义
务
教
育
教
科
书
数学
八年级下册
八年级 下册
·南京
义务教育教科书
数学
S H U X U E
执行主编 董林伟
主 编 鲍建生
主 编:鲍建生
执行主编:董林伟
本册主编:朱建明
编写人员:(按姓氏笔画排序)
叶旭山 李金凤 杨 波
张伟俊 周瑜珍 徐德同
义务教育教科书
数学 八年级下册
策 划 陈卫春
责任编辑 沈 琼 赵 悦
装帧设计 刘旭东
责任校对 罗章莉
出
版 江苏凤凰科学技术出版社
出版社地址 南京市湖南路1号A楼,邮编:210009
编读信箱 skjc2022@163.
com
重 印 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
发
行 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
照 排 江苏凤凰制版有限公司
印 刷 江苏凤凰扬州鑫华印刷有限公司
开 本 787mm×1092mm 1/16
印 张 11.5
版 次 2026年1月第1版
印 次 2026年1月第1次印刷
标准书号 ISBN978 7 5713 5947 8
定 价 11.15元
审
批
号 苏费核(2025年) 号 举报电话:12315
如发现印、装质量问题,请与凤凰传媒联系,电话:400 828 1132
致同学
亲爱的同学：
年轮的旋转，带给大地一片新绿. 把握青春的脉搏，继续怀着好奇去求
知，去探索，以毅力去克服困难，在成功的体验中更加自信地走进新学期
的新课程.
这册课本奉献给你的是数学的又一片“新绿”，明天的收获就在你的
手中！
“数据的收集、整理与描述”将引导
你学习收集、整理、描述数据的一些方法，
学会从数据中获取信息.
“认识概率”将让你在富有生活情趣
的活动中，初步了解如何用数量描述随机
事件发生的“可能性大小”，并用实验的
方法估计一些事件的概率.
“四边形”将引导你用数学的眼光观
察、欣赏生活中的图案，探索并证明平行
四边形的性质.
“因式分解”将让你感受互逆的思维
方式，在后面的“分式”中有许多应用.
在探索“分式”的性质及其运算的过
程中，你将进一步感受“类比”的思想方法.
在“二次根式”里，你将认识一种新
的式子，并学习二次根式的加、减、乘、
除运算.
在经历数学学习的挑战、享受数学学
习的愉悦的过程中，你将变得更加自信、
更加聪明，更加乐于探索、善于思考.
这册课本将是你不断成长的又一见证！
能不能用研究三角
形的方法来研究四
边形呢?
“因式分解”“分式”“二
次根式”都和运算有关，
看起来运算的确很重要.
我觉得概率很好玩！
小明
小慧
小亮
小丽
我们所学的数学知
识越来越多啦，要注
意知识之间的联系.
我们身边就存在很多
数据呀！
小
目
录
第6 章
数据的收集、整理与描述
6.1 普查与抽样调查
4
…………………………………………………
6.2 统计图
9
……………………………………………………………
6.3 统计案例:货比三家
17
…………………………………………
6.4 频数与频率
20
……………………………………………………
6.5 频数分布表和频数分布直方图
23
………………………………
6.6 统计案例:初中生的视力情况调查
28
…………………………
小结与思考
33
……………………………………………………………
复习题
34
…………………………………………………………………
综合与实践
38
……………………………………………………………
第7 章
认识概率
7.1 随机事件
42
………………………………………………………
7.2 概率
45
……………………………………………………………
7.3 频率与概率
48
……………………………………………………
数学探究
52
………………………………………………………………
小结与思考
53
……………………………………………………………
复习题
54
…………………………………………………………………
综合与实践
56
……………………………………………………………
第8 章
四边形
8.1 平行四边形
60
……………………………………………………
8.2 特殊的平行四边形
72
……………………………………………
8.3 三角形的中位线
87
………………………………………………
8.4 梯形
91
……………………………………………………………
小结与思考
94
……………………………………………………………
复习题
95
…………………………………………………………………
综合与实践
100
…………………………………………………………
第9 章
因式分解
9.1 因式分解的概念
104
……………………………………………
9.2 提公因式法
107
…………………………………………………
9.3 公式法
110
………………………………………………………
小结与思考
117
…………………………………………………………
复习题
118
………………………………………………………………
第10 章
分
式
10.1 分式的概念
122
…………………………………………………
10.2 分式的基本性质
125
……………………………………………
10.3 分式的加减
132
…………………………………………………
10.4 分式的乘除
136
…………………………………………………
10.5 分式方程
141
……………………………………………………
数学探究
148
……………………………………………………………
小结与思考
149
…………………………………………………………
复习题
150
………………………………………………………………
第11 章
二次根式
11.1 二次根式的概念
154
……………………………………………
11.2 二次根式的乘除
158
……………………………………………
11.3 二次根式的加减
167
……………………………………………
数学探究
174
……………………………………………………………
小结与思考
175
…………………………………………………………
复习题
176
………………………………………………………………
数据的收集、整理
与描述
6
统计学是研究如何收集、分析和表述数据,并通过数据信
息对所研究的事物或现象得出结论的科学.本章将学习如何通
过普查和抽样调查收集数据,利用统计图整理、描述数据.
用统计方法解决问题需要调查研究,收集数据.对数据
进行整理与描述,可以使数据中蕴含的信息更清晰、直观.
在统计学习过程中,我们要逐步养成用数据说话的习惯.
统计与生活息息相关.掌握统计方法和统计思想,可以
帮助我们从各种数据中挖掘有用的信息.
为了丰富校园文化生活,学校拟开办新的社团.如何调查
全校学生对各项目的喜爱情况?
调查问卷
亲爱的同学:
为了丰富我们的社团活动,我
们想了解大家所喜爱的项目.请在
下列选项中选择一个自己最喜爱
的项目,在□中打“√”表示.
□文学
□影视欣赏
□动漫
□健美操
□合唱
□航模
□机器人
社团活动调查小组
根据本校实际情况,请你参考上述问卷设计一个调查问
卷,在班级进行调查,把相关数据填入下表:
社团活动调查表
总人数
项目
名称
人数
回答下列问题:
(1)可以用哪种统计图来表示此次调查中收集的数据?
(2)在你的班级中最受欢迎的社团项目是什么? 这个项目
是否在本年级所有班级中都最受欢迎?
(3)汇总全年级的数据,请对学校社团建设提出建议.
第6 章
数据的收集、整理与描述
4
6.1
普查与抽样调查
数据是信息的载体,可以帮助我们做出合理的判断和决策.在
日常生活中,数据无处不在,如空气质量指数、全年国内生产总
值、电影的实时票房等.
调查是获得数据的一种重要方法.
如何进行下列各项调查? 你认为做这些调查有什么作用?
本校学生身高的调查
北京冬奥会开幕式收视率的调查
一批LED灯使用寿命的调查
在统计活动中,一般有两种调查方法:为一特定目的对所有考察
对象所做的调查,叫作普查(thoroughsurvey);为一特定目的对部分
考察对象所做的调查,叫作抽样调查(samplingsurvey)(简称抽样).
例如,调查一所学校学生的身高可以采用普查,调查北京冬奥
会开幕式的收视率可以采用抽样调查.
5
6.1
普
查
与
抽
样
调
查
我们把所考察对象的全体叫作总体(population),把组成总体
的每一个考察对象叫作个体(element),从总体中抽取的一部分个体
叫作总体的一个样本(sample),样本中个体的数目叫作样本容量
(sizeofasample).
例如,为了解某市八年级学生的体重情况,对该市八年级每个
学生的体重进行调查就是普查,而对其中的部分学生(例如1000名
学生)的体重进行调查就是抽样调查.该市八年级学生体重的全体
是总体,每个八年级学生的体重是个体,从中抽测的1000名学生的
体重是总体的一个样本,样本容量是1000.
1. 下列调查是用普查好,还是用抽样调查好? 说明理由.
(1)全班学生家庭1周内收看“新闻联播”的次数;
(2)塞罕坝机械林场树木的平均高度;
(3)太湖中现有鱼的种类.
塞罕坝机械林场
太湖
2. 你认为普查和抽样调查各有什么优缺点? 举例说明.
普查的结果可靠,但往往工作量大,而且有些调查不宜使用普
查.抽样调查可以提高效率、节约成本,便于实施.
在抽样调查中,利用样本对总体进行估计.如果样本抽取得
当,那么估计就会可靠一些.因此,需要选择一个抽取样本的方
式,使样本具有代表性.
第6 章
数据的收集、整理与描述
6
简单随机抽样(simplerandomsampling)是能使样本具有较好代
表性的一种抽样方法.例如,要在全班50名学生中抽取10个人,
可以按下列步骤抽样:
1. 把每个学生的学号分别写在一张规格相同的小纸条上.
2. 把所有小纸条放进一个不透明的袋子里,混合均匀.
3. 随机抽取10张小纸条,这10张小纸条对应的学生就是要抽
取的样本.
这种抽样方法使得每个考察的个
体都有机会被抽取,而且被抽取的可
能性相同.
通过调查可以得到数据.像身高、体重、面积等,这种可以测
量或计算的量通常以数值的形式呈现;像颜色、性别、喜好等,这种
反映事物类别的数据本身不是数值,但可以用数字、字母等代码呈
现,以便于记录和处理,例如,用1表示“合格”,0表示“不合格”,
但是这里的“1”和“0”只是数据的代码,不具有数量关系.
水果硬度检测
下列各项调查是普查,还是抽样调查? 如果是抽样调查,
请指出总体、个体、样本和样本容量.
(1)调查你班每位同学所穿鞋子的尺码;
(2)从校园里选取8棵树,调查校园里树
木的高度;
(3)从一批苹果中抽取10个,调查这批苹果
的硬度;
(4)汛期某天调查全市所有水文站的水位.
7
6.1
普
查
与
抽
样
调
查
在章头活动中,小明采用下面的方法了解全校学生对社团项目的
喜爱情况.
1. 对全校学生进行抽样调查(样本容量为50),并用如下代号表
示社团项目.
项目名称
文学
影视欣赏
动漫
健美操
合唱
航模
机器人
项目代号
A
B
C
D
E
F
G
2. 收集调查结果如下:
E C F D A B D A C D
A D B A E B C A D C
G B B G C D C D C C
B D F A E D D C D F
B C A B C E C A D F
3. 用统计表对调查结果进行整理.
喜爱各项目的学生人数统计表
项目代号
A
B
C
D
E
F
G
划 记
人 数
8
8
12
12
4
4
2
4. 根据统计数据,画出统计图(图6 1).
喜爱各项目的学生人数条形统计图
图6 1
从上面的条形统计图中你能获得哪些信息? 你会对社团建设
提出什么建议?
第6 章
数据的收集、整理与描述
8
用统计方法解决现实问题的一般步骤是:通过调查研究收集
数据,整理、分析数据,并根据分析结果做出合理的推断或预测.
设计一份调查问卷,在本班开展“上一周用于课外阅读
的时间”的调查,并整理调查结果,列出统计表,画出条形
统计图.
1. 下列调查是用普查好,还是用抽样调查好? 说说你的理由.
(1)一批新型电动车电池的使用寿命;
(2)全校学生最喜爱的歌曲;
(3)全市学生的家庭一周内丢弃垃圾袋的数量.
2. 指出下列调查中的总体、个体、样本和样本容量.
(1)为了解某市八年级学生每天体育运动时间,从该市八年级学
生中抽取100名学生进行调查;
(2)为了解一批零件的尺寸与标准尺寸的误差,从这批零件中抽
取10件进行调查.
3. 在一次中学生知识竞赛中,主办方共拟定了20道自然科学题、
15道社会科学题、15道人文科学题,并规定每名参赛选手要选
答10道题,其中自然科学题4道、社会科学题3道、人文科学
题3道.你认为应如何用简单随机抽样的方法确定这10道题?
4. 利用下面的调查问卷对全班同学去学校的方式进行调查,并整理
调查结果,列出统计表,画出条形统计图.
调查问卷
年 月 日
方式
乘公共
交通工具
骑车
步行
乘私人
汽车
其他
你去学校的方式
(打“”表示)
9
6.2
统
计
图
6.2
统计图
为了全面准确地了解国家人口情况,我国
从1953年到2020年进行了7次人口普查.下
面是1964—2020年历次人口普查得到的部分
数据.
全国总人口统计表
年份
1964
1982
1990
2000
2010
2020
全国总
人口/人
72307026910318825111160017381129533000013705368751443497378
数据来源:第2~7次全国人口普查
全国每10万人中拥有各类受教育程度人数的统计表
年份
人数/人
大学
(大专及以上)
高中
(含中专)
初 中
小 学
其 他
1964
416
1319
4680
28330
65255
1982
615
6779
17892
35237
39477
1990
1422
8039
23344
37057
30138
2000
3611
11146
33961
35701
15581
2010
8930
14032
38788
26779
11471
2020
15467
15088
34507
24767
10171
数据来源:第2~7次全国人口普查
第6 章
数据的收集、整理与描述
10
根据上述数据,全国总人口有什么变化? 我国公民拥有各类
受教育程度的人数情况是怎样的?
如图6 2~图6 4所示,根据历次人口普查数据,可以绘制统
计图,使数据中的信息表达得更直观.
全国总人口条形统计图
图6 2
全国总人口折线统计图
图6 3
2020年全国每10万人中拥有
各类受教育程度人数分布的扇形统计图
图6 4
在图6 4的扇形统计图中,整个圆表示统计项目的总体,每一
个统计项目分别用圆中不同的扇形来表示,扇形面积占圆面积的百
分比与各统计项目占总体的百分比相同,在同一个圆中,扇形面积
的大小由它的圆心角确定,圆心角的计算公式如下:
扇形圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°.
11
6.2
统
计
图
小明平均每天用于学习、睡眠、参加班级的各类活动、用餐及其他
的时间如下:
项 目
时间/h
占全天时间的百分比(精确到1%)
扇形的圆心角
学 习
8
8
24×100%≈33%
360°×8
24=120°
睡 眠
9
活 动
4
用 餐
1
其 他
2
合 计
24
(1)填写上面的统计表;
(2)根据统计表中的数据,用量角器在圆中画出各个扇形;
(3)在各个扇形中,标明相应名称和百分比;
(4)写出扇形统计图简明的标题,并注明数据来源.
统计图
数据来源:
(第1题)
1. 青海省地形复杂,地貌多
样.观察青海省地貌类型
扇形统计图,如果平原面
积为1.97×10
5km
2,那么
山地、丘陵面积各为多少?
第6 章
数据的收集、整理与描述
12
2. 查找资料完成下面的统计表,并根据统计表制作扇形统计图.
世界七大洲陆地面积统计表
洲 名
面积/万km
2
占地球陆地总面积的百分比
(精确到0.1%)
亚 洲
非 洲
北美洲
南美洲
南极洲
欧 洲
大洋洲
条形统计图、折线统计图、扇形统计图各有什么特点?
条形统计图是用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的
数据;折线统计图是用折线描述数据的变化过程和趋势;扇形统计
图是用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比.
比较两组数据时可以在同一个条形统计图中描述两组数据的变
化情况,例如图6 5.
2010年、2020年全国每10万人中拥有
各类受教育程度人数分布的条形统计图
图6 5
13
6.2
统
计
图
图6 5可以直观展示2010年、2020年全国每10万人中拥有各
类受教育程度的人数变化情况,便于我们对这两组数据进行比较.
根据第2~7次人口普查的数据,用同一个折线图描述全国每10万人
中拥有大学(大专及以上)、高中(含中专)受教育程度的人数的变化程
度趋势.
?
全国每10万人中拥有大学(大专及以上)、高中(含中专)
受教育程度人数分布的折线统计图
图6 6
1. 用合适的统计图表示下列信息:
(1)2021年,全国居民人均消费支出中,食品烟酒占
29.78%,交通通信占13.09%,教育文化娱乐占
10.78%,衣着占5.89%,居住占23.41%,医疗保健
占8.78%,生活用品及服务占5.91%,其他用品及服
务占2.36% .(数据来源:《中国统计年鉴—2022》)
(2)某养殖场中一批次鸡、鸭、鹅、鸽子的平均孵化期分别
为21天、28天、30天、18天.
第6 章
数据的收集、整理与描述
14
2.我国1995—2020年货物进出口总额如下:
年 份
1995
2000
2005
2010
2015
2020
出口额/亿美元
1488
2492
7620
15778 22735 25900
进口额/亿美元
1321
2251
6600
13963 16796 20660
数据来源:《中国统计年鉴—2022》
分别用同一个条形统计图和同一个折线统计图描述这两组
数据,并进行比较.
数据可视化
人们常常将事物的某一特征量化为数据,通过分析数据揭示事物的
联系、趋势和差异.数据可视化是一种有效的表达方法,它通过色彩
和图形凸显数据的特征与规律.一幅图胜过千言万语.
某地人口年龄分布
15
6.2
统
计
图
2000kcal平衡膳食模式中不同种类
食物对膳食部分营养素的贡献率
某网店的订单转化率漏斗统计图
1.根据下列两个扇形统计图,能否判断哪一所学校的男生人数多?
为什么?
A学校
B学校
(第1题)
2. (1)用扇形统计图表示下列信息:八年级(1)班48名学生中,6
人最喜欢打篮球,18人最喜欢打乒乓球,12人最喜欢踢足
球,10人最喜欢打排球,2人最喜欢其他项目;
(2)根据(1)的结果,你能估计全年级384名学生中,有多少人
最喜欢打乒乓球吗?
第6 章
数据的收集、整理与描述
16
3. 用合适的统计图表示下列信息:
(1)人体的主要元素如下:
元素名称
元素符号
质量分数/%
氧
O
65.0
碳
C
18.0
氢
H
10.0
氮
N
3.0
钙
Ca
1.5
其他
—
2.5
(2)在生物多样性方面,中国具有地球陆地生态系统的各种类
型,其中森林212类、竹林36类、灌丛113类、草甸77类、
草原55类、荒漠52类、自然湿地30类(数据来源: 《2021
中国生态环境状况公报》);
(3)2012—2020年我国粮食产量如下(单位:万t):
年 份
2012
2014
2016
2018
2020
粮食产量61222.6 63964.8 66043.5 65789.2 66949.2
数据来源:《中国统计年鉴—2022》
4. 第4~7次全国人口普查城乡人口数据如下(单位:万人):
年 份
1990
2000
2010
2020
城镇人口数
30195
45906
66978
90220
乡村人口数
84138
80837
67113
50992
数据来源:《中国统计年鉴—2022》
(1)你认为哪种统计图能用于比较城乡人口的变化? 画出你选用
的统计图.
(2)你怎么看待城乡人口的变化情况? 你对未来的城乡人口变化
趋势有什么预测?
17
6.3
统
计
案
例
货
比
三
家
6.3
统计案例: 货比三家
购物时,人们常说“货比三家”.在大数据时代,统计分析是
一种有效的比较方法.
小明家准备购买一辆新能源汽车,收集了A,B,C三种品
牌新能源汽车销售的有关数据.如何根据数据选择品牌呢?
A,B,C三种品牌厂家提供的汽车销售的有关数据及统计图如
下(图6 7~图6 9):
A品牌汽车销量图
图6 7
2017—2022年三种品牌汽车销售总量图
图6 8
2022年各品牌汽车市场占有率统计图
图6 9
小明家能根据以上信息做出合理的选择吗? 你觉得还需要收集
其他数据吗?
第6 章
数据的收集、整理与描述
18
小明通过互联网又进一步收集了A,B,C三种品牌汽车销售
的有关数据,并列出统计表,绘制出折线统计图(图6 10).
A,B,C三种品牌汽车的年销售量统计表
年份
销量/万辆
A品牌
B品牌
C品牌
2017
5.8
38.9
20.8
2018
9.2
35.3
24.4
2019
13.5
31.9
26.5
2020
18.7
26.6
28.0
2021
25.0
21.7
28.9
2022
28.8
20.8
29.2
A,B,C三种品牌汽车的年销售量折线统计图
图6 10
1. 参考上述信息,你可以对小明家选择汽车品牌提出更合理的
建议吗? 说说你的理由.
2. 为了更好地帮助小明家做出决策,你觉得还应该进一步收集
哪些数据?
媒体提供的数据很多,从中能够获得许多有用的信息,但有些
信息不一定客观、全面.因此,我们在做出决策时要综合考虑各种
因素.
