清单01 高考数学考前必背核心知识
（含20 个专题，223 个核心考点）
专题01 集合
专题02 常用逻辑用语
专题03 复数
专题04 平面向量
专题05 等式与不等式的性质
专题06 基本不等式
专题07 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
专题08 三角函数的图象及性质
专题09 解三角形
专题10 函数的概念及其表示
专题11 函数的基本性质
专题12 指数对数幂函数
专题13 函数的图象、函数与方程、函数模型
专题14 导数
专题15 数列
专题16 立体几何
专题17 直线与圆
专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
专题19 排列组合与二项式定理
专题20 概率统计
专题01 集合
考点1 元素与集合
1．集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个
对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示.
2．集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a 在集合中A 中，就说元素
a 属于 集合A，记作 a
A
Î
，如果元素a 在不集合中A 中，就说元素a 不属于 集合A，记作 a
A
Ï
.
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫
作 空集 ，记作 Æ .
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 .
（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（3）常用数集及其记法：
数集
非负整数集（或自然数集）
正整
数集
整数集
有理
数集
实数
集
复数
集
符号
N
N*或（N＋）
Z
Q
R
C
考点2 集合的基本关系
文字语言
符号语言
子集
集合A 中任意一个元素都是
集合B 的元素
[来源:Zxxk.Com]
A Í B
真子集
集合A 是集合B 的子集，且
集合B 中至少有一个元素不
在集合A 中
A
B
̹
基本关系
[来源:学
科网ZXXK]
相等
集合A，B 中元素相同或集
合A，B 互为子集
A
B
=
空集是任何集合的子集
A
Æ Í
空集
空集是任何非空集合的
真子集
Æ B 且B ¹ Æ
必记结论：
（1）若集合A 中含有n 个元素，则有 2n 个子集，有2
1
n - 个非空子集，有2
1
n - 个真子集，有2
2
n -
个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即
,
A
B B
C
A
C
Í
Í
Þ
Í
.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 空集 的
情况，否则会造成漏解.
考点3 集合的交集、并集、补集运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
并
集
由所有属于集合A 或属于 集合B 的元素组成的集
合
{x|x∈A，或
x∈B}
A∪B
交
集
由所有属于集合A 且属于 集合B 的元素组成的集
合
{x|x∈A，且
x∈B}
A∩B
补
集
由全集U 中 不属于 集合A 的所有元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}
U A
ð
考点4 集合的运算性质
1．交集的性质：
①A∩B Í A；②A∩B Í B；③A∩A＝ A ； ④A∩
＝ Æ ；⑤A∩B = B∩A.
2．并集的性质：
①A∪B Ê A；②A∪B Ê B；③A∪A＝ A ；④A∪
＝ A ；⑤A∪B = B∪A.
3．补集的性质：
①∁U(∁UA)＝ A ； ②∁UU＝ Æ ；③∁U
＝ U ；
④A∩(∁UA)＝ Æ ；⑤A∪(∁UA)＝ U ；
⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)；
⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) I (∁UB)．
专题02 常用逻辑用语
考点1 命题的概念
（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题．
（2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题．
（3）结构形式：“若p ，则q ”“如果p ，那么q ”等形式的命题中， p 称为命题的条件， q 称为命题
的结论．
考点2 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的定义
一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出q 。
由p 可推出q ，记作
q
p Þ
，并且说p 是q 的 充分条件 ，q 是p 的 必要条件 。
如果“若p ，则q ”为假命题，是指由条件p 不能推出结论q ，记作
q
p Þ
，则p 不是q 的充分条件，q
不是p 的必要条件。
2．充分性和必要性的关系
在“若p ，则q ”中，
若：
q
p Þ
，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
若：
p
q Þ
，则q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件
也就是说：在“若p ，则q ”中，
条件Þ 结论， 充分性成立 ；
结论Þ 条件， 必要性成立
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的 充分不必要 条件
p⇒q 且q Þ p
p 是q 的 必要不充分 条件
p Þ q 且q⇒p
p 是q 的 充要 条件
p⇔q
p 是q 的 既不充分又不必要 条件
p Þ q 且q Þ p
考点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B
若
B
A Í
，即
q
p Þ
，p 是q 的充分条件（充分性成立）
若
B
A Ê
，即
p
q Þ
，p 是q 的必要条件（必要性成立）
若
B
A ¹Ì
，即
q
p Þ
，
p
q Þ
，p 是q 的
充分不必要条件
若
B
A ¹
，即
q
p Þ
，
p
q Þ
，p 是q 的
必要不充分条件
若
B
A =
，即
q
p Þ
，
p
q Þ
，p 是q 的
充要条件
考点4 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量
词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M 中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为
∀x∈M，p（x） .
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有
存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M 中的元素x，p（x）成立”可用符号简记
为 ∃x∈M，p（x） .
2．全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题𝑝:∀𝑥∈𝑀，𝑝(𝑥)，它的否定¬𝑝：
∃𝒙∈𝑴，𝒑(𝒙)不成立 ．
全称量词命题的否定是存在量词命题．
（2）存在量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题𝑝:∃𝑥∈𝑀，𝑝(𝑥)，它的否定¬𝑝：
∀𝒙∈𝑴，𝒑(𝒙)不成立 ．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
（3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ．
专题03 复数
考点1 复数的定义
复数：一般地，当a 与b 都是实数时，称𝑎+ 𝑏i为 复数 ，复数一般用小写字母z 表示，即𝑧= 𝑎+ 𝑏i(𝑎,𝑏∈
R)，其中a 称为z 的 实部 ，b 称为z 的 虚部 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。
考点2 虚数单位与周期
i 叫做虚数单位，规定i2 = -1
；虚数单位可以与实数进行 四则运算
特别地，i4𝑛+1 = i ，i4𝑛+2 = −𝟏
，i4𝑛+3 = −i i4𝑛= 1 ，其中𝑛∈Z．
考点3 复数的分类
对于复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)， 复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)，𝑧为实数⇔ 𝒃= 𝟎
；𝑧为虚数⇔
𝒃≠𝟎
；𝑧为纯虚数⇔
𝒂= 𝟎
𝒃≠𝟎
；𝑧为非纯虚数数⇔
𝒂≠𝟎
𝒃≠𝟎
．
即复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)
实数(𝒃= 𝟎)
虚数(𝒃≠𝟎)
纯虚数(𝒂= 𝟎)
非纯虚数(𝒂≠𝟎)
考点4 复数相等
如果𝑎，𝑏，𝑐，𝑑都是实数，那么𝑎+ 𝑏i = 𝑐+ 𝑑i ⇔ 𝒂= 𝒄且𝒃= 𝒅 ．特别地，当𝑎，𝑏都是实数时，
𝑎 +𝑏i = 0的充要条件是𝑎= 0且𝑏= 0．
考点5 共轭复数及其性质
如果两个复数的实部 相等 ，而虚部
互为相反数
时，则称这两个复数互为共轭复数．复数
z 的共轭复数用𝑧表示，即如果𝑧= 𝑎+ 𝑏i,𝑎,𝑏∈R，那么𝑧= 𝒂−𝒃i
．
共轭复数的性质
设𝑧的共轭复数为𝑧，则
（1）𝑧𝑧= |𝒛|𝟐
= |𝑧|2．
（2）𝑧2 = (𝑧)2．
（3）𝑧1𝑧2 = 𝑧1𝑧2．
考点6 复平面及复数的几何意义
复平面：
在平面上建立直角坐标系，以坐标为(𝒂,𝒃)的点𝒁表示复数𝒛= 𝒂+ 𝒃i (𝒂,𝒃∈𝐑)，就可在平
面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面
叫做复平面，这里的
𝑥轴叫做
实轴
，𝑦轴叫做
虚轴
.
注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
（2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数
和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.
复平面上两点P，Q 关于𝑥轴对称⇔它们所对应的复数相互 共轭
．
考点7 复数的向量表示
复平面内的点𝑍(𝑎,𝑏)表示复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i（a、𝑏∈𝑅），连接𝑂𝑍，向量𝑂𝑍由点Z 唯一确定；反过来，点Z 也
可以由向量𝑂𝑍唯一确定.这样，复数集𝐶中的元素和复平面上以原点为起始点的向量𝑂𝑍也是
一一
对应的（实数0 与零向量对应）.
考点8 复数的模
复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i（a、𝑏∈𝑅）在复平面上所对应的点𝑍(𝑎,𝑏)到原点的距离
𝒂𝟐+ 𝒃𝟐
叫做复数z 的
模（或绝对值），记作|𝑧|，由模的定义可知|𝑧| = |𝑎+ 𝑏i| =
𝒂𝟐+ 𝒃𝟐
.
复数的模与该复数所对应的向量的模是 一致
的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到
原点
的距离.
考点9 复数的加、减、乘、除运算法则
设𝑧1 = 𝑎+ 𝑏i，𝑧2 = 𝑐+ 𝑑i (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈R)，则
（1）加法：𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎+ 𝑏i) + (𝑐+ 𝑑i) = (𝒂+ 𝒄) + (𝒃+ 𝒅)i ．
（2）减法：𝑧1−𝑧2 = (𝑎+ 𝑏i) + (𝑐+ 𝑑i) = (𝒂−𝒄) + (𝒃−𝒅)i ．
（3）乘法：𝑧1 ⋅𝑧2 = (𝑎+ 𝑏i) ⋅(𝑐+ 𝑑i) = (𝒂𝒄−𝒃𝒅) + (𝒂𝒅+ 𝒃𝒄)i ．
（4）除法：
𝑧1
𝑧2 =
𝑎+𝑏i
𝑐+𝑑i =
(𝑎+𝑏i)(𝑐−𝑑i)
(𝑐+𝑑i)(𝑐−𝑑i) =
𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2+𝑑2 +
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2i(𝑐+ 𝑑i ≠0)．
考点10 复数乘法的运算律
（1）对任意复数𝑧1，𝑧2，𝑧3，有
交换律
𝑧1𝑧2 = 𝒛𝟐𝒛𝟏
结合律
(𝑧1𝑧2)𝑧3 = 𝒛𝟏(𝒛𝟐𝒛𝟑)
乘法对加法的分配律
𝑧1(𝑧2 + 𝑧3) = 𝒛𝟏𝒛𝟐+ 𝒛𝟏𝒛𝟑
（2）𝑛个相同的复数𝑧相乘时，仍称为𝑧的𝑛次方（或𝑛次幂），并记作𝑧𝑛，即𝑧𝑛= 𝑧× 𝑧× ⋯× 𝑧
𝑛个
．可以验证，
当𝑚，𝑛均为正整数时，𝑧𝑚𝑧𝑛= 𝒛𝒎+𝒏
，(𝑧𝑚)𝑛= 𝒛𝒎𝒏 ，(𝑧1𝑧2)𝑛= 𝒛𝒏
𝟏𝒛𝒏
𝟐
．
专题04 平面向量
考点1 平面向量的定义与表示
（1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量．
（2）向量的表示
①表示工具——有向线段．
有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ．
②表示方法：
向量可以用 有向线段
→
𝑨𝑩
表示，向量
→
𝐴𝐵的大小称为向量
→
𝐴𝐵的 长度 (或称模)，记作 |
→
𝑨𝑩| .向
量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：
→
𝐴𝐵，
→
𝐶𝐷.
考点2 平面向量的有关概念
(1)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(2)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点3 平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
加法
求两个向量和的运算
三角形 法则
平行四边形 法则
减法
求𝑎与𝑏的相反向量−𝑏的和的
运算
三角形 法则
数乘
求实数𝜆与向量𝑎的积的运算
（1）|𝜆𝑎| = |𝜆||𝑎|；
（2）当𝜆> 0时，𝜆𝑎的方向与𝑎的方向 相同 ；当
𝜆< 0时，𝜆𝑎的方向与𝑎的方向 相反 ；当𝜆= 0时，
𝜆𝑎= 0
考点4 平面向量线性运算的运算律
1.向量加法的运算律
（1）交换律：𝑎+ 𝑏= 𝒃+ 𝒂
．
（2）结合律：(𝑎+ 𝑏) + 𝑐= 𝒂+(𝒃+ 𝒄) ．
2.向量减法的运算律
几何意义：𝑎−𝑏可以表示为从向量𝑏的 终点 指向向量𝑎的 终点
的向量．
定义：𝑎−𝑏= 𝑎+(−𝑏)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量．
3.|𝑎−𝑏|与|𝑎|，|𝑏|之间的关系
(1)对于任意向量𝑎，𝑏，都有 ||𝒂|−|𝒃|| ≤|𝑎−𝑏| ≤ |𝒂| + |𝒃| ；
(2)当𝑎，𝑏共线，且同向时，有|𝑎−𝑏| = |𝒂|−|𝒃| 或 |𝒃|−|𝒂| ；
(3)当𝑎，𝑏共线，且反向时，有|𝑎−𝑏| = |𝒂| + |𝒃| ．
4.数乘运算律
一般地，设𝑎，𝑏是任意向量，x，y 是任意实数，则如下运算律成立：
（1）对实数加法的分配律：(𝑥+ 𝑦)𝑎= 𝒙𝒂+𝒚𝒂
．
（2）对实数乘法的结合律：𝑥(𝑦𝑎) = (𝒙𝒚)𝒂
．
（3）对向量加法的分配律：𝑥𝑎+ 𝑏= 𝒙𝒂+𝒙𝒃
．
考点5 平面向量共线定理
向量𝑎(𝑎≠0)与𝑏共线的充要条件是：存在 唯一一个
实数𝜆，使 𝒃= 𝝀𝒂 ．
给定四点𝑂,𝑃,𝐴,𝐵，其中𝑂,𝐴,𝐵为不共线的三点，且𝑂𝑃= 𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵，则𝐴,𝑃,𝐵三点共线的充要条件是
𝒙+ 𝒚= 𝟏
．
考点6 平面向量基本定理
条件
→𝑒1，
→𝑒2是同一平面内的两个 不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量
→
𝑎，有且只有一对实数𝜆1，𝜆2，使
→
𝒂＝𝝀𝟏
→
𝒆𝟏＋𝝀𝟐
→
𝒆𝟐
基底
若
→𝑒1，
→𝑒2不共线，把
→𝑒1,
→𝑒2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
考点7 平面向量的坐标表示
设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量𝑣= 𝑂𝑃都可用从原点𝑂出发的有向线段𝑂𝑃表示．原点𝑂到
𝐸1(1,0)，𝐸2(0,1)的向量𝑒1 = 𝑂𝐸1，𝑒2 = 𝑂𝐸2分别是𝑥轴正方向和𝑦轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，
则𝑣= 𝑂𝑃= 𝑥𝑒1 +𝑦𝑒2的坐标 (𝒙,𝒚) 视为𝑣在这组基下的坐标，等于向量终点𝑃(𝑥,𝑦)的坐标．
考点8 平面向量线性运算的坐标表示
已知𝑎= (𝑥1,𝑦1)，𝑏= (𝑥2,𝑦2)，则：
（1）𝑎+ 𝑏= (𝒙𝟏+ 𝒙𝟐,𝒚𝟏+ 𝒚𝟐) ，𝑎−𝑏= (𝒙𝟏−𝒙𝟐,𝒚𝟏−𝒚𝟐) ，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
（2）若点A 坐标为(𝑥1,𝑦1)，点B 坐标为(𝑥2,𝑦2)，O 为坐标原点，
则𝑂𝐴= (𝒙𝟏,𝒚𝟏) ，𝑂𝐵= (𝒙𝟐,𝒚𝟐) ，𝐴𝐵= 𝑂𝐵−𝑂𝐴= (𝑥2,𝑦2)−(𝑥1,𝑦1) =
(𝒙𝟐−𝒙𝟏,𝒚𝟐−𝒚𝟏)
，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标
；
(4)设向量
→
𝑎= (𝑥1,𝑦1)，则𝜆
→
𝑎= (𝝀𝒙𝟏,𝝀𝒚𝟏)
．
(5)中点坐标公式：若𝑃1,𝑃2的坐标分别为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，线段𝑃1𝑃2的中点P 的坐标为(𝑥,𝑦)，则
𝑥= 𝑥1+𝑥2
2
𝑦= 𝑦1+𝑦2
2
考点9 平面向量平行（共线）的坐标表示
设𝑎= (𝑥1,𝑦1)，𝑏= (𝑥2,𝑦2)，其中𝑏≠0．向量𝑎，𝑏(𝑏≠0)共线的充要条件是 𝒙𝟏𝒚𝟐−𝒙𝟐𝒚𝟏= 𝟎 ．
考点10 平面向量的数量积的定义及性质
（1）数量积的定义
一般地，当𝑎与𝑏都是非零向量时，称 |𝒂||𝒃|𝐜𝐨𝐬< 𝒂,𝒃>
为向量𝑎与𝑏的数量积（也称内积），记
作𝑎⋅𝑏，即𝑎⋅𝑏= |𝒂||𝒃|𝐜𝐨𝐬< 𝒂,𝒃> ．
（2）数量积的性质
①|𝑎⋅𝑏| ≤|𝑎||𝑏|
②𝑎⋅𝑎= |𝒂|𝟐 ，即|𝑎| =
𝑎⋅𝑎
③𝑎⊥𝑏⇔ 𝒂⋅𝒃= 𝟎 ．
考点11 平面向量的夹角及其公式
定义：已知两个非零向量𝑎,𝑏，O 是平面上的任意一点，作𝑂𝐴= 𝑎，𝑂𝐵= 𝑏，则∠𝐴𝑂𝐵= 𝜃 (0 ≤𝜃≤π)叫做
向量𝑎与𝑏的夹角．
注意：①当𝜃= 0时，向量𝑎与𝑏 同向 ；
②当𝜃=
π
2时，向量𝑎与𝑏 垂直 ，记作𝑎⊥𝑏；
③当𝜃= π时，向量𝑎与𝑏 反向 ．
注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠𝐵𝐴𝐶不是向量𝐶𝐴与𝐴𝐵的夹
角．作𝐴𝐷= 𝐶𝐴，则∠𝐵𝐴𝐷才是向量𝐶𝐴与𝐴𝐵的夹角．
向量的夹角公式：
𝐜𝐨𝐬〈𝒂,𝒃〉=
𝒂⋅𝒃
|𝒂||𝒃|
.
