义
务
教
育
教
科
书
数学
七年级下册
义务教育教科书
数学
七年级 下册
S H U X U E
·南京
执行主编 董林伟
主 编 鲍建生
目 录
致同学
第7 章
幂的运算
7.1 同底数幂的乘法
4
………………………………………………
7.2 幂的乘方与积的乘方
8
…………………………………………
7.3 同底数幂的除法
14
………………………………………………
数学探究
21
………………………………………………………………
小结与思考
22
……………………………………………………………
复习题
23
…………………………………………………………………
第8 章
整式乘法
8.1 单项式乘单项式
28
………………………………………………
8.2 单项式乘多项式
31
………………………………………………
8.3 多项式乘多项式
34
………………………………………………
8.4 乘法公式
37
………………………………………………………
小结与思考
45
……………………………………………………………
复习题
46
…………………………………………………………………
第9 章
图形的变换
9.1 平移
50
……………………………………………………………
9.2 轴对称
57
…………………………………………………………
9.3 旋转
68
……………………………………………………………
数学探究
77
………………………………………………………………
小结与思考
78
……………………………………………………………
复习题
79
…………………………………………………………………
综合与实践
82
……………………………………………………………
第10 章
二元一次方程组
10.1 二元一次方程
86
…………………………………………………
10.2 二元一次方程组的概念
89
………………………………………
10.3 解二元一次方程组
92
……………………………………………
*10.4 三元一次方程组
97
………………………………………………
10.5 用二元一次方程组解决问题
100
………………………………
小结与思考
108
…………………………………………………………
复习题
109
………………………………………………………………
综合与实践
112
…………………………………………………………
第11 章
一元一次不等式
11.1 不等式
116
………………………………………………………
11.2 一元一次不等式的概念
122
……………………………………
11.3 解一元一次不等式
125
…………………………………………
11.4 一元一次不等式组
129
…………………………………………
11.5 用一元一次不等式解决问题
134
………………………………
小结与思考
138
…………………………………………………………
复习题
139
………………………………………………………………
综合与实践
142
…………………………………………………………
第12 章
定义
命题
证明
12.1 定义
146
…………………………………………………………
12.2 命题
149
…………………………………………………………
12.3 证明
152
…………………………………………………………
12.4 定理
157
…………………………………………………………
小结与思考
166
…………………………………………………………
复习题
167
………………………………………………………………
致同学
亲爱的同学：
春天即将来临，大地万物复苏. 踏着春天的脚步，我们进入了一个充满
活力的新学期.
数学，已经成为了你的朋友. 通过这册课本的学习，你将更多地了解、
熟悉她——
“幂的运算”是一种通过“乘方”引入的
新的运算形式，你可以通过观察、猜想，由特殊
到一般地得到幂的一些运算性质.
“整式乘法”将别开生面地通过图形面积
的计算、归纳和推演，得到整式乘法的法则和公
式，简明、奇妙而有趣.
“图形的变换”将帮助你更好地认识平移、
轴对称、旋转等图形变换，并探索它们的一些基
本性质.
“二元一次方程组”将使你进一步学会用
“方程”这种数学模型，解决比较复杂的实际问
题，进一步感受方程的魅力.
“一元一次不等式”将引导你研究数量之间
的不等关系. 不等式与方程一样，能有效地刻画
现实世界的数量关系，解决一些简单的实际问题.
“定义 命题 证明”将帮助你初步学会
用推理的方法，从一些基本事实出发探索、证明
一些数学结论，初步了解“证明”的步骤和方法.
学习数学，不仅要想，而且要做；不仅要
自主探索，而且要与同学合作交流；不仅要掌握
数学知识和技能，而且要学会思考的方法. 这样，
你一定会在数学学习中不断进步！
我觉得幂的运算
挺神奇的！
方程和不等式有
什么联系呢？
我感觉这学期有很多
的数学运算，怎样才
能减少运算错误呢？
我很想知道什么是
数学中的“推理”.
小明
小慧
小亮
小丽
运算和推理是数学
的基本功. 打好基
础很重要！
小
幂的运算
几个相同因数a的乘积可以简写为幂a
n 的
形式.本章将学习幂的运算,进一步简化代数
式的运算过程.
乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算
性质的基础.利用幂的运算性质,可以把幂的
运算转化为指数的运算.
幂的运算是整式运算的基础,也有助于简
洁地表达现实生活中的数量和数量关系.
7
光在真空中的速度约是3×10
8 m/s,光在真空中传播1年的距
离称为1光年.
请你算算:
1光年约是多少千米(1年以3×10
7s计算)?
中国科学家利用位于贵州省的500 m 口径球面射电望远镜
(FAST),发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体
结构.这个原子气体结构的尺度约为多少千米?
距离太阳系最近的恒星是比邻星,它距离地球约4.2光年.如
果一个探测器以6.4×10
4km/h的平均速度飞往比邻星,那么
大约需要多少年才能到达?
第7 章
幂的运算
4
7.1
同底数幂的乘法
中国空间站的运行速度大约是
7.68×10
3m/s,运行3h的路程大
约是多少?
3h为1.08×10
4s,中国空间站运行3h的路程约为7.68×10
3×
1.08×10
4=(7.68×1.08)×(10
3×10
4)≈8.29×(10
3×10
4)(m).
因为10
3×10
4=(10×10×10)×(10×10×10×10)
=10×10×10×10×10×10×10
=10
7,
所以,中国空间站运行3h的路程约为8.29×10
7m.
计算:
(1)10
2×10
5,10
m·10
n(m,n是正整数); (2)2
3×2
4,a
3·a
4.
从上面的计算中,你发现了什么?
对于任意的底数a,当m,n是正整数时,由乘方的意义和乘法
结合律知:
a
m·a
n = (
a·a·…·a)
m个a
·(
a·a·…·a)
n个a
=a·a·…·a
(m+n)个a
=a
m+n.
于是,我们得到同底数幂的乘法运算性质:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
用符号表示为:a
m·a
n=a
m+n(m,n是正整数)
.
5
7.1
同
底
数
幂
的
乘
法
计算:
(1)(-3)
4×(-3)
3; (2)x·x
7;
(3)a
3m·a
2m-1(m 是正整数);
(4)(m-n)
3·(m-n)
2.
?
(1)(-3)
4×(-3)
3 = (-3)
4+3 = (-3)
7 =-3
7 =-2187;
(2)x·x
7 =x
1+7 =x
8;
(3)a
3m·a
2m-1 =a
3m+2m-1 =a
5m-1;
(4)(m-n)
3·(m-n)
2 = (m-n)
3+2
= (m-n)
5.
如何计算3
4×(-3)
3,(m-n)
3·(
n-m)
2 ?
我国的“神威·太湖之光”超级计算机全部采用中国国产处理器构
件,是世界上首台峰值计算速度超过10亿亿次/s的超级计算机.
如果它的持续计算能力为9.3亿亿次/s,那么按这个速度运算1天
能运算多少次?
?
24h=24×3.6×10
3s,9.3亿亿次=9.3×10
8×10
8次.
(9.3×10
8×10
8)×(24×3.6×10
3)
= (9.3×24×3.6)×(10
8×10
8×10
3)
=803.52×10
19
=8.0352×10
21(次).
答:按这个速度运算1天能运算8.0352×10
21次.
已知m,n,p是正整数,计算a
m·a
n·ap.
第7 章
幂的运算
6
1. 计算:
(1)a
8·a
3; (2)x
5·x;
(3)10
10×(-10)
13;
(4)-b
6·b
6;
(5)(-a)
2·(-a)·(-a)
3;
(6)(1
2)
2
×(1
2)
5
×(-1
2)
3
.
2. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)x
2·x
2 =2x
4;
(2)x
2·x
4 =x
8;
(3)a
3+a
3 =a
6;
(4)3
m·3
2m =9
3m(m 是正整数)
.
3. 计算:
(
1)x
3·x
7+x
5·x
5;
(
2)a
2·a
6-a
4·a
4;
(
3)(
a-b)
3·(
b-a)
4 .
4. 填空:
(1)a
4·a
( )=a
10;
(2)a
( )·a
2·a=a
9;
(3)x
( )·x
n =x
n+3(
n是正整数);
(4)x·x
( )·x
n+1 =x
n+6(
n是正整数)
.
例 计算(5.6×10
8)×(7.1×10
3).
解:依次按以下各键:
*
x
*
x
.
计算器显示的结果为3.976×10
12.
7
7.1
同
底
数
幂
的
乘
法
1. 计算:
(1)(1
10)
5
×(0.1)
7; (2)a
12·a;
(3)-b
2·b
5;
(4)a
m+1·a
m-1 (m 是大于1的整数);
(5)3
4×3
6×3;
(6)a·a
4·(-a)
5.
2. 计算:
(1)(p-q)
5·(
q-p)
2;
(2)(x-y)
m·(x-y)
m+n·(y-x)(m,n是正整数);
(3)x
n·x
n+1+x
2n·x (
n是正整数)
.
3. 填空:
(1)x
5·x·x
( )=x
9;
(2)a
2·a
( )·a
m =a
m+2n+1 (m,n是正整数);
(3)x
2·x
( )=x
3n+1 (
n是正整数);
(4)a
n·a·a
( )=a
2n (
n是大于1的整数)
.
4. 已知a
m =8,a
n =32,求a
m+n 的值.
5. 心宿二是一颗巨大的红超巨星,它的体积约是太阳的3.4×10
8倍.
太阳的体积约是地球的1.3×10
6 倍.心宿二的体积约是地球的多
少倍?
6. 计算机存储单位一般用B,KB,MB,GB,TB,…表示,它们
之间的关系:1KB=2
10 B,1 MB=2
10 KB,1GB=2
10 MB,
1TB=2
10GB.1TB的硬盘容量等于多少(单位:B)?
第7 章
幂的运算
8
7.2
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
冥王星是一颗矮行星.它可以近似看作半径为10
3km
的球体,它的体积约为多少(π取3.14)?
根据球的体积计算公式V=4
3πr
3 (其中V,r分别表示球的体
积和半径),冥王星的体积为
V=4
3πr
3=4
3π×(10
3)
3≈4.19×(10
3)
3(km
3).
因为(10
3)
3 =10
3×10
3×10
3
=10
3+3+3
=10
9.
所以冥王星的体积约为4.19×10
9km
3.
计算:
(1)(10
m)
3(m 是正整数); (2)(10
4)
n(n是正整数);
(3)(a
m)
3(m 是正整数); (4)(a
4)
n(n是正整数).
从上面的计算中,你发现了什么?
对于任意的底数a,当m,n是正整数时,
(
a
m)
n = a
m ·a
m ·…·a
m
n个a
m
=a
m+m+…+m
n个m
=a
mn.
9
7.2
幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方
于是,我们得到幂的乘方运算性质:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
用符号表示为:(
a
m)
n =a
mn (m,n是正整数).
计算:
(1)(10
6)
2; (2)(
a
m)
4(m 是正整数);
(3)-(y
3)
2;
(4)[(x-y)
n]
2(
n是正整数)
.
?
(1)(10
6)
2 =10
6×2 =10
12;
(2)(
a
m)
4 =a
m×4 =a
4m;
(3)-(y
3)
2 =-y
3×2 =-y
6;
(4)[(x-y)
n]
2 = (x-y)
n×2 = (x-y)
2n.
计算:
(1)x
2·x
4+(x
3)
2;
(2)(
a
3)
3·(
a
4)
3.
?
(1)x
2·x
4+(x
3)
2 =x
2+4+x
3×2 =x
6+x
6 =2x
6;
(2)(
a
3)
3·(
a
4)
3 =a
3×3·a
4×3 =a
9·a
12 =a
9+12 =a
21.
1. 计算:
(1)(10
4)
3; (2)(x
5)
4;
(3)-(
a
2)
5;
(4)(-10
3)
12;
(5)(-x
m)
5 (m 是正整数);
(6)-[(2a-b)
4]
2.
2. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)(
a
3)
2 =a
5; (2)(
b
4)
2 =b
16.
第7 章
幂的运算
10
3. 计算:
(1)(m
4)
2+m
5·m
3; (2)(x
5)
4+(x
10)
2;
(3)(
a
3)
5·(
a
2)
2;
(4)10
10×100
10.
4. 一个正方体的棱长是10
2,它的体积是多少?
积的乘方
木星是太阳系中最大的行星.它可以近似看作半径为
7.15×10
4km的球体,它的体积约为多少(π取3.14)?
木星的体积V =4
3πr
3=4
3π×(7.15×10
4)
3
=4
3π×(7.15×10
4)×(7.15×10
4)×(7.15×10
4)
=4
3π×(7.15×7.15×7.15)×(10
4×10
4×10
4)
=4
3π×7.15
3×(10
4)
3
=4
3π×7.15
3×10
12
≈1.53×10
15(km
3).
所以木星的体积约为1.53×10
15km
3.
填空:
(1)(a·b)
3= · ;
(2)(3×4)
m= · .
从上面的式子中,你发现了什么?
11
7.2
幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方
对于任意底数a,b,当m 是正整数时,
(
ab)
m = (
ab)·(
ab)·…·(
ab
m个ab
)
= (a·a·…·a
m个a
)·(b·b·…·b
m个b
)
=a
mb
m.
于是,我们得到积的乘方运算性质:
积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
用符号表示为:(
ab)
m =a
mb
m (m 是正整数).
计算:
(1)(-5m)
3; (2)(xy
2)
3.
?
(1)(-5m)
3 = (-5)
3·m
3 =-125m
3;
(2)(xy
2)
3 =x
3·(y
2)
3 =x
3y
6.
已知m 是正整数,你会计算(
abc)
m 吗?
计算:
(1)(-2ab
3c
2)
4;
(2)4
9×(-25)
8.
?
(1)(-2ab
3c
2)
4 = (-2)
4·a
4·(
b
3)
4·(
c
2)
4 =16a
4b
12c
8 ;
(2)4
9×(-25)
8 =4×4
8×(-25)
8
=4×[4×(-25)]
8
=4×(-100)
8
=4×10
16.
第7 章
幂的运算
12
1. 计算:
(1)(-ab)
3; (2)(x
2y
3)
4;
(3)(2×10
3)
2;
(4)(-2a
3y
4)
3.
2. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)(xy
2)
3=xy
6;
(2)(-2b
2)
2=-4b
4.
3. 计算:
(1)a
5·a
3+(2a
2)
4;
(2)-2x
6-(-3x
2)
3 ;
(3)(-4)
10×25
10;
(4)8
5×0.125
4 .
4.火星是一颗类地行星,它的平均半径大约为3.4×10
3km .
求火星的体积(π取3.14).
例1 计算(20
5)
2.
解:依次按以下各键:
x2
x
.
计算器显示的结果为1.024×10
13.
例2 计算1
6π×(1.4×10
6)
3.
解:依次按以下各键:
4)*'5
*
x
π
x
*
x
.
计算器显示的结果为1.43675504×10
18.
1. 计算:
(1)(
a
3)
5; (2)-(x
6)
2;
(3)[(-m)
2]
5;
(4)(-a
2n)
3(
n是正整数)
.
2. 计算:
(1)(
a
4)
2+a
6·a
2;
(2)(m
3)
3·(m
3)
4;
(3)(
a
2)
3·(
a
4)
4;
(4)(
b
4)
2·b
3.
13
7.2
幂
的
乘
方
与
积
的
乘
方
3. 计算:
(1)(2ab
2)
3;
(2)(-a
3b
2)
2;
(3)(-3a
2b
3c)
3;
(4)-(-2x
3y)
4.
4. 计算:
(1)(
a
3)
2+(
a
2)
3-a·a
5;
(2)(-a
n)
2·a
n+1-a·(-a
n)
3(
n是正整数);
(3)(
a·a
4·a
5)
2;
(4)(-2a
2)
3·a
6-(-5a
6)
2.
5. 计算:
(1)(0.25)
100×4
100;
(2)3
14×(-1
9)
7
.
第7 章
幂的运算
14
7.3
同底数幂的除法
据统计,我国2022年水资源总量约为2.71×10
12 m
3,
按全国1.41×10
9人计算,人均水资源量为多少立方米?
人均水资源量为
2.71×10
12
1.41×10
9=2.71×10
9×10
3
1.41×10
9
=2.71
1.41×10
3≈1.92×10
3(m
3).
计算:
(1)2
12÷2
9;
(2)a
12÷a
9;
(3)10
m÷10
n(m,n是正整数,m>n).
从上面的计算中,你发现了什么?
对于任意不等于0的底数a,当m,n是正整数,且m>n时,
a
m ÷a
n = a·a·…·a
m 个a
a·a·…·a
n个a
= a·a·…·a
(m-n)个a
· a·a·…·a
n个a
a·a·…·a
n个a
=a
m-n .
于是,我们得到同底数幂的除法运算性质:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
用符号表示为:a
m÷a
n=a
m-n (a≠0,m,n是正整数,m >n)
.
15
7.3
同
底
数
幂
的
除
法
计算:(1)(-b)
8÷(-b);
(2)a
6÷(-a)
2;
(3)(
ab)
4÷(
ab)
2;
(4)t
2m+3÷t
2 (m 是非负整数)
.
?
(1)
(-b)
8÷(-b)
= (-b)
8-1 = (-b)
7 =-b
7;
(2) a
6÷(-a)
2
=a
6÷a
2 =a
6-2 =a
4;
(3)
(
ab)
4÷(
ab)
2
= (
ab)
4-2 = (
ab)
2 =a
2b
2;
(4) t
2m+3÷t
2 =t
2m+3-2 =t
2m+1.
1. 计算:
(1)3
15÷3
10;
(2)(4
3)
6
÷(-4
3)
3
;
(3)y
13÷y
2;
(4)(-a)
4÷(-a);
(5)(-xy)
5÷(xy)
2;
(6)a
10n÷a
2n(
n是正整数)
.
2. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)a
8÷a
4 =a
2;
(2)x
10÷x
9 =x;
(3)m
5÷m =m
5;
(4)(-z)
6÷(-z)
4 =-z
2.
前面我们学习了同底数幂的除法运算性质:
a
m ÷a
n =a
m-n(
a≠0,m,n是正整数,m >n).
当m=n时,由除法的意义可知a
m÷a
n=1.为了使上述性质仍
然成立,我们规定:
任何不等于0的数的0次幂等于1.
用符号表示为:a
0 =1(
a≠0)
.
于是,a
m÷a
m=1=a
0=a
m-m. 也即,当m=n 时,a
m÷a
n=
a
m-n仍然成立.
第7 章
幂的运算
16
当m<n时,m-n<0.为了使a
m÷a
n=a
m-n仍然成立,我们需
要先把幂a
m 中的指数推广到负整数的情形.
在式子a
m÷a
n(
a≠0)中,如果令m=0,那么
a
0÷a
n=a
0
a
n=1
a
n.
为了使a
0÷a
n=a
0-n成立,我们规定:
任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂,等于这个数的n
次幂的倒数.
用符号表示为:a-n = 1
a
n (
a≠0,n是正整数).
特别地,a-1 = 1
a(
a≠0).
根据这样的规定,当m<n时,
a
m ÷a
n =a
m
a
n =
a
m
a
m·a
n-m = 1
a
n-m =a-(
n-m)=a
m-n .
规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后,同底数幂的除法运
算性质可以扩展为:
a
m ÷a
n =a
m-n(
a≠0,m,n是整数).
用小数或分数表示下列各数:
(1)4
-2; (2)-3
-3; (3)3.14×10-5.
?
(1)4-2 = 1
4
2 = 1
16;
(2)-3-3 =-1
3
3 =- 1
27;
(3)3.14×10-5 =3.14× 1
10
5 =3.14×0.00001=0.0000314.
17
7.3
同
底
数
幂
的
除
法
当幂的指数从正整数推广到整数后,正整数指数幂的各种运算
法则仍然适用.
例如,(b
a)
n
= (
ba
-1)
n
=b
na
-n
=b
n
a
n.