19
6.3
统
计
案
例
货
比
三
家
甲、乙两家公司2018—2022年的利润统计图如下:
甲公司利润折线统计图
乙公司利润折线统计图
(1)根据统计图,分别说明两家公司的利润增长特征;
(2)你认为哪家公司利润增长较快?
为了分析家电市场,某家电行业分析员对A,B,C三种品牌滚筒
洗衣机的销售情况进行了调查,并抽取三种品牌滚筒洗衣机各220
名用户进行了满意度调查,获得的信息整理如下:
A,B,C三种品牌滚筒洗衣机的用户满意情况统计表
内容
质量
价格
广告
品牌
A
B
C
A
B
C
A
B
C
满意户数
195
120
118
95
93
94
145
150
95
各品牌滚筒洗衣机
市场占有率扇形统计图
根据提供的信息,回答问题:
(1)哪种品牌滚筒洗衣机的市场占有
率最高? 它的主要竞争优势是
什么?
(2)广告对用户选择滚筒洗衣机品牌
有影响吗? 说说你的理由.
第6 章
数据的收集、整理与描述
20
6.4
频数与频率
为了更好地普及环境保护知识,学校举行“争当环保卫士”活动.
请按照以下办法,在你班投票推选一人担任“环保卫士”.
(1)每人在选票上写一名自己认为最合适的候选人姓名,并将选票投
入票箱;
(2)由全班推选的三名同学分别唱票、监票、记录;
(3)填写表格,得票最多的同学当选“环保卫士”.
候选人
唱票记录
得票数
得票率
在统计数据时,某个对象出现的次数称为该对象的频数(abso-
lutefrequency),频数与总次数的比值称为频率(relativefrequency).
例如,在选举“环保卫士”活动中,每名候选人的得票数是该
候选人得票的频数;每名候选人的得票率是该候选人得票的频率.
21
6.4
频
数
与
频
率
国家生态环境部公布的2022年3月27日某时47个重点城市的空气
质量指数(AQI)如下:
郑州
武汉
广州
深圳
珠海
汕头
湛江
南宁
桂林
北海
长沙
71
55
31
27
33
52
51
38
38
32
49
海口
成都
重庆
贵阳
昆明
拉萨
西安
兰州
西宁
银川
乌鲁
木齐
40
62
34
33
70
54
75
60
63
58
54
北京
天津石家庄秦皇岛太原
呼和
浩特
沈阳
大连
长春哈尔滨上海
66
69
103
64
105
76
53
47
48
47
53
南京
苏州
南通连云港杭州
宁波
温州
合肥
福州
厦门
南昌
61
57
50
68
45
58
48
73
44
46
41
济南
青岛
烟台
81
67
55
数据来源:国家生态环境部
国家生态环境部规定:环境空气质量指数0~50为一级,51~100为
二级,101~150 为三级,151~200 为四级,201~300 为五级,
>300为六级.请按城市空气质量指数级别填表,并用合适的统计图
表示.
空气质量
指数级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
划 记
频 数
频 率
(精确到0.001)
第6 章
数据的收集、整理与描述
22
从全班学生中抽取20名学生,测量了他们800m 长跑后
1min的脉搏次数,结果如下(单位:次):
144 150 156 165 141 149 162 160 135 159
150 164 168 153 158 142 161 157 154 147
填写表格:
脉搏次数x
/次
130≤x<140 140≤x<150 150≤x<160 160≤x<170
划 记
频 数
频 率
1. 某射手在一次射击训练中,共射了40发子弹,结果如下(单
位:环):
8 7 7 8 9 8 7 7 7 8
8 9 7 8 8 8 9 8 9 8
10 9 9 8 9 8 10 10 9 8
8 9 9 10 9 9 10 10 9 9
填写表格:
环 数
7
8
9
10
频 数
频 率
2.小丽调查了全班45名同学的体重,结果如下(单位:kg):
59.4 54.2 43.0 69.1 73.3 39.6 49.5 68.5 44.3 68.6
56.5 66.8 64.8 47.7 59.7 43.7 57.9 60.1 81.3 42.9
74.4 62.8 68.7 57.2 71.9 36.8 53.8 58.4 47.4 44.9
49.5 41.5 47.6 59.2 49.9 75.4 54.3 58.5 47.8 56.7
48.2 55.5 45.8 53.7 49.9
填写表格:
体重x/kg36≤x<4545≤x<5454≤x<6363≤x<7272≤x<8181≤x<90
频数
频率
23
6.5
频
数
分
布
表
和
频
数
分
布
直
方
图
6.5
频数分布表和频数分布直
方图
某校为了解八年级学生身高的范围和整体分布情况,抽样
调查了八年级50名学生的身高,怎样描述这50名学生身高的
分布情况?
经调查,这50名学生的身高如下(单位:cm):
156.5164.7170.6155.8162.6167.3154.4172.1170.8171.7
168.2155.9161.9154.8158.8171.7172.9164.1167.8174.9
156.7161.3165.2158.9173.0161.8160.8160.6164.9153.9
173.4159.6158.9157.4169.5175.6153.3172.5157.5161.1
148.9153.8159.9156.7161.7162.6159.7152.7148.3152.5
一组数据中的最大值与最小值的差,称为极差.上面50个数
据中,最小值是148.3,最大值是175.6,极差为27.3.利用最大
值、最小值、极差可以大致描述这些数据的范围.
为了精确地描述这些数据的整体分布情况,我们采取如下的
方法:
首先,根据极差把这些数据分成10组,27.3
10 =2.73,组距定为
3.这样把数据分成10组为(x表示身高):
148≤x<151151≤x<154154≤x<157157≤x<160160≤x<163
163≤x<166166≤x<169169≤x<172172≤x<175175≤x<178
第6 章
数据的收集、整理与描述
24
其次,把这50个数据分别“划记”到相应的组中,统计每组中
相应数据出现的频数(如下表):
身高x/cm
划 记
频 数
身高x/cm
划 记
频 数
148≤x<151
2
163≤x<166
4
151≤x<154
5
166≤x<169
3
154≤x<157
7
169≤x<172
5
157≤x<160
8
172≤x<175
6
160≤x<163
9
175≤x<178
1
像这样的表格称为频数分布表(
frequencydistributiontable).
最后,根据频数分布表,用横轴表示各分组数据,用纵轴表示
各组数据的频数,绘制条形统计图(图6 11).
图6 11
像图6 11这样的条形统计图,直观地呈现了频数的分布特征
和变化规律,称为频数分布直方图(frequencydistributionhisto-
gram).
画频数分布直方图的一般步骤如下:
1. 确定组距.为了显示数据的整体分布特征,一般将数据分为
适当的组数,用极差除以组数得到所分的组距.
2. 确定每组的范围.保证每个数据只属于一组.
25
6.5
频
数
分
布
表
和
频
数
分
布
直
方
图
3. 列频数分布表.统计每组中数据出现的频数.
4. 画图.用横轴表示分组数据,用纵轴表示频数,画频数分布
直方图.其中长方形的宽度表示组距,高度表示频数.
1. 在上述的身高问题中,尝试把数据分成4组和20组,分别
画出频数分布直方图.
2. 你觉得分成4组、10组和20组哪个比较合适?
频数分布直方图与以前学习的条形统计图各有特点.在条形统
计图中,横轴表示分类数据的类别,纵轴表示各类对象的数量.在
频数分布直方图中,横轴表示数据的数值变化范围,纵轴表示相应
范围内数据的频数.
1. 根据某森林动物园监测的40只梅花鹿体重的频数分布直方
图(每组包含起点值,不包含终点值),回答下列问题:
(1)体重在哪个范围内的梅花鹿最多?
(2)体重不低于99.5kg的梅花鹿占全园梅花鹿的百分之几?
(第1题)
第6 章
数据的收集、整理与描述
26
2.100名学生参加消防安全知识竞赛的成绩(单位:分)分组及
各组的频数如下:
成绩x/分
频数
82≤x<84
2
84≤x<86
5
86≤x<88
11
88≤x<90
15
90≤x<92
21
92≤x<94
19
94≤x<96
13
96≤x<98
9
98≤x<100
5
画出这组数据的频数分布直方图.
1. 为了调查某市噪声污染情况,该市环保部门抽样调查了40个噪声
测量点的噪声声强级,结果如下(每组包含起点值,不包含终点值):
ႎ މ
(第1题)
(1)在噪声最高的测量点,其噪声声强级在哪个范围?
(2)噪声声强级低于65dB的测量点有多少个?
27
6.5
频
数
分
布
表
和
频
数
分
布
直
方
图
2. 某水产研究人员测量了50尾小黄鱼的体长,所得数据(单位:
mm)如下:
184 199 242 218 271 208 191 241 218 217
270 188 230 230 216 266 191 202 196 196
211 240 256 190 224 201 250 223 200 223
238 228 183 212 221 227 227 236 208 203
213 212 184 172 246 252 254 244 240 220
(1)按组距为10将上述数据分组,并列出频数分布表,绘制频
数分布直方图.
(2)根据频数分布表、频数分布直方图,对小黄鱼的生长情况你
能获得哪些信息?
统计的力量
19世纪中叶,霍乱曾发生大流行,夺走了无数人的生命.那时,
医学界普遍认为空气中传播的恶臭是霍乱爆发的根源.一位名叫约
翰· 斯诺(J.Snow,1813—1858)的医生却怀疑水污染才是真正原因,
但没人相信他的推测.斯诺想到了调查患者饮用水的来源.他敲开大
量患者家的门,调查他们的饮用水源,并把死者的住址在地图上标注
出来,地图直观显示了死者的住址大多在一处名叫宽街水泵的水井周围
(如图,黑色小长方形代表死亡病例,P代表宽街水泵).
当地的管理者根据斯诺的统计结果,采取了管理水源的相关措施,
当地的霍乱逐渐平息.很久之后,人们终于在显微镜下发现霍乱细菌,
直到19世纪末,细菌致病论得到医学界普遍认可.
第6 章
数据的收集、整理与描述
28
6.6
统计案例: 初中生的视力
情况调查
要估计本地区初中生的视力不良率,如何调查?
5名学生分别采用如下方式对本地区初中生的视力情况进行调
查,并计算视力不良率(视力低于5.0为视力不良):
学生A在本地某家眼镜店调查了50名初中生的视力,并根据
调查结果(图6 12),算得这50名学生的视力不良率为96%,由此
估计本地区初中生的视力不良率接近95%.
初中生视力条形统计图
图6 12
初中生视力扇形统计图
图6 13
学生B在邻居中调查了20名初中生的视力,并根据调查结果(图
6 13),算得这20名学生的视力不良率为75%,由此估计本地区初中
初中生视力折线统计图
图6 14
生的视力不良率在75%左右.
学生C调查了所在初中学校
每个年级10名学生的视力,并
根据调查结果(图6 14),算得
这30 名学生的视力不良率为
53.3%,由此估计本地区初中生
的视力不良率为53.3%.
29
6.6
统
计
案
例
初
中
生
的
视
力
情
况
调
查
学生D查阅了本地区每所初中在籍学生视力的资料,并计算出
本地区初中生的视力不良率为66.1%.
学生E采用简单随机抽样的方法随机调查了本地区10%的初中
生的视力,并通过对数据的整理、描述、分析,得到这10%的初中
生的视力不良率约为62.7%,由此估计本地区初中生的视力不良率
为62.7% .
哪一名学生的估计比较可靠? 说说你的理由.
为了全面了解该地区初中生的视力分布情况,可以在简单随机
抽样的基础上利用频数分布直方图分析初中生视力的分布情况.
例如,从该地区2万名初中生中抽查300名学生的视力.考虑
不同年级的学生的视力可能有较明显差异,采用简单随机抽样的方
法从每个年级中各抽查100名学生的视力,整理如下:
学生视力统计表
视力x
4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.25.3
频
数
七年级
0
0
0
0
0
0
4
4
8
16 25 30
9
4
八年级
0
0
0
0
3
6
5
5
15
8
28 21
6
3
九年级
0
1
2
1
6
5
6
7
12 14 24 15
5
2
合计
0
1
2
1
9
11 15 16 35 38 77 66 20
9
七~九年级各100名学生视力频数分布表
视力x
3.95≤x
<4.15
4.15≤x
<4.35
4.35≤x
<4.55
4.55≤x
<4.75
4.75≤x
<4.95
4.95≤x
<5.15
5.15≤x
<5.35
频
数
七年级
0
0
0
8
24
55
13
八年级
0
0
9
10
23
49
9
九年级
1
3
11
13
26
39
7
合计
1
3
20
31
73
143
29
第6 章
数据的收集、整理与描述
30
100名七年级学生视力频数分布直方图
图6 15
100名八年级学生视力频数分布直方图
图6 16
100名九年级学生视力频数分布直方图
图6 17
七~九年级各100名学生视力频数分布直方图
图6 18
从上面的视力统计表、视力频数分布表和视力频数分布直方图
中,你能获得哪些信息?
某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法,对本校八年
级学生上周末家庭劳动时间(单位:min,按整数分钟计)进行
了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成频数分布直方图:
31
6.6
统
计
案
例
初
中
生
的
视
力
情
况
调
查
根据提供的信息回答问题:
(1)该研究性学习小组抽取的样本容量是多少?
(2)在所抽查的学生中,周末家庭劳动时间超过120min的
频率是多少?
(3)你对该校八年级学生周末家庭劳动时间做怎样的分
析、推断?
1. 某校组织九年级480名学生参加了一次前沿科技知识竞赛,并
采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的竞赛成绩进行
分析,绘制成下表(72分及以上为“及格”,96分及以上为
“优秀”):
九年级前沿科技知识竞赛成绩抽样统计表
样本
容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
极差
88
120
45
分数段统计表
分数x
36≤x<48
48≤x<60
60≤x<72
72≤x<84
频数
4
9
频率
0.04
0.08
分数x
84≤x<96
96≤x<108
108≤x<120
120≤x<132
频数
10
6
1
频率
0.28
0.12
(1)填写表中的空格;
(2)从两个不同角度对本次竞赛的总体情况做出评价.
第6 章
数据的收集、整理与描述
32
2. 下列两小题选做一题:
(1)登录国家统计局的官网,在“数据—数据查询”栏目中,选
择一组数据,利用统计图表分析这组数据的分布情况;
(2)选择一个田径项目(如100m 跑或投掷实心球),调查本班同
学的测试数据,制作所得数据的频数分布表和频数分布直方
图,利用所制图表描述数据的分布情况.
统计图的误用
日常生活中有各种统计图,我们要学会从“图”中获取有价值的信
息,也要学会分辨一些绘制错误并可能误导我们的统计图.
例如,观察图1,你可能会得出这样的结论:喜欢足球的学生数是
喜欢篮球的学生数的4倍,但实际上喜欢足球的学生数是喜欢篮球的
学生数的1.02倍.如图2,你可能会认为B品牌手机市场占有率最
大,实际上市场占有率最小.
学生喜爱的运动统计图
图1
各种品牌手机市场占有率统计图
图2
绘制统计图的目的是真实地展现数据,反映数据蕴含的信息.绘
制统计图时,要清晰、准确;分析统计图时,要依据数据的特征,对数
据来源、描述数据的方法以及给出的结论进行合理的分析,从数据、图
表中尽可能地挖掘信息.
33
小结与思考
1. 本章知识结构:
本章主要学习数据分析的基础知识,包括数据的收集、整理与
描述.其中,数据的收集有多种途径,重要的是保证数据的真实性
和代表性;数据的整理包括分类、排序、统计频数与频率等;描述
数据时应选择合适的统计图.
2. 为了对总体特征的估计、推断更加可靠,抽样时要注意样本
的代表性,为此,可以采用简单随机抽样的方法.
3. 利用数据分析与解决问题的一般步骤如下:
本章的统计案例在一定程度上反映了上述过程.通过经历完整
的统计活动,可以帮助我们初步学会根据问题背景设计收集数据的
方法,体会抽样的必要性和数据分析的合理性,形成与发展数据观
念和应用意识.
4. 根据频数分布直方图,你可以分析一组数据的哪些分布特点?
34
复习题
复习巩固
1. 下列调查是用普查好,还是用抽样调查好? 说说你的理由.
(1)夏季冷饮市场上冰淇淋的质量;
(2)某本书中的印刷差错率;
(3)对学校建立英语角的支持率;
(4)公民保护环境的意识水平.
2. 据初步统计,大熊猫国家公园某区域的脊椎动物中,兽类、
鸟类、两栖和爬行类、鱼类的种类之比约为18∶43∶10∶11.
(1)根据上述信息画出扇形统计图;
(2)如果该区域中兽类约有141种,那么脊椎动物大约共有
多少种?
3. 某企业2018年有员工1920人,2022年有员工2240人.该
企业2018年和2022年员工分布情况如图:
2018年某企业员工
分布扇形统计图
2022年某企业员工
分布扇形统计图
(第3题)
(1)该企业2022年员工比2018年增加了百分之几?
(2)该企业2022年和2018年男性员工各占百分之几?
(3)该企业2022年男性员工比2018年男性员工增加了多少?
该企业男性员工的百分数也增加了吗?
35
4. 某校八年级640名学生在急救技能培训前后各参加了一次
水平相同的测试,并以同一标准分成“不合格” “合格”
“优秀”三个等级.为了解培训效果,用简单随机抽样调
查的方式从中抽取32名学生的两次测试等级,并绘制成条
形统计图:
(第4题)
(1)这32名学生经过培训,测试等级“不合格”的百分比比
培训前减少了多少?
(2)估计该校八年级学生中,培训前后测试等级为“合格”
与“优秀”的学生各有多少名.
5. 为了解某新款企业即时通讯软件的使用情况,统计了用户某
天使用该软件打视频电话的通话时间及次数,并列出频数分
布表:
通话时间x/min
频数(通话次数)
0<x≤5
24025
5<x≤10
16802
10<x≤15
8035
15<x≤20
10010
20<x≤25
16308
(1)用户使用该软件一共打了多少次视频电话?
(2)求通话时间不超过15min的频数和频率.
36
6. 为了解某长途汽车站旅客的候车情况,抽样调查了该站部分
旅客的候车时间,并列出频数分布表如下(单位:min):
候车
时间t0<t≤1010<t≤2020<t≤3030<t≤4040<t≤5050<t≤60
频数
5
6
13
10
9
7
(1)共多少名旅客参加了本次调查?
(2)绘制相应的频数分布直方图,说说你获得的信息.
灵活运用
7. 农业科研人员在试验田里种植了新品种小麦,为了了解麦
穗的生长情况,抽取了100个麦穗,量得麦穗长度如下(单
位:cm):
6.3 5.8 5.5 5.3 6.0 6.4 6.8 6.2 5.8 6.5
5.7 5.3 6.2 6.4 5.4 5.8 6.0 5.4 5.5 6.4
6.8 7.0 6.1 5.7 6.5 5.9 6.3 5.0 6.0 6.7
6.1 6.0 5.3 6.7 6.0 5.7 5.5 5.0 6.5 5.8
4.5 6.0 6.2 6.2 6.8 6.8 5.0 6.8 5.1 5.9
5.6 5.9 6.8 5.6 5.8 6.6 6.3 6.0 6.5 5.9
6.3 5.4 6.6 6.0 6.3 6.0 5.2 5.0 5.3 5.2
6.0 6.0 4.7 6.7 6.0 6.4 5.7 5.9 4.0 6.0
5.8 5.2 5.7 6.7 6.3 5.7 7.0 6.0 5.5 5.4
6.3 6.0 5.7 6.0 5.6 7.4 6.4 5.5 5.8 4.6
(1)指出这次调查的总体、个体、样本和样本容量.
(2)列出样本的频数分布表,绘制频数分布直方图.
(3)根据样本的频数分布表、频数分布直方图,你能获得哪些
信息? 对该品种小麦麦穗长度的分布情况做出怎样的
估计?
37
8.A,B品牌牛奶销售增长率折线统计图如下:
(第8题)
(1)B品牌牛奶的销售量比A品牌多吗? 为什么? 你认为要
做出这样的推断还需要什么信息?
(2)从折线统计图中你能获得哪些信息?
探索研究
9. 利用中国气象网站查询国内30个城市当天的最高温度和最
低温度,用表格记录数据.用合适的统计图表示上述数据,
并结合统计图描述这30个城市当天的气温情况.
