文档内容
几何-直线型几何-一半模型-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
一半模型 B 1.了解典型的一半模型 少考
2.能够灵活运用一半模型解决几何
问题
知识提要
一半模型
平行四边形的一半模型
梯形的一半模型 任意四边形一半模型
精选例题
一半模型
1. 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB，BC，
m
CD，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，
n
(m+n) 的值等于 ．【答案】 5
【分析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现
两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接 EG．设 AG 与 DE 的交点为 M．
1
左图中 AEGD 为长方形，可知 △AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 ，所以
4
1 1 1
三角形 AMD 的面积为 12× × = ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左
2 4 8
1 1
图中阴影部分的面积为 1- ×4= ．
8 2
如上图所示，在右图中连接 AC、EF．设 AF、EC 的交点为 N．1
可知 EF∥AC 且 AC=2EF．那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 ，
4
1 1 1 1 1 3
所以三角形 BEF 的面积为 12× × = ，梯形 AEFC 的面积为 - = ．
2 4 8 2 8 8
在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
3 1 1
12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形 EFN 的面积为 × = ，那么四边
8 1+2+2+4 24
1 1 1
形 BENF 的面积为 + = ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴
8 24 6
1 1
影部分的面积为 1- ×4= ．
6 3
1 1 m 3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 : =3:2，即 = ，那么
2 3 n 2
m+n=3+2=5．
2. 如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，
则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 12
【分析】 因为三角形 ABP 面积为矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，
1
三角形 ABO 面积为矩形 ABCD 的面积的 ，即 9 平方厘米，又四边形 PMON 的面积
4
为 3 平方厘米，所以三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和是
18-9-3=6(平方厘米)．
又三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 18
平方厘米，所以阴影部分面积为 18-6=12(平方厘米)．
3. ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，BL=DM=4、
BK=DN=5，那么阴影部分的面积是 ．【答案】 34
【分析】 （方法一）特殊点法．由于 P 是内部任意一点，不妨设 P 点与 A 点重
合（如下图），那么阴影部分就是 △AMN 和 △ALK．而 △AMN 的面积为
(12-5)×4÷2=14，△ALK 的面积为 (12-4)×5÷2=20，所以阴影部分的面积为
14+20=34．
（方法二）寻找可以利用的条件，连接 AP、BP、CP、DP 可得下图所示：
则有：1 1
S +S = S = ×122=72.
△PDC △PAB 2 ABCD 2
同理可得：
S +S =72;
△PAD △PBC
而
S :S =DM:DC=4:12=1:3,
△PDM △PDC
即
1
S = S ;
△PDM 3 △PDC
同理：
1 5 5
S = S ,S = S ,S = S ;
△PBL 3 △PAB △PND 12 △PDA △PBK 12 △PBC
所以：
1 5
(S +S )+(S +S )= (S +S )+ (S +S )
△PDM △PBL △PND △PBK 3 △PDC △PAB 12 △PDA △PBC
而
(S +S )+(S +S )
△PDM △PBL △PND △PBK (S +S )+(S +S );¿
¿ △PNM △PLK △DNM △BLK
¿
1
S =S = ×4×5=10;
△DNM △BLK 2
所以阴影部分的面积是：
S +S 1 5
△PNM △PLK (S +S )+ (S +S )-(S +S ),¿
¿ 3 △PDC △PAB 12 △PDA △PBC △DNM △BLK
即为：
1 5
×72+ ×72-10×2=24+30-20=34.
3 12
4. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是
．【答案】 6
【分析】 如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M、N．连接 CN．
根据面积比例模型，△CMF 与 △CNF 的面积是相等的，那么 △CMF 与 △BNF
的面积之和，等于 △CNF 与 △BNF 的面积之和，即等于 △BCN 的面积．而 △BCN 的
1
面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 122× =72．
2
又 △CMF 与 △BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形
EFGH 的面积，所以四边形 EFGH 的面积为：(72-60)÷2=6．
5. 如图，长方形 ABCD 的边上有两点 E、F，线段 AF、BF、CE、BE 把长方形分成若
干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是多少平方米？【答案】 97
【分析】 运用等积变换，
1
S +S = S ,
DFA FCB 2 ABCD
1
S = S =S +S ,
BCE 2 ABCD DAF FCB
因此，阴影面积为
15+36+46=97(平方米).
6. 如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1，那么阴影部分的面积是多少？
1
【答案】
4
【分析】把三角形 EGD 移到三角形 CHB 的位置，则长方形 DHBG 面积为六边形面积一
半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为
1
1÷2÷2= .