这说明可以把积的乘方运算法则推广到商的乘方运算.
计算:(1)(
a-2b
3)
-4;
(2)(-3
5)×3-5 .
?
(1)(
a-2b
3)
-4 = (
a-2)
-4·(
b
3)
-4 =a
(-2)×(-4)·b
3×(-4)=a
8b-12 =a
8
b
12;
(2)(-3
5)×3-5 =-3
5+(-5)=-3
0 =-1.
1. 用小数或分数表示下列各数:
(1)10
-3; (2)(-0.1)
4;
(3)5
-1;
(4)2.1×10-2.
2. 把下列各数写成负整数指数幂的形式:
(1)0.001; (2)0.000001;
(3)1
9;
(4)1
64.
3. 计算:
(1)(-3)
2×(-3)
-2;
(2)(
a
2·a-3)
-2;
(3)10-1+(-0.3)
0;
(4)5
0-(-2)
-4.
太阳的半径约为700000000m,其最
丰富的元素是氢,氢原子的半径约为
0.00000000005m. 用科学记数法,我们
可以把700000000m 写成7×10
8 m,把
0.00000000005m写成5×10-11m.
第7 章
幂的运算
18
一般地,用科学记数法可以把一个绝对值大于10的数写成
a×10
n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数.规定了负整数指
数幂后,对于绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示为a×
10
-n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数.
用科学记数法表示下列各数:
0.000109,-0.0000062,
3
100000.
?
0.000109=1.09×0.0001=1.09×10-4,
-0.0000062=-6.2×0.000001=-6.2×10-6,
3
100000= 3
10
5 =3×10-5.
人体红细胞的截面可以近似地看成圆.在显微镜
下测定某人红细胞的截面半径约为3.7×10-6m,
求红细胞的截面面积S(π取3.14).
?
S=π×(3.7×10-6)
2 =π×3.7
2×10-12 ≈4.3×10-11(m
2)
.
答:红细胞的截面面积约为4.3×10-11m
2.
随着技术的发展,在芯片的硅晶片上雕刻的电路
间距已经可以小到几纳米.纳米(记为nm)是长
度单位,1nm等于1m的十亿分之一.请以毫米
为长度单位表示1nm.
?
1nm=
1
1000000000m
=10-9m
=10-9×10
3mm
=10-6mm.
19
7.3
同
底
数
幂
的
除
法
1. 用科学记数法表示下列各数:
0.000215,0.0000608,-0.00102, 17
10000.
2. 用科学记数法表示下列结果,并比较它们的大小:
(1)幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性疾病源,其宽大约
是0.00005cm,换算成以米为单位是多少?
(2)某国产手机芯片是7nm 制程芯片,换算成以米为单位
是多少?
(3)PM2.5是指大气中直径小于等于2.5μm (μm 是长度单
位之一,表示微米.1μm=10-3mm)的细颗粒物,其
直径不到人的头发直径的1
20,对人体健康有很大的危害.
2.5μm换算成以米为单位是多少?
例 计算π×(7.8×10
-7)
2.
解:依次按以下各键:
*
x
4)*'5
π
*
x
x2
.
计算器显示的结果为1.91134497×10
-12.
第7 章
幂的运算
20
1. 计算:
(1)a
5÷a
2; (2)m
19÷m;
(3)(
s
5)
2÷s
5;
(4)(-s)
7÷(-s)
4;
(5)(-1
3)
4
÷(-1
3).
2. 填空:
(1)2
3×( )=2
7;
(2)( )·a
2 =a
5;
(3)3
10÷( )=3
5;
(4)( )÷a
2 =a-7.
3. 用小数或分数表示下列各数:
(1)6
-2; (2)(7
8)
-1
;
(3)(2
3)
-3
; (4)1.027×10-6.
4. 计算:
(1)5-2÷2-3;
(2)(1
2)
0
-(1
3)
-2
;
(3)(1
5)
2
+(1
5)
0
+(1
5)
-2
;
(4)(-1
2)
2
÷(-2)
3×(-2)
-2.
5.用科学记数法表示下列各数:
0.000182,-0.0000612,-0.000009001, 57
1000.
6. 鸵鸟是世界上现存体形最大的鸟,1枚鸵鸟蛋的质量约为1.5kg;
蜂鸟是世界上现存体形最小的鸟,1 枚蜂鸟蛋的质量约为
2×10-1g.1枚鸵鸟蛋的质量相当于多少枚蜂鸟蛋的质量?
7. 有一块钟乳石每年平均增长约0.0001m,用科学记数法表示这块
钟乳石增长1m需要的时间(单位:年).
8. 氦气是一种重要的战略资源.1亿个氦原子的质量约为7×10
-16g,
用科学记数法表示1个氦原子的质量(单位:g).
9.已知a
m=8,a
n=32(m,n是整数),求a
m-2n的值.
21
“大”数与“小”数
有关人体的一些数据
DNA双螺旋结构模型
DNA(脱氧核糖核酸)分子的直径只
有2×10
-7cm,它们在细胞核的染色体
上,按一定顺序排列成双螺旋形的独特
结构.
在人体的血液中,红细胞直径约为
7.7×10
-4cm,每立方毫米血液里约有
5×10
6个红细胞.
成人的大脑约有1.4×10
10个细胞,
婴幼儿的脑细胞以每分钟约2.0×10
5个的
惊人速度递增,一般到8岁可达到成人脑
细胞数量.一年约有5.256×10
5min,你
能估测出儿童7岁时大脑的脑细胞数量吗?
有关地球的一些数据
我们生活的地球已有大约46亿年的历史,它的部分信息如下
表,你能将表格补充完整吗(用科学记数法表示)?
平均半径
6.371×10
6 m
体积
m
3
总面积
陆地面积(约占29%)
海洋面积(约占71%)
5.100×10
14 m
2
m
2
m
2
平均密度
(质量÷体积)
g/cm
3
质量
5.976×10
24kg
22
小结与思考
1. 本章知识结构:
幂的运算
同底数幂的乘法:
a
m·a
n =a
m+n(m,n是整数)
幂的乘方:(
a
m)
n =a
mn(m,n是整数)
积的乘方:(
ab)
n =a
n·b
n(
n是整数)
同底数幂的除法:
a
m ÷a
n =a
m-n(
a≠0,m,n是整数)
a
0 =1
(
a≠0)
a
-n = 1
a
n (
a≠0,n是整数)
本章中,我们学习了幂的运算性质,包括同底数幂的乘法、幂
的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等,它们的本质都是恒等
变形.
2. 利用幂的运算性质可以将幂的运算转化为指数的运算:同底
数幂的乘法与除法运算转化为幂指数的加减运算,幂的乘方运算转
化为幂指数的乘法运算.幂的运算能为后续的整式运算带来很大的
方便,有助于发展数感、符号意识和运算能力.
3. 幂的运算性质的适用范围扩展到整数指数幂后,可以发现同
底数幂的乘法、除法法则本质上是一致的.
如果a,b互为倒数,那么a
n,b
n 是否也互为倒数呢?
23
复习题
复习巩固
1. 计算:
(1)(-3
4)
4
×(-3
4)
3
;
(2)(
a-b)
3·(
a-b)
3;
(3)(-x
3)
5;
(4)(-3x)
4÷(-3x);
(5)(2x
2)
3;
(6)(-3xy
2z)
2;
(7)m
3·m·(m
2)
3;
(8)(-a
2)
3·(-a
3)
2;
(9)t
m+1·t+(-t)
2·t
m(m 是整数);
(10)(x
n)
2+(x
2)
n-x
n·x
2(
n是整数)
.
2. 计算:
(1)(1
4)
-2
×2-4;
(2)(3
4)
-2
÷(3
4)
0
;
(3)(-9)
-1×(1
3)
-2
;
(4)(
a-3b
2)
-2.
3. 水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一
个氧原子.1个氢原子的质量约为1.674×10
-27kg,一个氧
原子的质量约为2.657×10
-26kg,一个水分子的质量大约是
多少(单位:kg)?
(第3题)
24
4.1cm
3 空气的质量约为1.293×10-3g,1m
3 空气的质量是多
少(单位:kg)?
5. 请解决章头活动中的问题:如果一个探测器以6.4×10
4km/h
的平均速度飞往比邻星,那么大约需要多少年?
6.一块尺寸为1.03cm×1.03cm的某种芯片上集成了1.53×
10
10个晶体管,求每个晶体管所占的面积(单位:cm
2).
7.地球的半径约为6.37×10
3km,太阳的半径约为6.96×10
5km,
恒星HR237的半径约为太阳的1800倍.
(1)太阳的体积约是地球的多少倍?
(2)恒星HR237的体积约是太阳的多少倍?
(第7题)
8.一滴水约0.05cm
3,有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏40
滴水,一天大约漏水多少立方米?
灵活运用
9. 计算:
(1)(-1
3)
100
×3
101 ;
(2)0.2
4×0.4
4×12.5
4.
25
10. 已知a=- (0.3)
2,b=-3
-2,c=(-1
3)
-2
,d=(-1
3)
0
,比
较a,b,c,d的大小,并用“<”号连接起来.
11.计算:
(1)10-5-10-6;
(2)(
10
2
0.000001)
2
.
12.已知3×9
x×81=3
21 ,求x的值.
探索研究
13.比较2
55,3
44,4
33的大小.
14.已知a=1.001×10
-9,b=9.99×10
-8,c=1.002×10
-8,
d=-9.9999×10
-7,比较a,b,c,d的大小,并用“<”
号连接起来.
15.判断49
8-14
2×7
12能否被9整除,并说明理由.
整式乘法
整式是代数式的一种基本形式. 本章将在幂
的运算和整式加减运算的基础上学习整式乘法.
学习整式乘法时，可以类比数的乘法.与数
的乘法一样，整式乘法也满足交换律、结合律
和分配律.
整式运算是数学运算的基础，是代数学习的
基本功.我们需要掌握整式运算的法则，理解整
式运算的过程，熟练地进行整式运算.
8
道路铺设地砖,不同的铺砌方案会得到不同的图案.
用若干块如下图所示的长方形和正方形的地砖,拼成
图1~图3,它们的面积分别是多少? 你有哪些不同的
算法?
图1
图2
图3
图4
如图4,在边长为a的正方形地砖上切
割掉一个边长为b的正方形,剩下部
分的面积是多少? 你有哪些不同的
算法?
第8 章
整式乘法
28
8.1
单项式乘单项式
如图8 1,几块型号相同的液晶屏拼接在一起组成“电
视墙”,如何计算这块“电视墙”的面积?
图8 1
如果把图8 1的“电视墙”看成一个大长方形,那么它的长为
3a、宽为3b,面积为3a·3b.
如果把图8 1的“电视墙”看成是由9个小长方形组成的,那
么它的面积为9ab.
由此得到3a·3b=9ab.
一般地,可以运用乘法交换律、结合律计算两个单项式的乘
积.对于任意的a,b,
29
8.1
单
项
式
乘
单
项
式
计算下列各式,并说明理由:
(1)2a
2b·3ab
2; (2)4ab
2·5b; (3)6x
3·(-2x
2y).
由乘法交换律和结合律可以得到单项式乘单项式的法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相
乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积
的一个因式.
计算:
(1)1
3a
2·(-6ab); (2)(-2x)
3·(-3xy
2)
.
?
(1) 1
3a
2·(-6ab)
= [1
3×(-6)]·(
a
2·a)·b
=-2a
3b;
(2)
(-2x)
3·(-3xy
2)
=-8x
3·(-3xy
2)
= [(-8)×(-3)]·(x
3·x)·y
2
=24x
4y
2.
如何计算2x·(-3xy)·(2xyz)
2 ?
1. 计算:
(1)0.25a
2·8a; (2)3
4a
3b
2·(-8
9abc);
(3)2a
2bc·(-1
7ab);
(4)-0.1abc·10ab
2c;
(5)(-x
2)
2·(2xy
2)
2;
(6)-8a
2b·(-ab
2)·1
4b
2.
2. 一个正方体的棱长是1.5a,求它的表面积和体积.
第8 章
整式乘法
30
1. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)3x
3·(-2x
2)=5x
5; (2)3a
2·4a
2 =12a
2;
(3)3b
3·8b
3 =24b
9;
(4)-3x·2xy =6x
2y.
2. 计算:
(1)(
a
2)
2·(-2ab);
(2)5m·(-9
4abm)·(-am);
(3)0.5a
3b
2c·(-0.2a
2b
3);
(4)1
4x
3y
2·(-2xy
2)+(-2x
2y)·(-1
2xy)·3xyz.
3. 填空:
(1)( )·(-3xy)=-12x
2y;
(2)2ab·( )=-6a
2bc;
(3)(-2x)·( )=10xy;
(4)(2×10
2)×( )=3×10
6.
4.某房屋的平面结构如图所示,现要把屋内地面(含阳台)都铺上地
砖,至少需要多少平方米的地砖? 如果地砖的价格是x 元/m
2,
那么购买地砖至少需要多少元?
(第4题)
31
8.2
单
项
式
乘
多
项
式
8.2
单项式乘多项式
如图8 2,为了改善采光效果,将窗户的宽度增加.
改装后窗户的采光面积为多少?
图8 2
如果把改装后的窗户看成一个大长方形,那么它的长为a+b,
宽为c,面积为c(
a+b).
如果把改装后的窗户看成两个小长方形,那么它的面积为ca+cb.
由此得到
c(
a+b)=ca+cb
一般地,对于任意的a,b,c,由乘法分配律可以得到
计算下列各式,并说明理由:
(1)a·(5a+3b); (2)(x-2y)·2x.
由乘法分配律可以得到单项式乘多项式的法则:
单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把
所得的积相加.
第8 章
整式乘法
32
计算:
(1)(-3x
2)·(4x-3);
(2)(3
4ab
2-3ab)·1
3ab.
?
(1)
(-3x
2)·(4x-3)
= (-3x
2)·4x+(-3x
2)·(-3)
=-12x
3+9x
2;
(2) (3
4ab
2-3ab)·1
3ab
= 3
4ab
2·1
3ab+(-3ab)·1
3ab
= 1
4a
2b
3-a
2b
2.
如图8 3,在长方形地块上建造住宅、广场、商场,计算这块地
的面积.
图8 3
?
长方形地块的长为(3a+2b)+ (2a-b)、宽为4a,这块地的面
积为
4a·[(3a+2b)+(2a-b)]
=4a·(5a+b)
=4a·5a+4a·b
=20a
2+4ab.
答:这块地的面积为20a
2+4ab.
33
8.2
单
项
式
乘
多
项
式
(第2题)
1. 计算:
(
1)(
b+c-13)·a; (
2)-2xy·(
3y-2x-1);
(
3)-1
2x
3y
2·(
4y+8xy
3);(
4)(
3a
3b-2ab
2+ab
3)·(-2ab);
(
5)x(
y-4)+y(
3-x);
(
6)a(
a
2-ab+b
2)+b(
a
2-ab+b
2)
.
2. 计算图中梯形的面积.
3. 填空:
(1)( )·(3x-4)=3x
2-4x;
(2)x
2·( )=x
3+2x
2.
1. 计算:
(1)1
2ab(2a
2b-3ab
2);
(2)x(2x-5)+3x(x+3)-5x(x-1);
(3)a(
a
2+ab+b
2)-b(
a
2+ab+b
2);
(4)a(
a
2-3)+a
2(
a+3)-3a(
a
2-a-1).
2. 已知A =-2ab,B =3ab(
a-b),求A·B.
3. 填空:
(1)( )(-2a+3b)=4a
2b-6ab
2;
(2)ab(
a
2+ +3)=a
3b+2a
2b+3ab;
(3)2ab
2(3a
2- + )=6a
3b
2-4a
2b
3+10ab
4;
(4)2a
2b
2( + - )=2a
2b
2+8a
3b
3-16a
4b
4.
4. 在x(
c+d)=xc+xd 中,如果将x 换成(
a+b),你能计算
(
a+b)(
c+d)吗?
第8 章
整式乘法
34
8.3
多项式乘多项式
如图8 4,现有一块长为a、宽
为d的长方形绿地,将其长和宽分别
加长b,c,请计算扩大后的长方形绿
地的面积.
图8 4
如果把图8 4看成1个大长方形,那么它的面积为
(
a+b)·(
c+d)
.
如果把图8 4看成是由4个小长方形组成的,那么它的面积为
ac+ad+bc+bd.
由此得到
(
a+b)(
c+d)=ac+ad+bc+bd.
一般地,对于任意的a,b,c,d,可以得到
35
8.3
多
项
式
乘
多
项
式
在乘法分配律和单项式乘多项式法则的基础上,我们可以得到
多项式乘多项式的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项,再把所得的积相加.
计算:
(1)(x+2)(x-3); (2)(-3x+1)(x-2)
.
?
(1) (x+2)(x-3)
=x(x-3)+2(x-3)
=x·x+x·(-3)+2·x+2×(-3)
=x
2-3x+2x-6
=x
2-x-6;
(2) (-3x+1)(x-2)
=-3x·x+(-3x)·(-2)+1·x+1×(-2)
=-3x
2+6x+x-2
=-3x
2+7x-2.
计算:
(1)(3m+n)(m-2n); (2)n(
n+1)(
n+2)
.
?
(1) (3m+n)(m-2n)
=3m
2-6mn+mn-2n
2
=3m
2-5mn-2n
2;
(2) n(
n+1)(
n+2)
= (
n
2+n)(
n+2)
=n
3+2n
2+n
2+2n
=n
3+3n
2+2n.
第8 章
整式乘法
36
1. 计算:
(1)(
a+1)(
b+1); (2)(x-2)(x-3);
(3)(4x+2)(x-2);
(4)(1-2x)(2+3x)
.
2. 计算:
(1)(4-3x)(4+3x);
(2)n(
n-2)(
n+2).
3.一块长方形地砖的长、宽分别为acm,bcm (
a>2,b>2).
如果长、宽各截去2cm,那么剩余部分的面积是多少?
1. 计算:
(1)(x-3)(2x+3); (2)(2a+1)(-a-2);
(3)(x+1
2)(x-1
3);
(4)(x
2-1)(x
2-3);
(5)(xy+1)(xy-4);
(6)(5m-4n)(4m-5n)
.
2. 计算:
(1)(2a-b)(
a+2b-1);
(2)(x+y+2)(x+y+3).
3. 求(x-1)(2x+1)-2(x-5)(x+2)的值,其中x= 1
5.
4. 光伏电池板可以将太阳光能转化为电能,在相同光照条件下,电
池板面积越大,输出的电能越大. 现将一块长90cm、宽60cm
的长方形光伏电池板的长和宽都增加acm,它的面积将增加
多少?
37
8.4
乘
法
公
式
8.4
乘法公式
完全平方公式
如何计算图8 5的面积?
图8 5
如果把图8 5看成一个大正方形,那么它的面积为(
a+b)
2.
如果把图8 5看成是由2个小长方形和2个小正方形组成的,
那么它的面积为a
2+2ab+b
2.
由此得到
(
a+b)
2 =a
2+2ab+b
2.
一般地,对于任意的a,b,可以得到
(
a+b)
2 = (
a+b)(
a+b)
=a
2+ab+ba+b
2
=a
2+2ab+b
2,
(
a-b)
2 = [
a+ (-b)]
2
=a
2+2·a·(-b)+ (-b)
2
=a
2-2ab+b
2.
于是,我们得到完全平方公式(perfectsquareformula):
(
a+b)
2 =a
2+2ab+b
2.
(
a-b)
2 =a
2-2ab+b
2.
第8 章
整式乘法
38
完全平方公式有什么特点?
用完全平方公式计算:
(1)(5+3p)
2 ; (2)(2x-7y)
2;
(3)(-2a-5)
2.
?