10. 记录自己一天的作息时间,并寻找一位你熟悉的人,调查
他(她)一天的作息时间.列出你们每天做各项活动时间
的统计表(如学习时间、体育活动时间、用餐时间等),并
用合适的统计图表示,谈谈你的感受.
38
综合与实践
国内生产总值(GDP) 与生活
一、问题情境
国内生产总值(GrossDomesticProduct,简称GDP)是国际上
通行的、用于衡量一个国家(或地区)经济运行规模的宏观经济指
标,其在政治、经济、外交、
研究等领域具有广泛应用.
GDP和我们日常生活中
的哪些数据有关系? 是否可
以根据已有数据预测未来的
GDP发展趋势?
二、学习任务
1. 查询资料.了解GDP的经济学含义与核算方法.
2. 收集数据.通过国家统计局官方网站或者《中国统计年鉴》
查询GDP数据,数据范围可以是全国的,也可以是部分地区的,
或者是某一个时间阶段的.
3. 整理描述数据.根据收集的数据,列出统计表,选择合适的
统计图描述这些数据.你有什么发现?
4. 分析数据.为了解最近十年GDP随时间变化的大致趋势,
建立以年份为横坐标,GDP为纵坐标的坐标系,并且画出对应的
点,得到散点图.
5. 预测.根据散点图,预测未来的GDP发展趋势.
6. 应用.在国家统计局官方网站或者《中国统计年鉴》中查询
其他统计数据的情况,分析此数据和GDP的关系.
39
三、交流展示
图1是2008—2021年我国GDP散点图,根据图中的数据讨论
下列问题:
(1)说说我国GDP的发展规律.
我国GDP散点图(2008—2021)
图1
(2)图2是2008—2021年我国高铁营业里程散点图,结合历年
GDP的发展趋势,你有什么发现?
我国高铁营业里程散点图(2008—2021)
图2
(3)你还能通过哪些统计数据进一步说明GDP与我们日常生活
之间的联系(如消费品零售总额)? 可自主选择某一方面进行阐述.
四、拓展应用
以小组为单位,在国家统计局官方网站上查阅(或调查本地统计
局)近十年本地GDP及三次产业的相关数据,分析本地三次产业的发
展状况(也可以聚焦一个自己感兴趣的产业),完成一篇统计调查报告.
第7 章
认识概率
40
认识概率
现实世界中有各种各样的随机事件,
它们发生的可能性有大有小.本章将学习
反映随机事件发生可能性大小的一种度量:
概率.
随机事件具有不确定性.抛掷一枚质
地均匀硬币时正面朝上的概率是0.5,但
这并不意味着每投掷两次硬币一定有一次
正面朝上.在学习中,我们需要逐步感悟
概率的思想方法.
“偶然”无处不在.研究概率可以帮
助人们发现那些“偶然”现象背后的一般
规律.
7
小明家想去首都北京旅游,他们计划游览八达岭长城、中国国
家博物馆、颐和园三个景点.
临行前小明查阅了北京未来几天的天气预报:
根据天气预报情况,请对小明家在北京的行程安排提出合
理的建议.
小明家计划乘坐飞机前往北京,查阅各个航空公司的资料后,
他们决定在A,B两家航空公司相同票价、相同时段的两个航班中
选择.上个月A,B两家航空公司所有航班的准点情况如下:
航空公司
航班量
准点率
A
44464
87.42%
B
2117
93.01%
你会建议他们选择哪家航空公司呢?
第7 章
认识概率
42
7.1
随机事件
在某次国际乒乓球单打比赛中,甲、乙两名中国选手进入最
后决赛.
(1)该项比赛的冠军属于中国选手吗?
(2)该项比赛的冠军属于外国选手吗?
(3)该项比赛的冠军属于中国选手甲吗?
在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定不会发生,这
样的事件是不可能事件(
impossibleevent).例如, “上述比赛中,
冠军属于外国选手”以及“明天太阳从西方升起”等都是不可能事
件.在一定条件下,有些事件我们事先能确定它一定会发生,这样
的事件是必然事件(certainevent).例如,“上述比赛中,冠军属于
中国选手”以及“抛出的硬币会下落”等都是必然事件.
太阳从东方升起
抛掷硬币
在一定条件下,很多事件我们事先不能确定它会不会发生,这
样的事件是随机事件(randomevent).例如,“上述比赛中,冠军属
于中国选手甲” “抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”等都是随机
事件.
举出一些生活中的必然事件、不可能事件和随机事件.
43
7.1
随
机
事
件
从1,2,3,4,5这五个数中随机选取三个数字构成一个三位数,
判断下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)三位数是奇数; (2)三位数大于600; (3)三位数大于120.
?
(1)1,2,3,4,5组成的三位数可能是奇数,也可能是偶数.这是
一个随机事件.
(2)组成的三位数中百位数最大的是5,不可能大于600.这是一个
不可能事件.
(3)组成的所有三位数都大于120,这是一个必然事件.
1. 判断下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)把一根木棒折成三段,首尾相接可以构成一个三角形;
(2)一枚硬币连续抛掷十次,每次都正面朝上;
(3)367人中至少有两人的生日相同;
(4)小明与同桌玩“石头、剪刀、布”的游戏,第一局赢了;
(5)明年植树节不下雨;
(6)在本市妇幼保健医院里,明天出生的女婴比男婴多;
(7)上一赛季表现最好的篮球队将夺得下一个赛季的冠军.
2. 四只不透明的袋子中都装有4个球,这些球除颜色外都相
同,将球摇匀.判断下列事件是必然事件、不可能事件,
还是随机事件,并说明理由.
(1)
(2)
(3)
(4)
(第2题)
第7 章
认识概率
44
(1)从第一只袋子中任意摸出1个球,该球是红球;
(2)从第二只袋子中任意摸出1个球,该球是红球;
(3)从第三只袋子中任意摸出1个球,该球是红球;
(4)从第四只袋子中任意摸出1个球,该球不是黑球;
(5)从这四只袋子中各摸出1个球,其中有2个红球、1个
白球、1个黑球.
1. 判断下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)在标准大气压下,温度低于0℃时冰融化;
(2)一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球,这些球除颜色
外都相同,从中任意摸出的1个球是红球;
(3)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转
盘停止转动时指针落在黄色区域;
(4)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球,这些球除颜
色外都相同,从中任意摸出2个球,其中有红球;
(5)在同一年出生的13名学生中,至少有2人出生在同一个月.
[第1(3)题]
(第2题)
2. 一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1~6的点数,抛掷这
枚骰子:
(1)朝上一面的点数可能是6吗? 可能是0或8吗?
(2)朝上一面可能出现哪些点数? 能事先确定出现哪一种结
果吗?
45
7.2
概
率
7.2
概率
1. 如图7 1,质地均匀的小立方体的两个面上标有数字1,
四个面上标有数字2.
(1)抛掷这个小立方体一次,猜想“朝上一面的数字为1”与
“朝上一面的数字为2”这两个事件中,哪一个发生的可能性大?
(2)全班同学每人抛掷这个小立方体1次,记录朝上一面的
数字,并将试验结果填入下表:
图7 1
试验结果
划 记
频 数
频 率
朝上一面的数字为1
朝上一面的数字为2
(3)你做出的猜想与试验结果一致吗?
2.转动如图7 2的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等).
(1)猜一猜,当转盘停止转动时指针落在哪种颜色区域的可
能性最大? 落在哪种颜色区域的可能性最小?
(2)全班同学每人转动转盘1次,当转盘停止转动时,记录
指针所落区域的颜色,并将试验结果填入下表:
图7 2
试验结果
划 记
频 数
频 率
指针落在红色区域
指针落在黄色区域
指针落在绿色区域
(3)你做出的猜想与试验结果一致吗?
在上面的试验中,由于小立方体上标有数字1和2的面数不等,
所以随机事件“朝上一面的数字为1”与“朝上一面的数字为2”发
第7 章
认识概率
46
生的可能性是不一样的.同理,由于不同颜色区域的面积不等,所
以指针落在不同颜色区域的可能性也不一样.
一般地,随机事件发生的可能性有大有小.我们把用于度量一
个随机事件发生的可能性大小的数值,称为这个事件发生的概率
(probability).如果用字母A 表示一个事件,那么P(A)表示事件
A 发生的概率.
通常规定,必然事件A 发生的概率是1,记作P(A)=1;不可
能事件A 发生的概率是0,记作P(A)=0;随机事件A 发生的概率
P(A)是0和1之间的数,例如,某种彩票中特等奖的概率是2142
万分之一,明天的降水概率是65% .
如图7 3,五只不透明的袋子中各装有10个球,这些球除颜色外都
相同.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
图7 3
(1)将球搅匀,分别从每只袋子中任意摸出1个球,摸到白球的概率
一样大吗? 为什么?
(2)将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列.
1. 估计下列事件发生的概率的大小,将这些事件的序号按发
生的概率从小到大的顺序排列:
(1)一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球,这些球
除颜色外都相同,从中任意摸出的1个球是白球;
(2)抛掷1枚质地均匀的骰子,向上一面的点数是偶数;
(3)随意调查商场中的一名顾客,他是闰年出生的;
47
7.2
概
率
(第2题)
(4)随意调查一名青年,他接受过九年义务教育;
(5)在地面上向上抛掷一个小石块,石块会下落.
2.如图,质地均匀的小立方体的三个面上标有数
字3,两个面上标有数字2,一个面上标有数字
1.抛掷这个小立方体,朝上一面的数字有哪几
种不同的结果? 哪种结果出现的概率最大?
1. 从一副扑克牌中任意抽取1张.
(1)抽到的牌是“A”;
(2)抽到的牌是“红心”;
(3)抽到的牌是“大王”;
(4)抽到的牌是“红色的”.
估计上述事件发生的概率的大小,将这些事件的序号按发生的概
率从小到大的顺序排列.
2. 转动如图所示的各个转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转
盘停止转动时,估计随机事件“指针落在红色区域”的概率的大
小,并将转盘的序号按事件发生的概率从小到大的顺序排列.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(第2题)
3. 任意抛掷一个塑料瓶盖,可能出现三种情况:
(第3题)
请你抛掷一个塑料瓶盖100次,用频数分布表统计抛掷的结果.
第7 章
认识概率
48
7.3
频率与概率
频率的稳定性
足球比赛开场时,常用抛硬币决定谁先发球.大家相信:
正面朝上和反面朝上的可能性相同.为什么大家都相信这一
点呢?
下面是小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据
及绘制的折线统计图(图7 4).
抛掷次数n
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
正面朝上的频数m
20
53
70
98
115 156 169 202 219 244
正面朝上的频率m
n
0.400.530.470.490.460.520.480.510.490.49
图7 4
从折线图可以直观地看出,抛掷一枚质地均匀的硬币时,出现
“正面朝上”的频率多数情况下都在0.5附近摆动,而且抛掷的次数
越多,频率越稳定在0.5附近.
49
7.3
频
率
与
概
率
下表是自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币试
验”获得的数据:
试验者
试验
次数n
正面朝上的
频数m
正面朝上的频率m
n
德·摩根
(A.DeMorgan,1806—1871)
2048
1061
0.5181
布丰
(G.
-L.L.Buffon,1707—1788)
4040
2048
0.5069
皮尔逊
(K.Pearson,1857—1936)
12000
6019
0.5016
24000
12012
0.5005
从表格中可以看出,大量重复“抛掷一枚质地均匀的硬币”的
试验中,随机事件“硬币正面朝上”的频率在0.5附近摆动.
像这样,在大量重复试验中,一个随机事件发生的频率在某一
个常数附近摆动,并趋于稳定,我们把这种现象称为频率的稳定
性,并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率.因此,随机
事件“抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上”的概率是0.5.这与
我们的生活经验是一致的.
研究女婴出生率,对人口统计很重要.统计学家克拉默
(H.Cramér,1893—1985)得到瑞典1935年的婴儿出生数据如下:
时间范围
前2月
前4月
前6月
前8月
前10月
全年
出生婴儿数/人
14237
30004
45505
60483
74589
88273
出生女婴数/人
6944
14521
21961
29178
36060
42591
女婴出生的频率
(1)填写表中的空格.
(2)画出女婴出生频率的折线图.
(3)你认为女婴的出生频率稳定吗? 由此可以估计女婴出生的
概率吗?
第7 章
认识概率
50
用频率估计概率
任意抛掷1枚图钉,通常会出现下面两种情况.你认为是
“钉尖着地”的概率大,还是“钉尖不着地”的概率大?
钉尖着地 钉尖不着地
(1)做抛掷图钉试验,并将获得的数据填入下表:
抛掷次数n
100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 …
钉尖不着地的频数m
钉尖不着地的频率m
n
(2)根据上表,画出折线统计图:
ՃϢᆂԙԅ
ᄟұ
211 311 411 511 611 711 811 911 :11 1 000
2/1
1/:
1/9
1/8
1/7
1/6
1/5
1/4
1/3
1/2
1
(3)观察所画的折线统计图,你发现了什么? 与同学交流.
概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量.在大量重复试
验中,随机事件发生的频率具有稳定性. 实际生活中,能够进行大
量重复试验的随机事件,可以通过频率估计概率.
51
7.3
频
率
与
概
率
为了鉴定和评价新品种绿豆,对3000粒绿豆种子在相同条件下进行
发芽试验,发芽2790粒,估计这种绿豆种子发芽的概率.
?
3000粒种子在本次试验中发芽的频率是2790
3000=0.93,可以把0.93
作为这种绿豆种子发芽的概率的估计值.
在抛掷图钉试验中小明抛了10次,发现6次钉尖不着地,频率
是0.6,小丽抛了300次,发现210次钉尖不着地,频率是0.7,你
认为用哪个频率估计概率更可靠?
某射击运动员在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n
10
20
40
50
100
200
500 1000
击中10环的频数m
9
19
36
44
91
179
454
905
击中10环的频率m
n
(1)填写表中的空格,并画出该射击运动员击中10环的频率的
折线统计图;
(2)该射击运动员击中10环的概率的估计值是多少?
1.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下:
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
283
380
571
948
1912
2848
发芽的频率m
n
(精确到0.001)
(1)填写表中的空格,并画出这种油菜籽发芽频率的折线统计图;
(2)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少?
2. 某批篮球要进行质量检测,第一季度抽查200只篮球,优等品
192只.从这批篮球中,任意抽取的一只篮球是优等品的概率的
估计值是多少? 若第二季度再进行抽查,结果会不会有变化?
52
摸球试验
一只不透明的袋子中装有白球和红球共10个,这些球除颜色
外都相同.从中任意摸出1个球,记录颜色后将球放回袋子中并
摇匀.
(1)每人摸球30次,把结果填入下表.
摸球次数
“摸到白球”的次数
“摸到红球”的次数
(2)汇总小组每位同学的试验结果,估计“摸到白球”与
“摸到红球”的概率.
(3)根据试验结果,猜一猜:袋子中的白球和红球各有几个?
(4)打开袋子,验证一下:你的猜想正确吗?
(5)在生活中,常会听到有人说对某件事的判断“十拿九
稳”.你能用随机事件的概率解释这种现象吗? 你自己是否也有过
“十拿九稳”的感觉?
53
小结与思考
1. 本章知识结构:
本章在小学数学的基础上对各种事件进行了分类,用概率描
述事件发生的可能性大小,研究某些随机事件发生的规律.
2. 概率是对随机事件发生的可能性大小的一种度量,概率越
大,事件发生的可能性也越大,但并不一定发生.我们可以借助
生活中的各种例子理解随机事件的这种特点.
3. 在实际生活中,一些能够进行大量重复试验的随机事件,
可以通过频率来估计概率,这是获得事件发生概率的常用方法.
通过经历这种过程,感悟频率的稳定性,知道可以用频率估计概
率;体会数据的随机性,以及概率与统计的关系,形成与发展数
据观念.
4. 为什么可以认为“抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的
概率是0.5”? 如果你连续抛掷10次,是不是就有5次正面朝上?
有可能10次都正面朝上吗?
54
复习题
复习巩固
1. 判断下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)任意画一个三角形,它的内角和是180°;
(2)10张相同的小标签分别标有数字1~10,从中任意抽取
1张,抽到8号签;
(3)同时抛掷两枚质地均匀的六个面刻有点数1~6的骰子,
朝上一面的点数之和为13;
(4)射击运动员连续射击两次,均命中靶心.
2. 根据天气预报,某市明天降水概率是20% .下列说法正确吗?
(1)该市明天将有20%的地区降水;
(2)该市明天将有20%的时间降水;
(3)该市明天降水的可能性不大;
(4)该市明天肯定不会降水.
3. 如图,转盘中八个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,
(第3题)
当转盘停止转动时,估计下列事件发生
的概率的大小,并将这些事件的序号按
发生的概率从小到大的顺序排列:
(1)指针落在标有5的区域内;
(2)指针落在标有大于1的数的区域内;
(3)指针落在标有有理数的区域内;
(4)指针落在标有奇数的区域内.
4. 估计下列事件发生的概率的大小,将这些事件的序号按发生
的概率从小到大的顺序排列:
(1)水中捞月;
(2)购买1张福利彩票中奖;
(3)周一交通高峰时段在市中心遇上堵车;
(4)玩“石头、剪刀、布”游戏,出“剪刀”获胜.
55
5. 某批乒乓球的质量检验结果如下:
抽取的乒乓球数n
50
100
200
500
1000 1500 2000
次品的频数m
2
5
12
29
54
74
102
次品的频率m
n
(精确到0.001)
(1)填写表中的空格;
(2)画出次品频率的折线统计图;
(3)从这批乒乓球中,任意抽取的一只乒乓球是次品的概率
估计值是多少?
灵活运用
6. (1)在一个小立方体的六个面上分别写上数字.抛掷这个小
立方体,使“朝上一面的数字为1”比“朝上一面的数
字为8”出现的概率大;
(2)设计一个转盘,使转盘停止转动时, “指针落在红色区
域”与“指针落在白色区域”出现的概率一样大.
7. 一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球,
这些球除颜色外都相同.将球摇匀,从中任意摸出1个球.
(1)能事先确定摸到的这个球的颜色吗?
(2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大?
(3)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数,使摸到这三
种颜色的球的概率相等?
(4)如果要使从中摸出白球的概率最大,至少需要往袋子中
增加几个白球?
探索研究
8. 与同伴合作,设计并完成“抛掷两枚质地均匀的硬币”的试
验,估计“两枚硬币的正面都朝上”和“两枚硬币中一枚正
面朝上、一枚正面朝下”的概率,并用频率估计概率的方法
检验你的估计.
56
综合与实践
谚语与概率
一、问题情境
生活中有大量随机现象,数学家拉普拉斯(P.
-S.Laplace,
1749—1827)说:生活中最重要的问题,绝大部分其实只是概率
问题.
自古以来人们就会根据经验对随机现象形成判断,这种基于长
期经验积累的判断往往以谚语的形式流传,如“夜里星光明,明朝
依旧晴”“朝霞不出门,晚霞行千里”“大雁不过九月九,小燕不过
三月三”等.
生活中,有哪些和随机现象有关的谚语? 这些谚语和概率有怎
样的联系?
二、学习任务
1. 气象谚语广为流传,如“乌云脚底白,定有大雨来”等.请
查询一些和天气有关的谚语.
(1)以谚语“小暑热得透,大暑凉飕飕”作为研究对象,上网
查找资料,并进行数据汇总(调查时间跨度不少于25年).
57
地区
年份
小暑温度/℃
大暑温度/℃
是否符合谚语描述
不符合
基本符合
完全符合
(2)整理数据,结合数据说说对“小暑热得透,大暑凉飕飕”
这句谚语的理解.
2. 查找与小概率事件相关的谚语,如“不怕一万,就怕万一”
“智者千虑,必有一失”等.举例说明,为什么小概率事件也可能
发生.
3. 查找与必然事件和不可能事件相关的谚语,如“种瓜得瓜,
种豆得豆”“竹篮打水一场空”“葫芦藤上结南瓜”等,并说明判断
理由.
三、交流展示
1. 每个小组展示收集到的各种谚语,分析与比较这些谚语所指
随机事件的可能性大小及在日常生活、生产中的意义.
2. 讨论是否可以用频率的稳定性解释谚语的形成过程.
