 路径和b
路径传播，最终在 B 点相遇时可削弱噪音，下列说法正确的是（ ）
A．该消声器降噪是利用了波的衍射原理
B．当两条路径的长度差为
的奇数倍时，消音效果最好
C．当两条路径的长度差为
的奇数倍时，消音效果最好
8
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D．这两束波的频率相同，沿a、b 路径的速率大小
，从A 点分开后最终同时到达 B 点
【答案】C
【详解】A．该消声器工作原理是利用波的干涉原理，故A 错误；
BC．当声波A 处分成的上下两束声波传到B 处需满足波程差是半波长的奇数倍时振动减弱，消音效果
最好，其中
故B 错误，C 正确；
D．这两束波的频率相同，介质相同，故沿a、b 路径的传播速率大小相同，从A 点分开后不会同时到
达B 点，故D 错误。
故选C。
4．（2024·广西桂林·模拟预测）同一均匀介质中坐标分别为
和
的两个振源M、N，从
时刻开始振动，产生的机械波相向传播，
时的波形如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．两列波在该介质中的频率为2Hz
B．两列波在该介质中的波速为1m/s
C．
处的质点是振动加强点
D．
处的质点是振动加强点
【答案】D
【详解】A．由图可知，两列波的周期
，根据
可知两列波的频率为
故A 错误；
B．由图可知
两列波在介质中的传播速度大小为
故B 错误；
CD．两波源M、N 起振方向相同，
处的质点满足
是振动减弱点，
处的质点满足
9
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是振动加强点。故C 错误；D 正确。
故选D。
5．（2024·河南安阳·三模）如图所示，水面上相距为a 的A、B 两点有两个频率相同且同时向相同方向起
振的波源，两波源发出的波在水面发生干涉。观察发现C 点与D 点是两个相邻的振动加强点，已知DC
垂直于AB，∠DAB=60°，∠CAB=30°，则该波的波长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由几何关系可知
，
，
，
则D 点与AB 的光程差为
则C 点与AB 的光程差为
可得
故选C。
6．（2024·云南·模拟预测）两列简谐横波在同一介质中相向传播，
时刻的波形如图所示，两波源的平
衡位置分别位于M、N 两点处，O 点为M、N 连线的中点，两波源的振动方向平行。已知M、N 两点的
间距
，振动频率均为
，M 处波源的振幅
，N 处波源的振幅
。
时刻O 处的质点开始振动。下列说法正确的是（ ）
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A．两列波的波速大小均为
B．从
到
，O 处质点运动的路程为0.5m
C．从
到
，O 处质点的动能先增大后减小
D．经过足够长的时间，MN 间（不包括M、N 两点）振幅为15cm 的点共有14 个
【答案】B
【详解】A．两列简谐横波在同一介质中传播，波速相等，由于两列简谐横波振动频率相等，则两列波
的波长相等，故
又
联立解得
，
故A 错误；
B．两列简谐横波的周期为
两波源振动步调相反，O 点为M、N 连线的中点，可知O 处质点为振动减弱点，
时刻O 处的质
点开始振动，从
到
，O 处质点振动了
，即
，故从
到
，O 处质点运动的
路程为
故B 正确；
C．
时刻O 处的质点开始振动，从
到
，O 处质点振动了
，即
，可知
时
刻O 处的质点位于平衡位置，从
到
，O 处质点振动了
，即
，可知
时刻O 处
的质点位于平衡位置，故从
到
，O 处质点的动能先减小后增大，故C 错误；
D．振幅为15cm 的点为振动加强点，设振动加强点与M 点的距离为
，两波源振动步调相反，则
（n＝0，1，2，3…）
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解得
故经过足够长的时间，MN 间（不包括M、N 两点）振幅为15cm 的点共有16 个，故D 错误。
故选B。
7．（2023·湖北武汉·模拟预测）（多选）如图所示，水平面内两个沿竖直方向振动的相干波源S1、S2发出
的简谐横波在同一均匀介质中相遇，波长均为5cm，波源S1的振幅为2cm，S2的振幅为4cm。图中实线
表示某时刻波峰，虚线表示该时刻波谷，a、c、e 三点均位于S1、S2连线的中垂线上，其中e 点是a、c
连线的中点，b、d、f 三点为所在两个圆弧的交点。下列说法中正确的有（ ）
A．图示时刻ac 两点连线上的任意一点（不含a、c）均向上振动
B．b 点的振幅为2cm
C．图中b、d、f 三点位于同一条双曲线上
D．图中e 点的振幅为0，但是它是振动加强点
【答案】BC
【详解】A．由图可知，
点是波谷与波谷相遇的点，点是波峰与波峰相遇的点，是
连线的中点，
而该相干波源波长相同，能够形成稳定的干涉图样，因此点在平衡位置，而
连线上的点始终处于振
动加强的状态，当两列波发生干涉，该处的点（不含
）图示时刻都是向着水平面下方运动的，故
A 错误；
B．由图可知，
点是波源
的波峰与波源
波谷相遇的点，设波源
的振幅为
波源
的振幅为
，
则
点的振幅为
故B 正确；
C．由图可知
三点到两个波源的距离之差均为半波长，根据几何知识可得，满足该条件的曲线为
双曲线，故C 正确；
D．虽然图示时刻点既不是波峰与波峰相遇处，也不是波谷与波谷相遇处，图示时刻其位移为0。但
点的振动加强，振幅为6cm，故D 错误。
故选BC。
8．（2024·陕西·模拟预测）（多选）如图，S1、S2是振幅均为1cm 的两个水波波源，某时刻它们形成的波
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峰和波谷分别由实线和虚线表示。则（ ）