(1) (5+3p)
2
=5
2+2×5·3p+(3p)
2
=25+30p+9p
2;
(2) (2x-7y)
2
= (2x)
2-2·2x·7y+(7y)
2
=4x
2-28xy+49y
2;
(3) (-2a-5)
2
= (-2a)
2+2·(-2a)·(-5)+(-5)
2
=4a
2+20a+25.
用完全平方公式计算:199
2.
?
199
2
= (200-1)
2
=200
2-2×200×1+1
2.
=40000-400+1
=39601.
1.一个奇数的平方一定是奇数吗? 请说明理由.
2.计算(
a+b+c)
2 .
39
8.4
乘
法
公
式
1. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)(x+y)
2 =x
2+y
2; (2)(-x-y)
2 =x
2-2xy+y
2.
2. 用完全平方公式计算:
(1)(1+x)
2; (2)(y-3)
2;
(3)(-3x+2)
2;
(4)(3
2x-1
3y)
2
.
3.用完全平方公式计算:201
2.
4. 填空:
(1)(
a+ )
2 =a
2+4ab+4b
2;
(2)(2a+ )
2 =4a
2+4ab+b
2;
(3)(3x- )
2 =9x
2-12xy+ ;
(4)(-x- )
2 =x
2+ +1.
5. 边长为am(
a>6)的正方形花圃,如果边长减少6m,那么花
圃的面积减少了多少?
平方差公式
1.如图8 6(1),在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(
b<a)的
小正方形,计算剩余部分的面积.
(1)
(2)
图8 6
2.如图8 6(2),将剩余部分剪开拼成一个长方形.计算这个长方形
的面积.
3.由上述操作,你能得到怎样的等式?
4.你还有其他方法计算剩余部分的面积吗?
第8 章
整式乘法
40
一般地,对于任意的a,b,由多项式乘多项式法则可以得到
(
a+b)(
a-b)=a
2-ab+ab-b
2 =a
2-b
2.
于是,我们得到平方差公式(differenceofsquareformula):
(
a+b)(
a-b)=a
2-b
2.
平方差公式有什么特点?
用平方差公式计算:
(1)(5x+y)(5x-y); (2)(m+2n)(2n-m);
(3)(3y-x)(-x-3y).
?
(1)
(5x+y)(5x-y)
= (5x)
2-y
2
=25x
2-y
2;
(2)
(m+2n)(2n-m)
= (2n+m)(2n-m)
= (2n)
2-m
2
=4n
2-m
2;
(3) (3y-x)(-x-3y)
= (-x+3y)(-x-3y)
= (-x)
2-(3y)
2
=x
2-9y
2.
用平方差公式计算:301×299.
?
301×299= (300+1)×(300-1)=300
2-1
2 =89999.
完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式.
41
8.4
乘
法
公
式
1. 下面的计算是否正确? 如有错误,请改正.
(1)(x+2)(x-2)=x
2-2;
(2)(x+y)(y-x)=x
2-y
2.
2. 计算:
(1)(1+x)(1-x);
(2)(
a+4b)(
a-4b);
(3)(3+a)(3-a);
(4)(1
2x-2y)(-1
2x-2y).
3. 填空:
(1)(x+ )(x- )=x
2-25;
(2)(m+ )(m- )=m
2-36n
2;
(3)(
a+2b)( )=4b
2-a
2;
(4)( )(1-x
2)=x
4-1.
计算:
(1)(x-3)(x+3)(x
2+9); (2)(2x+3)
2(2x-3)
2.
?
(1) (x-3)(x+3)(x
2+9)
= (x
2-9)(x
2+9)
=x
4-81;
(2) (2x+3)
2(2x-3)
2
= [(2x+3)(2x-3)]
2
= (4x
2-9)
2
=16x
4-72x
2+81.
第8 章
整式乘法
42
计算:
(1)(2a+b)(
b-2a)-(
a-3b)
2; (2)(x+y+4)(x+y-4)
.
?
(1) (2a+b)(
b-2a)-(
a-3b)
2
= (
b+2a)(
b-2a)-(
a-3b)
2
=b
2-4a
2-(
a
2-6ab+9b
2)
=b
2-4a
2-a
2+6ab-9b
2
=-5a
2+6ab-8b
2;
(2) (x+y+4)(x+y-4)
= [(x+y)+4][(x+y)-4]
= (x+y)
2-4
2
=x
2+2xy+y
2-16.
如何用平方差公式计算(x+y-3)(x-y+3)?
(第3题)
1. 计算:
(1)a
2+(
b-a)(
b+a); (2)(
a-1)(
a+1)(
a
2-1);
(3)(3x+1)
2(3x-1)
2;
(4)(x-y+z)(x-y-z)
.
2. 计算:
(1)(2a-b)
2-4(
a+b)(
a-b);
(2)3(x+y)(-x-y)-(3x+y)(-3x+y)
.
3. 如图,4个完全相同的长方形围成一个正方
形.用不同的代数式表示图中阴影部分的面
积,由此,你能得到怎样的等式? 试用乘法
公式说明这个等式成立.
43
8.4
乘
法
公
式
1. 计算:
(1)(2a+3b)
2; (2)(2x-5y)
2;
(3)3(1
3a-b)
2
;
(4)(-x-2y)
2.
2. 用不同的代数式表示图中草坪的面积.由此,你能得到怎样的等
式? 试用乘法公式说明这个等式成立.
(第2题)
(第3题)
3. 求图中梯形的面积.
4. 计算:
(1)(2m-3n)(2m+3n); (2)(2a-5b)(5b+2a);
(3)(-2+3x)(-2-3x);
(4)(1
3x-y)(-1
3x-y).
5. 用乘法公式计算:
(1)999
2;
(2)1004×996.
6. 计算:
(1)(x-y)
2-(x+y)
2;
(2)(3a-b)
2+(
b+3a)
2;
(3)(2x-1)(2x+1)(4x
2+1);
(4)(2m+3n)
2(3n-2m)
2;
(5)4(
a+2)
2-7(
a+3)(
a-3)+3(
a-1)
2;
(6)(2a-b-3)(2a+b-3)
.
7. 求下列代数式的值:
(1)(3-4y)(3+4y)+(3+4y)
2,其中y=0.4;
(2)(2a+b)
2-(3a-b)
2+5a(
a-b),其中a= 2
5,b= 3
4.
8.两个连续偶数的平方差一定是4的倍数吗? 为什么?
第8 章
整式乘法
44
杨辉三角
公元11世纪,北宋数学家贾宪(约1050)在其数学著作中给出了一
张称为“开方作法本源”的三角形图表,原书佚失.13世纪,南宋数
学家杨辉(约13世纪中期)在《详解九章算法》一书中引用了此图表,
并指明此表为贾宪所用,后来得以流传,人们称这个图表为“贾宪三
角”或“杨辉三角”.
该三角形图表两条斜边上的数都是1,其余每个数为它上方(左右)
的两数之和(图1).
图1
事实上,这个数表给出了(a+b)
n(
n=1,2,3,…)的展开式的系数
规律.例如,此三角形中第3行中的3个数1,2,1,对应着(
a+b)
2=a2+
2ab+b2 展开式中的各项系数;第4行中的4个数1,3,3,1对应着
(
a+b)
3 =a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的各项系数.
你能写出(a+b)
5,(a+b)
6 的展开式吗?
45
小结与思考
1.本章知识结构:
整式的乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
完全平方公式
(a±b)
2=a2±2ab+b2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
本章中,我们从计算图形面积入手,得到了单项式与单项式、
单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式、平
方差公式,并且通过推演证实了这些法则和公式.
2.整式乘法的运算过程体现了转化的思想,把多项式的乘法转
化为单项式的乘积之和,把一些单项式的乘法转化为幂的运算,转
化的依据是乘法交换律、结合律与分配律.整式乘法的本质是整式
的恒等变形,在学习过程中,可以发展抽象能力、运算能力.
3.本章中,我们运用数形结合的思想在多项式乘法和长方形面
积之间建立了联系.请你解决问题:将边长分别为a,b,c的两个
直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成下图. 试用
不同的方法计算这个图形的面积,你有什么发现?
46
复习题
复习巩固
1. 计算:
(1)3a
2b(-2ab
3);
(2)(-x
3y)
2(-2x
2y
2);
(3)4x
2y(3xy
2z-7xz); (4)(4a
2+ab-b
2)(-2ab);
(5)(2x+3y)(2x+7y);(6)(
a+7)(
a+1).
2. 计算:
(1)(5-2a)(2a+5);
(2)(-3x+2y)(-3x-2y);
(3)(3
4x-4
3y)
2
;
(4)(0.5x+1
3y)
2
;
(5)(-2a
2-5b)
2;
(6)(-4b+1
4)
2
.
3. 求图中阴影部分的面积.
(第3题)
(1)
(2)
(第4题)
4. 求图中正方形、三角形的面积.
5. 一个长方体的高是8,它的底面是边长为3的正方形. 如果
底面正方形的边长增加a,那么它的体积增加了多少?
6. 求下列代数式的值:
(
1)a(
b-c)-b(
c-a)+c(
a-b),其中a=1
4,b=1
2,c=-3
4;
(
2)(
x-1)(
x-2)-3x(
x+3)+2(
x+2)(
x-1),其中x= 1
3.
47
7. 用乘法公式计算:
(1)2001
2;
(2)500
2-498×502.
灵活运用
8. 已知(
a+b)
2 =7,(
a-b)
2 =3.求a
2+b
2,ab的值.
9. 观察下列式子:
2×4+1=9,
4×6+1=25,
6×8+1=49,
…
探索以上式子的规律,试写出第n个等式,并说明第n个等
式成立.
10. (1)通过计算,探索规律:
15
2 =225,可写成100×1×(1+1)+25,
25
2 =625,可写成100×2×(2+1)+25,
35
2 =1225,可写成100×3×(3+1)+25,
45
2 =2025,可写成100×4×(4+1)+25,
…
75
2 =5625,可写成 ,
85
2 =7225,可写成 ;
(2)说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25
整除.
探索研究
11. 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数吗? 为什么?
12.如何用图形的面积表示(
a-b)
2 =a
2-2ab+b
2 ?
图形的变换
平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式.
本章将在小学学习的基础上进一步研究这些图形变
换的性质和应用.
我们可以通过折纸、剪纸、用方格纸画图、尺
规作图等表示图形的变换过程,观察变换前后图形
的关系,探索图形变换的性质.
图形的变换有助于我们从运动的角度来研究几
何,发现自然界和现实生活中的对称美.图形的
变换也是艺术、设计的常用工具.
9
折纸与剪纸是中国民间传统艺术,其中蕴含着丰富的图形变换
知识.
将一张长方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开:
ڼ 2ْ
ܔች
ڼ 3ْ
ܔች
Ă ኽ
如果只对折一次,那么得到的剪纸是什么图案?
请仿照上述方法,用一张彩纸设计
并剪出一个图案.
怎样折叠一张长方形纸片可以剪出
右图?
你还知道哪些中国民间传统艺术? 其中蕴含怎样的数学知
识? 请与同学交流.
第9 章
图形的变换
50
9.1
平 移
平移的概念
生活中,常常可见物体或人沿一定方向平行移动的情景.
图9 1
图9 1表示的是画平行线的过程,其
中哪些图形的位置发生了变化? 移动前后
的图形有什么关系?
图9 2
一般地,在平面内,将一个图形沿直
线的某个方向平行移动一定的距离后得到
另一个图形的平面变换叫作平移(transla-
tion).
如图9 2,平移△ABC 得到△A'B'C',
其中点A'是点A 的对应点,线段A'B'是线
段AB的对应线段,A'B'=AB;∠A'B'C'是
∠ABC 的对应角,∠A'B'C'= ∠ABC .
51
9.1
平
移
由平移的定义可知:
平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也
相等.
在图9 3中,哪些三角形可以由△ABC 平移得到? 写出平移
前后的对应点、对应边与对应角.
图9 3
如图9 4,画出将线段AB 向右平移5个单位长度后的图形.
图9 4
?
如图9 5,分别画出点A,B 向右平移5个单位长度后的点A',
B',连接A'B'.线段A'B'即为所求.
图9 5
第9 章
图形的变换
52
在图9 6中,沿AA'方向平移△ABC,使点A 移动到点A'的
位置,画出平移后的△A'B'C',并讨论对应点连线段AA',BB',
CC'之间的关系.
图9 6
1.图中哪些图形可以由其他图形平移得到? 写出平移前后的
两个对应图形.
(第1题)
(第2题)
2.在图中画出线段AB 向左平移4个单位长度后得到的线段
A'B';再画出线段A'B'向上平移3个单位长度后得到的线
段A″B″.
53
9.1
平
移
平移的基本性质
如图9 7,沿AA'的方向平移△ABC,使点A 移动到点
A'的位置,得到△A'B'C'.请你分别连接BB',CC'.线段
BB',CC'与AA'有怎样的关系?
图9 7
一般地,图形的平移具有如下性质:
平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一
条直线上)且相等.
第9 章
图形的变换
54
如图9 8,在长方形ABCD 中,点P 在边AB 上,连接DP,平移
△APD,得到△BP'C .
(1)写出△APD 平移后的对应顶点、对应线段和对应角;
(2)写出图中与PP'相等的线段、与∠APD 相等的角.
图9 8
?
(1)点A,P,D 的对应点分别为B,P',C;AP,PD,DA 的对
应线段分别为BP',P'C,CB;∠A,∠APD,∠ADP 的对
应角分别为∠CBP',∠BP'C,∠BCP'.
(2)与PP'相等的线段:PP'=AB =DC ;
与∠APD 相等的角:∠APD = ∠BP'C = ∠CDP.
如图9 9,在四边形ABCD中,AD∥BC .平移四边形ABCD
得到四边形A'B'C'D' .你能找到哪些平行且相等的线段? 画出来
并用图中的字母表示.
图9 9
55
9.1
平
移
在图9 10中,平移线段AB,使点A 移到点A'的位置,画出平移
后的线段.
图9 10
图9 11
?
如图9 11,连接AA',过点B 画BB'∥AA',并使得BB'=AA',
连接A'B'.线段A'B'即为所求.
在例3中,设D 为线段AB 的中点,线段AB 平移到A'B'后,
点D 的对应点是哪一个点?
(第2题)
1.如图,平移四边形ABCD,得到四边形A'B'C'D'.你能找
到哪些平行且相等的线段? 画出来并用图中的字母表示.
A
A
D
D
C
C
B
B
(第1题)
2.如图,在平行四边形ABCD
中,AE⊥BC,垂足为E,平
移△ABE,使点B 移到点C 的
位置,画出平移后的图形,并
写出相等的线段和相等的角.
第9 章
图形的变换
56
1. 图中的四个小三角形都是边长为1的等边三角形.△ABC 可以平
移到图中哪几个三角形的位置? 分别写出平移前后的对应点、对
应边和对应角.
(第1题)
(第2题)
2.如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,平移△ABC,使点A
先移到点A'的位置,再移到点A″的位置.
(1)画出这两次平移得到的三角形.
(2)能否只通过一次平移△ABC,使点A 移到点A″的位置? 若
可以,说明平移的方向和距离.
3.平移图中的△ABC,使点A移到点A'的位置,画出平移后的三角形.
(第3题)
(第4题)
4.平移图中的正六边形ABCDEF,使点C 移到点E 的位置,画出
平移后的正六边形.
5.用涂色的方式在图中画出一组平移前后的图形.
(第5题)
57
9.2
轴
对
称
9.2
轴对称
轴对称的概念
轴对称是自然界和日常生活中的常见现象.
1.在一张纸上滴一滴墨汁,将纸对折、压平,然后重新展开,你有
什么发现?
2.将一张透明纸对折,在折痕的一边画一个三角形,在折痕的另一
边描出这个三角形,展开透明纸,你有什么发现?
一般地,将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的
平面变换叫作轴对称(
linesymmetry),这条直线叫作对称轴(axisof
symmetry),此时称这两个图形成轴对称.
图9 12
如图9 12,△ABC 和△A'B'C'
关于直线l对称,直线l是对称轴,
点A 的对应点是A',也叫作对称点,
线段A'B'是线段AB 的对应线段,
A'B'=AB;∠A' 是∠A 的对应角,
∠A'= ∠A .
由轴对称的定义可知:
成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等.
第9 章
图形的变换
58
(1)在图9 13 (1)中,哪些三角形可以由△ABC 经过轴对称
变换得到? 写出轴对称变换前后的对应边和对应角.
(2)图9 13 (2)中的两个三角形成轴对称,你能找到它们的
对称轴吗?
(1)
(2)
图9 13
图9 14
如图9 14,点O 在直线l 上,格点A 在直线l
外.画出线段OA 关于直线l的对称线段.
利用网格确定线段端点的对称点;对称轴上的点的
对称点是其自身.
图9 15
?
如图9 15,画点A 关于直线l的对称点B,连接
OB,线段OB 即为所求.
1.如图,在方格纸上画出△ABC 关于直线l 对称的三角形,
写出对应边与对应角.
A
B
C
l
(第1题)
l
(第2题)
2.在格点纸上以l为对称轴,画出给定图形的对称图形.
59
9.2
轴
对
称
1.在长方形透明纸上画线段AB .折叠纸片,使点A,B 重合.
2.展开纸片,记折痕所在的直线为l,将l与线段AB 的交点记为点
O,在l上任取一点C,连接CA,CB.
3.CA 和CB 相等吗? 若点D 满足DA=DB,点D 一定在直线l上
吗? AB 与CD 有怎样的位置关系?
在上述活动中,直线l⊥AB,垂足为O,且OA=OB.像这样,
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(perpendic-
图9 16
ularbisector),简称中垂线.
如图9 16,如果直线l是线段AB的垂直平分
线,点O为垂足,那么线段OA与OB关于l成轴对
称,A,B为对称点,点O的对称点是其自身.
在上述活动得到的图形中,△COA 与△COB 关于直线l成轴对
称吗? 还可以找出哪些成轴对称的三角形?
第9 章
图形的变换
60
尺规作图:如图9 17,已知线段AB,作线段AB 的垂直平分线.
图9 17
由上述活动得到启发,要作线段AB 的垂
直平分线l,关键是确定点C 和点D 的位
置.因为CA 与CB,DA 与DB 都关于l
对称,所以CA=CB,DA=DB .为了
作图方便,可以取CA=DA.
①分别以点A,点B 为圆心,取大于
1
2AB 长为半径,作两条相交的弧,
交点记为C,D .
②作直线CD,与AB 交于点O.
直线CD 即为所求.
在上面尺规作图得到的图形中,你能画出哪些以CD 为对称轴
的对应线段? 直线AB 是线段CD 的垂直平分线吗?
61
9.2
轴
对
称
1.如图,画正方形一条对角线的中垂线.
(第1题)
P
l
P
l
(1) (2)
(第2题)
2.如图,用直尺和圆规分别过点P 作直线l的垂线.
轴对称的基本性质
我们知道,点A,A'关于线段AA'的垂直平分线对称.反过来,
如果点A,A'关于直线l对称,那么l是线段AA'的垂直平分线吗?
(1)如图9
18 (1),把一张纸对折后,用针扎两个孔;如图
9 18 (2),把纸展开,针孔分别记为点A 和点A',点B 和点B',
折痕记为l,连接AB,A'B'.线段AB 与线段A'B'关于直线l对
称.连接AA',BB',线段AA',BB'与直线l有什么位置关系?
(1)
(2)
图9 18
(2)如图9 19,仿照上面的操作,找第三个点C,再扎孔、展开、
标记、连线,△ABC 与△A'B'C'关于直线l对称.连接CC',线
段CC'与直线l有什么位置关系?
图9 19
第9 章
图形的变换
62
一般地,轴对称具有如下性质:
成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线
段被对称轴垂直平分.
也就是说,成轴对称的两个图形中,对称轴是任意两个对称点
连线段的垂直平分线.
图9 20
如图9 20,已知线段AB 和直线l,用直尺和
圆规作线段AB 关于直线l对称的线段.
