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定价批准文号：浙发改价格〔2019〕319号、
〔2020〕331号 举报电话：12345、12315
定价：10.71元
亲爱的同学：
欢迎你进入新的数学学习之旅，开始八年级下册的学习。
在本册中，我们首先学习二次根式和一元二次方程。二次根式的学
习可进一步丰富代数式的知识,也是接下来学习一元二次方程的需要。
一元二次方程是进一步学习方程与函数的必备基础，在刻画和解决实际
问题中有着广泛应用。在“数据分析初步”这一章中，我们将进一步学习
数据处理的思想和方法，并用来解决一些简单的实际问题。此外，平行四
边形和特殊平行四边形是我们在日常生活中经常遇到的图形，学习这些图
形的性质和判定方法也是解决实际问题的需要。
这册新的数学教科书，保持了前几册的体例、结构和理念。
“合作学
习”让你与同伴一起探索新的数学知识和数学方法；
“探究活动”使你亲身
经历知识的发生过程，体验“发现”的快乐；
“阅读材料”帮助你了解有趣的
数学史实，开阔你的数学视野；而“设计题”和“综合实践活动”，则为你提
高分析和解决问题的能力，并在数学中进行探索、实践和创新提供了
机会。
数学是自然科学的重要基础，是学习物理、化学、地理、生物、经济等
学科的必备知识；数学也能培养我们的思考能力,能使人思维缜密、思路
清晰，增强逻辑性和严谨性；数学更是认识世界、把握事物本质的学科，具
有简洁之美、朴素之真，具有无穷的魅力。
数学是抽象的，学好它需要有足够的勤奋和毅力；但数学并不神秘，
只要有浓厚的兴趣和正确的学习方法，每个人都可以学好数学。
这套教科书按照教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》
编写，七至九年级共六册。我们殷切希望它能成为你学习数学路上的好
朋友，帮助你掌握数学知识，提高数学能力，欣赏数学魅力，享受学习数学
的乐趣。祝你学习快乐，学业进步！
前 言
1.1 二次根式的意义
………………………………………6
1.2 二次根式的性质………………………………………8
1.3 二次根式的运算………………………………………14
阅读材料 海伦—秦九韶公式……………………………22
小结与反思…………………………………………………24
目标与评定…………………………………………………25
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程和它的解………………………………30
2.2 一元二次方程的解法…………………………………34
2.3 一元二次方程根与系数的关系………………………44
阅读材料 一元二次方程的发展小记……………………47
2.4 一元二次方程的应用…………………………………48
小结与反思…………………………………………………54
目标与评定…………………………………………………55
目 录
第1章 二次根式
数学 八年级下册
4.1 多边形………………………………………………102
4.2 平行四边形及其性质………………………………107
4.3 图形的旋转…………………………………………116
4.4 平行四边形的判定定理……………………………125
4.5 三角形的中位线……………………………………130
4.6 反证法………………………………………………132
阅读材料
格点多边形的面积计算………………………135
小结与反思…………………………………………………136
目标与评定…………………………………………………137
第3章 数据分析初步
3.1 平均数…………………………………………………60
3.2 中位数与众数…………………………………………69
3.3 离差平方和与方差……………………………………73
3.4 四分位数与箱线图……………………………………81
阅读材料 大数据与分布式计算…………………………91
综合实践活动 国内生产总值的调研……………………92
小结与反思…………………………………………………93
目标与评定…………………………………………………94
第4章 平行四边形
5.1 矩形…………………………………………………144
5.2 菱形…………………………………………………150
5.3 正方形………………………………………………156
综合实践活动 蜂巢中的数学奥秘………………………162
小结与反思…………………………………………………163
目标与评定…………………………………………………164
第5章 特殊平行四边形
如右图，架在消防车
上的云梯AB 长为15 m，
AD∶BD＝1∶0.6，云梯底
部离地面的距离BC 为
2 m。你能求出云梯的顶
端离地面的距离AE 吗？
一艘巡逻艇的航线如下图所示，从O
港出发，1 小时后回到O 港。若行驶中巡
逻艇的速度保持不变，则巡逻艇驶完AB
这段路程用了多少时间？
本章将在数的开方知识的基础上，学
习二次根式的概念、性质和运算，并运用
二次根式及其运算解决实际问题。
B
A
45°
O
45°
北
东
A
D
E
C
B
第1章
二次根式
数学 八年级下册
我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用
a（a≥0）
表示。
根据图1-1 所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成
以下填空：
直角三角形的斜边长是 。
正方形的边长是 。
等腰直角三角形的腰长是 。
你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
像
a2＋4，b－3，2S，5这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被
开方数大于或等于零。
▶例1 求下列二次根式中字母a的取值范围。
（1）
a＋1；
（2） ( a－3)2；
（3）
1
1－2a 。
A
B
C
D
1.1 二次根式的意义
二次根式的意义
球网的高AD 为2.43 米，AC=AB，CB 为a 米。
你能用代数式表示AC的长吗？
图1-1
正方形
（b－3） cm2
2 cm
a （cm）
直角三角形
S （cm2）
等腰直角三角形
6
第1章 二次根式
A组
解：（1） 由a＋1≥0，得a≥－1。
所以字母a的取值范围是大于或等于－1的实数。
（2） 因为无论a取何值，都有（a－3）
2≥0，所以a的取值范围是全体实数。
（3） 由
1
1－2a＞0，得1－2a＞0，即a＜1
2。
所以字母a的取值范围是小于1
2 的实数。
▶例2 当x＝－4时，求二次根式
1－2x 的值。
解：将x＝－4代入二次根式，得
1－2x＝
1－2 ×(－4 )＝
9＝3。
课内练习
KENEILIANXI
1. 求下列二次根式中字母x的取值范围。
（1） x－1；
（2）
4x2；
（3）
1
1＋3x ；
（4）
－5x。
2. 解答节前语中的问题。若a＝2，拉索AC长为多少米 （精确到0.01米）？
作业题
ZUOYETI
1. 求下列二次根式中字母a的取值范围。
（1）
a；
（2）
1－3a；
（3）
1
2a＋1 。
2. 当x＝－2时，求二次根式
2＋1
2 x 的值。
3. 当x分别取下列值时，求二次根式
4－2x 的值。
（1） x＝0；
（2） x＝1；
（3） x＝－1。
4. 一艘轮船先向东北方向航行2 小时，再向西北方向航行t 小时。船
的航速是每小时25千米。
（1） 用关于t 的代数式表示船离出发地的距离。
（2） 求当t＝3时，船离出发地的距离 （精确到0.01千米）。
7
数学 八年级下册
B组
5. 若二次根式
x2 的值为3，求x的值。
6. 物体从静止自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t
2来估计，其
中t （秒）表示物体下落所经过的时间。
（1） 把这个公式变形成用h表示t的公式。
（2） 一个物体从60米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒 （精确到
0.1秒）？
面积a
a
a
（
）
根据算术平方根的意义，完成以下填空：
(
)
2
2＝ ； (
)
7
2＝ ； (
)
1
2
2
＝ ； (
)
0
2＝ 。
一般地，二次根式有下面的性质：
a
2＝a （a≥0）。
）。
做一做
ZUOYIZUO
填空：
22＝ ，
|
|2 ＝ ；
( )
1
2
2
＝ ，
|
|
|||
|
|
||| 1
2 ＝ ；
(－5)2＝ ，
|
|－5 ＝ ；
02＝ ，
|
|0 ＝ 。
比较左右两边的式子，猜想
a2 与
|
| a 的关系。
1.2 二次根式的性质
二次根式的性质
1
利用左图，你能推测出
a 和a有什么关系吗？
8
第1章 二次根式
≥
一般地，二次根式有下面的性质：
a2＝
|
| a ＝
ì
í
î
ï
ïïï
a （a 0），
-a （a < 0）。
▶例1 计算：
（1） (－10)2－(
)
15
2；
（2） ［2－（－2）
2］×
2＋2
2
❶。
解：（1） （－10）
2－(
)
15
2＝|－10|－15＝10－15＝－5；
（2） ［2－（－2）
2］×
2＋2
2
＝(
)
2 －2 ×
2＋2
2＝(
)
2
2－2
2＋2
2＝2。
▶例2 计算：(
)
3
5 －2
3
2
＋
|
|
||| 4
5 －
|
|
|||
2
3 。
解：因为3
5－2
3＜0，4
5－2
3＞0，
所以原式＝－(
)
3
5 －2
3 ＋(
)
4
5 －2
3 ＝－3
5＋2
3＋4
5－2
3＝1
5。
课内练习
KENEILIANXI
1. 填空：
（1） (
)
3
2＝ ，( )
4
3
2
＝ ，
（－4）
2＝ ，(
)
－
3
2＝ 。
（2） 数a在数轴上的位置如图，则
a2＝ 。
❶ 数与二次根式相乘时，乘号可以省略。例如，2
2 表示2×
2。
［第1（2）题］
a
－1
0
1
9
数学 八年级下册
A组
B组
2. 计算：
（1） （－7）
2－(
)
7
2；
（2） (
)
－
11
2＋（－13）
2。
3. 如图，P (
)
5 ，2 是直角坐标系中一点，
求点P到原点O的距离。
作业题
ZUOYETI
1. 填空：
（1） (
)
6
2＝ ；
（2） (
)
－2
7
2
＝ 。
2. 已知a＝－2，化简
|
|
|
| a－
a2 的结果是 。
3. 计算：
（1） (
)
－
5
2－
16＋(－2)2；
（2） (
)
2
5
2
－
0.12－
1
4 ；
（3） (
)
a
2＋
a2
（a≥0）。
4. 计算：
（1） (
)
4
7 －1
2
2
＋(
)
4
7 －1
2
；
（2） (
)
3 －1 ×
3＋
3。
5. 计算：(
)
1－
2
2＋(
)
2 ＋1
2。
6. 如图，P是直角坐标系内一点。
（1） 用二次根式表示点P到原点O的距离。
（2） 若x＝
2，y＝
7，求点P 到原点O 的
距离。
（第6题）
P（x，y）
y
－2
－1
2
O
－2
－1
1
1
x
3
2
y
x
2
O
P (
)
5，2
（第3题）
5
10
第1章 二次根式
2
下面我们继续探索二次根式的性质。
填空：
4 × 9＝ ，
4×
9＝
；
4 × 5＝ ，
4×
5＝
；
9
16 ＝ ，
9
16
＝ ；
3
2 ＝ ，
3
2
＝ 。
比较左右两边的等式，你发现了什么？请再举几个例子试一试。你能
用字母表示发现的规律吗？
一般地，二次根式有下面的性质：
ab＝
a×
b （a≥0，b≥0）；
）；
a
b
＝
a
b
（a≥0，b＞0）。
）。
▶例3 化简：
（1）
25 × 81；
（2）
42 × 7；
（3）
5
9 ；
（4）
2
7 。
解：（1）
25 × 81＝
25×
81＝5×9＝45；
（2）
42 × 7＝
42×
7＝4
7；
（3）
5
9 ＝
5
9
＝
5
3 ；
（4）
2
7 ＝
2 × 7
7 × 7 ＝1
7
14。
11
数学 八年级下册
像
7，5，14，a，2S 这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的
因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式
❶。二次根式化简
的结果应为最简二次根式。
▶例4 化简：
（1） (－18)×(－24 )； （2）
50
49 ；
（3）
0.001 × 0.5。
解：（1） (－18)×(－24 )
＝
2 × 9 × 3 × 8＝
24 × 33＝
24×
33＝12
3；
（2）
50
49 ＝
50
49
＝5
7
2；
（3）
0.001 × 0.5＝
10-3 × 10-1 × 5＝(10-2 )2 × 5
＝(10-2 )2×
5＝10
－2×
5＝
5
100。
课内练习
KENEILIANXI
1. 化简：
（1）
25 × 4；
（2）
0.01 × 0.49；
（3）
32 × 52。
2. 化简：
（1）
9
25 ；
（2）
3
2 ；
（3）
5
8 。
3. 化简：
（1） 5
2
5 ；
（2）
3
5 －1
3 。
❶ 在本套教科书中，凡结果没有精确度要求的，结果可含二次根式，但应化为最简。
12
第1章 二次根式
探究活动
TANJIUHUODONG
化简下列两组式子：
2＋2
3 ＝ ， 2
2
3 ＝ ；
3＋3
8 ＝ ， 3
3
8 ＝ ；
4＋4
15 ＝ ， 4
4
15 ＝ ；
5＋5
24 ＝ ， 5
5
24 ＝ 。
（1） 你发现了什么规律？再写几个具有这种特征的式子，验证你发现的规律。
（2） 用字母表示这一规律，并给出证明。
（请与你的同伴交流）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 化简：
（1）
1 000；
（2）
72 × 24；
（3）
25 × 32。
2. 化简：
（1）
11
100 ；
（2）
7
8 ；
（3）
0.001。
3. 化简：
（1） 2
3
27
4 ；
（2）
32＋42
125 。
4. 已知等边三角形的边长为4 cm，求它的高线长。
5. 化简：
（1） 122 + 242；
（2） 8.1 × 104；
（3） (
)
8
13
2
－(
)
2
13
2
；
（4）
81
80 。
13
数学 八年级下册
C组
6. 如图，在直角坐标系中，点A（5，2），B（1，5），C（1，2）是△ABC 的三
个顶点，求AB的长。
7. 在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1。
（1） 在图中画出长度为
17 与
20 的线段，要求线段的端点在格
点上。
（2） 在图中画出一个三条边长分别为3，2
2，5 的三角形，使它的
顶点都在格点上。
（第7题）
（第6题）
y
B
C
A
O
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
根据二次根式的性质，我们可以得到：
a×
b＝
ab （a≥0，b≥0）；
a
b
＝
a
b
（a≥0，b＞0）。
上述法则可以用于二次根式的乘除运算。
1.3 二次根式的运算
二次根式的运算
1
如图，架在消防车上的云梯AB 长为
15 m，AD∶BD＝1∶0.6，云梯底部离地面的距
离BC为2 m。你能求出云梯的顶端离地面的
距离AE吗？
A
15
D
B
C
E
2
单位：m
14
第1章 二次根式
▶例1 计算：
（1）
3×
6； （2）
5
3 ×
27
10 ； （3）
3.6 × 109
1.5 × 108 。
解：（1）
3×
6＝
3 × 6＝
32 × 2＝3
2；
（2）
5
3 ×
27
10 ＝
5
3 × 27
10 ＝
9
2
＝
32 × 2
22
＝3
2
2；
（3）
3.6 × 109
1.5 × 108 ＝
3.6 × 109
1.5 × 108 ＝
24＝2
6。
二次根式运算的结果，应使所含的二次根式为最简二次根式，且分母中
不含二次根式。
▶例2 如图1-2，一个等边三角形图案的边长为2
2 分米，求这个图案
的面积。
解：如图1-2，作AD⊥BC于点D。
因为△ABC为等边三角形，
所以BD＝CD＝1
2BC＝1
2×2
2＝
2。
在Rt△ACD中，
AD＝
AC2－CD2＝(
)
2
2
2－(
)
2
2
＝
6。
所以S△ABC＝1
2×BC×AD＝1
2×2
2×
6＝2
3 （平方分米）。
答：这个图案的面积为2
3 平方分米。
课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
（1）
12×
3；
（2）
1 000×
0.1；
3
2
2 不能写成
11
2
2。
注意
D
C
B
A
图1-2
15
数学 八年级下册
A组
B组
（3）
3
2 ×
2
3 ；
（4）
24×
3。
2. 计算：
（1）
18
3
；
（2）
3 × 105
2.7 × 103 ；
（3）
1
5 。
3. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝Rt∠，
BC＝
2，AC＝
6。求斜边上的高线
CD的长。
作业题
ZUOYETI
1. 计算：
（1）
8×
18；
（2）
0.5×
2.5；
（3）
5
4 ×
2
5 ；
（4）
1.2 × 102×
3 × 105。
2. 计算：
（1）
50
10
；
（2）
32
2
；
（3）
2
2 ；
（4）
1.6 × 104
0.4 × 102 。
3. 计算：
（1）
130×
0.2；
（2）
49÷(
)
2
7 。
4. 已知等腰直角三角形的斜边长为
2，求它的面积。
5. 计算：2 (
)
2 －
3 。
6. 解方程：2
2x＝－
24。
（第3题）
A
D
B
C
16
第1章 二次根式
2
以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算。例
如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把含有相同被
开方数的二次根式的项进行合并。
▶例3 化简：12－
1
3 －
4
3 。
解：原式＝
22 × 3－
3
32 －
4 × 3
32
＝2
3－1
3
3－2
3
3
＝(
)
2－1
3 －2
3
3＝
3。
▶例4 计算：
（1）
6＋
8×
12； （2） 1
3 ＋5
3
； （3）
2
2 ＋1
。
解：（1） 原式＝
6＋
8 × 12＝
6＋
22 × 2 × 22 × 3
＝
6＋4
6＝5
6；
（2） 原式＝
1 × 3
3 × 3 ＋5 ×
3
3 ×
3
＝
3
3 ＋5
3
3
＝2
3；
（3） 原式＝
2 (
2 －1)
(
2 ＋1)(
2 －1)
＝2－
2
2－1 ＝2－
2。
▶例5 计算：
（1） (
)
2
2 －3
3 (
)
3
3 ＋2
2 ；
（2） (
)
2－
2 (
)
3＋2
2 。
解：（1） 原式＝(
)
2
2
2－(
)
3
3
2＝8－27＝－19；
（2） 原式＝6＋4
2－3
2－4＝2＋
2。
17
数学 八年级下册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 化简：2
3 －(
)
1
6
24 －3
2
12 。
2. 计算：
（1） 1
2
24－2
3×
2；
（2） 3 (
)
1－
15 －3
1
5 。
3. 计算：
（1） (
)
1＋
2 (
)
2－
2 ；
（2） (
)
3
5 －5
2
2。
4. 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2
2，AB＝3
2。求Rt△ABC的
周长和面积。
作业题
ZUOYETI
1. 计算：
（1）
125－
1
125 －
16
5 ；
（2） (
)
2
6
2－(
)
－3
2
2；
（3）
6
3 －2
；
（4）
2
3 ＋
2
3
。
2. 计算：
（1） (
)
1－
5 (
)
5 ＋1 ；
（2） (
)
2
3 ＋3
2
2；
（3） (
)
1－2
3 (
)
3 ＋2 。
3. 求当a＝
2 时，代数式（a－1）
2－(
)
a＋
2 （a－1）的值。
4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC＝2
5 ，
BC＝2
6 。求△ABC的面积。
5. 已知a＝3＋2，b＝3－2，求a
2－ab＋b
2
的值。
6. 不用计算器，比较
2
3 ＋
2
与
6－2.1的大小，并说明理由。
C
A
B
（第4题）
18
第1章 二次根式
图1-3
A
E
F
D
B
C
3
在日常生活和生产实践中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角
形边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算。
▶例6 如图1-3，扶梯AB 的坡比
❶为1∶0.8，滑梯CD 的坡比为1∶1.6，
AE＝1.5 m，BC＝1
2CD。一男孩从扶梯底部走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑
下，经过的总路程是多少米？
（要求先化简，再取近似值。结果精确到0.01 m）
分析：男孩从扶梯底部走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路
程是AB＋BC＋CD。根据坡比的定义和勾股定理可分别求得AB和CD的长。
解：在Rt△AEB中，AE＝1.5 m，BE＝1.5÷0.8＝15
8（m），
所以AB＝
AE 2＋BE 2＝(
)
1.5
2＋(
)
15
8
2
＝3
8
41（m）。
在Rt△CFD中，DF＝15
8 ×1.6＝3（m），
所以CD＝
CF2＋DF2＝(
)
15
8
2
＋32＝3
8
89（m）。
而BC＝1
2CD＝3
16
89m，
所以AB＋BC＋CD＝3
8
41＋3
16
89＋3
8
89
＝3
8
41＋9
16
89≈7.71（m）。
答：这名男孩经过的总路程约为7.71 m。
❶ 如图1-3，斜坡上A，B两点之间的高度差BE与水平距离AE的比叫作AB的坡比。
19
数学 八年级下册
▶例7 如图1-4 是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝40 cm。将
斜边上的高线CD四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条。
（1） 分别求出三张长方形纸条的长度。
（2） 若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图
1-5，正方形美术作品的面积为多少平方厘米？
分析：（1） 图1-4中，最上面的长方形纸条的长可以看作等腰直角三角
形ECF 的斜边，其长度是等腰直角三角形ECF 斜边上的高线的2 倍，即
1
4CD 的2 倍。用同样的方法可求得其余两张长方形纸条的长度。
（2） 在图
1-5中，正方形美术作品的边长是纸条总长的四分之一与纸条宽的差。
解：（1） 如图1-4，在Rt△ABC中，AC＝BC＝40（cm），
则AB＝
AC2＋BC2＝
402＋402＝40
2（cm）。
因为CD⊥AB，AD＝BD，
所以CD＝1
2AB＝20
2（cm），
1
4CD＝1
4×20
2＝5
2（cm）。
因为最上面长方形纸条的长是1
4CD的2倍，
可得其长度为2×1
4CD＝2×5
2＝10
2（cm）。
同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为：
2×1
2CD＝2×10
2＝20
2（cm），
2×3
4CD＝2×15
2＝30
2（cm）。
答：三张长方形纸条的长度分别为10
2 cm，20
2 cm，30
2 cm。
D
C
B
A
图1-4
E
F
图1-5
20
第1章 二次根式
A组
（2） 三张长方形纸条连接在一起的总长度为
10
2＋20
2＋30
2＝60
2（cm）。
因此，给这幅美术作品所镶的边框可以看作由四张宽为5
2 cm，长为
15
2 cm的彩色纸条围成（图1-5）。
则正方形的边长＝15
2－5
2＝10
2（cm），
所以正方形的面积＝(
)
10
2
2＝200（cm
2）。
答：这幅正方形美术作品的面积为200 cm
2。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，一道斜坡AB的坡比为1∶10，AC＝24 m。求斜坡AB的长。
2. 请解答本节节前语中的问题 （精确到0.01 m）。
作业题
ZUOYETI
1. 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，记AB＝c，BC＝a，AC＝b。
（1） 若a∶c＝1
2，求b∶c。
（2） 若a∶c＝
2∶3，c＝6
3，求b。
2. 求边长为2
5 的等边三角形的周长和面积。
3. 如图，大坝横截面ABCD 是梯形，迎水坡AD 的坡比为4∶3，背水坡
BC 的坡比为1∶2，大坝高DE＝50 m，坝顶宽CD＝30 m。求大坝横
截面的面积和周长（周长精确到0.01 m）。
（第1题）
C
A
B
（第3题）
A
B
C
D
E
21
数学 八年级下册
阅读材料
YUEDUCAILIAO
B组
C组
4. 如图，一艘巡逻艇从O 港出发，向东北方
向行驶到A 处，然后向西行驶到B 处，再
向东南方向行驶，共经过1 小时回到O
港。已知巡逻艇的速度是60 km/h，求
A，B之间的距离（精确到0.1 km）。
5. 从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样
剪？画图说明你的剪法。如果这张纸板的斜边长为30 cm，能剪出
最大正方形的面积是多少平方厘米？
海伦—秦九韶公式
我国南宋时期数学家秦九韶（1202～1261）著有《数书九章》十八卷，是
反映我国当时数学成就的代表作。书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求
积术”，是我国古代数学的辉煌成就之一。
“三斜求积”就是根据三角形的三边求面积的方法，
载于《数书九章》卷五第二题：
“问沙田一段，有三斜。其
小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三
百步，欲知为田几何？”这里所说的“三斜”，指三角形的
三边，大斜、中斜、小斜分别指三角形的长边、中边、短
边。
《数书九章》中所记的解法是：
“以小斜幂并大斜幂，
减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上。余四约之，为实。
一为从隅。开平方，得积。”
如果将三角形的三边分别记为a，b，c，则三角形的面积为
S＝
1
4
é
ë
ê
êêêê
ê
ù
û
ú
ú
ú
a2b2－(
)
a2＋b2－c2
2
2
。
（第4题）
45°
A
B
45°
O
北
东
22
第1章 二次根式
·
·
·
而在古希腊，已知三角形的三边a，b，c，有面积公式
S＝
p( p－a )( p－b )( p－c ),其中p＝a＋b＋c
2
。
这个公式记载于古希腊几何学家海伦（Heron，活跃于约公元1 世纪）
《度量论》一书中。我们发现，秦九韶的“三斜求积”公式和这个公式是等价
的，这个公式也称为海伦—秦九韶公式。
S＝
1
4
é
ë
ê
êêêê
ê
ù
û
ú
ú
ú
a2b2－(
)
a2＋b2－c2
2
2
＝
1
16 [
]
4a2b2－（a2＋b2－c2）
2
＝
1
16 [
]
（2ab＋a2＋b2－c2）
（2ab－a2－b2＋c2）
＝
1
16 [
]
（a＋b）
2－c2 [
]
c2－（a－b）
2
＝
1
16 （a＋b＋c）
（a＋b－c）
（a＋c－b）
（b＋c－a）
＝
a＋b＋c
2
a＋b－c
2
a＋c－b
2
b＋c－a
2
＝
p( p－a )( p－b )( p－c )，
其中p＝a＋b＋c
2
。
试一试：
若在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，求△ABC的面积。
23
数学 八年级下册
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习了二次根式的性质和运算。二次根式的本质是数的算术平方
根，二次根式的性质是二次根式运算的依据。二次根式的运算与整式的运算类似。
二次根式的加减类似于整式的加减，只要将所含的二次根式化为最简二次根式后，
合并被开方数相同的二次根式。二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的
乘法法则、乘法公式同样适用。二次根式的除法与分式类似，如果分子、分母中含有
相同的因式，可以直接约去。类比、转化是本章学习和问题解决的主要思想和
方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1. 二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章。结合本章内容，说说关于
数与式，主要学习了哪些内容？
2.什么是二次根式？二次根式
a 中字母a的取值范围有什么要求？
3.二次根式有哪些性质？二次根式的乘除运算法则和二次根式的性质之间有
怎样的联系？
4.整式运算的哪些方法也适用于二次根式的运算？
5. 在本章的学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的应用
二次根式的化简
二次根式
算术平方根
24
第1章 二次根式
目标与评定
目标 1.1节
A
目标 1.2节
B
★了解二次根式的概念。
1. 当a＝－2时，二次根式
2－a 的值是 。
2. 当x＝ 时，2x－6 的值最小。
3. 求下列二次根式中字母a的取值范围。
（1）
5a；
（2）
a＋3；
（3）
a2＋1；
（4）
－2
a 。
★了解二次根式的性质，了解最简二次根式的概念。
★会运用二次根式的性质将二次根式化简。
4. 填空：
（1） (
)
5
3
2
＝ ；
（2） （－13）2＝ ；
（3） (
)
2 －2
2＝ 。
5. 将
32 × 8 化简，正确的结果是（ ）。
（A） 3
8 （B） ±3
8 （C） 6
2 （D） ±6
2
