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12 动量守恒定律
[-考点-02-] 动量定理及应用
动量定理
1．内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量．
2．公式：Ft＝mv′－mv 或I＝p′－p.
1．对动量定理的理解
(1)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以
是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和．
(2)Ft＝p′－p 是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同．式中Ft 是物体所受的合外力
的冲量．
(3)Ft＝p′－p 除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲
量是动量变化的原因．
(4)由Ft＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率．
(5)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定
理．
2．解题基本思路
典例1 (用动量定理解释生活中的现象)(2020·全国卷Ⅰ·14)行驶中的汽车如果发生剧烈碰
撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体．若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为
零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A．增加了司机单位面积的受力大小
B．减少了碰撞前后司机动量的变化量
C．将司机的动能全部转换成汽车的动能
D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
答案 D
解析 汽车剧烈碰撞瞬间，安全气囊弹出，立即跟司机身体接触．司机在很短时间内由运
动到静止，动量的变化量是一定的，由于安全气囊的存在，作用时间变长，据动量定理Δp
1
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＝FΔt 知，司机所受作用力减小；又知安全气囊打开后，司机受力面积变大，因此减小了
司机单位面积的受力大小；碰撞过程中，动能转化为内能．综上可知，选项D 正确．
典例2 (动量定理的有关计算)物体A 和B 用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图甲所
示．物体A 的质量为m，物体B 的质量为m′.当连接物体A、B 的绳突然断开后，物体A
上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B 下落的速度大小为v′，如图乙所示．在这
段时间内，弹簧的弹力对物体A 的冲量大小为( )
A．mv
B．mv－m′v′
C．mv＋m′v′
D．mv＋mv′
答案 D
解析 取向上为正方向，对物体A，有I 弹－mgt＝mv，对物体B，有－m′gt＝－m′v′，
解得弹簧的冲量I 弹＝mv＋mv′，故选D.
典例3 (动量定理在多过程中的应用)(2023·云南省玉溪第一中学月考)将质量为m＝1 kg 的
物块置于水平地面上，已知物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，现在物块上施加一
个平行于水平地面的恒力F＝10 N，物体由静止开始运动，作用4 s 后撤去F.已知g＝10
m/s2，对于物块从静止开始到物块停下这一过程下列说法正确的是( )
A．整个过程物块运动的时间为6 s
B．整个过程物块运动的时间为8 s
C．整个过程中物块的位移大小为40 m
D．整个过程中物块的位移大小为60 m
答案 B
解析 在整个过程中由动量定理得Ft1－μmgt＝0，解得t＝8 s，选项A 错误，B 正确；在物
块前4 s 运动的过程中由动量定理得Ft1－μmgt1＝mv，解得v＝20 m/s，因物块加速和减速
过程的平均速度都为＝＝，全程的平均速度也为，则物块的总位移x＝t＝×8 m＝80 m，选
项C、D 错误．
典例4 (应用动量定理处理流体类问题)(2023·吉林·期末)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的
水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便，假设水柱从横截面积为S
的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板
后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的
密度为ρ，重力加速度大小为g.求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
2
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(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．
答案 (1)ρv0S (2)－
解析 (1)在刚喷出一段很短的Δt 时间内，可认为喷出的水柱保持速度v0不变
该时间内，喷出水柱高度Δl＝v0Δt①
喷出水柱质量Δm＝ρΔV②
其中ΔV 为水柱体积，满足ΔV＝ΔlS③
由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为
＝ρv0S.
(2)设玩具底面相对于喷口的高度为h
由玩具受力平衡得F 冲＝Mg④
其中，F 冲为水柱对玩具底部的作用力
由牛顿第三定律知F 压＝F 冲⑤
其中，F 压为玩具底部对水柱的作用力，设v′为水柱到达玩具底部时的速度
由运动学公式得v′
2－v0
2＝－2gh⑥
在很短Δt 时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm
Δm＝ρv0SΔt⑦
由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理得
－(F 压＋Δmg)Δt＝－Δmv′⑧
由于Δt 很小，Δmg 也很小，可以忽略，⑧式变为
F 压Δt＝Δmv′⑨
由④⑤⑥⑦⑨可得h＝－.