A
E
A@
B
F
B@
l
①过点A 作AE⊥l,垂足为E,在AE 的延长线
上截取线段EA',使得EA'=AE.
②过点B 作BF⊥l,垂足为F,在BF 的延长
线上截取线段FB',使得FB'=BF,连接
A'B'.线段A'B'即为所求.
如图9 21,已知△ABC 和直线l,点C 在l 上.用直尺和圆规作
△ABC 关于直线l对称的三角形.
图9 21
63
9.2
轴
对
称
1.画出下图中成轴对称的两个图形的对称轴.
(1)
(2)
(第1题)
2.在四边形ABCD 中,点D,C 在直线l上,AD⊥l,BC⊥l.
画四边形ABCD 关于直线l对称的图形.
l
A
D
B
C
(第2题)
轴对称图形
观察下面三个图案,它们有什么共同特征?
如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称
这个图形是轴对称图形(axiallysymmetricfigure),这条直线就是对
称轴.
第9 章
图形的变换
64
下列各图是轴对称图形吗? 如果是,画出对称轴.
要判断一个图形是否为轴对称图形,可以把这个图形沿某一条
直线对折,如果对折后的两部分关于这条直线对称,那么原来的图
形就是轴对称图形,这条直线是对称轴.
尺规作图:如图9 22,已知∠AOB,作∠AOB 的平分线.
图9 22
图9 23
如图9 23,在作线段AB 的垂直平分线时,
我们知道四边形ACBD 是轴对称图形,AB 和
CD 都是它的对称轴,那么AB 是∠CAD 的平
分线.因此,要作∠CAD 的平分线,关键是
确定点B .可以通过作等长线段得到点B .
①以点O 为圆心、任意长为半径作弧,与
OA,OB 分别交于点P,Q;
②分别以点P,Q 为圆心,取大于1
2PQ 长为
半径作弧,交于点O',连接OO'.
射线OO'即为所求.
65
9.2
轴
对
称
1.如图,方格纸中有一个等腰梯形,它是轴对称图形吗? 如
果是,作出对称轴.
(第1题)
2.如图,方格纸上有两条线段,请用不同的方法将其补成一
个轴对称图形.
(第2题)
(第3题)
3.如图,光线射向水平镜面,反射角等于入射角.入射光线
与反射光线是否成轴对称? 如果是,作出对称轴.
(第1题)
1.如图,线段AB 与A'B'关于直线l 对称,
AA'与直线l相交于点O.
(1)把线段AB 沿直线l翻折,重合的线段为
;
(2) 因为△OAB 与△OA'B' 关于直线
l ,所以△OAB 与△OA'B'
可以重合,直线l 垂直平分线段 ,∠ABO =
∠ ,∠AOB'= ∠ .
第9 章
图形的变换
66
2.画出图中编号为1~9的9个点关于直线l对称的点,并相应地编
号为1'~9',然后把两组点按各自的序号分别依次连接起来.你
得到了一幅什么图案?
(第2题)
3.如图,△ABC 的两个顶点分别在直线l1 和l2 上,且l1 ⊥l2.
画三角形Ⅰ,使它与△ABC 关于直线l2 对称;
画三角形Ⅱ,使它与三角形Ⅰ关于直线l1 对称;
画三角形Ⅲ,使它与三角形Ⅱ关于直线l2 对称.
所画的三角形Ⅲ与△ABC 成轴对称吗?
(第3题)
(第4题)
4.作△ABC 关于直线l对称的三角形.
67
9.2
轴
对
称
5.分别作下列轴对称图形的对称轴.
(1)
(2)
(3)
(4)
(第5题)
6.请把下图补成以直线l为对称轴的轴对称图形.
(第6题)
7.请把下图补成以直线l为对称轴的轴对称图形.
l
(第7题)
第9 章
图形的变换
68
9.3
旋 转
旋转的概念
旋转是日常生活与自然界中的常见现象.观察下图,你还能找
到类似的例子吗?
一般地,在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一
定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转(rotation),这个定点称
为旋转中心,转动的角度称为旋转角.
如图9 24,△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△A'B'C',
点O 为旋转中心,θ为旋转角,点A 的对应点是A',线段A'B'是
线段AB 的对应线段,A'B'=AB,∠A'B'C'是∠ABC 的对应角,
∠A'B'C'=∠ABC .
图9 24
由旋转的定义可知:
旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等.
69
9.3
旋
转
在图9 25中,哪些三角形可以由△ABC旋转得到? 旋转中心和
旋转角分别是什么? 写出旋转前后的对应点、对应线段和对应角.
图9 25
如图9 26,在正方形ABCD 中,点E 在边CD 上,画出△AED 绕
点A 按顺时针方向旋转90°后的图形.
图9 26
利用网格分别确定三角形顶点旋转后的对应点.
?
如图9 27,点D 绕点A 按顺时针方向旋转90°到点B .点E 绕点A
按顺时针方向旋转90°到点F.连接AF,FB,△AFB即为所求.
图9 27
第9 章
图形的变换
70
如图9 28,画出△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°后的图形.
图9 28
1.如图,正方形A'B'C'D'是正方形ABCD 按顺时针方向旋转
一定的角度得到的.写出旋转中心和旋转角,以及图中相
等的线段与相等的角.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC 中,D 是边AC 的中点,画出△ABC 绕点
D 按逆时针方向旋转180°后的三角形.
旋转的基本性质
平移、轴对称、旋转所具有的共同性质是变换前后的两个图形
可以重合,对应线段相等,对应角也相等.除此之外,旋转还有哪
些特殊的性质呢?
71
9.3
旋
转
A
F
B
D
C
E
图9 29
如图9 29,在正方形ABCD
中,点E 在边CD 上,△AED 绕点
A 按顺时针方向旋转90°得到
△AFB.图中有哪些相等的线段?
有哪些相等的角?
点E,D 的对应点分别为F,B,AE =AF,AD =AB,
∠FAE=∠BAD=90°,即∠FAE 与∠BAD 都等于旋转角.
一般地,图形的旋转具有如下性质:
旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对
应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角.
在图9 30中,画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转60°后的图形.
图9 30
图9 31
如图9 31,把△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转
60°得到△AB'C'.已知∠BAC =50°,求∠CAB',
∠BAC'的大小.
?
根据题意,点B,C 的对应点分别为B',C',所以
∠BAB'=60°.
因为∠CAB'= ∠BAB'-∠BAC,∠BAC =50°,
所以∠CAB'=60°-50°=10°.
因为∠BAC'= ∠BAB'+∠B'AC',∠B'AC'= ∠BAC =50°,
所以∠BAC'=60°+50°=110°.
第9 章
图形的变换
72
将一条线段绕其一个端点旋转60°,连接对应点可以得到怎样
的图形? 旋转90°呢?
1.如图,△ABC 是由△DEF 经过旋转得到的.
(1)写出两个三角形的对应点、对应边和对应角;
(2)写出相等的线段和相等的角.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在方格纸中先把△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转
90°,得到△A1B1C1;再把△A1B1C1 按同样方式旋转,得
到△A2B2C2; 把△A2B2C2 按同样方式旋转, 得到
△A3B3C3.画出所有的三角形,它们所围成的是什么图形?
中心对称与中心对称图形
在现实生活中,除了轴对称,还有另一种对称.观察下图,你
有什么发现?
双棒螺旋星系
“双鱼”剪纸
73
9.3
旋
转
一般地,在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转
180°得到的,则称这两个图形成中心对称(centralsymmetry),这个
点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点.
由于中心对称是特殊的旋转,所以具有旋转的所有性质.例
如,成中心对称的两个图形可以重合,对应边相等,对应角也
相等.
图9 32
如图9 32,△ABC 绕点O 旋
转180°后得到△A'B'C',△ABC
与△A'B'C'关于点O 成中心对称,
点O 是对称中心,点A 关于点O
的对称点是A',A'B'是AB 的对
应线段,∠B'A'C'是∠BAC 的对
应角.
在图9 32中,连接点B,B',观察AA',BB',CC',你能发
现什么特征?
一般地,中心对称具有如下性质:
成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心,
且被对称中心平分.
第9 章
图形的变换
74
在图9 33中,画△ABC 关于点C 对称的三角形.
图9 33
图9 34
?
如图9 34,延长AC 到点A',使CA'=CA .点A'即为点A 的对
称点.类似地,找到点B 关于点C 的对称点B',顺次连接点A',
B',C .△A'B'C即为所求.
图9 35
在图9 34中,连接AB',BA',得到四边形
ABA'B' (图9 35),将四边形ABA'B'绕点C 旋
转180°,你有什么发现?
你还见过哪些具有这种特征的图案或图形?
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形就是其本
身,那么这个图形叫作中心对称图形(centrallysymmetricfigure),
这个点就是它的对称中心.
图9 36中的三个图形均为中心对称图形,请完成下列操作:
(1)分别找出它们的对称中心;
(2)分别在各个图形上任取一点,找出它的对称点.
图9 36
75
9.3
旋
转
1.如图,在△ABC 中,O 是AC 的中点,画出△ABC 关于点
O 对称的△A'B'C'.
(第1题)
(第3题)
2.线段是中心对称图形吗? 如果是,找到它的对称中心.
3.如图,四边形①,②,③,④的顶点都在格点上,直线x,y是网
格线,指出图形①,②,③,④中每两个图形之间的对称关系.
1.在方格纸中画出△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°后得到
的△A1B1C1.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在由等边三角形组成的网格纸中画出图形“F”绕点O 按
逆时针方向旋转60°后得到的图形.
(第3题)
3.如图,正方形ABCD 绕某点按顺时针方向旋
转45°后得到正方形EFGH .找出旋转中心,
并指出对应线段和对应角.
第9 章
图形的变换
76
4.在图中按下列要求分别画出与四边形ABCD 成中心对称的四
边形:
(1)以顶点A 为对称中心;
(2)以BC 的中点O 为对称中心.
(第4题)
5.下列图形中,哪些是中心对称图形? 哪些是轴对称图形? 请画出
它们的对称中心或对称轴.
(1)
(2)
(3)
(4)
(第5题)
(第6题)
6.图中的花朵图案可以看成是中心对称图形吗? 绕旋转中心至少旋
转多少度后能与原来的图案重合?
7.如图,P 是圆O 外的一个定点,画圆O 关于点P 对称的圆O1.
(第7题)
(第8题)
8.如图,在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形,
剩余部分是中心对称图形吗? 如果是,画出它的对称中心.
77
平移、轴对称、旋转之间的联系
根据平移、轴对称、旋转的概念,这三个图形变换都把一个
图形变为另一个能与之重合的图形.它们具有如下共同性质:平
移、轴对称、旋转前后的两个平面图形中对应线段相等,对应角
相等.除此之外,这三种图形变换还有怎样的联系呢?
1.如图1,四边形①,②关于直线m 对称,四边形②,③关
于直线n对称.四边形①是否可以通过一次图形变换得到四边形
③呢?
图1
图2
2.如图2,把一块含30°角的三角板OAB 沿一条直角边翻折
到△OCB 的位置,然后沿斜边OC 翻折到△OCD 的位置.
△OCD是否可以由△OAB 经过一次图形变换得到?
3.问题1中,把一个图形沿两条平行线作两次轴对称变换的
结果相当于作一次平移.把一个图形沿两条相交直线作两次轴对
称变换又会怎样呢? 特别地,把一个三角形沿两条互相垂直的直
线作两次轴对称变换后得到的图形与原三角形有什么关系?
78
小结与思考
1.本章知识结构:
在小学学习的基础上,本章利用对应点、对应线段和对应角研
究平移、轴对称、旋转变换前后两个对应图形的性质.这些变换都
能使图形的形状、大小保持不变.
2.如果一个图形是由另一个图形通过平移、轴对称、旋转变
换得到的,那么这两个图形可以重合,它们的对应线段相等、对
应角相等.
要作出一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后的对应图形,
可以先找到这个图形中一些关键点(如多边形的顶点)的对应点,
进而得到对应图形.
3.在以后的学习中要逐步学会从图形变换的角度研究图形的性
质,理解几何图形的对称性,感悟现实世界中的对称美,进一步发
展几何直观与空间观念.
4.对称是自然界和日常生活中的一种普遍现象.你能举出各种
对称的实例吗? 你能发现其中的图形变换规律吗?
79
复习题
复习巩固
1.下列图形是不是对称图形? 如果是,找到它的对称轴或对称
中心.
(1)
(2)
(3)
(4)
(第1题)
2.如图,梯形EFGH 是由梯形ABCD 平移得到的.你能找到
哪些平行且相等的线段? 画出来并用图中的字母表示.
(第2题)
(第3题)
3.用五张相同的正方形纸片组成如图所示的图形,只移动其中
一张纸片,你能使它变成轴对称图形吗? 只移动其中一张纸
片,你能使它变成中心对称图形吗?
(第4题)
4.在如图的方格纸中,
(1)画△A1B1C1,使它与△ABC 关于
直线l1 对称.
(2)画△A2B2C2,使它与△A1B1C1
关于直线l2 对称.
(3)画△A3B3C3,使它与△A2B2C2
关于直线l3 对称.
(4)△A3B3C3 与△ABC 成轴对称吗? 如果是,画出对称轴.
80
5.下面的图案中,哪些图形可以看作是另一个图形通过平移、
轴对称或旋转得到的结果?
(第5题)
灵活运用
6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,将△ABC 绕点C 按顺时
针方向旋转得到△DEC,点A 的对应点为D,点B 的对应
点E 恰好落在AC 上,延长DE 交AB 于点F .写出图中相
等的线段与相等的角,并判断AB 与DF 的位置关系.
(第6题)
7.如图,直线l1⊥l2,垂足为O,点A1 与点A 关于直线l1 对
称,点A2 与点A 关于直线l2 对称.点A1 与点A2 有怎样的
对称关系? 你能说明理由吗?
(第7题)
81
8.如图,线段AB,CD,GH,EF 之间有怎样的位置关系? 通
过怎样的图形变换可以使其中一条线段与另一条线段重合?
(第8题)
探索研究
9.用如图所示的七巧板可以拼成哪些对称图形?
(第9题)
(第10题)
10.如图,方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形,通过
怎样的图形变换可以使其中一个三角形与另一个重合?
82
综合与实践
设计美丽的图案
一、问题情境
图形变换在艺术设计中起着不容忽视的作用.例如,敦煌莫高
窟的藻井图案、苏州古典园林的窗格样式,都巧妙地运用了图形变
换,既富于变化又蕴含规律,呈现出独特的美感.
在上面两幅图案设计中,用到了哪些几何中的图形变换? 你能
利用图形变换设计一幅美丽的图案吗?
二、学习任务
1.图1是某建筑物地砖的一部分.完成下列任务:
(1)如图2,小明从地砖的局部抽象出两个基本图形:正方形
ABCD,六边形EFGHIJ.如何由这两个基本图形通过图形变换得
到图1中的其他图形?
图1
图2
83
(2)观察图1,还可以从中抽象出哪些基本图形? 如何由这些基
本图形通过图形变换得到图1中的其他图形?
2.如图3,由正方形通过一些有规律的变化,涂色后可以得到
绚丽的图案.
图3
(1)给镂空的四边形涂色,可以得到怎样的图案? 与同学交流.
(2)类似地,请你利用一个基本的几何图形,通过有规律的变
化及涂色,设计一幅图案.
三、交流展示
在班级展示自己的作品,用图形变换的语言描述设计的过程.
四、应用拓展
1.查找网络资源或者观察现实世
界,发现图形变换在绘画和设计中的各
种应用,感悟艺术之美与数学之美.
2.平面密铺是一类有趣的几何问
图4
题.我们可以用一个多边形(如正三角
形、长方形、正六边形等)完成平面密
铺,也可以用几个多边形或者复杂图案
(图4)完成平面密铺.查阅有关平面密
铺的资料,并与同学交流.
二元一次方程组
我们已经学习过一元一次方程的概念、解
法与应用,本章将学习二元一次方程组的概
念、解法与应用.
解二元一次方程组的基本思路是通过消元
将其转化为一元一次方程.应用二元一次方
程组解决实际问题的关键是借助表格或示意图
寻找等量关系.
二元一次方程组是解决问题的常用工具,
许多含有两个未知量的实际问题可以通过建立
二元一次方程组求解.
10
在学习一元一次方程时,我们曾列一元一次方程解决了“鸡兔
同笼”问题.
填写下表,你可以发现哪些等量关系?
项 目
只 数
足 数
鸡
x
兔
y
合计
35
94
你能列出几个关于x,y 的方程? 你能根据所列方程求出
x,y的值吗?
第10 章
二元一次方程组
86
10.1
二元一次方程
某市中学生篮球联赛积分规则规定:赢一场得2分,输一
场得1分.某球队本次联赛的目标是积20分,怎样描述该
球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系? 你能列
出该球队输赢场数的所有可能情况吗?
设该球队赢x场,输y场,则有
2x+y=20.
可以通过列表,列出该球队输赢的情况.请把表格补充完整:
x
5
y
10
像方程2x+y=20这样,含有两个未知数,并且含有未知数的项
的次数都是1的方程叫作二元一次方程(linearequationwithtwo
unknowns).
满足二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的
一个解.如x=5,y=10 是方程2x+y=20 的一个解,记作
x=5,
y=10.
一个二元一次方程通常有很多个解.
87
10.1
二
元
一
次
方
程
把方程3x+2y=12写成用含x 的代数式表示y 的形式,并写出方
程的四个解.
?
由方程3x+2y=12,得
y=6-3
2x.
当x=0,1,2,3时,将这四个值代入y=6-3
2x,得y的值分别
为6,9
2,3,3
2.所以
x=0,
y=6,
x=1,
y= 9
2,
x=2,
y=3,
x=3,
y= 3
2
是方程
的四个解.
在某次中学生环保知识竞赛中,规定抢答题答对一道得5分,必答
题答对一道得3分,答错不扣分.小明抢答题答对x道,必答题答
对y道,得了20分.请列出关于x,y的二元一次方程,并写出这
个方程符合实际意义的解.
?
根据题意,得
5x+3y=20.
列表讨论方程解的可能情况:
x
0
1
2
3
4
y
20
3
5
10
3
5
3
0
因为x,y都是自然数,所以符合实际意义的解是
x=1,
y=5,
x=4,
y=0.
第10 章
二元一次方程组
88
1.下面三对数值,哪几对是二元一次方程2x+y=3的解?哪
几对是二元一次方程3x=2-4y的解?
x=-2,
y=2;
x=2,
y=-1;
x= 1
2,
y=2.
2.把下列方程写成用含y 的代数式表示x 的形式,并求方程
的正整数解:
(1)x+3y=7; (2)32-4x=3y.
3.小亮在一场篮球比赛中共得21分,其中罚球得3分. 怎样
用二元一次方程描述他投中的两分球、三分球个数与得分
之间的等量关系? 他分别投中了几个两分球和三分球?
1. 某景区的门票价格为:成人票60元/张,儿童票30元/张.现有x名
成人、y名儿童,买门票共花了270元.列出关于x,y的二元一次
方程.
2. 二元一次方程x-y=5的解有多少个? 写出这个方程的三个解.
3. 把下列方程写成用含x的代数式表示y 的形式,并写出这个方程
的一个解:
(1)5x+y=15; (2)3x=12+4y.
4. 盒子里有若干个大小相同的白球和红球,从中摸到一个红球得2
分,摸到一个白球得3分.小丽摸到x 个红球,y个白球,共得
12分.列出关于x,y的方程,并写出这个方程符合实际意义的
所有的解.
89
10.2
二
元
一
次
方
程
组
的
概
念
10.2
二元一次方程组的概念
在某市中学生篮球联赛中,一球队赛了12场,积22分.
根据“赢一场得2分,输一场得1分”的积分规则,该球队赢
了几场? 输了几场?
设该球队赢了x场,输了y场,可以得到关于x,y的两个方程:
x+y=12,
2x+y=22.