6. 化简：
（1） （－11）2＋|－11|；
（2）
82＋25；
（3）
8
27 ；
（4）
3
3 ；
（5）
0.06 × 0.27；
（6）
1－1
4 。
25
数学 八年级下册
目标 1.3节
C
7. 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，BC＝a，AC＝b。
（1） 已知b＝a＝5，求c；
（2） 已知c＝10，b＝1，求a；
（3） 已知a＝5
13，b＝12
13，求c。
8. 在直角坐标系中，求下列各点到原点的距离。
（1） (
)
1，3
2
；
（2） (
)
－
2 ，6
。
★了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行
简单的四则运算。
9. 计算：
（1）
8×
18；
（2）
0.1×
0.4；
（3）
9
4 ÷
3
2 ；
（4）
24
3
。
10. 化简：
（1） 2
20－
5＋3
1
5 ；
（2） 3
3－(
)
12 ＋
1
3 。
11. 计算：
（1） (
)
18 －
3 ×
12；
（2） (
)
2
3 ＋3
5
2；
（3）
1
5 －
10
125
；
（4）
2
6 －
2
。
12. 当a＝1＋
2，b＝
3 时，求代数式a
2＋b
2－2a＋1的值。
13. 设实数
7 的整数部分为a，小数部分为b，求（2a＋b）
（2a－b）的值。
26
第1章 二次根式
目标 1.3节
D
★会运用二次根式的运算解决简单的实际问题。
14. 如图，台阶阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm。一只蚂蚁从A 点爬到
B 点，最短路程是多少？
15. 如图,长方形内两个相邻正方形的面积分别为4 和2，求图
中阴影部分的面积。
16. 根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1 秒时，宇
宙飞船内的时间只经过
1－( )
v
c
2
秒
（c是光速，为3×10
5千
米/秒，v 是宇宙飞船的速度）。假定有一对兄弟，哥哥18 岁，弟弟15 岁。哥哥
乘宇宙飞船旅行，宇宙飞船的速度是光速的0.98 倍。问：弟弟20 岁时，刚从宇
宙旅行回来的哥哥是几岁？
17. 如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为
2∶1，DE⊥AC于点E，
BF⊥AC于点F，连结BE，DF。现计划在四边形DEBF区域内种植花草，求四
边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比。
（第14题）
B
20
A
单位：cm
40
40
20
20
A
D
C
B
F
E
（第17题）
（第15题）
27
根据2019～2022 年中国风电装机
容量统计图，你知道2020～2022 年我国
风电装机容量平均每年增长百分之几？
在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类
乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积
八百六十四步，只云阔不及长一十二步，
问：阔及长各几步？
上述两个问题涉及量的平均变化率
和图形的面积计算，都可以用一元二次方
程来解决。本章我们将学习一元二次方
程的概念、解法及其应用。
2019～2022年中国风电装机容量统计图
第2章
一元二次方程
数学 八年级下册
合作学习
HEZUOXUEXI
列出下列问题中关于未知数x 的方程：
（1） 某小区规划在两幢楼之间设置一块面积为1 200 平方米的长方形
绿地，并且长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？
设长方形绿地的宽为x米，可列出方程： 。
（2） 某放射性物质经2天后，该物质的质量衰变为原来的1
2。这种放射
性物质平均每天减少率为多少？
设平均每天减少率为x，可列出方程： 。
观察上面所列的两个方程，它们有什么共同特征？与一元一次方程比
较，有什么相同和不同之处？
（请与你的同伴交流）
方程x
2＋10x＝1 200 和（1－x）
2＝1
2 的两边都是整式，只含有一个未
知数，并且未知数的最高次数是2 次。我们把这样的方程叫作一元二次方
程（quadratic equation in one unknown）。能使一元二次方程两边相等的未知
数的值叫作一元二次方程的解（或根）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 判断下列方程是否为一元二次方程。
（1） 10x
2＝9；
（2） 2（x－1）＝3x；
（3） 2x
2－3x－1＝0；
（4） 1
x2－2
x －1＝0。
2. 判断未知数的值x＝－1，x＝0，x＝2是不是方程x
2－2＝x的根。
2.1 一元二次方程和它的解
一元二次方程和它的解
将一个容积为750 cm
3的包装盒剪开、铺
平，纸样如图所示。图中x（cm）应满足怎样的
方程？
30
x
x
15
单位：cm
30
第2章 一元二次方程
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可
以化为ax
2＋bx＋c＝0 的形式。我们把ax
2＋bx＋c
＝0
（a，b，c 为已知数，a≠0）称为一元二次方程的一
般形式，其中ax
2，bx，c分别称为二次项、一次项和常
数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
▶例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项。
（1） 9x
2＝5－4x；
（2） （2－x）
（3x＋4）＝3。
解：（1） 移项，整理，得9x
2＋4x－5＝0。
这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是－5。
（2） 方程左边多项式相乘，得－3x
2＋2x＋8＝3，
移项，整理，得－3x
2＋2x＋5＝0。
这个方程的二次项系数是－3，一次项系数是2，常数项是5。
▶例2 已知一元二次方程2x
2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝5
2 和x2＝－3，
求这个方程。
解：将x1＝5
2，x2＝－3代入方程2x
2＋bx＋c＝0，得
ì
í
î
ïïï
ïïï
2 ×( )
5
2
2
＋5
2 b＋c＝0，
2 ×（－3）
2＋（－3）b＋c＝0，
解得{
b＝1，
c＝－15。
所以这个一元二次方程是2x
2＋x－15＝0。
一元二次方程的一般形式中，通常将项按未知数的次数从高到低排列，
即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。
为什么要限制
a≠0？b，c 可以为零
吗？
31
数学 八年级下册
方程
2x2－x＝4
2y－4y2＝0
（2x）
2＝（x＋1）
2
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）。
（A） x
2＋3x＝2
x
（B） 2（x－1）＋x＝2
（C） x
2＝2＋3x
（D） x
2－x
3＋4＝0
2. 填表：
3. 已知关于x的一元二次方程x
2＋ax＋a＝0的一个根是3，求a的值。
作业题
ZUOYETI
1. 在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）。
（A） 1
5x
2－
2
2 ＝x
（B） 7x
2＝0
（C） 0.3x
2＋0.2x＝4
（D） x（1－2x
2）＝2x
2
2. 把一元二次方程(
)
x－
5 (
)
x＋
5 ＋（2x－1）
2=0 化成一般形式，
正确的是（ ）。
（A） 5x
2－4x－4＝0
（B） x
2－5＝0
（C） 5x
2－2x＋1＝0
（D） 5x
2－4x＋6＝0
32
第2章 一元二次方程
方程
x2－4x－3＝0
2x2＝0
1
2x
2＝
9
（2y－3）
2＝y（y＋2）
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
B组
3. 填表：
4. 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根。
（1） x
2－3x＋2＝0 （x1＝1，x2＝2，x3＝3）；
（2） 2y
2－5y＋2＝0 (
)
y1＝1
2 ，y2＝1，y3＝2 ；
（3） 1
2（3x－1）
2－8＝0 (
)
x1＝－1，x2＝1，x3＝5
3 ；
（4）
（2x－3）
2＝（x＋1）
2 (
)
x1＝2
3 ，x2＝0，x3＝1 。
5. 将一个容积为750 cm
3的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。写出关
于x 的方程。该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二
次方程的一般形式。
6. 写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，其中一个根为－2，另
一个根为3。
（第5题）
15
30
x
x
单位：cm
33
数学 八年级下册
我们知道，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”转化为一元一次
方程求解。一元二次方程可转化为一元一次方程求解吗？其基本思路是什么？
合作学习
HEZUOXUEXI
1.若A×B＝0，下面两个结论正确吗？
（1） A和B都为0，即A＝0，且B＝0。
（2） A和B中至少有一个为0，即A＝0，或B＝0。
2.你能用上面的结论解方程（2x＋3）
（2x－3）＝0吗？试一试。
（请与你的同伴交流）
▶例1 解下列方程：
（1） x
2－3x＝0；
（2） 25x
2＝16。
解：（1） 将原方程的左边分解因式，得x（x－3）＝0，
则x＝0，或x－3＝0，
解得x1＝0，x2＝3。
（2） 移项，得25x
2－16＝0。
将方程的左边分解因式，得（5x－4）
（5x＋4）＝0，
则5x－4＝0，或5x＋4＝0，
解得x1＝4
5，x2＝－4
5。
像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。通过因
式分解，把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2.2 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
1
如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子
靠在墙上。已知AB＝5 米，墙高AC 是梯子底
端点B离墙的距离BC的2倍，求墙高AC。
A
B
C
34
第2章 一元二次方程
▶例2 解下列一元二次方程：
（1） （x－5）
（3x－2）＝10；
（2） （3x－4）
2＝（4x－3）
2。
解：（1） 化简方程，得3x
2－17x＝0。
将方程的左边分解因式，得x（3x－17）＝0，
则x＝0，或3x－17＝0，
解得x1＝0，x2＝17
3 。
（2） 移项，得（3x－4）
2－（4x－3）
2＝0。
将方程的左边分解因式，得
［（3x－4）＋（4x－3）］［（3x－4）－（4x－3）］＝0，
即（7x－7）
（－x－1）＝0。
则7x－7＝0，或－x－1＝0，
解得x1＝1，x2＝－1。
▶例3 解方程x
2＝2
2x－2。
解：移项，得x
2－2
2x＋2＝0，
即x
2－2
2x＋(
)
2
2
＝0。
则(
)
x－
2
2
＝0，
解得x1＝x2＝
2
❶。
课内练习
KENEILIANXI
用因式分解法解下列方程：
（1） 7x
2＝21x；
（2） x2
4 －9＝0；
（3） 27x
2－18x＝－3；
（4） （x＋2）
2＝2x＋4；
（5） 4（x－3）
2－x（x－3）＝0；
（6） （7x－1）
2＝4x
2。
❶ 表示一元二次方程有两个相等的实数根。
35
数学 八年级下册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 填空：
（1） 方程x
2＋x＝0的根是 ；
（2） 方程x
2－25＝0的根是 。
2. 用因式分解法解下列方程：
（1） 3y
2－5y＝0；
（2） 4x
2＝12x；
（3） x
2＋9＝－6x；
（4） 9x
2＝（x－1）
2。
3. 用因式分解法解下列方程：
（1） （x－2）
（2x－3）＝6；
（2） x（x－4）＝－4。
4. 已知一个数的平方等于这个数本身，求这个数 （要求列出一元二次
方程求解）。
5. 用因式分解法解下列方程：
（1） （2x－1）
2＝－8x；
（2） （x－2）
2＝2x（x－2）；
（3） x
2－2
3x＝－3。
6. 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为零；②有一个根为－3。
2
一般地，对于形如x
2＝a （a≥0）的方程，根据平方根的定义，可得x1＝
a，x2＝－
a。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。
▶例4 用开平方法解下列方程：
（1） 3x
2－48＝0；
（2） （2x－3）
2＝7。
解：（1） 移项，得3x
2＝48。
方程的两边同除以3，得x
2＝16，
解得x1＝4，x2＝－4。
（2） 由原方程，得2x－3＝
7，或2x－3＝－
7，
解得x1＝3＋
7
2
，x2＝3－
7
2
。
36
第2章 一元二次方程
合作学习
HEZUOXUEXI
怎样解方程x
2－10x＝－16？能将方程x
2－10x＝－16转化成（x＋a）
2＝b
的形式吗？请与你的同伴一起讨论，尝试解这个方程。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即
将方程转化为（x＋a）
2＝b (b≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元
二次方程的方法叫作配方法。
▶例5 用配方法解下列一元二次方程：
（1） x
2＋6x＝1；
（2） x
2＋5x－6＝0。
解：（1） 方程的两边同加上9，得x
2＋6x＋9＝1＋9，即（x＋3）
2＝10。
则x＋3＝
10，或x＋3＝－
10，
解得x1＝－3＋
10，x2＝－3－
10。
（2） 移项，得x
2＋5x＝6。
方程的两边同加上( )
5
2
2
，得x
2＋5x＋( )
5
2
2
＝6＋( )
5
2
2
，
即(
)
x＋5
2
2
＝49
4 。
则x＋5
2＝7
2，或x＋5
2＝－7
2，
解得x1＝1，x2＝－6。
课内练习
KENEILIANXI
1. 填空：
（1） 方程x
2＝0.25的根是 ；
（2） 方程2x
2＝18的根是 。
2. 填空：
（1） x
2＋8x＋ ＝（x＋4）
2；
（2） x
2－3x＋ ＝(
)
x－3
2
2
；
（3） x
2－12x＋ ＝（x－ ）
2。
配方时，方程两
边同加上的数是如
何确定的？
37
数学 八年级下册
A组
B组
C组
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1） x
2－81＝0；
（2） 2x
2＝50；
（3） （x＋1）
2＝4。
4. 用配方法解下列方程：
（1） x
2＋12x＝－9；
（2） －x
2＋4x－3＝0。
作业题
ZUOYETI
1. 填空：
（1） x
2＋14x＋ ＝（x＋7）
2；
（2） x
2－9x＋ ＝（x－ ）
2。
2. 用开平方法解下列方程：
（1） x
2＝2.25；
（2） 4x
2＝3；
（3） 7x
2－56＝0；
（4） 2（x－7）
2＝14。
3. 用配方法解下列方程：
（1） x
2－6x＝－8；
（2） x
2－8x－4＝0；
（3） x
2＋3x＋2＝0；
（4） －x
2＋5x＋6＝0。
4. 用配方法解方程x
2＝4
3x－11。
5. 一个长方形牧场的面积为8 100 平方
米，长比宽多19 米。这个牧场的周长
是多少米？
6. 先用配方法解下列方程：
①x
2－2x－1＝0； ②x
2－2x＋1＝0； ③x
2－2x＋4＝0。
然后回答下列问题：
（1） 你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问
题的？
（2） 对于形如x
2＋px＋q＝0 这样的方程，在什么条件下才有实
数根？
38
第2章 一元二次方程
3
▶例6 用配方法解下列一元二次方程：
（1） 2x
2＋4x－3＝0；
（2） 3x
2－8x－3＝0。
分析：这两个方程的二次项系数都不是1，但只要在方程的两边同除以
二次项系数，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型。
解：（1） 方程的两边同除以2，得x
2＋2x－3
2＝0。
移项，得x
2＋2x＝3
2。
方程的两边同加上1，得x
2＋2x＋1＝3
2＋1，即（x＋1）
2＝5
2，
则x＋1＝1
2
10，或x＋1＝－1
2
10，
解得x1＝－1＋1
2
10，x2＝－1－1
2
10。
（2） 方程的两边同除以3，得x
2－8
3x－1＝0。
移项，得x
2－8
3x＝1。
方程的两边同加上( )
4
3
2
，得x
2－8
3x＋( )
4
3
2
＝1＋( )
4
3
2
，
即(
)
x - 4
3
2
＝25
9 ，则x－4
3＝5
3，或x－4
3＝－5
3，
解得x1＝3，x2＝－1
3。
▶例7 试说明代数式4x
2－6x＋3的值恒为正数。
解：4x
2－6x＋3＝4(
)
x2－3
2 x ＋3＝4 é
ë
êêê
ù
û
úúú
x2－3
2 x＋( )
3
4
2
＋3－4×( )
3
4
2
＝4(
)
x－3
4
2
＋3
4。
因为4(
)
x－3
4
2
≥0，所以4(
)
x－3
4
2
＋3
4＞0，
所以代数式4x2－6x＋3的值恒为正数。
39
数学 八年级下册
A组
B组
C组
课内练习
KENEILIANXI
1. 用配方法解下列方程：
（1） 2x
2＋6x＋3＝0；
（2） 2x
2－7x＋5＝0。
2. 用配方法解下列方程：
（1） n（n－1）
2
－3n＝1；
（2） 3
4x
2－1
2x－1
8＝0。
作业题
ZUOYETI
1. 用配方法解方程2x
2－x－1＝0时，配方结果正确的是（ ）。
（A） (
)
x－1
2
2
＝3
4
（B） (
)
x－1
4
2
＝3
4
（C） (
)
x－1
4
2
＝17
16
（D） (
)
x－1
4
2
＝9
16
2. 用配方法解下列方程：
（1） x
2＋14x＋2＝0；
（2） x
2＋4x－3＝0。
3. 用配方法解下列方程：
（1） 3z
2－4z－7＝0；
（2） 2－1
3x
2＝5
3x。
4. 用配方法解下列方程：
（1） 0.1x
2＋x＋0.5＝0；
（2）
2x
2－2x－
2＝0。
5. 试说明代数式－3x
2＋6x－5的值恒为负数。
6. 已知9x
2＋18（n－1）x＋18n 是一个关于x 的完全平方式，求常数n
的值。
4
下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程
ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0）。请完成下面的填空：
方程的两边同除以 ，得x
2＋b
ax＋c
a＝0。
40
第2章 一元二次方程
移项，得x
2＋b
ax＝ 。
方程的两边同加上 ，得x
2＋b
ax＋ ＝－c
a＋ ，
即（x＋ ）
2＝b2－4ac
4a2
。
当b2－4ac≥0时，
可得x＋b
2a＝
b2－4ac
2a
，或x＋b
2a＝－
b2－4ac
2a
（为什么？），
所以x1＝－b +
b2－4ac
2a
，x2＝－b－
b2－4ac
2a
。
我们也可以简单地表示为x＝－b ±
b2－4ac
2a
。
对于一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0），当b
2－4ac≥0 时，它的两个
根为x＝－b ±
b2－4ac
2a
。
这个公式叫作一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由
一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程
的方法叫作公式法。
▶例8 用公式法解下列一元二次方程：
（1） 2x
2－5x＋3＝0； （2） 4x
2＋1＝－4x； （3） 3
4x
2－2x－1
2＝0。
解：（1） 对于方程2x
2－5x＋3＝0，
a＝2，b＝－5，c＝3，b
2－4ac＝（－5）
2－4×2×3＝1，
则x＝－b ±
b2－4ac
2a
＝－（－5）±
1
2 × 2
＝5 ± 1
4
，
解得x1＝5＋1
4
＝3
2，x2＝5－1
4
＝1。
（2） 移项，得4x
2＋4x＋1＝0，
则a＝4，b＝4，c＝1，b
2－4ac＝4
2－4×4×1＝0，
x＝－b ±
b2－4ac
2a
＝－4 ±
0
2 × 4
＝－1
2，解得x1＝x2＝－1
2。
41
数学 八年级下册
（3） 方程的两边同乘4，得3x
2－8x－2＝0。
则a＝3，b＝－8，c＝－2，b
2－4ac＝（－8）
2－4×3×（－2）＝88，
x＝－b ±
b2－4ac
2a
＝8 ±
88
2 × 3
＝4 ±
22
3
，
解得x1＝4＋
22
3
，x2＝4－
22
3
。
▶例9 解方程： x (
)
1
2 x－1 ＝（x－2）
2。
解：去括号，得1
2x
2－x＝x
2－4x＋4，
化简，得1
2x
2－3x＋4＝0。
则a＝1
2，b＝－3，c＝4，
b
2－4ac＝（－3）
2－4×1
2×4＝1，
x＝3 ± 1
2 × 1
2
＝3±1，
解得x1＝4，x2＝2。
从一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式的推导过程中不难看
出，方程的根的情况由代数式b
2－4ac的值决定。因此b
2－4ac叫作一元二次
方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
b
2－4ac＞0⇔方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0）有两个不相等的实数根；
b
2－4ac＝0⇔方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0）有两个相等的实数根；
b
2－4ac＜0⇔方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0）没有实数根。
课内练习
KENEILIANXI
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况 （不要求解方程）：
（1） 2x
2－3x＋1＝0；
（2） 3x
2－9x＋27
4 ＝0；
（3） 2x
2＝
3x－1。
你能用因式分
解法解这个方程吗？
42
第2章 一元二次方程
A组
B组
2. 用公式法解下列方程：
（1） x
2＋3x－4＝0；
（2） 2x
2－13x＋15＝0；
（3） 1
2x
2－1
4x＝1。
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1） 16
25x
2＝1；
（2） 5x
2＝2x；
（3） 3x
2＋1＝4x；
（4） （x－2）
2＝9x
2。
作业题
ZUOYETI
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况 （不要求解方程）：
（1） －x
2－3x＋1＝0；
（2） 2x
2－7
2x＋1
4＝0；
（3） 4x
2＋5＝4
5x；
（4） 2
3x
2－3
2x＋7
6＝0。
2. 用公式法解下列方程：
（1） x
2－5x－6＝0；
（2） 4x
2＋9＝12x；
（3） 2x
2－
2x－1＝0；
（4） 2
3x
2－1
6x－1
2＝0。
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1） x（2x－7）＝2x；
（2） x（2x－7）＝－49
8 ；
（3） （2x－1）
2＝（3x＋1）
2；
（4）
（x＋1）
（x－1）＝2
2x。
4. 已知一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0的系数满足ac＜0，判别方程根的
情况，并说明理由。
5. 如图，某小区规划在一个长40 m，
宽26 m 的长方形场地ABCD 上修
建三条同样宽的通道，使其中两条
与AB 平行，另一条与AD 平行，其
余部分种花草。要使每一块种植区
域的面积都为144 m
2。问：通道的
宽应设计成多少米？
C
B
D
A
（第5题）
43
数学 八年级下册
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的求根公式x＝-b ±
b2 - 4ac
2a
（b2 - 4ac≥0）揭示了方程的根与方程的系数a，b，c之间的联系。除此之外，
一元二次方程的根与系数之间还有怎样的关系？
合作学习
HEZUOXUEXI
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
（1） x
2－12x＋11＝0；
（2） 2x
2－13x＝0；
（3） 4x
2＋20x＋25＝0。
你发现了什么？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
（请与你的同伴交流）
一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根，那么
x1＋x2＝－
＝－b
a， x1·x2＝c
a。
下面我们来证明这一结论。
设一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0 （a≠0，b
2－4ac≥0）的两个根为x1，x2，则
x1＝－b＋
b2－4ac
2a
，x2＝－b－
b2－4ac
2a
。
所以x1＋x2＝－b＋
b2－4ac
2a
＋－b－
b2－4ac
2a
＝－b＋
b2－4ac －b－
b2－4ac
2a
＝－b
a，
2.3 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家韦达
（Vieta，1540～1603）发现的，人们称之为韦达定理。
44
第2章 一元二次方程
·
·
x1·x2＝－b＋
b2－4ac
2a
－b－
b2－4ac
2a
＝
(
)
－b
2－(
)
b2－4ac
2
4a2
＝4ac
4a2 ＝c
a。
▶例1 设x1，x2是一元二次方程5x
2－7x－3＝0 的两个根，求x2
1＋x2
2 和
1
x1＋1
x2 的值。
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝7
5，x1·x2＝－3
5。
所以x2
1＋x2
2＝（x1＋x2）
2－2x1·x2＝( )
7
5
2
－2·(
)
－3
5 ＝79
25；
1
x1＋1
x2＝x1 + x2
x1 x2 ＝7
5÷(
)
－3
5 ＝7
5·(
)
－5
3 ＝－7
3。
在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不
必先求出方程的根，给计算带来方便。
▶例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是
1
3，1。写出这个方程。
解：设这个方程为3x
2＋bx＋c＝0，它的两个根为x1，x2，则
x1＋x2＝1
3＋1＝4
3，x1·x2＝1
3×1＝1
3。
由一元二次方程根与系数的关系，得－b
3＝4
3，c
3＝1
3，
解得b＝－4，c＝1。
所以这个一元二次方程是3x
2－4x＋1＝0。
课内练习
KENEILIANXI
1. 设x1，x2分别是一元二次方程的两个根，填空：
（1） x
2＋3x＋1＝0。
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。
45
数学 八年级下册
A组
B组
C组
（2） 2x
2－3x－5＝0。
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。
（3） x
2＋px＋q＝0。
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。
2. 设x1，x2 是一元二次方程3x
2＋2x－1＝0 的两个根，求x 2
1x2＋x1x
2
2
的值。
作业题
ZUOYETI
1. 设x1，x2分别是一元二次方程的两个根，填空：
（1） 7x
2＋2x－1＝0。
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。
（2） 4x
2＝11x－2。
x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 。
2. 设x1，x2是一元二次方程2x
2＋6x－3＝0的两个根。求：
（1） （x1－x2）
2；
（2） x2
x1＋x1
x2。
3. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程x
2－12x＋9＝0 的两个根，
求这个长方形的周长和面积。
4. 已知： x1，x2是方程ax
2＋bx＋c＝0 （a＞0，b
2－4ac≥0）的两个根。求
证： | x1－x2 |＝
b2－4ac
a
。
5. 已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是6，它的一个根
是2。写出这个方程。
6. 已知： x1，x2是一元二次方程ax
2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根。
求证： ax
