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疑难压轴1 多体多过程问题中力和运动的综合分析
1．（2024•贵州）如图，半径为R＝1.8m 的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与水平
地面PM 相切于P 点，PM 的长度d＝2.7m。一长为L＝3.3m 的水平传送带以恒定速率v0＝1m/s
逆时针转动，其右端与地面在M 点无缝对接。物块a 从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P
点，再向左做直线运动至M 点与静止的物块b 发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b 向左运
动到达传送带的左端N 时，瞬间给b 一水平向右的冲量I，其大小为6N•s。以后每隔Δt＝0.6s 给
b 一相同的瞬时冲量I，直到b 离开传送带。已知a 的质量为ma＝1kg，b 的质量为mb＝2kg，它
们均可视为质点。a、b 与地面及传送带间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取重力加速度大小g＝
10m/s2。求：
（1）a 运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
（2）b 从M 运动到N 的时间；
（3）b 从N 运动到M 的过程中与传送带摩擦产生的热量。
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2．（2024•丹阳市校级一模）如图所示，在水平的桌面上，有一光滑的弧形轨道，其底端恰好与光
滑水平面相切。右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，轨道半径R＝0.8m，MN 为其竖直直
径，P 点到桌面的竖直距离也是R，质量为M＝2.0kg 的小物块B 静止在水平面上。质量为mA＝
2.0kg 的小物块A 从距离水平面某一高度的S 点沿轨道从静止开始下滑，经过弧形轨道的最低点
Q 滑上水平面与B 发生弹性碰撞，碰后两个物体交换速度，然后小物块B 从桌面右边缘D 点飞
离桌面后，恰由P 点沿圆轨道切线落入圆轨道，g＝10m/s2，求：
（1）物块B 离开D 点时的速度大小；
（2）S 与Q 竖直高度h；
（3）物块能否沿轨道到达M 点，并通过计算说明理由。
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3．（2024•西安模拟）北京时间2024 年7 月31 日，在巴黎奥运会自由式小轮车女子公园赛决赛中，
中国选手邓雅文夺得金牌。这也是中国运动员第一次参加奥运会自由式小轮车项目。其部分场
地可以简化为如图所示的模型，平台A 左右弧面对称，右侧为半径r＝3m 的部分圆弧面，圆心
角θ 满足sinθ＝0.8，平台B 为1
4
的圆弧面，半径R＝3.2m，邓雅文以一定的初速度从平台的左
下端冲向平台A，从M 点腾空后沿切线从N 点进入赛道，再经过一段水平骑行从Q 点进入平台
B，恰好到达平台B 的上端边缘，平台A 上端MN 间的距离为2.4m，邓雅文和独轮车总质量为
75kg，运动过程中可视为质点，整个过程邓雅文只在PQ 段进行了骑行做功，不计一切阻力，重
力加速度取g＝10m/s2，求：
（1）邓雅文和独轮车到达Q 点时赛道给独轮车的支持力大小；
（2）邓雅文和独轮车在MN 段腾空最高处的速度；
（3）邓雅文在PQ 段骑行过程中所做的功。
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4．（2024•南充模拟）一个质量为m 的羽毛球卡在球筒底部，球筒的质量为M，筒长为L，羽毛球
的高度为d（可将羽毛球看成质量集中在球头的质点），已知羽毛球和球筒间的最大静摩擦和滑
动摩擦力大小近似相等，且恒为f＝kmg（k＞1）。重力加速度为g，不计一切空气阻力。某同
学使用以下三种方式将球从筒内取出：
（1）方式一：“甩”，如图甲所示。手握球筒底部，使羽毛球在竖直平面内绕O 点做半径为R
的圆周运动。当球筒运动至竖直朝下时，羽毛球恰要相对球筒滑动，求此时球筒的角速度；
（2）方式二：“敲”，如图乙所示。手握球筒向下运动，使球筒以一定速度撞击桌面，球筒撞
到桌面后不再运动，而羽毛球恰好能滑至球头碰到桌面。若已知运动的初速度为0，起始高度为
L
2
，求此过程手对球筒所做的功；