赢和输的场数x,y 必须同时满足这两个方程,所以我们把这
两个方程联立在一起,写成
x+y=12, ①
2x+y=22.
②
像这样,把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所
组成的方程组叫作二元一次方程组(systemoflinearequationswith
twounknowns).
上述问题中,你能找到同时满足方程①、方程②的x,y 的
值吗?
为了找到同时满足方程①、方程②的x,y 的值,我们可以用
表格讨论两个方程的解:
x+y=12
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
y
12 11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2x+y=22
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
y
22 20 18 16 14 12 10
8
6
4
2
0
第10 章
二元一次方程组
90
可以看出,在上述问题中,只有x=10,
y=2
同时满足两个方程,
即x=10,
y=2
是方程组中两个方程的公共解.
我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程
组的解.例如, x=10,
y=2
是二元一次方程组x+y=12,
2x+y=22
的解. 于是,
我们知道,该球队本次联赛赢了10场,输了2场.
试用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题.
(第1题)
1. 足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮
块围成,且白皮块数是黑皮块数的5
3倍. 设黑
皮块数为x,白皮块数为y,列出关于x,y 的
二元一次方程组.
2. 苹果的单价为x 元/kg,梨的单价为y 元/kg,苹果的单价比
梨的单价贵2元/kg,买5kg苹果和4kg梨共花去100元.列
出关于x,y的二元一次方程组.
3. 下列四对数值,哪几对是二元一次方程x+y=3的解? 哪几
对是二元一次方程x-y=-1的解? 哪几对是二元一次方程
组x+y=3,
x-y=-1
的解?
x=2,
y=1;
x=1,
y=2;
x=0,
y=-1;
x= 1
2,
y= 3
2.
91
10.2
二
元
一
次
方
程
组
的
概
念
1. 地球的表面积约为5.1亿km
2,其中海洋面积约为陆地面积的
2.4倍.设地球上的海洋面积为x亿km
2,陆地面积为y亿km
2,
列出关于x,y的二元一次方程组.
2. 我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗: “我问开店李三
公,众客都来到店中. 一房七客多七客,一房九客一房空.”诗
中后面两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房
可住;如果每一间客房住9人,那么就空出1间客房. 设该店有
客房x间、房客y人,列出关于x,y的二元一次方程组.
3. 已知x=-2,
y=1
是方程组x-2y=2m,
nx+y=-3
(m,
n 是常数)的解,求
m,n的值.
4. 用一根长16cm的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽
多2cm.求这个长方形的长和宽,设合适的未知数并列出二元一
次方程组.
第10 章
二元一次方程组
92
10.3
解二元一次方程组
前面我们通过列表的方法找到了二元一次方程组的解.如果能
把二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以用解一元一次方程
的方法求解.
代入消元法
解二元一次方程组x+y=12,
x+2y=22.
①
②
由方程①,得x=12-y.
把x=12-y代入方程②,即将方程②中的x写成12-y,得
(12-y)+2y=22.
这样,就消去了方程②中的未知数x,得到一个关于y 的一元
一次方程.
解这个方程,得y=10.将y=10代入x=12-y,得x=2.
所以原方程组的解是x=2,
y=10.
上述解题思路可以直观地表示为:
将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代
数式表示,并代入另一个方程,消去这个未知数,从而把解二元一
93
10.3
解
二
元
一
次
方
程
组
次方程组转化为解一元一次方程. 这种解方程组的方法叫作代入消
元法(eliminationbysubstitution),简称代入法.
用代入法解方程组3x+2y=4,
2x-y=5.
①
②
?
由②,得
y=2x-5.
③
将③代入①,得
3x+2(2x-5)=4.
解这个一元一次方程,得
x=2.
将x=2代入③,得
y=-1.
所以原方程组的解是x=2,
y=-1.
可以消去未知数x,解例1中的方程组吗?
用代入法解下列方程组:
(1)y=x,
y+4x=15;
(2)2x+y=4,
4x-3y=2;
(3)2x-7y=0,
x-9y+11=0;
(4)x-y=3,
x+y=5.
第10 章
二元一次方程组
94
加减消元法
前面我们利用代入消元的方法将二元一次方程组转化为一个一
元一次方程求解,还有其他方法实现消元转化吗?
解方程组x+2y=1,
3x-2y=5.
①
②
方程①、方程②中未知数y 的系数互为相反数.将两个方程
左右两边分别相加,就可以消去未知数y,得到一个一元一次
方程.
由①+②,得
4x=6.
x= 3
2.
将x= 3
2 代入①,得
3
2+2y=1.
y=-1
4.
所以原方程组的解是
x= 3
2,
y=-1
4.
把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加
或相减,消去其中一个未知数,从而把解二元一次方程组转化为解
一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法(eliminationby
additionorsubtraction),简称加减法.
95
10.3
解
二
元
一
次
方
程
组
用加减法解方程组5x-2y=4,
2x-3y=-5.
①
②
?
①×3,得
15x-6y=12.
③
②×2,得
4x-6y=-10.
④
③-④,得
11x=22.
x=2.
将x=2代入①,得
5×2-2y=4.
y=3.
所以原方程组的解是x=2,
y=3.
可以消去未知数x,解例2中的方程组吗?
用加减法解下列方程组:
(1)2x+y=32,
2x-y=0;
(2)3x-y=-4,
x-2y=-3;
(3)6x+5z=25,
3x+4z=20;
(4)3s+4t=7,
3t-2s=1.
第10 章
二元一次方程组
96
1. 用代入法解下列方程组:
(1)2x+4y=5,
x=1-y;
(2)3y=7+x,
2x=5y;
(3)u+v=10,
3u-2v=5;
(4)3x+2z=11,
3x-5z=4.
2. 用加减法解下列方程组:
(1)3x-4y=1,
5x+2y=6;
(2)3x+5y=25,
4x+3y=15;
(3)2x-3y=8,
7x-5y=-5;
(4)
x
2+y
3 =16,
x
3-y
4 =5.
3. 在等式y=ax+b(a,b是常数)中,当x=5时,y=6;当y=
-10时,x=-3.求a,b的值.
97
10.4
三
元
一
次
方
程
组
*10.4
三元一次方程组
《九章算术》“方程”章第一个问题大
意是:上等稻三捆,中等稻二捆,下等
稻一捆,共收获粮食三十九斗;上等稻
二捆,中等稻三捆,下等稻一捆,共收
获粮食三十四斗;上等稻一捆,中等稻
二捆,下等稻三捆,共收获粮食二十六
斗.求上等稻、中等稻、下等稻每捆分
别收获多少斗粮食.
如何解决这个问题?
设上等稻每捆收获x斗粮食,中等稻每捆收获y 斗粮食,下等
稻每捆收获z斗粮食,可以得到关于x,y,z的三个方程:
3x+2y+z=39,
2x+3y+z=34,
x+2y+3z=26.
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程,把三个方程联立
在一起,可写成
3x+2y+z=39,
2x+3y+z=34,
x+2y+3z=26.
①
②
③
像这样,把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起,就组成
了一个三元一次方程组,解出这个三元一次方程组就能得到问题的解.
标有*的内容为选学内容.
第10 章
二元一次方程组
98
解方程组
3x+2y+z=39,
2x+3y+z=34,
x+2y+3z=26.
①
②
③
①-②可以消去z,再由方程①③或②③消去z,这样原方程组就转
化为关于x,y的二元一次方程组了.
?
①-②,得
x-y=5.
④
②×3-③,得
5x+7y=76.
⑤
④与⑤联立,得方程组x-y=5,
5x+7y=76.
解这个方程组,得
x=37
4,
y=17
4.
把x=37
4 ,y=17
4 代入①,得z=11
4 .
所以原方程组的解是
x=37
4,
y=17
4,
z=11
4.
用代入消元法或加减消元法消去一个未知数,就可以把解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组.
解下列方程组:
(1)
x+y+z=22,
3x+y=47,
x=4z+2;
(2)
2x-y-z=0,
x+z=5,
3x+y-2z=1.
99
10.4
三
元
一
次
方
程
组
1. 解下列方程组:
(1)
3x+z=10,
x+2y-z=6,
x+y+z=12;
(2)
4y+3z=9,
x-2y+5z=11,
5x-6y+7z=13.
(第3题)
2. 在等式y=ax
2+bx+c(
a,b,c是常数)
中,当x= -1时,y=5;当x=1时,
y=1;当x=2时,y=2.求a,b,c的值.
3.在图中空白框内填入适当的数,使得
每条边上首尾的两数之和等于中间
的数.
a
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
c
b
(1) (2) (3)
图1
“三根导线”的故事
上海市某饭店的一位电工在工作中发现,10楼有三根导线的电流
大小有差异.他怀疑这三根导线的电阻不同,但用万用表测量一根导线
的电阻时,需要把这根导线的两端连接到万用表上,由于这三根导线一
端在地下室,一端在10楼,用万用表无法测量如此长的导线的电阻.
如果你是电工,会怎么做呢?
这位电工的想法是把三根导线在
10楼上依次两两相连接,然后在地下
室测量连接后的导线电阻(图1).设三
根导线X,Y,Z的电阻分别是x,y,
z,连接导线X,Y后测得的电阻之和
为a,连接导线Y,Z后测得的电阻之
和为b,连接导线X,Z后测得的电阻
之和为c,于是得到一个三元一次方程组
x+y=a,
y+z=b,
z+x=c.
解这个方程组,
即得到三根导线的电阻.
巧用方程组的知识,常常能解决生活中的一些难题!
第10 章
二元一次方程组
100
10.5
用二元一次方程组解决问题
某水果摊在售卖菠萝和哈密瓜,
林老师用78 元购买了2 个菠萝、
1个哈密瓜,叶老师用84元购买了
1 个菠萝、2 个哈密瓜.菠萝和
哈密瓜分别是多少元一个?
问题中要求的未知量有两个:哈密瓜和菠萝的单价.可以设两
个未知数,列二元一次方程组求解.
问题中的等量关系是
2个菠萝的价格+1个哈密瓜的价格=78元;
1个菠萝的价格+2个哈密瓜的价格=84元.
设菠萝x元/个,哈密瓜y元/个.
根据题意,得
2x+y=78,
x+2y=84.
解这个方程组,得
x=24,
y=30.
所以菠萝24元/个,哈密瓜30元/个.
1.设两个合适的未知数
2.根据问题中的等量关系列出
二元一次方程组
3.解二元一次方程组
4.写出答案
101
10.5
用
二
元
一
次
方
程
组
解
决
问
题
在班级联欢会筹备工作中,小明负责购买奖品,他用420元购买吉
祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个.已知“冰墩墩”48元/个,
“雪容融”38元/个,小明购买两种吉祥物各几个?
设购买“冰墩墩”x个,“雪容融”y个.可以列表分析数量关系:
类型
“冰墩墩”
“雪容融”
合计
单价/ (元/个)
48
38
—
个数/个
x
y
10
花费/元
48x
38y
420
?
设购买“冰墩墩”x个,“雪容融”y个.
根据题意,得
x+y=10,
48x+38y=420.
解这个方程组,得
x=4,
y=6.
答:小明购买“冰墩墩”4个,“雪容融”6个.
用二元一次方程组解决问题,通常要先设两个合适的未知数,
然后根据实际问题中的两个等量关系列出方程组,解这个方程组,
并写出问题的答案.其中,列表是梳理、分析问题中等量关系的常
用策略.
1.《九章算术》中记载了这样一道题,大意是:五头牛和两只
羊,价值十两金;两头牛和五只羊,价值八两金.一头牛、
一只羊分别价值几两金? 请你解决这个问题.
2.某景区停车场的收费标准:每辆中型汽车8元/次,每辆小型汽
车6元/次.现在停车场内停有50辆中、小型汽车,这些车共
缴纳停车费360元,中、小型汽车各有多少辆?
第10 章
二元一次方程组
102
某市采用价格调控手段来引导市民节约用水:每户居民每年用水
不超过180m
3 时,按基本水价收费;超过180m
3 时,超过的部
分加价收费. 该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表
所示:
居民
用水量/m
3
水费/元
甲户
190
970
乙户
230
1250
求该市居民用水的两种水价.
设该市居民用水基本水价为x 元/m
3,超过180m
3 的部分水价为
y 元/m
3.可以列表分析数量关系:
居民基本用水水费/ (元/m
3)超过180m
3 的部分水费/ (元/m
3)合计水费/元
甲户
180x
(190-180)y
970
乙户
180x
(230-180)y
1250
?
设该市居民用水的基本水价为x元/m
3,超过180m
3 的部分水价为
y元/m
3.
根据题意,得
180x+(190-180)y=970,
180x+(230-180)y=1250.
解这个方程组,得
x=5,
y=7.
答:该市居民用水的基本水价为5元/m
3,超过180m
3 的部分水价
为7元/m
3.
在例2中,如果某户居民去年交水费935元,那么该户居民的
用水量为多少立方米?
103
10.5
用
二
元
一
次
方
程
组
解
决
问
题
劳动周中,某小组计划做一批“中国结”,如果
每人做5个,那么可比计划多做9个;如果每人
做4个,那么将比计划少做15个.该小组共有多
少人? 计划做多少个“中国结”?
设该小组共有x 人,计划做y 个“中国结”.可
以列表分析数量关系:
方案
每人做的个数/个
做的总个数/个
与计划数比较
方案一
5
5x
多9个
方案二
4
4x
少15个
?
设该小组共有x人,计划做y个“中国结”.
根据题意,得
5x-y=9,
y-4x=15.
解这个方程组,得
x=24,
y=111.
答:该小组共有24人,计划做111个“中国结”.
1. 某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3km,超
过3km的部分按路程(不足1km按1km计算)另收费.甲乘
坐这种出租车行驶了11km,付了20元.乙乘坐这种出租车
行驶了23km,付了38元.这种出租车的起步价是多少元?
超过3km后每千米收费多少元?
2. 班级图书管理员从学校图书馆借来一批图书,如果全班每人
分3本,那么剩余20本;如果全班每人分4本,那么还缺25
本.这个班有多少名学生? 这批图书共有多少本?
第10 章
二元一次方程组
104
3. 阅读下面的诗句: “栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,
五只没去处,五只栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树
各几何?”求诗句中鸦有多少只,树有多少棵.
某铁路桥长2120m,现有一列高铁列车从桥上通过.某人测得该
列车从开始上桥到完全过桥共用了31s,整列列车完全在桥上的时
间共22s.求列车的平均速度和长度.
设列车的平均速度为x m/s,列车的长度为y m .可以画出如图
10 1所示的线形示意图.分析数量关系:
图10 1
由图10 1可知:
列车31s行驶的路程=桥长+列车长,
列车22s行驶的路程=桥长-列车长.
?
设列车的平均速度为xm/s,列车的长度为ym.
根据题意,得
31x=2120+y,
22x=2120-y.
解这个方程组,得
x=80,
y=360.
答:列车的平均速度为80m/s,列车的长度为360m.
105
10.5
用
二
元
一
次
方
程
组
解
决
问
题
小明、小亮在400m 的环形跑道上跑步,
他们于同一个起点同时出发.如果同向
跑,那么经过200s两人第一次相遇;如
果反向跑,那么经过40s两人第一次相
遇.若小明比小亮跑得快,则小明、小
亮跑步的平均速度分别是多少?
设小明的平均速度是xm/s,小亮的平均速度是ym/s,可以列表
如下:
跑步方式
小明的路程/m
小亮的路程/m
相等关系
同向跑
200x
200y
200x-200y=400
反向跑
40x
40y
40x+40y=400
?
设小明的平均速度是xm/s,小亮的平均速度是ym/s.
根据题意,得
200x-200y=400,
40x+40y=400.
解这个方程组,得
x=6,
y=4.
答:小明的平均速度是6m/s,小亮的平均速度是4m/s.
1. 小红和姐姐相距1.6km.如果她们同时出发且相向而行,那
么经过10min两人相遇;如果她们同向而行,且姐姐比小红
先出发10min,那么在小红出发后15min姐姐追上小红.小
红、姐姐的平均速度分别是多少?
第10 章
二元一次方程组
106
2.A,B两地相距96km,一艘船若从A 地出发,则顺水航行
4h到达B地;若从B地出发,则逆水航行6h到达A地.求
该船在静水中航行的平均速度和水流平均速度.
1. 某次篮球、排球比赛,共有24个队、260名运动员参加,其中篮
球队每队12人,排球队每队10人.参赛的篮球队、排球队各有
多少个?
2. 某快递公司使用机器人进行包裹分拣,若甲机器人工作2h,乙
机器人工作4h,一共可以分拣1600件包裹;若甲机器人工作
3h,乙机器人工作2h,一共可以分拣1400件包裹.求甲、乙
两台机器人每小时各分拣多少件包裹.
(第2题)
(第3题)
3.妈妈过生日时,小丽准备给妈妈买一束向日葵和康乃馨的混搭花
束.已知2枝向日葵和7枝康乃馨共需44元,3枝向日葵和8枝
康乃馨共需56元.小丽想购买4枝向日葵和6枝康乃馨,需要
多少元?
4. 有一首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹.每人六竿
多十四,每人八竿恰齐足.”大意:牧童们在树下拿着竹竿玩
耍,不知有多少人和竹竿.每人6竿,多14竿;每人8竿,恰
好用完.牧童有多少人,竹竿有多少根? 请你解决这个问题.
107
10.5
用
二
元
一
次
方
程
组
解
决
问
题
5.如图,CD∥EF,AB 与CD,EF 相交,∠1= (x+2y)
°,∠2=
(4x-2y)
°,∠3= (2x+10)
°.求x,y的值.
(第5题)
6. 一科考队乘坐汽车去某国家公园考察.汽车先以60km/h的平
均速度在平路上行驶,后又以30km/h的平均速度爬坡到达目的
地,共用了6.5h;返回时,汽车以40km/h的平均速度下坡,
又以50km/h的平均速度在平路上行驶,共用了6h. 出发地距该
国家公园有多远?
7. 一玻璃厂熔炼玻璃液,其主要原料由石英砂和长石粉混合而成,
要求原料中含二氧化硅70%. 经过化验,石英砂中含二氧化硅
95%,长石粉中含二氧化硅63%.要配制3.2t原料,需石英砂、
长石粉各多少吨?
8.小亮在匀速行驶的汽车里,注意到公路里程碑上的数是一个
两位数;1h后,看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位
数恰好互换了两个数字的位置;再过1h,看到里程碑上的数
是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三
位数. 这三块里程碑上的数各是多少?
108
小结与思考
1.本章知识结构:
本章在已经学过的一元一次方程的基础上,从具体实例引入二
元一次方程(组)的概念,探讨二元一次方程组的解法,并应用二
元一次方程组解决一些实际问题.
2.解方程组的基本思路是消元,将解三元一次方程组转化为解
二元一次方程组,将解二元一次方程组转化为解一元一次方程.在
解方程的过程中感悟转化与化归的思想,提升运算能力.
3.用二元一次方程组解决问题的过程,可以表示如下:
在利用方程组解决问题时,列表、画示意图是分析等量关系的
常用策略.学习本章有助于我们学会分析问题、解决问题,进一步
形成模型观念.
4.一个二元一次方程组有可能无解或有无穷多个解吗? 请举例
说明.
109
复习题
复习巩固
1. 把二元一次方程2x+3y-4=0分别写成下列形式:
(1)用含x的代数式表示y;(2)用含y的代数式表示x .
2. 方程2x-3y=1有没有正整数解?如果有,写出其中的两个.
3. 解下列方程组:
(1)x+2y=0,
3x+4y=6;
(2)5x+6y=16,
7x-9y=5;
(3)9x-11y+1=0,
4x-5y-3=0;
(4)0.8x-0.9y=2,
6x-3y=2.5;
(5)
x=2y+4
3
,
y=3x-4
3
;
(6)
x+y=300,
5%x+53%y=300×25%.
4. 已知关于x,y的方程组3x-ay =16,
2x+by =15
的解是x=7,
y=1.
求a,
b的值.