2＋bx＋c＝a（x－x1）
（x－x2）。
46
第2章 一元二次方程
阅读材料
YUEDUCAILIAO
一元二次方程的发展小记
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月。早在公元前2000年左
右，居住在底格里斯河和幼发拉底河流域（今伊拉克一带）的古巴比伦人已
经能够解一些特殊的一元二次方程。古希腊数学家丢番图在《算术》中就已
提出一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，
只能用图解等方法求解。
在欧几里得的《原本》中，形如x
2＋ax＝b
2的方程的图解法是：
如图2-1，以a
2 和b 为两直角边作Rt△ABC，再
在斜边上截取BD＝a
2，则AD 的长就是所求方程的
解。显然，用这个方法只能求出其中的正根。
阿拉伯人在一元二次方程的发展历程中作出
了突出贡献。被誉为“代数之父”的阿尔·花拉子米（al-Khowrizmī，约780～
约850）独立发展了一套公式用以求方程的正数解，首先提出了方程的一般
性解法。
我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一。在《九章算术》
“勾
股”章里就有涉及求方程x
2＋34x－71 000＝0的正根的问题。三国时期的赵
爽巧妙应用出入相补原理，从几何图形的直观出发，在《勾股圆方图注》中对
形如－x2＋bx＝c （b＞0，c＞0）的方程用“开带从平方法”给出求解的步骤，
其结果相当于求根公式x＝b－
b2－4c
2
。唐朝天文学家张遂（又名一行，
683～727）在他的著作《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程x
2＋
px＋q＝0 （p＞0，q＜0）的求根公式：x＝1
2 (
)
p2－4q －p 。南宋数学家杨辉
在《田亩比类乘除捷法》一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法，里面
包含配方法。
你能验证图2-1中AD的长就是方程x
2＋ax＝b
2的一个根吗？张遂的求
根公式完整吗？请用配方法推导出x
2＋px＋q＝0 （p
2－4q≥0）的求根公式，
并与之作一比较。
D
B
C
b
A
图2-1
a
2
47
数学 八年级下册
一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用。
▶例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每
盆株数存在一定的关系。每盆植入4 株时，平均单株盈利3 元；以同样的栽
培条件，每盆每增加1 株，平均单株盈利就减少0.2 元。要使每盆的盈利为
18元，则每盆应植花苗多少株？
分析：本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数、平均单株盈利、每盆花
苗的盈利。主要数量关系有：
平均单株盈利×株数＝每盆花苗盈利；
平均单株盈利＝3－0.2×每盆增加的株数。
解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（4＋x）株，平均单株盈利为
（3－0.2x）元。由题意，得
（x＋4）
（3－0.2x）＝18。
化简、整理，得x
2－11x＋30＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝6。
经检验，x1＝5，x2＝6都是方程的解，且符合题意。
所以每盆花苗数为5＋4＝9（株）或6＋4＝10（株）。
答：要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入花苗9株或10株。
想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤，与列一元一次方程解应
用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起
注意？
2.4 一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
1
距台风中心200 km 的区域（包括
边界）为受台风影响区。如图，BC＝
500 km，BA＝300 km。如果轮船不改变
航速和航向，会进入台风影响区吗？
48
第2章 一元二次方程
▶例2 根据图2-2 的统计图，求从2020 年到2022 年，我国风电装机容
量的平均年增长率
（精确到0.1％）。
解：设从2020 年到2022 年我国风电装机容量的平均年增长率为x，由
题意，可以列出方程2.8
（1 + x）
2＝3.7。解这个方程，得
x1＝－1＋
3.7
2.8
≈15.0％，
x2＝－1－
3.7
2.8
（不合题意，舍去）。
答：从2020 年到2022 年，我国风电装机容量的平均年增长率约为
15.0％。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知两个连续正奇数的积是195，利用一元二次方程求这两个数。
2. 学校“明眸皓齿”工程实施以来，某校近视学生人数逐年减少。据统
计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75％，那么这两年
平均每年近视学生人数降低的百分率是多少 （精确到1％）？
2019～2022年我国风电装机容量统计图
图2-2
49
数学 八年级下册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100 箱，每箱利润12 元。为
了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，每箱每降价
1元，平均每天可多售出20箱。若要使每天销售饮料获利1 400元，
则每箱应降价多少元？
2. 某市加大对绿化的投资力度，投资额逐年增加。据统计，2025 年
投资的金额是2023 年的1.75 倍，那么这两年的投资额平均每年
增加百分之几？
3. 对于竖直上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：
h＝v0t－1
2gt
2 （h 是物体与起点的高度差，v0是初速度，g 是重力系
数，取10 m/s
2，t 是抛出后经过的时间）。杂技演员抛球表演时，以
10 m/s 的初速度把球竖直向上抛出，几秒时球与起点的高度差达
到1.8 m？
4. 某科研公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200 万元用于生
产这种产品。约定两年到期时一次性还清本金和利息，其中利息为
本金的8％。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到
期时，除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元。若该公司在生
产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
2
▶例3 如图2-3，有一张长40 cm，宽25 cm 的长方形硬纸片，裁去角上
四个小正方形之后，折成如图2-4的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450 cm
2，
则纸盒的高是多少厘米？
40
25
单位：cm
图2-3
x
图2-4
50
第2章 一元二次方程
分析：设纸盒的高为x（cm），那么裁去的四个小正方形的边长也为
x（cm），这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽。根据
纸盒的底面积是450 cm
2，就可以列出方程。
解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40－
2x）cm，
（25－2x）cm。
由题意，得（40－2x）
（25－2x）＝450。
化简、整理，得2x
2－65x＋275＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝27.5
（不合题意，舍去）。
答：纸盒的高为5 cm。
合作学习
HEZUOXUEXI
一轮船（C）以30 km/h 的速度由西向东航行
（图2-5），在途中接到台风预警，台风中心（B）正
以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中
心200 km 的区域（包括边界）都属于受台风影响
区。当轮船接到台风预警时，测得BC＝500 km，
BA＝300 km。
（1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入
台风影响区？你采用什么方法来判断？
（2） 如果你认为轮船会进入台风影响区，那
么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？
建议：
①假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置；
②运用数形结合的方法寻找相等关系，并列出方程；
③通过相互交流，检查列方程、计算等过程是否正确；
④讨论：如果把航速改为10 km/h，结果将怎样？
（请与你的同伴交流）
东
C
C1
A
200
km
B1
B
500
km
北
图2-5
51
数学 八年级下册
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知一长方形公园的面积为4 800 m
2，周长为280 m。求这个公园
的长与宽。
2. 如图，一根竹竿AB斜靠在墙上，AB=6.5 m，
BC=2.5 m。若A 端沿垂直于地面的方向
AC 下移1 m，则B 端将沿CB 方向移动多少
米（精确到0.01 m）？
作业题
ZUOYETI
1. 如图，在一个长方形客厅ABCD 的一角铺上一块正方形地毯作为
会客区。已知长方形客厅的面积为35 m
2，问：应选边长为多少米
的地毯？
2. 如图，一块长方形绿地长100 m，宽50 m。在绿地中开辟两条道路
后，绿地面积缩小到原来的88.32%，求x。
（第1题）
B
4
m
2
m
A
C
D
A
C
B
（第2题）
（第2题）
x
x
52
第2章 一元二次方程
B组
C组
3. 取一张长与宽之比为5∶2的长方形纸板，剪去四个边长为5 cm的小
正方形（如图），然后用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使
包装盒的容积为200 cm
3 （纸板的厚度略去不计），这张长方形纸板
的长与宽分别为多少厘米？
4. 某水库计划修建一条横截面为梯形的输水渠道。已知横截面面积
为4.05 m
2，上口宽比渠底宽大1.4 m，渠深比渠底宽小0.5 m。求渠
道的上口宽和渠深。
5. 如图，在△ABC 中，∠B＝90°。点P 从点A
开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，
与此同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点
C 以2 cm/s 的速度移动。如果P，Q 分别
从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积
等于8 cm
2 ？
6. 从一块腰长为20 cm 的等腰直角三角形白铁皮零料上裁出一块长
方形白铁皮，要求长方形的四个顶点都在三角形的边上，裁出的长
方形白铁皮的面积为75 cm
2，应怎样裁？
5
（第3题）
单位：cm
B
Q
A
P
C
8
6
（第5题）
单位：cm
53
数学 八年级下册
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习一元二次方程的解法与应用。解一元二次方程的基本思路是
“降次”，通过“降次”将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。一元二次方
程的根由方程的系数决定。其求根公式不仅给出了求一元二次方程根的一般方
法，还揭示了根与系数的联系。根的判别式可以分析方程是否有实数根及两个实
数根是否相等，当方程有实数根时，还能推导出两根和、两根积与方程系数的关系。
一元二次方程也是刻画现实世界数量关系的数学模型。归纳、类比、转化、建模是
本章学习和问题解决的主要思想和方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程有哪些联系与区别？
2. 一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说
“降次”在解一元二次方程中的作用吗？
3.一元二次方程的根有几种情况？怎样判断一元二次方程根的情况？一元二
次方程根与系数有怎样的关系？
4.用一元二次方程解决实际问题有哪些基本步骤？
5. 在本章学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注意
的问题？
根的判别式
根与系数的关系
配方法
公式法
因式分解法
开平方法
一
元
二
次
方
程
概念
一般形式ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
解法
应用
实际问题
54
第2章 一元二次方程
目标与评定
目标 2.2节
B
★能根据现实情境理解一元二次方程及其解的意义。
★了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次
项系数和常数项。
1. 有一根长为16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 m
2的长方形？若能，设
所围成长方形的长为x（m），你能列出关于x的方程吗？
2. 下列方程中，属于一元二次方程的是 （填序号）。
① 2x
2－3y－5＝0； ② 2
3x
2－5＝0； ③ x
2＝2x；
④ 1
x＋4＝x
2； ⑤ y
2－
2y－3＝0。
3. 方程（x－1）
2＋5＝（3x＋2）
（2x－3）化为一般形式是 ，
其中二次项是 ，二次项系数是 ；一次项是 ，一次
项系数是 ；常数项是 。
4. 已知一元二次方程2x
2－mx－m＝0 的一个根是－1
2，求m 的值和方程的另一
个根。
★理解配方法，能用因式分解法、配方法、公式法解数字系数的一元二次方程。
5. 方程（x＋2）
2－9＝0的根是
。
6. 方程3x
2＝16x的根是
。
7. 方程2
7x
2＝14的根是
。
8. 用配方法解下列方程：
（1） x
2＋4x＋3＝0；
（2） 2x
2＋7x－4＝0。
9. 选择适当的方法解下列方程：
（1） 2（x－2）
2＝18；
（2） 2x（x－3）＋x＝3；
（3） x
2－2x－15＝0；
（4） 4（x－1）
2＝9（x－5）
2；
目标 2.1节
A
55
数学 八年级下册
目标 2.2节 2.3节
C
目标 2.4节
D
（5） x
2－2
7x＋7＝0；
（6） 2x
2－4x－7＝0；
（7） x
2－7x＋2＝0；
（8） 3
2x
2－x－2＝0。
10. 解方程：
（x－3）
2＝（2x－1）
（x＋3）。
★会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数根是否
相等。
★了解一元二次方程的根与系数的关系。
11. 利用一元二次方程的根的判别式判别下列方程根的情况：
（1） x
2＋9x＋20＝0；
（2） 5x
2－4x＋1＝0；
（3） 4x
2－4
3x＋3＝0。
12. 设x1，x2是方程2x
2－3x－5＝0的两个根，求(
)
1 + 1
x1
(
)
1 + 1
x2 的值。
13. 已知x1，x2是方程3x
2－7
3x＋1＝0的两个根，求x3
1 x2＋x1 x3
2的值。
14. 写出二次项系数为5，以x1＝－3，x2＝1
5 为两根的一元二次方程。
15. 求一个一元二次方程，使它的两根分别为2＋
3，2－
3。
16. 已知方程3x
2＋kx－2＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值。
★能针对具体问题列出一元二次方程。
★能根据具体问题的实际意义，检验一元二次方程解的合理性。
★会应用一元二次方程解决简单的实际问题，体会方程在现实生活中的具体
应用。
17. 有一张长方形桌子的桌面长100 cm，宽60 cm。有
一块长方形台布的面积是桌面面积的2 倍，并且铺
在桌面上时，各边垂下的长度相等（如图）。求台布的
长和宽（精确到1 cm）。
（第17题）
56
第2章 一元二次方程
18. 袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩
❶产量
800 千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1 000 千克的目标。如果第三、四期
亩产量的增长率相同，那么每期亩产量的平均增长率是多少（精确到1％）？
19. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积
八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方
形田地的面积为864 平方步，宽比长小12 步，问：这块长方形田地的长宽各多
少步？
20. 把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）
适用公式h＝20t－5t
2。
（1） 经多少秒后足球回到地面？
（2） 经多少秒时球的高度为15米？
21. 某租赁公司有汽车100辆。据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租
出。每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月
的维护费为150元，未租出的车每辆每月的维护费为50元。
（1） 当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？
（2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护
费）可达到306 600元？
22. 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每名选手与其他选手各比赛1局），参赛者少
于10人。关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种是比了28局；另一种
是比了24 局。如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有
一人中途退出比赛呢？请说明理由。
❶ 亩是地积单位，1亩合666.7平方米。
57
在许多大型的文艺比赛中，统计评委
的评分时，为什么要去掉一个最高分和一
个最低分？
三峡工程是具有水资源利用、发电、
航运等综合效益的特大水利枢纽工程。
如果我们获得大坝下闸蓄水前后8个地点
的水位海拔，可以用什么统计量来说明三
峡工程对长江水位变化的影响？通过计
算大坝下闸蓄水后水位海拔的方差，为长
江出现“高峡出平湖”景象作出解释。
本章将学习刻画数据特征的平均数、
中位数、众数、离差平方和与方差。在此
基础上，我们还将学习四分位数和箱线图
等。通过本章的学习，我们将对数据的作
用有更多的认识，能够对统计的结果作出
判断和预测。
第3章
数据分析初步
数学 八年级下册
我们知道，在现实生活和生产实际中存在大量的数据，其中蕴含着有价
值的信息，利用合适的统计图表和统计量可以呈现和刻画这些信息。本节
我们进一步学习平均数，以及用样本平均数估计总体平均数。
合作学习
HEZUOXUEXI
某果农种植的100棵苹果树即将收获。果品公司在付给果农定金前，需
要估计这些苹果树的总产量。
（1） 果农随机摘下20 个苹果，称得总质量为4 千克。平均每个苹果的
质量是多少？用什么统计量可以估计一个苹果的质量？
（2） 果农从100 棵苹果树中随机选出10 棵，数出每棵树上的苹果个数，
得到以下数据（单位：个）：
154，150，155，155，159，150，152，155，153，157。
你能估计出平均每棵树的苹果个数吗？
根据上述两个问题，你能估计出这100棵苹果树的总产量吗？
（请与你的同伴交流）
一般地，有n 个数x1，x2，…，xn，我们把1
n（x1＋x2＋…＋xn）叫作这n 个数
的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数（mean），记作x（读作“x拔”）。
在生活实际中，常用样本的平均数来估计总体的平均数。例如，在上面
的例子中，用20 个苹果的平均质量（0.2 千克）来估计100 棵苹果树上所有苹
果的平均质量，用10棵苹果树的平均结果个数（154个）来估计100棵苹果树
的平均结果个数。
3.1 平均数
平均数
水果收获前，果农需估计果园里果
树的产量。你认为可以怎样估计呢？
1
60
第3章 数据分析初步
做一做
ZUOYIZUO
某中学足球队20名队员的身高如下（单位：cm）：
170，167，171，168，160，172，168，162，172，169，
164，174，169，165，175，170，165，167，170，172。
计算这20名队员的平均身高。
▶例1 统计一名射击运动员在某次训练中15次射击的中靶环数，获得
如下数据（单位：环）：
6，7，8，7，7，8，10，9，8，8，9，9，8，10，9。
求这次训练中该运动员射击中靶环数的平均成绩。
解：中靶环数为6 环的频数为1，7 环的频数为3，8 环的频数为5，9 环的
频数为4，10环的频数为2。所以该运动员各次射击中靶环数的平均数为
-x＝6 × 1＋7 × 3＋8 × 5＋9 × 4＋10 × 2
1＋3＋5＋4＋2
＝123
15 ＝8.2（环）。
答：这次训练中该运动员射击中靶环数的平均成绩为8.2环。
一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权（weight）。
例如，例1中数据“6”的权是1，
“7”的权是3，
“8”的权是5。一般地，对于一组
数据x1，x2，…，xn,对应的权分别为w1，w2，…，wn （wi＞0，i＝1，2，⋯，n)，则
称-x＝x1∙ w1＋x2∙ w2＋⋯＋xn∙ wn
w1＋w2＋⋯＋wn
为这组数据的加权平均数（weighted
mean）。在实际问题中，我们可以根据需要赋予数据不同的权重来计算加权
平均数。
“权”越大，该数据对平均数的影响就越大。
▶例2 某校在一次广播操比赛中，801 班，802 班，803 班的各项得分如
表3-1。
项目
801班
802班
803班
服装统一
80
98
90
队容整齐
84
78
82
动作准确
87
80
83
表3-1
61
数学 八年级下册
（1） 如果根据三项得分的平均数从高到低确定名次，那么三个班的排
名顺序怎样？
（2） 如果学校认为这三个项目的重要程度不同，因而给予“服装统一”
“队容整齐”
“动作准确”在总分中所占的权重比例分别为15％，35％，50％，
那么三个班的排名顺序又怎样？
解：（1） 这三个班三项得分的平均数分别为：
x1＝1
3（80＋84＋87）≈83.7（分）；
x2＝1
3（98＋78＋80）≈85.3（分）；
x3＝1
3（90＋82＋83）＝85（分）。
答：这三个班的排名顺序为802班，803班，801班。
（2） 15％，35％，50％反映了“服装统一”
“队容整齐”
“动作准确”三项成
绩的重要程度，可以看作三项成绩的权。因为15％＋35％＋50％＝1，所以
各个班三项得分的加权平均数分别为：
-x′1＝80×15％＋84×35％＋87×50％＝84.9（分）；
-x′2＝98×15％＋78×35％＋80×50％＝82（分）；
-x′3＝90×15％＋82×35％＋83×50％＝83.7（分）。
答：这三个班的排名顺序为801班，803班，802班。
课内练习
KENEILIANXI
1. 某公司6名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：
50，30，50，60，50，30。
这6 名员工的平均捐款额是多少？你
能否用两种不同的方法计算结果？
2. 某校学生的数学期末总评成绩由参与
数学活动情况、作业质量、期末考试成
绩三部分组成，各部分所占比例如图
所示。小明参与数学活动、作业和期
末考试得分依次为84 分、92 分、88 分，
则小明的数学期末总评成绩是多少？
参与
数学
活动
期末考试成绩
作业
25％
35％
40％
（第2题）
数学期末总评成绩各部分
所占比例的统计图
62
第3章 数据分析初步
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 载人航天是继“两弹一星”之后我国的又一重大工程，是国家核心竞
争力的重要体现。现测得部分神舟系列载人飞船的箭船分离时间
分别如下（单位：s）：
587，583，583，583，579，575，585，582。
这几代航天飞船的平均箭船分离时间为 s （精确到0.1 s）。
2. 5 个小组参加植树活动，平均每组
植树10株。已知第一、二、三、五组
分别植树9 株、12 株、9 株、8 株，那
么第四小组植树 株。
3. 某住宅小区6月1日～6月5日每天
用水量变化情况如图所示，那么这
5 天平均每天的用水量是
立方米。
4. 一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如下：
这次男子跳高项目的平均成绩是多少 （精确到0.01 m）？
5. 某地共有62 家供应快餐的饭店。环保部门为了了解这些饭店一天
共用了多少个一次性快餐饭盒，随机抽取其中8 家饭店，调查一天
使用一次性快餐饭盒的个数，获得以下数据（单位：个）：
125，115，140，270，110，120，100，140。
（1） 这8家饭店平均每家一天使用一次性快餐饭盒多少个？
（2） 估计这62家饭店一天共使用一次性快餐饭盒的个数。
6. 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价。由单价为每千克15 元
的甲种糖果30 千克，单价为每千克12 元的乙种糖果50 千克，单价
为每千克10 元的丙种糖果20 千克混合成什锦糖，这种什锦糖的单
价应定为每千克多少元？
某住宅小区6月1日～6月5日
用水量统计图
用水量/立方米
日期
1 2 3 4 5
（第3题）
36
34
32
30
28
0
成绩/m
人数
1.50
2
1.55
8
1.60
6
1.65
4
1.70
1
63
数学 八年级下册
7. 学校举办歌唱比赛，对音色、音准、舞台效果、情感四个方面评分的
权重分别设为35％，30％，20％，15％。801班，802班，803班各项得
分如下表，计算三个班的平均成绩。如果根据平均成绩从高到低确
定名次，写出三个班的排名顺序。
2
合作学习
HEZUOXUEXI
为了解初中生的数学学习情况，对甲、乙、丙三所学校八年级学生的数
学学习情况进行抽样调查，调查问卷内容分“问题解决能力”和“数学学习兴
趣”两部分。汇总三所学校上报的数据后，制作了如下的统计表（表3-2和表
3-3，表中有部分数据空缺）。
八年级学生“数学学习兴趣”测试统计表
表3-3
八年级学生“问题解决能力”测试统计表
表3-2
班级
801班
802班
803班
音色
95
90
94
音准
91
92
92
舞台效果
85
86
83
情感
86
92
88
学校
甲
乙
丙
样本全体
样本人数
150
120
90
360
平均得分
86
92
74
学校
甲
乙
丙
样本全体
样本人数
150
120
90
360
兴趣低
3.3％
1.7％
3.3％
兴趣较低
25.3％
30.8％
28.9％
兴趣较高
58.7％
49.2％
56.7％
兴趣高
12.7％
18.3％
11.1％
64
第3章 数据分析初步
尝试解决下面的问题：
（1） 抽取的所有学生中，
“问题解决能力”的平均得分是多少？能根据
三所样本学校上报的数据得到吗？如果能，请说明计算方法，并将算得的结
果填入表中。
（2） 抽取的所有学生中，能根据三所学校上报的数据求得“数学学习兴
趣”低、较低、较高、高的百分比吗？如果能，请说明计算方法，并将算得的结
果填入表中。
（请与你的同伴交流）
当样本容量较大时，我们可以把样本分成若干个子样本，分别统计出平
均数，然后运用计算加权平均数的方法，求出整个样本数据的平均数。将一
个大的计算任务分解成若干个小的计算任务分别计算，再将结果汇总处理
得到最终结果，这样的计算方式称为分布式计算（distributed computing）。分
布式计算在大数据处理中有广泛的应用。
做一做
ZUOYIZUO
1. 某教育咨询公司有两个网站，3 月份这两个网站的日均活跃人数分
别为a人和b人，日人均活跃时间分别为1.8小时和2小时。这两个
网站所有用户的日人均活跃时间为 小时。
2. 电视台开展最喜爱的节目评选活动，观众通过移动端和PC 端两个
途径参与投票，其中一个节目在移动端的得票率为85％，在PC 端
的得票率为90％。已知参与移动端和PC 端投票的观众分别为
15 000人和25 000人，那么该节目在本次评选活动中的总得票率是
多少？
▶例3 身体质量指数（BMI）
❶是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是
否健康的一个指标。中国人正常的BMI 范围是18.5~24，小于18.5 为体重
过低，大于等于24 且小于28 为超重，大于等于28 为肥胖。陈老师组织同学
开展本校八年级学生身体质量指数调研，分6 组进行抽样调查，各组获得
❶ 身体质量指数（Body Mass Index，简称BMI）的计算公式为：BMI＝体重
身高2(千克/米2)。
65
数学 八年级下册
BMI数据如下：
第一组：16.26，18.20，18.94，19.29，20.22，21.01，22.39，24.64。
第二组：17.28，19.45，19.84，20.26，21.36，22.89，24.66。
第三组：18.20，19.59，20.01，20.22，20.26，20.81，21.54，22.11，25.35。