考点12 平面向量数量积的运算律
已知向量𝑎,𝑏,𝑐和实数𝜆，则
（1）交换律： 𝒂⋅𝒃= 𝒃⋅𝒂
；
（2）数乘结合律：
𝝀𝒂⋅𝒃= 𝝀𝒂⋅𝒃= 𝒂⋅𝝀𝒃
；
（3）分配律：
(𝒂+ 𝒃) ⋅𝒄= 𝒂⋅𝒄+ 𝒃⋅𝒄
．
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若𝑎,𝑏,𝑐均为非零向量，且𝑎⋅𝑐= 𝑏⋅𝑐，但得不到𝑎= 𝑏．
（2）(𝑎⋅𝑏) ⋅𝑐≠𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)，因为𝑎⋅𝑏，𝑏⋅𝑐是数量积，是实数，不是向量，所以(𝑎⋅𝑏) ⋅𝑐与向量𝑐共线，𝑎⋅(
𝑏⋅𝑐)与向量𝑎共线，因此，(𝑎⋅𝑏) ⋅𝑐= 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)在一般情况下不成立．
（3）推论：𝑎± 𝑏
2
= 𝑎2 ± 2𝑎⋅𝑏+ 𝑏
2
．
考点13 平面向量数量积中的坐标运算
若𝑎= (𝑥1,𝑦1)，𝑏= (𝑥2,𝑦2)，𝑎与𝑏的夹角为𝜃.则：
（1）𝑎⋅𝑏= 𝒙𝟏𝒙𝟐+ 𝒚𝟏𝒚𝟐
，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ；
（2）|𝑎|2 = 𝒙𝟐
𝟏+ 𝒚𝟐
𝟏 ，或|𝑎| =
𝒙𝟐
𝟏+ 𝒚𝟐
𝟏 ；
（3）𝑎⊥𝑏⇔ 𝒙𝟏𝒙𝟐+ 𝒚𝟏𝒚𝟐
= 0；
（4）若𝑎，𝑏为非零向量，则cos𝜃=
𝒂⋅𝒃
|𝒂||𝒃|
=
𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐
𝒙𝟐
𝟏+𝒚𝟐
𝟏⋅𝒙𝟐
𝟐+𝒚𝟐
𝟐
.
考点14 投影向量
向量的投影
①定义：如图，设𝑎，𝑏是两个非零向量，𝐴𝐵= 𝑎，𝐶𝐷= 𝑏，作如下的变换：过𝐴𝐵的起点𝐴和终点𝐵，分
别作𝐶𝐷所在直线的垂线，垂足分别为𝐴1，𝐵1，得到𝐴1𝐵1，则称上述变换为向量𝑎向向量𝑏投影，𝐴1𝐵1叫做
向量𝑎在向量𝑏上的投影向量.
②计算：设与𝑏方向相同的单位向量为𝑒，𝑎与𝑏的夹角为θ，则向量𝑎在向量𝑏上的投影向量是|𝑎|cosθ𝑒.
专题05 等式与不等式的性质
考点1 等式的性质
性质1 如果
b
a =
，那么
a
b =
；性质2 如果
b
a =
，
c
b =
，那么
c
a =
；
性质3 如果
b
a =
，那么
c
b
c
a
=
；性质4 如果
b
a =
，那么
bc
ac =
；
性质5 如果
b
a =
，
0
¹
c
，那么
c
b
c
a =
；
考点2 比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
0
a
b
-
>
Û
a
b
> ；
0
a
b
-
=
Û
a
b
=
；
0
a
b
-
<
Û
a
b
<
另外，若
0
b >
，则有
1
a
a
b
b > Û
>
；
1
a
a
b
b = Û
= ；
1
a
a
b
b < Û
<
.
考点3 不等式的性质
性质
别名
性质内容
1
对称性
𝑎> 𝑏⇔𝑏 ＜ 𝑎
2
传递性
𝑎> 𝑏,𝑏> 𝑐⇒𝑎 ＞ 𝑐
3
可加性
𝑎> 𝑏⇔𝑎+ 𝑐 ＞ 𝑏+ 𝑐推论1：𝑎+ 𝑏> 𝑐⇔𝑎> 𝑐−𝑏；
推论2：𝑎> 𝑏,𝑐> 𝑑⇒𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑
4
可乘性
𝑎> 𝑏,𝑐> 0⇒𝑎𝑐 ＞ 𝑏𝑐 𝑎> 𝑏,𝑐< 0⇒𝑎𝑐< 𝑏𝑐；
推论3：𝑎> 𝑏> 0,𝑐> 𝑑> 0⇒𝑎𝑐> 𝑏𝑑；
推论4：𝑎> 𝑏> 0⇒𝑎𝑛 ＞ 𝑏𝑛（𝑛∈𝑁，𝑛≥2）；
推论5：𝑎> 𝑏> 0⇒𝑎>
𝑏
5
取倒数
𝑎> 𝑏,𝑎𝑏> 0⇒
1
𝑎 ＜
1
𝑏 𝑎> 𝑏,𝑎𝑏< 0⇒
1
𝑎>
1
𝑏
专题06 基本不等式
考点1 基本不等式
如果𝑎≥0,𝑏≥0，那么
𝑎+𝑏
2 ≥
𝑎𝑏（当且仅当 𝒂= 𝒃 时取“=”）.
说明：
①对于非负数𝑎,𝑏，我们把
𝑎+𝑏
2 称为𝑎,𝑏的 算术平均数 ，𝑎𝑏称为𝑎,𝑏的 几何平均数 .
②我们把不等式𝑎𝑏≤
𝑎+𝑏
2 (𝑎≥0,𝑏≥0)称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的
几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当𝑎= 𝑏时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 𝒂= 𝒃 时，有𝑎𝑏=
𝑎+𝑏
2 ；另一方面当
𝒂𝒃
=
𝒂+𝒃
𝟐
时，有𝑎= 𝑏.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
考点2 利用基本不等式求最值
①已知𝑥，𝑦是正数，如果积𝑥𝑦等于定值𝑃，那么当且仅当𝑥= 𝑦时，和𝑥+ 𝑦有最小值 𝟐𝑷 ；
②已知𝑥，𝑦是正数，如果和𝑥+ 𝑦等于定值𝑆，那么当且仅当𝑥= 𝑦时，积𝑥𝑦有最大值． 𝑺𝟐
𝟒
考点3 几个重要不等式
（1）𝑎2 + 𝑏2 ≥2𝑎𝑏（a，𝑏∈𝑅）（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号）.
变形式： 𝒂𝒃≤𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
（a，𝑏∈𝑅）（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号）.
（2）基本不等式：
𝒂𝒃≤
𝒂+𝒃
𝟐 （𝑎> 0，𝑏> 0）（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号）.
变形式：𝑎+ 𝑏≥2 𝑎𝑏（𝑎> 0，𝑏> 0），𝑎𝑏≤
𝑎+𝑏
2
2
（a，𝑏∈𝑅）（当且仅当𝑎= 𝑏时等号成立）.
（3）𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎（a，b，𝑐∈𝑅）（当且仅当𝑎= 𝑏= 𝑐时取等号）.
（4）若𝑎𝑏> 0，则
𝑏
𝑎+
𝑎
𝑏≥2，(𝑎+ 𝑏) 1
𝑎+
1
𝑏≥4（当且仅当𝑎= 𝑏时取等号）.
考点4 基本不等式链
𝑎2+𝑏2
2
≥
𝒂+𝒃
𝟐
≥
𝒂𝒃 ≥
2
1
𝑎+1
𝑏
(𝑎,𝑏∈𝐑,𝑎,𝑏> 0)
专题07 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
考点1 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为a （0
2π
a
<
<
），则
度量单位类别
a 为弧度制
扇形的弧长
l = ____
R
a
_____
扇形的面积
S =____ 1
2 lR ____
2
1
2
R
a
=
×
考点2 三角函数的定义
如图所示，设a 是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O 重合）的坐标为
,x y ，点P 与原点的
距离为r ，则sina = ___ y
r ___，cosa = ___ y
r ___，tana = ___ y
x ___．其中
2
2
r
x
y
=
+
考点3 特殊角的三角函数值
考点4 同角三角函数基本关系式的变形
（1）
2
2
2
2
2
2
2
sin
______
cos
______
sin
1 cos
sin
cos
1
cos
1 sin
sin
cos
1
2sin cos
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ì
=
ï
=
ï
ï
=
-
+
= Þ í
ï
=
-
ï
ï
=
î
；
；
．
（2）
sin
______.
sin
tan
sin
cos
cos
.
tan
a
a
a
a
a
a
a
=
ìï
=
Þ í
=
ïî
【答案】
2
1 cos a
-
；
2
1 sin a
-
；tan
cos
a
a
考点5 诱导公式
终边关系
图示
公式
公式一
角
2 π
k
a +
与角a 的终
边相同
sin
2 π
sin
k
a
a
+
=
，
cos
2 π
cos
k
a
a
+
=
，
其中k ÎZ
公式二
角a
-
与角a 的终边关
于___ x ___轴对称
sin
a
-
= ___
sina
-
___，
cos
a
-
= ___cosa __，
公式三
角π
a
+
与角a 的终边
关于__原点____对称
sin π
a
+
=___
sina
-
___，
cos π
a
+
= ___
cosa
-
___，
公式四
角π
a
-
与角a 的终边
关于___ y ___轴对称
sin π
a
-
= ___sina ___，
cos π
a
-
= ___
cosa
-
___，
公式五
角π
2
a
-
与角a 的终边
关于y
x
=
对称
π
sin 2
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
___cosa ____
π
cos 2
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
___sina ____
公式六
角π
2
a
+
的终边可以看
作角a 的终边逆时针
旋转π
2
π
sin 2
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
____cosa ___
π
cos 2
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
___
sina
-
____
考点6 两角和与差的正、余弦、正切公式
sin a
b
= ___sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
___；
cos a
b
=___cos
cos
sin
sin
a
b
a
b
m
___；
tan a
b
= ___ tan
tan
1
tan
tan
a
b
a
b
m
___．
考点7 倍角公式
sin2a = ___ 2sin
cos
a
a ___；
cos2a = ___ 2sin
cos
a
a ___＝___
2
1
2sin a
-
___＝__
2
2cos
1
a - ____；
tan2a = __
2
2tan
1
tan
a
a
-
____．
降幂公式：
2
2
cos
1
sin 2
a
a
-
=
，
2
2
cos
1
cos2
a
a
+
=
考点8 半角公式
sin 2
a = ____
1 cos
2
a
-
______， ①
cos 2
a =_____
1 cos
2
a
+
_____， ②
tan 2
a = _____
1 cos
1 cos
a
a
-
+
_____（无理形式）． ③
sin
tan 2
1 cos
a
a
a
=
=
+
______1
cos
sin
a
a
-
____．（有理形式）．
上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为
2
Sa ，
2
Ca ，
2
Ta ．半角公式的符号需要根据角2
a 所在的象限
来判断．
考点9 辅助角公式
sin
cos
y
a
x
b
x
=
+
=_____
2
2 sin(
)
a
b
x
q
+
+
_____．（其中0
2π
q
£
<
，tan
b
a
q =
）
考点10 和差化积公式
sin
sin
a
b
+
= _______ 2sin
cos
2
2
a
b
a
b
+
-
____________；
sin
sin
a
b
-
= __________ 2cos
sin
2
2
a
b
a
b
+
-
_________；
cos
cos
a
b
+
= _________2cos
cos
2
2
a
b
a
b
+
-
__________；
cos
cos
a
b
-
= __________ 2sin
sin
2
2
a
b
a
b
+
-
-
_________．
考点11 积化和差公式
sin
cos
a
b =________
1 sin
sin
2
a
b
a
b
é
ù
+
+
-
ë
û ___________；
cos
sin
a
b =________
1 sin
sin
2
a
b
a
b
é
ù
+
-
-
ë
û ___________；
cos
cos
a
b = _________
1 cos
cos
2
a
b
a
b
é
ù
+
+
-
ë
û __________；
sin
sin
a
b = ________
1 cos
cos
2
a
b
a
b
é
ù
-
+
-
-
ë
û ___________．
专题08 三角函数的图象及性质
考点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比
函数
sin
y
x
=
cos
y
x
=
图象
定义域
______ R _______
______ R _______
值域
_____[ 1,1]
-
________
______[ 1,1]
-
_______
奇偶性
______奇函数_______
_______偶函数______
周期性
最小正周期：______2π_______
最小正周期：______2π_______
最值
当_____
π
2 π
2
x
k
k
=
+
ÎZ ________
时，
max
1
y
= ；当_____
π
2 π
2
x
k
k
= -
+
ÎZ ________时，
min
1
y
= -
当_______
2 π
x
k
k
=
ÎZ ______时，
max
1
y
= ；当_____
π
2 π
x
k
k
=
+
ÎZ
________时，
min
1
y
= -
单调性
在____________
π
π
2 π,
2 π
2
2
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
_____________上单调递增；在_____
π
3π
2 π,
2 π
2
2
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ________上
单调递减
在________
π
2 π,2 π
k
k
k
- +
ÎZ
_______________上单调递增；在
_________
2 π,π
2 π
k
k
k
+
ÎZ
________上单调递减
零点
π
k ，k ÎZ
π
π
2
k
+
，k ÎZ
对称轴
π
π
2
x
k
=
+
，k ÎZ
π
x
k
=
，k ÎZ
对称中
心
π,0
k
k ÎZ
π
π,0
2
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z
考点2 正切函数的图象与性质
解析式
tan
y
x
=
图像
定义域
π
π,
2
x x
x
k
k
ì
ü
Î
¹
+
Î
í
ý
î
þ
R
Z
，且
值域
R
最小正周期
____ π _____
奇偶性
_奇__函数
单调性
在每一个区间______
π
π
π,
π
2
2
k
k
æ
ö
-
+
+
ç
÷
è
ø _____上都单调递增
对称性
对称中心_____
π ,0
2
k
æ
ö
ç
÷
è
ø______
考点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质
函数
sin(
)(
0)
y
A
x
w
j w
=
+
>
的图象变换
函数
sin(
)
y
A
x
B
w
j
=
+
+
(
0,
0)
A
w
>
>
的图象
性质
函数
sin(
)
(
0,
0)
y
A
x
B A
w
j
w
=
+
+
>
>
定义域
R
值域
⑦_________
最值
由
π
2 π(
)
2
x
k
k
w
j
+
=
+
ÎZ ，解得
max
y
A
B
=
+
由
π
2 π(
)
2
x
k
k
w
j
+
= -
+
ÎZ ，解得
min
y
A
B
= -
+
最小正周期
⑧T = _________
奇偶性
当j =⑨_________(
)
k ÎZ ，且
0
B =
时，函数为奇函数；
当j =⑩_________(
)
k ÎZ 时，函数为偶函数
单调性
当
π
π
2 π
2 π(
)
2
2
k
x
k
k
w
j
-
+
£
+
£
+
ÎZ 时，函数⑪_________
当π
3
2 π
π
2 π(
)
2
2
k
x
k
k
w
j
+
£
+
£
+
ÎZ 时，函数⑫_________
对称性
由
π
π(
)
2
x
k
k
w
j
+
=
+
ÎZ 解得对称轴；由
π(
)
x
k
k
Z
w
j
+
=
Î
解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_________
【答案】①|
|
j ；②1
w ；③A；④1
w ；⑤j
w ；⑥A；⑦[
,
]
A
B A
B
-
+
+
；⑧2π
w ；⑨π
k ；⑩π
π
2
k
+
；⑪单
调递增；⑫单调递减；⑬B
专题09 解三角形
考点1 正弦定理、余弦定理
在
ABC
V
中，若角, ,
A B C 所对的边分别是, , ,
a b c R 为
ABC
V
外接圆的半径，则
正弦定理
余弦定理
文字
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦值
___的比相等，等于____该三角形外接圆的直
径______.