典例5 (应用动量定理处理微粒类问题)《点绛唇》是北宋文学家苏轼创作的一首词，其中
一句“雨打芭蕉闲听雨，道是有愁又无愁”是脍炙人口的名句．设雨水竖直匀速下落，某
张芭蕉叶认为是水平的，该叶片的面积为S，水滴落到叶片上以原来的一半速率竖直反
弹，测得叶片受到雨水的作用力大小为F.已知空中雨水的平均密度为ρ，不考虑落到叶片
上雨水的重力．单位时间内雨水下落的高度为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 一定时间内，水落到叶片上时，对水，根据动量定理可知Ft＝mv－(－mv)＝mv，水
的质量m＝ρSvt，解得v＝，水在空中匀速下落，则单位时间内雨水下落的高度为，选B.
1.(多选)对下列几种物理现象的解释，正确的是( )
A.击钉时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻
3
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B.用手接篮球时，手往往向后缩一下，是为了减小冲量
C.易碎品运输时，要用柔软材料包装，船舷常常悬挂旧轮胎，都是为了延长作用时间以减
小作用力
D.在车内推车推不动，是因为车(包括人)所受合外力的冲量为零
答案 CD
解析 击钉时，不用橡皮锤是因为橡皮锤与钉子的作用时间长，作用力小；用手接篮球时
手往后缩一下，是为了延长作用时间以减小作用力，所以A、B 项错误；据动量定理F·t＝
Δp 知，当Δp 相同时，t 越长，作用力越小，故C 项正确；车能否移动或运动状态能否改变
取决于所受的合外力，与内部作用无关，所以D 项正确.
2.质量为1 kg 的物体做直线运动，其速度－时间图象如图2 所示，则物体在前10 s 内和后
10 s 内所受合外力的冲量分别是( )
图2
A.10 N·s，10 N·s
B.10 N·s，－10 N·s
C.0，10 N·s
D.0，－10 N·s
答案 D
解析 由题图可知，在前10 s 内初、末状态的动量相同，p1＝p2＝5 kg·m/s，由动量定理知
I1＝0；在后10 s 内末状态的动量p3＝－5 kg·m/s，由动量定理得I2＝p3－p2＝－10 N·s，故
D 正确.
3.(多选)一个质量为0.18 kg 的垒球，以25 m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水
平飞回，速度大小变为45 m/s，设球棒与垒球的作用时间为0.01 s.下列说法正确的是( )
A.球棒对垒球的平均作用力大小为1 260 N
B.球棒对垒球的平均作用力大小为360 N
C.球棒对垒球做的功为126 J
D.球棒对垒球做的功为36 J
答案 AC
解析 设球棒对垒球的平均作用力为，由动量定理得·t＝m(v1－v0)，取末速度方向为正方向，
则v1＝45 m/s，v0＝－25 m/s，代入得＝1 260 N.由动能定理得W＝mv1
2－mv0
2＝126 J，故
A、C 正确.