第四组：18.82，19.12，20.28，21.03，21.41，21.49，21.55，21.70，23.59，
26.23。
第五组：18.70，19.79，20.79，21.52，22.05，22.67，23.11，23.24，23.84，
24.33。
第六组：18.96，19.60，20.42，21.58，23.63，24.29。
（1） 分别求各组BMI 数据的平均数，以及体重过低、体重正常、体重超
重和肥胖的人数所占的百分比。
（2） 利用（1）中获得的结果，计算所抽取样本的BMI 数据的平均数、不
同BMI范围的人数所占的百分比（精确到1％），并对该校八年级学生的胖瘦
情况作简要分析。
解：（1） 各组数据的平均数、不同BMI 范围的人数所占的百分比如表
3-4。
（2） 6个小组共50个数据，利用平均数的分布式计算，可得：
BMI的平均数为
-x＝20.12 ×8＋20.82×7＋20.90 ×9＋21.52×10＋22.00×10＋21.41×6
50
≈21.17。
表3-4
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
数据个数
8
7
9
10
10
6
BMI平均数
20.12
20.82
20.90
21.52
22.00
21.41
不同BMI范围的人数所占的百分比
＜18.5
25％
14.3％
11.1％
0
0
0
18.5～24
62.5％
71.4％
77.8％
90％
90％
83.3％
24～28
12.5％
14.3％
11.1％
10％
10％
16.7％
≥28
0
0
0
0
0
0
（用“～”表示的范围中，含前一边界值，不含后一边界值。）
某校八年级学生身体质量指数情况统计表
66
第3章 数据分析初步
BMI小于18.5的百分比为 25％× 8＋14.3％× 7＋11.1％× 9
50
≈8％；
BMI在18.5～24的百分比为
62.5％×8＋71.4％×7＋77.8％×9＋90％×10＋90％×10＋83.3％×6
50
≈80％；
BMI在24～28的百分比为
12.5％×8＋14.3％×7＋11.1％×9＋10％×10＋10％×10＋16.7％×6
50
≈12％；
BMI大于等于28的百分比为0。
该校八年级学生BMI的平均数约为21.17，所以该校八年级学生的平均
BMI 在正常范围内，并且约有80％的学生体重正常，没有肥胖学生；但约有
8％的学生体重过低，约12％的学生超重。
课内练习
KENEILIANXI
1. 一连锁超市有甲、乙、丙三家分店，某天的销售记录显示，甲店m 名
顾客中，手机支付占88％；乙店n 名顾客中，手机支付占85％；丙店
p 名顾客中，手机支付占92％。该连锁超市这一天的顾客中，手机
支付的比例是 。
2. 在某次网上阅卷任务中，系统自动分发试卷给三名老师，并实时动
态显示各老师已阅试卷的份数和平均得分。某题满分10 分，在某
一时刻，三名老师已阅试
卷份数和该题的平均得
分如右表。在该时刻，已
阅试卷中这道题的平均得分为 。
作业题
ZUOYETI
1. 某中学调查了学生一周在校体育锻炼时间，三个年级的人数与人均
锻炼时间如右表。
求该校学生这一周
在校人均锻炼时间
的平均数。
阅卷人
阅卷份数
平均得分
王老师
350
8.15
张老师
380
8.12
何老师
320
7.98
A组
年级
学生人数
人均锻炼时间/时
七年级
380
11.9
八年级
405
12.1
九年级
410
10.8
67
数学 八年级下册
B组
2. 某中学举办传统文化知识竞赛，七、八两个年级的学生参加，平均成
绩分别为82分，77分。若七、八年级参加这次知识竞赛的学生人数
之比为3∶2，求所有参赛学生的平均成绩。
3. 某公司内设四个部门，2023 年各部门人数及相应的人均年利润如
下表所示，求该公司2023年人均年利润。
4. 网民对某热点事件持不同观点。A,B,C 三个网站进行意向调查，
分别有a，b，c人参与了投票，支持者所占百分比分别为62％，51％，
74％。这三个网站参与投票的所有网友中，支持者所占百分比为
。
5. 某学校有A，B，C 三个校区，某日中餐，三个校区的就餐人数、人均
消费情况统计如下：
求这天中餐三个校区所有就餐人员的人均消费金额。
6. 某电视台举办“观众喜爱的小品”评选活动。通过票选形式，A，B，
C三部小品在甲、乙、丙三地的得票情况如下表：
如果总得票率超过80％的为一等奖，那么这三部小品中，有获得一
等奖的吗？若有，是哪一部？
地区
甲地
乙地
丙地
投票人数
15 000
25 000
20 000
得票率
小品A
75％
80％
85％
小品B
85％
60％
75％
小品C
72％
85％
80％
部门
A
B
C
D
人数
4
6
8
11
人均年利润/万元
360
270
160
200
校区
就餐人数
人均消费金额/元
A
1 250
12.5
B
1 500
13.8
C
1 390
15.9
68
第3章 数据分析初步
平均数是描述数据集中趋势的统计量。描述数据集中趋势的常用统计
量还有中位数和众数。
将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数
值是中位数（median）。当数据个数为奇数时，中位数是位于最中间的一个
数据；当数据个数是偶数时，中位数是位于最中间两个数据的平均数。如节
前语中的这组数据，中位数是6＋6
2
＝6（岁）。
众数（mode）是一组数据中出现次数最多的数据。如节前语中的这组数
据，众数是6岁。
做一做
ZUOYIZUO
1. 求下面这组数据的平均数、中位数和众数。
8，10，10，13，13，13，14，15，17，18。
2. （1） 在一组数据1，0，4，5，8 中加入一个数x，使加入后这组数据的
中位数为3，则x＝
。
（2） 某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数
如下（单位：棵）：10，10，x，8。若这组数据的众数和平均数相
等，那么它们的中位数是 棵。
3.2 中位数与众数
中位数与众数
幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们
的年龄分别是（单位：岁）：39，5，6，6，5，6，5，6，6，6。平均
数能否很好地表示这一群体的年龄特征？
69
数学 八年级下册
▶例 某工程咨询公司技术部门员工一月份的工资报表如下。
（1） 求该公司技术部门员工一月份工资的平均数、中位数和众数。
（2） 作为一名普通技术员，若考虑应聘该公司技术部门工作，该如何预
估工资情况？
解:（1） -x＝1
10（12 000＋8 000＋6 000×2＋5 000＋4 800×3＋4 400＋
2 800）＝5 860（元）。
将员工的工资数按从大到小的顺序排列后，中间两个数是5 000，4 800，
所以中位数是1
2（5 000＋4 800），即工资的中位数是4 900元。
员工的工资数中，出现次数最多的是4 800元，所以众数是4 800元。
（2） 虽然该技术部门员工一月份的月平均工资是5 860 元，但它不能代
表普通员工该月收入的一般水平。如果除去总工程师、见习生的工资，那么
其余8人的平均工资为5 475元，比较接近这组数据的中位数和众数。因此，
作为一名普通技术员，可根据该部门员工工资的中位数和众数来考虑是否
应聘。
从这个例子中我们看到，在一组存在极端值（如
12 000，2 800）的数据中，用中位数或众数作为表示
这组数据特征的统计量有时会更贴近实际。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从
不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的
局限性。如平均数容易受极端值的影响；众数、中位
数不能充分利用全部数据信息。
表3-5
丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁丁
丁
技术部
门员工
工资/元
总工
程师
12 000
工程
师
8 000
技术
员A
6 000
技术
员B
6 000
技术
员C
5 000
技术
员D
4 800
技术
员E
4 800
技术
员F
4 800
技术
员G
4 400
见习
生H
2 800
在歌手大奖赛
中，通常去掉一个最
高分和一个最低分
后，将剩下分数的平
均数作为这位歌手
的最后得分，为什么？
70
第3章 数据分析初步
日期
游客数
/万
10月1日
1.2
10月2日
2
10月3日
2.5
10月4日
2
10月5日
1.2
10月6日
2
10月7日
0.6
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的游客数统计如下表。
表中游客数的众数和中位数分别是（ ）。
（A） 1.2万，2万
（B） 2万，2.5万
（C） 2万，2万
（D） 1.2万，2.5万
2. 某工厂第一车间有工人15 人，每人日均加工螺杆数统计如图。该
车间工人日均加工螺杆数的中位数和众数分别是多少？为提高生
产积极性，现从平均数、中位数、众数中选一个作为该车间工人日生
产定额，超额部分给予奖励。你认为选哪一个统计量比较合适？
作业题
ZUOYETI
1. 数据2，4，4，5，3，9，4，5，1，8 的众数是 ，中位数是 ，平
均数是 。
2. 在演唱比赛中，评委给一名歌手的打分如下（单位：分）：
9.76， 9.66， 9.83， 9.76， 9.86， 9.79， 9.85， 9.68， 9.88， 9.76。
去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手的最后得分（平均数）
是 。
（第2题）
日均加工螺杆数/个
人数
6
1
4
4
10
5
0
10 12 14 16
某工厂第一车间工人日均加工螺杆数的统计图
71
数学 八年级下册
B组
3. 某班七个兴趣小组人数分别为3，3，4，x，5，5，6。已知这组数据的
平均数是4，则这组数据的中位数是 。
4. 据调查，某班30名学生所穿鞋子的鞋码统计如下表。
求该班学生所穿鞋子鞋码的平均数（精确到0.1）、中位数和众数。
5. 为了解某校七年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360 名学生
进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得的数据分成四组，绘制成如
下所示的频数表（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。
这次测试成绩的中位数落在哪一组？
6. 学校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下（单位：分）：
7.20， 7.25， 7.00， 7.10， 9.50， 7.30， 7.20， 7.20， 6.10， 7.25。
（1） 求该节目得分的平均数、中位数和众数。
（2） 在平均数、中位数、众数这三个统计量中，哪一个统计量能比较
准确地反映该节目的水平？请你设计一个能较好反映该节目
水平的统计方案。
某班30名学生鞋码的统计表
鞋码/cm
频数
20
1
21
7
22
6
23
15
24
1
某校七年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别/次
100～130
130～160
160～190
190～220
频数
48
96
144
72
72
第3章 数据分析初步
次数
甲命中环数
乙命中环数
第一次
7
10
第二次
8
6
第三次
8
10
第四次
8
6
第五次
9
8
合作学习
HEZUOXUEXI
甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下：
（1） 计算甲、乙两名运动员的平均成绩。
（2） 根据这两名运动员的成绩，在图3-1中画出折线统计图。
（3） 现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合
适？为什么？
（请与你的同伴交流）
甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但甲各次射击的成绩都接近平均数
8 环，而乙各次射击的成绩偏离平均数较大。在评价数据的稳定性时，我们
通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
表3-6
1
3.3 离差平方和与方差
离差平方和与方差
如果要选拔射击运动员参加比赛，不
仅会考查运动员成绩的高低，还会考查运
动员成绩的稳定性。在数学中，用什么统
计量来刻画成绩的稳定性？
图3-1
成绩/环
射击次序
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
甲、乙两名运动员射击成绩的折线统计图
73
数学 八年级下册
1
样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和
（deviation sum of squares），记为D
2。对于一组数据x1，x2，…，xn，这组数据的
平均数为-x，则D
2＝（x1－-x）
2＋（x2－-x）
2＋…＋（xn－-x）
2。
甲、乙两名运动员射击测试成绩的离差平方和如下：
D
2
甲＝(7－8)
2＋(8－8)
2＋（8－8)
2＋(8－8)
2＋(9－8)
2＝2；
D
2
乙＝(10－8)
2＋(6－8)
2＋(10－8)
2＋(6－8)
2＋(8－8)
2＝16。
你发现了什么？
容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有
关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的
平均数来衡量数据的稳定性。
一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差（variance），记为S
2。
S
2＝1
n ［（x1－x）
2＋（x2－x）
2＋…＋
＋…＋（xn－x）
2］。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
▶例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出10 株小麦
苗，测得苗高如下（单位：cm）：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8， 10，16。
哪块田地的小麦长得比较整齐？
解：-x 甲＝1
10(10＋11×2＋12＋13×2＋14＋15×2＋16)＝13（cm）；
-x 乙＝1
10(6＋8＋10＋11＋13＋14＋16×2＋17＋19)＝13（cm）。
S
2
甲＝1
10[(10－13)
2＋(11－13)
2×2＋(12－13)
2＋(13－13)
2×2＋
(14－13)
2＋(15－13)
2×2＋(16－13)
2]＝3.6（cm
2）；
S
2
乙＝1
10[(6－13)
2＋(8－13)
2＋(10－13)
2＋(11－13)
2＋(13－13)
2＋
(14－13)
2＋(16－13)
2×2＋(17－13)
2＋(19－13)
2]＝15.8（cm
2）。
因为-x 甲＝-x 乙，S
2
甲＜S
2
乙，所以甲田地的小麦长得比较整齐。
如果直接计算
甲、乙射击测试成
绩的离差的和，结果
如何？
74
第3章 数据分析初步
探究活动
TANJIUHUODONG
数据
2
3
图3-3
1
0
-1
-2
-3
2
3
4
5
1
数据序号
99
98
97
96
95
94
100
数据
图3-2
2
3
4
5
1
数据序号
已知数据99，97，96，98，95，把这组数据的每个数都减去97，得到一组新数据。
将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均
数。观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。上例中，两个
标准差分别是：S甲＝3.6≈1.90（cm），S乙＝15.8≈3.97（cm）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 数据5，8，5，4，6，7，8，8，3，6的离差平方和是 ，方差是 。
2. 如图是小慧根据上海市某天上午和下午各四个整点时的气温绘制
成的折线统计图。根据该统计图回答：该天上午和下午的气温哪个
更稳定？请说明理由。
温度/℃
22.5
22
21
20
19
18.5
18
0
9 10 11 12 13 14 15 16 17 时间/时
（第2题）
上海市某天气温统计图
75
数学 八年级下册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. （1） 已知一组数据－1，2，0，－3，－2，3，0，1。计算这组数据的离差
平方和与方差。
（2） 已知一组数据1，3，2，5，x 的平均数是3，求这组数据的离差平
方和与方差。
2. 小明和小聪最近5次数学测验的成绩如下：
小聪：76，84，80，87，73；
小明：78，82，79，80，81。
谁的数学成绩比较稳定？
3. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树各100 棵。到了收
获季节,为了分析收成情况，工作人员随机从甲、乙两个品种的葡萄
树中各采摘了4棵树的葡萄，每棵树的产量如下统计表。试通过计
算说明，哪个品种的葡萄树产量较稳定。
4. 甲、乙两台机器加工同一种直径为10.00 mm 的零件，现从它们加工
好的零件中各抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：
甲：9.98，10.02，10.00，10.00，10.01，9.99；
乙：10.00，10.03，10.00，9.97，10.10，9.90。
根据上述数据，你认为如何评价两台机器加工零件的质量？
5. 已知一组数据x1，x2，x3，把每个数据都减去2，得到一组新数据x1′＝
x1－2，x2′＝x2－2，x3′＝x3－2。
（1） 这两组数据的平均数有什么关系？
（2） 这两组数据的方差相等吗？为什么？由此你能得到怎样的
规律？
甲、乙两品种葡萄树产量统计表
葡萄树编号
甲品种产量/千克
乙品种产量/千克
①
25
18
②
18
20
③
20
24
④
17
18
76
第3章 数据分析初步
2
某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，他们的跳高最好成绩如下：
为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们的跳
高成绩的高低分成两组。怎样分组比较合理？
将5名队员的跳高成绩按从小到大排列：1.58，1.63，1.65，1.75，1.78。将
这些数据表示在数轴上，如图3-4。显然，应把相对集中的数据分在一组，例
如，分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组。
5名队员的跳高成绩分成2组，共有4种情况，设各组的离差平方和分别
为D2
1，D2
2，计算D2
1＋D2
2。见表3-8。
可以发现，将数据分成{1.58，1.63，1.65}，{1.75，1.78}两组时，D2
1＋D2
2 最
小。所以将队员分成{队员1，队员3，队员4},{队员2，队员5}两组，组内同学
的跳高水平最接近。
一般地，设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，它们的平均数为x，离差平方和为
D
2。如果把这些数据分为两组，第1组有k1个数据，平均数为x1，离差平方和
为D2
1；第2 组有k2个数据，平均数为x2，离差平方和为D2
2，其中k1＋k2＝n。通
队员编号
成绩/m
1
1.58
2
1.75
3
1.63
4
1.65
5
1.78
表3-7
某校运动队5名同学跳高最好成绩统计表
第1组
1个数据：1.58
2个数据：1.58，1.63
3个数据：1.58，1.63，1.65
4个数据：1.58，1.63，1.65，1.75
第2组
4个数据：1.63，1.65，1.75，1.78
3个数据：1.65，1.75，1.78
2个数据：1.75，1.78
1个数据：1.78
D2
1＋D2
2
0.016 275
0.010 517
0.003 05
0.015 275
表3-8
图3-4
77
数学 八年级下册
过计算可以得到以下等式（证明略）：
D
2＝（D2
1＋D2
2）＋［k1（x1－x）
2＋k2（x2－x）
2］。
通常称（D2
1＋D2
2）为组内离差平方和，它表达了两个组的组内数据的离散程
度；称［k1（x1－x）
2＋k2（x2－x）
2］为组间离差平方和，它表达了两个组之间的
差异。一个合理的分组原则是使D2
1＋D2
2最小，同时使k1（x1－x）
2＋k2（x2－x）
2
最大。由于总离差平方和D
2不变，所以只需考虑D2
1＋D2
2达到最小即可。
在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分组方法有许多
种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见。
▶例2 国家有关部门根据各地的人均耕地面积数据进行分类研究，制
定切合各地实际的政策。带着这个问题，统计学兴趣小组的同学收集了我
国10个地区的人均耕地面积数据，如表3-9。
如果将这10 个地区分成两组，尽可能使同组内各地区的人均耕地面积
接近、不同组地区的人均耕地面积差异较大，应如何分组？
解：将这10 个地区的人均耕地面积从小到大排列，依次为0.1，0.2，
0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2。将这些数据分成两组，有以下9 种情况，
离差平方和的
计算量比较大，我们
可以借助计算机软
件或者自己设计算
法、编写程序来解
决。
注意
表3-9 我国10个地区的人均耕地面积统计表
地区
黑龙江
新疆
江苏
安徽
福建
上海
内蒙古
吉林
广东
甘肃
人均耕地面积/千平方米
4.2
2.3
0.6
0.6
0.3
0.1
3.2
1.8
0.2
2.0
78
第3章 数据分析初步
分别计算各种情况的组内离差平方和，得到表3-10：
表3-10
组
序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
分组情况
第1组
0.1
0.1，0.2
0.1，0.2，0.3
0.1，0.2，0.3，0.6
0.1，0.2，0.3，0.6，0.6
0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8
0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0
0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3
0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2
第2组
0.2，0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，
4.2
0.3，0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2
0.6，0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2
0.6，1.8，2.0，2.3，3.2，4.2
1.8，2.0，2.3，3.2，4.2
2.0，2.3，3.2，4.2
2.3，3.2，4.2
3.2，4.2
4.2
组内离差
平方和
15.588 89
13.1
10.28
7.775
4.172
4.887 5
5.426 67
6.088 75
9.94
计算结果表明，将数据分成{0.1，0.2，0.3，0.6，0.6}和{1.8，2.0，2.3，3.2，
4.2}两组时，组内离差平方和最小，即组内人均耕地面积数据波动最小，两组
之间数据差异最大。所以将上海、广东、福建、江苏、安徽分在一组，其余地
区分在另一组比较合理。
课内练习
KENEILIANXI
1. 将数据2，3，4，8，9，10 分成前3 个数据一组，后3 个数据一组，则这
两组数据的组内离差平方和为 。
2. 某地一周的日平均气温分别为（单位：℃）：8，9，18，15，17，19，20。
为了评估气温对农作物生长造成的影响，需要将这周的气温数据分
成两组，该怎么分比较合理？
79
数学 八年级下册
A组
B组
C组
作业题
ZUOYETI
1. 将10 名同学的身高（单位：cm）从小到大分成三组：｛
｝
158，160，162 ，
｛
｝
165，166，166，167 ，｛
｝
170，174，178 ，则这三组数据的组内离差平方
和为 。
2. 已知一组数据的离差平方和为100，将这组数据分成两组，这两组
数据的组内离差平方和为78，则这两组数据的组间离差平方和
为 。
3. 有一批苹果，根据质量大小确定销售单价。现随机选取5 个，质量
分别为（单位：克）：150，155，175，185，190。将这5 个苹果分成两
组，怎么分比较合理？请说明理由。
4. 某市有10个地区，2021年各地区的生产总值如下表 （单位：亿元）：
地区序号
地区生产
总值
1
658
2
873
3
940
4
1 218
5
1 904
6
1 968
7
2 011
8
2 022
9
2 417
10
2 502
为了分析该市的经济发展情况，将这10 个地区的生产总值分成两
组，你会怎么分？
5. 某医院计划重新设计手机应用程序的操作界面，根据各功能的点击
次数将功能分成两组：常用功能和次常用功能，常用功能设置在应
用程序首页醒目的位置。已知8 项功能在30 天内的点击次数如
下表：
功能
点击
次数/
十万次
导医
分诊
28
病历
查询
13
健康
宣教
5
预约
挂号
30
预约
点餐
10
药品
说明
12
复诊
提醒
8
名医
简介
25
根据点击次数高低把这8 项功能分成两组，你认为可以怎么分？说
出分组的理由。
6. 就数据个数n＝5，k1＝3，k2＝2，推导本课中的公式：
D
2＝（D2
1＋D2
2）＋[k1(x1－x)
2＋k2(x2－x)
2]。
80
第3章 数据分析初步
合作学习
HEZUOXUEXI
某校为了制订男生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取26 名男生
的1分钟跳绳测试成绩，获得以下数据（单位：个）：
108， 150， 170， 124， 169， 142， 154， 43， 139， 167， 149， 165，
191， 208， 259， 184， 120， 134， 96， 125， 130， 172， 168， 170，
174， 130。
请思考下列问题，并与你的同伴交流。
（1） 如果想让一半（即50％）男生的跳绳成绩能达到合格，你会选择什
么数据作标准？
（2） 如果想让75％男生的跳绳成绩能达到及格，你会选择什么数据作
为标准？
（3） 现在要制订男生跳绳成绩优秀的标准，能让25％男生的跳绳成绩
达到优秀，可以选择什么数据作为标准？
把上述数据从小到大排列：
43， 96， 108， 120， 124， 125， 130， 130， 134， 139，
142， 149， 150， 154， 165， 167， 168， 169， 170， 170，
172， 174， 184， 191， 208， 259。
要想让一半（即50％）男生的跳绳成绩能达到合格，我们容易想到，可以
选择这组数据的中位数作为该校男生跳绳达到合格的标准。由26×50％＝
13，可知上述数据从小到大排列后，中位数是第13，14 个数的平均数，即
150＋154
2
＝152（个）。
1
3.4 四分位数与箱线图
四分位数与箱线图
小芳3 周岁时身高99 cm，妈妈说小芳比75％的同龄女孩长
得高。你知道妈妈这个说法的依据是什么吗？
81
数学 八年级下册
一般地，一组数据中至少有50％的数小于或等于中位数，也至少有50％
的数大于或等于中位数。中位数也叫作第50百分位数，记为m50。
进一步地，将一组数据按从小到大排列，中位数把这组数据分成左右两
部分，用m25和m75分别表示左右两部分数据的中位数，那么，所有数据中，至
少有25％的数小于或等于m25 （也至少有75％的数大于或等于m25），至少有
75％的数小于或等于m75 （也至少有25％的数大于或等于m75）。m25和m75分
别叫作第25百分位数和第75百分位数。想一想，上面“合作学习”的一组数
据中，第25百分位数和第75百分位数分别是多少？表示什么实际意义？
在一组从小到大排列的数据中，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为
个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数（quartile）。其中第25 百分位
数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。
做一做
ZUOYIZUO
根据国家卫生健康委员会发布的《7岁以下儿童生长标准》，3岁和
4岁儿童年龄别身高
❶的部分百分位数值如下表。
3岁和4岁儿童年龄别身高的百分位数值表
单位：厘米
性别
男童
女童
年龄
3岁
4岁
3岁
4岁
m25
95.1
102.3
93.9
101.1
m50
97.5
104.9
96.2
103.7
m75
99.9
107.5
98.5
105.3
（1） 上表中，4岁男童m25的数值为102.3厘米，其实际意义是什么？
（2） 女童小丽3 周岁，身高98.6 厘米。她至少比百分之几的同龄女童
长得高？
▶例1 为评估七年级学生的视力情况，学校从七年级学生体检数据中
随机抽取43名学生的视力数据，具体如下：
4.2， 4.1， 4.7， 5.2， 5.0， 4.7， 4.4， 4.9， 4.7， 5.1，
4.5， 4.3， 4.5， 4.8， 4.3， 4.3， 4.3， 5.0， 4.3， 4.2，