（3）方式三：“落”，如图丙所示。让球筒从离地h 高处由静止释放，已知：k＝4，M＝8m，
且球筒撞击地面后反弹的速度大小始终为撞击前的1
4
。若要求在球筒第一次到达最高点以后，羽
毛球从球筒中滑出，求h 应满足怎样的取值范围？（不考虑球筒和地面的多次碰撞）
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5．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，一足够长的倾斜传送带以速度v＝5m/s 沿顺时针方向匀
速转动，传送带与水平方向的夹角θ＝37°。质量均为m＝5kg 的小物块A 和B 由跨过定滑轮的
轻绳连接，A 与定滑轮间的绳子与传送带平行，轻绳足够长且不可伸长。某时刻开始给物块A
以沿传送带方向的初速度v0＝14m/s（此时物块A、B 的速率相等，且轻绳绷紧），使物块A 从
传送带下端冲上传送带，已知物块A 与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25，不计滑轮的质量与摩擦，
整个运动过程中物块B 都没有上升到定滑轮处。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝
10m/s2。求：
（1）物块A 刚冲上传送带时的加速度；
（2）物块A 冲上传送带运动到最高点所用时间；
（3）物块A 沿传送带向上运动的过程中，物块A 对传送带做的功。
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6．（2024•龙凤区校级模拟）一闯关游戏装置处于竖直截面内，如图所示，该装置由倾角θ＝37°的
直轨道AB，螺旋圆形轨道BCDEF，水平直轨道FG，传送带GH，水平直轨道HI，两个相同的
四分之一圆管道拼接成的管道IJ，水平直轨道JK 组成。其中螺旋圆形轨道与轨道AB、FG 相切
于B（E）和C（F）。直线轨道FG 和HI 通过传送带GH 平滑连接，管道IJ 与直线轨道HI 相切
于I 点，直线轨道JK 右端为弹性挡板，滑块与弹性挡板碰撞后能原速率返回。已知螺旋圆形轨
道半径R＝0.4m，FG 长LFG≈2m，传送带GH 长LGH＝1.5m，HI 长LHI＝4m，LJK＝2.8m，四分
之一圆轨道IJ 的半径r＝0.4m。滑块与FG、HI、JK 间的动摩擦因数μ1＝0.25，与传送带间的动
摩擦因数μ2＝0.6，其余轨道光滑。现将一质量为m＝1kg 的滑块从倾斜轨道AB 上某高度h 处静
止释放（滑块视为质点，所有轨道都平滑连接，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝
10m/s2）
（1）若滑块恰好经过圆形轨道最高点D，求滑块过C 点对轨道的压力及滑块静止释放时的高度；
（2）若滑块从AB 上高h′＝3m 处静止释放，且传送带静止，那么滑块最终静止的位置距离H
点的水平距离有多远；
（3）若滑块从AB 上高h′＝3m 处静止释放，且传送带以恒定的线速度顺时针转动，要使滑块
停在JK 上（滑块不会再次通过轨道IJ 回到HI 上），求传送带的线速度v 需满足的条件。
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7．（2024•湖北一模）近两年自媒体发展迅猛，受到各年龄段用户的青睐；人们经常在各种自媒体
平台分享自己生活的精彩片段，某位同学就分享了自己在一个大的水泥管内玩足球炫技的视频。
如图，该同学面向管壁站立在管道最低点，先后以√14 gR
2
、√110 gR
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的初速度面向管壁方向
踢出两个足球，足球在如图所示竖直圆截面内运动，恰好分别落入该同学胸前和背后的两个背
包。已知水泥管道截面半径为R，该同学胸前和背后的两个背包口看成两个水平圆框，且圆框与
竖直圆截面的圆心O 等高，两水平圆框最近点的间距为0.28R，且两最近点关于过O 点的竖直直
径对称，不计足球与水泥管间的摩擦，足球看成质点，且均从水平圆框的圆心进入背包，重力
加速度大小为g，√3=1.73，√11=3.32，√59=7.70，sin53° =0.8。（1）两球与水泥管道
的脱离点分别为A、B，求OA、OB 与水平方向的夹角θ1、θ2；
（2 ）设R ＝1m ，胸前的背包口圆框的直径是多少米（数据保留两位小数）？