四、应用拓展
1. 查阅资料,了解生活中有哪些经验与随机现象有关,谈谈你
对随机现象与概率的理解.
2. 气象预报和研究中用到了很多概率统计知识.通过网络查询
或去气象台实地访问,了解与气象预报有关的信息,并与同学
交流.
58
四边形
四边形是平面几何的基本图形.本章将学习
平行四边形的定义、性质、判定和简单应用.
全等三角形、平行线的性质等是研究平行四
边形的基本工具.学习本章时,要注意平行四边
形与特殊平行四边形(矩形、菱形、正方形)之间
的关系.此外,还可以从图形变换的角度研究平
行四边形.
平行四边形有很多特殊的几何性质,是解决
其他几何问题的重要工具.
8
AB ∥CD,AD ∥BC
小学里,我们已经认识了平行四边形.你知道如何构造一个平
行四边形吗?
在太阳光的照射下,尝试改变长方形卡纸的摆放角度,观
察卡纸的影子有哪些不同的形状.
请画出这些“影子四边形”,并说一说它们的特征、共性、联
系和区别.
如右图,连接四根细木条的端点,
做一个长方形木框,尝试改变木
框的形状,在变形的过程中,哪
些度量大小和图形位置关系发生
了变化? 哪些不变?
第8 章
四边形
60
8.1
平行四边形
平行四边形的概念与性质
下面的图片中有你熟悉的图形吗?
在上图中,我们可以观察到不同的平行四边形,它们都是由两
组平行线围成的.
图8 1
两组对边分别平行的四边形叫作
平行四边形(parallelogram).
图8 1中的四边形ABCD 是平行四
边形,记作“▱ABCD”,读作“平行四
边形ABCD”.
图8 2
如图8 2,把一张平行四边形
纸片ABCD 沿对角线AC 剪成两个
三角形.△ABC 与△CDA 可以重合
吗? 为什么?
61
8.1
平
行
四
边
形
图8 3
如图8 3,在▱ABCD 中,AC
是对角线.
由AB ∥CD,AD ∥BC,可得
∠1= ∠2,∠3= ∠4.又因为AC=
CA,所以△ABC≌△CDA .
由此可得AB =CD,BC =DA,∠B= ∠D,∠BAD = ∠DCB .
于是,我们得到平行四边形的性质定理1:
平行四边形的对边相等,对角相等.
如图8 4,在▱ABCD 中,BD 是对角线,AE⊥BD,CF⊥BD,垂
图8 4
足分别为E,F.求证:AE=CF.
@ᬻ
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =CB,AD ∥BC(平行四边形的
性质定理1).
∴∠ADE = ∠CBF .
∵AE ⊥BD,CF ⊥BD,
∴∠AED = ∠CFB =90°.
在△AED 和△CFB 中,
∠ADE = ∠CBF,
∠AED = ∠CFB,
AD =CB,
∴△AED ≌△CFB .
∴AE =CF .
第8 章
四边形
62
在图8 4中,有哪几对三角形成中心对称? 你能找到对称中心吗?
(第3题)
1. 如图,在▱ABCD 中,对角线BD 的长为7.若△ABD 的
周长为15,求▱ABCD 的周长.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,∠B=50°.求这个四边形的其他内角
的大小.
3. 如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别
在边BC,AD 上,AE∥CF .求证:
AE=CF,BE=DF .
我们已经知道了平行四边形中与边、角相关的性质,下面研究
平行四边形中与对角线相关的性质.
图8 5
如图8 5,在▱ABCD 中,连接
AC,BD,相交于点O .观察图形,你
有什么发现?
如图8 5,在▱ABCD 中,由AB ∥CD,可得∠BAC = ∠DCA,
∠ABD = ∠CDB .又因为AB =CD,所以△OAB ≌△OCD .
由此可得OA =OC,OB =OD .
63
8.1
平
行
四
边
形
于是,我们得到平行四边形的性质定理2:
平行四边形的对角线互相平分.
如图8 6,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,BC =7,BD =
图8 6
10,AC =6.求△AOD 的周长.
?
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =BC =7.
∵BD =10,AC =6,
∴OA =OC = 1
2AC =3,
OD =OB = 1
2BD =5(平行四边形的性质定理2).
∵AD+OD+OA=7+5+3=15,
∴△AOD 的周长为15.
图8 7
如图8 7,将平行四边形纸片ABCD 绕
对角线的交点O 旋转180°,你有什么发现?
平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.
第8 章
四边形
64
如何画一条直线,将一个平行四边形分成面积相等的两部分?
(第1题)
1. 如图,▱ABCD 的对角线AC,
BD 相交于点O .写出图中的全
等三角形.
2. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点O 作
一条直线,分别交BA,DC 的延长线于点E,F .求证:
OE=OF .
(第2题)
(第3题)
3.如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的对角线AC与BD 的
交点是原点O.已知点C的坐标是(
1,1),写出点A的坐标.
平行四边形的判定
如果一个四边形是平行四边形,那么它的两组对边分别平行且
相等,两组对角分别相等,对角线互相平分.反过来,四边形满足
哪些条件就一定是平行四边形呢?
用细木条做一个两组对边分别
相等的四边形小木框,它一定是平
行四边形吗?
65
8.1
平
行
四
边
形
图8 8
如图8
8,在四边形ABCD 中,
AB =CD,BC =DA .
连接AC,由AB =CD,BC =DA,
AC =CA,可得△ABC ≌△CDA .于是
∠1= ∠2,∠3= ∠4.所以AB ∥DC,
AD ∥BC .
所以四边形ABCD 是平行四边形.
于是,我们得到平行四边形的判定定理1:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如果四边形只有一组对边相等,能判定它是平行四边
形吗?
第8 章
四边形
66
如图8 9,在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB =CD .
图8 9
连接AC,由AB∥CD,可得∠1=∠2.又
因为AB = CD,AC = CA,所以△ABC ≌
△CDA,于是AD =CB .
所以四边形ABCD 是平行四边形.
于是,我们得到平行四边形的判定定理2:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
图8 10
如图8 10,在▱ABCD 中,点E,F 分
别在边AD,BC 上,AE=CF .连接
BE,DF .求证:四边形BFDE 是平行
四边形.
要证四边形BFDE 是平行四边形,只要证DE=BF .
@ᬻ
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =CB,AD ∥BC .
∵AE =CF,
∴AD -AE =BC-CF,
即 DE =BF.
∴四边形BFDE 是平行四边形(平行四边形的判定定理2).
67
8.1
平
行
四
边
形
图8 11
如图8 11,将线段AB 平移至DC 的位
置,连接AD,BC,得到的四边形ABCD 是平
行四边形吗? 为什么?
(第1题)
1. 如图, 在▱ABCD 中, ∠BAD,
∠BCD 的平分线分别交对角线BD
于点M,N.连接AN,CM .求
证:四边形AMCN 是平行四边形.
2. 分别判断满足下列条件的四边形是否为平行四边形:
(1)两组对角分别相等;
(2)一组对边平行,另一组对边相等.
我们知道,平行四边形的对角线互相平分.反过来,如果一
个四边形的对角线互相平分,那么它是平行四边形吗?
第8 章
四边形
68
如图8 12,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,
OA =OC,OB =OD.
图8 12
由OA = OC,∠AOB = ∠COD,
OB =OD,可得△AOB ≌△COD,于是
AB =CD .同理可得AD =CB .
所以四边形ABCD 是平行四边形.
于是,我们得到平行四边形的判定定理3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图8 13
如图8 13,在▱ABCD 中,点E,F 在
对角线AC 上,AE =CF .连接BE,
ED,DF,FB .求证:四边形BFDE 是
平行四边形.
@ᬻ
图8 14
如图8 14,连接BD,交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA =OC,OB =OD .
∵AE =CF,
∴OA -AE =OC-CF,
即 OE =OF.
∴四边形BFDE 是平行四边形(平行四边形的判定定理3).
69
8.1
平
行
四
边
形
图8 15
如图8 15,已知平行四边形的三个
顶点,请用直尺和圆规作出第四个
顶点.
1. 如图,将△ABO 绕点O 旋转180°得到△A'B'O,连接AB',
A'B .四边形ABA'B'是平行四边形吗? 证明你的结论.
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O .E,G
分别是OA,OC 的中点,F,H 分别是OB,OD 上靠近点O
的三等分点.连接EF,FG,GH,HE .求证:四边形
EFGH 是平行四边形.
1. 如图,正六边形中包含六个全等的等边三角形,它包含多少个平
行四边形?
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形,
BC=3.求点A 的坐标.
第8 章
四边形
70
3. 求证:夹在两条平行线之间的平行线段相等.
4. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC,∠ADC 的平分线分别交边AD,
BC 于点E,F .求证:BE ∥DF .
(第4题)
(第5题)
5. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,点E,F 分别在边AB,BC
上,且ED∥BC,EF∥AC .求证:BE=CF .
6. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直
线分别交边AD,BC于点M,N .求证:O是MN 的中点.
(第6题)
(第7题)
7. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E 是边AD
上的一点,EO⊥BD,垂足为O .连接BE .已知▱ABCD 的周
长是15.求△ABE 的周长.
8. 如图,在▱ABCD 中,BD 是对角线,AE⊥BD,CF⊥BD,垂
足分别为E,F .连接AF,CE .求证:四边形AECF 是平行四
边形.
(第8题)
71
8.1
平
行
四
边
形
9. 如图,在△ABC 中,AD 是△ABC 的中线.
(1)用直尺和圆规作图:延长AD 到点E,使DE=AD,连接
BE,CE .
(2)在(1)中所画的四边形ABEC 是平行四边形吗? 证明你的
结论.
(第9题)
(第10题)
10. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,G,H 分别
是OB,OD 的中点,过点O 的直线分别交边BC,AD 于点E,
F .连接EH,HF,FG,GE .求证:四边形EHFG 是平行四
边形.
11.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD,对角线AC,BD 相交于
点O,过点O 的直线分别交边AB,CD 于点E,F,OE =OF .
求证:四边形ABCD 是平行四边形.
(第11题)
第8 章
四边形
72
8.2
特殊的平行四边形
矩形的概念与性质
当停车场的闸门由抬起变为平放状态时,图中的平行四边形变
成了我们熟悉的长方形.
图8 16
如图8 16,有一个角是直角的平行四
边形叫作矩形(rectangle).矩形也叫长
方形.
矩形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的一切
性质外,还具有哪些特殊性质?
图8 17
如图8 17,矩形ABCD 是平行四边形,
∠ABC=90°.由平行四边形的性质,可得矩
形ABCD 的其他三个角都是90°.
连接AC,DB .由AB =DC,∠ABC =
∠DCB,BC =CB,可得△ABC ≌△DCB .
所以AC=DB .
73
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
于是,我们得到矩形的性质定理:
矩形的四个角都是直角,对角线相等.
图8 18
如图8 18,矩形ABCD 的对角线AC,BD
相交于点O, 且AB = 1
2AC .求证:
△AOB 是等边三角形.
@ᬻ
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC =BD (矩形的性质定理),
AO = 1
2AC,BO = 1
2BD .
∵AB = 1
2AC,
∴AO =BO =AB.
∴△AOB 是等边三角形.
矩形是特殊的平行四边形,所以它是中心对称图形.矩形是轴
对称图形吗? 如果是,它有几条对称轴?
第8 章
四边形
74
1. 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠AOD =
120°,AB =4.求AC,BD 的长.
(第1题)
(第2题)
2. 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点C作
BD 的平行线,交AB的延长线于点E.求证:AC =EC.
矩形的判定
矩形的四个角都是直角,对角线相等.反过来,一个四边形满
足哪些条件就一定是矩形呢?
四个角都是直角的四边形是矩形吗?
图8 19
如图8
19,在四边形ABCD 中,
∠A = ∠B = ∠C = ∠D =90°, 可得
∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.于是
AD∥BC,AB∥DC .又因为∠A=90°,
所以四边形ABCD是矩形.
75
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
于是,我们得到矩形的判定定理1:
三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形一定是矩形吗?
用橡皮筋和塑料棒做成对角线相等的平
行四边形,可以发现,平行四边形看上去像是
矩形.
如图8 20,在▱ABCD 中,AC =DB .
图8 20
由AB =DC,BC=CB,AC =DB,可得
△ABC ≌△DCB .于是∠ABC= ∠DCB.又
因为AB ∥CD,所以∠ABC + ∠DCB =
180°.可得∠ABC =90°.
所以▱ABCD 是矩形.
于是,我们得到矩形的判定定理2:
对角线相等的平行四边形是矩形.
第8 章
四边形
76
图8 21
如图8 21,在△ABC 中,∠ACB =90°,
D 是AB 的中点,DE,DF 分别是△BDC,
△ADC 的角平分线.求证:四边形DECF
是矩形.
@ᬻ
∵∠ACB =90°,D 是AB 的中点,
∴CD = 1
2AB =DA =DB.
∵DF 平分∠ADC,
∴DF ⊥AC,
即 ∠DFC =90°.
同理可得∠DEC =90°.
∴四边形DECF 是矩形(矩形的判定定理1).
图8 22
如图8 22,l1∥l2,A,D 是l1 上的任意两
点,AB⊥l2,DC⊥l2,垂足分别为B,C .线段
AB,DC 相等吗? 为什么?
由上面的讨论可知,两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条
直线的距离都相等.我们把这个距离叫作两条平行线之间的距离.
(第1题)
1. 如图,AB 与直线l平行.当点C 在l上
移动时,△ABC 的面积是否为定值? 为
什么?
77
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
(第2题)
2. 如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相
交于点O,点E,F,G,H 分别在OA,
OB,OC,OD 上,AE=BF=CG=DH .
连接EF,FG,GH,HE .求证:四边形
EFGH 是矩形.
菱形的概念与性质
生活中常常见到一种伸缩围栏,它由一些小的平行四边形构
成,这些平行四边形的邻边都相等.
图8 23
如图8 23,有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus).
菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的一切
性质外,还具有哪些特殊性质?
图8 24
如图8 24,在▱ABCD 中,AB=BC,
对角线AC,BD 相交于点O .
由平行四边形的性质定理1,可得AB=
DC,AD=BC .所以AB=BC=CD=DA .
由平行四边形的性质定理2,可得AO=
CO,BO =DO .所以BD ⊥AC,BD 平分
∠ABC和∠ADC,AC平分∠BAD 和∠BCD .
第8 章
四边形
78
于是,我们得到菱形的性质定理:
菱形的四条边相等,对角线互相垂直,每条对角线都平分一组对角.
图8 25
如图8 25,木制活动衣帽架由三个完全
相同的菱形构成.已知菱形ABCD 的边
长为13cm,上、下两排挂钩间的距离AC
为24cm.求挂钩B,M 之间的距离.
?
如图8 26,连接AC,BD,相交于点O .
图8 26
∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠AOB =90°(菱形的性质定理),
AO=1
2AC=1
2×24=12.
∴BO =
AB
2-AO
2 =
13
2-12
2 =5.
∴BD =2BO =10.
∴BM =3BD =30.
答:挂钩B,M 之间的距离是30cm.
菱形是特殊的平行四边形,所以它是中心对称图形.菱形是轴
对称图形吗? 如果是,由轴对称性你能得到哪些结论?
79
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
(第2题)
1. 证明:菱形的面积等于它的两条对
角线长的乘积的一半.
2. 如图,在菱形ABCD 中,BD 是对
角线,BD=AB .求这个菱形各内
角的大小.
菱形的判定
菱形的四条边相等,对角线互相垂直,每条对角线都平分一组
对角.反过来,一个四边形满足哪些条件就一定是菱形呢?
(1)四边相等的四边形是菱形吗?
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
图8 27
如图8 27,在四边形ABCD 中,AB=
BC=CD=DA .
由AB=DC,AD=BC,可得四边形
ABCD 是平行四边形.
由有一组邻边相等的平行四边形是菱
形,可得▱ABCD 是菱形.
用橡皮筋和塑料棒做成对角线互相垂直的平行四边形,可以发
现,平行四边形看上去像是菱形.
图8 28
如图8 28,在▱ABCD 中,AC⊥BD,垂足为O.
由BO =DO,AC ⊥BD,可得AB =AD.
所以▱ABCD 是菱形.
第8 章
四边形
80
于是,我们得到菱形的判定定理:
四边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图8 29,直线a∥b,点A,C 分别在a,b上,AC 的垂直平分线
分别与a,b相交于点D,B,垂足为O .连接AB,CD .求证:四
边形ABCD 是菱形.
图8 29
@ᬻ
∵a∥b,
∴∠DAO = ∠BCO.
∵BD 垂直平分AC,
∴OA =OC .
在△AOD 和△COB 中,
∠DAO = ∠BCO,
OA =OC,
∠AOD = ∠COB,
∴△AOD ≌△COB.
∴OD =OB.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD 是菱形(菱形的判定定理).
81
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
1. 如果一个四边形的对角线互相垂直,那么它一定是菱形吗?
2. 如果一个平行四边形是轴对称图形,那么它一定是菱形吗?
(第1题)
1. 如图,在△ABC 中,AC=BC,D,E,F
分别是边AB,BC,AC 的中点,连接
DE,DF .求证:四边形CFDE 是菱形.
2. 如果一个四边形的每条对角线都平分一组
对角,那么它一定是菱形吗?
正方形
在下面的图片中,我们可以找到熟悉的正方形.
四条边相等,四个角都是直角的四边形叫作正方形(square).
正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 在图8 30的括
号中分别填写恰当的条件.
图8 30
第8 章
四边形
82
于是,我们得到正方形的判定定理:
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图8 31.
图8 31
正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
于是,我们得到正方形的性质定理:
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
图8 32
如图8 32,在正方形ABCD 中,点A',B',
C',D'分别在边AB,BC,CD,DA 上,AA'=
BB'=CC' =DD' .连接A'B',B'C',C'D',
D'A'.求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
83
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
@ᬻ
∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D =90°,
AB =BC =CD =DA (正方形的性质定理).
∵AA'=BB'=CC'=DD',
∴D'A =A'B =B'C =C'D.
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'.
∴D'A'=A'B'=B'C'=C'D'.
∴四边形A'B'C'D'是菱形.
由△AA'D'≌△BB'A',可得∠AD'A'= ∠BA'B'.
∵∠A =90°,
∴∠AA'D'+∠AD'A'=90°.
∴∠AA'D'+∠BA'B'=90°.
∴∠D'A'B'=90°.
∴四边形A'B'C'D'是正方形(正方形的判定定理).
1. 根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打“”.
性 质
平行四边形
矩 形
菱 形
正方形
对边平行且相等
四边相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
是中心对称图形
是轴对称图形
2. 求证:对角线互相垂直的矩形是正方形.
3. 求证:对角线相等的菱形是正方形.
第8 章
四边形
84
1. 下列判断是否正确?
(1)对角线相等的四边形是矩形;
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
2. 如图,在矩形ABCD 中,点E 在边AD 上,EC 平分∠BED.
(1)△BEC 是否为等腰三角形? 证明你的结论.
(2)若AB =1,∠ABE =45°.求BC 的长.
(第2题)
(第4题)
3. 利用矩形的性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半”.
4. 如图,▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,
四边形EFGH 是怎样的特殊四边形? 证明你的结论.
5. 矩形有两条互相垂直的对称轴,那么有两条互相垂直的对称轴的
四边形一定是矩形吗? 为什么?
6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,AN
是△ABC 的外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为E .求证:
四边形ADCE 是矩形.
(第6题)
85
8.2
特
殊
的
平
行
四
边
形
7. 求证:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
8. 菱形的面积为24,一条对角线长为6.求菱形的边长.
9. 如图,点E,F,G,H 分别在菱形ABCD 的各边上,AE=AH=
CF=CG .连接EF,FG,GH,HE .求证:四边形EFGH 是
矩形.
(第9题)
(第10题)
10. 如图, 矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,
BE ∥AC,CE ∥DB.求证:四边形OBEC 是菱形.
11. 关于两条对角线都对称的四边形一定是菱形吗? 为什么?
12. 如图,在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交边BC 于点E,
∠ABC 的平分线交边AD 于点F .连接EF .求证:四边形
ABEF 是菱形.