❶ 年龄别身高是指相对于某一年龄的身高。
82
第3章 数据分析初步
4.3， 4.1， 4.9， 3.6， 5.0， 4.5， 4.6， 4.4， 5.0， 4.8，
4.2， 4.9， 4.3， 4.2， 5.1， 5.2， 5.3， 5.0， 5.0， 5.0，
5.1， 5.1， 5.2。
（1） 求这组数据的四分位数。
（2） 尝试用四分位数评估该校七年级学生的视力情况。
（3） 如果该校七年级某学生的视力为4.4，那么他的视力处于什么位
置？视力是4.8呢？5.1呢？
解：把这43名学生的视力数据按从小到大的顺序排列如下：
3.6， 4.1， 4.1， 4.2， 4.2， 4.2， 4.2， 4.3， 4.3， 4.3，
4.3， 4.3， 4.3， 4.3， 4.4， 4.4， 4.5， 4.5， 4.5， 4.6，
4.7， 4.7， 4.7， 4.8， 4.8， 4.9， 4.9， 4.9， 5.0， 5.0，
5.0， 5.0， 5.0， 5.0， 5.0， 5.1， 5.1， 5.1， 5.1， 5.2，
5.2， 5.2， 5.3。
（1） 这组数据共有43 个，按从小到大的顺序排列后，第22 个数即中位
数，所以m50＝4.7。
中位数左右两边各有21 个数，它们的中位数分别是所有数据中的第11
个数和第33个数，所以m25＝4.3，m75＝5.0。
（2） 该校七年级学生至少有25％，即四分之一学生的视力小于或等于
m25，在4.3及以下，属于近视。
至少有50％，即一半的学生视力小于或等于m50，在4.7 及以下，有一定
程度的近视。
至少有25％，即四分之一的学生视力大于或等于m75，在5.0 及以上，视
力正常。
（3） 因为m25＜4.4＜m50，所以视力是4.4 的学生，大约比该校七年级
25％的学生视力好，但比50％的学生视力差。
因为m50＜4.8＜m75，5.1＞m75，所以视力是4.8 的学生大约比该校七年级
50％的学生视力好，但至少比25％的学生视力差；视力是5.1 的学生大约比
该校七年级75％的学生视力好。
课内练习
KENEILIANXI
1. 小慧的弟弟3 岁生日那天，测得身高100 cm，依据《7 岁以下儿童生
83
数学 八年级下册
A组
B组
长标准》中3岁和4岁儿童年龄别身高的百分位数值（见“做一做”），
小慧弟弟的身高至少比百分之几的同龄男童长得高？
2. 某班50 名学生在防灾减灾知识竞赛中的成绩如下表所示。求该班
同学竞赛成绩的四分位数m25，m50，m75。
成绩/分
人数
60
3
70
9
80
13
90
16
100
9
作业题
ZUOYETI
1. 学校女子舞蹈队10名队员的鞋码如下（单位：cm）：
23，24，22，22.5，23，23.5，23，23.5，23.5，24。
这10个数据的第50百分位数是多少？其实际意义是什么？
2. 社区举办红歌合唱比赛，15个合唱队得分如下（单位：分）：
85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98。
求这组数据的四分位数m25，m50，m75，并说明它们的实际意义。
3. 某校八年级共200名男生，他们身高的百分位数如下表：
某校八年级男生身高的百分位数表
百分位数
八年级男生身高/cm
m25
164.5
m50
167.5
m75
170
（1） 小李身高172 cm，他的身高在该校八年级男生中处于什么位置？
（2） 该校八年级男生大约有多少人身高在164.5～170 cm 之间？大
约有多少人身高在170 cm以上（含170 cm）？
4. 幼儿园小朋友佳佳（女）和陶陶（男）是好朋友，他们身高都是103 cm，
体重也都是16.0 kg。请根据《7 岁以下儿童生长标准》分析他们的
体重水平。2～7岁儿童身高别体重
❶的百分位数值（部分）见下表。
2～7岁儿童身高别体重的百分位数值表
单位：kg
性别
男童
女童
身高/cm
103
103
m25
15.5
15.2
m50
16.3
16.0
m75
17.1
16.9
❶ 身高别体重是指相对于某一身高的体重。
84
第3章 数据分析初步
5. 某单位职工体检，从中随机抽取44 名职工的肺活量如下（单位：
mL）：
3 949， 2 022， 3 178， 3 903， 2 797， 4 154， 4 224， 2 388，
2 573， 2 254， 2 144， 3 475， 3 432， 4 253， 4 553， 3 302，
2 460， 2 440， 1 931， 3 877， 3 972， 2 541， 2 666， 3 790，
4 199， 2 854， 3 755， 3 950， 2 904， 2 906， 3 236， 3 404，
2 884， 2 499， 3 510， 3 824， 2 521， 3 063， 2 803， 1 935，
4 195， 2 856， 3 177， 3 315。
（1） 求这组职工肺活量数据的四分位数m25，m50，m75。
（2） 根据所求得的四分位数，分析该单位职工的肺活量情况。
2
人们用下面的统计图来表示四分位数所刻画的一组数据的分布特点。
如图3-5，水平的线从下至上依次表示最小值，m25（下四分位数），m50（中位
数），m75（上四分位数），最大值。图中的大长方形（即箱体）的高度等于m75与
m25的差，反映了中间50% 数据的离散程度。箱体越扁，说明中间的数据越
集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。这样的统计图叫作箱线图
（box-plot）。
图3-5
某校七年级男生一分钟跳绳测试成绩的箱线图
单位：次
85
数学 八年级下册
▶例2 观察八年级五个班学生的视力情况箱线图（图3-6），从图中你
得到哪些信息？
解：八年级五个班学生视力的上四分位数（m75）都为5.0，说明这五个班
学生视力在5.0 以上的都占了25％；二班学生视力的中位数最小，即仅一半
学生的视力在4.2 之上；一班学生视力最大值和最小值的间距最大，说明这
个班学生视力的差距较大，而五班学生视力的差距相对较小。
箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖线（也就是常说
的“须”）越短，说明数据越集中。
▶例3 科技创新是提高社会生产力和综合国力的战略支撑。根据创
新评价体系，获得A，B 两个团队12 种同类科技产品的创新贡献率（单
位：%）如下：
团队A：28.97， 22.58， 27.15， 7.87， 13.57， 19.78，
13.07， 11.87， 21.27， 13.56， 20.31， 21.51；
团队B：15.47， 19.11， 17.46， 16.58， 17.64， 20.12，
20.34， 20.83， 15.06， 14.93， 16.85， 14.28。
请评价团队A和团队B的创新水平。
分析：可以通过分析两个团队同类科技产品的创新贡献率的集中趋势
和离散程度来评价两个团队的创新水平，还可以通过箱线图对两个团队的
创新水平进行直观比较。
解：分别计算A，B 两个团队同类科技产品创新贡献率的平均数和方
差，如表3-11。
八年级一班～五班学生的视力情况箱线图
图3-6
86
第3章 数据分析初步
表3-11 A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的平均数和方差
团队
A
B
平均数xˉ
18.46
17.39
方差S2
38.16
4.73
由平均数和方差可见，团队A 与团队B 同类科技产品创新贡献率的平
均数相近，但团队A 的方差较大。总体上看，团队B 的同类科技产品创新贡
献率比较稳定。
将两个团队的同类科技产品创新贡献率按从小到大排列：
团队A： 7.87， 11.87， 13.07， 13.56， 13.57， 19.78，
20.31， 21.27， 21.51， 22.58， 27.15， 28.97；
团队B：14.28， 14.93， 15.06， 15.47， 16.58， 16.85，
17.46， 17.64， 19.11， 20.12， 20.34， 20.83。
它们的四分位数及最小值和最大值见表3-12，箱线图如图3-7。
（箱线图可用相关软件绘制，有兴趣的同学试一试）
表3-12 A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的四分位数及最小、最大值
团队
A
B
最小值
7.87
14.28
m25
13.32
15.27
m50
20.05
17.16
m75
22.05
19.62
最大值
28.97
20.83
由箱线图（图3-7）可知，团
队A 的科技产品创新贡献率的
中位数和最大值明显高于团队
B，最小值明显比团队B低，说明
团队A 的科技产品创新贡献率
波动较大，有些产品创新水平
高，但有些产品创新水平低。团
队B 的科技产品创新贡献率比
较稳定，所有产品都有一定的创
新性。两个团队在创新贡献率
方面虽有差异，但都能在科技创
新方面作出贡献。
A，B两个团队同类科技产品创新贡献率的箱线图
图3-7
87
数学 八年级下册
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 一组数据的箱线图如图。这组数据的最大值是 ，最小值
是 ，上四分位数m75是 ，中位数m50是 。
2. 如图是某次测试成绩的箱线图。根据图中信
息，下列判断正确的有 （填序号）。
①本次测试的最高分是99分；
②本次测试的平均分是79分；
③本次测试成绩的极差（最高分与最低分的
差）是60分；
④本次测试成绩在65～88分的人数占了50％。
作业题
ZUOYETI
1. 为了解新品种水稻的穗长，从一块试验田里随机采集部分稻穗，根
据得到的样本数据箱线图（如图），分析该试验田的穗长情况。
2. 如图是某班学生不同科目成绩的箱线图，请结合箱线图，分析该班学
生哪门学科的成绩普遍较好，哪门学科的成绩有待提高，并说明理由。
（第1题）
（第2题）
成绩/分
（第2题）
（第1题）
88
第3章 数据分析初步
B组
3. 学校将举行运动会，八年级一班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔参
赛选手，现得到这三人最近9 次的100 米跑步成绩，绘制了箱线图
（如图）。
（1） 这三名学生中，谁的成绩最稳定？
（2） 这三名学生中，谁的成绩的中位数最大？
（3） 你会选择谁参加运动会？请说明理由。
4. 某公司A，B两个营销团队去年每月的营销额如下（单位：千万元）：
团队A：4.77， 3.98， 7.44， 4.89， 0.15， 4.85， 3.64， 3.21，
3.18， 2.02， 4.11， 4.10；
团队B：3.18， 3.84， 3.99， 3.67， 3.40， 3.60， 4.10， 4.21，
4.15， 4.44， 3.87， 3.91。
如图为这两组数据的箱线图，请结合箱线图评价两个团队的营销情况。
（第3题）
三名学生100米跑步成绩的箱线图（单位：秒）
（第4题）
89
数学 八年级下册
C组
5. 如图是2020 年我国人口按年龄和性别比重的分布情况，若将男女
各年龄绘制成箱线图，可能是下面哪个图？
（A）
（B）
（C）
（D）
2020年男女人口年龄箱线图
2020年男女人口年龄箱线图
2020年男女人口年龄箱线图
2020年男女人口年龄箱线图
（第5题）
单
位
：
岁
单
位
：
岁
单
位
：
岁
单
位
：
岁
90
第3章 数据分析初步
阅读材料
YUEDUCAILIAO
大数据与分布式计算
现代社会每天都会产生海量数据，这些数据中蕴含着难以估量的价值，
政府和企业可通过分析处理，挖掘其中的有效信息，从而提供更加优质的
服务。
由于大数据的数据量非常巨大，难以用传统手段处理，分布式计算便应
运而生。分布式计算的基本思想是把一组计算机通过网络相互连接组成分
散系统，然后将需要处理的数据分散成多个部分，交由分散在系统内的计算
机组同时计算，再将结果合并得到最终结果。各计算机组协同备份数据、相
互验证计算结果，能够有效规避风险、降低成本。
在本章学习中，我们已经接触到平均数和百分数的分布式计算。比如，
把一批数据分为(x1，x2，…，xm)和(y1，y2，…，yn)两组，分别求得第一组m个数
据的平均数xˉ，第二组n个数据的平均数yˉ，则只需把(m，xˉ)和(n，yˉ)这些信息
传输到处理中心，计算mxˉ＋nyˉ
m＋n 就得到这批数据的平均数。百分数也可以进
行类似计算。其他统计量呢？如果两组数据的方差分别是S
2
1 和S2
2，处理中
心根据各组上传的(m，xˉ，S
2
1)与(n，yˉ，S2
2)，可以得到全体数据的方差吗？请
运用学过的知识试一试。
分布式计算已经成为处理大数据的核心技术。有专家甚至认为，未来
世界将变成“一张网”。比如将一座城市划分成几千甚至几万个网格，每一
条街道或每一个社区都可以设置一台小型的超级计算机，所有当地数据都
可以实时计算、转化，并服务于当地。将所有社区的数据结合起来，形成一
张庞大的分布式网格。通过构建
网格式智能超算，将数据分布计算
并整合应用于智能医疗、教育、交
通、制造、能源、金融、环保、安防等
终端服务领域。
大数据技术的不断发展，让我
们的生活更加智能与美好。
91
综合实践活动
数学 八年级下册
国内生产总值的调研
政府工作报告中指出，2023 年我国国内生产总值（GDP）预期增长目标为5％
左右，体现了稳中求进。GDP是一个国家（或地区）在一定时期内，生产的所有产品
（包括服务）总的市场价值。由此可见，GDP 是衡量一个国家或地区经济状况和发
展水平的重要指标。各细分领域的GDP 能反映经济结构中不同成分的贡献。例
如，2022 年某城市的数字经济核心产业增加值达到5076 亿元，占GDP 比重为
27.1％，领先其他城市，反映了数字经济对该城市的发展作出了重要贡献。人均
GDP 是指每人平均创造的财富值。例如，2019 年我国人均GDP 首次突破1 万美
元，标志着我国正稳步进入中等发达国家行列。
围绕GDP，选择一个主题进行调研，并形成报告。
任务
1. 确定主题：查阅资料，了解GDP 的基本概念，阅读与GDP 相关的文献，并提
出研究主题和范围。例如，预测未来几年我国GDP 发展趋势，说明科学技术怎样
助力一个地区的GDP从高速增长到高质量发展，人均收入与GDP的关系，等等。
2. 数据分析：根据主题，整理收集的数据，绘制统计图表，结合数据进行分析，
合理预测，阐述研究结论。
3. 成果展示：完成调研报告，交流、分享调研过程和成果。
评价与反思
评价：对本组及其他各组的调研过程和成果进行评价，提出改进建议。
反思：提出反思性问题，如从数据看GDP 高速增长的利与弊；或对研究主题选
取的意义与价值、研究过程等进行反思，改进调研报告。
92
第3章 数据分析初步
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习了刻画数据集中趋势的统计量：中位数、众数和平均数，以及加
权平均数和分布式计算方法；学习了刻画数据波动（离散）程度的统计量：离差平方
和、方差，以及按组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法；还学习了能
直观反映数据分布信息的箱线图。中位数、众数、平均数、四分位数、方差都是数据
的数字特征，可以用来解释或解决问题。用统计图表描述和表达数据，用样本数据
的数字特征分析问题、用样本的特征估计总体的特征，是解决问题的常用思想方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.数据的平均数、中位数、众数各有什么特点？
2.加权平均数的权对于平均数有怎样的影响？
3.离差平方和与方差之间有什么关系？方差的作用是什么？
4. 根据哪些数值绘制的统计图叫作箱线图？箱线图能直观反映数据的哪些
特征？
数据
离散程度
分布情况
方差
四分位数
箱线图
离差平方和
数据分组
众数
集中趋势
中位数
平均数
加权平均数
分布式计算
93
数学 八年级下册
目标与评定
目标 3.1节 3.2节
A
身高/m
人数
1.45
2
1.48
5
1.50
6
1.53
8
1.56
5
1.60
4
★理解平均数、中位数、众数的意义；能计算中位数、众数、加权平均数，知道
它们是对数据集中趋势的描述。
★能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。
★知道可以用样本平均数估计总体平均数。
1. 某班30名学生的身高情况如下表：
这30名学生的平均身高是 m。
2. 某小组6名学生的英语口试成绩（满分30分）依次为：25，23，25，27，30，25。这组
数据的中位数是 分，众数是 分。
3. 已知5 个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，
a3，0，a4，a5的平均数和中位数分别是（ ）。
（A） a，a3 （B） a，a3＋a4
2
（C） 5
6a，a3
2 （D） 5
6a，a3＋a4
2
4. 某班随机抽取5名学生，请他们分别记录自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，
结果如下（单位：个）：
33,25,28,26,23。
如果该班有45名学生，估计一周内全班学生家中丢弃的塑料袋数量。
5. 对一种环保电动汽车性能进行抽测，获得如下条形统计图。根据统计图估计被
抽检电动汽车一次充电后平均续驶里程（精确到0.1千米）。
某电动汽车一次充电后续驶里程的统计图
675
670
665
660
655
650
4
10
16
20
14
12
电动汽车/辆
一次充电后续
驶里程/千米
25
20
15
10
5
0
（第5题）
680
4
94
第3章 数据分析初步
目标 3.3节
B
6. 某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
（1） 求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额。
（2） 如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的
销售员有多少人？若以销售额的众数作定额任务指标呢？
★体会刻画数据离散程度的意义；会计算一组简单数据的离差平方和、方差。
★经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分
类的方法。
★知道可以用样本方差估计总体方差。
7. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ）。
（A） 平均数是3
（B） 中位数是4
（C） 离差平方和是10
（D） 方差是2
8. 从一个养鸡场里随机抽取10只鸡，称得它们的质量如下（单位：千克）：
2.2，2.2，2.3，2.4，2.4，2.4，2.5，2.6，2.6，2.7。
请将这组数据分成两组，使得组内离差平方和最小。
9. 学校准备从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全市中学生运动会的男子100 米
跑项目，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
为了衡量这两名选手100米跑的水平，你认为可怎样进行数据分析？
销售额/万元
销售员人数
3
1
4
3
5
2
6
1
7
1
8
1
10
1
测试序号
甲的成绩/秒
乙的成绩/秒
1
12
12.1
2
12.3
12.4
3
13
12.8
4
12.9
13
5
13.1
12.2
6
12.5
12.7
7
12.4
12.3
8
12.6
12.5
95
数学 八年级下册
目标 3.4节
C
10. 如图为A，B两家酒店去年下半年的月营业额折线统计图。
（1） 要了解两家酒店去年7～12 月的月营业额的平均水平，你选择什么统计
量？求出这个统计量。
（2） 求两家酒店去年7～12月月营业额的方差。
（3） 根据（1），
（2）两题的结果和折线统计图，你认为哪家酒店经营状况较好？
请简述理由。
★会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系。
★感悟百分位数的意义。
11. 一批珍珠共1 200 粒，检测其质量，第75 百分位数是9.8 克，那么这批珍珠至少
有多少粒的质量大于或等于9.8克？
12. 已知100个数据的第25百分位数是60,则下列说法正确的是( )。
（A） 这100个数据中一定有25个数小于或等于60
（B） 把这100个数据从小到大排列后,60是第25个数据
（C） 把这100 个数据从小到大排列后,60 是第25 个数据和第26 个数据的平
均数
（D） 把这100 个数据从小到大排列后,60 是第24 个数据和第25 个数据的平
均数
（第10题）
A酒店：
B酒店：
4
3
2
1
7
8
9
10
11
12
月份
月营业额/百万元
2
1
1.6
1.7
1.8
1.7
3.6
4
3
2.2
2.7
3.5
0
A，B两酒店去年7～12月月营业额的折线统计图
5
96
第3章 数据分析初步
目标
D
班级
一班
二班
平均数
87.6
87.6
中位数
90
众数
100
13. 某班语文和数学素养测试成绩（满分120 分）的箱线图如下图。从图中你获得
哪些信息？
★能综合运用统计知识解决简单的实际问题。
14. 在学校组织的知识竞赛中，每班参加竞赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D 四
个等级，其中相应等级的得分依次记为100 分，90 分，80 分，70 分。学校将八年
级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图。
请你根据以上信息解答下列问题：
（1） 此次知识竞赛中，一班成绩在C等级以上（包括C等级）的人数为 。
（2） 将表格补充完整（单位：分）。
某班语文和数学素养测试成绩箱线图
（第13题）
12
10
8
6
4
2
0
6
12
5
2
D
A
B
C
等级
人数
D等级
16％
A等级
44％
C等级
36％
B等级4％
二班知识竞赛成绩统计图
一班知识竞赛成绩统计图
（第14题）
97
数学 八年级下册
15. 为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到
他们上周双休日课外阅读时间t（单位：时）的一组样本数据，其扇形统计图如图
所示。
（1） 阅读时间为4小时的占百分之几？
（2） 试确定这个样本的中位数和众数，并求出平均数。
16. 长江三峡水利枢纽工程在2003 年5 月31 日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴
东、巫山、万州等8个地点的水位的海拔分别如下（单位：m）：
103，103，104，104，109，124，142，150。
而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别如下（单位：m）：
135，138，140，142，147，150，162，172。
（1） 分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差
（精确到0.01 m）。
（2） 利用什么统计量可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？
这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？
八年级25名学生双休日课外阅读时间的统计图
（第15题）
t＝6
t＝4
t＝3
t＝1
t＝2
t＝5
？
12％
12％
16％
24％
8％
98
第3章 数据分析初步
17. 为了解水稻新品种的穗长，从A，B两块试验田里随机采集成熟稻穗各20株，获
得以下数据（单位：cm）：
A试验田：15，15，22，22，22，24，24，24，25，25，26，26，26，26，26，27，27，
27，28，28；
B试验田：15，20，20，20，24，24，24，25，25，25，27，27，27，27，27，28，28，
28，29，30。
（1） 分别求出这两组数据的中位数、平均数和方差。
（2） 分别求出这两组数据的四分位数，画出箱线图。
（3） 根据上述信息，描述A，B两块试验田稻穗生长情况。
18. 为了了解学校各年级男、女生在身高方面的差别，你认为应怎样抽样并获取数
据？对所得数据应计算哪些统计量（如平均数、中位数、众数、方差、四分位
数等）？
以4～6 人为一组，先设计一个方案，选择某一年级收集数据，再作必要的整理
和分析，并写一份书面报告。要求报告中包括以下内容：介绍抽样、调查、统计
的具体过程，阐述所选择年级男、女生身高的差别和得到该结论的依据。
99
C
A
D
B
E
为什么可伸缩的机械装置与器具多
采用平行四边形的结构？
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点。
你能说明为什么只要量出DE 的长，就可
以求得B，C两端的距离吗？
本章将学习多边形，平行四边形的定
义、性质、判定及其应用，以及图形的旋
转、中心对称、反证法等有关知识。
第4章
平行四边形
数学 八年级下册
如图4-1，在平面内，由任意两条都不在同一
条直线上的若干条线段（不少于3 条）首尾顺次相
接形成的图形叫作多边形（polygon）
❶。组成多边
形的各条线段叫作多边形的边。
边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边
形叫四边形。类似地，边数为5 的多边形叫五边形……边数为n 的多边形
叫n 边形（n 为正整数，且n≥3）。
如图4-1，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形一边的
延长线与相邻的另一边所组成的角叫作多边形的外角。
多边形每一个内角的顶点叫作多边形的顶点。连结多
边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
说出如图4-2 所示的四边形ABCD 的各条边和各
个内角，并画出各条对角线和任意一个外角。
合作学习
HEZUOXUEXI
在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼
在一起（四个角的顶点重合）。你发现了什么？其他同学与
你的发现相同吗？请把你的发现概括成一个命题，并证明这
个命题。
❶ 本套教科书所说的多边形，都指凸多边形（convex polygon），即多边形的各条边都在任意一条边所
在直线的同一侧。
图4-2
A
D
C
B
图4-1
外角
边
内角
对角线
顶点
4.1 多边形
多边形
1
能用全等的任意四边形纸片既不重叠、又不留
空隙地组成一幅镶嵌图吗？为什么？
4
3
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
1
3
2
102
第4章 平行四边形
A组
四边形有以下的定理：
四边形的内角和等于360
360°。
已知：四边形ABCD。
求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。
证明：如图4-3，连结BD。
因为∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∠C＋∠CBD＋∠CDB＝180°，
所以∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋∠CBD＋∠CDB＝180°＋180°＝360°，
即∠A＋∠ABC＋∠C＋∠CDA＝360°。
▶例1 如图4-4，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，
∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1。求四个内角的度数。
解：因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360° （四边形的
内角和等于360°），
又因为∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，
设∠A＝x 度，则有x＋x＋0.6x＋x＝360，解得x＝
100。
所以∠A＝∠B＝∠D＝100°，∠C＝100°×0.6＝60°。
课内练习
KENEILIANXI
1. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80°。求∠D的度数。
2. 已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C。求证：AD∥BC。
3. 请解答本节节前语中的问题。
作业题
ZUOYETI
1. 一个四边形四个内角的度数之比为1∶2∶3∶3。
求这四个内角的度数。
2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝85°，∠D＝110°，
与∠α相邻的外角是71°。求∠α和∠β的度数。
D
B
C
A
图4-3
C
A
D
B
图4-4
（第2题）
D
B
C
A
110°
β
71°
85°
α
103
数学 八年级下册
B组
3. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B比∠D大15°。求∠B，∠D
的度数。
4. 在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D。
（1） 找出互相平行的边。
（2） 若∠A与∠B的度数之比是2∶1，求各内角的
度数。
5. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠C＝
90° ，BE 平分∠ABC，交CD 于点E，DF 平分
∠ADC，交AB于点F。求证：BE∥DF。
2
下面我们来探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律。
合作学习
HEZUOXUEXI
填写下表：
你从表中得到了什么结论？
（请与你的同伴交流）
边数
3
4
5
6
…
n
图形
…
从某顶点出发