三角形中任何一边的平
方，等于其他两边的
_____平方和____减去这
两边与它们夹角的余弦
的积的___两倍____.
公式
____ sin
a
A ____＝___ sin
b
B ____＝___ sin
c
C
____=___ 2R ___.
________
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
__________，
______
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
____________，
_______
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
___________.
常见
变形
（1）
2 sin
,
2 sin
,
2 sin
.
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
（2）sin
,sin
,sin
2
2
2
a
b
c
A
B
C
R
R
R
=
=
=
（3）
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
=
（4）
sin
sin
, sin
sin
, sin
sin .
a
B
b
A b
C
c
B a
C
c
A
=
=
=
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
，
2
2
2
cos
2
c
a
b
B
ca
+
-
=
，
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
.
考点2 余弦定理及其推论的应用
（1）利用余弦定理的变形判定角
在
ABC
V
中，
2
2
2
c
a
b
C
=
+
Û
为__直角__；
2
2
2
c
a
b
C
>
+
Û
为__钝角__；
2
2
2
c
a
b
C
<
+
Û
为__锐角__．
（2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求___三角___．
②已知___两边__及__一角__，求第三边和其他两个角．
考点3 解的情况
在
ABC
V
中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图
形
关
系
式
sin
a
b
A
=
__
sin
b
a
b
A
>
>
___
a
b
³
___ a
b
>
/b
a
<
__
解
的
个
数
__一解___
两解
__一解___
一解
考点4 任意三角形的面积公式为
（1）
ABC
S
=
V
_____ 1
sin
2 bc
A_____ = _____ 1
sin
2 ac
B _____ = _____ 1
sin
2 ab
C _____，即任意三角形的面积等于
任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
（2）
1
2
ABC
S
ah
=
V
，其中a 为
ABC
V
的一边长，而h 为该边上的高．
考点5 三角形中的三角变换
（1）角的变换：因为在
ABC
V
中，
π
π
π
(
)
2
2π
2(
)
2
2
2
C
A
B
A
B
C
C
A
B
C
A
B
+
+
+
=
Û
=
-
+
Û
=
-
Û
=
-
+
，
所以sin(
)
A
B
+
= _____sinC ______，cos(
)
A B
+
=_____
cosC
-
______，tan(
)
A
B
+
= _____
tanC
-
______，
sin
2
A
B
+
= _____cos 2
C ______.
（2）三角形边角关系定理及面积公式：
1
1
sin
(
)(
)(
)
2
2
a
S
ah
ab
C
r p
p p
a
p
b
p
c
=
=
= ×
=
-
-
-
.（r 为三角形内
切圆半径，
1 (
)
2
p
a
b
c
=
+
+
）
专题10 函数的概念及其表示
考点1 函数的概念
设A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系𝑓，使对于集合𝐴中的 任意一个数𝒙 ，在集合𝐵
中都有 唯一确定的数𝒇(𝒙) 和它对应，那么就称𝑓:𝐴→𝐵为从集合𝐴到集合𝐵的一个函数，记作 𝒚=
𝒇(𝒙),𝒙∈𝑨
．
考点2 函数三要素
（1）一般地，对于函数𝑦= 𝑓(𝑥),𝑥∈𝐴，则称𝐴为函数的 定义域
，称集合 {𝒚|𝒚= 𝒇(𝒙),𝒙∈𝑨}
为函数的值域.
（2）函数的三要素指：
定义域
， 对应法则
，
值域
.
（3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同.
考点3 函数相等
一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域
相同，
对应关系
也相同（即对自变量
的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数
考点4 具体函数的定义域问题
①：分式函数：
,
x
g
x
f
y =
定义域是
0
¹
x
g
，分母不为0.
②：0 次幂类型：
,
0
x
f
y =
定义域是
0
¹
x
f
，底数不为0.
③：根式类型：
ïî
ïí
ì
=
³
=
+
.
.
0
,
1
2
2
R
R
x
f
y
x
f
x
f
y
n
n
，奇次根式被开方数为
，定义域为
非负数
，偶次根式被开方数为
定义域为
④：对数函数：真数大于0
考点5 函数的表示方法
解析式；列出表格
考点6 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间
，有不同的 对应方式 ，则称其
为分段函数.
专题11 函数的基本性质
考点1 函数的单调性与单调区间
设函数𝑦= 𝑓(𝑥)的定义域是D，区间𝐼⊆𝐷，如果对于任意的𝑥1，𝑥2 ∈𝐼，当𝑥1 < 𝑥2时，都有 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇
(𝒙𝟐)
，则称𝑦= 𝑓(𝑥)在区间I 上是 增函数 ，（也称在区间I 上单调递增），如图所示.
当𝑥1 < 𝑥2时，都有 𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐) ，则称𝑦= 𝑓(𝑥)在区间I 上是 减函数 ，（也称在区间I 上
单调递减）如图所示.
两种情况下，都称函数在区间I 上具有 单调性
（区间I 称为函数的 单调区间 ，也可分别称
为 单调递增区间
和
单调递减区间
）
考点2 函数的最值
最值
最大值
最小值
函数𝑦= 𝑓(𝑥)的定义域为𝐼，存在实数𝑀满足：
条件
（1）对于任意的𝑥∈𝐼，都有 𝒇(𝒙) ≤𝑴
（2）存在𝑥0 ∈𝐼，使 𝒇(𝒙𝟎) = 𝑴
（1）对任意𝑥∈𝐼，都有 𝒇(𝒙) ≥𝑴
（2）存在𝑥0 ∈𝐼，使 𝒇(𝒙𝟎) = 𝑴
结论
𝑀是函数𝑦= 𝑓(𝑥)的最大值
𝑀是函数𝑦= 𝑓(𝑥)的最小值
考点3 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗
②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘
③
)
(x
f
为↗，则
)
(x
f
-
为↘，
)
(
1
x
f
为↘
④增函数（↗）- 减函数（↘）=增函数↗
⑤减函数（↘）- 增函数（↗）=减函数↘
⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数）
（2）复合函数的单调性
结论：同增异减
复合函数
，
，外函数
内函数
复合函数
，
，外函数
内函数
复合函数
，
，外函数
内函数
复合函数
，
，外函数
内函数
叫做外函数，
叫做内函数，则
设
函数
Þ
ï
ï
î
ïï
í
ì
Þ
Þ
Þ
Þ
=
=
=
u
h
x
f
x
g
u
x
g
h
x
f
,
,
考点4 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数𝑦= 𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，如果对𝐷内任意一
个𝑥，都有 −𝒙∈𝑫
，且
𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙)
，则称函数𝑦= 𝑓(𝑥)是偶函数
关于 𝒚轴 对称
奇函数
一般地，设函数𝑦= 𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，如果对𝐷内任意一
个𝑥，都有 −𝒙∈𝑫 ，且
𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)
，
则称函数𝑦= 𝑓(𝑥)是奇函数
关于 原点 对称
考点5 函数的周期性
①周期函数：一般地，设函数𝑓(𝑥)的定义域为D，如果存在一个 非零常数𝑻 ，使得对每一个𝑥∈𝐷都
有𝑥+ 𝑇∈𝐷，且 𝒇(𝒙+ 𝑻) = 𝒇(𝒙) ，那么函数𝑓(𝑥)就叫做周期函数． 非零常数𝑻
叫做这个
函数的周期．
②最小正周期：如果在周期函数𝑓(𝑥)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数
就叫做𝑓(𝑥)的 最小正周期 ．
若
x
f
a
x
f
=
+
，则
x
f
的周期为：
a
T =
若
b
x
f
a
x
f
+
=
+
，则
x
f
的周期为：
b
a
T
-
=
若
x
f
a
x
f
-
=
+
，则
x
f
的周期为：
a
T
2
=
（周期扩倍问题）
若
x
f
a
x
f
1
=
+
，则
x
f
的周期为：
a
T
2
=
（周期扩倍问题）
考点6 函数的对称性
轴对称
①若
x
f
a
x
f
-
=
+
，则
x
f
的对称轴为
2
a
x =
②若
b
x
f
a
x
f
+
-
=
+
，则
x
f
的对称轴为
2
b
a
x
+
=
点对称
①若
x
f
a
x
f
-
-
=
+
，则
x
f
的对称中心为
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
,
2
a
②若
c
b
x
f
a
x
f
=
+
-
+
+
，则
x
f
的对称中心为
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
2
,
2
c
b
a
考点7 周期性对称性综合问题
①若
x
a
f
x
a
f
-
=
+
，
x
b
f
x
b
f
-
=
+
，其中
b
a ¹
，则
x
f
的周期为：
b
a
T
-
= 2
②若
x
a
f
x
a
f
-
-
=
+
，
x
b
f
x
b
f
-
-
=
+
，其中
b
a ¹
，则
x
f
的周期为：
b
a
T
-
= 2
③若
x
a
f
x
a
f
-
=
+
，
x
b
f
x
b
f
-
-
=
+
，其中
b
a ¹
，则
x
f
的周期为：
b
a
T
-
= 4
考点8 奇偶性对称性综合问题
①已知
x
f
为偶函数，
a
x
f
+
为奇函数，则
x
f
的周期为：
a
T
4
=
②已知
x
f
为奇函数，
a
x
f
+
为偶函数，则
x
f
的周期为：
a
T
4
=
专题12 指数对数幂函数
考点1 根式的概念及性质
（1）概念：式子
𝑛𝑎叫做___根式 ___，这里𝑛叫做根指数，𝑎叫做被开方数．
（2）①__负数____没有偶次方根．
②0 的任何次方根都是0，记作
𝑛0 = ___0___．
③(
𝑛𝑎)
𝑛= ___𝒂___（𝑛∈𝑁∗，且𝑛> 1）．
④
𝑛𝑎𝑛= 𝑎（𝑛为大于1 的奇数）．
⑤
𝑛𝑎𝑛= |𝑎| =
____𝒂__,𝑎≥0
___−𝒂___,𝑎< 0
（𝑛为大于1 的偶数）．
考点2 分数的指数幂的意义
正分数指数
幂
规定：𝑎
𝑚
𝑛=
𝒏𝒂𝒎 （𝑎> 0,𝑚,𝑛∈𝑁*，且𝑛> 1）
分数指
数幂
负分数指数
幂
规定：𝑎−
𝑚
𝑛=
1
𝑎
𝑚
𝑛=
1
𝑛𝑎𝑚（𝑎> 0,𝑚,𝑛∈𝑁*，且𝑛> 1）
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ，0 的负分数指数幂 无意义
考点3 实数指数幂的运算性质
（1）𝑎𝑟𝑎𝑠= 𝒂𝒓+𝒔 . (𝑎> 0,𝑟,𝑠∈𝐑).
（2）(𝑎𝑟)𝑠= 𝒂𝒓𝒔 . (𝑎> 0,𝑟,𝑠∈𝐑).
（3）(𝑎𝑏)𝑟= 𝒂𝒓𝒃𝒓 . (𝑎> 0,𝑏> 0,𝑟∈𝐑).
考点4 指数函数的一般形式
9．一般地，函数 𝒚= 𝒂𝒙 （𝑎> 0,𝑎≠1）叫做指数函数，其中𝑥是自变量，定义域为𝑅.
考点5 指数函数的图象及性质
𝑎> 1
0 < 𝑎< 1
图象
定义域
R
值域
(0, + ∞)
过定点
过点 (𝟎,𝟏) ，即𝑥= 0 时，𝑦= 1
函数值的变
化
当𝑥> 0时， 𝒚> 𝟏
当𝑥< 0时， 𝟎< 𝒚< 𝟏
当𝑥> 0时， 𝟎< 𝒚<
当𝑥< 0时， 𝒚>
性
质
单调性
是R上的 增函数
是R上的 减函数
考点6 解指数不等式
（1）指数不等式的类型为𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥)(𝑎> 0 ，且𝑎≠1)．
①当𝑎> 1时， 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) ；
②当0 < 𝑎< 1时， 𝒇(𝒙) < 𝒈(𝒙) ．
（2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调
性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．
考点7 比较大小的方法
（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断；
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断；
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断．
考点8 对数的定义
如果𝑎𝑏= 𝑁（𝑎> 0且𝑎≠1），那么b 叫作以a 为底，（正）数N 的对数，记作 𝒃= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝑵 ，这里，
a 叫作对数的 底数 ，N 叫作对数的 真数 ．
考点9 常用对数与自然对数
通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log10𝑁记作 lg𝑵 ，以无理数e = 2.71828⋯为底数的对数
称为自然对数，并且把loge𝑁记为 ln𝑵
考点10 对数的基本性质及对数恒等式
性质1
负数 和 零 没有对数
性质2
1 的对数是 𝟎 ，即log𝑎1 = 𝟎 (𝑎> 0,𝑎≠1)
性质3
底数的对数是 𝟏 即log𝑎𝑎= 𝟏 (𝑎> 0,𝑎≠1)
对数恒等式：𝑎log𝑎𝑁= 𝑵 ，log𝑎𝑎𝑁= 𝑵
考点11 对数的运算性质
如果𝑎> 0且𝑎≠1，𝑀> 0，𝑁> 0，那么：
（1）log𝑎(𝑀𝑁) = log𝒂𝑴+ log𝒂𝑵 ；
（2）log𝑎
𝑀
𝑁= log𝒂𝑴−log𝒂𝑵 ；
（3）log𝑎𝑀𝑛= 𝒏log𝒂𝑴(𝒏∈𝑹) ．
推广：log𝑎(𝑁1𝑁2⋯𝑁𝑘) = log𝑎𝑁1 + log𝑎𝑁2 +⋯+ log𝑎𝑁𝑘(𝑁1,𝑁2,⋯,𝑁𝑘> 0)．
b
n
b
a
a n
log
1
log
=
，
b
n
m
b
a
m
a n
log
log
=
，
m
n
a
a
b
b
n
m
log
log
=
考点12 换底公式
换底公式：
a
b
a
b
a
b
b
c
c
a
ln
ln
lg
lg
log
log
log
=
=
=
；
推广1：对数的倒数式
a
b
b
a
log
1
log
=
1
log
log
=
×
Þ
a
b
b
a
推广2：
d
d
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
log
log
log
log
1
log
log
log
=
Þ
=
。
考点13 对数函数的一般形式及定义域
一般地，函数 𝒚= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒂> 𝟎，且𝒂≠𝟏 叫作对数函数，其中 𝒙 是自变量，x 的范围是
(𝟎, + ∞)
对数函数的定义域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概
念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0 且不等于
1
考点14 对数函数的图象及性质
𝑎> 1
0 < 𝑎< 1
图象
定义域
(0, + ∞)
值域
R
过定点
过定点 (𝟏,𝟎) ，即𝑥= 1时，𝑦= 0
性
质
函数值的
当0 < 𝑥< 1时， 𝒚< 𝟎
当0 < 𝑥< 1时， 𝒚> 𝟎
变化
当𝑥> 1时， 𝒚> 𝟎
当𝑥> 1时， 𝒚< 𝟎
单调性
是(0, + ∞)上的 增函数
是(0, + ∞)上的 减函数
考点15 解对数不等式
（1）形如log𝑎𝑓(𝑥) > log𝑎𝑔(𝑥)的不等式，借助函数𝑦= log𝑎𝑥的单调性求解，如果𝑎的取值不确定，需分
𝒂> 𝟏 与 𝟎< 𝒂< 𝟏 两种情况讨论.
（2）形如log𝑎𝑓(𝑥) > 𝑏的不等式，应将𝑏化为 以𝒂为底数的对数式 的形式，再借助函数𝑦= log𝑎𝑥的单调
性求解.
（3）形如log𝑎𝑓(𝑥) > log𝑏𝑔(𝑥)的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数
函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如𝑓log𝑎𝑥> 0的不等式，可用 换元法（令𝒕= log𝒂𝒙） ，先解𝑓(𝑡) > 0，得到𝑡的取值范围.然
后再解𝑥的范围.