(第12题)
(第13题)
13.尺规作图:已知∠POQ,以点O 为圆心,任意长为半径作弧,
分别交两边OP,OQ 于点A,B;分别以A,B 为圆心,OA 长
为半径作圆,两圆相交于O,D 两点;连接OD .求证:OD 是
∠POQ 的平分线.
第8 章
四边形
86
14.如图,在正方形ABCD 中,点E,F 在对角线BD 上,且BF =
DE .连接AE,EC,CF,FA .求证:四边形AFCE 是菱形.
(第14题)
(第15题)
15.如图,E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,BE =BC,过点
E 作BD 的垂线,交DC 于点F .求证:DE =CF.
16.如图,在正方形ABCD 中,点E,F,G,H 分别在边AB,BC,
CD,DA 上,AE =BF =CG =DH,连接AF,BG,CH,DE,
形成四边形MNPQ .求证:四边形MNPQ 是正方形.
(第16题)
17. 把一张A4纸对折若干次,沿直线只剪一刀,可以剪得一个菱形
吗? 可以剪得一个正方形吗?
87
8.3
三
角
形
的
中
位
线
8.3
三角形的中位线
1. 按图8 33的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封.
(1)
(2)
图8 33
2. 你能在图8 33(1)中找到哪些相等的线段?
根据上面的折叠过程,可得DA=DA',DB=DA',所以
DA=DB.同理可得EA=EC,即D,E 分别是AB,AC 的中点.
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线(medianlineof
triangle).
图8 34
如图8 34,在△ABC 中,D,E,F
分别是AB,AC,BC 的中点.DE,DF,
EF 都是△ABC 的中位线.
图8 35
如图8 35,完成下列操作,并回答问题:
1. 剪一张三角形纸片ABC .
2. 沿中位线DE 将纸片剪成两部分,拼
得的图形是平行四边形吗?
第8 章
四边形
88
如图8 36,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 的中点.延
长DE 到点F,使EF=DE,连接CF .
图8 36
由EA =EC,∠AED = ∠CEF,DE =EF,可得△ADE ≌
△CFE .于是AD =CF,∠ADE = ∠F.所以BD ∥CF,BD =AD
=CF .所以四边形BCFD 是平行四边形.
所以DE ∥BC,DE = 1
2DF = 1
2BC .
于是,我们得到三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
如图8 37,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB,BC,
CD,DA 的中点.连接EF,FG,GH,HE .求证:四边形EFGH
是平行四边形.
图8 37
89
8.3
三
角
形
的
中
位
线
@ᬻ
如图8 38,连接AC .
∵E,F 分别是AB,BC 的中点,
图8 38
∴EF ∥AC,EF = 1
2AC (三角形的中位
线定理).
同理可得GH ∥AC,GH = 1
2AC .
∴EF ∥GH,EF =GH .
∴四边形EFGH 是平行四边形.
由例题可知,首尾顺次连接四边形ABCD 的各边中点,可以得
到一个平行四边形.那么,当四边形ABCD 满足什么条件时,所
得的平行四边形是矩形、菱形或正方形呢?
1. 如图,D,E,F 是△ABC 各边的中点,△DEF 与△ABC
的周长、面积之间分别有怎样的数量关系? 证明你的结论.
(第1题)
(第2题)
2. 如图,A,B两地被建筑物阻隔,为测量A,B两地的距离,在
地面上选一点C,连接CA,CB,分别取CA,CB的中点D,E.
(1)若DE 的长为36m,求A,B 两地的距离;
(2)若D,E 两点之间也有阻隔,你有什么解决办法?
第8 章
四边形
90
1. 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC =90°,D,E,F 分别是AB,BC,
AC 的中点.连接BF,DE .求证:BF =DE.
(第1题)
(第2题)
2. 如图,线段AF,DE 分别是△ABC 的中线和中位线.求证:AF
与DE 互相平分.
3. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E 是BC 的
中点.连接OE,AB=6.求OE 的长.
(第3题)
(第4题)
4. 如图,在四边形ABCD 中,AB=DC,E,F 分别是AD,BC 的
中点,G,H 分别是对角线BD,AC 的中点.连接EH,HF,
FG,GE .四边形EGFH 是怎样的四边形? 证明你的结论.
91
8.4
梯
形
8.4
梯形
小学里,我们已经认识了梯形.你能在下图中找出一些梯
形吗?
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形
(trapezoid).
图8 39
图8 41
图8 39中的四边形ABCD 是梯形.其
中,互相平行的一组对边中,较短的边叫作梯
形的上底,较长的边叫作梯形的下底,另外两
条边叫作梯形的腰.
图8 40
两腰相等的梯形叫作等腰梯形(isosceles
trapezoid).如图8 40,在等腰梯形ABCD
中,AB=DC .
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形
(righttrapezoid).如图8 41,在直角梯形
ABCD 中,∠B=90°.
第8 章
四边形
92
梯形、三角形和平行四边形之间有什么关系?
如图8 42(2),梯形ABCD 的顶点D 在直线AD 上运动.当
点D 与点A 重合时,梯形变成了三角形[图8 42(1)];当AD=BC
时,梯形变成了平行四边形[图8 42(3)].
(1) (2) (3)
图8 42
梯形、三角形、平行四边形的面积之间有如下关系:
图8 43
如图8 43,完成下列操作,并回答问题:
(1)剪一张梯形纸片ABCD;
(2)分别取AB,CD 的中点E,F,过点E,
F 作BC 的垂线,垂足分别为G,H;
(3)沿EG,FH 将纸片剪成三部分,你能拼
得怎样的图形?
93
8.4
梯
形
1. 如图,DE 是△ABC 的中位线,四边形DBCE 是怎样的四
边形? 为什么?
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,点E 在边BC 的延长线上.连接
DE,DE=DC .求证:四边形ABED 是等腰梯形.
3. 求证:等腰梯形中同一条底边与腰所夹的两个角相等.
1. 如图,正六边形中包含六个全等的等边三角形,它包含多少个等
腰梯形?
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,
CD=10.求梯形ABCD 的面积.
3. 如图,在梯形ABCD 中,∠B=∠C,E,F 是下底BC 上的两点,
BE=CF .连接DE,AF .求证:DE=AF .
(第3题)
94
小结与思考
1. 四边形是平面几何的基本图形,本章我们主要学习了平行四
边形、矩形、菱形和正方形的定义、性质、判定和简单应用.图形
的性质与判定一般可以组成互逆命题.例如, “平行四边形的一组
对边平行且相等”是平行四边形的性质定理;其逆命题“一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理.
2. 四边形、几种特殊四边形之间的关系可以用下图表示:
本章的学习是从平行四边形开始,到矩形、菱形,再到正方
形,这体现了数学中从一般到特殊的研究方法.
3. 平行四边形、矩形、菱形和正方形都有一定的对称性,我们
可以借助图形的变换研究它们的性质,也可以利用对称性解决相关
的问题,进一步体会图形变换的方法,感悟变化中的不变性.
4. 图形的剪拼是将一个图形转换为另一个图形的操作活动,通
过剪拼可以建立不同图形之间的联系.你能把一张矩形纸片分别剪
拼成一个三角形、一个平行四边形或另一个不同的矩形吗?
95
复习题
复习巩固
1. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直
线分别与边AD,BC 相交于点E,F.写出图中关于点O 成
中心对称的对应三角形、四边形.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,∠D =45°,∠CAD =30°.求∠B 和
∠BAC 的大小.
3. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线交边AD 于点E,
AB =4,BC =6.求DE 的长.
(第3题)
(第4题)
4. 如图,在▱ABCD 中,E 是边BC 上的一点,AB =BE,AE,
DC 的延长线相交于点F,∠F =α.求∠BAE 和∠D 的大小
(用含α的代数式表示).
5. 请用直尺和圆规分别作一个矩形、菱形.
96
6. 如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD
的中点,过点E,O 作AB 的垂线,垂足分别为F,G .连
接EO .求证:四边形OEFG 是矩形.
(第6题)
(第7题)
7. 如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别在边BC,AD 上,
AF=CE .连接EF .求证:BD,EF 互相平分.
8. 如图,△ABC和△DBC都是等边三角形,点B1 在边BC 上,
将△DBC 沿BC 方向平移到△D1B1C1 的位置.连接AC1,
BD1.此时四边形ABD1C1 是平行四边形吗? 证明你的结论.
(第8题)
9. 如图,在菱形ABCD 中,∠B =60°,点E,F分别在边AB,AD
上,BE =AF .连接CF,FE,EC .求证:△ECF是等边三角形.
(第9题)
(第10题)
10. 如图,E,F,G,H 分别是▱ABCD 各边的中点,连接AF,
CE,相交于点M,连接AG,CH,相交于点N .求证:
四边形AMCN 是平行四边形.
97
11. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,AC 的中
点,连接DE,EF .分别根据下列条件,判断四边形
ADEF 是怎样的四边形.证明你的结论.
(1)∠A=90°;
(2)AB=AC;
(3)∠A=90°,且AB=AC .
(第11题)
(第12题)
12.如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是各边的中点,AH 是
高.连接DH,FH,DE,FE .求证:∠DHF=∠DEF .
灵活运用
13.如图,由两条等宽的胶带叠合而得到的四边形ABCD 是菱
形吗? 证明你的结论.
(第13题)
(第14题)
14.如图,点C 在线段AB 上,分别以AC,BC 为边在线段AB
的同侧作正方形ACDE 和CBGF,连接AF,BD.
(1)AF 与BD 是否相等? 证明你的结论.
(2)如果点C 在线段AB 的延长线上,(1)中所得的结论是
否成立? 请画出图形并证明.
98
15. 我们已经知道,首尾顺次连接某个四边形的各边中点,可
以得到一个平行四边形.这个平行四边形和原四边形的面
积之间有怎样的数量关系? 请说明理由.
16.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,正方
形A'B'C'D'的顶点A'与点O 重合.将正方形A'B'C'D'绕
点A'旋转,在这个过程中,这两个正方形重合部分的面积
会发生变化吗? 证明你的结论.
(第16题)
17.如图,在△ABC 中,O 是边AC 上的任意一点(不与点A,
C 重合),过点O 且平行于BC 的直线l 分别与∠BCA,
△ABC 的外角∠DCA 的平分线相交于点E,F .连接AE,
AF .
(1)OE与OF相等吗? 证明你的结论.
(2)试确定点O 的位置,使四边形AECF 是矩形,并加
以证明.
(第17题)
99
探索研究
18. 在矩形纸片ABCD 中,AB =6cm,BC =8cm.
(1)将矩形纸片沿BD 折叠,点A 落在点E 处[图(1)],连
接CE .设DE 与BC 相交于点F,求BF 的长;
(2)图(
1)中的四边形BECD 是怎样的四边形? 请说明理由;
(3)将矩形纸片折叠,使点B 与点D 重合[图(2)],求折
痕GH 的长.
(1)
(2)
(第18题)
19. 如图,可以把一张平行四边形的纸片剪拼成一个与之面积
相等的矩形.
(第19题)
(1)还有其他方法把平行四边形纸片剪拼成与之面积相等
的矩形吗?
(2)可以用不同的方法把一张三角形纸片剪拼成与之面积
相等的矩形吗? 可以把一张四边形纸片剪拼成一个与
之面积相等的矩形吗?
100
综合与实践
仿生折叠
一、问题情境
日常生活中,折叠现象无处不在.很多昆虫甚至能够在不到1s
的时间内将大大的翅膀打包在小小的“背包”中.模仿动物、植物
的折叠方式,科学家在航天器太阳能电池板、自动折叠帐篷等很多
领域设计出科学、精巧的折叠方式.
怎样的折叠方式可以达到节省空间、易于收缩和展开的目
的呢?
二、学习任务
请你取一张A4纸,按照下列步骤操作.
(1)将A4纸的长边7等分、短边5等分.然后,沿短边折成
手风琴状.接着,沿着长边以一定角度折叠,确保边线平行.
101
(2)按照下图将折线标记出不同颜色,将标记为红色的折痕凸
起折叠,标记为绿色的折痕凹陷折叠.
(3)捏住A4纸的两个对角拉伸或收缩,可以将A4纸展开或折叠.
三、交流展示
1. 基于以上操作,思考并交流下列问题.
(1)你按上述方式折叠后的A4纸面积缩小了多少?
图1
(2)相邻折痕构成的四边形是哪
种特殊四边形? 说明理由.
(3)图1是按上述方式折叠后的
A4纸的展开图,其中四边形B,C,
D 可以通过怎样的图形变换得到四边
形A?
2. 除上述折叠方式外,还有哪
些纸张折叠方法? 折叠过程中用到了哪些几何知识?
四、应用拓展
1. 查找资料,了解植物界、动物界还有哪些折叠现象.
2. 查找资料,了解折叠技术在实际生活中的应用.例如,折叠
椅、汽车安全气囊、航天器太阳能电池板等.
因式分解
小学里学习的质因数分解是把一个合数分解
为质数的乘积形式,本章将要学习的因式分解是
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.
因式分解与整式乘法具有互逆性.我们将学
习因式分解的两种基本方法:一是提公因式法,
依据是乘法的分配律;二是公式法,是对乘法公
式的逆向运用.在分解因式时,这两种方法有时也
混合使用.
因式分解是后续学习分式、解方程等相关内
容的基础.
9
ma+mb+mc=m(a+b+c)
如图,有四张尺寸分别为a×b,
a×1,
b×1,1×1的矩形卡
纸.能用这四张矩形卡纸拼成一个矩形吗? 如果可以,画
图表示拼法.
四张矩形卡纸的面积之和为ab+a+b+1,你能把这个多项式
写成两个多项式乘积的形式吗?
三个连续自然数中,前两个数乘积与后两个数乘积的和一
定为偶数吗? 为什么?
第9 章
因式分解
104
9.1
因式分解的概念
我们曾经学习过数的整除问题,7+7
2能被8整除吗? 99+
99
2能被100整除吗?
解决上述问题的关键是把7+7
2,99+99
2 分解成了几个因数乘
积的形式.一般情况下,是否可以把多项式a+a
2 分解成几个整式
乘积的形式?
由乘法分配律可知,a(1+a)=a+a
2,所以多项式a+a
2=
a(
a+1),即多项式a+a
2 可以分解成两个整式a,a+1的乘积
形式.
一般地,如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,那么
其中的每个整式都叫作这个多项式的因式.
在解决问题时,我们常需要把一个多项式表示成因式的乘积.
例如,对于多项式ma+mb,x
2+3x+2,由
m(
a+b)=ma+mb,
(x+1)(x+2)=x
2+3x+2,
可知
ma+mb=m(
a+b),
x
2+3x+2= (x+1)(x+2).
上述两组等式表达了不同的意义:第一组等式表示两个整式的乘
法运算;第二组等式是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式.
105
9.1
因
式
分
解
的
概
念
把一个多项式表示成几个整式的乘积形式,这样的变形叫作多
项式的因式分解(
factorization).因式分解也可称为分解因式.
判断下列从左到右的变形中,哪些是整式乘法,哪些是多项
式的因式分解.
(1)m(
a+2b)=ma+2mb;
(2)15xy+25xy
2 =5xy(3+5y);
(3)(y+3)(y-3)=y
2-9;
(4)a
2+4b
2+4ab= (
a+2b)
2.
检验下列因式分解是否正确.
(1)x
3+ 2x
2=x
2(x+ 2); (2)y
2+6y+6=(y+3)
2;
(3)4n
2-m
2=(2n+m)(2n-m); (4)x
2-x-6=(x+2)(x-3).
?
(1)等式右边是整式乘积的形式,因为x
2(x+ 2)=x
2·x+
x
2· 2=x
3+ 2x
2,所以因式分解正确;
(2)等式右边是整式乘积的形式,但由于(y+3)
2=y
2+6y+9≠
y
2+6y+6,所以因式分解错误;
(3)等式右边是整式乘积的形式,因为(2n+m)(2n-m)=(2n)
2-
m
2=4n
2-m
2,所以因式分解正确;
(4)等式右边是整式乘积的形式,因为(x+2)(x-3)=x
2-3x+
2x-6=x
2-x-6,所以因式分解正确.
观察下面图形的剪拼过程,写出相应的等式.
谈谈因式分解与整式乘法有什么联系.请举例说明.
第9 章
因式分解
106
写出整式A 与B,使得A =B(
a+3).满足条件的整式A,B
可以写出多少个?
1.判断下列从左到右的变形中哪些是因式分解.
(1)ab+ac+d=a(
b+c)+d;
(2)a
2-1= (
a+1)(
a-1);
(3)(
a+1)(
a-1)=a
2-1;
(4)(
a+b)(
c+d)=ac+ad+bc+bd .
2. 在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式,使这
个式子的左边与右边相等.
( )= ( )(2a+1).
1. 判断下列从左到右的变形中哪些是因式分解.
(1)(x+2)(x-2)=x
2-4;
(2)x
2-4= (x+2)(x-2);
(3)x
2-4+3x= (x+2)(x-2)+3x;
(4)x
2+4x+4= (x+2)
2.
2. 检验下列因式分解是否正确.
(1)-12x
3+9x
2 =3x
2(4x-3);
(2)n
3+3n
2+2n=n(
n+1)(
n+2);
(3)2x
2-y
2 = (2x+y)(2x-y);
(4)x
2-2xy+y
2 = (-x-y)
2.
3.已知多项式a
2+6a+k可以分解为(
a+2)与(
a+4)的乘积,求
k的值.
4.19.3×1
9+16.7×1
9 能被2整除吗? 为什么?
107
9.2
提
公
因
式
法
9.2 提公因式法
如何把多项式ab+ac+ad分解因式?
从左往右看,可以得到
a(
b+c+d)=ab+ac+ad .
①
从右往左看,可以得到
ab+ac+ad =a(
b+c+d).
②
式子②从左到右的变形是多项式ab+ac+ad的因式分解.
多项式ab+ac+ad 各项都含有因式“
a”,像这样的因式称为多
项式各项的公因式(commonfactor).
找出下列多项式各项的公因式.
(1)a
2b+ab
2;
(2)1
3x
2-6x
3;
(3)9abc-6a
2b
2+12abc
2.
当多项式的各项含有公因式时,可以采用添括号的方法把公因
式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,
这种分解因式的方法叫作提公因式法.
第9 章
因式分解
108
例如,多项式9abc-6a
2b
2+12abc
2 各项有公因式3ab,它可以
写成3ab·3c-3ab·2ab+3ab·4c
2,于是
9abc-6a
2b
2+12abc
2 =3ab(3c-2ab+4c
2).
把5x
3-10x
2 分解因式.
?
5x
3-10x
2
=5x
2·x-5x
2·2
=5x
2(x-2).
把下列各式分解因式:
(1)12ab
2c-6ab; (2)-8m
2+12m .
?
(1)12ab
2c-6ab=6ab·2bc-6ab·1=6ab(2bc-1);
(2)-8m
2+12m = -4m ·2m+(-4m)·(-3)
= -4m (2m-3).
当多项式的第一项系数为负数时,通常把负号作为公因式的符
号进行因式分解.如例2(2)中,把“-4m”作为-8m
2+12m 各项
的公因式,分解因式后的另一个因式“2m-3”第一项的系数就为
正数.
如何把多项式ab+a+b+1分解因式?
1. 写出下列多项式各项的一个公因式:
(1)8xy+2yz; (2)4ce-8ef;
(3)-12pq-4qr;
(4)25x
2y
3-20xy .
109
9.2
提
公
因
式
法
2. 把下列各式分解因式:
(1)4x
2-12x; (2)-x
2y+4xy-5y;
(3)-8p
2q+12pq
2;
(4)4
9a
3b
2-2
3a
2b
3;
(5)15x(
b+c)-5y(
b+c); (6)5(x-y)
3+10(y-x)
2.
1. 写出下列多项式各项的一个公因式:
(1)10ab+5ac; (2)-3pq-15pr;
(3)15xy+25xy
2;
(4)23x
3y-63xy
2.
2. 把下列各式分解因式:
(1)6a
2b-9ab
2+15ab;
(2)-4a
4-6a
3+2a
2;
(3)3a
2y-3ay+6y;
(4)-24x
2y-12xy
2+28y
3.
3. 把下列各式分解因式:
(1)(
a+3b)
a-5b(
a+3b);
(2)4ab(2x-y)+b(2x-y);
(3)(2c-1)d-c(1-2c);
(4)(m+n)
a+7(m+n)
b.
