文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-4
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 在下图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个
正方形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 288
【分析】 如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．
取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 △ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC．
四个 △BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形．
记 BE=b，则 CE=b，DE=b．
由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 △ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB
为边长的正方形（如下右弦图）．题中阴影可看做 8 个 △ABE 再加上 8 个 △BEC 的面积和，4 个 △ABE 与 4 个
△BEC 拼成边长为 12 的正方形，因此本题答案为 122×2=288 平方厘米．
2. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，
且 CEb），将边长为 a 的正方形切成四块大小、
形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．
【答案】 见解析．
【分析】
拼成大正方形的面积应是 a×a+b×b，设边长 c，则有等式 c×c=a×a+b×b，又因为将
边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为
大正方形边长，如图（1），一定有 MN×MN=a×a+b×b，而 MH=a，则：NH=b，所
以 AN=CM=BH=(a-b)÷2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90∘ 到
EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块．如图（2）与图（3）．这种分法同时确保图
（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方
形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中
心正方形的边长 =[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2=a-(a-b)=b．因此，中间部分是边长为 b
的正方形．
59. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在
△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）
AEC 和 BFC 的面积和最大．【答案】 当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大．
【分析】 因为 ∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之
和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 △ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，△ABC
中 AB 边上的高最大，从而 △ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分
面积最大．