4.(2022·泰安市新泰第一中学高二质量检测)某消防队员从一平台上跳下，下落1 s 后双脚触
地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.2 s，在着地过程中地面对他双
脚的平均作用力约为( )
4
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A．自身所受重力的2 倍
B．自身所受重力的6 倍
C．自身所受重力的8 倍
D．自身所受重力的10 倍
答案 B
解析 解法一：消防员下落t1＝1 s 后双脚触地时的速度为v1＝gt1，方向向下；着地后他使
自身重心下降0.2 s 后站定，即v2＝0，设向下为正方向，则着地过程中消防员动量的变化
量为Δp＝0－mv1＝－mv1，设该过程中地面对他双脚的平均作用力为，由动量定理得(mg
－)t2＝Δp＝－mv1，其中t2＝0.2 s，则＝mg＋＝mg＋5mg＝6mg，故B 正确．
解法二：规定向下为正方向，对消防员下落的全程应用动量定理可得mg(t1＋t2)＋(－t2)＝0
－0，代入数据解得＝6mg，故B 正确．
5.地动仪是世界上最早的感知地震装置，由我国杰出的科学家张衡在洛阳制成，早于欧洲1
700 多年．如图所示，为一现代仿制的地动仪，龙口中的铜珠到蟾蜍口的距离为h，当感知
到地震时，质量为m 的铜珠(初速度为零)离开龙口，落入蟾蜍口中，与蟾蜍口碰撞的时间
约为t，重力加速度为g，不计空气阻力，则铜珠对蟾蜍口产生的冲击力大小约为( )
A.＋mg
B.
C.
D.－mg
答案 A
解析 铜珠做自由落体运动，落到蟾蜍口的速度为：v＝，设蟾蜍口对铜珠的作用力为F，
以竖直向上为正方向，根据动量定理可知：Ft－mgt＝0－(－mv)，解得：F＝＋mg，根据
牛顿第三定律可知，铜珠对蟾蜍口产生的冲击力大小F′＝F，故A 正确．
6.(多选)(2023·重庆·期中)人们对手机的依赖性越来越强，有些人喜欢躺着看手机，经常出
现手机砸伤眼睛的情况．如图所示，若手机质量m＝200 g，从离人眼约h＝10 cm 的高度静
止掉落，砸到眼睛后经t＝0.1 s 手机停止运动，取重力加速度g＝10 m/s2，下列分析正确的
是( )
A．手机对眼睛的作用力大小约为2.8 N
B．手机对眼睛的作用力大小约为4.8 N
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C．全过程手机重力的冲量大小约为0.48 N·s
D．全过程手机重力的冲量大小约为0.28 N·s
答案 BC
解析 根据自由落体运动规律得速度v＝＝ m/s，手机与眼睛作用后手机的速度变成0，选
取向上为正方向，则手机与眼睛作用过程中动量变化量为Δp＝0－(－mv)＝0.2 kg·m/s，手
机与眼睛接触的过程中受到重力与眼睛对手机的作用力，根据动量定理可知，Ft－mgt＝
Δp，解得眼睛对手机的作用力大小F＝mg＋＝(2＋) N≈4.8 N，由牛顿第三定律知，手机对
眼睛的作用力大小约为4.8 N，故B 正确，A 错误；手机下落时间t′＝，全过程中重力的
冲量为mg(t＋t′)≈0.48 N·s，故C 正确，D 错误．
7.(2023·山东济南市历城第二中学检测)如图为酒泉卫星发射基地发射“神舟十三号”飞船
点火瞬间的情景．在发射的当天，李强守在电视机前观看发射实况转播．通过电视解说员
的介绍，他了解到火箭连同装载物的总质量约为480 吨，发射塔架的高度约为100 米．李
强注意到在火箭点火起飞约10 秒时火箭尾部刚好越过塔架．假设火箭从点火到越过塔架的
过程中喷气对火箭的推力是恒力，忽略火箭质量的变化及火箭受到的空气阻力，g 取9.8
m/s2，根据以上信息估算推力的大小为( )
A．4.7×108 N
B．4.9×106 N
C．5.9×108 N
D．5.7×106 N
答案 D
解析 10 s 末火箭的速度为v＝＝ m/s＝20 m/s，由动量定理有(F－mg)t＝mv，解得F＝
5.7×106 N，故选D.