考点16 幂函数的定义及一般形式
一般地，函数
𝒚= 𝒙𝜶
叫做幂函数，其中x 是自变量，𝛼是常数．
考点17 幂函数的图象和性质
（1）常见的五种幂函数的图象
（2）幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0, + ∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．
②如果𝛼> 0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, + ∞)上是增函数．
③如果𝛼< 0，则幂函数在区间(0, + ∞)上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图象在y
轴右方且无限地逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限地逼近x 轴．
（3）常见的五种幂函数的性质
解
析
式
𝑦= 𝑥
𝑦= 𝑥2
𝑦= 𝑥3
𝑦= 1
.𝑥
𝑦= 𝑥
1
2
图
象
定
义
域
𝑹
𝑹
𝑹
{𝒙∣𝒙≠𝟎}
[𝟎, + ∞)
值
域
𝑹
[𝟎, + ∞)
𝑹
{𝒚∣𝒚≠𝟎}
[𝟎, + ∞)
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单
调
性
增
(−∞,𝟎]上
减，(𝟎, + ∞)上
增
增
(−∞,𝟎)上减，
(𝟎, + ∞)上减
增
定
点
(1,1)
考点18 幂函数的奇偶性
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
ïî
ïí
ì
î
í
ì
=
î
í
ì
=
为偶函数
为偶数，
为奇函数
为奇数，
为奇数时
为非奇非偶函数
为偶数时，
为分数，设
为奇函数
为奇数，
为偶函数
为偶数，
为整数
x
f
q
x
f
q
p
x
f
p
p
q
x
f
x
f
x
x
f
a
a
a
a
a
a
专题13 函数的图象、函数与方程、函数模型
考点1 函数图象的定义及描点法作图
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述
为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、
最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
考点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
①
646
.2
7
,
45
.2
6
,
236
.2
5
,
732
.1
3
,
414
.1
2
=
=
=
=
=
②
65
.1
,
39
.7
,
71828
.2
2
1
2
=
=
=
=
e
e
e
e
③
2
1
ln
,1
ln
,1.1
3
ln
,
69
.0
2
ln
,0
1
ln
=
=
=
=
=
e
e
④
42
.0
2
cos
,
91
.0
2
sin
,
54
.0
1
cos
,
84
.0
1
sin
-
=
=
=
=
特别地：当
0
x
时
x
x =
sin
例如：
1.0
099
.0
1.0
sin
=
，
3.0
296
.0
3.0
sin
,2.0
199
.0
2.0
sin
=
=
当
0
x
时
1
cos
=
x
1
980
.0
)
2.0
cos(
,1
995
.0
1.0
cos
=
-
=
考点3 图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→
关于x轴对称
y＝－f(x)；
②y＝f(x)―――――→
关于y轴对称
y＝f(－x)；
③y＝f(x) ―――――→
关于原点对称
y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0 且a≠1) ―――――→
关于y＝x对称
y＝logax(a>0 且a≠1)．
(3)伸缩变换
①把函数
( )
y
f x
=
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w
1 倍得
(
)
y
f
x
w
=
(0<w <1)
②把函数
( )
y
f x
=
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w
1 倍得
(
)
y
f
x
w
=
(w >1)
③把函数
( )
y
f x
=
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得
( )
y
f x
w
=
(w >1)
④把函数
( )
y
f x
=
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
( )
y
f x
w
=
(0<w <1)
(4)翻折变换
①y＝f(x) ――――――――――→
保留x轴上方图象
将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.
②y＝f(x) ―――――――――――→
保留y轴右边图象，并作其
关于y轴对称的图象
y＝f(|x|)．
考点4 函数零点的定义
一般地，对于函数𝑦= 𝑓(𝑥)，把使 𝒇(𝒙) = 𝟎的实数𝒙
叫作函数𝑦= 𝑓(𝑥)的零点.函数𝑦= 𝑓(𝑥)的零点
就是方程𝑓(𝑥) = 0的实数解，也就是函数𝑦= 𝑓(𝑥)的图象与𝑥轴的交点的横坐标.
方程、函数、函数图象之间的关系：
方程𝑓(𝑥) = 0有实数解⇔函数𝑦= 𝑓(𝑥)的图象 与𝒙轴有公共点
⇔函数𝑦= 𝑓(𝑥) 有零点
.
考点5 函数零点存在性定理
如果函数𝑦= 𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上的图象是 连续不断
的一条曲线，且有
𝒇(𝒂) ⋅𝒇(𝒃) < 𝟎
，
那么函数𝑦= 𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内 至少有一个
零点，即存在𝑐∈(𝑎,𝑏)，使得𝑓(𝑐) = 0，这个𝑐也就是
方程𝑓(𝑥) = 0的解.
考点6 函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
考点7 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若
0
f a
f b
×
<
，则
f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
f x 的性质
与图象，如果
f x 单调，则“一定”只有一个零点
（2）若
0
f a
f b
×
>
，则
f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果
f x 单调，那么
“一定”没有零点
（3）如果
f x 在区间
,a b 中存在零点，则
f a
f b
×
的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。
如果
f x 单调，则
f a
f b
×
一定小于0
考点8 零点与单调性配合可确定函数的符号
f x 是一个在
,a b 单增连续函数，
0
x
x
=
是
f x 的零点，且
0
,
x
a b
Î
，则
0
,
x
a x
Î
时，
0
f x <
；
0,
x
x b
Î
时，
0
f x >
考点9 证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
f x
（3）分析函数
f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点10 三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现为
与y 轴平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴平行
随n 值变化而各有
不同
考点11 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝k
x＋b(k，b 为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
考点12 解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
专题14 导数
考点1 平均变化率
对于函数𝑦= 𝑓(𝑥)，设自变量x 从𝑥0变化到 𝒙𝟎+ 𝚫𝒙 ，相应地，函数值y 从𝑓(𝑥0)变为 𝒇
(𝒙𝟎+ 𝚫𝒙) ，这时，x 的变化量为Δ𝑥，y 的变化量为Δ𝑦= 𝑓(𝑥0 + Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)．我们把比值
Δ𝑦
Δ𝑥，即
Δ𝑦
Δ𝑥=
𝒇(𝒙𝟎+𝚫𝒙)−𝒇(𝒙𝟎)
𝚫𝒙
叫做函数𝑦= 𝑓(𝑥)从𝑥0到𝑥0 + Δ𝑥的平均变化率．
考点2 瞬时变化率
设函数𝑦= 𝑓(𝑥)在𝑥0附近有定义，自变量在𝑥= 𝑥0处的改变量为Δ𝑥，当Δ𝑥无限接近于0 时，若平均变化率
Δ𝑓
Δ𝑥=
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
无限接近于一个常数k，那么称常数k 为函数𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处的瞬时变化率．
记作：当Δ𝑥→0时，
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
→𝑘．
上述过程，通常也记作 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟎+𝚫𝒙)−𝒇(𝒙𝟎)
𝚫𝒙
= 𝒌 ．
考点3 导数的定义
函数𝑦= 𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处的导数定义式：𝑓′(𝑥0) = lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
实质：函数𝑦= 𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处的导数即函数𝑦= 𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处的 瞬时变化率 ．
考点4 割线斜率与切线斜率
设函数𝑦= 𝑓(𝑥)的图象如图所示，直线AB 是过点𝐴(𝑥0,𝑓(𝑥0))与点𝐵(𝑥0 + Δ𝑥,𝑓(𝑥0 + Δ𝑥))的一条割线，此割
线的斜率是
△𝑦
△𝑥=
𝑓(𝑥0+△𝑥)−𝑓(𝑥0)
△𝑥
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD，直线AD 叫做此曲线在点A
处的 切线 ．于是，当Δx→0 时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k，即k＝ 𝒇′
(𝒙𝟎) ＝lim
△𝑥→0
𝑓(𝑥0+△𝑥)−𝑓(𝑥0)
△𝑥
考点5 导数的几何意义
𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦= 𝑓(𝑥)在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))（也称𝑥= 𝑥0处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方
程可知，切线的方程是 𝒚−𝒇(𝒙𝟎) = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙−𝒙𝟎) ．
考点6 常用基本初等函数的求导公式
原函数
导函数
𝑓(𝑥) = 𝑐（c 为常数）
𝑓′(𝑥) = 𝟎
𝑓(𝑥) = 𝑥𝛼
𝑓′(𝑥) = 𝜶𝒙𝜶−𝟏
𝑓(𝑥) = sin𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝐜𝐨𝐬𝒙
𝑓(𝑥) = cos𝑥
𝑓′(𝑥) = −𝐬𝐢𝐧𝒙
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝒂𝒙𝐥𝐧𝒂 （𝑎> 0，且𝑎≠1）
𝑓(𝑥) = e𝑥
𝑓′(𝑥) = e𝒙
𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥ln𝑎（𝑎> 0，且𝑎≠1）
𝑓(𝑥) = ln𝑥
𝑓′(𝑥) = 1
𝑥
考点7 导数的运算法则
已知𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)为可导函数，且𝑔(𝑥) ≠0．
（1）[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′ = 𝒇′(𝒙) ± 𝒈′(𝒙) ．
（2）[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = 𝒇′(𝒙)𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) ，特别地，[𝐶𝑓(𝑥)]′ = 𝑪𝒇′(𝒙) ．
（3）
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)
，特别地，
1
𝑔(𝑥)
′
= −
𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)．
考点8 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数𝑦= 𝑓(𝑢)和𝑢= 𝑔(𝑥)，如果通过中间变量𝑢，𝑦可以表示成𝑥的函数，那么称这个函数
为函数𝑦= 𝑓(𝑢)和𝑢= 𝑔(𝑥)的复合函数，记作𝑦= 𝒇𝒈(𝒙) ．
（2）复合函数的求导法则
一般地，对于由函数𝑦= 𝑓(𝑢)和𝑢= 𝑔(𝑥)复合而成的函数𝑦= 𝑓𝑔(𝑥) ，它的导数与函数𝑦= 𝑓(𝑢)，𝑢= 𝑔(𝑥)
的导数间的关系为𝑦′𝑥= 𝒚′𝒖·𝒖′𝒙 ，即𝑦对𝑥的导数等于 𝒚对 𝒖的导数与𝒖对𝒙的导数的乘积 ．
考点9 导函数与原函数的关系
条件
恒有
结论
)
(x
f
＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
)
(x
f
＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
函数y＝f(x)在区间
(a，b)上可导
)
(x
f
＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
考点10 利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数的定义域；
第2 步，求出导函数f′(x)的零点；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，
由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，
0
)
(
³
x
f
恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单
调递减，则x∈(a，b)时，
0
)
(
£
x
f
恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，
)
(x
f
＞0 有解；若函数f(x)在(a，
b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，
)
(x
f
＜0 有解.
考点11 极值的定义
极大值：函数𝑦= 𝑓(𝑥)在点𝑥= 𝑏的函数值𝑓(𝑏)比它在点𝑥= 𝑏附近其他点的函数值都
大 ，𝑓′(𝑏) =
0
.而且在点𝑥= 𝑏附近的左侧𝑓′(𝑥)
> 0，右侧𝑓′(𝑥) >
0.我们把𝑏叫做函数𝑦= 𝑓(𝑥)的
极大值点，𝑓(𝑏)叫做函数𝑦= 𝑓(𝑥)的极大值.
极小值：函数𝑦= 𝑓(𝑥)在点𝑥= 𝑎的函数值𝑓(𝑎)比它在点𝑥= 𝑎附近其他点的函数值都
小 ，𝑓′(𝑎) =
0
；而且在点𝑥= 𝑎附近的左侧𝑓′(𝑥)
<
0，右侧𝑓′(𝑥) >
0，我们把𝑎叫做函数𝑦= 𝑓(𝑥)
的极小值点，𝑓(𝑎)叫做函数𝑦= 𝑓(𝑥)的极小值.
求可导函数𝑓(𝑥)的极值的步骤
（1）确定函数的定义域，求导数𝑓′(𝑥)；
（2）求方程 𝒇′(𝒙) = 𝟎 的根；
（3）列表；
（4）利用𝑓′(𝑥)与𝑓(𝑥)随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
考点12 极值与导数的关系
)
(x
f
是极值点
0
)
(
=
Þ
x
f
0
)
(
=
x
f
Þ
)
(x
f
是极值点，即：
0
)
(
=
x
f
是
)
(x
f
为极值点的必要非充分条件
考点13 函数的最值与导数
设函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)内可导，求𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数𝑦= 𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)内的 极值 ；
（2）将函数𝑦= 𝑓(𝑥)的各 极值 与 端点 处的函数值𝑓(𝑎)、𝑓(𝑏)比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个为最小值．
专题15 数列
考点1 数列的相关概念
（1）数列：按照 一定次序 排成的一列数叫作数列.
（2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 项 ，各项依次称为这个数列的第1 项（ 首
项 ），第2 项……
（3）项数：组成数列的 项的个数 称为数列的项数
考点2 数列的通项与通项公式
（1）通项：数列从首项起，每一项都与 正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成𝑎1,𝑎2,𝑎3,⋯,𝑎𝑛
,⋯，其中𝑎𝑛表示数列的第n 项（也称n 为𝑎𝑛的序号），称为数列的 通项 ，一般将整个数列简记为 {
𝒂𝒏} ．
（2）通项公式：如果数列第n 项𝑎𝑛与序号n 之间的关系可以用𝑎𝑛= 𝑓(𝑛)来表示，其中𝑓(𝑛)是关于n 的不含
其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．
考点3 数列的表示方法
列表法
列表格表示n 与an 的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
通项
公式
把数列的通项使用公式表示的方法
公式法
递推
公式
使用初始值a1 和an＋1＝f(an)或a1，a2 和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
考点4 数列的分类
一般地，项数 有限 的数列称为有穷数列，项数 无限 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一
般也称为这个数列的 末项 ．
判断数列的单调性，则需要从第2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 𝒂𝒏< 𝒂𝒏+𝟏 ，则
是递增数列；若满足 𝒂𝒏> 𝒂𝒏+𝟏 ，则是递减数列；若满足 𝒂𝒏= 𝒂𝒏+𝟏 ，则是常数列．
考点5 最大（小）项问题
（1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法：
①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值．
②利用
𝒂𝒏≥𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏≥𝒂𝒏−𝟏(𝒏≥𝟐)
求数列中的最大项𝑎𝑛；利用 𝒂𝒏≤𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏≤𝒂𝒏−𝟏(𝒏≥𝟐)
求数列中的最小项
𝑎𝑛．当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
（2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系：
数列{𝑎𝑛}递增⇔ 𝒂𝒏+𝟏> 𝒂𝒏 恒成立；数列{𝑎𝑛}递减⇔ 𝒂𝒏+𝟏< 𝒂𝒏 恒成立，通过分离变量转化为代
数式的最值来解决．
考点6 数列前n 项和的定义及an 与Sn 的关系
一般地，给定数列{𝑎𝑛}，称𝑆𝑛= 𝒂𝟏+ 𝒂𝟐+ 𝒂𝟑+⋯+ 𝒂𝒏 为数列{𝑎𝑛}的前n 项和.
检验𝑛= 1时的𝑎1是否满足𝑛≥2时的通项公式：
将n = 1代入n ≥2时得到的通项公式an = Sn−Sn−1中，如果计算结果与步骤1 中求出的a1相等，那么数列的
通项公式可以统一写成n ≥2时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即
an =
S1,
n = 1
Sn−Sn−1,
n ≥2
考点7 数列的递推关系
已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 用一个公式来表示
，
则称这个公式为数列的 递推关系 （递推公式或递归公式）．
考点8 累加法求通项公式
若数列{𝑎𝑛}满足 𝒂𝒏+𝟏= 𝒂𝒏+𝒇(𝒏)
，其中𝑓(𝑛)是关于𝑛的函数，且𝑓(𝑛)的前𝑛项和可求，就可以考
虑使用累加法求通项公式.
考点9 累乘法求通项公式
若数列{𝑎𝑛}满足 𝒂𝒏+𝟏= 𝒂𝒏⋅𝒈(𝒏)
，其中𝑔(𝑛)是关于𝑛的函数，且𝑔(𝑛)的前𝑛项积可求，就可以考
虑使用累乘法求通项公式.
考点10 等差数列的定义
一般地，如果数列{𝑎𝑛}从第 2 项起，每一项与它的前一项之 差 都等于 同一个常数d ，即
𝒂𝒏+𝟏−𝒂𝒏= 𝒅 恒成立， 则称数列{𝑎𝑛}为等差数列，其中d 称为等差数列的 公差 .
考点11 等差数列通项公式的变形及推广
（1）𝑎𝑛= 𝑎1 + (𝑛−1)𝑑(𝑛∈N∗)，
（2）𝑎𝑛= 𝑎𝑚+ (𝒏−𝒎)𝒅
𝑚，𝑛∈N∗
（3）𝑑=
𝒂𝒏−𝒂𝒎
𝒏−𝒎
𝑚，𝑛∈N∗
，且𝑚≠𝑛).