4. 把下列各式分解因式:
(1)(x-y)
2+5(x-y);
(2)8(
v+w)
2-6(w+v);
(3)12(x+y)
2-9(x+y);
(4)-4(x-y)
2-5(y-x).
5. 证明:三个连续自然数中,前两个数乘积与后两个数乘积的和一
定为偶数.
第9 章
因式分解
110
9.3
公式法
前面我们学习了乘法公式
(
a+b)(
a-b)=a
2-b
2,
(
a+b)
2 =a
2+2ab+b
2,
(
a-b)
2 =a
2-2ab+b
2.
把上述公式反过来,就得到
a
2-b
2 = (
a+b)(
a-b),
a
2+2ab+b
2 = (
a+b)
2,
a
2-2ab+b
2 = (
a-b)
2.
逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解
的方法叫作公式法.
填空:
(1)a
2-16=a
2-( )
2 = (a+ )(a- );
(2)64-b
2 = ( )
2-b
2 = ( +b)( -b).
把下列各式分解因式:
(1)36-25x
2; (2)16a
2-9b
2; (3)9(
a+b)
2-4(
a-b)
2 .
?
(1)36-25x
2=6
2-(5x)
2=(6+5x)(6-5x);
(2)16a
2-9b
2=(4a)
2-(3b)
2
=(4a+3b)(4a-3b);
(3) 9(
a+b)
2-4(
a-b)
2
= [3(
a+b)]
2- [2(
a-b)]
2
= [3(
a+b)+2(
a-b)][3(
a+b)-2(
a-b)]
=(5a+b)(
a+5b).
111
9.3
公
式
法
如图9 1,有一个圆环形的观景台,已知R=12.5m,r=7.5m,
求观景台(阴影部分)的面积S(π取3.14,结果精确到1m
2).
图9 1
?
S=πR
2-πr
2=π(R+r)(R-r).
当R=12.5m,r=7.5m时,
S=π(12.5+7.5)×(12.5-7.5)=π×20×5=100π≈314(m
2).
已知k是正整数,求证:(
k+2)
2-k
2是4的倍数.
@ᬻ
(
k+2)
2-k
2=(
k+2+k)(
k+2-k)=2(2k+2)=4(
k+1).
因为k是正整数,所以4(
k+1)也是正整数,且是4的倍数.
所以(
k+2)
2-k
2是4的倍数.
如果a≥0,b≥0,且a
2=b
2,那么a与b一定相等吗? 为什么?
1. 把下列各式分解因式:
(1)x
2-25; (2)x
2-16y
2;
(3)a
2-1
9b
2;
(4)x
2y
2-z
2;
(5)(x+2)
2-9;
(6)(x+a)
2-(y-b)
2 .
2. 在Rt△ABC 中,若斜边c=25,直角边a=24,求直角边b.
3. 已知a>b>0,求证:a
2>b
2.
第9 章
因式分解
112
填空:
(1)a
2+6a+9=a
2+2·( )·( )+( )
2 = ( )
2;
(2)a
2-6a+9=a
2-2·( )·( )+( )
2 = ( )
2;
(3)a
2+( )+4b
2=a
2+2·( )·( )+( )
2= ( )
2;
(4)a
2-8a+( )=a
2-2·( )·( )+( )
2= ( )
2.
把下列各式分解因式:
(1)x
2+10x+25; (2)4a
2-36ab+81b
2.
?
(1) x
2+10x+25=x
2+2·x·5+5
2=(x +5)
2;
(2) 4a
2-36ab+81b
2
=(2a)
2-2·2a·9b+(9b)
2
=(2a-9b)
2.
把下列各式分解因式:
(1)25a
4+10a
2+1;
(2)(m+n)
2-4(m+n)+4.
?
(1) 25a
4+10a
2+1
= (5a
2)
2+2·5a
2·1+1
2
= (5a
2+1)
2;
(2) (m+n)
2-4(m+n)+4
= (m+n)
2-2·(m+n)·2+2
2
= [(m+n)-2]
2
= (m+n-2)
2.
有两张边长分别为a,b的正方形纸片,两张长、宽分别为a,
b的矩形纸片.你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗?
113
9.3
公
式
法
1. 下列多项式能否分解因式? 如果能,把它们分解因式:
(1)a
2+8a+16; (2)9a
2-3a+1;
(3)a
2-1;
(4)a
2-ab+1
4b
2.
2. 把下列各式分解因式:
(1)25x
2+10xy+y
2;
(2)a
2-12ab+36b
2;
(3)16a
4+24a
2b
2+9b
4;
(4)(x+y)
2-10(x+y)+25.
3. 已知a≠b,比较a
2+b
2 与2ab的大小,并说明理由.
把下列各式分解因式:
(1)18a
2-50;
(2)2x
2y-8xy+8y;
(3)a
2(x-y)-b
2(x-y).
?
(1) 18a
2-50
=2(9a
2-25)
=2(3a+5)(3a-5);
(2) 2x
2y-8xy+8y
=2y(x
2-4x+4)
=2y(x-2)
2;
(3) a
2(x-y)-b
2(x-y)
= (x-y)(
a
2-b
2)
= (x-y)(
a+b)(
a-b).
第9 章
因式分解
114
把下列各式分解因式:
(1)a
4-9; (2)81x
4-72x
2y
2+16y
4.
?
(1) a
4-9
= (
a
2)
2-3
2
= (
a
2+3)(
a
2-3)
= (
a
2+3)(
a+ 3)(
a- 3);
(2) 81x
4-72x
2y
2+16y
4
= (9x
2)
2-2·9x
2·4y
2+(4y
2)
2
= (9x
2-4y
2)
2
= [(3x+2y)(3x-2y)]
2
= (3x+2y)
2(3x-2y)
2.
通常,把一个多项式分解因式,应先提公因式,再运用公式.
进行多项式因式分解时,必须把每一个因式都分解到不能再分解
为止.
x
2+2x-3= (x+1)
2-2
2 成立吗? 由此,你能将x
2+2x-3
分解因式吗?
1. 把下列各式分解因式:
(1)2x
2+4x+2; (2)-2xy-x
2-y
2;
(3)2ax
2-2ay
4;
(4)(
a+b)-a
2(
a+b);
(5)3ax
2+6axy+3ay
2; (6)12x
2-60xy+75y
2.
2. 把下列各式分解因式:
(1)x
4-25;
(2)(x
2-2y)
2-(1-2y)
2;
(3)x
4-2x
2+1;
(4)x
4-8x
2y
2+16y
4;
(5)(
t
2+4t+4)-9u
2;
(6)25u
2-(9v
2-6v+1).
115
9.3
公
式
法
1. 把下列各式分解因式:
(1)1-16a
2; (2)m
2-9n
2;
(3)4x
2-81y
2;
(4)9a
2x
2-b
2y
2;
(5)(x+5)
2-4;
(6)(
a+b)
2-a
2;
(7)(
a
2+b
2)
2-a
2b
2;
(8)49(
a-b)
2-16(
a+b)
2.
2. 把下列各式分解因式:
(1)a
2b
2-2ab+1;
(2)9-12a+4a
2;
(3)4x
2+4x+1;
(4)x
2-6xy+9y
2;
(
5)(
a+b)
2+6(
a+b)+9;
(
6)16-24(
x-y)+9(
x-y)
2;
(7)a
2-2a(
b+c)+(
b+c)
2;(8)4x
2-4x(y-1)+(y-1)
2.
3. 把下列各式分解因式:
(1)-a+2a
2-a
3;
(2)3ax
2-3ay
2;
(3)16a
2b-16a
3-4ab
2;
(4)x
2(y
2-1)+(1-y
2).
4. 把下列各式分解因式:
(1)4a
4-1;
(2)x
4-18x
2+81;
(3)x
4y
4-8x
2y
2+16;
(4)x
6-x
2y
4.
5. 计算:
(1)50.8
2-49.2
2;
(2)19
2-38×119+119
2.
6. 证明:无论x取何值,代数式x
2+2x+5的值不小于4.
7. 证明:两个连续奇数的平方差能被8整除.
8. 运用分解因式a
2-6ab+9b
2 的结果,对(x+3y)
2-6(x+3y)·
(x-y)+9(x-y)
2 进行因式分解.
9. 运用分解因式4x
2-4x+1的结果,对4x
2-4x-15进行因式
分解.
第9 章
因式分解
116
用配方法分解二次三项式
对于某些二次三项式ax2 +bx+c,我们可以运用完全平方公式
“配”出一个完全平方,再进行因式分解,这种方法称作“配方法”.
例如,把x2+8x-9分解因式,我们可以这样进行:
x2+8x-9
=x2+2·x·4+42-42-9 加上42,再减去42
= (x+4)
2-52
完全平方公式
= (x+4+5)(x+4-5)
平方差公式
= (x+9)(x-1).
再如,把2x2-3x-9分解因式,我们可以这样进行:
2x2-3x-9
=2(x2-3
2x-9
2)
把二次项系数化为1
=2[x2-2·3
4·x+(3
4)
2
-(3
4)
2
-9
2]
=2[(x-3
4)
2
-(9
4)
2
]
=2(x-3
4+9
4)(x-3
4-9
4)
= (2x+3)(x-3).
配方法是代数变形时常用的一种重要方法,不仅能用于因式分解,
在很多数学问题中都有重要应用,我们在今后会继续学到.
把下列各式分解因式:
(1)x2-6x+5;
(2)x2+4x-12;
(3)2x2+4x-8.
117
小结与思考
1. 本章知识结构:
因式分解
提公因式法
ab+ac+ad=a(
b+c+d)
公式法
平方差公式
a
2-b
2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
a
2±2ab+b
2=(a±b)
2
因式分解与整式乘法是互逆的过程,我们利用这种关系,由整
式乘法的法则和公式得到了因式分解的方法:提公因式法和公
式法.
2. 因式分解与整式乘法本质上都是恒等变形,恒等变形是研究
数学的有用工具.整式乘法主要用于整式的运算、化简与求值,因
式分解在后面的分式运算与解方程中有许多应用.学习因式分解,
有助于形成和发展运算能力和推理能力.
3. 我们已经学习了整式的加、减、乘运算,那么,两个整式是
否可以进行除法运算呢? 我们知道,两个整数相除一般可以写成分
数的形式,那么两个整式相除可以用什么形式表示呢?
118
复习题
复习巩固
1. 把下列各式分解因式:
(1)4x
2-64; (2)9x
2-6x+1;
(3)3x(
a-b)-6y(
b-a); (4)a
2+2a(
b+c)+(
b+c)
2;
(5)2x
3y+4x
2y
2+2xy
3;
(6)4ab
2-4a
2b-b
3.
2. 把下列各式分解因式:
(1)a
3-3a;
(2)2x
2-1
8y
2;
(3)8y
4-2y
2;
(4)1
16a
2-1
2ab+b
2;
(5)a
4-8a
2+16;
(6)-4x
3y-8x
2y-4xy .
3. 把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y);
(2)x(
a+b)-y(
a+b)+(
a+b);
(3)(x+y)
2-25(x-y)
2;
(4)(
a-b)
3-(
a-b);
(5)(
a+b+c)
2-(
a-b-c)
2;
(6)4(x+y)
2-12(x+y)+9.
4. 用简便方法计算:
(1)101
2+202×99+99
2;
(2)1
4×6.16
2-4×1.04
2.
5. 先分解因式,然后计算求值:
(1)4x
2-20xy+25y
2 ,其中x= 1
4,y= 1
5;
(2)(m+n
2 )
2
-(m-n
2 )
2
,其中m =-1
8,
n=2.
119
6. (1)已知a+b=7,
ab=12,求2a
2b+2ab
2 的值.
(2)已知a-b= 1
2,
ab=8,求-2a
2b
2+ab
3+a
3b的值.
7. 写出两个多项式,使它们都有因式x和x+2.
灵活运用
8.已知2x
2+3x-4=16,求-10x
2-15x的值.
9. 已知两个正方形边长的和是20cm,它们面积的差是40cm
2.
求这两个正方形的边长.
10. 试判断14
8-1能否被15整除,并说明理由.
11. 已知m>0,且m 是奇数.求证:m
2-1能被8整除.
探索研究
12. 准备若干张如图(1)~(3)所示的矩形硬纸片.
(1)分别用多少张如图(1)~(3)所示的纸片才能拼成一个
边长为a+2b,a+b的矩形?
(2)利用上述拼图的结果,分解因式a
2+3ab+2b
2.
(第12题)
(第13题)
13. 如图,在棱长为a的正方体的一个角上挖去棱长为b 的正
方体,试将其分割成三个长方体,利用体积关系分解因式
a
3-b
3.
分 式
本章主要学习分式及其性质与运算,并研
究可化为一元一次方程的简单分式方程.其
中,分式的基本性质及等式的基本性质是分式
运算和解分式方程的基础.
学习本章时,可将分式与分数进行类比.
就像分数是整数的扩充一样,分式是整式的扩
展,许多分式问题可以化归为整式问题求解.
分式不仅是数学的一种基本表达形式,而
且在现实生活中也有广泛应用.
10
2017年, “复兴号”动车组投入运营,这是由我国自主研发,
具有完全知识产权,达到世界先进水平的动车组列车.
某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距约700km,普通动车组
列车的平均速度为akm/h,“复兴号”动车组列车的速度约为普通
动车组列车的1.75倍.
普通动车组列车从甲地到乙地需要多少时间?
“复兴号”动车组列车从甲地到乙地需要多少时间?
已知从甲地到乙地的“复兴号”动车组列车比普通动车组
列车少用1.5h.你能用方程描述其中的数量关系吗?
第10 章
分式
122
10.1
分式的概念
如果某市人口总数为a人,绿地面积为
bm
2,那么该市人均拥有绿地b
a m
2.
近视眼镜的度数与镜片焦距的长短有
关,焦距越短眼镜的度数越大.若焦距为
fm,则近视眼镜的度数为100
f .
如果面积为ahm
2,bhm
2的两块棉田分
别产棉花mkg,nkg,那么这两块棉田平均
每公顷产棉花m+n
a+bkg.
像b
a,100
f
,m+n
a+b,…这样的代数式有什么共同特征? 它们与整
式有什么区别?
.
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B 中含有字母,那么代
数式A
B叫作分式(
fraction),其中A 是分式的分子,B 是分式的分母,
且B≠0.
分式可以表示现实生活中的一些数量.例如,如果某种水果
的售价为a元/kg,那么b
a 表示用b元可以购买这种水果的质量;
123
10.1
分
式
的
概
念
如果这种水果的售价降价1元/kg,那么
b
a-1表示用b元可以购
买降价后这种水果的质量.
用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算
式,运算结果就是相应的分式的值.
例如,在分式b+1
a+1中,若a=3,b=2,则它的值为2+1
3+1=3
4;
若b=-1,则a取任意不等于-1的值时,它的值都为0.
分式的值随分式中字母取值的变化而变化.如果分式中字母所
取的值使分母的值为0,那么分式无意义.
(1)当x取什么值时,分式x-2
2x-2有意义?
(2)当x取什么值时,分式x-2
2x-2的值为0?
?
(1)因为当2x-2=0时,x=1,
所以当x≠1时,2x-2≠0,分式x-2
2x-2有意义.
(2)由分子x-2=0,得x=2;当x=2时,分母2x-2的值为
2×2-2=2≠0.
所以当x=2时,分式x-2
2x-2的值为0.
分式x+1
x
2-1的值可以为0吗?
1. 填空:
(1)某校八年级有m 个学生,排成长方形队伍.如果排成
20排,那么平均每排有 个学生;如果排成a
排,那么平均每排有 个学生.
第10 章
分式
124
(2)30名志愿者xh植树1200棵,平均每人每小时植
树 棵.
2. 填表:
x
…
-3
-2
-1
0
2
3
…
x
1-x
…
…
3. 当x取什么值时,下列分式有意义? 下列分式的值为0?
(1) 5+x
x(5-x); (2) x
3-2x .
1. 当x取什么值时,下列分式有意义? 下列分式的值可以为0吗?
(1)2x+1
7x-3; (2)2x-1
x
2+2; (3)
2
x
2+4x+4.
2. 小明、小亮参加校园迷你马拉松赛,全程skm .小明平均速度
为akm/h,小亮平均速度为(
b+c)km/h.
(1)小明跑完全程用时多久?
(2)小亮跑完全程用时多久?
3.xkg橘子糖、ykg椰子糖、zkg牛奶糖混装成“什锦糖”.已知
这3种糖的单价分别为36元/kg、42元/kg、54元/kg.求这种
“什锦糖”的单价.
4. 当a的值分别为0.01,0.1,1,10,100时,求分式1
a 的值.随
着a的值变化,1
a 的值是如何变化的?
125
10.2
分
式
的
基
本
性
质
10.2
分式的基本性质
我们知道,如果分数的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于
0的数,那么分数的值不变.
分式是否有类似的性质?
一列匀速行驶的火车,如果th行驶skm,2th行驶2skm,…,
nth行驶nskm,那么s
t,2s
2t,…,ns
nt(单位:km/h)都表示这列火车
的速度.你能得出什么结论?
分式的基本性质
分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不
等于0的整式,分式的值不变.
A
B =A ×C
B ×C ,
A
B =A ÷C
B ÷C ,
其中A,B 是整式,C是不等于0的整式.
判断下列等式是否成立,并说明理由.
(1)b
a =ab
a
2; (2)a
3
ab =a
2
b; (3)b
a =b+1
a+1.
?
(1)等式成立.∵a≠0,∴b
a =b·a
a·a=ab
a
2.
(2)等式成立.∵a≠0,∴a
3
ab =a
3÷a
ab÷a=a
2
b.
(3)等式不一定成立.当a=2,b=1时,等式左边=1
2,等式右边=
2
3,两边不相等.
第10 章
分式
126
(1)不改变分式的值,使分式-2a
-3b的分子与分母都不含“-”号;
(2)不改变分式的值,使分式-x
1-x
2 的分子与分母的最高次项的系
数是正数.
?
(1)-2a
-3b= (-1)·2a
(-1)·3b=2a
3b;
(2) -x
1-x
2 =
-x
-(x
2-1)=
x
x
2-1.
如何不改变分式的值,使
1
2a
2+b
2
1
3a+2b
的分子与分母中多项式各项
的系数均为整数?
1.填空:
(1)a
2ab =
1
( ); (2)3a
4b= ( )
4bc (
c≠0);
(3)(
a-b)
2
a
2-b
2 = ( )
a+b ;
(4)a
2-b
2
a+b =
a-b
( ).
2. 不改变分式的值,使分式2-a
-a
2+3的分子与分母的最高次
项的系数是正数.
3. 不改变分式的值,使
1
3a
2+b
2
a+b
的分子与分母中多项式各项
的系数均为整数.
127
10.2
分
式
的
基
本
性
质
分式的约分
填空,并说明理由:
(1)2b
2a= ( )
a
; (2)ac
a
2 =
c
( );
(3) x
6x
2y
2 =
1
( ).
与分数的约分类似,根据分式的基本性质,把一个分式的分子
和分母分别除以它们的公因式,叫作分式的约分(reductionofa
fraction).根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零.
约分:
(1)36ab
3c
6abc
2 ;
(2)
(
a+b)
3
(
a+b)(
a-b).
?
(1)36ab
3c
6abc
2 =6abc·6b
2
6abc·c =6b
2
c ;
(2)
(
a+b)
3
(
a+b)(
a-b)
= (
a+b)(
a+b)
2
(
a+b)(
a-b)= (
a+b)
2
a-b .
如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作
最简分式(simplestfraction).约分通常要把分式化成最简分式或
整式.
将下列分式化简:
(1)ma+mb-mc
a+b-c
;
(2)a
2-2a+1
1-a
2
.
?
(1)ma+mb-mc
a+b-c
=m(
a+b-c)
a+b-c
=m;
第10 章
分式
128
(2) a
2-2a+1
1-a
2
=
(
a-1)
2
(1+a)(1-a)
=
(1-a)
2
(1+a)(1-a)
=1-a
1+a.
通过约分可以把分式化简,如果分子、分母中含有多项式,通
常先把分子和分母分别分解因式,然后再约分.
1.约分:
(1)2a
2b
4ab; (2)6ab(
a-1)
3a(1-a)
2; (3)12(
b-a)
2
18(
a-b).