A．两列波的波长不同，但频率相等
B．两列波不会发生稳定的干涉
C．A 处质点振动始终减弱，B、C 处质点振动始终加强
D．此时A、B、C 处各质点的位移是：xA = 0cm，xB = −2cm，xc = 2cm
E．A、B、C 处各质点不会随着水波振动而飘向远处
【答案】BDE
【详解】A．由图可知S1 波长较短，而两列水波传播速度相同，由v = λf 可知S1 频率较大，故A 错误；
B．两列波频率不同不能发生稳定的干涉，故B 正确；
CD．根据波的叠加原理，在图示时刻xA = 0cm，xB = −2cm，xC = 2cm，但是两列波频率不同，无法
形成稳定的干涉图样，故C 错误、D 正确；
E．波传播的是振动形式，各质点不随波迁移，故E 正确。
故选BDE。
9．（2025·广西河池·一模）（多选）在一均匀介质中，波源坐标分别为
和
的两列
简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播。两波源在
时刻同时开始振动，
时的波形图如图
所示。此时位于
和
处的两个质点都恰好开始振动，则（ ）
A．两列简谐波波速的大小均为0.02m/s
B．
时，
处的质点向下振动
C．
时，
处的质点的位移大小为0.4cm
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D．两列波均传播到
处时，该质点振动始终减弱
【答案】AD
【详解】A．由图像可知，两列波的波长均为0.4cm，周期均为T=2×0.1s=0.2s
故波速
故A 正确；
BC．t=0.2s 时，T 波源的振动形式刚传播到0.2cm 处，且速度向上为最大。S 波源的波使0.2cm 处的质
点运动到波谷位置，且速度为0。根据波的叠加原理知，t=0.2s 时，0.2cm 处的质点向上振动，位移大小
为0.2cm，故BC 错误；
D．两波源在0.25cm 处的波程差为零，且相位相差π，所以该质点振动始终减弱，故D 正确。
故选AD。
10．（2024·四川内江·三模）（多选）如图，波源S1在绳的左端发出周期为T1、振幅为
的半个波形a，
同时，波源S2在绳的右端发出周期为T2、振幅为
的半个波形b，已知
，若P 为两波源连线的中
点，则下列判断正确的是（ ）
A．b 波先到达P 点
B．两波源的起振方向相同
C．a 波的波峰到达S2时，b 波的波峰尚未到达
D．两列波相遇时，绳上位移可达
的点只有一个，此点在P 点的左侧
E．两列波在P 点叠加时，P 点的位移最大值小于
【答案】BDE
【详解】A．因两列波波速相等，故两列波能同时到达P 点，故A 错误；
B．由同侧法可知，波源的起振方向都向上，故B 正确；
C．根据
,a 的波峰到达S2 时，b 的波峰已经在
左侧，故C 错误；
D．两列波相遇时，两列波峰同时到达P 点的左侧，叠加后位移达到最大值，所以两列波相遇时，绳上
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位移可达
的点只有一个，而且此点在P 点的左侧，故D 正确；
E．由于a 的波长大于b 的波长，两列波在P 点叠加时两列波的波峰不可能同时到达P 点，所以P 点的
位移最大值小于
，故E 正确。
故选BDE。
11．（2024·河北邢台·二模）（多选）在实验室里某研究小组将两个振幅相同、频率均为10Hz 的相干波源
、
置于矩形ABCD 的C、D 点上、O 为AB 边中点，如图所示。AB 距离为40cm，AC 距离为
30cm，两波源开始振动一段时间后，A、O、B 为三个连续的振动加强点，则下列说法正确的是
（ ）
A．O 点始终在位移最大处
B．两列波的波长均为20cm，波速均为2m/s
C．若两波源的频率都减半，则A 点仍为加强点
D．若将波源
移至B 点，则A 点将静止不动
【答案】BD
【详解】A．O 点虽然为加强点，但仍在振动，O 点位移始终时刻发生变化，故A 错误；
B．由于A、O、B 为三个连续的振动加强点，则A 点与两波源的距离差为一个波长，则有
则波速为
故B 正确；
C．若两波源的频率都减半，则波长变为
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则A 点与两波源的距离差为
可知A 点为减弱点，故C 错误；
D．若将波源
移至B 点，则A 点与两波源的距离差为
可知A 点为减弱点，由于两波源的振幅相同，则A 点将静止不动，故D 正确。
故选BD。
12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）（多选）如图所示，
、
为两个振动情况完全一样的波源，两列波的
波长都为
，它们在介质中产生干涉现象，
、
在空间共形成
个振动减弱的区域（图中虚线处），
是振动减弱区域中的一点，从图中可看出（ ）
A．
点到两波源的距离差等于
B．两波源频率之间没有关系
C．
点此时刻振动最弱，过半个周期后，振动变为最强
D．当一列波的波峰传到
点时，另一列波的波谷也一定传到
点
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，S1、S2 在空间共形成6 个振动减弱的区域，中间的两个减弱区域到两波源的
距离之差为0.5λ，则P 点到两波源的距离差等于1.5λ，故A 正确；
B．因它们在介质中产生干涉现象，因此两波源频率相同，故B 错误；
C．加强区域和减弱区域是由位置决定的，若P 点此时刻振动最弱，则过半个周期后，振动仍为最弱，
故C 错误；
D．因P 点是振动减弱区，当一列波的波峰传到P 点时，另一列波的波谷也一定传到P 点，故D 正确；
故选AD。
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