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8．（2024•思明区校级模拟）蹴鞠是有史料记载的最早足球活动，图甲所示是某蹴鞠活动的场景。
如图乙所示，某校举行蹴鞠比赛的场地为一长方形ABCD，长AD＝10m，宽AB＝8m，E、
E′、F、F′分别为各边中点，O 为EE′和FF′交点，EE′上竖直插有两根柱子，两柱之间挂
一张大网，网的正中间有一圆形的球洞名为“风流眼”，两支球队分别在网的两侧，若蹴鞠穿
过“风流眼”后落地，射门的球队得分。圆形“风流眼”的圆心Q 在O 点正上方，Q、O 之间的
高度h＝3.75m。甲、乙两位运动员在某次配合训练中，甲将静止在地面F 点的蹴鞠斜向上踢出，
经时间t1＝0.5s 恰好到达最高点P，P 在场地上的投影为P′且P′在FO 上，P′到F 点的距离为
x1＝2m。乙运动员紧接着从P 点将蹦斜向上踢出，恰好经过“风流眼”中的Q 点且经过Q 点时
速度方向水平，穿过“风流眼”后蹴鞠落到OF′上的K 点（蹴鞠第一次着地的位置），如图丙
所示。蹴鞠的质量为0.6kg，蹴鞠可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度大小取g＝10m/s2。
求：
（1）最高点P 离地面的高度h1；
（2）甲运动员对蹴鞠做的功W；
（3）K 点到O 点的距离d（结果可以用根式表示）。
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9．（2024•市中区校级二模）如图所示，光滑轨道ABC 由竖直段AB、半径为R 的1
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圆弧形轨道
BC 组成，末端C 处切线水平。紧邻C 右端依次为水平粗糙的传送带甲、乙和水平粗糙的地面，
均与C 点等高；传送带甲以恒定的速率u=7√gR顺时针转动，传送带乙和上方的均质木板处于
静止状态，其中木板长度与乙两端DE 等长，均为kR（k 未知），忽略轨道、传送带、地面相互
之间的间隙。现有一物块从轨道上的P 处静止释放，经C 点进入传送带甲，于D 处与木板发生
碰撞后取走物块，碰撞前后物块、木板交换速度，且在碰撞结束瞬间，传送带乙启动并以木板
被碰后的速度顺时针匀速转动，最终木板运动2kR 的距离后静止，忽略碰撞时间以及乙启动时
间。已知，物块通过传送带甲过程，甲皮带运动的路程是物块路程的1.5 倍；木板与传送带乙、
地面之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；PB 高度差h＝R，物块、木板质
量均为m，重力加速度为g，忽略物块和传送带轮子的尺寸。已知简谐运动的周期公式
T =2π√
m
k '
，其中k'为回复力系数。sin 27° = √5
5 ，求：
（1）物块即将滑出轨道末端C 时，对C 处的作用力F；
（2）若传送带甲因传送物块多消耗的电能为W，甲和物块间的摩擦生热为Q，求W
Q
的数值大小；
（3）k 的大小；
（4）木板的运动时间t。
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10．（2024•花溪区校级模拟）如图所示，是一儿童游戏机的简化示意图。光滑游戏面板与水平面
成一夹角θ，半径为R 的四分之一圆弧轨道BC 与长度为8R 的AB 直管道相切于B 点，C 点为圆
弧轨道最高点（切线水平），管道底端A 位于光滑斜面挡板底端，轻弹簧下端固定在AB 管道
的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P。经过观察发现：无弹珠时（弹簧无形变），
轻弹簧上端离B 点距离为3R，缓慢下拉手柄P 使弹簧压缩，后释放手柄，弹珠经C 点被射出，
最后击中斜面底边上的某位置（图中未标出），根据击中位置的情况可以获得不同的奖励。假
设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB 粗细不计。（g 为重力加速度，
弹簧的弹性势能可用E p= 1
2 k x
2，计算（x 为弹簧的形变量）最后结果可用根式表示）：
（1）调整手柄P 的下拉距离，可以使弹珠经BC 轨道上的C 点射出，求在C 点的最小速度？
（2）经BC 轨道上的C 点射出，并击中斜面底边时距A 最近，求此最近距离；
（3）设弹珠质量为m，θ＝30°，该弹簧劲度系数k = mg
R
，要达到（2）中条件，求弹珠在离开
弹簧前的最大速度。
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