的对角线条数
0
1
…
划分成的三
角形个数
1
2
…
多边形的
内角和
1×180°
2×180°
…
表4-1
（第5题）
A
D
E
B
F
C
104
第4章 平行四边形
对于n 边形，从某一个顶点出发的（n－3）条对角线把n 边形划分成（n－
2）个三角形，所以n 边形的内角和就等于这（n－2）个三角形的所有内角之
和。于是就有下面的定理：
n边形的内角和为（n－2）×180
180° （n≥3）。
）。
由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以n 边形的外角和（每一个
顶点只取一个外角）为n×180°－（n－2）×180°＝360°。
任何多边形的外角和为360
360°。
▶例2
一个六边形如图4-5。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF。求
∠A＋∠C＋∠E的值。
分析：因为两条平行线被一条直线所截，有许多等角关系，所以我们不
妨连结AD 试试看，如图4-6。不难发现，∠1＝∠3，∠2＝∠4。由此可得本
题解法。
解：如图4-6，连结AD。
因为AB∥DE，CD∥AF，
所以∠1＝∠3，∠2＝∠4。
可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠FAB＝∠CDE。
同理，∠B＝∠E，∠C＝∠F。
因为∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F
＝（6-2）×180°＝720°，
所以∠FAB＋∠C＋∠E＝1
2×720°＝360°。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形？
2. 求十边形的内角和与外角和。
图4-5
A
B
C
E
D
F
A
B
E
D
C
2
4
1
3
F
图4-6
你还有其他解
法吗？
105
数学 八年级下册
A组
B组
C组
3. 如图，从多边形一边上的点P 出发，沿着
多边形的边逆时针走过所有的边和顶点，
回到点P。在行程中，经过各顶点时调整
方向需要转过一个角，请在图上画出这些
角，并求出这些角的和。
作业题
ZUOYETI
1. 已知一个多边形的内角和为1 800°，这个多边形是几边形？
2. 已知多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数。
3. 如图，点E，F，G，H 在长方形ABCD 的四条边上。已知∠1＝∠2＝
30°，∠3＝20°，求五边形EFGCH各个内角的度数。
4. 一个五角星图案如图。若五边形A1 A2 A3 A4 A5的各个内角都相
等，分别求∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5的度数。
5. 一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为
1 980°，则原多边形是几边形？
6. 一个内角和为1 620°的多边形可连多少条对角线？
（第4题）
B2
B4
B5
B1
A3
B3
A5
A1
A2
A4
（第3题）
A
B
C
D
E
P
（第3题）
E
D
H
F
2
A
1
3
B
C
G
106
第4章 平行四边形
1
4.2 平行四边形及其性质
平行四边形及其性质
你知道遮阳篷的伸缩架为什么采用平行
四边形的结构吗？
我们在小学里已经学过，有一组对边平行，
另一组对边不平行的四边形叫作梯形（图4-7），
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
（parallelogram）。平行四边形用符号“▱”表示，
如图4-8，平行四边形ABCD可记作“▱ABCD”。
平行四边形有许多奇妙的性质，在日常生活
中有着广泛的应用。
合作学习
HEZUOXUEXI
用两块相同的三角尺拼一个平行四边形。讨论下面的问题：
（1） 怎样拼能拼出一个平行四边形？你能拼出多少个形状不同的平行
四边形？
（2） 怎样证明你拼出的四边形是平行四边形？
（3） 通过上述活动，你发现平行四边形有哪些性质？你能证明这些性
质吗？
（请与你的同伴交流）
平行四边形有以下性质定理：
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对边相等。
已知：四边形ABCD是平行四边形（图4-9）。
求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA；AB＝CD，BC＝DA。
图4-7
D
C
A
B
图4-8
C
B
A
D
107
数学 八年级下册
证明：连结BD （图4-9）。
在四边形ABCD中，AB∥CD （平行四边形的定义），
则∠ABD＝∠CDB。
同理，∠ADB＝∠CBD。
所以∠ABC＝∠CDA。
又BD＝DB，
可证△ABD ≌△CDB。
所以AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C。
▶例1 已知：如图4-10，E，F 分别是▱ABCD
的边AD，BC上的点，且AF∥CE。
求证：DE＝BF，∠BAF＝∠DCE。
证明：如图4-10，在▱ABCD 中，AD∥BC，
AD＝CB （平行四边形的对边相等）。
又因为AF∥CE，
所以四边形AFCE是平行四边形 （平行四边形的定义），
所以AE＝CF （平行四边形的对边相等）。
因为AD＝CB，
所以AD－AE＝CB－CF，即DE＝BF。
因为∠BAD＝∠DCB，∠EAF＝∠FCE （平行
四边形的对角相等），
所以∠BAD－∠EAF＝∠DCB－∠FCE，
即∠BAF＝∠DCE。
与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。如图4-11，这三
个平行四边形的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。
平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽
图4-10
E
D
B
F
C
A
图4-11
B
C
D
A
图4-9
你还有其他证
明方法吗？
108
第4章 平行四边形
A组
B组
架、伸缩门（图4-12）、可伸缩的遮阳篷（如节前图）等，都反映了四边形具有
不稳定性的特点。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知在▱ABCD 中，∠A＝55°。求其余内
角的度数。
2. 已知：如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，
BE＝BC。求证：AD＝BE，∠A＝∠ABE。
作业题
ZUOYETI
1. 已知▱ABCD（如图），将它沿AB 方向平
移，平移的距离为1
2AB。
（1） 作出经平移后所得的图形▱A′B′C′D′。
（2） 写出▱A′B′C′D′与▱ABCD 构成的图形
中所有的平行四边形 （不必证明）。
2. 已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3∶2，周长为20 cm。求
平行四边形各条边长。
3. 已知平行四边形的最大角比最小角大100°，求它的各个内角的度数。
4. 如图，在▱ABCD 中，AC 是对角
线，∠ADC＝135°，∠CAD＝23°。
求∠ABC，∠CAB 的度数。
图4-12
（第2题）
D
C
A
B
E
（第1题）
D
A
B
C
（第4题）
A
B
D
C
109
数学 八年级下册
5. 已知：如图，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足
分别为点E，F。求证：BE＝DF。
6. 如图，在一块平行四边形场地ABCD 中，道路AFCE 的两条边
AE，CF 分别平分▱ABCD 的两个对角。这条道路的形状是平行
四边形吗？证明你的判断。
2
如图4-13，已知直线l1∥l2。任意画两条夹在直线l1
与l2之间的平行线段，并比较它们的长短。你发现了什
么？你能证明你的发现吗？试一试。
如果任意画两条夹在直线l1与l2之间，且与直线l1，l2垂直的线段呢？
（请与你的同伴交流）
一般地，平行线有下面的性质定理：
夹在两条平行线间的平行线段相等。
根据这个性质定理有以下推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等。
如图4-14，直线l1∥l2，AB∥CD，则AB＝CD。
如图4-15，直线l1∥l2，EF⊥l2，GH⊥l2，则EF＝GH。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都
相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两
条平行线之间的距离。如图4-15，线段EF（或GH）的长就是平行线l1与l2之
间的距离。
（第5题）
A
D
B
E
F
C
（第6题）
E C
A F
B
D
l2
l1
图4-13
图4-14
A
C
B
D
l2
l1
图4-15
l2
l1
E
G
F
H
110
第4章 平行四边形
▶例2 如图4-16，墙角立柜的上、下底面是一个等
腰直角三角形，腰长为1.4 m。现要将这个立柜搬过宽
为1.2 m的通道，能通过吗？
解：因为腰长1.4 m 大于通道宽1.2 m，所以在搬这
个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一条直角边方向平
移，都不能通过。
如图4-17，作立柜底面三角形ABC斜边上的高线CD。
因为AC＝BC＝1.4 m，
所以AB＝AC2＋BC2
＝1.42＋1.42 ＝1.4 2（m）。
因为CD⊥AB，
所以CD是AB边上的中线，
则CD＝1
2AB＝1
2×1.4 2 ＝0.7 2（m）。
因为0.7 2 ＜1.2，即CD长小于通道的宽，
所以使AB边平行通道两边来平移立柜就可以通过。
课内练习
KENEILIANXI
1. 填空：
（1） 如图①，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为
3 ，∠α＝60°，则AB＝
。
（2） 如图②，在▱ABCD中，∠A＝45°，BC＝2 cm，则AB与CD之
间的距离为 。
2. 如图，在▱ABCD 中，AB 与AD 的长度
之比为2∶1。求AB，CD 之间的距离与
AD，BC之间的距离之比。
A
B
l1
l2
①
α
②
B
A
45°
C
D
2 cm
（第1题）
B
A
D
C
（第2题）
C
B
D
A
图4-17
图4-16
111
数学 八年级下册
探究活动
TANJIUHUODONG
A组
作业题
ZUOYETI
1. 画直线l1∥l2，并使直线l1 与l2 之间的距离为1 cm。
2. 如图，E 是直线CD 上的一点。已知▱ABCD 的面积为52 cm
2，则
△ABE的面积为 cm
2。
3. 已知：如图，等边三角形ABC与等边三角形DBC的一边BC重合。
（1） 求证：四边形ABDC是平行四边形。
（2） 若△ABC的边长为2 3 cm，求平行四边形ABCD各组对边之
间的距离。
A
B
C
D
图4-19
C1
C2
C3
C4
l1
A
B
l2
图4-18
先观察图4-18，直线l1∥l2，点A，B 在直线l2 上，点C1，C2，C3，C4 在直线l1 上。
△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4的面积有怎样的关系？请说明理由。
现在我们来探讨以下问题：
（1） 若把图4-19 的四边形ABCD 改成一个三角形，并保持面积不变，可怎样
改？你有哪些不同的方法？
（2） 已知四边形ABCD （图4-19）。若把它改成一个以AB 为一条底边的梯形
或以AB为边的平行四边形，并保持面积不变，可怎样改？请画图说明。
（第2题）
B
E
C
D
A
（第3题）
A
B
D
C
112
第4章 平行四边形
B组
C组
4. 已知平行四边形的两邻边长分别为16 和20，两条较长边之间的距
离为8，求两条较短边之间的距离。
5. 如图，在▱ABCD 中，AB＝8 cm，AD＝5 cm，∠BAD 的平分线交
CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F。求线段EF的长。
6. 如图，一块长方形草地的中间有一条等宽的弯路，AC∥BD，CE∥
DF，CD∥AB。请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积
保持不变。
3
任意画一个平行四边形，连结它的两条对角线。你发现了什么？你能
证明你发现的结论吗？
（请与你的同伴交流）
平行四边形还有如下性质：
平行四边形的对角线互相平分。
已知：在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O （图4-20）。
求证：OA＝OC，OB＝OD。
证明：如图4-20，在▱ABCD中，
AD∥BC （平行四边形的定义），
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4。
又因为AD=CB （平行四边形的对边相等），
可证△AOD ≌△COB，
所以OA＝OC，OB＝OD。
（第5题）
B
A
F
E
C
D
D
C
A
B
E
F
（第6题）
图4-20
A
B
3
2
4
1
D
O
C
113
数学 八年级下册
▶例3 已知：如图4-21，▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O。过点O
作直线EF，分别交AB，CD于点E，F。求证：
OE＝OF。
证明：如图4-21，在▱ABCD中，
AB∥CD （平行四边形的定义），
所以∠1＝∠2。
又因为OA＝OC （平行四边形的对角线互相平分），∠3＝∠4，
所以△AOE ≌△COF。
所以OE＝OF。
▶例4 如图4-22，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点E，AC⊥BC。
若AC＝4，AB＝5，求BD的长。
分析：如图4-22，因为平行四边形的两条对
角线互相平分，所以要求BD 的长，只需求出BE
的长。在Rt△ABC 中，AB，AC 长已知，可求得
BC的长。又CE＝1
2AC，则BE可求。
请完成求解过程。想一想，你还有其他解法吗？
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知O 是▱ABCD 两条对角线的交点，AC＝24 mm，BC＝38 mm，
OD＝28 mm，则△OBC的周长为 。
2. 有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14 cm 和
20 cm，它的一边长为18 cm？为什么？
3. 已知：如图，▱ABCD 的对角线AC，BD
相交于点O，E，F 分别为OA，OC 的中
点。求证：△OBE ≌△ODF。
图4-22
D
B
A
E
C
（第3题）
D
E
O
A
F
C
B
图4-21
F
O
D
B
A
2
C
1
3
4
E
114
第4章 平行四边形
（第1题）
C
O
A
B
D
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O。
（1） 图中有多少对全等三角形？把它们写
出来。
（2） 图中有多少对面积相等的三角形？
2. 如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O。已知AB＝5 cm，
△OAB的周长比△BOC的周长小3 cm，求AD的长。
3. 已知：如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别在
AO，CO上，且AE＝CF。求证：∠EBO＝∠FDO。
4. 如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC，BD 的交点。已知AB＝4，
△AOB的周长是11，求对角线AC与BD的和。
5. 已知：如图，在▱ABCD 中，过AC 的中点O 的直线分别交CB，AD
的延长线于点E，F。求证：BE＝DF。
（第5题）
A
O
B
E
C
D
F
（第2题）
D
B
O
A
C
（第3题）
E
B
O
F
C
D
A
（第4题）
B
O
D
C
A
115
数学 八年级下册
4.3 图形的旋转
图形的旋转
1
风车的叶片，钟表的指针、钟摆在转动过程中，哪些改
变了？哪些保持不变？
观察节前图，风车的叶片由点A 至点B 的运动，钟表的钟摆由点C 至点
D 的运动，它们都有一个共同的特点，就是运动物体上各部分都绕同一个固
定的点，按同一个方向，旋转同一个角度。
一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上
的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图
形运动叫作图形的旋转（rotation）。这个固定的点叫作旋转中心（center of
rotation）。
你能举出在现实生活中图形旋转的例子吗？
做一做
ZUOYIZUO
1. 如图，射线OP经过怎样的旋转，得到射线OQ？
2. 如图所示是一双手的图片。你认为能
否经过旋转，使左手的图形与右手的图
形重合？经过轴对称呢？用你的左、右
手试一试。
（第2题）
Q
O
P
（第1题）
A
B
D
C
要描述一个旋
转，必须指出：旋转
中心，旋转的方向
（顺时针或逆时针）
和旋转的角度。
注意
116
第4章 平行四边形
A
C
E
F
D
B
图4-24
A
C
B
O
B′
A′
C′
图4-23
▶例1
如图4-23，O 是△ABC 外一点。
以点O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向
旋转80°，作出经旋转后的图形。
解：如图4-23。
1. 以点O 为旋转中心，分别把点A，B，C
按逆时针方向旋转80°，得点A′，B′，C′。
2.连结A′B′，B′C′，C′A′。
△A′B′C′就是所求作的经旋转后的图形。
一般地，图形的旋转有下面的性质：
图形经过旋转所得的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连
线所成的角度等于旋转的角度。
▶例2
已知：如图4-24，在△ABC 中，∠ACB＝90°，△DEC 是△ABC
以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形。求证：ED 所在的直线与
AB垂直。
证明：如图4-24，延长ED，交AB于点F。
因为△DEC是△ABC以点C为旋转中心，逆时针
旋转90°得到，所以∠DCE＝∠ACB＝90°，∠E＝∠B
（为什么？），则点E，C，A在同一条直线上。
因为∠A＋∠B＝90°，所以∠A＋∠E＝90°，则
∠EFA＝90°，即ED所在的直线与AB垂直。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺
时针方向旋转60°，作出经旋转所得的线段
A′B′，并求直线A′B′与直线AB所成的锐
角的度数。
（第1题）
O
A
B
117
数学 八年级下册
探究活动
TANJIUHUODONG
2. 下列各图中，正确表示将正方形X 绕点O 按顺时针方向旋转60°的
是（ ）。
3. 如图。
（1） 描述由图①到图②，图③的图形变化。
（2） 中华人民共和国香港特别行政区区徽中间紫荆花图案如图③
所示。观察由图①到图③的变化过程。若以图①为基础，要得
到一个紫荆花图案，需经过几次旋转？每次旋转的角度分别是
多少度？
如图4-25，能通过图形的旋转，使图形A 与图形B 重合
吗？如果用两种图形的运动呢？比如旋转和轴对称，旋转
和平移等。用扑克牌试一试，说出一种方法。
图4-25
B
A
（A）
X
X′
O
（B）
X
X′
O
（C）X
X′
O
（D）
X
X′
O
（第3题）
②
③
①
118
第4章 平行四边形
C
F
B
D
A
E
（第5题）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 在下面横线上填写各图案从左到右的运动是平移、旋转还是轴对称。
（1）
（2）
（3）
2. 分别按下列要求作出经旋转后的图形。
（1） 如图，O 是线段AB 上一点。以点O 为旋转中心，将线段AB 按
逆时针方向旋转100°。
（2） 如图，以点O 为旋转中心，将扇形P 按
顺时针方向旋转90°。
3. 如图，以点O为旋转中心，将△ABC按顺时
针方向旋转60°，作出经旋转所得的图形。
4. 描述从3:15到4:00时钟的时针和分针所作的图形运动。
5. 如图，D 是等腰直角三角形ABC 的斜边
AB 的中点，点E，F 分别在腰AC，BC
上，且AE＝CF。能通过旋转△DAE得
到△DCF吗？请说明理由。
（第3题）
C
A
B
O
（第2题）
（1）
O
A
B
（2）
P
O
119
数学 八年级下册
6. 如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝100°，P 为△ABC 内的一点。
把△ABP 绕点B ，按逆时针方向旋转100° ，得△BCE，画出
△BCE，并求出直线AP与EC所成的角的度数。
2
如图4-26，O 是▱ABCD 的对角线AC，BD 的
交点。以点O 为旋转中心，把▱ABCD 按顺时针方
向旋转180°，作出所得的图形。
你发现了什么？请剪出图形动手试一试，观察
旋转180°前后原图形和新图形的位置情况。
如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图
形互相重合，那么这个图形叫作中心对称（point symmetry）图形，这个点叫对
称中心。如图4-26 的▱ABCD 是中心对称图形，两条对角线的交点是它的
对称中心。
类似地，如果一个图形绕着点O 旋转180°后，能够和另外一个图形互相
重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称。如图4-26，△AOD 绕点
O旋转180°后与△COB重合，则△AOD与△COB关于点O成中心对称。
做一做
ZUOYIZUO
下列哪些图形是中心对称图形？
图4-26
A
B
C
O
D
（2）
（1）
（第6题）
A
B
C
P
120
第4章 平行四边形
根据中心对称图形的定义，容易得出中心对称图形的以下性质：
对称中心平分连结两个对称点的线段。
▶例3
如图4-27，已知△ABC 和点O，作△A′B′C′，使△A′B′C′与
△ABC关于点O成中心对称。
解：如图4-28。
（1） 连结AO 并延长到点A′，使A′O＝AO，则点A′即点A 关于点O 成
中心对称的对称点。
（2） 同理，作出点B，C的对称点B′，C′。
（3） 连结A′B′，B′C′，C′A′。
△A′B′C′即为所求作的三角形。
▶例4 求证：在直角坐标系中，点A（x，y）与点B（－x，－y）关于原
点成中心对称。
分析：由中心对称的定义知，要证明A，B 两点
关于原点O 对称，只需证明A，O，B 三点共线，且
AO=BO即可。
证明：如图4-29，连结AO，BO，作AC⊥x 轴，
BD⊥x轴，C，D分别为垂足。
因为
|
| x ＝
|
|－x ，|
| y ＝
|
|－y ，
所以CO＝DO，AC＝BD，
B
C
A
O
B′
C′
A′
图4-28
（4）
（3）
A
B
C
O
图4-27
D
O
y
C
x
A（x，y）
B（－x，－y）
图4-29
121
数学 八年级下册
A组
所以Rt△AOC ≌Rt△BOD，得AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
所以∠BOD＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD＝180°，
即点A，O，B 在一条直线上，当将点A 绕点O 旋转180°时，点A 与点B
重合。
所以点A，B关于原点成中心对称 (我们也称点A，B关于原点对称)。
课内练习
KENEILIANXI
1. 观察图形，并回答下面的问题：
（1） 哪些是轴对称图形？
（2） 哪些是中心对称图形？
（3） 哪些既是中心对称图形，又是轴对称图形？
（4） 哪些既不是中心对称图形，又不是轴对称图形？
（第1题）
②
③
B
A
①
④
⑤
2. 在直角坐标系中，找出下列各点中关于原点对称的点。
（－1，0），
（2，1），
（－3，－1），
（1，0），
（－3，1），
（3，1），
（－2，－1），
（4，－
2），
（3，－1），
（－4，2）。
作业题
ZUOYETI
1. 观察如图图形，并回答下面的问题：
（1） 哪些是轴对称图形？
122
第4章 平行四边形
B组
（2） 哪些是中心对称图形？
（3） 哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
2. 在直角坐标系中，点A（－7，5）关于原点对称的点的坐标是 ，
关于x轴对称的点的坐标是 。
3. 已知△ABC（如图）。以点O 为对称中心，求作与△ABC 成中心对
称的图形。
4. 如图，O 是▱ABCD 的对称中心。这个图形是不是中心对称图形？
如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使
它成为中心对称图形。
5. 下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中
心，并回答：至少把图形绕旋转中心旋转多少度，就能和原图案
重合？
6. 举出两个在现实生活中体现中心对称图形的例子。
①
④
（第1题）
③
②
（第4题）
C
B
A
D
O
C
B
A
O
（第3题）
（第5题）
②
①
123
数学 八年级下册
设计题
SHEJITI
Ｃ组
7. 如图是由五个小正方形拼成的图形。请你移动其中一个小正方形，
重新拼一个图形，使得所拼成的新图形：
（1） 是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2） 是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3） 既是轴对称图形，又是中心对称图形。
请分别画出示意图。
图案设计
下面这两幅图案的设计思路都是先画出一个基础图形，再将这个基础图形进
行旋转、轴对称、平移，并通过多次运用，形成一幅美丽的图案。
（1） 图4-30选用怎样的基础图形，运用哪几种图形的运动形成的？图4-31呢？
（2） 运用旋转、轴对称、平移设计一幅图案，并简单介绍你的设计思路。
图4-30
图4-31
（第7题）
124
第4章 平行四边形
命题“平行四边形的一组对边平行且相等”是真命题吗？写出它的逆命
题。这个逆命题是真命题吗？
（请与你的同伴交流）
我们知道，根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四
边形。除此之外，我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：如图4-32，在四边形ABCD中，AD
❶BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：因为AD∥BC，根据平行四边形的定义，只要
再证明AB∥DC 即可。而要证明AB∥DC，可连结AC，
证明相应的内错角相等。
证明：如图4-33，连结AC。
因为AD∥BC，
所以∠ACB＝∠CAD。
又因为AD＝CB，AC＝CA，
可证△ABC ≌△CDA，
所以∠ACD＝∠CAB，
所以AB∥CD。
所以四边形ABCD是平行四边形 （根据什么？）。
❶ 符号“
”表示平行且相等。
图4-32
D
C
A
B
B
C
A
D
图4-33
一组对边平行，
另一组对边相等的
四边形是平行四边
形吗？
1
4.4 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理
你见过如图所示的晾衣架吗？如果
依次连结A，B，C，D四个端点，得到的四
边形一定是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
125
数学 八年级下册
A组
▶例1 已知：如图4-34，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点。
求证：EF∥AD。
证明：在▱ABCD中，AB
CD （为什么？）。
又因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以AE
DF。
所以四边形AEFD是平行四边形 （一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形）。
所以EF∥AD （平行四边形的定义）。
我们还有以下判定一个四边形是平行四边形的定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
请你完成这一定理的证明。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，把线段AB 平移到线段A′B′。AB 与A′B′平行吗？请说明
理由。
2. 已知：如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD。
求证：AB∥CD。
作业题
ZUOYETI
1. 已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC
上的两点，且AE＝CF。求证：四边形
BFDE是平行四边形。
图4-34
D
F
A
B
C
E
（第1题）
C
A
E
F
B
D
（第2题）
D
C
A
B
A′
B′
B
A
（第1题）
126
第4章 平行四边形
B组
2. 已知：如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点。求证：BE＝DF。
3. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点。求
证：四边形BDEF是平行四边形。
4. 已知：如图，在梯形ABCD 中，CD∥AB，AD