5. 已知x与y 互为相反数,且2x-y=3.求x,y的值.
6. 已知梯形的面积是42,高是6,下底比上底的2倍多2.求
梯形上底、下底的长.
7. 某饮品店果汁的价格如下表所示.
杯型
容量
价格
小杯
350mL
8元/杯
大杯
500mL
10元/杯
某天该店果汁的总销量为57L,收入为1200元,求这天该
店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯.
110
(第8题)
8. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门
的超大型跨海通道,其中技术难度最
高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主
体工程.已知在这个主体工程中,隧
道长度约比桥隧总长的1
4少0.7km,
桥梁长度约比桥隧总长的一半多
8.1km.求主体工程中的桥梁长度和隧道长度.
9. 把一堆笔记本分给学生,如果每名学生分4本,那么多4
本;如果每名学生分5本,那么最后1名学生只有3本. 有
多少名学生? 有多少本笔记本?
10.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠CAD=90°,∠B=
∠ACB=x°,∠ACD=y°,∠D= (x-20)
°.求x,y的值.
(第10题)
(第11题)
11.如图,宽为50cm的大长方形是由10个相同的小长方形拼
成的,求其中一个小长方形的面积.
灵活运用
12.A,B两地之间的路程是36km,小丽从A地骑自行车去B
地,小明从B地骑自行车去A 地,两人同时出发,相向
而行,经过1h后两人相遇;再过0.5h,小丽还需骑行的
路程是小明的2倍. 小丽、小明骑车的平均速度分别是
多少?
111
13. 学校为书法社团的10名同学购买毛笔和墨汁,如果每人各
买2支毛笔和1瓶墨汁,那么需按零售价购买,共支付380
元;如果每人各买3支毛笔和2瓶墨汁,那么可按批发价
购买,共支付480元.已知毛笔的批发价比零售价低3元/
支,墨汁的批发价比零售价低2元/瓶. 毛笔和墨汁的批发
价各是多少?
探索研究
14.探索下列二元一次方程组解的情况:
(1)x-y=1,
2x-y=3;
(2)x-y=1,
2x-2y=2;
(3)x-y=1,
2x-2y=4.
15.现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金.用甲种金
属若干与这块合金重新熔炼,所得的新合金中甲种金属占3
份,乙种金属占2份.如果再用相同数量的甲种金属与新
合金重新熔炼,那么所得合金中甲种金属占7份,乙种金
属占3份. 每次所用的甲种金属有多少? 原来这块合金中
含甲种金属的百分比是多少?
(第16题)
16.某水果批发市场香蕉的
价格如图所示:
某人两次共购买香蕉
50kg (第二次多于第一
次),共付款264元,他
第一次、第二次分别购
买了多少香蕉?
17.箱子里有若干个红球和白球,小明、小丽分别按下列方式
取球:小明的取法是每次取4个红球、3个白球,连续取了
几次后(不放回),箱子里只剩下6个红球;小丽的取法是
每次取6个红球、3个白球,连续取了几次后(不放回),箱
子里只剩下9个白球.计算箱子里红球、白球各有多少
个.你能用不同的方法解决这个问题吗?
112
综合与实践
膳食结构与热量平衡
一、问题情境
对每一个人来说,膳食结构至关重要,它直接影响人们的身体
健康.你能针对不同人群,设计科学的膳食方案吗?
图片来源:中国营养学会.
二、学习任务
1.为健美运动员配制早餐.
某健美运动员在赛前第10周至赛前第3周训练早餐的饮食计划
为蛋清、燕麦、500mL水和其他营养补充剂.他的早餐蛋白质需求
为45g,碳水化合物需求为100g.请你根据蛋清和燕麦的营养成
113
分表(表1),确定他的早餐中蛋清和燕麦的质量.
表1 蛋清和燕麦的营养成分
食物
蛋白质
碳水化合物
100g蛋清
11.6g
3.1g
100g燕麦
14.4g
65.3g
2.进一步探究健美运动员的膳食计划.
开展小组活动,根据某健美运动员在赛前第10周至赛前第3周
的午餐、晚餐的营养摄入要求(表2)和食物的营养成分表(表3),
为他配制午餐和晚餐.
表2 某健美运动员午餐、晚餐的营养摄入要求
用餐
蛋白质
碳水化合物
脂肪
午餐
50g
60g
8g
晚餐
60g
140g
10g
表3 食物的营养成分
食物
蛋白质碳水化合物脂肪
食物
蛋白质碳水化合物脂肪
100g米饭3.0g
24.0g
0.3g100g鸡胸肉19.4g
2.5g
5.0g
100g馒头7.0g
45.0g
1.0g 100g牛肉
19.9g
2.0g
4.2g
100g蔬菜1.0g
4.0g
0.4g 100g蛋清
11.6g
3.1g
0.1g
三、交流展示
记录自己一天的饮食情况,通过查阅相关资料,估计自己一天
摄入多少能量、蛋白质、碳水化合物和脂肪,提出数学问题并与同
学交流.
四、应用拓展
1.查阅资料,了解各种运动每小时大约消耗多少热量,并根据
自己的运动时间,估计每天所消耗的热量.
2.进一步了解膳食结构与热量平衡的知识,为自己制订一个合
理的膳食和运动计划.
一元一次不等式
x+20<50
不等式是表达两个数量之间不等关系的数学工
具.本章将学习不等式的概念、基本性质以及一元
一次不等式(组)的概念、解法和应用.
不等式的基本性质是解决不等式问题的基本依
据,与等式的基本性质既有联系又有区别.在学
习一元一次不等式时,可以与一元一次方程进行类
比,要注意它们之间的不同之处.
不等关系在现实世界中普遍存在.一元一次
不等式是刻画现实世界中不等关系的重要模型,是
分析和解决很多实际问题的重要方法.
11
“欢乐夏日”游泳馆即将开业了,游泳馆夏季的收费标准如下
图所示:
填写下表:
游泳次数
…
4
5
6
7
8
9
10
11
12
…
总花费/元
会员
…
190
…
非会员
…
120
…
小明今年夏季计划游泳10次,他选择哪种收费方式比较
合适?
你会选择哪种收费方式? 说说你的理由.
第11 章
一元一次不等式
116
11.1
不等式
不等式的概念
我们知道,任意两个数a,b一定满足下列三种关系中的一种:
a>b,a=b,a<b,
其中“=”表示相等关系. “>” “<”分别表示“大于” “小于”
关系,它们都属于不等关系.a和b不相等也可以记为“
a≠b”.
数量之间的不等关系普遍存在.
如图11 1,左边托盘中物体的质量小于右边托盘中物体的质
量,若设茶包的质量为xg,则有x+20<50或50>x+20.
图11 1
图11 2
图11 2中的交通图标表示该公路某路段上汽车的最高时速不
得超过80km.如果一辆汽车的行驶速度是akm/h,那么a与80之
间的关系应满足a≤80. 这里“≤”表示a<80或者a=80,读作
“
a小于或等于80”,也可读作“
a不大于80”.
(
a-b)
2 是一个非负数,即(
a-b)
2 ≥0.
数量之间的不等关系,可以用数学式子来表示.
像x+20<50,a≤80,(
a-b)
2≥0这样,用不等号(>,<,
≥,≤)表示数量之间关系的式子叫作不等式(
inequality).
117
11.1
不
等
式
根据数的大小关系的传递性,可以得到:
如果a>b,b>c,那么a>c.
如果a<b,b<c,那么a<c.
用不等式表示下列数量之间的关系:
(1)m (m≠0)的倒数小于-5;
(2)x的3倍与y的差大于等于-1;
(3)小丽每天睡眠时间超过9h,昨天她的睡眠时间是th;
(4)某校男子跳高纪录是1.79m,在今年的校田径运动会上,小明
的跳高成绩是hm,打破了该项纪录.
?
(1)1
m<-5; (2)3x-y≥-1;
(3)t>9;
(4)h>1.79.
实际生活中有哪些表示不等关系的日常用语?
用不等式表示下列数量之间的关系:
(1)一辆48座的客车载有游客x 人,途中上来2人后,仍有空
座位;
(2)某天平均气温是t℃,最低气温是-2℃,最高气温是6℃;
(3)小丽种了一棵高70cm的小树,假设小树平均每周长高0.5cm,
x周后这棵小树的高度不超过100cm.
?
(1)x+2<48;
(2)t>-2且t<6;
(3)0.5x+70≤100.
第11 章
一元一次不等式
118
1. 用不等式表示:
(1)a是负数; (2)a不小于4;
(3)x与5的和大于2;
(4)x与y 的差是非负数.
2. 根据下列含有“最”字的实例,写出不等式:
(1)某动车组列车速度v(km/h)最高可达400km/h;
(2)某班学生的身高h(m)最高为1.80m;
(3)某班学生从家到校的路程s(km)最短是1km.
3.用不等式表示下列数量关系:
(1)在章头活动中,小明计划游泳x次,选择办理会员卡更
合算;
(2)按下列方式搭“小鱼”,用60根火柴棒最多可搭n 条
“小鱼”.
[第3 (2)题]
不等式的基本性质
我们已经学过等式的基本性质,类似地,不等式具有什么
性质?
小明的年龄比小丽大.3年
后或3年前小明与小丽的年龄之
间有什么关系? 如何用式子表示?
119
11.1
不
等
式
设今年小明a岁,小丽b岁,那么a>b.
3年后小明与小丽的年龄关系可以表示为a+3>b+3;
3年前小明与小丽的年龄关系可以表示为a-3>b-3.
一般地,我们有不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方
向不变.
可以用符号表示为:如果a>b,那么a±c>b±c.
如果a-b<0,那么是否一定有a<b? 请说明理由.
?
如果a-b<0,那么a<b.理由如下:
因为a-b<0,
在不等式的两边同时加上b,得
a-b+b<0+b(不等式的基本性质1),
所以a<b.
在不等式的两边都乘(或除以)同一个数,不等式会有什么变
化? 下面以“5>3”“-5<-4”为例进行探究.
用不等号填空:
不等式
两边同乘(或除以)一个正数
两边同乘(或除以)一个负数
5>3
5×2 3×2
5× (-2) 3× (-2)
5÷2 3÷2
5÷ (-2) 3÷ (-2)
-5<-4
(-5)×3 (-4)×3
(-5)× (-3) (-4)× (-3)
(-5)÷3 (-4)÷3
(-5)÷ (-3) (-4)÷ (-3)
观察上面各组不等式的不等号方向,你可以得到什么结论?
第11 章
一元一次不等式
120
一般地,我们有不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
可以用符号表示为:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a
c>b
c);
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a
c<b
c)
.
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点?
利用不等式的基本性质,将下列不等式化成x>c或x <c(
c为常
数)的形式.
(
1)x+5>2; (
2)-2x>4; (
3)3x<x+5.
?
(1)根据不等式的基本性质1,在不等式x+5>2两边都减去5,得
x>-3.
(2)根据不等式的基本性质2,在不等式-2x>4两边都除以-2,得
x<-2.
(3)根据不等式的基本性质1,在不等式3x<x+5两边都减去x,
得2x<5;根据不等式的基本性质2,在不等式2x<5两边都
除以2,得
x<5
2.
1. 已知a>b,用“>”或“<”号填空:
(1)a+2 b+2; (2)a-5 b-5;
(3)4a 4b;
(4)-a -b;
(5)4a-3 4b-3;
(6)3-2a 3-2b.
121
11.1
不
等
式
2. 说出下列不等式变形的依据:
(
1)由x-1>2,得x>3;(
2)由-1
2x<-1,得x>2;
(
3)由3x<x,得2x<0; (
4)由x>y,得x-1>y-2.
3.无论a为何值,是否一定有a+3>a? 请说明理由.
4.利用不等式的基本性质,将下列不等式化成x>c或x<c
(
c为常数)的形式:
(1)x+3<2x; (2)-3x<6.
1.用不等式表示:
(1)x与6的差大于2;
(2)x的平方与-8的和是负数;
(3)x与y 的平方和与10的差是正数;
(4)y的三分之一与4的和是非负数.
2. 用不等式表示下列数量之间的关系:
(1)边长为am的正方形桌面的面积大于1m
2;
(2)公园成人票a元/人,学生票b元/人,2名成人、3名学生的
门票费用不超过400元;
(3)一件衬衫进价是100元,标价x元,打9折销售后至少盈利
20元.
3.把下列不等式化成x>c或x <c(
c为常数)的形式:
(1)x+2>4; (2)2x<x-3;
(3)1
3x<-4
3;
(4)-6x>8.
4. 小明到离家1500m 的农业基地参加劳动实践,早晨7:00出发,
要在7:20前到达.如果他平均每分钟走xm,那么可以得到怎样
的不等式? 把不等式化成x>c或x <c(
c为常数)的形式.
5.用不等式的基本性质说明a-1<a.
6.(1)已知a<1,是否一定有a+1
2 <1? 请说明理由.
(2)已知a<b,是否一定有a+b
2
<b? 请说明理由.
第11 章
一元一次不等式
122
11.2
一元一次不等式的概念
在上一节认识的不等式中,像x+20<50,a≤80,t>9,
0.5x+70≤100这样,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1
的不等式叫作一元一次不等式(
linearinequalitywithoneunknown)
.
公路隧道入口处常有汽车限高标识(图11 3).一辆货车车
厢底部离地面1.1m,车厢高度分别为2m,2.5m,3.1m 时,
该货车能通过这条隧道吗? 要通过这条隧道,该货车车厢高度应
满足什么条件?
图11 3
图11 3中的标识表示可以通过该隧道的汽车的高度不能超过
4.0m.显然,车厢高度为2m,2.5m的货车能通过隧道,车厢高度
为3.1m的货车不能通过隧道.要通过隧道,车厢高度不能超过
4.0-1.1=2.9 (m).
设车厢高度为xm.根据题意,得
1.1+x≤4.0.
当x=2,x=2.5时,这个不等式成立.当x=3.1时,这个不等式
不成立.
根据不等式的基本性质1,在不等式1.1+x≤4.0两边都减去
1.1,得x≤2.9,即所有不大于2.9的数都满足上述不等式.
123
11.2
一
元
一
次
不
等
式
的
概
念
我们把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解,所有
的解组成的全体叫作这个不等式的解集(solutionsetofinequality).
求不等式解集的过程叫作解不等式(solvinginequality).
例如,x=2,x=2.5都是不等式1.1+x≤4.2的解,这样的解
有无数个.x≤3.1是不等式1.1+x≤4.2的解集,这个解集可以
借助数轴直观地表示如下:
这里在数轴上表示3.1的点的位置画实心圆圈,表示不等式的
解集包含3.1这个数.如果画空心圆圈,那么表示不等式的解集不
包含该点所对应的数.
在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x<-2; (2)x≤-2; (3)x>-2; (4)x≥-2.
?
(1)x<-2可以表示为:
(2)x≤-2可以表示为:
(3)x>-2可以表示为:
(4)x≥-2可以表示为:
第11 章
一元一次不等式
124
1. 下列数值中,哪些是不等式x+2>4的解?
-5,-3,-1.5,0,1,2,3.4,4,5,6.2,9.
2.x取任意负数时,不等式x-2<0都成立,能说这个不等式
的解集是x<0吗? 为什么?
3. 在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x≤2; (2)x≥-3;
(3)x< 2
3;
(4)x>-1
4.
1. 在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x>2;
(2)x≥3;
(3)x<-1
2;
(4)x≤3
4.
2. 写出下列数轴上所表示的关于x的不等式的解集:
(1)
(2)
(3)
(4)
3. 写出不等式2x+1≥3的五个解,并比较它们与方程2x+1=3的
解的大小.
125
11.3
解
一
元
一
次
不
等
式
11.3
解一元一次不等式
怎样解一元一次不等式3x>x+6?
根据不等式的基本性质1,不等式的两边都减去x,得
3x-x>6.
合并同类项,得
2x>6.
根据不等式的基本性质2,不等式的两边都除以2,得
x>3.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 4所示:
图11 4
与解一元一次方程类似,解一元一次不等式时要根据不等式的基
本性质,将原不等式转化为x>c或x<c(
c为常数)的形式.
解不等式14-3x>6-x,并把它的解集在数轴上表示出来.
?
移项,得
-3x+x>6-14.
合并同类项,得
-2x>-8.
不等式的两边都除以-2,得x<4.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 5所示:
图11 5
第11 章
一元一次不等式
126
当x取什么值时,代数式3-2x的值小于2?
解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)2+2a>6; (2)5-x<1;
(3)4x≤2x+3;
(4)-1
2x-1>2;
(5)2x-1≥4x+13;
(6)5m-1>8m+3.
解不等式2x-1≥3x-1
2
,并把它的解集在数轴上表示出来.
?
不等式的两边都乘2,得
2(2x-1)≥3x-1.
去括号,得
4x-2≥3x-1.
移项,得
4x-3x≥-1+2.
合并同类项,得
x≥1.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 6所示:
图11 6
127
11.3
解
一
元
一
次
不
等
式
解不等式1-x+6
2
<2x+1
3
,并把它的解集在数轴上表示出来.
?
不等式的两边都乘6,得
6-3(x+6)<2(2x+1).
去括号,得
6-3x-18<4x+2.
移项、合并同类项,得
-7x<14.
两边都除以-7,得
x>-2.
这个不等式的解集在数轴上表示如图11 7所示:
图11 7
解一元一次不等式与解一元一次方程有什么相同点和不同点?
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似,包括去
分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1.
和解一元一次方程不同,在不等式两边都乘(或除以)同一个负
数时,要改变不等号的方向;一元一次不等式的解集通常是未知数
的取值范围,而一元一次方程的解是未知数的具体数值.
第11 章
一元一次不等式
128
1.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)2(x-2)>4; (2)10-3(x+6)≤1;
(3)x+2
2
≥2x-1
3
;
(4)x
3 >4-x-2
2 .
2.下面解不等式x+5
2 -1<3x+2
2
的过程正确吗? 为什么?
解:不等式的两边都乘2,得
x+5-1<3x+2.
移项、合并同类项,得
-2x<-2.
两边都除以-2,得
x<1.
1. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)x
2 ≥2; (2)-3x
4 >-3;
(3)12x-3≤5;
(4)2x<1-4x;
(5)6a+8<7a-6;
(6)12b+6≥3b-27.
2. 解下列不等式:
(1)3(y-2)+1<-2;
(2)4-2(x-3)≥4(x+1);
(3)2x+3
5
≤3x+1
4
;
(4)2x-1
3
-4<-x+4
2 .
3. 求不等式2x-3≤5的正整数解.
4. 当x 满足什么条件时,代数式x-4
3
的值小于代数式2x+1
2
的值?
129
11.4
一
元
一
次
不
等
式
组
11.4
一元一次不等式组
一元一次不等式组及其解集
长方形花圃的一边靠墙,墙的长度为20m,另外三边用
总长为30m 的篱笆围成,垂直于墙的一边长度的范围是
多少?
设垂直于墙的一边长度为xm,根据题意,得
30-2x≤20,
且
30-2x>0.
这个问题的解必须使上面的两个不等式都成立,把两个不等式
联立在一起,记作
30-2x≤20,
30-2x>0.
像这样,把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,
就组成了一个一元一次不等式组(systemoflinearinequalitieswith
oneunknown).
如何找出使不等式组30-2x≤20, ①
30-2x>0 ②
中两个不等式都成立
的未知数x的取值范围?
第11 章
一元一次不等式
130
解不等式①,得
x≥5.
解不等式②,得
x<15.
在数轴上表示这两个不等式的解集(图11 8):
图11 8
由图11 8可以看出,使不等式①和②都成立的未知数x 的范
围,应是这两个不等式解集的公共部分,即
5≤x<15.
所以,花圃垂直于墙的一边长度应大于或等于5m且小于15m.
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的
解集.例如,不等式组30-2x≤20,
30-2x>0
的解集是5≤x<15.
求不等式组解集的过程叫作解不等式组.