考点12 等差中项
若a，A，b 成等差数列，则 𝑨 是a 与b 的等差中项，且有2𝐴= 𝒂+ 𝒃/𝒃+ 𝒂 或𝐴=
𝒂+𝒃
𝟐 ，即
如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数．
考点13 下标性质
在等差数列{𝑎𝑛}中，若𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞(𝑚,𝑛,𝑝,𝑞∈𝑁+)，则𝑎𝑚+ 𝑎𝑛= 𝒂𝒑+ 𝒂𝒒/𝒂𝒒+ 𝒂𝒑 ．特别地，若
𝑚+ 𝑛= 2𝑝(𝑚,𝑛,𝑝∈𝑁+)，则有𝑎𝑚+ 𝑎𝑛= 2𝑎𝑝．
考点14 等差数列构造新等差数列的性质
（1）若{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}分别是公差为𝑑,𝑑′的等差数列，则有
数列
结论
{𝑐+ 𝑎𝑛}
公差为
𝒅
的等差数列（𝑐为任一常数）
{𝑐⋅𝑎𝑛}
公差为
𝒄𝒅
的等差数列（𝑐为任一常数）
{𝑎𝑛+ 𝑎𝑛−𝑘}
公差为
𝟐𝒅
的等差数列(𝑘 为常数，𝑘∈N*)
{𝑝𝑎𝑛+ 𝑞𝑏𝑛}
公差为
𝒑𝒅+ 𝒒𝒅′
的等差数列（𝑝,𝑞为常数）
（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 等差 数列.
考点15 等差数列通项公式与函数关系
d
n
a
an
1
1
-
+
=
d
a
dn
an
-
+
=
Þ
1
令
d
K =
，
d
a
B
-
=
1
，
B
Kn
an
+
=
Þ
Þ 等差数列
n
a
为一次函数
考点16 等差数列的前n 项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
𝑆𝑛=
𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)
𝟐
𝑆𝑛= 𝒏𝒂𝟏+
𝒏(𝒏−𝟏)𝒅
𝟐
考点17 知三求二
等差数列的通项公式和前𝑛项和公式中有五个量𝑎1，𝑑，𝑛，𝑎𝑛和𝑆𝑛，这五个量可以＂ 知三求
二 ＂．一般是利用公式列出 基本量𝒂𝟏和𝒅 的方程组，解出 𝒂𝟏和𝒅 ，便可解决问题．解
题时注意整体代换的思想．
考点18 等差数列前n 项和的性质
①等差数列中依次k 项之和𝑆𝑘，𝑆2𝑘－𝑆𝑘，𝑆3𝑘－𝑆2𝑘，…组成公差为k2d 的等差数列.
②记𝑆偶为所有偶数项的和，𝑆奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则𝑆2𝑛= 𝑛（𝑎𝑛＋𝑎𝑛
＋1），𝑆偶－𝑆奇＝𝑛𝑑，
𝑆偶
𝑆奇=
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 （S 奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则𝑆2𝑛－1＝（2𝑛－1）𝑎𝑛（
𝑎𝑛是数列的中间项），𝑆奇－𝑆偶＝𝑎𝑛，
𝑆偶
𝑆奇＝
𝑛−1
𝑛（𝑆奇≠0）.
③{𝑎𝑛}为等差数列⇒
𝑆𝑛
𝑛为等差数列.
④两个等差数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的前n 项和𝑆𝑛，𝑇𝑛之间的关系为
𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑆2𝑛−1
𝑇2𝑛−1 （𝑏𝑛≠0，𝑇2𝑛－1 ≠0）.
⑤
mnd
S
S
S
n
m
n
m
+
+
=
+
考点19 等差数列前n 项和的最值
（1）在等差数列{𝑎𝑛}中，
当𝑎1 > 0,𝑑< 0时，𝑆𝑛有 最大 值，使𝑆𝑛取得最值的n 可由不等式组𝑎𝑛≥0,
𝑎𝑛+1 ≤0
确定；当𝑎1 < 0,𝑑> 0时，
𝑆𝑛有 最小 值，使𝑆𝑛取到最值的n 可由不等式组𝑎𝑛≤0,
𝑎𝑛+1 ≥0
确定．
（2）𝑆𝑛=
𝑑
2𝑛2 + 𝑎1−
𝑑
2 𝑛，若𝑑≠0，则从二次函数的角度看：当𝑑> 0时，𝑆𝑛有 最小 值；当𝑑< 0时，
𝑆𝑛有 最大 值．当n 取最接近对称轴的正整数时，𝑆𝑛取到最值．
考点20 证明数列为等差数列的方法
（1）
c
a
a
n
n
=
-
+1
（c 为常数）
n
a
Þ
为等差数列
（2）通项公式：
B
Kn
an
+
=
（一次函数），前n 项和：
Bn
An
Sn
+
=
2
（无常数项的二次函数）
（3）若
C
A
B
+
=
2
，则A ，B ，C 三个数成等差数列
考点21 等比数列的定义
一般地，如果数列{𝑎𝑛}从第 2 项起，每一项与它的前一项之 比 都等于 同一个常数q ，即
𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏
= 𝒒 恒成立， 则称数列{𝑎𝑛}为等比数列，其中d 称为等比数列的 公比 .
考点22 等比数列的通项公式及其推广
1、等比数列的通项公式：等比数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公比为𝑞(𝑞≠0)，则通项公式为：𝑎𝑛= 𝒂𝟏𝒒𝒏−𝟏
2、通项公式的推广：𝑎𝑛= 𝒂𝒎𝒒𝒏−𝒎 或𝑞𝑛−𝑚=
𝒂𝒏
𝒂𝒎
考点23 等比中项
1、等比中项定义：如果在𝑎与𝑏中间插入一个数𝐺，使𝑎，𝐺，𝑏成等比数列，那么𝐺叫做𝑎与𝑏的 等比中项 ，
即𝐺是𝑎与𝑏的等比中项⇔𝑎，𝐺，𝑏成等比数列⇔ 𝑮𝟐= 𝒂𝒃
2、对等比中项概念的理解
（1）𝐺是𝑎与𝑏的等比中项，则𝑎与𝑏的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，𝐺=±
𝑎𝑏，
即等比中项有两个，且互为相反数.
（2）𝐺2 = 𝑎𝑏时，𝐺 不一定 是𝑎与𝑏的等比中项.例如02 = 5 × 0，但0，0，5不是等比数列；
（3）在等比数列{𝑎𝑛}中，从第2 项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2
𝑛= 𝑎𝑛−𝑘⋅𝑎𝑛+𝑘
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0 时才存
在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是 唯一 的，而若两数有等比中项，则等比中项 有两个，且互为相反数 .
考点24 “下标和”性质
在等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞(𝑚,𝑛,𝑝,𝑞∈N*)，则 𝒂𝒎⋅𝒂𝒏= 𝒂𝒑⋅𝒂𝒒 ；
（1）特别地，𝑚+ 𝑛= 2𝑘(𝑚,𝑛,𝑘∈N*)时， 𝒂𝒎⋅𝒂𝒏= 𝒂𝟐
𝒌 ；
当𝑚+ 𝑛+ 𝑠= 𝑝+ 𝑞+ 𝑡(𝑚,𝑛,𝑝,𝑞,𝑠,𝑡∈N*)时， 𝒂𝒎⋅𝒂𝒏⋅𝒂𝒔= 𝒂𝒑⋅𝒂𝒒⋅𝒔𝒕
（2）若数列{𝑎𝑛}是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即𝑎1 ⋅𝑎𝑛= 𝑎2 ⋅𝑎𝑛−1
= … = 𝑎𝑘⋅𝑎𝑛−𝑘+1 = …
考点25 等比数列的性质拓展
（1）若{𝑎𝑛}是等比数列，公比为q，则数列{𝜆𝑎𝑛}(𝜆≠0),
1
𝑎𝑛, 𝑎2
𝑛都是等比数列，且公比分别是 q ，
𝟏
𝒒 ， 𝒒𝟐 ．
（2）两等比数列合成数列的性质：若数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}是项数相同的等比数列，{𝑎𝑛⋅𝑏𝑛}也是 等比数列 ．
（3）对于无穷等比数列{𝑎𝑛}，若将其前𝑘项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为𝑎𝑘+1，公比为𝑞；
若取出所有的𝑘的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为𝑎𝑘，公比为𝑞𝑘；
（4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即𝑎𝑘，𝑎𝑘+𝑚，𝑎𝑘+2𝑚，…仍是等比数列，公比为 𝒒𝒎
𝑘，𝑚∈N*
考点26 等比数列的前n 项和公式
已知量
首项，公比与项数
首项，公比与末项
求和公式
𝑆𝑛= 𝑛𝑎1,𝑞= 1
______
𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)
𝟏−𝒒
,𝒒≠𝟏
𝑆𝑛= 𝑛𝑎1,𝑞= 1
______
𝒂𝟏−𝒂𝒏𝒒
𝟏−𝒒
,𝒒≠𝟏
考点27 等比数列前n 项和公式的函数特征
(1)当公比𝑞≠1时，设𝐴=
𝑎1
𝑞−1，等比数列的前𝑛项和公式是𝑆𝑛= 𝐴(𝑞𝑛−1)，即𝑆𝑛是𝑛的 指数型函数
(2)
当公比𝑞= 1时，因为𝑎1 ≠0，所以𝑆𝑛= 𝑛𝑎1，𝑆𝑛是𝑛的 正比例函数 .
温馨提醒：当𝑞≠1，𝑆𝑛=
𝑎1(1−𝑞𝑛)
1−𝑞
=
𝑎1
1−𝑞−
𝑎1
1−𝑞⋅𝑞𝑛，所以𝑆𝑛= 𝐴−𝐴⋅𝑞𝑛的结构形式.
考点28 等比数列前n 项和的性质
已知{𝑎𝑛}为等比数列，公比为𝑞，𝑆𝑛为其前𝑛项和.
（1）若𝑆𝑛= 𝐴𝑞𝑛+𝐵(𝐴≠0,𝑞≠0,𝑞≠1)，则𝐴+ 𝐵= 0 ；
（2）当𝑆𝑛≠0时，𝑆𝑛， 𝑺𝟐𝒏−𝑺𝒏 ，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛,⋯为等比数列；
（3）若等比数列{𝑎𝑛}共2𝑘项，记𝑆奇为诸奇数项和，𝑆偶为诸偶数项和，则
𝑆奇
𝑆偶=
𝟏
𝒒/𝒒−𝟏 ；
（4）若{𝑎𝑛}是公比为q 的等比数列，则𝑆𝑛+𝑚= 𝑆𝑛+ 𝒒𝒏𝑺𝒎 （𝑛,𝑚∈𝑁+）．
考点29 证明数列为等比数列的方法
（1）
c
a
a
n
n
=
+1
（c 为常数）
n
a
Þ
为等比数列
（2）若
AC
B
AC
B
=
Þ
=
2
,则A ，B ，C 三个数成等比数列
考点30 公式法求和
(1)等差数列的前n 项和公式Sn＝na1＋an
2
＝na1＋nn－1
2
d.
(2)等比数列的前n 项和公式①当q＝1 时，Sn＝na1；②当q≠1 时，Sn＝a11－qn
1－q
＝a1－anq
1－q .
考点31 倒序相加法求和
如果一个数列{𝑎𝑛}与首末两端等“距离”的两项的和
相等或等于同一个常数 ，那么求这个数列的前
𝑛项和即可用倒序相加法求解．
考点32 分组转化法求和
一个数列的通项公式是
若干个等差或等比或可求和的数列
组成的，则求和时可用分组求和法，分
别求和后相加减．
考点33 裂项相消法求和
把数列的通项拆成 两项之差
，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前𝑛项和．
考点34 常见的裂项技巧
（1）
1
1 1
1
n n
k
k
n
n
k
æ
ö
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ；
（2）
1
n
k
n
+
+
1
n
k
n
k
=
+
-
；
（3）
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
æ
ö
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø
（4）
1
2
2
1
2
1
n
n
n+
-
-
1
1
2
1
2
1
2
1 2
1
n
n
n
n
+
+
-
-
-
=
-
-
1
1
1
2
1
2
1
n
n+
=
-
-
-
（5）指数型
1
1
n
n
n
a
a
a
a
+
-
=
-
；
（6）对数型
1
1
log
log
log
n
a
a
n
a
n
n
a
a
a
a
+
+
=
-
.
（7）
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n
é
ù
=
-
ê
ú
+
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
（8）
1
1
1 !
!
1 !
n
n
n
n
=
-
+
+
（9）
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
+
+
=
-
-
-
-
-
（10）
1
2
1
1
1 2
2
1 2
n
n
n
n
n n
n
n
-
+
=
-
+
×
×
+
×
等
考点35 错位相减法求和
如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么求这个数列
的前𝑛项和即可用错位相减法求解．
考点36 万能公式法求和
形如
1
(
)
(
1)
n
nc
an
b
q
q
-
=
+
×
¹
的数列求和为
(
)
(
1)
n
n
S
An
B q
C q
=
+
+
¹
，
其中
1
a
A
q
=
-
，
1
b
A
B
q
-
=
-
，C
B
= -
考点37 奇偶并项法求和
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并
求解．奇偶并项可采用两大类合并求解．
专题16 立体几何
考点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱
棱锥
棱台
图
形
定
义
有两个面 互相平行 ，其余各面都
是 四边形 ，并且相邻两个四边形
的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体
有一个面是多边形，其余
各面都是有一个公共顶
点的 三角形 ，由这
些面所围成的多面体
用一个平行于 棱锥底面
的平面去截棱锥，底面和截
面之间那部分多面体
结
构
特
征
底面互相平行且全等；侧面都是
平行四边形 ；侧棱都相等且互相
平行
底面是一个多边形；侧面
都是三角形；侧面有一个
公共顶点
上、下底面互相平行且相
似；各侧棱延长线交于一
点；各侧面为 梯形
分
类
①按底面多边形的边数：三棱柱、
四棱柱、五棱柱…
②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直
于底面的棱柱叫做 直棱柱 ，否
则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的
直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四
①按底面多边形的边
数：三棱锥、四棱锥、五
棱锥…
②正棱锥：底面是正多
边形，并且顶点与 底面
中心
的连线垂直
①按底面多边形的边数：
三棱台、四棱台、五棱
台…
②正棱台：由正棱锥截得
的棱台
边形的四棱柱也叫做平行六面体
于底面的棱锥
[注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
考点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征
分类
定义
图形及表示
表示
圆柱
以 矩形的一边所在直线
为旋
转轴，其余三边旋转一周形成的面所
围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做
圆柱的轴；
垂直 于轴的边旋转而成的圆
面叫做圆柱的底面； 平行
于
轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧
面；无论旋转到什么位置，平行于轴
的边都叫做圆柱侧面的母线
圆柱用表示它的轴的字母表
示，左图记作 圆柱𝑶𝑶′
圆锥
以 直角三角形的一条直角边
所在直线为旋转轴，其余两边旋转一
周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
用表示圆锥轴的字母表示圆
锥，左图记作 圆锥SO
圆台
用平行于 圆锥底面 的平面去
截圆锥，底面与截面之间的部分叫做
圆台
用表示它的轴的字母表示，
左图记作 圆台𝑶′𝑶
球
半圆以它的 直径
所在直线为
旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做
球面 ，球面所围成的旋转体叫做
球体
，简称球．半圆的圆心叫
做球的 球心 ；连接球心和球
面上任意一点的线段叫做球的半径；
连接球面上两点并且经过球心的线段
叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，
左图可表示为 球O
考点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S 圆柱侧＝ 2πrl
S 圆锥侧＝ πrl
S 圆台侧＝ π(r＋r′)l
其中r，r′为底面半径，l 为母线长.