8.甲、乙两物体分别在大小为F1、F2的力的作用下做直线运动，甲在t1时间内，乙在t2时
间内动量p 随时间t 变化的p－t 图像如图所示，设甲物体在t1时间内所受到的冲量大小为
I1，乙物体在t2时间内所受到的冲量大小为I2，则两物体所受外力F 及其冲量I 的大小关系
是( )
A．F1>F2，I1＝I2
B．F1<F2，I1<I2
C．F1>F2，I1>I2
D．F1＝F2，I1＝I2
答案 A
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解析 由F＝知F1>F2，由I＝Δp 知I1＝I2，故A 正确．
9．(2023·广东省联考)2022 年5 月10 日世界女子羽毛球团体锦标赛尤伯杯比赛在泰国进行，
中国队何冰娇以21∶2 和21∶8 轻松战胜罗德里格斯，最终中国队以5∶0 轻松击败西班牙
队．假设羽毛球以v1＝72 km/h 的速度飞向何冰娇，何冰娇以v2＝216 km/h 的速度将羽毛球
回击．已知羽毛球的质量为m＝5×10－3 kg，球拍与羽毛球作用的时间为t＝0.02 s．则下
列说法正确的是( )
A．球拍对羽毛球不做功
B．羽毛球动量的变化量大小为0.4 kg·m/s
C．羽毛球动能的变化量大小为10 J
D．球拍与羽毛球之间的作用力大小为10 N
答案 B
解析 击球过程中，羽毛球的动能增加，则球拍对羽毛球做功，选项A 错误；v1＝72 km/h
＝20 m/s，v2＝216 km/h＝60 m/s，则羽毛球动量的变化量大小为Δp＝mv2－mv1＝5×10－
3×60 kg·m/s－(－5×10－3×20) kg·m/s＝0.4 kg·m/s，选项B 正确；羽毛球动能的变化量大
小为ΔEk＝mv2
2－mv1
2＝×5×10－3×(602－202) J＝8 J，选项C 错误；根据动量定理Δp＝
Ft，解得球拍与羽毛球之间的作用力大小为F＝＝ N＝20 N，选项D 错误．
10.(2023·沧州·期末)如图所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出的强力水柱冲击煤层．
设水柱直径为d＝30 cm，水速为v＝50 m/s.假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的
速度变为零．求水柱对煤层的平均冲击力的大小．(水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，结果保留
三位有效数字)
答案 1.77×105 N
解析 取一小段时间Δt，从水枪射出的水的质量为Δm＝ρSvΔt.以Δm 为研究对象，如图所
示，
设水速方向为正方向，由动量定理，得
FΔt＝Δm(0－v)＝－ρSv2Δt，则F＝－ρSv2.
由牛顿第三定律，知水对煤层的平均冲击力大小为
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F′＝－F＝ρSv2，又S＝d2.
代入数据，解得F′≈1.77×105 N.
11.假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s 的速度进入宇宙微
粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4 g，若要使飞船速度保
持不变，飞船的牵引力应增加多少？(设微粒与飞船相碰后附着到飞船上)
答案 0.784 N
解析 由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力大小相等，据
牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力大小相等．只要求出时间t 内微粒的质量，
再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力．时间t 内附着到飞
船上的微粒质量为：M＝m·S·vt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：Ft＝Mv＝
mSvt·v，即F＝mSv2，代入数据解得F＝0.784 N.
12.正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子的质量均为m，单位体积内粒子数量n 为
恒量.为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略，其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机
会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变.利用所学力学知
识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m、n 和v 的关系.
答案 f＝nmv2
解析 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量
ΔI＝2mv
如图所示，以器壁上面积为S 的部分为底、vΔt 为高构成柱体，由题设可知，其内有的粒子
在Δt 时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰壁粒子总数
N＝n·SvΔt
Δt 时间内粒子给器壁的冲量
I＝N·ΔI＝nSmv2Δt
器壁上面积为S 的部分受到粒子的压力
F＝
则器壁单位面积所受粒子的压力
f＝＝nmv2.
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