利用数轴确定不等式组x≤-1,
x<2
的解集.
?
在数轴上表示不等式x≤-1和x<2的解集(图11 9):
图11 9
由图11 9可知,不等式组的解集是
x≤-1.
131
11.4
一
元
一
次
不
等
式
组
1. 根据图示,分别写出关于x的不等式组的解集:
(1)
(2)
(第1题)
2. 利用数轴确定下列不等式组的解集:
(
1)x≥-3,
x>1;
(
2)x<-1,
x≥-2;
(
3)x>0,
x≤4;
(
4)x+2<0,
2x≤0.
解一元一次不等式组
解不等式组3x-1≥x+1,
x+4<4x-2.
①
②
?
解不等式①,得
x≥1.
解不等式②,得
x>2.
在数轴上表示不等式①和②的解集(图1110):
图11 10
由图11 10可知,不等式组的解集是
x>2.
解一元一次不等式组的一般步骤是什么?
第11 章
一元一次不等式
132
解不等式组
5x-2<3(x-2),
1
2x-5≥1-3
2x.
①
②
?
解不等式①,得
x<-2.
解不等式②,得
x≥3.
在数轴上表示不等式①和②的解集(图11 11):
图11 11
由图11 11可知,不等式①和②的解集没有公共部分,所以不等式
组无解.
当代数式2x-1的值大于-3且小于1时,求x的取值范围.
1. 解下列不等式组:
(1)2x+1<0,
3-x≥0;
(2) -2x≤0,
4x+1<5;
(3)2(x+1)>4,
3x≤x+5;
(4)
x-2(x-1)≥1,
1+x
3
<x-1.
2.已知x+2y=-5.当x取什么值时,y的值是大于-1的负数?
133
11.4
一
元
一
次
不
等
式
组
1.根据图示,分别写出关于x的不等式组的解集:
(1)
(2)
(第1题)
2.利用数轴确定下列不等式组的解集:
(1)x<0,
x≥-1;
(2)x≥-2,
x>-1;
(3)x≤3,
x<2;
(4)x>2,
2x+5≤1.
3. 解下列不等式组:
(1)2x+4>3,
3x<7+x;
(2)5x-10≤0,
x+3>-2x;
(3)2x-1>-3,
4-2x<x-2;
(4)
x-1>2x,
1
2x+3<-1.
4. 解下列不等式组:
(1)3x-2<x+2,
5x+5≥2x-7;
(2)2x-3<9-x,
2x-5>10-3x;
(3)2x-8>5x+1,
11-2x<21-4x;
(4)
2
5(3-x)+2<-2,
-2
3(x+5)-1<3.
5. 在△ABC 中,AB=AC,BC=10. 已知这个三角形的周长大于
34且小于44,求AB 的长度范围.
6. 已知一个钝角的大小为(5x-35)
°,求x的取值范围.
第11 章
一元一次不等式
134
11.5
用一元一次不等式解决问题
果农通过网络直播宣传,使
物美价廉的水果畅销全国各地.
一只快递包装纸箱的质量为1kg,
当放入苹果(每个苹果的质量为
0.25kg)后,纸箱和苹果的总质量
不能超过10kg.这只纸箱内最多
能装多少个苹果?
问题中数量之间的不等关系:
纸箱质量+苹果质量≤10kg.
可以通过设未知数,列一元一次不等式解决问题.解答过程
如下:
设这只纸箱内装了x个苹果.
根据题意,得
0.25x+1≤10.
解这个不等式,得
x≤36.
所以这只纸箱内最多能装36个苹果.
用一元一次不等式解决问题的步骤与用一元一次方程解决问题
类似,不同的是,用一元一次不等式解决问题时需要找出实际问题
中数量之间的不等关系.
1.设一个合适的未知数
2.根据数量之间的不等关系
列一元一次不等式
3.解这个一元一次不等式
4.写出问题的答案
135
11.5
用
一
元
一
次
不
等
式
解
决
问
题
某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于
17℃且不高于20℃的山坡. 已知某山区山
脚下的平均气温为20 ℃,并且海拔每上升
100m,气温下降0.6 ℃.要在该山坡种植
这种杜鹃花,应种在比山脚的海拔最多高多
少的山坡上?
?
设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高xm 的山坡上,那么这个高度
的平均气温是(20- x
100×0.6)℃.
根据题意,得
20- x
100×0.6≥17.
解这个不等式,得
x≤500.
答:这种杜鹃花应种在比山脚的海拔最多高500m的山坡上.
1. 已知一部电梯的最大载重是1000kg,一名体重70kg的
装修工人乘坐电梯,他最多还可携带25kg/包的装修材料
多少包?
2.如图,用4根火柴棒可以搭1个正方形,用7根火柴棒可以
搭2个正方形,用10根火柴棒可以搭3个正方形.照此搭
法,用50根火柴棒最多可以搭多少个正方形?
(1)
(2)
(3)
(第2题)
第11 章
一元一次不等式
136
林老师骑电动车上下班,已知他从家去学校的平均
速度是12km/h,从学校回家的平均速度是
13km/h,来回一趟的时间不少于1h.林老师家和
学校的距离至少多远?
问题中数量之间的不等关系:
从家去学校的时间+从学校回家的时间≥1h.
?
设林老师家和学校的距离是xkm.
根据题意,得
x
12+x
13≥1.
解这个不等式,得
x≥6.24.
答:林老师家和学校的距离至少为6.24km.
某软件公司开发了一种图书管理软件,共花费固定成本160万元,
每售出一套软件,软件公司还需支出服务成本0.2万元. 如果每套
软件定价0.9万元,那么至少需要售出多少套软件才能不亏本?
问题中数量之间的不等关系:
总销售额≥固定成本+服务成本.
?
设售出x套软件.
根据题意,得
0.9x≥160+0.2x.
解这个不等式,得
x≥2284
7.
因为x为整数,所以x的最小值为229.
答:至少需要售出229套软件才能不亏本.
137
11.5
用
一
元
一
次
不
等
式
解
决
问
题
在例3中,若软件公司在给软件定价时预计能销售200套,那
么至少定价多少元才能不亏本?
1. 小明和爸爸从家出门去散步,小明平均每小时走4km,他
先走15min后,爸爸沿同一条路追赶小明,爸爸每小时最
快能走6km.问爸爸至少需要多久能追上小明?
2. 某科学展门票100元/人,入场2人以上(含2人),可在两
种优惠方式中任选一种:①两张票保持原价,其余打7折;
②全部打8折.至少几人时选择第一种方式更合算?
1. 一个三角形的三边长都是整数,最长边为8,另两边边长相差2,
求该三角形最短边的最小值.
2. 甲、乙两队进行足球对抗赛,比赛规则规定每队胜一场得3分,
平一场得1分,负一场得0分. 两队一共比赛了10场,甲队保
持不败,得分超过22分.甲队至少胜了多少场?
3. 某校七年级406名师生外出春游,租用44座和40座的两种客车.如
果44座的客车租用了2辆,那么40座的客车至少需租用多少辆?
4.某出租车司机开车从甲地到乙地用时30min,从乙地到丙地用时
40min.如果甲、乙两地的距离比乙、丙两地的距离多30km,且
司机全程的平均速度不低于60km/h,那么甲、乙两地至少多远?
5. 某茶叶商店销售一批进价为30 元/袋的茶叶.第一个月以
60元/袋的价格售出1
3,第二个月以50元/袋的价格将这批茶叶
全部售出,最后获利超过8000元.这批茶叶至少有多少袋?
138
小结与思考
1. 本章知识结构:
本章中,我们从实际问题中的不等关系引入不等式的概念和不
等式的基本性质,类比一元一次方程学习一元一次不等式(组)的概
念和解法,并应用一元一次不等式解决一些实际问题.
2.不等式的基本性质是解一元一次不等式(组)的依据.这里要
注意一元一次不等式与一元一次方程在解法上的区别,明晰解一元
一次不等式每一步变形的依据,体会知识间的联系.特别地,一元
一次不等式的解集表示的是未知数的取值范围,而一元一次方程的
解是未知数的确定值.
在利用一元一次不等式解决实际问题时,要重视不等关系的寻
找,依据不等关系构造不等式,从而解决问题.在这个过程中,进
一步发展抽象能力、运算能力,形成模型观念.用一元一次不等式
解决问题的过程,可以用下图表示:
3.根据方程6-5x=2-3x 的解是x=2,你能直接写出
6-5x>2-3x,6-5x<2-3x的解集吗?
139
复习题
复习巩固
1. 解下列不等式:
(1)8x-5≥x+16;
(2)6x+1≤2x-3;
(3)3(x-3)<x-15;
(4)x-1
2
<7x+2
5
;
(5)2(x+3)-4x>-(x-3);
(6)1
2(2-x)> 1
4(3-x)+1
4.
2. 求下列不等式的最大整数解:
(1)-1
3(x-7)≥1
2(3x+1);
(2)3x-10
3 <-4(x-5).
3.求下列不等式的最小整数解:
(1)5x-2≥2
3(5x-13);
(2)x-3
4
<6-3-4x
2 .
4. 解下列不等式组:
(1)2x+4>0,
1-2x>0;
(2)3x-6<4-x,
x-1>4x-10;
(3)2(x-3)≤3(1-x)+1,
3x-5(x-1)>2(3-2x);
140
(4)
2x-1
3
>3x-5
4
,
x+2
4
-x
5 >1.
5. 求同时满足不等式4x-2>2(x+1)与x-3<5-x的整
数解.
6. 三个连续正偶数的和不大于128,求最小正偶数的最大值.
7. 某商店以每件100元的价格购进衬衫50件,现以每件160元
的价格销售,这家商店至少销售多少件衬衫,销售收入才能
超过进货总金额?
8. 某款智能手机的进价为2100元,标价为3300元,如果要确
保利润率不低于10%,那么最低可以打几折出售这款手机?
9. 小明计划在15天内阅读完一本408页的科普读物,前3天每
天阅读了24页.此后,小明平均每天至少需要阅读多少页,
才能在计划的时间内完成阅读任务?
灵活运用
10. 已知4x+y=1,且-1<x≤2,求y的取值范围.
11. 已知方程x-(2x-a)=2的解是正数,求a的取值范围.
12. 当a取什么值时,2-a和3-2a的值的符号相反?
13. 一个长方形的长比宽多2,它的周长不超过39. 求长的取值
范围.
14.为防风固沙,某乡镇计划购买甲、乙两种树苗共2000株.
两种树苗的信息如下:
树苗种类
价格
成活率
甲
25元/株
75%
乙
40元/株
85%
要使这批树苗的成活率不低于83%,如何购买树苗比较
合适?
141
探索研究
15.已知a>b>0,试比较a
2 与b
2 的大小,并说明理由.
16. (1)用等号或不等号填空:
①当x=2时,2x x
2+1;
②当x=1时,2x x
2+1;
③当x=-1时,2x x
2+1.
(2)无论x取什么值,2x与x
2+1总有上面的大小关系吗?
请说明理由.
17. 已知不等式组x>1,
x<a.
(1)如果这个不等式组无解,求a的取值范围;
(2)如果这个不等式组有解,求a的取值范围.
18. 三角形的三边长分别为x+5,x-2,x-8,求x 的取值
范围.
19.据研究,初中生中等运动强度每天的能量需要量男性约为
11.92MJ,女性约为9.62MJ;初中生每天蛋白质推荐摄
入量男性约为75g,女性约为60g.下表为常见食物每百
克能量和蛋白质含量.
食物
大米
小米
小麦粉
牛乳
牛肉
鸡肉
鱼
能量/kcal
354
369
358
53
126
167
110
蛋白质/g
7.3
9.0
11.2
3.0
19.9
19.3
17.6
说明:1000kcal=4.184MJ,1MJ=239kcal.
请你根据上述信息,提出一些能用一元一次不等式解决的
问题,并与同学交流.
142
综合与实践
生活中的不等式
一、问题情境
现实世界中,数量之间的大小关系处处可见.在日常生活和生
产中,人们常常利用不等式(组)解决问题,如核定价格范围、分
析决策等.你能找到生活和其他学科中的不等关系吗? 如何利用不
等式解决实际问题?
二、学习任务
1.某品牌牛奶外包装盒部分信息如图1所示,你能根据图中的
信息写出哪些不等式?
图1
图2
请你查找并列出日常生活中食品包装盒(袋)上的不等式.
2.如图2,这是小明爸爸体检生化检验报告的一部分,他的各
项指标是否正常?
请你查阅资料,收集并列出医疗卫生领域中的不等式.
3.某城市居民用水价格、生活用电价格、管道天然气价格如下
表所示.
本市居民用水阶梯水价表
供水类型
阶梯
户年用水量/米3
水价/(元/米3)
水费
水资源费
污水处理费
合计
自来水
第一阶梯
0~180(含)
2.07
第二阶梯
180~260(含)
4.07
第三阶梯
260以上
6.07
1.57
1.36
5
7
9
自备井
第一阶梯
0~180(含)
1.03
第二阶梯
180~260(含)
3.03
第三阶梯
260以上
5.03
2.61
1.36
5
7
9
本市居民生活用电电价表
用户
分档
户月用电量/(千瓦·时)
电压等级
电价/[元/(千瓦·时)]
试行阶梯
电价用户
一档
1~240(含)
不满1千伏
0.4883
1千伏及以上
0.4783
二档
240~400(含)
不满1千伏
0.5383
1千伏及以上
0.5283
三档
400以上
不满1千伏
0.7883
1千伏及以上
0.7783
本市居民用管道天然气销售价格表
分档
户年用气量/米3
一般生活用气
(炊事、生活热水)
壁挂炉
采暖用气
农村煤改气
采暖用气
气价/(元/米3)
一档
0~350(含)
0~1500(含)
0~2500(含)
2.61
二档
350~500(含)
1500~2500(含)2500~3000(含)
2.83
三档
500以上
2500以上
3000以上
4.23
执行居民价格的非居民户
2.63
(1)请你根据上表写出一些不等式;
(2)假设按照上述计费标准,请你对自己家一年的用水、用电
或用气情况做出规划和预算.
三、交流展示
1.根据你调查的结果,发现并提出问题,与同学交流并解决问题.
2.方程与不等式都是解决问题的数学工具,讨论它们在实际应
用中的特点与联系.
四、应用拓展
请你查阅资料,收集并列出自然科学、前沿科技等领域中的不
等式,根据资料提出问题.
143
定义 命题 证明
∠A+∠B+∠ACB =180°
概念、命题、推理是数学学科的基础.概念
需要定义,命题需要证明.
推理是数学学习与研究的基本活动.我们要
逐步掌握逻辑推理的基本方法,学会规范地表达
证明过程.
通过定义和证明,我们不仅可以得到一些
“信得过”的概念和结论,而且可以学会有逻辑地
思考问题,养成“重证据、有条理”的思维习惯.
12
观察江苏省行政区划示意图,用了几种颜色来区分相邻的
城市?
对于下面的图形,最少用几种颜色就可以区分相邻(指有公
共边)的区域?
你能用四种颜色区分上面江苏省行政区划示意图中的相邻
城市吗?
上面的问题涉及一个著名的猜想:不管什么样的地图,只需要
四种颜色就可以区分相邻区域.历经100多年的艰辛探索,数学家
终于证明了这个猜想.
第12 章
定义
命题
证明
146
12.1
定 义
我们已经学习了许多数学概念,如:
正整数、负整数、零统称为整数;
含有未知数的等式叫作方程;
两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离;
在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线;
两条相交直线所成的四个角中,有公共顶点没有公共边的两
个角称为对顶角.
像这样,对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义
(definition),有时也说“给概念下定义”.根据概念的定义,就可以
准确地判断一个对象是否属于这个概念.
根据对顶角的定义判断下面哪些图形中含有对顶角.
图12 1
许多概念之间都是有关系的.如单项
式都属于整式,整式都属于代数式.数学
中常用如图12 1所示的方法直观地表达这
种从属关系.
三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系? 画出表示它们
之间关系的示意图.
147
12.1
定
义
给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区
分这个概念所包含的对象.
小亮和几个好朋友玩游戏:每个人
轮流在空地上投七颗小石子,谁投的七
颗小石子的散度最小就算谁赢.
你觉得游戏中的“散度”是什么意
思? 你能给“散度”下定义吗?
1.将下列图形分类,并说说分类的依据.
2.回忆并写出下列概念的定义:
绝对值、余角、补角.
3.画示意图表示下列概念之间的关系:
有理数、正有理数、负有理数、零.
第12 章
定义
命题
证明
148
1.写出“相反数”的定义.
2.自然数6的因数有1,2,3,6,这几个因数具有关系1+2+3=
6.像6这样的数叫作完全数(也称完美数).判断下列各数是
否是“完全数”:
(1)8;
(2)28.
3.下面是小明给一些概念下的“定义”,你觉得这些“定义”合适
吗? 说说你的理由.
(1)像火车铁轨那样的两条线叫作平行线;
(2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形;
(3)四条边都相等的四边形叫作正方形;
(4)有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形.
149
12.2
命
题
12.2
命 题
下列语句能判断真假吗?
(1)对顶角相等.
(2)3加4等于几?
(3)直线a与b垂直吗?
(4)如果x
2=1,那么x=1.
(5)如果a>b,b>c,那么a>c.(6)平方后等于1的数是1.
(2)(3)是疑问句,不能判断真假.(1)(4)(5)(6)是陈述句,可
以判断真假.
像(1)(4)(5)(6)这样,可以判断真假的陈述句叫作命题(propo-
sition).一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一.
例如,下列四个语句都是命题:
任何一个数的平方不小于零;
x=-1是方程2x+3=1的解;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
如果∠A = ∠B,那么∠A 与∠B 是对顶角.
判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1)锐角和钝角互补吗?
(2)如果a<b,c>0,那么ac<bc.
(3)同位角相等,两直线平行.(4)如果|a|=|b|,那么a=b.
数学命题一般都由条件和结论两部分组成.例如:
序号
命题
条件
结论
1
如果x>1,那么x>0
x>1
x>0
2
同位角相等,两直线平行
同位角相等
两直线平行
3
两直线平行,同位角相等
两直线平行
同位角相等
4
当a是自然数时,a
2+a是偶数
a是自然数
a
2+a是偶数
5
如果a>0,
b<0,那么|a|>|b|
a>0,
b<0
|a|>|b|
第12 章
定义
命题
证明
150
有了条件和结论,就容易将命题改写成“如果……,那么……”
的形式.例如,上表中的命题4,可以改写成“如果a 是自然数,
那么a
2+a是偶数”.
在上表的命题中,命题1,2,3,4所作的判断都是正确的,像
这样的命题叫作真命题(trueproposition);命题5所作的判断是错
误的,像这样的命题叫作假命题(
falseproposition).
下列命题是真命题还是假命题?
(1)有公共顶点的两个角是对顶角;
(2)等式两边都加上同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
命题(1)可以写成“如果两个角有公共顶点,那么这两个角是
对顶角”.这是一个假命题,图12 2中的∠AOB 与∠BOC 有公共
顶点O,但它们不是对顶角.
图12 2
命题(2)可以写成“如果一个等式两边都加上同一个数或同
一个整式,那么所得结果仍是等式”.根据等式的基本性质,这是
一个真命题.
在上一页的表格中,命题“同位角相等,两直线平行”和命题
“两直线平行,同位角相等”正好互换了条件与结论的位置,我们把
这样的两个命题称为互逆命题,其中一个命题叫作原命题(original
proposition),另一个叫作原命题的逆命题(converseproposition).
写出一对互逆命题,并判断原命题及其逆命题的真假.
151
12.2
命
题
1.写出下列命题的条件与结论:
(1)如果a<0,b<0,那么a+b<0;
(2)如果c<1,那么c
2-1<0.
2.根据下面的条件,写出一个结论,使之成为一个真命题:
(1)如果2x+1=5,那么 ;
(2)如果a
2+b
2=0,那么 ;
(3)如果两条直线平行,那么 ;
(4)如果平移线段AB 得到线段A'B',那么
.