＝BC。E是AB上一点，且AE＝CD，∠B＝
60°。求证：△BCE是等边三角形。
5. 已知直角坐标系内四个点A（a，1），B（b，1），
C（c，－1），D（d，－1）。以点A，B，C，D 为顶点的四边形一定是平
行四边形吗？如果认为是，请给出证明；如果认为不一定是，请添加
一个条件，使它成为平行四边形。
2
平行四边形具有对角线互相平分的性质，它的逆命题成立吗？
判定一个四边形是平行四边形，还有以下的定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图4-35，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，且
AO＝CO，BO＝DO。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：在△AOD和△COB中，
由AO＝CO，DO＝BO，∠AOD＝∠COB，
可得△AOD ≌△COB。
所以AD＝CB。
同理，AB＝CD。
所以四边形ABCD 是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行
四边形）。
E
D
B
F
C
A
（第2题）
E
A
F
D
C
B
（第3题）
（第4题）
C
D
A
B
E
图4-35
D
O
B
C
A
127
数学 八年级下册
（第3题）
b
α
a
▶例2 已知：如图4-36，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且
∠BAE＝∠DCF。求证：四边形AECF是平行四边形。
分析：不难发现，四边形AECF 与▱ABCD 有相同的对角线AC。如图
4-37，连结AC，交BD 于点O，则AO＝CO，BO＝DO。因此只要证明BE＝
DF，就能证明EO＝FO。根据定理“对角线互相平分的四边形是平行四边
形”就能证明四边形AECF是平行四边形。
证明：如图4-37，连结AC，交BD于点O。
在▱ABCD中，BO＝DO，AO＝CO （平行四边形的对角线互相平分）。
由AB∥CD （平行四边形的定义），得∠ABE＝∠CDF。
又因为∠BAE＝∠DCF，AB＝CD （平行四边形的对边相等），
所以△ABE ≌△CDF，得BE＝DF，
所以BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO。
所以四边形AECF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四
边形）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 请回答本节节前语中的问题，并说明理由。
2. 已知：如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角
线AC 上的两个点，G，H 是对角线BD
上的两个点，AE＝CF，DG＝BH。求
证：四边形EHFG是平行四边形。
3. 已知：线段a，b，∠α （如图）。用直尺和圆规
作一个平行四边形，使它的两条对角线长分
别等于线段a，b，两条对角线所成的一个角
等于∠α。
B
E
A
D
C
F
图4-36
图4-37
E
A
D
C
B
O
F
（第2题）
A
C
E
D
G
B
H
F
O
128
第4章 平行四边形
探究活动
TANJIUHUODONG
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 求作▱ABCD，使对角线AC＝4 cm，BD＝3 cm，两条对角线所成的
一个角为60°。
2. 已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线。延长AC至点F，反向延
长AC至点E，使AE＝CF。求证：四边形EBFD是平行四边形。
3. 已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别
与对角线BD交于点E，F。求证：四边形AECF是平行四边形。
4. 已知在直角坐标系中，四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为
A(
)
－
3 ，－
2 ，B（1，－1），C (
)
3 ，2 ，D（－1，1）。以点A，B，
C，D为顶点的四边形是不是平行四边形？请给出证明。
5. 已知：如图，▱ABCD的两条对角线相交
于点O，直线EF，GH 过点O，分别交
AD，BC，AB，CD 于点E，F，G，H。求
证：四边形GFHE是平行四边形。
（第3题）
F
A
B
D
E
C
D
C
A
F
B
E
（第2题）
（第5题）
E
D
G
B
F
C
H
O
A
任意画一个三角形和三角形一条边上的中线。比较这条中线的2 倍与三角形
另外两边的和的大小，你发现了什么？再画几个三角形试一试，你发现的结论仍然
成立吗？试证明你的发现。
129
数学 八年级下册
C
A
D
B
E
4.5 三角形的中位线
三角形的中位线
要测量池塘两端B，C的距离，小明想出一
个方法：在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并
取AB，AC 的中点D，E，连结DE。只要量出
DE 的长，就可以求得B，C 两端的距离。你知
道为什么吗？
在本节中，我们将运用平行四边形的有关知识，探索三角形中位线的性质。
合作学习
HEZUOXUEXI
任意画一个△ABC，然后分别取AB，AC的中点D，E，连结DE。通过观
察、测量等方法，你发现线段DE 有哪些性质？你能用命题的形式表述你所
发现的性质吗？试一试。
（请与你的同伴交流）
连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。如图4-38，在
△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，DE 就是△ABC 的一条中位线。我
们可得到下面三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图4-38，DE是△ABC的中位线。
求证：DE 1
2BC。
分析：因为E 是AC 的中点，可以考虑以点E 为中
心，把△ADE 按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，如
图4-39。这样就只需证明四边形BCFD是平行四边形。
证明：如图4-39，以点E 为旋转中心，把△ADE 绕点E，按顺时针方向
旋转180°，得△CFE，则点D，E，F 在同一条直
线上，DE＝EF，且△ADE ≌△CFE。从而得
∠ADE＝∠F，AD＝CF，所以AB∥CF。
图4-38
A
E
D
B
C
图4-39
E
D
F
A
B
C
130
第4章 平行四边形
A组
又因为BD＝AD＝CF，
所以四边形BCFD 是平行四边形 （一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形），
所以DF BC
（根据什么？），
所以DE 1
2BC。
▶例 已知：如图4-40，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，
CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：由E，F，G，H 分别是四边形ABCD 各边
的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明。
证明：如图4-41，连结AC。
因为EF是△ABC的中位线，
所以EF＝1
2AC （三角形的中位线等于第三边的一半）。
同理，HG＝1
2AC。
所以EF＝HG。
同理可得EH＝FG。
所以四边形EFGH是平行四边形 （两组对边分
别相等的四边形是平行四边形）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 任意作一个三角形，然后作出它的三条中位线。
2. 请解答本节节前语中的问题。
作业题
ZUOYETI
1. 三角形的周长为18 cm，它的三条中位线围成的三角形的周长
是 。
图4-40
A
H
E
G
F
C
B
D
你能用不同的
方法加以证明吗？
图4-41
H
D
E
G
F
C
B
A
131
数学 八年级下册
B组
C组
2. 已知：如图，DE，EF 是△ABC 的两条中位线。求证：四边形BFED
是平行四边形。
3. 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，DE 和
AF交于点O。求证： DE与AF互相平分。
4. 取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明
你的方法，并画出示意图。
5. 已知：如图，△ABC 是锐角三角形。分
别以AB，AC 为边向外侧作等边三角
形ABM 和等边三角形ACN。D，E，F
分别是MB，BC，CN 的中点，连结DE，
FE。求证：DE＝FE。
（第3题）
A
E
B
F
C
O
D
（第2题）
A
E
B
C
F
D
我国古代有一个叫《路边苦李》的故事：
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙
伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。有人问王戎为什么，王戎回
答说：
“树在道边而多子，此必苦李。”小伙伴摘取李子尝了一下，果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？
路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断树上李
子的味道一定是苦的，你认为有道理吗？为什么？
4.6 反证法
反证法
（第5题）
M
A
N
D
B
E
C
F
132
第4章 平行四边形
在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经
过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得
出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反
证法（proof by contradiction）。
▶例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知：四边形ABCD（图4-42）。
求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或
直角，即∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°，∠D<90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＋∠D<360°，
这与“四边形的内角和为360°”矛盾。
所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
合作学习
HEZUOXUEXI
求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行。
（1） 你会选择哪一种证明方法？
（2） 如果你选择反证法，先怎样假设？结果与什么产生矛盾？
（请与你的同伴交流）
课内练习
KENEILIANXI
1. 用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等。
已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，A，B
为交点，l1∥l2。
求证：∠1＝∠2。
证明：假设所求证的结论不成立，
即 ≠ 。
过点A 作直线l4，使l4与l3所成的∠3 与
∠2相等，则∠3 ∠1，
D
A
B
C
图4-42
l3
l4
3
1
2
A
l1
l2
B
（第1题）
133
数学 八年级下册
A组
B组
C组
所以直线l4与直线l1不重合。
但l4∥l2（ ），又已知l1∥l2，这与基本事实
“ ”产生矛盾，所以 不成立。
所求证的结论成立。
2. 证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。
作业题
ZUOYETI
1. 已知：两条不重合的直线AB，CD 相交。求证：AB，CD 只有一个
交点。
2. 求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°。
3. 求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，
那么和另一条也相交。
4. 已知：如图，直线l 与l1，l2，l3都相交，且l1∥
l2，l1∥l3。求证：∠1＝∠2。
5. 反证法的思想也时常体现在人们的日常交
流中，下面是有关的一个例子：
妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天正在
外地旅游。
小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈
妈呢！
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题
的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两
个例子。
6. 一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出
一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落
在原铁皮零料的四条边上。可以怎样裁？
l2
l1
1
2
l3
l
（第4题）
C
B
A
D
（第6题）
134
第4章 平行四边形
阅读材料
YUEDUCAILIAO
图4-43
b/个
S/平方单位
①
②
③
④
格点多边形的面积计算
如图4-43，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）
上，这样的多边形称为格点多边形。要计算格点多边形的面积，当然我们可
以通过统计多边形内的方格数得到。有没有更简便的方法呢？我们进行如
下的探索。
记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积
为S。图4-43①中，a＝4，b＝5；图4-43②中，a＝4，b＝6。
观察图4-43，格点多边形内的格点
数a均为4，统计各格点多边形内的方格数，
求出各格点多边形的面积，并填写右表。
在图4-44的直角坐标系中
画出S 关于b 的函数图象。判
断S 关于b 的函数是哪一类函
数，并求出函数表达式。
上面你求出的函数表达式
是当a＝4 时的情况。更一般
地，格点多边形的面积公式可
表示为S＝ma＋nb－1 （其中
m，n为常数），你能猜测出m，n的值吗？说出你的结论及理由。
用图4-45验证你所得到的公式是否也适合凹格点多边形的情形。
奥地利数学家皮克（G.Pick，1859～1942）证明了格点多边形的面积公
式，人们称之为皮克定理。查找有关皮克定理的资料，并和你探究的结果作
比较。
图4-44
1 2 3 4 5 6 7 8
8
7
6
5
4
3
2
1
O
b
S
图4-45
①
③
②
④
图4-43
135
数学 八年级下册
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习了平行四边形的性质和判定、图形的旋转、三角形的中位线以及
反证法。四边形和三角形一样，是生活中常见的多边形，平行四边形是一类特殊的
四边形，它有丰富的性质和广泛的应用。平行四边形问题往往可以借助添加对角
线，转化为三角形问题进行研究；反过来，应用平行四边形的性质也可以解决一些
三角形问题，如三角形中位线性质的证明。图形的旋转和平移、轴对称一样，属于
图形的全等变化，是探索图形性质和设计图案的工具。中心对称是一种特殊的旋
转变化。平行四边形是典型的中心对称图形，它的边、角、对角线所具有的性质都
反映了中心对称的特点。反证法是一种间接证明的方法，可以用来解决一些直接
证明有困难或比较复杂的证明问题。从一般到特殊，直观想象、图形转化、实验操
作、归纳猜想、推理论证是本章学习和问题解决的主要思想和方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1. 多边形的内角和与边数n （n≥3）之间有怎样的关系？多边形的外角和是多
少？与边数n之间有关系吗？
2.平行四边形有哪些性质？有哪些判定方法？
3. 一个图形经过旋转，所得的图形和原图形有怎样的关系？图形的旋转有什
么性质？中心对称图形有怎样的性质？
4.三角形的中位线有怎样的性质？
5.什么是反证法？反证法与举反例的主要区别是什么？
平行四边形的性质
中心对称
图形的旋转
平
行
四
边
形
四
边
形
多
边
形
反证法
三角形的中位线的性质
平行四边形的判定
136
第4章 平行四边形
目标与评定
目标 4.1节
A
目标 4.2节
B
★了解多边形的概念以及多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念。
★探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。
1. 如图，在四边形ABCD 中，AB⊥BC，∠A＝∠C＝100°，
则∠D的度数为 。
2. （1） 十二边形的内角和的度数是 。
（2） 一个多边形的内角和是它的外角和的55 倍，这个
多边形的边数是 。
3. 一个十边形有多少条对角线？
4. 如图，在四边形ABCD 中，∠C＝110° ，与∠BAD，
∠ABC 相邻的外角都是120°。求与∠ADC 相邻的外角
α的度数。
5. 如图，在六边形ABCDEF 中，∠B＝∠E，∠A＝∠D，
BC∥EF。
（1） 求证：AF∥CD。
（2） 求∠A＋∠B＋∠C的度数。
★理解平行四边形、梯形的概念。
★了解四边形的不稳定性。
6. 如图，点A，B，C 在同一直线上，点D，E，F，G 在同一直线上，且AC∥DG，AD∥
BE∥CF，AF∥BG。找出图中的平行四边形和梯形。
7. 如图，窗户的支撑装置（四边形ABCD）被设计成平行四边形。你能说明其中的
理由吗？
（第1题）
B
D
C
A
D
E
F
C
B
A
（第5题）
（第4题）
C
D
A
B
120°
120°
110°
α
D
E
F
G
A
B
C
（第6题）
（第7题）
D
C
A
B
137
数学 八年级下册
8. 如图，已知线段a，b和∠α。
（1） 以线段a，b为一组邻边作平行四边形。这样的平行
四边形能作几个？
（2） 以线段a，b 为一组邻边，它们的夹角为∠α，作一个
平行四边形。这样的平行四边形能作几个？
★探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对
角线互相平分。
★理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。
9. 已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD。求证：BE＝AB。
10. 如图，O 是▱ABCD 的对角线的交点。已知△OBC 的周长为59，BD＝38，
AC＝24，求AD的长。
11. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B＝60°，AB＝2CD＝10 cm。
（1） 求证：AD＝BC。
（2） 求AB与CD之间的距离。
12. 已知：如图，在▱ABCD 中，MN∥AC，分别交DA，DC 的延长线于点M，N，交
AB，CB于点P，Q。求证：MQ＝NP。
13. 已知：如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，且BD＝DF＝FA。
求证：DE＋FG＝BC。
α
a
b
（第8题）
目标 4.2节
C
（第9题）
D
B
C
E
A
（第10题）
O
A
D
B
C
（第13题）
A
G
D
E
B
C
F
（第12题）
A
P
B
Q
N
D
C
M
C
B
A
D
（第11题）
138
第4章 平行四边形
目标 4.4节
D
目标 4.5节
E
★探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四
边形是平行四边形。
14. 已知：如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在AB，CD 上，且AE＝CF。求证：四边
形EBFD是平行四边形。
15. 已知：如图，在▱ABCD 中，G，H 分别是AB，CD 的中点，点E，F 在AC 上，且
AE＝CF。求证：四边形EGFH是平行四边形。
16. 已知：如图，在▱ABCD 中，O 为AC 的中点，EF 过点O，分别交AD，CB 的延长
线于点E，F。求证：四边形AFCE是平行四边形。
17. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝4，
BC＝3。将△ABC 沿AB 方向平移至△A′B′C′，
使A′C′经过BC的中点D。
（1） 求证：AA′＝A′B＝BB′。
（2） 求梯形AB′C′C的面积。
★探索并证明三角形的中位线定理。
18. 已知：如图，在△ABC 中，中线BE，CF 交于点O，G，H 分别是OB，OC 的中点，
连结GH，HE，EF，FG。求证：FG∥EH。
19. 已知：如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点。
求证：△DEF ≌△HFE。
C
C′
A′
B
B′
D
A
（第17题）
B
E
G
C
A
H
D
F
（第15题）
A
E
B
F
C
D
（第14题）
E
D
O
C
F
B
A
（第16题）
（第18题）
A
C
O
H
E
G
F
B
（第19题）
E
H
C
A
F
B
D
139
数学 八年级下册
★通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，并探索它的基本性质。
★了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质。
★探索线段、平行四边形的中心对称性质。
★认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
20. 已知等边三角形ABC（如图）。
（1） 以点A 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转
30°，作出旋转后的图形。
（2） 经第（1）题旋转所得的图形与△ABC 之间有没有
互相垂直的边？证明你的判断。
21. 下列各图案中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？哪些既是中心对称
图形，又是轴对称图形？哪些既不是轴对称图形，也不是中心对称图形？
22. 一块蛋糕的形状如图，表面是平行四边形，且有一个圆孔。你能切一刀把它分
成大小相等的两块吗？说出你的切法，并画出示意图。
23. 已知▱ABCD 的两条对角线相交于直角坐标系的原点O，点A，B 的坐标分
别为（－1，3），
（1，2）。求点C，D的坐标。
目标 4.3节
F
B
（第20题）
C
A
（第21题）
②
①
③
⑤
⑥
④
（第22题）
140
第4章 平行四边形
目标 4.6节
Ｇ
★通过实例体会反证法的含义。
★了解平行于同一条直线的两条直线平行。
★会综合运用本章知识解决有关作图、计算和证明问题。
24. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”
（填空）。
已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1＋∠2 180°。
求证：直线l1与l2 。
证明：假设l1 l2，
则∠1＋∠2 180°
（ ）。
这与 矛盾，故 不成立。
所以 。
25. 已知：如图，在▱ABCD 中，E 为AB 的中点，EF∥BC，交CD 于点F。求证：CF
＝DF。
26. 用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平
方，那么这个三角形不是直角三角形。
27. 在直角坐标系中，已知点A（2a，a－b＋1），B（b，a＋1）关于原点对称，求a，b 的
值，并写出这两个点的坐标。
28. 如图，O 是等边三角形ABC 内任意一点，OD∥BC，OE∥
AC，OF∥AB，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 上。求证：
OD＋OE＋OF＝BC。
1
l3
l1
l2
2
（第24题）
F
C
B
E
A
D
（第25题）
（第28题）
F
C
B
E
A
D
O
141
数学 八年级下册
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四
边形，它们有许多有用的性质，而且图形
工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生
活和生产实践中有着广泛的应用。
本章我们将类比平行四边形的研究
方法，继续学习矩形、菱形、正方形这些特
殊平行四边形的概念、性质和判定。
第5章
特殊平行四边形
第5章 特殊平行四边形
数学 八年级下册
5.1 矩
矩 形
形
1
矩形具有工整、美观、设计方便等特点，广泛地被人
们所采用。你知道矩形具有哪些一般平行四边形所没有
的性质？
图5-1
合作学习
HEZUOXUEXI
我们知道，平行四边形具有不稳定性。如图
5-1，平行四边形的边长固定，它的形状随着相邻
两边夹角的变化而变化。
（1） 平行四边形随夹角变化的过程中，什么
情况下面积最大？为什么？
（2） 这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？比较它的两条对
角线的长度，有什么发现？
（请与你的同伴交流）
如图5-2，我们把有一个角是直角的平行四边形叫作矩
形（rectangle）。矩形就是小学里学过的长方形。在人们的
日常生活和生产实践中，矩形有着广泛的应用，如书本、黑
板、电视机屏幕的表面等一般都采用矩形的形状（图5-3）。
图5-2
图5-3
144
第5章 特殊平行四边形
矩形是特殊的平行四边形，所以它不但具有一般平行四边形的性质，而
且还具有一些特殊的性质。
定理1：矩形的四个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
根据矩形的定义和平行四边形内角的性质，容易推得定理1，请你写出
证明过程。下面给出定理2的证明。
已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线（图5-4）。
求证：AC＝BD。
证明：在矩形ABCD中，AB＝CD （根据什么？），
∠ABC＝∠DCB＝Rt∠ （矩形的四个角都是直角）。
又BC＝CB，可证Rt△ABC ≌Rt△DCB。
所以AC＝BD。
▶例1
已知：如图5-5，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，
∠AOD＝120°，AB＝4 cm。
（1） 判断△AOB的形状。
（2） 求矩形对角线的长。
解：（1） 在矩形ABCD中，
AC＝BD （矩形的对角线相等）。
因为OA＝OC＝1
2AC，OB＝OD＝1
2BD（平行四边形的对角线互相平分），
所以OA＝OC＝OB＝OD。
由∠AOD＝120°，得∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形。
（2） 因为AB＝4 cm，所以AC＝BD＝2AB＝8 cm，即矩形对角线的长
为8 cm。
从上例可以看到，矩形的对角线相等且互相平
分，并把矩形划分成四个等腰三角形。如果过对角
线交点O 作两条直线l1，l2分别垂直于矩形的两条相
邻的边（图5-6），那么直线l1，l2必定分别垂直平分两
组对边。所以，矩形既是中心对称图形，又是轴对称
图形，它至少有两条对称轴。
图5-4
D
A
C
B
图5-5
C
120°
O
D
A
B
图5-6
B
C
O
D
A
l1
l2
145
数学 八年级下册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点。求证：
四边形AEFD是矩形。
2. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O。图中有多少对全等三
角形？把它们写出来。
作业题
ZUOYETI
1. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O。图中和∠α 相等的角
有几个？把它们写出来。
2. 已知：如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点。求证：AM＝DM。
3. 已知：如图，过矩形ABCD的顶点作CE∥BD，交AB的延长线于点E。
求证：∠CAE＝∠CEA。
4. （1） 判断如图5×5方格内四边形ABCD是不是矩形，请说明理由。
（2） 以DE为一边作一个矩形，要求另外两个顶点也在方格顶点上。
（第4题）
C
D
B
A
E
（第1题）
D
A
B
C
O
α
B
A
C
M
D
（第2题）
（第3题）
E
D
A
B
C
（第1题）
A
E
B
D
C
F
（第2题）
B
O
C
A
D
146
第5章 特殊平行四边形
5. 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半。
6. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一
点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F。
求证：CE＝FE。
2
要判定一个四边形是矩形，除了利用定义之外，还有以下的定理：
定理1：三个角是直角的四边形是矩形。