2. 将下列分式化简:
(1)a
2+4ab+4b
2
a
2-4b
2
; (2) a
4-1
a
2-2a+1;
(3)(x-y)
2-10(x-y)+25
(x-y)
2-25
.
分式的通分
我们知道,异分母的分数进行加减运算时,需要先通分,化成
同分母的分数,然后再进行运算.同样,为了进行异分母分式的加
减运算,也需要先通分.
填空,并说明理由:
(1)m
4x
2 = ( )
12x
2y
, 5
6xy = ( )
12x
2y
;
(2)1
2a
2 =
6b
2
( ),x
4b
2 = 3a
2x
( ),y
3ab = 4aby
( ).
129
10.2
分
式
的
基
本
性
质
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分
式,叫作分式的通分(reductionoffractionstoadenominator),变
形后的分母叫作这几个分式的公分母.
说出
1
2x
2y
, 1
6xy
2 的公分母.
如果几个分式的分母都是单项
式,并且各分母系数都是整数,那
么这些系数的最小公倍数与所有字
母的最高次幂的积是这几个分式的
最简公分母.
通分:
(1)b
3a,-3ab
2c ;
(2)1
2xy
, 1
1.2x
2 .
?
(1)分母3a,2c的最简公分母是6ac.
b
3a= b·2c
3a·2c=2bc
6ac,-3ab
2c =-3ab·3a
2c·3a =-9a
2b
6ac;
(2) 1
1.2x
2= 5
6x
2 .分母2xy,6x
2 的最简公分母是6x
2y.
1
2xy =
3x
2xy·3x = 3x
6x
2y
,
1
1.2x
2 = 5
6x
2 = 5y
6x
2y .
第10 章
分式
130
像例5(2)这样,分母的系数为小数或分数时,可以利用分式基
本性质将其先化为整数.如果系数中包含无理数,则把无理数视作
字母处理,如1
2xy
, 1
4πx
2的最简公分母是4πx
2y.
试找出分式
1
a+1,a+1
a-1, a
a
2-1的公分母.
异分母分式通分时,关键是确定最简公分母.在求最简公分母
时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为
最简公分母.
通分:
(1) 1
m
2-9,
1
2m+6;
(2) x
xy-y
,
y
xy+x .
?
(1)m
2-9= (m+3)(m-3),2m+6=2(m+3),它们的最简公分
母是2(m+3)(m-3).
1
m
2-9=
2
2(m+3)(m-3),
1
2m+6=
m-3
2(m+3)(m-3);
(2)xy-y=y(x-1),xy+x=x(y+1),它们的最简公分母是
xy(x-1)(y+1).
x
xy-y =
x
2(y+1)
xy(x-1)(y+1),
y
xy+x =
y
2(x-1)
xy(x-1)(y+1).
131
10.2
分
式
的
基
本
性
质
1.通分:
(1)3
ac,1
ab; (2)2b
5a
2,2a
bc .
2. 通分:
(1) a
a+b, 3b
2a+2b;
(2)
5
3(x-1),
x
(1-x)
2;
(3) s
s+t,
1
s
2t-st
2;
(4)
2
4-9m
2,
3m
9m
2-12m+4.
1. 填空:
(1)3x
2
3y = ( )
y
; (2) 1
a+1=
a
( );
(3)3a
a-b= ( )
4(
a-b) ;
(4)( )
a+b
=a-b.
2. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是
正整数:
(1)
1-1
2a
1-b ;
(2)m-0.2m
2
n
2-0.3n
3 .
3. 约分:
(1)6ab
2
2b ;
(2)-4a
2b
2
-8a
3b;
(3)a
2+2ab
a
2b+2ab
2;
(4)
m
2-n
2
m
2+2mn+n
2 .
4. 求值:
(1)a+3b
a
2-9b
2,其中a= 5
3,b= 2
9;
(2)
a
3-4ab
2
a
3-4a
2b+4ab
2,其中a=-1,b=-2.
5. 通分:
(1)a
xy
,b
yz;
(2)1
2a, 1
5a
2b;
(3) p
m -n,
1
(
n-m)
2;
(4)
b
a(
b+1),
a
b(
b+1);
(5) 2a
2a+1, 4(2a-1)
4a
2-4a+1;
(6)
a-1
(
a+1)
2-4,
1-a
2-4a+2a
2 .
第10 章
分式
132
10.3
分式的加减
与分数加减运算类似,分式加减运算包含同分母分式加减运算
与异分母分式加减运算.
怎样计算1
a +2
a 和3
a -1
b ?
与分数加减运算的法则类似,分式加减运算的法则是:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
异分母的分式相加减,先通分,再加减.
用符号表示为:b
a ±c
a =b±c
a
.b
a ±c
d =bd
ad±ac
ad =bd±ac
ad
.
计算:
(1)5
a +4
a;
(2)2a-3
a+1 -a-2
a+1.
?
(1) 5
a +4
a =5+4
a
= 9
a;
(2) 2a-3
a+1 -a-2
a+1
= (2a-3)-(
a-2)
a+1
=2a-3-a+2
a+1
=a-1
a+1.
133
10.3
分
式
的
加
减
计算:
(1)2
x -5
x
2;
(2)a+1
a-1-a-1
a+1.
?
(1) 2
x -5
x
2 =2·x
x·x-5
x
2 =2x
x
2 -5
x
2 =2x-5
x
2
;
(2) a+1
a-1-a-1
a+1= (
a+1)(
a+1)
(
a+1)(
a-1)- (
a-1)(
a-1)
(
a+1)(
a-1)
= (
a+1)
2-(
a-1)
2
(
a+1)(
a-1)
= (
a
2+2a+1)-(
a
2-2a+1)
(
a+1)(
a-1)
=
4a
(
a+1)(
a-1)=
4a
a
2-1.
判断并说明下列变形是否正确:n
-m = -n
m =-n
m .
计算:
(1)p+ np
m -n;
(2) x
x
2-4-
1
2-x .
?
(1) p+ np
m -n=p
1+ np
m -n
=p(m-n)
m-n
+ np
m -n
=p(m-n)+np
m -n
= pm
m -n;
(2)
x
x
2-4-
1
2-x =
x
(x+2)(x-2)+
1
x-2
=
x
(x+2)(x-2)+
x+2
(x+2)(x-2)
=
x+x+2
(x+2)(x-2)=2x+2
x
2-4.
第10 章
分式
134
通常,分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式.
1.计算:
(1)c
ab
2+bc
ab
2; (2)3
a +a-15
5a ;
(3)1
R1+ 1
R2
;
(4) b
a-b+ ab
b
2-a
2 .
2.小明化简分式
3
(x-2)(x+1)- 1
x-2出现了错误,其解答过
程如下:
原式=
3
(x-2)(x+1)-
x+1
(x-2)(x+1) (第一步)
=
3-x+1
(x-2)(x+1)
(第二步)
=
4-x
(x-2)(x+1).
(第三步)
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的,其错误
的原因是 ;
(2)请写出此题正确的解答过程.
已知a>b>0,试比较1
a与1
b的大小.
?
1
a -1
b = b
ab-a
ab =b-a
ab .
因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.所以b-a
ab <0.
因为1
a -1
b =b-a
ab ,所以1
a -1
b <0.所以1
a < 1
b .
如果a<b<0,那么1
a<1
b是否依然成立?
135
10.3
分
式
的
加
减
证明:
1
n(
n+1)=1
n- 1
n+1.
@ᬻ
因为右边=1
n- 1
n+1= n+1
n(
n+1)-
n
n(
n+1)=n+1-n
n(
n+1)=
1
n(
n+1),
左边=
1
n(
n+1),
所以左边= 右边.即
1
n(
n+1)= 1
n -
1
n+1.
计算: 1
1×2+ 1
2×3+ 1
3×4+…+
1
2025×2026.
1. 已知a>b>0,试比较b
a 与b+1
a+1的大小.
2. 已知a>0,b>0,试比较2ab
a+b与a+b
2 的大小.
1. 计算:
(1) a
a-b- b
a-b; (2)
a
2
(
a-b)
3-
b
2
(
b-a)
3;
(3)b
2
4a
2-c
a;
(4)a-b+ 2b
2
a+b;
(5)
x-2
x
2+4x+4-
1
x+2;
(6) x
2
x
4-4-
1
x
2+2.
2. 已知a>0且a≠1,试比较a+1
2
与2a
a+1的大小.
3. 在甲商店用a元可以购买b 件相同的商品,在乙商店中再加10
元可以购买三倍数量的同款商品,这款商品在乙商店的单价是否
比甲商店更低?
4. 证明:
1
x(
x+1)+
1
(
x+1)(
x+2)+
1
(
x+2)(
x+3)=
3
x(
x+3).
第10 章
分式
136
10.4
分式的乘除
分式的乘除运算法则
怎样计算1
a·2
a 和3
a ÷2
b ?
与分数乘法和除法的运算法则类似,分式乘法、除法的运算法则是:
分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式
相乘.
用符号表示为:b
a·d
c =bd
ac; b
a ÷d
c =b
a·c
d =bc
ad .
计算:
(1)4ac
3b·9b
3
2ac
2; (2)4ac
3b ÷9b
3
2ac
2 .
?
(1)4ac
3b·9b
3
2ac
2 =4ac·9b
3
3b·2ac
2 =36ab
3c
6abc
2 =6b
2
c ;
(2)4ac
3b ÷9b
3
2ac
2 =4ac
3b·2ac
2
9b
3 =8a
2c
3
27b
4 .
计算:
(1)ab
2
6c
2·-4c
3a
2b
2; (2)(ab
4c)
2
.
?
(1)ab
2
6c
2·-4c
3a
2b
2 =- ab
2·4c
6c
2·3a
2b
2 =- 2
9ac;
(2)(ab
4c)
2
=ab
4c·ab
4c =ab·ab
4c·4c =a
2b
2
16c
2 .
137
10.4
分
式
的
乘
除
计算:
(1)y
2
6x÷ 1
3x
2;
(2)a
2-6a+9
1+4a+4a
2÷12-4a
2a+1 .
?
(1)y
2
6x÷ 1
3x
2 =y
2
6x·3x
2
1 =xy
2
2 ;
(2) a
2-6a+9
1+4a+4a
2÷12-4a
2a+1
= (
a-3)
2
(2a+1)
2· 2a+1
-4(
a-3)
=-
a-3
4(2a+1).
1.计算:
(1)2ab
3·-3a
2b
3 ; (2)3
x
3÷9
x
2;
(3)a
2-4b
2
4ab
2 · ab
a+2b;
(4)a
2-b
2
2ab ÷(
a-b).
2. 计算:
(1)(
a-4)·
16-a
2
a
2-8a+16;
(2)
a
2-a+1
4
a-3
÷2a-1
a
2-3a.
分式的混合运算
怎样计算a÷b·1
b ? 小明、小丽谁的算法正确? 请说明理由.
第10 章
分式
138
与分数的乘除混合运算类似,分式的乘除混合运算,要按从左
到右的顺序进行.
求值:a
2+ab-ac
a
2-ab
·
a-b-c
2ab+a
2+b
2 ÷ a+b-c
a
2-b
2 , 其中a=25,
b=5,c=-10.
?
a
2+ab-ac
a
2-ab
· a-b-c
2ab+a
2+b
2÷a+b-c
a
2-b
2
=a
2+ab-ac
a
2-ab
· a-b-c
2ab+a
2+b
2· a
2-b
2
a+b-c
=a(
a+b-c)
a(
a-b) ·a-b-c
(
a+b)
2·(
a+b)(
a-b)
a+b-c
=a-b-c
a+b
.
当a=25,b=5,c=-10时,原式=25-5-(-10)
25+5
=1.
与分数混合运算类似,分式的加、减、乘、除混合运算的顺序
是:先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算.
计算:1-a-2
a
÷a
2-4
a
2+a.
?
1-a-2
a
÷a
2-4
a
2+a
=1-a-2
a ·a
2+a
a
2-4
=1-a-2
a ·
a(
a+1)
(
a+2)(
a-2)
=1-a+1
a+2
= (
a+2)-(
a+1)
a+2
=
1
a+2.
139
10.4
分
式
的
乘
除
已知x
2+1
x
2 =2,求x+1
x 的值.
?
因为(x+1
x)
2
=x
2+2·x·1
x +(1
x)
2
=x
2+2+1
x
2
=2+2=4,
所以x+1
x =± 4=±2.
已知x+1
x=2,如何求x
2+1
x
2的值?
1. 计算:
(1)(1+
1
a-1)(1
a
2-1);
(2)a-2
a
2
÷(1-2
a);
(3)(x+2
x
2-2x-
x-1
x
2-4x+4)÷x-4
x ;
(4) 1
x-1-x-3
x
2-1·x
2+2x+1
x
2-6x+9.
2. 已知1
a -1
b =2,求a+ab-b
ab
的值.
1. 计算:
(1)a
2
b
2c·(-bc
2
2a);
(2)2a-b
a+b ÷(
b-2a);
第10 章
分式
140
(3)
5x+2
25-10x+x
2·x
2-25
25x
2-4;
(4) 2x-6
4-4x+x
2÷
3-x
(x-2)(x+3).
2. 计算:
(1)-3a
b · ab
2
-a
3b
2÷(-6b
a
2);
(2)-
a
2-25
a
2+10a+25÷a
2-1
a+5·a
2+2a+1
a-5
.
3. 计算:
(1)x-3
x-2÷(x+2-
5
x-2);
(2)1-a-b
a-2b÷
a
2-b
2
a
2-4ab+4b
2 .
4. 求值:
(1) 1
x-1+x
2-3x
x
2-1,其中x= 1
2;
(2)1- (x
2-x+1)
2
(x-1)
2
÷x
2-x+1
x
2-2x+1,其中x=-1
3;
(3)2-x
x
2+x÷ x
2-3x
x
2+2x+1·9-x
2
4-2x,其中x=-2.
5. 如图,一并联电路中有两个电阻R1,R2,总电阻为R,三者关系
为:1
R=1
R1+1
R2 .若已知R1,R2,求R .
(第5题)
6. 分别在下列条件下,判断1
a与1
a
2的大小关系,并说明理由.
(1)a>1; (2)0<a<1.
141
10.5
分
式
方
程
10.5
分式方程
分式方程的概念
请用方程描述下列问题中的等量关系:
(1)甲、乙两厂装配同一种汽车,乙厂由于进行了技术创
新,每天比甲厂多装配30辆,乙厂装配500辆所用时间与甲厂
装配400辆所用时间相同.
(2)一个两位数的个位数字是4,如果把个位数字与十位数
字互换,那么所得的两位数与原两位数的比值是7
4 .
设甲厂每天装配汽车x 辆,装配400辆用400
x 天.乙厂每天装
配汽车(x+30)辆,装配500辆用500
x+30天.甲、乙两厂所用的时间
相同,这个等量关系可以用方程表示为
400
x = 500
x+30.
设这个两位数十位数字为x.则原两位数为10x+4,互换个位
数字、十位数字之后为4×10+x=40+x.新数与原数的比值是7
4,
这个等量关系可以用方程表示为40+x
10x+4=7
4 .
像方程400
x = 500
x+30,40+x
10x+4=7
4 这样,等式两边是分式或整
式,且分母中含有未知数的方程叫作分式方程(fractional
equation).
第10 章
分式
142
解方程:20
x = 24
x+1.
?
方程两边同乘x(x+1),得
20(x+1)=24x.
解这个一元一次方程,得
x=5.
把x=5代入原方程:左边=4,右边=4,左边=右边.
原方程的解是x=5.
解分式方程时,在方程的两边同乘各分式的最简公分母,可转
化为整式方程.本章只讨论可以转化为一元一次方程的分式方程.
解方程:3
x -
2
x-1=0.
?
方程两边同乘x(x-1),得
3(x-1)-2x=0.
解这个一元一次方程,得
x=3.
把x=3代入原方程:左边=3
3- 2
3-1=0,右边=0,左边=右边.
所以原方程的解为x=3.
解下列方程:
(1)40+x
10x+4= 7
4; (2)9
x =
8
x-1;
(3)15
x -15
3x = 2
3;
(4) x
2x-5+
5
5-2x =1.
143
10.5
分
式
方
程
分式方程的增根
解方程:5x-4
x-2 =4x+10
3x-6 -1.
在分式方程5x-4
x-2 =4x+10
3x-6-1的两边同乘3(x-2)后,解
得的x=2使原方程的分母为0,所以x=2虽然是化简后所得方程
的解,但不是原方程的解.这样的解称为增根(extraneousroot).
这里,造成增根的原因是x=2使所乘整式3(x-2)的值为0,这
相当于在方程两边同时乘0.
由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根,
因此解分式方程必须进行检验.
解下列方程:
(1)30
x = 20
x+1;
(2)x-2
x+2-x+2
x-2=
16
x
2-4.
?
(1)方程两边同乘x(x+1),得
30(x+1)=20x.
解这个一元一次方程,得
x=-3.
检验:当x=-3时,x(x+1)=6≠0 .
所以原方程的解为x=-3 .
第10 章
分式
144
(2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得
(x-2)
2-(x+2)
2 =16.
解这个一元一次方程,得
x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0,x=-2是增根.
所以原方程无解.
解下列方程:
(1)4+x
x-1-5= 2x
x-1; (2) 1
x-2=1-x
2-x-3;
(3) 3
x+1=
6
x
2-1.
用分式方程解决问题
刘大妈在超市购买大米.第一次按原价购买,用了105元.几天
后,大米8 折出售,她用140 元又买了一些,两次一共购买了
40kg.这种大米的原价是多少?
?
设这种大米的原价为x元/kg.
根据题意,得
105
x + 140
0.8x =40.
解这个方程,得
x=7.
经检验,x=7是所列方程的解.
答:这种大米的原价为7元/kg.
145
10.5
分
式
方
程
某校师生到离学校15km处参加义务植树活动,部分师生骑自行车
出发,40min后,其余师生乘汽车出发,汽车速度是自行车速度的
3倍,全体师生同时到达.分别求自行车与汽车的平均速度.
?
设自行车的平均速度为xkm/h.
根据题意,得
15
x =15
3x+40
60.
解这个方程,得
x=15.
经检验,x=15是所列方程的解.
答:自行车的平均速度是15km/h,汽车的平均速度是45km/h.
在章头活动中,如何分别求出普通动车组列车和“复兴号”动
车组列车的平均速度?
1.一个分数的分母比它的分子大5,如果将这个分数的分子
加上14,分母减去1,那么所得分数是原分数的倒数.求
原分数.
2.A,B两种机器人搬运货物,A型机器人每小时搬运货物
的质量是B型机器人的1.5倍,A 型机器人搬运900kg
货物的时间比B型机器人搬运800kg货物的时间少1h.
两种机器人每小时分别搬运多少货物?
第10 章
分式
146
1. 解下列方程:
(1)3-x
4+x = 1
2;
(2) 1
x+1+
1
x-1=0;
(3)2x-3
x-1 =4x-1
2x+3;
(4) x
2x-1=2-
3
1-2x .
2. 解下列方程:
(1)3x+2
x-1 =
5
x-1;
(2)x-8
x-7-
1
7-x =8;
(3)2x-5
x-2 =3x-3
x-2 -3;
(4)x+1
x-1-
4
x
2-1=1.
3. 某农业基地改进蔬菜的浇水方式,将喷灌方式改为滴灌.改进
后,一块菜地平均每天用水量减少1t,20t水可以使用的天数是
原来的2倍.浇水方式改进后一块菜地平均每天用水多少吨?
喷灌
滴灌
(第3题)
4. 某科技企业接到生产300万个智能手机芯片的订单,为了满足客
户尽快交货的要求,工厂增开了一条生产线,实际每月生产能力
比原计划提高了50%,结果比原计划提前2个月完成交货.每
月实际生产智能手机芯片多少万个?
147
10.5
分
式
方
程
5. 为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种树
960棵.由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的
4
3倍,结果提前4天完成任务.原计划每天种树多少棵?
6. 甲、乙城市间的高速铁路长600km,高速公路长580km,从甲
城到乙城乘高铁列车比乘汽车少用3.8h,已知高铁列车的平均
速度是汽车平均速度的3倍.求高铁列车的平均速度.