[注意] ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；
②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径
为零时，得到圆锥，由此可得S 圆柱侧＝2πrl𝑟′ = 𝑟S 圆台侧＝π（r＋r′）l𝑟′ = 0
→
S 圆锥侧＝πrl．
考点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积
几何体
表面积
体积（S 是底面积，h 是高）
柱体（棱柱和圆柱）
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥）
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝
1
3Sh
台体（棱台和圆台）
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝
𝟏
𝟑(S 上＋S 下＋𝑺上𝑺下)h
球（R 是半径）
S＝ 𝟒π𝑹𝟐
V＝
𝟒
𝟑π𝑹𝟑
考点5 平面的概念与平面的表示方法
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是
向四周 无限延展 的．
平面的画法与表示
（1）平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面
画法
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边
画成
横向
当平面竖直放置时，常把平行四边
形的一边画成
竖向
图示
（2）平面的表示方法
①用希腊字母𝛼,𝛽,𝛾等表示平面，如平面𝛼、平面𝛽、平面𝛾等．
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面𝐴𝐵𝐶𝐷．
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面𝐴𝐶，平面𝐵𝐷．
考点6 平面的基本事实与推论
（1）基本性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本
事实
1
过
不在一条直线上
的三个点，有且只有一个平
面
A，B，C 三点不共线
⇒存在唯一的平面α
使A，B，C∈α
确定平面；判定点线
共面
基本
事实
2
如果一条直线上的
两个点 在一个平
面内，那么这条直线在这个
平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，
B∈α⇒l⊂α
确定直线在平面内；
判定点在平面内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一
个 公共点 ，那么它们有
且只有一条过该点的公共直
线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝
l，且P∈l
判定两平面相交；判
定点在直线上
（2）基本事实1 与2 的推论
推论
文字语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，
有且只有一个 平面
A∉l⇒有且只有一个平面α，使
A∈α，l⊂α
推论2
经过 两条相交直线 ，有且
只有一个平面
a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，
使a⊂α，b⊂α
推论3
经过 两条平行直线 ，有且
只有一个平面
a∥b⇒有且只有一个平面α，使
a⊂α，b⊂α
考点7 空间中点线面的位置关系及其表示
点在直线上
点不在直线上
点与直线的位置关系
a
AÎ
a
BÏ
点在平面上
点不在平面上
点与面的位置关系
a
Î
A
a
Ï
B
线与线的位置关系
平行，
b
a //
相交，
o
b
a
=
I
l ，m 异面
线与面的位置关系
a
Ì
a
A
a
=
a
I
a
//
a
面与面的位置关系
平行，
b
a //
相交，
a
=
b
a I
a 与b 重合
考点8 平行直线的传递性､等角定理
（1）平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ，用符号可表示为：如果𝑎 ∥ 𝑏,𝑎
∥ 𝑐，则 𝒃∥𝒄
.
（2）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行 ，并且方向相同，那么这两
个角 相等
考点9 异面直线及所成角
（1）定义：空间中既不 平行 也不 相交 的直线．
（2）异面直线的画法．
（3）异面直线所成的角
定义：一般地，如果𝑎，𝑏是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与𝑎，𝑏 平行或重合
的直线𝑎′，𝑏′，则𝑎′与𝑏′所成角的大小，称为异面直线𝑎与𝑏所成角的大小．
范围： 𝟎° < 𝜽≤𝟗𝟎°
．特别地，当𝜃= 𝟗𝟎°
时，𝑎与𝑏互相垂直，记作 𝒂⊥𝒃 ．
考点10 证明线线平行的方法
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，
②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
考点11 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定
理
如果 平面外 的一条直线与
平面内 的一条直线平行，那
么这条直线与这个平面平行
𝑙//𝛼，𝑎⊂𝛼，
𝑙⊄𝛼⇒𝑙//𝛼
性质定
理
如果一条直线与一个平面 平
行 ，且经过这条直线的平面
与这个平面相交，那么这条直线
就与两平面的 交线 平行
𝑙//𝛼，𝑙⊂𝛽，
𝛼∩𝛽= 𝑏⇒𝑙//𝑏
考点12 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理1
如果一个平面内有两条 相交
直线 分别平行于另一个平
面，那么这两个平面平行.
𝑎//𝛽，𝑏//𝛽，
𝑎∩𝑏= 𝑃，
𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛼⇒𝛼//𝛽
判定定理2
如果一个平面内有两条相交直
线分别平行于另一个平面内的
两条直线 ，则这两个平面平
行.
𝑎//𝑐,𝑏//𝑑，
𝑎∩𝑏= 𝐴，𝑎,𝑏⊂𝛼，
𝑐,𝑑⊂𝛽⇒𝛼//𝛽
性质定理1
两个平面平行，则其中一个平
面内的直线 平行 于另
一个平面
𝛼//𝛽，𝑎⊂𝛼⇒𝑎//𝛽
性质定理2
如果两个平行平面同时与第三
个平面 相交 ，那么它们的
交线 平行
𝛼//𝛽，𝛼∩𝛾= 𝑎，
𝛽∩𝛾= 𝑏⇒𝑎//𝑏
考点13 证明线线垂直的方法
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直
考点14 线面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的
两条相交直线
垂直，则这
条直线与这个平面垂直
若𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛼，𝑙⊥𝑎，𝑙⊥𝑏，
𝒂∩𝒃= 𝑨 ，则𝑙⊥𝛼
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平
面，那么这两条直线 平行
若𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛼，则 𝒂//𝒃
考点15 三垂线定理及其逆定理
（1）射影：
已知空间中的平面𝛼以及点A，过A 作𝛼的 垂线 l，设l 与α 相交于点A'，则A'就是点A 在平面𝛼内的
射影
(也称为投影)；空间中，图形F 上 所有点 在平面𝛼内的 射影
所组成的集合F`，称为
图形F 在平面α 内的射影.
（2）三垂线定理：
如果平面内的 一条直线
与平面的一条斜线在该平面内的
射影
垂直,则它也和这条斜线
垂直.
（3）三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条 斜线
垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
考点16 面面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理
一个平面过另一个平面的 垂
线 ，则这两个平面垂直
𝑙⊥𝛼
𝑙⊂𝛽⇒𝛼⊥𝛽
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
𝛼⊥𝛽
𝑙⊂𝛽
𝛼∩𝛽= 𝑎
𝑙⊥𝑎
⇒𝑙⊥𝛼
考点17 空间向量的定义、表示及有关概念
1．空间向量的有关概念
（1）定义：空间中 既有大小又有方向 的量称为空间向量．
（2）表示法：
①符号表示法：𝑎,𝑏,𝑐，𝐴𝐵．
②几何表示法：有向线段．
（3）向量的模：空间向量𝑎的大小（或长度）称为𝑎的模，记为 |𝒂| ．
（4）几类特殊向量
概念
定义
单位向量
长度为 1 的向量
零向量
模为 0 的向量，记作 𝟎 零向量的方向可以是任意的
相等向量
方向 相同 且长度 相等 的向量
相反向量
方向相反、长度相等的向量
共线向量（平行向量）
对于空间任意两个向量𝑎,𝑏(𝑎≠0)，若 𝒃= 𝝀𝒂 ，其中𝜆为实数，则𝑏与𝑎共
线或平行，记作 𝒃∥𝒂 ．零向量与任意向量 共线
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，
则称这些向量共面
考点18 空间向量的线性运算
空间
加法
𝑎+ 𝑏= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐵= 𝑶𝑩
减法
𝑎−𝑏= 𝑂𝐴−𝑂𝐶= 𝑪𝑨
向量
的线
性运
算
数乘
当𝜆> 0时，𝜆𝑎= 𝜆𝑂𝐴= 𝑃𝑄；
当𝜆< 0时，𝜆𝑎= 𝜆𝑂𝐴= 𝑀𝑁；
当𝜆= 0时，𝜆𝑎= 0
运算律
（1）交换律：𝑎+ 𝑏= 𝑏+ 𝑎；
（2）结合律：(𝑎+ 𝑏) + 𝑐= 𝒂+(𝒃+ 𝒄)
，𝜆(𝜇𝑎) = (𝝀𝝁)
𝒂
；
（3）分配律：(𝜆+ 𝜇)𝑎= 𝝀𝒂+𝝁𝒂
，𝜆(𝑎+ 𝑏) = 𝝀𝒂+𝝀𝒃
考点19 空间向量的数量积
（1）空间向量的夹角及其表示
给定两个非零向量𝑎,𝑏，任意在空间中选定一点O，作𝑂𝐴= 𝑎，𝑂𝐵= 𝑏，则大小在 [𝟎,π] 内的
∠𝑨𝑶𝑩
称为𝑎与𝑏的夹角，记作 < 𝒂,𝒃>
.
特别地，若< 𝑎,𝑏>=
π
2，则称𝑎与𝑏 垂直
，记作𝑎⊥𝑏.
（2）向量的数量积
两个非零向量𝑎，𝑏的数量积定义为𝑎⋅𝑏= |𝒂| ⋅|𝒃| ⋅𝐜𝐨𝐬< 𝒂,𝒃> ．
（3）数量积的性质：
①𝑎⊥𝑏 ⇔
𝒂·𝒃=0
； ②𝑎·𝑎= |𝒂|𝟐 =𝑎2；
③|𝑎·𝑏|≤|𝑎||𝑏|； ④(λ𝑎)·𝑏=λ(𝑎·𝑏)；
⑤𝑎·𝑏=
𝒃·𝒂
(交换律)； ⑥(𝑎+𝑏)·𝑐=
𝒂·𝒄+𝒃·𝒄
(分配律).
考点20 空间向量的有关定理
空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：如果𝑎≠0且𝑏∥𝑎，则存在唯一的实数𝜆，使得𝑏= 𝜆𝑎．
（2）共面向量定理：如果两个向量𝑎，𝑏不共线，则向量𝑎，𝑏，𝑐共面的充要条件是，存在唯一的实数对
(𝑥,𝑦)，使𝑐= 𝒙𝒂+𝒚𝒃
．
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果𝐴，𝐵，𝐶三点不共线，则点𝑃在平面𝐴𝐵𝐶内的充
要条件是，存在唯一的实数对(𝑥,𝑦)，使𝐴𝑃= 𝑥𝐴𝐵+𝑦𝐴𝐶．
（3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量𝑎，𝑏，𝑐不共面，那么对空间中的任意一个向量𝑝，存在唯
一的有序实数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使得𝑝= 𝒙𝒂+𝒚𝒃+𝒛𝒄
．其中，𝑎,𝑏,𝑐称为空间向量的一组基底．
考点21 空间向量的坐标运算
已知空间向量𝑎，𝑏，其坐标形式为𝑎= 𝑥1，𝑦1，𝑧1 ，𝑏= 𝑥2，𝑦2，𝑧2
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏=
(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐,𝒚𝟏+ 𝒚𝟐,𝒛𝟏+ 𝒛𝟐)
减法
𝑎−𝑏
𝑎−𝑏= (𝒙𝟏−𝒙𝟐,𝒚𝟏−𝒚𝟐,𝒛𝟏−𝒛𝟐)
数乘
𝜆𝑎
𝜆𝑎=
(𝝀𝒙𝟏,𝝀𝒚𝟏,𝝀𝒛𝟏)
，𝜆∈R
数量积
𝑎⋅𝑏
𝑎⋅𝑏=
𝒙𝟏𝒙𝟐+ 𝒚𝟏𝒚𝟐+ 𝒛𝟏𝒛𝟐
夹角余弦值
cos < 𝑎,𝑏>
cos < 𝑎,𝑏>=
𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐+𝒛𝟏𝒛𝟐
𝒙𝟐
𝟏+𝒚𝟐
𝟏+𝒛𝟐
𝟏
𝒙𝟐
𝟐+𝒚𝟐
𝟐+𝒛𝟐
𝟐
模长
|𝑎|
|𝑎| =
𝒙𝟐
𝟏+ 𝒚𝟐
𝟏+ 𝒛𝟐
𝟏
考点22 空间向量平行与垂直
设𝑎= (𝑎1,𝑎2,𝑎3)，𝑏= (𝑏1,𝑏2,𝑏3)，则
平行𝑎∥𝑏
𝑎//𝑏𝑏≠0 ⇔𝑎= 𝜆𝑏⇔
___𝒂𝟏= 𝝀𝒃𝟏___,
___𝒂𝟐= 𝝀𝒃𝟐___,
___𝒂𝟑= 𝝀𝒃𝟑___(𝜆∈R)
垂直𝑎⊥𝑏
𝑎⊥𝑏⇔𝑎⋅𝑏= 0⇔___𝒂𝟏𝒃𝟏+ 𝒂𝟐𝒃𝟐+ 𝒂𝟑𝒃𝟑= 𝟎
___（𝑎，𝑏均为非零向量）
考点23 直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果𝑙是空间中的一条直线，𝑣是空间中的一个非零向量，且表示𝑣的有向线段所在
的直线与𝑙平行或重合，则称𝑣为直线𝑙的一个 方向向量 ．
（2）平面的法向量：如果𝛼是空间中的一个平面，𝑛是空间中的一个非零向量，且表示𝑛的有向线段所在的
直线与平面𝛼垂直，则称𝑛为平面𝛼的一个 法向量 ，此时也称𝑛与平面𝛼垂直，记作𝑛⊥𝛼．
2.求平面法向量的步骤：
（1）设向量：设平面的法向量为𝑛= (𝑥,𝑦,𝑧).
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量𝐴𝐵,𝐴𝐶.
（3）列方程组：由 𝒏⋅𝑨𝑩= 𝟎
𝒏⋅𝑨𝑪= 𝟎
列出方程组.
（4）解方程组𝑛⋅𝐴𝐵= 0
𝑛⋅𝐴𝐶= 0
.
（5）赋非零值：取𝑥，𝑦，𝑧的其中一个为 非零值 (常取± 1).
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
考点24 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示
设𝑢1,𝑢2分别是直线𝑙1,𝑙2的方向向量，𝑛1,𝑛2分别是平面𝛼,𝛽的法向量．
线线平行
𝑙1//𝑙2⇔ 𝑢1//𝑢2 ⇔∃𝜆∈R，使得 𝒖𝟏= 𝝀𝒖𝟐
注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重
合
线面平行
𝑙1//𝛼⇔ 𝑢1 ⊥𝑛1 ⇔ 𝒖𝟏⋅𝒏𝟏= 𝟎 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；
面面平行
𝛼//𝛽⇔ 𝑛1//𝑛2 ⇔∃𝜆∈R，使得𝑛1 = 𝜆𝑛2
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
线线垂直
𝑙1 ⊥𝑙2⇔ 𝑢1 ⊥𝑢2 ⇔ 𝑢1 ⋅𝑢2 = 0
线面垂直
𝑙1 ⊥𝛼⇔ 𝑢1//𝑛1 ⇔∃𝜆∈R，使得𝑢1 = 𝜆𝑛1
面面垂直
𝛼⊥𝛽⇔ 𝑛1 ⊥𝑛2 ⇔ 𝑛1 ⋅𝑛2 = 0
考点25 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角）
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线𝑙1,𝑙2所成角为𝜃，它们的方向向量分别为𝑢1,𝑢2，则有cos𝜃=
|𝒖𝟏⋅𝒖𝟐|
|𝒖𝟏||𝒖𝟐| .
（2）求直线和平面所成的角
设直线𝑙的方向向量为𝑢，平面𝛼的法向量为𝑛，直线与平面所成的角为𝜃，𝑢与𝑛 的角为𝜑，则有sin𝜃= |𝐜𝐨𝐬𝝋|
=
|𝒖⋅𝒏|
|𝒖||𝒏| .
（3）求二面角
如图，若𝑃𝐴⊥𝛼于A，𝑃𝐵⊥𝛽于B，平面PAB 交𝑙于E，则 ∠𝑨𝑬𝑩 为二面角𝛼−𝑙−𝛽的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.若二面角𝛼−𝑙−𝛽的平面角的大小为𝜃，其两个面𝛼,𝛽的法向量分别为𝑛1,𝑛2，则|cos𝜃|=
|𝐜𝐨𝐬〈𝒏𝟏,𝒏𝟐〉| =
|𝒏𝟏⋅𝒏𝟐|
|𝒏𝟏||𝒏𝟐|
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面𝛼与平面𝛽的夹角cos𝜃=
|𝐜𝐨𝐬〈𝒏𝟏,𝒏𝟐〉| =
|𝒏𝟏⋅𝒏𝟐|
|𝒏𝟏||𝒏𝟐|
.
考点26 空间向量求空间距离集
（1）点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为𝑢，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，点P 到直线l 的距离为
𝑨𝑷𝟐−𝑨𝑷⋅𝒖
𝟐 .
（2）两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m 之间的距离，可在其中一条直线l 上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于 𝑷
到直线𝒎的距离
.
（3）求点面距
①求出该平面的一个 法向量 ；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
即：点A 到平面𝛼 的距离𝑑= |𝑨𝑩⋅𝒏|
|𝒏| ，其中𝐵∈𝛼，𝑛是平面𝛼的一个法向量.
（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解
直线𝑎与平面𝛼 之间的距离：𝑑=
|𝑨𝑩⋅𝒏|
|𝒏| ，其中𝐴∈𝑎,𝐵∈𝛼，𝑛是平面𝛼 的一个法向量.
两平行平面𝛼,𝛽之间的距离：𝑑=
|𝑨𝑩⋅𝒏|
|𝒏| ，其中𝐴∈𝛼,𝐵∈𝛽，𝑛是平面𝛼的一个法向量.
考点27 几何法求空间角与空间距离
异面直线所成角
1.定义：已知两条异面直线𝑎,𝑏,经过空间任意一点𝑂作直线𝑎′//𝑎,𝑏′//𝑏,我们把𝑎′与𝑏′所成的锐角（或直角）
叫做异面直线𝑎与𝑏所成的角（或夹角）
2.范围：0, 𝜋
2 .
3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角；
直线与平面所成角
1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
2.范围： 0, 𝜋
2 .
3.求法：
（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：
（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 𝑙 ）和到平面的距离（设为 𝑑), 则 sin𝜃=
𝑑
𝑙𝜃为线面角;
二面角
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，
分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。
2.范围： [0,𝜋].