3.下列各组命题是否为互逆命题?
(1)“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四
边形是正方形”;
(2)“两个负数的乘积是正数”与“乘积是正数的两个数都
是负数”.
1.判断下列语句是否为命题,请说明理由:
(1)两个钝角相等吗? (2)两点之间线段最短.
(3)任何数的平方都大于0.
2. 写出下列命题的条件与结论,并判断真假.
(1)如果a=c,b=c,那么a=b;
(2)如果a<-1,那么ab<-b;
(3)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
3.把下列命题写成“如果……,那么……”的形式.
(1)三个内角都相等的三角形是等边三角形;
(2)正方形是轴对称图形.
4.写出下列命题的逆命题,并判断真假:
(1)如果a
2=b
2,那么a=b;(2)末位数字是5的数能被5整除.
第12 章
定义
命题
证明
152
12.3
证 明
数学中有各种各样的命题.判断命题的真假是数学的一个基本
活动.
1.观察图12 3 (1),线段AB 与CD 哪条较长?
2.观察图12 3 (2),位于中心位置的两个圆一样大吗?
(1)
(2)
图12 3
生活经验告诉我们,“眼见不一定为实”.数学中一般不能仅仅
凭借观察来判断一个命题的真假.
数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成,如果我们
从命题的“条件”出发,根据一些已知的事实,得出命题的“结论”
成立,那么就可以说这个命题为真命题.
下面,我们来看两个例子:
1.判断命题“如果a,b是偶数,那么a+b也是偶数”的真假性.
因为a,b都是偶数,
所以可以设a=2m,b=2n (m,n是整数),
所以a+b=2m+2n=2(m+n).
所以a+b也是偶数.
所以,命题“如果a,b是偶数,那么a+b也是偶数”为真命题.
命题的条件
偶数的定义
等量代换和分配律
根据偶数定义, 得到
命题的结论
153
12.3
证
明
2.判断命题“如果a<b,
c<d,那么a+c<b+d”的真假性.
因为a<b,
在不等式两边都加上c,得
a+c<b+c.
因为c<d,
在不等式两边都加上b,得
b+c<b+d.
因为a+c<b+c,b+c<b+d,
所以a+c<b+d.
所以,命题“如果a<b,c<d,那么a+c<b+d”为真命题.
像上面这样,从命题的条件出发,根据一些已知的事实(如概
念的定义,基本性质,真命题等),用“因为……,所以……”的形
式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称
为证明(proof).
图12 4
证明:同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
已知:如图12 4,a,b,c是同一平面内的三条直
线,a⊥c,b⊥c.
求证:a∥b.
@ᬻ
因为a⊥c (已知),
所以∠1=90°(垂直的定义).
因为b⊥c(已知),
所以∠2=90°(垂直的定义).
所以∠1= ∠2(等量代换).
所以a∥b(同位角相等,两直线平行).
命题的条件
不等式的基本性质
命题的条件
不等式的基本性质
根据传递性, 得到命
题的结论
第12 章
定义
命题
证明
154
证明:三个连续自然数之和能被3整除.
@ᬻ
设这三个自然数分别为k-1,k,k+1,其中k≥1.
所设三个自然数的和为(
k-1)+k+(
k+1)=3k,
∵3k能被3整除,
∴这三个自然数的和能被3整除.
证明一个命题的一般步骤有哪些?
1 2
A
(第1题)
1.如图,点A,B,E在一条直线上.在空格上填写推理的依据.
(1)∵∠1= ∠3(已知),
∴AB∥DC(
).
(2)∵∠DAE = ∠CBE (已知),
∴AD ∥BC( ).
(3)∵∠CDA +∠DAB =180° (已知),
∴AB ∥DC( ).
155
12.3
证
明
A
(第2题)
2. 填空,完成下面的证明过程.
已知:如图,∠BAD = ∠DCB,∠1=∠3.
求证:AD ∥BC.
证明:∵∠BAD = ∠DCB,∠1= ∠3( ),
∴∠BAD-∠ =∠DCB-∠ (等式性质),
即
∠ = ∠ .
∴AD ∥BC( ).
逻辑推理
数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理与演绎推理.
归纳推理和类比推理是从特殊到一般的推理方式.
例如,由18和1+8都能被9整除,27和2+7都能被9整除,567
和5+6+7都能被9整除,由此可猜想能被9整除的自然数的各数位上的
数字之和也能被9整除;由整数的运算可以类比得到整式的运算,等等.
归纳推理和类比推理是数学发现的基本工具,但发现的结果只是一
个猜想,要证明这个猜想是否正确,就需要演绎推理.
演绎推理是一种从一般到特殊的推理方式,是数学证明的主要方式.
演绎推理的一种基本形式称为“三段论推理”.三段论推理的一个
经典例子是:
所有人都会死,
苏格拉底是人,
所以,苏格拉底也会死.
第12 章
定义
命题
证明
156
在上面的推理形式中,“所有人都会死”称为“大前提”, “苏格拉
底是人”称为“小前提”, “苏格拉底也会死”是“结论”.也就是说,
可以从“大前提” “小前提”得出“结论”.这种推理方式在数学证明
中是一种基本形式.
在后面的数学学习中,我们会经常遇到归纳推理、类比推理与演绎
推理,同学们要逐步养成合乎逻辑的思维习惯.
1.证明:两个奇数之和是偶数.
(第2题)
2. 如图,点D,C,B 在一条直线上.在
空格上填写推理所需的条件:
(1)∵∠ = ∠ ,
∴AC ∥ED(内错角相等,两直线
平行).
(2)∵∠ = ∠ ,
∴AB ∥EC(同位角相等,两直线平行).
(3)∵ ∥ ,
∴∠3= ∠D(两直线平行,同位角相等).
(4)∵ ∥ ,
∴∠B+∠BCE =180°(两直线平行,同旁内角互补).
3.已知:如图,a∥b,c∥d,∠1=50°.
(第3题)
求证:∠2=130°.
157
12.4
定
理
12.4
定 理
在小学里,我们已经知道“三角形的内角和等于180°”,当时
是用“撕角”的办法来说明的.下面,我们来证明这个命题:
已知:∠A,∠B,∠C 是△ABC 的三个内角.
求证:∠A+∠B+∠C =180°.
证明:作边BC 的延长线CD,过点C 作CE ∥AB(图12 5).
A
B
C
D
E
1
2
图12 5
∵CE ∥AB,
∴∠1= ∠A (两直线平行,内错角相等),
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB =180° (平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB =180° (等量代换).
经过证明之后,就可以把这个命题叫作三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°.
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
第12 章
定义
命题
证明
158
一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理
(theorem).定理可以作为证明后续命题的依据.
证明:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
图12 6
已知:如图12 6,∠ACD 是△ABC 的一个
外角,∠A,∠B 是与它不相邻的两
个内角.
求证:∠ACD = ∠A+∠B .
@ᬻ
∵∠ACD+∠ACB=180° (平角的定义),
∠A+∠B+∠ACB =180° (三角形内角和定理),
∴∠ACD =180°-∠ACB,
∠A+∠B =180°-∠ACB (等式的性质).
∴∠ACD = ∠A+∠B (等量代换).
由例1,我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论.像这
样,由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论.
它和定理一样,也可以作为后续证明的依据.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(第1题)
1.已知:如图,AC,BD 相交于点O.
求证:∠A+∠B = ∠C+∠D .
2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆
命题,判断真假并给出证明.
159
12.4
定
理
一个多边形可以分割为若干个三角形,是否可以利用三
角形内角和定理推出多边形的内角和呢?
图12 7
图12 7是一个任意的四边形ABCD .在四边形内部任取一点
P,连接点P 与4个顶点就得到了4个三角形.这4个三角形的内
角和减去以P 为顶点的周角就是四边形的内角和,即
四边形ABCD 的内角和=180°×4-360°
=180°×(4-2)=360°.
对任意的五边形,同样可得:
五边形的内角和=180°×5-360°=180°×(5-2)=540°.
对于n边形的内角和,你有什么猜想?
一般地,可以得到多边形内角和定理:
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
图12 8
多边形有内角,也有外角,如图12 8,延
长CD,得到射线CF,∠EDF 是五边形ABCDE
的一个外角.顺次延长多边形的各边:AB,
BC,CD,…,在每个顶点处得到一个外角,这
些外角的和叫作这个多边形的外角和.
第12 章
定义
命题
证明
160
内角和有一般规律,外角和也有一般规律吗? 仿照多边
形的内角和研究过程,如何求多边形的外角和?
图12 9
如图12 9,△ABC 的3个内角及3
个对应外角共形成3个平角,因为三角形
的内角和为180°,所以三角形的外角和是
180°×3-180°,即360°.
图12 10
如图12 10,四边形ABCD 的4个
内角及4个对应外角共形成4个平角,因
为四边形的内角和为360°,所以四边形的
外角和是180°×4-360°,即360°.
我们可以把上面的结果推广到一般的n边形,得到:
多边形的外角和=180°·n-多边形的内角和
=180°·n-180°·(
n-2)
=180°×2=360°.
这样就得到了多边形外角和定理:
多边形的外角和等于360°.
1.求证:如果一个n 边形的所有内角都相等,那么其内角为
180°×n-360°
n
.
2.多边形中小于120°的内角最多有几个?
161
12.4
定
理
通过实验验证多边形外角和定理
多边形外角和定理告诉我们,多边形的外角和与边数无关.可以
通过下面的实验来验证这一结论.
在操场上画出一个任意的多边形,比如图中的六边形ABCDEF,
然后从边AB 上的一点S 出发,沿着A→B 方向,到达点B 后再转向
B→C方向,转过的角度恰好等于多边形的一个外角.
想一想,这样走完一圈回到点S后,一共转过了多少度?
也可以用平行线的性质来验证多边形外角和定理.将多边形的边向
内部平移.在平移过程中,虽然多边形的大小发生变化,但外角的大小
都不变.当各边都平移到同一点时,所有的外角正好拼成一个周角,即
360°.
反证法
要证明一个命题,一般需要从命题的条件出发,一步一步地推
出命题的结论.有时候,我们也可以反过来考虑.
如何证明“一个三角形最多有一个钝角”?
第12 章
定义
命题
证明
162
假设△ABC 中不止一个钝角,那么可能有两个钝角或三个钝
角.当有两个钝角时,不妨设∠A,∠B 均为钝角,即∠A>90°,
∠B>90°,则∠A+∠B>180°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与
∠A+∠B+∠C=180°矛盾.同理,当有三个钝角时,也与∠A+
∠B+∠C=180°矛盾.所以假设不正确.于是△ABC 中最多只能
有一个钝角.
像上面这样,我们通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反
过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
已知:a,b,c是三条不同的直线,a∥b,b∥c.
求证:a∥c.
@ᬻ
假设a,c不平行,那么它们相交于一点P(图12 11).
图12 11
∵a∥b,b∥c,
∴过点P 的两条直线a,c都与直线b平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线
与这条直线平行”矛盾.
∴假设不成立,a∥c.
这样,我们就证明了平行线的性质定理:
平行于同一条直线的两条直线平行.
用反证法证明一个命题的步骤一般为:
1.先假设命题的结论不成立.
2.从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾.
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立.
163
12.4
定
理
判断命题“对于任意的有理数a,b,如果a>b,那么|a| >
|b|”的真假,并说明理由.
?
这是一个假命题.理由如下:
取a=1,
b=-2,此时a>b,但是|a|<|b|,
所以命题的结论|a|>|b|不成立.
在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法.举反例
的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子.
1.用反证法证明:已知a,b,c是三条不同的直线,如果a∥b,
a与c相交,那么b与c相交.
2.举反例说明下列命题是假命题:
(1)如果|a|=|b|,那么a=b;
(2)任何数的平方都大于0;
(3)两个锐角的和是钝角;
(4)如果一点到线段两端的距离相等,那么这个点是这条线
段的中点.
著名的反例
我们都知道,素数也被称为质数,是只能被1和它自身整除的自然
数,如2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .如果一个自然数不仅
能被1和它自身整除,还能被其他自然数整除,那么这个自然数就是合
数.1既不是质数,也不是合数,因此,全体自然数就可分为四类:0,
1,质数,合数.
第12 章
定义
命题
证明
164
在欧几里得时代,人们就已经证明了素数有无穷多个.素数的排
列是否有规律呢? 能否找到一个表达式来产生素数呢? 这些问题让一
代又一代的数学家着迷,由此产生了一些著名的素数猜想.例如,著
名的数学家欧拉(L.Euler,1707—1783)就曾经提出过一个猜想:
对于任意的自然数n,n2-n+41都是素数.
我们可以来验证前几项:
当n=0时,n2-n+41=41为素数,
当n=1时,n2-n+41=41为素数,
当n=2时,n2-n+41=43为素数,
当n=3时,n2-n+41=47为素数,
……
如此下去,欧拉发现,一直到n=40时,结论都是正确的(你可以
自己验证几个数试试看),但当n=41时,n2-n+41不是素数,从而否
定了这个著名的猜想.
1. 在△ABC 中,根据下列条件,求∠A 的度数:
(1)∠C =20°,∠B = ∠A;
(2)∠A,∠B,∠C 的度数之比为1∶2∶3.
2.如图,AB∥CD,AB,DE 相交于点G,∠B=∠D.在下列括号
(第2题)
内填写推理的依据:
∵AB ∥CD (已知),
∴∠EGA = ∠D( )
.
又∵∠B = ∠D(已知),
∴∠EGA = ∠B( ).
∴DE ∥BF( ).
165
12.4
定
理
3.已知:如图,AB∥CD,BC∥DE.
求证:∠B+∠CDE=180°.
(第3题)
(第4题)
4. 已知:如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,D 是AB 上
一点,且∠ACD = ∠B.
求证:CD ⊥AB.
5.已知:如图,AD 平分∠BAC,点E 在BC 上,点F 在CA 的延
长线上,EF 交AB 于点G,且∠AGF = ∠F.
求证:EF ∥AD.
(第5题)
(第6题)
6.已知:如图,在△ABC 中,∠A=∠ABC,直线EF 分别交AB,
AC 和CB 的延长线于点D,E,F.
求证:∠F+∠FEC=2∠A.
7.证明:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.
8.判断命题的真假,并说明理由:任何正数的平方都大于这个数
本身.
9.证明:一个数加上一个负数比原来的数小.
10.已知:m 是正整数,且m
2 是偶数.
求证:m 是偶数.
166
小结与思考
1.本章知识结构:
概念与命题是数学的基本研究对象.概念需要定义,命题要确
定真假.判定假命题只需举出一个反例,判定一个真命题则需要给
出证明.证明过程是由一步一步的推理构成的,每一步推理都要有
理有据.
2.从简单和特殊情况入手、寻找规律、提出猜想(命题)、给
出证明是数学探究的基本过程,经历这样的过程有助于我们理解数
学知识之间的联系,感悟数学证明的必要性和逻辑性,形成初步的
推理能力和严谨求实的科学精神.
3.反证法是数学中的一种基本证明方法.你能够证明一个自然
数平方后的个位数不可能是3吗?
167
复习题
复习巩固
1. 指出下列命题的条件和结论:
(1)同号两数相乘,积为正;
(2)等角的补角相等;
(3)四边形的内角和等于外角和.
2. (1)写出学过的四个真命题;
(2)写出两个假命题.
3. 写出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假:
(1)如果ab=0,那么a=0;
(2)自然数是整数;
(3)不是对顶角的两个角不相等;
(4)内错角相等.
4. 说明下列命题是假命题:
(1)如果a≠0,b≠0,那么a
2+b
2=(
a+b)
2;
(2)质数都是奇数;
(3)多边形的外角和小于内角和;
(4)如果a>b,那么(
a+b)(
a-b)>0.
5. 下列命题是否为真命题? 为什么?
(1)如果a>b,那么|a|>|b|;
(2)一个角的补角大于这个角;
(3)偶数能被4整除;
(4)三角形的最大内角大于60°.
(第6题)
6. 填空:
如图,点A,B,C,D 在一条直线上,
∵EC ∥FD (已知),
∴∠F = ∠ ( ).
∵∠F = ∠E(已知),
∴∠ = ∠E( ).
∴ ∥ ( ).
168
7. (1)已知:如图,直线AB,CD,EF 被直线BF 所截,
∠B+∠1=180°,∠2= ∠3.
求证:∠B+∠F =180°.
(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题?
(第7题)
(第8题)
8. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 上.∠B+∠C
与∠1+∠2有怎样的数量关系? 为什么?
9. 已知:abcd是一个四位数,a+b+c+d可以被3整除.
求证:这个四位数可以被3整除.
10. 如图,点C,E,B,F 在一条直线上,AC∥FD,∠A=
∠D.由此,你能推出什么结论? 证明其中的1~2个结论.
(第10题)
灵活运用
11. 已知:如图,∠ABC+∠C+∠CDE=360°,GH 分别交
AB,ED 于点G,H.
求证:∠1= ∠2.
(第11题)
169
12. 有没有这样的多边形,它的内角和是它的外角和的3倍?
如果有,指出它是几边形,并说明理由.
13.如图,在四边形ABCD 中,∠A+∠C=180°,∠ABE是四边形
ABCD 的一个外角.∠ABE与∠D 相等吗? 证明你的结论.
(第13题)
(第14题)
14.如图,在五角星形ABCDE 中,∠A,∠B,∠C,∠D,∠E
的和等于多少度? 证明你的结论.
15. 已知:正整数n能被3整除,也能被7整除.
求证:n能被21整除.
16.证明:如果一个数的平方的个位数不是5,那么这个数的个
位数也不是5.
探索研究
17.(1)如图(
1),AB ∥CD,试用不同方法证明∠B+∠D= ∠E.
(2)如图(2),AB∥CD,∠B,∠D,∠E 之间有怎样的数
量关系? 证明你的结论.
(1)
(2)
(第17题)
18.任意画∠A,在∠A 的两条边上分别取点B,C,在∠A 的
内部取一点P,连接PB,PC.探索∠BPC 与∠A,
∠ABP,∠ACP 之间的数量关系,并证明你的结论.
后 记
本套教科书依据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022
年版）》编写.
本套教科书全面落实立德树人根本任务，以学生发展为本，
以核心素养为导向，遵循初中学生的认知规律，着力优化课程结
构、内容组织和栏目设计，创新数学活动设计，提高教学效率，并
推进课程改革.
本套教科书由鲍建生担任主编，董林伟担任执行主编. 本册
主编是徐德同，编写人员有石树伟、朱建明、孙学东、沈迎华、周
超、诸士金；参加本册教科书“综合与实践”编写的有鲁小莉、严
媛、孙永健.
本套教科书的编写继承了2003 年版《义务教育课程标准实验
教科书数学》（杨裕前、董林伟主编）和2012 年版《义务教育教
科书数学》（杨裕前、董林伟主编）的经验，借鉴了国内外数学
教育与教科书设计的研究成果，充分调研了教科书的使用情况，
凝聚了众多学科专家、课程专家、教研人员、一线教师的智慧.
在本套教科书的编写过程中，《义务教育数学课程标准（2022
年版）》制定组的专家给予了悉心指导；教材审查组的专家提出了
中肯建议；章建跃、喻平、傅海伦、王云峰、石小江、叶琳、朱晨
菲、庄志红、刘东升、杜荣庆、陈志廉、胡钰、钱小强、钱旭东、
钱德春、徐明悦、谢蓓蓓等对本册进行了细致审读；一大批教研
员、教师、学生参与了系统的试教试用.在此，我们对所有为本套
教科书提供帮助和支持的专家、教师及社会各界朋友一并表示衷
心的感谢！
教材建设是一项长期的系统工程，我们热切期望广大教师、
学生及家长为本套教科书的不断完善提出意见和建议，联系电话
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86633140，联系邮箱为skjc2022@163.com.
数学
七年级下册
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