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
请你自己完成定理1的证明过程。下面给出定理2的证明。
已知：如图5-7，在▱ABCD中，AC＝BD。
求证：▱ABCD是矩形。
分析：要证明▱ABCD 是矩形，只要证明其中一个角是直角，这可以通
过证明一组邻角相等得到。
证明：如图5-7，在▱ABCD中，AB＝CD。
又因为AC＝DB，BC＝CB，
所以△ABC≌△DCB，
所以∠ABC＝∠DCB。
因为AB∥CD （根据什么？），
所以∠ABC＋∠DCB＝180°，
得∠ABC＝1
2×180°＝90°。
所以▱ABCD是矩形 （矩形的定义）。
（第6题）
C
D
E
A
F
B
图5-7
C
D
B
A
147
数学 八年级下册
▶例2 如图5-8，一张四边形纸板ABCD 的两条对角线互相垂直。若
要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD
的四条边上，可怎样剪？
解：如图5-9，分别取AB，BC，CD，DA 的中点E，F，G，H，依次连结
EF，FG，GH，HE。沿四边形EFGH 的各条边剪，就能剪出符合要求的矩
形。下面给出证明。
因为EF是△ABC的一条中位线，
所以EF∥AC （根据什么？）。
因为AC⊥BD，
所以EF⊥BD。
因为EH是△ABD的一条中位线，
所以EH∥BD，
所以EF⊥EH，即∠HEF＝90°。
同理，∠EHG＝90°，∠HGF＝90°。
所以四边形EFGH是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1） 对角互补的平行四边形是矩形；
（2） 一组邻角相等的平行四边形是矩形；
（3） 对角线相等的四边形是矩形；
（4） 内角都相等的四边形是矩形。
2. 已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的两条
对角线，AE＝BF＝CG＝DH。求证：四
边形EFGH是矩形。
G
C
F
B
O
E
H
A
D
图5-9
符合要求的矩形
还可以怎样剪？
（第2题）
A
E
H
O
G
F
B
D
C
A
O
C
B
D
图5-8
148
第5章 特殊平行四边形
A组
B组
C组
作业题
ZUOYETI
1. 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，∠1＝∠2。
求证：▱ABCD是矩形。
2. 已知：如图，Rt△ABC ≌Rt△CDA，其中点A，D 的对应点分别是点
C，B，∠B＝∠D＝Rt∠。求证：四边形ABCD是矩形。
3. 如图，BC 是等腰三角形BED 的底边ED 上的高线，四边形ABEC
是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。
4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，M，N，P，Q 分
别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形MNPQ是矩形。
5. 已知：如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内
折叠，恰好拼成一个无缝隙、不重叠的四边形
EFGH。
（1） 求证：四边形EFGH是矩形。
（2） 若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求边AD的长。
（第2题）
C
A
D
B
（第1题）
B
O
C
A
D
2
1
D
A
C
E
B
（第3题）
Q
D
P
M
B
N
C
A
（第4题）
（第5题）
D
H
A
E
G
F
C
B
J
K
149
数学 八年级下册
合作学习
HEZUOXUEXI
我们知道，有一个角为直角的平行四边形
是矩形。如图5-10，将▱ABCD 的边AB 沿
BC 方向平移，可得到一系列平行四边形。当
▱ABCD 的邻边相等时，对角线有什么特殊的
性质？
（请与你的同伴交流）
我们把一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（rhombus）。例如，图5-10
中，▱ABCD 是菱形。菱形具有工整、匀称、美观等许多优点，常被人们用在
图案设计上，如图5-11。
菱形也是特殊的平行四边形，所以它除具有一般平行四边形的性质外，
还具有一些特殊的性质。
定理1：菱形的四条边相等。
定理2：菱形的对角线互相垂直。
定理1的证明比较简单，请你自己完成。下面我们给出定理2的证明。
B
A
C
D
图5-10
5.2 菱形
菱形
1
菱形是一种美观的图形。如图是
三星堆出土文物中的菱形青铜饰品。
菱形有哪些性质？
图5-11
地毯图案
墙面装饰
窗花
150
第5章 特殊平行四边形
已知：在菱形ABCD 中（图5-12），对角线
AC，BD相交于点O。
求证：AC⊥BD。
证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD （菱形的定义），
BO＝DO （根据什么？）。
所以AC⊥BD。
想一想，菱形具有怎样的对称性？
▶例1 如图5-13，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
∠BAC＝30°，BD＝6。求菱形的边长和对角线AC的长。
解：在菱形ABCD中，AB=AD （根据什么？），
AO⊥BD （菱形的对角线互相垂直），
所以AC平分∠BAD。
又因为∠BAC＝30°，得∠BAD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
则AB＝BD＝6，即菱形的边长为6。
又因为OB＝OD＝3，
AC⊥BD （菱形的对角线互相垂直），
由勾股定理，得AO＝
AB2－BO 2＝
62－32＝3
3，
所以菱形的对角线AC＝2AO＝6
3。
课内练习
KENEILIANXI
1. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ）。
（A） 对角线互相平分
（B） 四条边都相等
（C） 对角相等
（D） 邻角互补
2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足为E，F。求证： AE＝AF。
图5-12
B
C
O
D
A
BD 是否平分
∠ABC 和∠ADC？
你发现了什么？
B
E
F
C
A
（第2题）
D
图5-13
B
D
A
O
C
151
数学 八年级下册
A组
B组
C组
作业题
ZUOYETI
1. 已知菱形的两条对角线长分别为a，b，求菱形的面积。
2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是CB，CD 上的点，且BE＝
DF。求证：∠AEF＝∠AFE。
3. 如图，四边形ABCD 和四边形AECF 都是菱形，点E，F 在BD 上。
已知∠BAD＝100°，∠EAF＝60°，求∠ABD和∠BAE的度数。
4. 如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是BC，CD 的中点，且AE⊥BC，
AF⊥CD。求菱形各个内角的度数。
5. 如图，在菱形ABCD 中，CE⊥AB 于点E。已知∠BCE＝30°，CE＝
3 cm，求菱形ABCD的周长和面积。
6. 剪两个全等的等腰三角形（三边不全相等）纸片，拼成一个平行四边
形。有几种拼法？拼出的平行四边形都是菱形吗？如果不都是菱
形，怎样拼才是菱形？说明拼法，并画出示意图。
F
A
B
C
D
E
（第3题）
B
E
F
C
A
D
（第2题）
D
F
C
E
A
B
（第4题）
（第5题）
B
E
A
C
D
152
第5章 特殊平行四边形
2
如何判定一个四边形或平行四边形是菱形呢？
合作学习
HEZUOXUEXI
取一张长方形纸片，按图5-14 的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚
线）剪开，把剪下的I这部分展开，平铺在桌面上。
（1） 剪出的这个图形 （Ⅰ部分展开）是哪一种四边形？一定是菱形吗？
（2） 通过折叠、裁剪，议一议，这个四边形的边和对角线分别具有什么
性质？
（3） 一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？
（请与你的同伴交流）
一般地，判定菱形有以下的定理：
定理1：四边相等的四边形是菱形。
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
请你自己完成定理1的证明。下面我们给出定理2的证明。
已知：如图5-15，在▱ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。
求证：▱ABCD是菱形。
证明：在▱ABCD中，
AO＝CO （平行四边形的对角线互相平分）。
因为BD⊥AC，
所以AD＝CD （根据什么？）。
所以▱ABCD是菱形 （菱形的定义）。
图5-14
②
③
①
Ⅰ
Ⅱ
图5-15
D
C
B
A
O
153
数学 八年级下册
探究活动
TANJIUHUODONG
如图5-17，DF，EF 是△ABC 的两条中位线。探究：这两条中位线和三角形的
两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？
建议按下列步骤探索：
（1） 围成的四边形是否必定是平行四边形？
（2） 在什么条件下，围成的四边形是菱形？
（3） 在什么条件下，围成的四边形是矩形？
（4） 你还能发现其他结论吗？
▶例2
如图5-16，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边
AD，BC分别交于点E，F。求证：四边形AFCE是菱形。
证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AE∥CF （矩形的定义），
所以∠1＝∠2。
因为EF垂直平分AC，
所以∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO，
所以△AOE ≌△COF，得EO＝FO。
所以四边形AFCE 是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四
边形）。
又因为EF⊥AC，
所以四边形AFCE是菱形 （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，将菱形ABCD 沿AC 方向平移至菱形A′B′C′D′，A′D′交
CD于点E，A′B′交BC于点F。判断
四边形A′FCE 是不是菱形，并说明
理由。
2. 说出命题“菱形的对角线互相垂直”
的逆命题，并判断它是否成立。
图5-16
C
D
B
O
F
E
A
2
1
D′
B
F
B′
A
C′
A′
C
E
D
（第1题）
图5-17
A
D
C
B
E
F
154
第5章 特殊平行四边形
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，在△ABC 中，AB＝AC。△ABC 经怎样的变化，所得图形与
△ABC组成一个菱形？叙述图形的变化过程，并作出所得的图形。
2. 如图，已知∠α 和线段a。用直尺和圆规作一个菱形，使它的一个内
角等于∠α，边长为a。
3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC＝BD。E，F，G，H 依次是AB，
BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。
4. 已知：如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点。作DE∥AC，CE∥
BD，DE，CE相交于点E。求证：四边形OCED是菱形。
5. 在直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A，B，C，D 的坐标依次为
（－1，0），
（x，y），
（－1，5），
（－7，z）。若四边形ABCD 是菱形，求x，
y，z的值。
（第2题）
α
a
（第1题）
C
B
A
（第3题）
G
C
H
A
E
B
F
D
（第4题）
A
O
E
C
B
D
155
数学 八年级下册
图5-18
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
条件：
条件：
条件：
条件：
条件：
条件：
（ ）
回顾并思考：
1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？
2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若存在，它是什么图形？
3.是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？
请在图5-18中填上各种图形的名称和转化的条件。
我们把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方
形（square）。正方形既是矩形，又是菱形。根据图5-18 的填空，我们可以得
到一些正方形的判定定理，如：
有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正
方形。
有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形。
你还得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？把它们写下来，与你
的同伴交流。
5.3 正方形
正方形
1
给你一张正方形的彩色纸，你能通过
折叠并一刀剪出如图所示的正方形孔吗？
156
第5章 特殊平行四边形
做一做
ZUOYIZUO
判断题 （对的在括号内画“
”，错的在括号内画“×”）：
（1） 对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形；
（ ）
（2） 如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形；
（ ）
（3） 如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形；（ ）
（4） 四条边相等，并且有一个角是直角的四边形是正方形。
（ ）
▶例1
已知：如图5-19，在Rt△ABC 中，
∠ACB＝90°，CD 是∠ACB 的平分线，DE⊥BC，
DF⊥AC，垂足分别是E，F。
求证：四边形CFDE是正方形。
分析：由已知条件容易判定四边形CFDE 是
矩形，要进一步证明矩形CFDE是正方形，只需要说明一组邻边相等。
证明：因为DE⊥BC，DF⊥AC，
所以∠DEC＝∠DFC＝90°。
而∠ACB＝90°，
所以四边形CFDE是矩形 （三个角是直角的四边形是矩形）。
又因为CD是∠ACB的平分线，则∠1＝∠2，
所以DE=DF （为什么？）。
所以四边形CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角
形，∠A＝∠C＝Rt∠。求证：四边形ABCD 是正
方形。
2. 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是
正方形。
图5-19
C
A
D
B
2
E
F
1
（第1题）
B
A
C
D
157
数学 八年级下册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 将一张正方形纸片按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中
的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）。
2. 判断命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是否成立。
如果你认为不成立，请增加一个条件使它成立。
3. 求证：矩形的各内角平分线围成的四边形是正方形。
4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，E，F，G，H 分
别是它的四条边上的点，且AE＝BF＝CG＝
DH。求证：四边形EFGH是正方形。
5. 已知在直角坐标系中，四边形ABCD 的四个
顶点坐标依次是A（－a，－b），B（a，－b），
C（a，b），D（－a，b）。这个四边形是正方形吗？如果你认为是，给出
证明；如果你认为不一定是，请增加一个条件，使它是正方形（不必
证明）。
（B）
（D）
（A）
（C）
（第1题）
②
③
①
（第4题）
A
D
E
G
H
C
B
F
158
第5章 特殊平行四边形
2
正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。正方形同时具
有矩形和菱形的所有性质，于是就有以下定理：
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。它有几条对称轴？
▶例2 已知：如图5-20，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，
GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF。求证：AG＝EF。
分析：由已知可得，∠ADB＝45°，∠CDB＝45°，AD＝CD。如果连结
CG，那么很容易发现△AGD≌△CGD，得AG＝CG。由此我们只需证明四
边形FCEG是矩形，就能完成证明。
证明：如图5-20，连结CG。
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠BAD＝90°，AB＝AD（正方形的四个角
都是直角，四条边相等），可得∠ADB＝45°。
同理，∠CDB＝45°。
所以∠ADB＝∠CDB。
又因为DG＝DG，AD＝CD （正方形的四条边相等），
所以△AGD ≌△CGD，得AG＝CG。
由GE⊥CD，GF⊥BC，得∠GFC＝∠GEC＝Rt∠。
又因为∠BCD=Rt∠ （正方形的四个角都是直角），
所以四边形FCEG是矩形 （三个角是直角的四边形是矩形），
所以EF＝CG （矩形的对角线相等），
所以AG＝EF。
课内练习
KENEILIANXI
1. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）。
（A） 四条边相等
（B） 对角线互相垂直平分
（C） 对角线平分一组对角
（D） 对角线相等
图5-20
C
A
D
B
E
F
G
159
数学 八年级下册
A组
2. 如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至点E，使CE＝CA。求∠CAE
的度数。
3. 如图，在正方形ABCD 中，M 是正方形内一点，且MC＝MD＝AD。
求∠BAM的度数。
作业题
ZUOYETI
1. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）。
（A） 四个角相等
（B） 对角线互相垂直
（C） 对角线相等
（D） 对角互补
2. 如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为边AD 上一点。若BE＝10，则
CE＝ 。
3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别是AD，CD上的点，且DE
＝DF，BM⊥EF于点M。求证：ME＝MF。
4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别是BC，CD 上的点，且
AE⊥BF。求证：AE＝BF。
D
C
B
A
M
（第3题）
D
C
B
A
E
（第2题）
D
E
A
B
C
（第2题）
（第4题）
C
E
F
A
D
B
D
F
C
E
M
B
A
（第3题）
160
第5章 特殊平行四边形
B组
5. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 的对角线交点是原点O，两
组对边分别与x轴，y轴平行。若正方形的对角线长为2
2，求正方
形各顶点的坐标。
6. 如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中最大正方形的边长为7 cm。
（1） 求①，②，③，④四个正方形的面积之和。
（2） 若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3∶5，
求正方形①，②，③，④的面积。
7
②
③
④
①
（第6题）
单位：cm
（第5题）
B
y
A
D
x
O
C
设计题
SHEJITI
图5-21
A
B
E
F
G
C
D
图形的割补
准备一张矩形纸片和一张平行四边形纸片，尝试以下操作。
1.把平行四边形纸片割补成一个矩形。怎样操作能使分割线的条数最少？
2. 把矩形纸片割补成有一个角为60°的平行四边形。怎样操作能使分割线
的条数最少？
通过上述活动，你获得哪些经验？
(请与你的同伴交流)
试一试：两张正方形纸片拼在一起，如图5-21。把它割补成一个更大的正方
形，并使分割线的条数最少。
161
综合实践活动
蜂巢中的数学奥秘
蜂巢中蕴含着丰富的数学知识。早在公元4 世纪，古希腊数学家帕普斯
（Pappus，约290～约350）就对蜂巢结构进行了研究，他认为蜂巢结构是自然界中最
为典型的高效结构。蜜蜂用最少的蜂蜡建造了最大的蜂巢空间，因此被称为天才
的建筑大师。
在日常生活和生产实践中，有哪些应用与蜂巢结构相关？选择你感兴趣的主
题进行探究。
任务
1. 提出问题：通过查阅资料或观察蜂巢实物，了解蜂巢的结构。蜂巢的结构
有什么特点？你对于蜂巢的结构有什么疑问？
2. 探索结构：探索蜂巢的结构，特别是蜂房口的形状和蜂巢底部的结构，并能
制作模型。可以借助软件绘制蜂巢模型并做实验——检验蜂巢结构与材料使用量
的关系。
3. 数学解密：蜂巢结构的高效性，其数学原理是什么？这样的结构是否能用
最少的蜂蜡建造最大的蜂巢空间？分别通过蜂房口和蜂巢底部的结构进行探索。
在此基础上设计、创作一个具有蜂巢结构的作品。
4. 成果展示：撰写项目学习报告，阐述蜂巢的结构特点及其数学原理。在班
级交流，分享研究过程和结果。
评价与反思
评价：对自己和小组成员在参与项目过程的表现（如查找资料、提出问题、模型
制作、数学表达、小组合作、展示汇报等）进行评价，提出改进建议。
反思：回顾探究和作品制作的过程中应用的知识和方法，改进作品和研究报告。
数学 八年级下册
162
第5章 特殊平行四边形
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习了矩形、菱形和正方形，它们都是特殊的平行四边形，不仅具有
平行四边形的一般性质，还具有各自特殊的性质。它们既是中心对称图形，又是轴
对称图形。矩形、菱形、正方形分别是通过平行四边形的角、边的特殊化，以及角和
边的同时特殊化得到的，采用的是一般到特殊的研究方法。对它们具有的特殊性
质的探究，仍然从四边形具有的角、边、对角线，以及图形的对称性等方面展开，由
判定定理与性质定理的互逆关系中探寻判定方法。从一般到特殊、直观想象、实验
操作、推理论证、归纳整理等是本章学习和问题解决的主要思想和方法，也是几何
图形研究的常用方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.如图表示四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，请在图
中的括号里填上相应图形的名称。
2. 矩形、菱形和正方形有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？它们的判定
方法有什么共同之处？
3. 在探索特殊平行四边形的性质和判定的过程中，你还获得了哪些解决问题
的方法和经验？有哪些需要注意的问题？
正方形
矩形
菱形
平行四边形
特殊平行四边形
平行四边形
（ ）（ ）（ ）
梯形
四边形
163
数学 八年级下册
目标与评定
目标 5.1节 5.2节
A
★理解矩形、菱形的概念，以及矩形、菱形、平行四边形之间的关系。
★探索并证明矩形、菱形的性质定理和判定定理。
1. 在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AC＝10，∠ACB＝30°，则∠AOB
＝ ，CD＝ 。
2. 如图，在直角坐标系中，已知矩形ABCD。写出它的各个顶点及对角线AC，BD
的交点P的坐标。
3. 已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F。求证：AE＝BF。
4. 已知：如图，P，B，C在同一条直线上，BD，BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，
AE⊥BE，AD⊥BD，E，D分别为垂足。求证：四边形AEBD是矩形。
5. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE＝CF，AF＝DE。求证：
（1） △ABF ≌△DCE；
（2） ▱ABCD是矩形。
6. 已知菱形的周长为16 cm，一个内角为60°，求菱形的面积。
（第2题）
y
x
C
P
B
-2
D
A
1
2
1
2
-1
-2
-1
O
（第3题）
B
C
E
D
F
A
O
（第4题）
B
A
E
C
P
D
D
A
B
E
F
C
（第5题）
164
第5章 特殊平行四边形
目标 5.3节
B
7. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O。已知AC＝16 cm，BD＝12 cm，求菱形
ABCD的高线长。
8. 如图所示图案由6个全等的正三角形组成。找出图中所有的菱形。
9. 如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点。过点O 的直线分别与
AB，CD 的延长线交于点E，F。当AC 与EF 满足什么条件时，四边形AECF 是
菱形？请给出证明。
★理解正方形的概念。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形
之间的包含关系。
10. 如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于
（ ）。
（A） 30° （B） 37.5°
（C） 45° （D） 50°
11. 已知：如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E 为OB 上一点，DF⊥EC 于点F，交CO 于点P。求
证：OE＝OP。
12. 如图，在▱ABCD 中，AB 边上的高线长与AB 边的长相等。你能把▱ABCD 割
补成一个正方形吗？若能，请说明方法及理由。
13. 已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，EF⊥AC，交AD，AB
于点F，H。求证：CF＝CH。
（第12题）
A
B
C
D
C
D
F
A
E
H
B
（第13题）
E
F
P
C
O
D
B
A
（第11题）
（第7题）
B
A
C
D
O
B
O
C
D
E
A
F
（第8题）
（第9题）
O
B
E
D
A
C
F
（第10题）
D
A
B
E
C
165
数学 八年级下册
目标
C
★会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题。
14. 如图，菱形花坛ABCD 的边长为6 m，∠B＝60°，其中由两个正六边形（各条边
都相等，各个内角都相等）组成的图形部分种花。求种花部分的周长和面积。
（第14题）
C
B
D
A
15. 如图，将宽为1 cm 的丝带交叉成60°角重叠，求重叠部分四
边形的面积。
16. 有一张三角形纸片，要把它剪拼成一个矩形，要求剪的刀数
尽可能少。应怎样剪拼？请画出示意图。
（第15题）
60°
166
本套教科书吸收了我国基础教育和课程教材研究的经验，继承前两
版教科书的精华，又汲取了近阶段基础教育课程改革和最新研究成果，凝
聚着数学教育专家、教学研究人员和一线教师的集体智慧。
教材编写团队对教科书的结构、体系、内容及文字等做了大量辛勤、
认真的工作，力求使本套教科书能充分落实《义务教育数学课程标准
（2022 年版）》的理念，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基本
知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发
现、提出、分析和解决问题的能力，注重反映社会进步对学校数学的新要
求，并适当体现现代的、新的教学思想和教学方法，为学生提供数学活动
和自主学习的空间。编写者还提供了丰富的课程资源，努力使本套教科
书具有较强的时代感和拓展性。
本套教科书的编写，得到前版副主编岑申、核心作者金才华等老师的
大力支持，他们提供了宝贵的经验。我们还得到全国许多专家、学者和中
学一线教师的帮助和支持，对此，我们深表感谢。
为了编好这套教科书，我们在教科书中引用了不少资料和图片，得到
了原作者的支持，对此我们也诚挚地表示感谢。
欢迎您对本书的内容、栏目、装帧、印刷质量等提出意见或建议，我们
将认真对待并努力改进。我们的联系方式是：信件寄送至浙江省杭州市
环城北路177号浙江数字出版大楼20层，浙江教育出版社沈老师；也可以
发送电子邮件到82514130@qq.com；或致电0571-88909737。
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后 记
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版 次 2026年1月第1版
印 次 2026年1月第1次印刷
标准书号 ISBN 978-7-231-00976-7
定 价 10.71元
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