3.求法：
（1）定义法：
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，
两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主
要特征”来找出平面角。
（2）三垂线法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
（3）垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
（4）射影面积法：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（cos𝜃= 𝑆射
𝑆斜=
𝑆△𝐴′𝐵′𝐶′
𝑆△𝐴𝐵𝐶,如图)求出二面角的大小
空间距离
点面距可转化为三棱锥等体积求解
专题17 直线与圆
考点1 直线倾斜角的定义及取值范围
1．定义：x 轴 正向 与直线 向上 的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行
或重合时，规定它的倾斜角为 0° ．
2．倾斜角的取值范围
平面直角坐标系中的每一条直线都有 唯一 的倾斜角，倾斜角的取值范围是
[𝟎,π) ．
考点2 直线的斜率
（1）斜率的定义：
一般地，如果直线l 的倾斜角为𝜃，则当 𝜽≠𝟗𝟎°
时，称𝑘=
tan𝜽 为直线l 的斜率；当𝜃= 90°
时，称直线l 的斜率
不存在 .
（2）斜率的公式：
若𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)是直线l 上两个不同的点，则当𝑥1 ≠𝑥2时，直线l 的斜率为 𝒌=
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
，当𝑥1 =
𝑥2时，直线l 的斜率 不存在
.
考点3 直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k 与点(𝑥1,𝑦1)
𝒚−𝒚𝟏= 𝒌(𝒙−𝒙𝟏)
不含直线𝑥= 𝑥1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距
b
𝒚= 𝒌𝒙+ 𝒃
不含垂直于x 轴的直
线
两点式
两点(𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2)
𝒚−𝒚𝟏
𝒚𝟐−𝒚𝟏= 𝒙−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏(𝒙𝟏≠𝒙𝟐,𝒚𝟏≠𝒚𝟐)
不含直线𝑥= 𝑥1
(𝑥1 = 𝑥2)和直线𝑦=
𝑦1 (𝑦1 = 𝑦2)
截距式
直线在x 轴、y 轴上的截距分
别为a，b
𝒙
𝒂+ 𝒚
𝒃= 𝟏(𝒂≠𝟎,𝒃≠𝟎)
不含垂直于坐标轴和
过原点的直线
一般式
𝑨𝒙+ 𝑩𝒚+ 𝑪= 𝟎(𝑨𝟐+ 𝑩𝟐≠𝟎)
平面直角坐标系内的
直线都适用
考点4 直线的方向向量的定义及有关结论
一般地，如果表示非零向量𝑎的有向线段所在的直线与直线𝑙 平行或重合 ，则称向量𝑎为直线𝑙的一个
方向向量，记作𝑎//𝑙.
直线方向向量的有关结论
①如果𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)是直线𝑙上两个不同的点，则𝐴𝐵= (𝑥2−𝑥1,𝑦2−𝑦1)是直线𝑙的一个方向向量.
②如果直线𝑙的斜率为𝑘，则 (𝟏,𝒌)
是直线𝑙的一个方向向量.
③若直线的方向向量为𝑎= (𝑥,𝑦)(𝑥≠0)，则直线的斜率𝑘=
𝒚
𝒙
.
考点5 直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量𝑣的有向线段所在直线与直线𝑙 垂直 ，则称向量𝑣为直线𝑙的一个 法向
量 ，记作𝑣⊥𝑙.一条直线的方向向量与法向量互相 垂直
考点6 两条直线的位置关系
方程组𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0
𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 = 0
的解
一组
无数组
无解
直线𝑙1与𝑙2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线𝑙1与𝑙2的位置关系
相交
重合
平行
位置关系
𝑙1，𝑙2满足的条件
𝑙3，𝑙4满足的条件
平行
𝑘1 = 𝑘2，且𝑏1 ≠𝑏2
𝐴1𝐵2−𝐴2𝐵1 = 0且
𝐴1𝐶2−𝐴2𝐶1 ≠0
垂直
𝒌𝟏𝒌𝟐= −𝟏
𝐴1𝐴2 + 𝐵1𝐵2 = 0
相交
𝒌𝟏≠𝒌𝟐
𝐴1𝐵2−𝐴2𝐵1 ≠0
考点7 两直线的交点
点P 的坐标既满足直线𝑙1的方程𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0，也满足直线𝑙2的方程𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 = 0，即点P 的
坐标是方程组𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0
𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 = 0
的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 交点 坐标.
考点8 两点距离、点线距离、线线距离
三种距离
条件
公式
两点间的距离
𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)
|𝐴𝐵|
=
(𝑥1−𝑥2)2 + (𝑦1−𝑦2)2
点到直线的距
离
𝑃(𝑥0,𝑦0)到直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0的距离为
𝑑
𝑑=
|𝑨𝒙𝟎+𝑩𝒚𝟎+𝑪|
𝑨𝟐+𝑩𝟐
两平行线间的
距离
直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶1 = 0到直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+
𝐶2 = 0的距离为d（𝐶1 ≠𝐶2）
𝑑=
|𝑪𝟏−𝑪𝟐|
𝑨𝟐+𝑩𝟐
考点9 圆的定义
平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
考点10 圆的标准方程
圆的标准方程是 (𝒙−𝒂)𝟐+ (𝒚−𝒃)𝟐= 𝒓𝟐 （其中𝑟> 0），圆心的坐标是 (𝒂,𝒃) ，半径是 r ．
考点11 圆的一般方程及表示圆的充要条件
当 𝑫𝟐+ 𝑬𝟐−𝟒𝑭> 𝟎 时，二元二次方程𝑥2 + 𝑦2 +𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0叫做圆的一般方程．其中圆心为
−𝑫
𝟐,−𝑬
𝟐 ，圆的半径为𝑟=
𝟏
𝟐𝑫𝟐+ 𝑬𝟐−𝟒𝑭 .
考点12 点与圆的位置关系
平面上的一点𝑀(𝑥0,𝑦0)与圆𝐶:(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2之间存在着下列关系：
（1）|𝑀𝐶| > 𝑟⇔𝑀在 圆外 ，即(𝑥0−𝑎)2 + (𝑦0−𝑏)2 > 𝑟2⇔𝑀在圆外；
（2）|𝑀𝐶| = 𝑟⇔𝑀在 圆上 ，即(𝑥0−𝑎)2 + (𝑦0−𝑏)2 = 𝑟2⇔𝑀在圆上；
（3）|𝑀𝐶| < 𝑟⇔𝑀在 圆内 ，即(𝑥0−𝑎)2 + (𝑦0−𝑏)2 < 𝑟2⇔𝑀在圆内．
考点13 直线与圆的位置关系
设圆𝐶:(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2，直线𝑙:𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0，圆心𝐶(𝑎,𝑏)到直线𝑙的距离为𝑑．由
(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2,
𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0
消去𝑦(或𝑥)，得到关于𝑥（或𝑦）的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系
相离
相切
相交
图形
方程观点
Δ < 0
Δ = 0
Δ > 0
量化
几何观点
d > r
d = r
d < r
考点14 直线被圆截得的弦长
（1）几何法：弦心距𝑑、半径𝑟和弦长|𝐴𝐵|的一半构成直角三角形，弦长|𝐴𝐵| = 2 𝑟2−𝑑2．
（2）代数法：设直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚与圆𝑥2 + 𝑦2 +𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0相交于点𝑀,𝑁，把直线方程代入圆方程，消
去𝑦，得关于𝑥的一元二次方程，则|𝑀𝑁| =
1 + 𝑘2· (𝑥𝑀+ 𝑥𝑁)2−4𝑥𝑀𝑥𝑁．
考点15 圆与圆的位置关系
（1）代数法：
联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2 组
1 组
0 组
两圆的公共点个数
2 个
1 个
0 个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
（2）几何法：若两圆的半径分别为𝑟1，𝑟2，两圆圆心的距离为𝑑，则两圆的位置关系如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
𝑑与𝑟1，𝑟2
的关系
𝒅 > 𝒓𝟏
+ 𝒓𝟐
𝒅 = 𝒓𝟏+
𝒓𝟐
|𝒓𝟏−𝒓𝟐|
< 𝒅< 𝒓𝟏+ 𝒓𝟐
𝒅 =
|𝒓𝟏−𝒓𝟐|
𝒅 <
|𝒓𝟏−𝒓𝟐|
考点16 圆中的最值问题
圆上一点到圆外一点的距离的最值
半径
点到圆心的距离
半径
点到圆心的距离
-
=
+
=
min
max
d
d
圆上一点到圆上一点的距离的最值
半径
圆心到圆心的距离
半径
圆心到圆心的距离
2
2
min
max
-
=
+
=
d
d
圆上一点到直线距离的最值
半径
圆心到直线的距离
半径
圆心到直线的距离
-
=
+
=
min
max
d
d
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
考点1 椭圆的定义
把平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的和等于____常数（大于
1
2
F F ）______的点的轨迹叫做椭圆，这___两个
定点___叫做椭圆的焦点，_____两焦点间的距离_____叫做椭圆的焦距，焦距的__一半___称为半焦距.
集合
1
2
2
P
M MF
MF
a
=
+
=
，
1
2
2
F F
c
=
，其中
0
a >
，
0
c >
，且a、c 为常数：
（1）若___a
c
>
___，则集合P 表示椭圆；
（2）若___a
c
=
___，则集合P 表示线段；
（3）若___ a
c
<
___，则集合P 为空集．
考点2 椭圆的标准方程与几何性质
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
图像
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
性
质
顶点
1
,0
A
a
-
，
2
,0
A
a
，
1 0,
B
b
-
，
2 0,
B
b
1 0,
A
a
-
，
2 0,
A
a ，
1
,0
B
b
-
，
2
,0
B
b
轴
长轴
1
2
A A 的长为___2a___，短轴
1
2
B B 的长为__2b____
范围
a
x
a
- £
£
，b
y
b
- £
£
b
x
b
- £
£
，a
y
a
- £
£
a、b、c 的
关系
2c = ___
2
2
a
b
-
___
离心率
___
0
1
c
e
e
a
=
<
<
___
注意：（1）长轴长是___2a___，短轴长是____2b__，长半轴长是___a___，短半轴长是___b___．
（2）椭圆的其他相关性质：
①椭圆上到中心距离最大的点是__长轴的两个端点____，到中心距离最小的点是___短轴的两个端点___；
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是______长轴的两个端点______，最大、最小距离分别是___a
c
+
___、__a
c
-
____；
③P 是椭圆上的点，当P 点在__短轴端点____时，
1
2
F PF
Ð
最大．
考点3 双曲线的定义
一般地，如果F1，F2 是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且______
1
2
2
|
|
a
F F
<
_____，则平面上满足
____________
1
2
||
|
|
|| 2
PF
PF
a
-
=
______________的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点
1F ，
2
F 称为
双曲线的___焦点_____，两个焦点的距离
1
2
|
|
F F
称为双曲线的____焦距____.
考点4 双曲线的标准方程与几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
___
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
___
___
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
___
轴长
实轴长
1
2
A A = ___2a ___，虚轴长
1
2
B B = ___ 2b ___
焦点
___
,0
c
___
____
0, c
__
焦距
1
2
2
F F
c
=
范围
x
a
³
或x
a
£ - ，y ÎR
xÎR ，y
a
£ - 或y
a
³
对称性
对称轴为___坐标轴___，对称中心为___坐标原点___
顶点
___
,0
a
___
___
0, a
___
渐近线
___
b
y
x
a
=
___
___
a
y
x
b
=
___
离心率
e = ___
(
1)
c e
a
>
___
考点5 抛物线的定义
平面上到一个定点F 和到一条定直线l（F 不在l 上）距离__相等____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛
物线的___焦点___，定直线l 叫做抛物线的___准线___．
考点6 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
焦点
, 0
2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø
,0
2
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
0, 2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø
0,
2
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
准线
___
2
p
x = -
____
___
2
p
x =
___
___
2
p
y = -
___
___
2
p
y =
___
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
性质
对称轴
__ x 轴____
___ y 轴___
顶点
___
0,0 ___
离心率
e＝____1___
考点7 弦长公式
当直线
0
y
kx m k
=
+
¹
与椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的两交点为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
时，
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
-
+
-
= ___
2
2
1
2
1
2
1
4
k
x
x
x x
+
+
-
___或AB = ___
2
1
2
1
2
2
1
1
4
y
y
y y
k
+
+
-
___．
专题19 排列组合与二项式定理
考点1 两个计数原理
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法，那
么完成这件事共有N＝_m＋n___种不同的方法．
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共
有N＝__ m×n__种不同的方法．
考点2 排列数及排列数公式
排列数的
定义
从n 个不同对象中取出m 个对象的___所有排列_____的个数，称为从n 个不同对象中取出m
个对象的排列数
排列数的
表示
A (
N ,
,
)
m
n n
m
m
n
*
Î
Î
£
N
乘积式
Am
n = _____
1
2
1
n n
n
n
m
-
-
×××
-
+
___
排列数公
式
阶乘式
!
(
)!
Am
n
n
n
m
=
-
阶乘
An
n =___
1
2
2 1
n
n
n
´
-
´
-
´×××´
´ _____=___ !
n _____
规定
0!= ____1____，
0
An =____1____
考点3 组合数及组合数公式
组合数
定义
从n 个不同元素中取出
(
)
m m
n
£
个元素的_______所有不同的组合_______的个数，叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的组合数
表示法
___Cm
n _____
乘积式
m
n
C
=___ A
A
m
n
m
m
___=___
1
2
1
1
2
2 1
n n
n
n
m
m m
m
-
-
×××
-
+
-
-
××× ×
___
组合数
公式
阶乘式
m
n
C
=___
!
!
!
n
m n
m
-
___
性质
m
n
C
=___Cn m
n
- ___，
1
m
n
C + = __
1
C
C
m
m
n
n
-
+
____
备注
,n m
*
ÎN 且m
n
£
；②规定：
0
C
1
n =
考点4 二项式定理
n
a
b
＋
＝_____
0
1
1
2
2
2
*
C
C
C
...
C
...
C
N
n
n
n
k
n k
k
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b
a
b
b
n
-
-
-
+
+
+
+
+
+
Î
_______．
（1）这个公式叫做二项式定理．
（2）展开式：等号右边的多项式叫做
n
a
b
＋
的二项展开式，展开式中一共有___n＋1__项．
（3）二项式系数：各项的系数Ck
n （k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数．
二项展开式的通项
n
a
b
＋
展开式的第__k＋1__项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝__Ck
n k
k
na
b
-
__.
二项式系数的性质
对称性
在
n
a
b
＋
的展开式中，与首末两端“_等距离__”的两个二项
式系数相等，即Cm
n ＝__Cn m
n
- __
增减性
与最
增减性：当k<
1
2
n + 时，二项式系数是逐渐增大的；
大值
当k>
1
2
n + 时，二项式系数是逐渐 __减小的__；
当n 为偶数时，中间一项的二项式系数__
2
C
n
n __最大；
当n 为奇数时，中间两项的二项式系数 __
1
2
C
n
n
-
__，__
1
2
C
n
n
+
__
相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
（1）
0
1
2
C
C
C
...
C
2
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
（2）
0
2
4
1
3
5
1
C
C
C
...
C
C
C
...
2n
n
n
n
n
n
n
-
+
+
+
=
+
+
+
=
专题20 概率统计
考点1 事件的分类
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是____确定性现象_____．在一定条件下，
某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象是____随机现象_____．
对某随机现象进行的实验、观察称为_____随机试验____，简称___试验______．
把随机试验的每一个可能结果称为____样本点_____．所有样本点组成的集合称为____样本空间_____，记
为_____W ____．
样本空间的子集称为____随机事件_____，简称____事件_____，一般用____大写英文字母_____表示．当一
个事件仅包含单一样本点时，称该事件为____基本事件_____．
W （全集）是_____必然____事件；Æ（空集）是____不可能_____事件．
若事件B 发生必导致事件A 发生，我们称_____事件A 包含事件B____（或___事件B 包含于事件
A______）．记作___ B
A
Í
或A
B
Ê
______．
注意：
①不可能事件记作Æ，显然
Ê Æ
C
（C 为任一事件）；
②事件A 也包含于事件A，即A
A
Í
；
③事件B 包含于事件A，其含义就是“事件B 发生，事件A 一定发生，而事件A 发生，事件B 不一定发生”．
若事件A 与B 至少有一个发生即为事件C 发生，我们称C 是A 与B 的____并____，也称C 是A 与B 的____
和_____，记作___ C
A
B
=
+
______．
若事件A 与B 同时发生即为事件C 发生，我们称C 是A 与B 的____交_____，也称C 是A 与B 的____积
_____，记作____C
AB
=
_____．
考点2 频率与概率
（1）定义
在相同的条件下，将一试验独立重复n 次，若用
n
F
A 表示事件A 在这n 次试验中发生的频率，则当n 增加
时，
n
F
A 将向一个固定的____数值p______靠近，这个___数值p_______就可看作事件A 发生的____概率
P A ______，即
n
F
A 是
P A 的估计．
（2）频率与概率的区别与联系
频率和概率都是随机事件发生_____可能性大小_____的定量刻画，但频率与____试验次数______及具体的
试验有关，因此频率具有___随机性_______；而概率是刻画随机事件发生______可能性大小____的数值，
是一个_____固定的量_____，不具有_____随机性_____，因此频率不能完全反映概率．
考点3 概率的性质
（1）由于事件A 中的样本点个数总是小于或等于样本空间W 中的样本点个数，因而根据古典概型的定义，
可知任何事件的概率在__0
1
: ____之间，即___
0
1
P A
£
£ ___．
（2）必然事件包含W 中所有样本点，因而
P W = __1____.