4
7. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3
和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
1
【答案】 3
8
1 1
【分析】 由 S =4 可知 S = ×S = ×4×S =8．而 △CDF
△AOD △BCD 2 长方形ABCD 2 △AOD
DF S 5
与 △CDB 从 C 出发的高相同，则 = △CDF = ．
DB S 8
△CDB
CE DF 3
由于 EF∥CD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 = = ，从而得到
BC DB 8
BE 3 5 5
=1- = ，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 ．于是阴影三角形的面积是
BC 8 8 85 5 5 25
×S = ×(S -S )= ×(8-3)= .
8 △BCF 8 △BCD △CDF 8 8
8. 如图，四边形 ABCD 中，DE:EF:FC=3:2:1，BG:GH:AH=3:2:1，
AD:BC=1:2，已知四边形 ABCD 的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积 =
．
4
【答案】
3
【分析】 运用三角形面积与底和高的关系解题．
连接 AC、AE、GC、GE，因为
DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,
所以，在 △ABC 中，
1
S = S ,
△BCG 2 △ABC
在 △ACD 中，
1
S = S ,
△AED 2 △ACD
在 △AEG 中，1
S = S ,
△AEH 2 △HEG
在 △CEG 中，
1
S = S .
△CFG 2 △EFG
因为
1 1
S +S = S + S
△BCG △AED 2 △ABC 2 △ACD
1
¿ = S
2 ABCD
¿ ¿
所以
S =S -(S +S )=4-2=2.
AGCE ABCD △BCG △AED
又因为
S =S +S +S +S
AGCE △AEH △HEG △CFG △EFG
3
¿ = (S +S )
2 △HEG △EFG
¿ ¿
所以
3 4
S =2÷ = .
EFGH 2 3
9. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形
PQRS 的面积为多少？
2
【答案】
cm2
3【分析】 （法 1）由 AB∥CD，有
MP PC
= ,
MN DC
所以
PC=2PM,
又
MQ MB
= ,
QC EC
所以
1
MQ=QC= MC,
2
所以
1 1 1
PQ= MC- MC= MC,
2 3 6
1
所以 S 占 S 的 ，得到
SPQR AMCF 6
1 2
S = ×1×(1+1+2)= (cm2 ).
SPQR 6 3
（法 2）如图，
连结 AE，则
1
S = ×4×4=8(cm2 ),
△ABE 2
而
RB ER
= ,
AB EF
所以
RB AB
= =2,
EF EF
2 2 16
S = S = ×8= (cm2 ).
△ABR 3 △ABE 3 3
而1 1
S =S = ×3×4× =3(cm2 ),
△MBQ △ANS 2 2
因为
MN MP
= ,
DC PC
所以
1
MP= MC,
3
则
1 1 4
S = ×2×4× = (cm2 ),
△MNP 2 3 3
阴影部分面积等于
S -S -S +S 16 4 2
△ABR △ANS △MBQ △MNP -3-3+ ¿=¿ (cm2 ).¿
¿ 3 3 3
10. 如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8，AD=15，四边形
EFGO 的面积为 ．
【答案】 10
【分析】 从整体上来看，
四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，
而 三角形AFC的面积+三角形BFD面积 为长方形面积的一半，即 60，白色部分的
面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120-70=50，所以四边形的面积为
60-50=10．11. 如图，ABCE 是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，他们组成了梯形 ABCD．
如果这个梯形的上底、下底和高分别为 2cm、5cm 和 4cm，则图中阴影部分面积为是多
少平方厘米？
【答案】 6
【分析】 用梯形面积减去三角形 CFB 的面积和三角形 ABD 的面积，且三角形
BFC 面积为平行四边形 ABCE 面积的一半，因此，因此阴影面积为
1 1 1
×(2+5)×4- ×2×4- ×2×4=6
2 2 2
12. 有一个边长为 16 厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点
构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？
【答案】 80cm2
【分析】 如下图左所示，S 阴 ① =4S ．
1
S阴①=16×16÷2=128(cm2
)
如下图中所示，此时斜放的正方形面积为 128cm2，S=S 阴 ②．S=S阴②=128÷2=64(cm2
)
如图右所示，此时外面正方形面积为 64，图中
S阴③=64÷2÷2=16(cm2
)
所以，图中阴影部分总面积为：
S阴②+S阴③=64+16=80(cm2
)