（3）不可能事件不包含任何样本点，因而
(
)
P Æ = __0 ____.
性质1
对任意的事件A ，都有
0
P A ³
．
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即_______
1
P Ω = _______，
0
P Æ =
．
性质3
如果事件A 与事件B 互斥，那么
P A
B =
_____
P A
P B
+
_________．
推广：如果事件
1A ，
2
A ，…，
m
A 两两互斥，那么事件
1
2
m
A
A
A
发生的
概率等于这m 个事件分别发生的概率之和，即
1
2
1
2
m
m
P A
A
A
P A
P A
P A
È
È
È
=
+
+
+
性质4
如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么
P B = _____
1
P A
-
_________，
P A = _______
1
P B
-
_______．
性质5
如果A
B
Í
，那么_______
P A
P B
£
_______．
性质6
设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有
P A
B
P A
P B
P A
B
=
+
-
I
．
考点4 事件的积、和、差
定义
表示法
图示
事件的交（或
积）
A
A
W
=
I
如果某事件发生____当
且仅当事件A 与事件B 同
时发生______，则称该事
件为事件A 与B 的交（或
积）
____ A
B
Ç
______
（或____ AB
______）
事件的并（或
和）
A
A
Æ È
=
如果某事件发生______
当且仅当事件A 发生或
事件B 发生____，则称该
事件为事件A 与B 的并
（或和）
____ A
B
______
（或A
B
+
）
事件的差
如果某事件发生_____当
且仅当事件A 发生而事
件B 不发生_____，则称该
事件为事件A 与B 的差
\
A B
考点5 古典概型
（1）定义：设试验的样本空间W 有n 个样本点，且每个样本点发生的_____可能性相同_____．
当W 中的事件A 包含了m 个样本点时，称
P A = ____ m
n ______为事件A 发生的概率，简称A 的概率．把
上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型
（2）特点：
①样本空间中只有_____有限个_____样本点；
②每个样本点出现的_____可能性相等_____．
考点6 相互独立事件
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作___相互独立事件___．
两个相互独立事件同时发生的概率
P AB = __
P A P B ____．
考点7 二项分布
（1）伯努利试验：我们把只包含____两个_____可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重
复进行n 次所组成的随机试验称为____n 重伯努利试验_____. 显然， n 重伯努利试验具有共同特征：同一
个伯努利试验重复做n 次，且各次试验的结果____相互独立_____.
（2）二项分布：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为
(0
1)
p
p
<
<
，用X 表示
事件A 发生的次数，则X 的分布列为(
)
P X
k
=
= _____C
(1
)
k
k
n k
n p
p
-
-
_____，
0,1,
,
k
n
=
K
.如果随机变量X
的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X～___
( , )
B n p ____，且有
(
)
E X =___ np
____，
(
)
D X = _____
(1
)
np
p
-
____.
注：①n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率与第k 次才发生的概率计算公式分别是
( )
C
(1
)
k
k
n k
n
n
P k
p
p
-
=
-
与
1
(1
)k
kP
p
p
-
=
-
.
（3）二项分布的增减性与最大值
记
(
)
kp
P x
k
=
=
，则当
(
1)
k
n
p
<
+
时，
1
k
k
p
p -
>
，pk 递增；当
(
1)
k
n
p
<
+
时，
1
k
k
p
p -
<
，
kp 递减. 故
kp 最大
值在
(
1)
k
n
p
=
+
时取得（此时
1
k
k
p
p -
=
，两项均为最大值；若
(
1)
n
p
+
非整数，则k 取(
1)
n
p
+
的整数部分时，
kp 最大且唯一）.
考点8 超几何分布
分布列：如果
, ,
X
H N n M
~
且
0
n
M
N
+
-
£
，则X 的分布列如下表所示，其中s为X 的最大取值．
X
0
1
…
k
…
s
P
0
C C
C
n
M
N M
n
N
-
1
1
C C
C
n
M
N M
n
N
-
-
…
___
C C
C
k
n k
M
N M
n
N
-
-
…
____
C C
C
n s
M
N M
n
N
s
-
-
_____
____
考点9 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
（1）条件概率
①定义：一般地，设A，B 为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝____
(
)
( )
P AB
P A
____为在事件A
发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称___条件概率_____.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B，若P（A）>0，则____ P（AB）＝P（A）
P（B|A）____.
（2）条件概率的性质：设P（A）>0，则
①P（Ω|A）＝1；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝____ P（B|A）＋P（C|A）____；
③设B 和B 互为对立事件，则P（B |A）＝___ 1－P（B|A）_____.
（3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，
i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝___
1
i
i
i
n P A P B A
=
å
_____，我们称这个公式为全概率
公式.
（4）贝叶斯公式
设
1
2
,
,
,
n
A A
A
是一组两两互斥的事件，
1
2
n
A
A
A
È
È
È
= W
，且
0,
1,2,
,
i
P A
i
n
>
=
，则对任意事件
Ω
B Í
，
( )
0
P B >
，有
|
i
P A B = _____
|
i
i
P A P B A
P B
____＝____
1
|
|
i
i
n
k
k
k
P A P B A
P A
P B A
=å
_____，
1,2,
,
i
n
=
．
考点10 离散型随机变量的数字特征
（1）离散型随机变量的均值
①定义：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E（X）＝______
1
1
2
2
3
3
1
n
n
n
i
i
i
x p
x p
x p
x p
x P
=
+
+
+
+
=å
___________为随机变量X 的均值或___数学期望
_____，数学期望简称___期望___.
②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____加权平均数____，它综合了随机变量的取值和取值
的概率，反映了随机变量取值的___平均水平_____.
③性质：若X 为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b 为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋
b）＝___
(
)
aE X
b
+
_____.
（2）离散型随机变量的方差
①定义：设离散型随机变量X 的分布列为，
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
我们称D（X）＝______
2
2
2
1
1
2
2
(
(
))
(
(
))
(
(
))
n
n
x
E X
p
x
E X
p
x
E X
p
-
+
-
+
+
-
______＝
2
1
n
i
i
i
x
E X
P
=
-
å
为随
机变量X 的方差，有时也记为Var（X），并称
(
)
D X 为随机变量X 的___标准差___，记为σ（X）.
②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2 关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差
和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_____离散程度_____. 方差
或标准差越小，随机变量的取值越___集中____；方差或标准差越大，随机变量的取值越___分散____.
③性质：D（X）＝
2
1
n
i
i
i
x
E X
P
=
-
å
＝
2
1
n
i
i
i
x P
=å
－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D
（X）.
（3）关于均值、方差的几个结论
①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k 为常数；
②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
③若X1，X2 相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）.
考点11 正态分布曲线及其性质
（1）正态曲线：我们称
2
2
2
1
( )
e
2
x
f x
m
s
s
p
-
-
=
，xÎR ，其中
R
m Î
，
0
s >
时为参数，为正态密度函数，称
它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态分布：若随机变量X 的概率分布密度函数为
( )
f x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为_____
2
( ,
)
X
N m s
:
____．特别地，当
0
m =
，
1
s = 时，称随机变量X 服从____标准____正态分布．
（3）正态分布的期望与方差：若
2
,
X
N m s
～
，则
E X =__ m ____，
D X = ___
2
s ____.
（4）正态曲线的特点：
①非负性：对
R
x
" Î
，
( )
0
f x >
，它的图象在x 轴的上方．
②定值性：曲线与x 轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线____ x
m
=
____对称．
④最大值：曲线在x
m
=
处达到峰值
1
2
s
p .
⑤当x 无限增大时，曲线无限接近x 轴．
⑥当s 一定时，曲线的位置由m 确定，曲线随着m 的变化而沿x 轴平移，如图①.
⑦当m 一定时，曲线的形状由s 确定，s 较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X 的分布比较集中；s 较大时，
曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图②.
（5）正态分布的几何意义：若
2
,
X
N m s
～
，如图所示，X 取值不超过x 的概率
(
)
P X
x
£
为图中区域A 的
面积，而
(
)
P a
X
b
£
£
为区域B 的面积．
（6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
0.6827;
2
2
0.9545;
P
X
P
X
m
s
m
s
m
s
m
s
-
£
£
+
-
£
£
+
（
）
（
）
3
3
0.9973
P u
X
s
m
s
-
£
£
+
（
）
.
考点12 简单随机抽样与分层抽样
把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为___互不交叉___的层，然后对各层进行简单随机抽样，
这种抽样方法称为分层抽样．
抽样方法的对比
抽样类别
特点
适用范围
共同点
简单随机抽样
从总体中随机抽取
总体中的个体差异不易
分层
分层抽样
将总体分层，对各层进
行简单随机抽样
总体由差异明显的几个
互不交叉的部分组成
抽样过程中，每个个
体被抽到的可能性
相同
考点13 众数、中位数、平均数
数字特征
定义与求法
优点与缺点
众数
一组数据中出现次数
最多的数
众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其
他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特
征
中位数
把一组数据按大小顺
序排列，处在______中
间_______位置的一个
数据（或两个数据的平
均数）
中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数
几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它
对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n 个数
1
x ，
2x ，
3x ，…，
nx ，那么这n
个数的平均数x =
______
1
2
n
x
x
x
n
+
+
+
________
平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据
全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较
大，使平均数在估计总体时可靠性降低
（1）总体均值：一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为
1Y ，2
Y ，…，N
Y ，则Y = ______
1
2
N
Y
Y
Y
N
+
+
+
________ = ________
1
1
N
i
i
Y
N
=å
______，为总体均值，又称总体平均数．
（2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N 个变量值中．不同的值共有k 个（k
N
£
）个，不妨记为
1Y ，
2
Y ，…，
kY ，其中
iY 出现的频数为
1,2,
,
if
i
k
=
，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y = _____
1
1
k
i
i
i
f Y
N
=å
_________．
（3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为
1y ，
2y ，…，
ny ，则称
=
y
________
1
2
n
y
y
y
n
+
+
+
______ = _______
1
1
n
i
i
y
n
=å
_______为样本均值，又称样本平均数．
（4）在分层随机抽样中，如果层数分为2 层，第1 层和第2 层包含的个体数分别为M 和N，抽取的样本量
分别为m 和n，第1 层和第2 层样本的平均数分别为x 和y ，则样本的平均数w = ___
m
m
n
+
___ x ＋___
n
m
n
+
___ y ＝__
M
M
N
+
___ x ＋__
N
M
N
+
____ y ．
考点14 方差
（1）一组数据
1
x ，
2x ，
nx 的方差和标准差
若数据
1
x ，
2x ，
nx 的平均数为x ，方差为
2s ，则数据
1
mx
a
+
，
2
mx
a
+
，…，
n
mx
a
+
的平均数为mx
a
+
，
方差为
2
2
m s ．
数据
1
x ，
2x ，
nx 的方差为_____
2
1
1
n
i
i
x
x
n
=
-
å
_________=_______
2
2
1
1
n
i
i
x
x
n
=
-
å
_______，标准差为______
2
1
1
n
i
i
x
x
n
=
-
å
________．
（2）分层抽样中的全部样本方差
如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为
1n ，
2n ，样本均值分别为
1x ，
2x ，样本方差分别为
2
1s ，
2
2s ，则全部样本方差为
2s =___
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
n
s
x
x
n
s
x
x
n
n
é
ù
é
ù
+
-
+
+
-
ë
û
ë
û
+
_____．
（2）样本方差（方差）：若从总体中随机抽样，获得n 个观测数据
1
x ，
2x ，…，
nx ，用x 表示这n 个数据
的均值，则称
2s =____
2
2
2
1
2
1[
]
n
x
x
x
x
x
x
n
-
+
-
+
+
-
____＝___
2
1
1
n
i
i
x
x
n
=
-
å
_____为这n 个数据的样
本方差，也简称为方差．
（4）分层随机抽样的均值与方差
设样本中不同层的平均数分别为
1
2
,
,
,
n
x x
x
，方差分别为
2
2
2
1
2
,
,
,
n
s
s
s
，相应的权重分别为
1
2
,
,
,
n
w w
w
，则
这个样本的平均数为___
1
n
i
i
i
w x
=å
___.
这个样本的方差为
2s =__
2
2
1
n
i
i
i
i
w
s
x
x
=
é
ù
+
-
ê
ú
ë
û
å
____.
考点15 总体百分位数的估计
①第p 百分位数的定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有
%
p
的数据____小于或等于____这个值，且至少有___(100
)%
p
-
_____的数据大于或等于这个值.
②计算一组n 个数据的第p 百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2 步，计算
%
i
n
p
=
´
；
第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分
位数为第i 项与第(
1)
i +
项数据的__平均数______.
③四分位数：常用的分位数有第25 百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小
到大排列后的数据分成____四等份____，因此称为____四分位数____. 其中第25 百分位数也称为____第一
四分位数____或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或____上四分位数____等.
考点16 一元线性回归模型及其应用
（1）一元线性回归模型
在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测.
2
,
( )
0,
( )
.
Y
bx
a
e
E e
D e
s
=
+
+
ì
í
=
=
î
①我们称①式为Y 关于x 的_______一元线性回归模型______. 其中，Y 称为____因变
量_____或_____响应变量_____，x 称为___自变量______或___解释变量______；a 和b 为模型的未知参数，
a 称为____截距参数_____，b 称为___斜率参数______；e 是Y 与bx＋a 之间的____随机误差_____. 如果
_____e＝0____，那么Y 与x 之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
（2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心(
)
,x y ，是回归直线方程最常用
的一个特征.
我们将
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
称为Y 关于x 的____线性回归方程_____，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为
经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_____最小二乘法____，求得的ˆ ˆ
,b a叫做b，a 的___最小二
乘估计______，其中
1
1
1
1
2
2
2
ˆ
.
ˆ
ˆ
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
n
n
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
=
=
=
=
ì
å
-
-
å
-
×
ï =
=
ïí
å
-
å
-
ï
ï =
-
î
（3）回归分析
①残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为___观测值_____，通过经验回归方程得到的
^
y 称为预
测值，观测值减去预测称为____残差____.
②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的___带状区域_____中，说明选用的
模型比较合适，带状区域的宽度___越窄_____，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，
2
1
ˆ
n
i
i
i
y
y
=
-
å
称为残差平方和，残差平方和____越小____，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2 比较，
2
2
1
2
1
ˆ
(
)
1
(
)
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y
=
=
-
= -
-
å
å
，R2 越大，模型的拟合效果____越好____，R2 越小，模型的拟合效果____越差____.
考点17 列联表与独立性检验
(1)分类变量与列联表
①分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量
称为____分类变量____.
②2 2
´ 列联表:一般地,假设两个分类变量X 和Y ,它们的取值为
0,1 ,其样本频数列联表(也称为2 2
´ 列联表)
为
Y
X
Y
0
=
1
Y =
合计
X
0
=
a
b
_____ a
b
+
______
1
X =
c
d
_____ +
c
d ______
合计
___a
c
+ ____
_____b
d
+
______
n = _______
+
+ +
a
b
c
d _______
(2)等高堆积条形图
等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据
的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果.
(3)独立性检验
①
2
c 计算公式:
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
②临界值的定义:对于任何小概率值a ,可以找到相应的正实数xa ，使得
2
P
xa
c
a
³
=
成立,我们称xa 为a
的临界值,概率值a 越小,临界值xa ____越大____.
③独立性检验:
0 :
1
0
1
1
H
P Y
X
P Y
X
=
=
=
=
=
,通常称
0
H 为____零假设____或____原假设____.基于小
概率值a 的检验规则是:当
2
xa
c ³
时,我们就推断
0
H 不成立,即认为X 和Y 不独立,该推断犯错误的概率不超
过a ;当
2
xa
c <
时,我们没有充分证据推断
0
H 不成立,可以认为X 和Y 独立.这种利用
2
c 的取值推断分类变量
X 和Y 是否独立的方法称为___
2
c 独立性检验_____,读作“卡方独立性检验”,简称___独立性检验_____.
④临界值表
a
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
xa
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