类 比
光和声,这两类现象具有许多相似的性质,如它们都是直线传播,
都有折射与反射现象等.荷兰物理学家惠更斯(C.Huygens,1629—1695)
根据当时已知的“声具有波动性质”,类比提出“光可能有波动性质”
的猜想.后来,光的波动性质通过实验得到了证实.
像这样,根据两个或两类事物在某些方面相同或类似,而猜想它们
在其他方面也相同或类似的方法,叫作类比.类比是数学发现的重要
方法.类比有助于我们学习新的数学知识.例如,在分式的学习过程
中,我们就常常和分数进行类比.
运用类比的思想方法研究问题时,除了要关注两类事物的相同点,
还要关注它们的不同点.例如,将一元一次不等式的解法与一元一次
方程的解法类比时,应当注意它们的不同点:方程两边同乘(除以)一个
不为0的数时,不必考虑这个数是正数,还是负数;但不等式的两边同
乘(除以)一个不为0的数时,必须注意这个数是负数时,所得不等式中
不等号的方向要改变.
148
分式与浓度
活动1
准备一杯糖水,尝一下,然后在糖水中再加入一点糖,再尝
一下,你会发现糖水更甜了. 我们用分式的知识来研究这个司空
见惯的现象.
设原来的糖水总质量是ag,其中含有bg糖(
a>b>0),则
糖的质量与糖水的质量比(即糖水的浓度)为b
a.现再加入mg糖,
则糖水的浓度为b+m
a+m.
生活经验告诉我们,添加糖后糖水会更甜,可以得到不等式
b+m
a+m >b
a.
你能通过分式的运算证明这个不等式吗?
活动2
两个杯子中依次盛有a1g,
a2g糖水,并且分别含糖b1g,
b2g.若这两杯糖水的浓度相同,
则有b1
a1 =b2
a2.现将这两杯糖水倒入一个大空杯中,则大杯糖水的
浓度与原各小杯糖水的浓度相同,请说明其中的道理.
如果将n小杯浓度相同的糖水倒入一个大空杯中,那么这个
大杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度仍然相同. 这蕴含了一个关
于分式的定理———等比定理,请将下列等式补充完整:
若b1
a1 =b2
a2 = … =bn
an
,则b1+b2+…+bn
a1+a2+…+an = =
= … = .
149
小结与思考
1. 本章知识结构:
分式和分数具有类似的形式,也具有类似的性质和运算.我们
通过和分数类比,得出分式的基本性质,引入分式的加、减、乘、
除运算,并在此基础上研究了可化为一元一次方程的分式方程.
与一元一次方程一样,分式方程也是刻画现实情境中数量关系
的数学模型,应用它可以解决一类实际问题.
2. 类比和转化是重要的数学思想,分式与分数的类比在数学
中具有典型意义.同时,分式的运算常常通过转化的方法来进行,
如异分母分式加减运算转化为同分母分式的加减运算,解分式方
程转化为解整式方程,等等.学习本章有助于形成和发展运算能
力和应用意识.
3. 分式的基本性质与等式的基本性质都可以用于推导或证明代
数式的相等关系.由a
b =c
d (
a,b,c,d都不为0),你能推出a+b
b
与c+d
d
也相等吗? 你还能推出其他的等式吗?
150
复习题
复习巩固
1.x取什么值时,下列分式无意义?
(1)x+2
2x+1; (2)2x-2
4x
2-4.
2. 化简:
(1) 1-a
2
a
2-2a+1;
(2)4a
2b+4ab
2+b
3
2b
3-8a
2b
.
3. 计算:
(1)a-c
a-b-c-b
b-a;
(2) 2m
m
2-4-
m
m -2;
(3)a
2-4
2ab ·4a
2b+8ab
a
2+4a+4;
(4) a
2
a+3÷ 6a
a
2-9;
(5)a
2-b
2
a+b ÷a
2-ab
2a+2b;
(6)(
a
2-2ab+b
2)÷ab-b
2
a+b ;
(7)(1+
1
x-1)·x
2-1
x
; (8)a-1
a
÷(
a-1
a).
4. 求证:当bd≠0时,如果a
b=c
d,那么ad=bc.
5. 某工程队要修路am,原计划平均每天修bm.因天气原因,
平均每天少修cm(
c<b).实际完成工程的时间比原计划推
迟多少天?
6. 解下列方程:
(1) 2
x+2=
3
x-2;
(2) x
2x-1=1-
2
1-2x;
(3) 3
4-x+2=1-x
x-4;
(4)2x+9
3x-9=4x-7
x-3 +2.
7. 学校准备购买A,B两种分类垃圾桶.A种垃圾桶的单价比
B种垃圾桶少150元,且用18000元购买A种垃圾桶的数量
是用13500元购买B种垃圾桶的数量的2倍.求两种垃圾桶
的单价.
8. 某快递仓库使用机器人分拣货物,已知一台机器人的工作效
率是一名分拣工人的20倍.若用一台机器人分拣8000件
151
货物,比原先16名工人分拣这些货物要少用2
3h.求一台机
器人每小时可分拣多少件货物.
灵活运用
9. 已知a+b=5,ab=2,求下列分式的值:
(1)1
a+1
b; (2)b
a+a
b .
10. 当m 取哪些整数时,分式
4
m-1的值是整数?
11. 求3-a
2a-4÷(
a+2-
5
a-2)的值,其中a=-1
2 .
12. 已知a
b = 3
2,求
a
a+b+ b
a-b-
b
2
a
2-b
2 的值.
13. 当x,y满足什么条件时,分式x-y
1+x 的值为0?
14. 由2
3 < 3
4,3
4 < 4
5,4
5 < 5
6,… 写出一般规律并证明.
探索研究
15. 小明、小亮沿同一路线长跑.小明前半程的平均速度是
akm/h,后半程的平均速度是bkm/h (a≠b),小亮的全
程平均速度是a+b
2 km/h.小明、小亮谁先到达终点? 为
什么?
16. 将分式
1
n(
n+2)写成A
n+ B
n+2的形式(其中A,B为有理数).
17. 证明:当a>0,b>0时,b
a+a
b≥2.
18. 将分式a
4+2a
2-1
a
2+1
写成一个整式与一个分式之和的形式.
二次根式
二次根式是开平方运算的一种表达式.本章
主要学习二次根式的概念、性质及其运算.
二次根式的运算性质和幂运算类似,我们可
以通过归纳、类比、证明等方法,体验这些运算
性质的形成和运用过程.
二次根式是后续学习一元二次方程、锐角三
角函数等知识的重要基础.
11
S△ABC=
p(p-a)(p-b)(p-c)
p=a+b+c
2
υ= gR
国际标准纸张分为A型、B型、C型3类,比如我们常用的A4
打印纸属于A型纸.
把A0纸沿长边对折可得到
A1纸,把A1纸沿长边对折可
得到A2纸,把A2纸沿长边对
折可得到A3纸……
所有的A 型纸张的长宽之比是一个定值,你能求出这个定
值吗?
取一张A4纸,记为矩形ABCD (图1),按如图2所示方式折
叠,使点A 落在CD 上,折痕为DE,再按如图3所示方式折
叠,使点C 与点E 重合.你有什么发现?
图1 图2
图3
第11 章
二次根式
154
11.1
二次根式的概念
用带有根号的式子表示下列问题中的数量,这些式子有什么共同
特征?
(1)边长为1的正方形对角线的长;
(2)面积为S的圆的半径;
(3)直角边长分别为a,b的直角三角形斜边的长;
(4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)
满足关系式h= 1
2gt
2 ,试用h表示t (g取10m/s
2).
一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫作二次根式(quadratic
radical),a可以是一个数,也可以是一个代数式.当a是一个非负
数时, a表示a 的算术平方根.
与前面学习的整式和分式一样,二次根式也是一种代数式.
求使下列各式有意义的x的取值范围.
(1) x-3;
(2) x
2+5.
?
(1)要使
x-3有意义,必须x-3≥0,即x≥3;
(
2)不论x取何实数,总有x
2 ≥0,x
2+5≥5,二次根式
x
2+5
在实数范围内总有意义.
根据算术平方根的意义,可知:
当a≥0时,(a)
2=a.
155
11.1
二
次
根
式
的
概
念
计算:
(1)(3)
2 ; (2)(32)
2 ; (3)(a
5 )
2
.
?
(1)(3)
2 =3;
(2)(32)
2 =3
2×(2)
2 =9×2=18;
(3)(a
5 )
2
=a
5 .
图11 1
如图11
1,给定线段AB=a,你能作出
2a吗?
1.求使下列各式有意义的x的取值范围.
(1) x+5; (2) 3x+4;
(3) 3x-1;
(4) 1-10x .
2.计算:
(1)(11)
2 ;
(2)(x
7 )
2
;
(3)(23)
2 ;
(4)(a)
2+(b)
2 .
填空:
2
2 = , 5
2 = , 10
2 = ,
(-2)
2 = ,
(-5)
2 = ,
(-10)
2 = ,
0
2 = .
你有什么发现? 与同学交流.
第11 章
二次根式
156
当a≥0时, a
2 =a;
当a<0时, a
2 =-a.
根据绝对值的意义,当a≥0时,|a|=a;当a<0时,|a|=
-a.由此可知:
a
2=|a|.
计算:
(1) (-2.5)
2 ; (2) (π-1)
2 ; (3) (3-2)
2 .
?
(1) (-2.5)
2 =|-2.5|=2.5;
(2) (π-1)
2 =|π-1|=π-1;
(3) (3-2)
2 =| 3-2|=2- 3.
(a)
2 与a
2是否相等?
1.下列各式是否成立?
(1) (1
2)
2
= 1
2 ; (2) (-1
2)
2
=-1
2 ;
(3) (3-4)
2 =3-4;
(4) 3
2+4
2 =3+4.
2.计算:
(1) (-6)
2 ;
(2) (-a
5)
2
;
(3) a
4 ;
(4) (3- 10)
2 .
157
11.1
二
次
根
式
的
概
念
1.求使下列各式有意义的x的取值范围.
(1) x-4;
(2) 2x+5;
(3) 1-5x ;
(4) x
2+2.
2.计算:
(1)( 3
17)
2
;
(2)(2a)
2 ;
(3)(-2 x-1)
2 ;
(4)(4
2)
2
.
3.计算:
(1) a
2
9(
a≥0);
(2) (π-4)
2 ;
(3) (-7)
2 ;
(4) 16m
4 .
4.要使下列各式成立,a应取什么值?
(1) a
2 = (a)
2 ;
(2) a
2 =-a.
5.指出下列运算过程中的错误.
由(5
2-2)
2
= (2-5
2)
2
,
两边开平方,得(5
2-2)
2
= (2-5
2)
2
.
所以5
2-2=2-5
2 ,即1
2 =-1
2 .
第11 章
二次根式
158
11.2
二次根式的乘除
二次根式的乘法
1.在图11 2中,小正方形的边长为1.矩形ABCD 的面
积是多少?
2.画出矩形EFGH,使EF= 2,FG= 18 .矩形EFGH
的面积是多少?
A
B
C
D
图11 2
分别用小慧、小亮的方法计算矩形ABCD、矩形EFGH 的面
积,可以得到
2× 8=4,2× 18=6.
1.填空:
(1)4× 25= ,4×25= ;
(2)9× 16= ,9×16= ;
(3) (2
3)
2
× (3
5)
2
= , (2
3)
2
×(3
5)
2
= .
2.a·b = ab(
a≥0,
b≥0)成立吗?
159
11.2
二
次
根
式
的
乘
除
事实上,我们可以证明a·b = ab(
a≥0,
b≥0).
当a≥0,
b≥0时,
因为
(a·b)
2 = (a·b)(a·b)
= (a)
2·(b)
2
=ab,
所以由算术平方根的定义,可得
a·b= ab (
a≥0,b≥0).
于是,可得二次根式乘法的性质:
a· b= ab(
a≥0,b≥0)
.
特别地,当a=b,a≥0时,(a)
2 = a
2 =a.
计算:
(1) 1
2 × 8; (2) 56× 14; (3) 2a· 8a .
?
(1) 1
2 × 8=
1
2×8= 4=2;
(2) 56× 14=
56×14
=
4×14×14
=
(2×14)
2 =2×14=28;
(3) 2a· 8a =
2a·8a =
16a
2 =4a.
把a·b = ab(
a≥0,b≥0)反过来,可得
ab= a· b(
a≥0,b≥0).
利用这个式子可以化简一些二次根式.
第11 章
二次根式
160
化简:
(1) 27;
(2)23×3 15;
(3) 4a
2b
3(
a≥0,
b≥0).
?
(1) 27=
3×9= 3× 9= 3×3=33;
(2)23×3 15=2×3× 3×15=6×35=185;
(3)当a≥0,
b≥0时,4a
2b
3 =
4a
2b
2·b
=
(2ab)
2·b
=
(2ab)
2·b =2ab b .
化简二次根式的结果中,被开方数一般不含能开得尽方的因数
或因式.
如何计算a
3· ab (
a≥0,b≥0)?
1.计算:
(1) 20× 5;
(2)2× 18;
(3) 48× 12;
(4) 6a· 3a
2 .
2.化简:
(1) 150;
(2) 26
2-10
2 ;
(3) 9m
3;
(4) x
3+x
2y(x≥0,x+y≥0).
3.计算:
(1) 2
3 × 12;
(2)32×(- 18
4 ).
161
11.2
二
次
根
式
的
乘
除
二次根式的除法
已知平行四边形的面积为10,一边长为5,如何求这条
边上的高?
1.填空:
(1) 4
25
= ,
4
25 = (
)
2
= ;
(2) 49
100
= ,
49
100 = (
)
2
= .
2.a
b
=
a
b (a≥0,
b>0)成立吗?
事实上,我们可以证明: a
b
= a
b (
a≥0,b>0).
当a≥0,
b>0时,
因为
(a
b )
2
= (a)
2
(b)
2 =a
b,
所以由算术平方根的定义,可得a
b
=
a
b (
a≥0,
b>0).
于是,我们得到二次根式除法的性质:
a
b
= a
b (
a≥0,b>0).
第11 章
二次根式
162
计算:
(1) 10
5
; (2) 56
7
; (3) 12
3 ÷
1
3 .
?
(1) 10
5
=
10
5 = 2;
(2) 56
7
=
56
7 = 8=22;
(3) 12
3 ÷
1
3 =
5
3÷1
3 =
5
3×3= 5.
把a
b
=
a
b (
a≥0,b>0)反过来,可得:
a
b = a
b
(
a≥0,b＞0）.
利用这个式子可以化简一些二次根式.
化简:
(1) 3
16 ;
(2) 8
9 ;
(3) 4a
9 .
?
(1) 3
16 =
3
16
= 3
4 ;
(2) 8
9 = 8
9
=22
3 ;
(3) 4a
9 =
4a
9
=2a
3 .
1.计算:
(1) 52
13
;
(2) 14
7
;
(3) 18÷ 6.
163
11.2
二
次
根
式
的
乘
除
2.化简:
(1) 3
49 ; (2) 35
9 ; (3) 27b
16 .
3.化简:
(1) 32
2× 8
; (2) x
2+2x+1
x+1
.
分母有理化
填空:
(1) 1
3 =
1×( )
3×( )=
1×( )
3×( )= ( )
3
;
(2)当a>0时, 1
a =
1×( )
a×( )=
1×( )
a×( )= ( )
a
.
当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘
适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母.例如,当a ≥0,
b>0时,
a
b =
a·b
b·b =
ab
b
2 =
ab
b
2 =
ab
b
.
化简下列各式,使被开方数中不含分母.
(1) 2
3 ; (2) 21
3 ; (3) 2y
x (x>0,y≥0).
?
(1) 2
3 =
2×3
3×3 = 6
3 ;
(2) 21
3 =
7
3 =
7×3
3×3 =
21
3 ;
(3)当x>0,y≥0时, 2y
x =
2y·x
x·x =
2xy
x
.
第11 章
二次根式
164
填空:
(1)1
2
= 1×( )
2×( )= ( )
2
; (2)3
5
= 3×( )
5×( )= ( )
5
;
(3)当a>0时,1
a
= 1×( )
a×( )= ( )
a
.
当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或
式,可以使分母中不含有根号.例如,当a≥0,b>0时,
a
b
= a·b
b·b
=
ab
b
.
上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化.
化简下列各式,使分母有理化.
(1)2
3
; (2) 1
5x
; (3) y
18x
.
?
(1)2
3
= 2× 3
3× 3
= 6
3 ;
(2) 1
5x
=
5x
5x× 5x
=
5x
5x ;
(3) y
18x
=
y· 2x
18x· 2x
=
2xy
6x
.
一般地,如果一个二次根式满足:
(1)被开方数中不含分母;
(2)被开方数写成乘积形式时,不含能开得尽方的因数或因式,
这样的二次根式叫作最简二次根式(simplestquadraticradical).例
如, 6, 5x, 2xy都是最简二次根式.
化简含二次根式的代数式时,一般先通过分母有理化使得代数
式的分母中不含二次根式,然后将其中的每个二次根式化为最简二
次根式.
165
11.2
二
次
根
式
的
乘
除
1.化简:
(1) 2
7 ; (2) 31
5 ; (3) 3a
5 .
2.计算:
(1)3
5
;
(2)32
3
;
(3) 5b
a
3 .
3.小狗只要沿着最简二次根式走,就可以吃到美味的骨头,请
你帮它找出路径. (只能沿上、下、左、右四个方向走,不能
走斜的方向)
8
29
28
29
31
35
81
2
12
18
9
23
44
66
64
3
25
32
17
6
48
67
36
5
11
19
21
52
79
70
71
1.计算:
(1)3× 27;
(2) 1
5 × 45;
(3) 18a· 2a ;
(4)23×
1
3 .
2.化简:
(1) 54;
(2) 125;
(3) 72;
(4) 25a
3 .
3.计算:
(1) 15×
5
3 ;
(2) 14× 35;
(3)32×2 10× 5;
(4)2 5a· 10a.
4.直角三角形的两条直角边长分别为2, 10,求这个直角三角
形的面积.
(起点)
(终点)
第11 章
二次根式
166
5.计算:
(1) 112
14
;
(2) 95
19
;
(3) 75÷ 15;
(4) 41
2 ÷ 21
4 .
6.已知矩形的面积为
12,宽为3,求这个矩形的长.
7.化简:
(1) 25
81 ;
(2) 31
16 ;
(3) 3
16 ;
(4) a
c
2(
a≥0,c>0).
8.化简:
(1) 4×10-4 ;
(2) 81
6 ;
(3) 125
12 ;
(4) 3b
a
2(
a>0,b≥0).
9.计算:
(1)1
3
;
(2) 7
72
;
(3) 1
3b
3 ;
(4) 1
50y
.
10.根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度,所用的
经验公式是v=
2gμd,其中v表示车速(单位:m/s),g表示
重力加速度,g取9.8m/s
2,d 表示刹车后车轮滑过的距离(单
位:m),μ 表示摩擦系数.在某次交通事故调查中,测得
d=20m,μ=0.8,该路段限速60km/h,该汽车超速了吗? 请
说明理由.
167
11.3
二
次
根
式
的
加
减
11.3
二次根式的加减
二次根式是一种代数式,代数式的各种运算法则、运算律对二
次根式仍然适用.下面我们研究二次根式的加减.
二次根式的加减运算
下列各组数分别有什么共同特征?
(1)2,32,-22,2
32;(2)5,-3 20, 125, 1
5 .
上面两组数中,第(1)组的二次根式被开方数相同,第(2)组的
二次根式化简后被开方数相同.
经过化简,可以使被开方数相同的二次根式,叫作同类二次根
式.例如,上面的每一组二次根式都是同类二次根式.
如何计算5-3 20+ 125+
1
5 ?
5-3 20+ 125+ 1
5
= 5-65+55+1
5 5
=(1-6+5+1
5)× 5
=1
5 5.
第11 章
二次根式
168
二次根式的加减法一般遵循下面的程序:
二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次
根式.
计算:
(1)32+43-22+ 3; (2) 12+ 18- 8- 32;
(3) 40-5 1
10+ 10.
?
(1) 32+43-22+ 3
=3 2-2 2+4 3+ 3
= 2+53;
(2)
12+ 18- 8- 32
=2 3+3 2-2 2-4 2
=23-32;
(3)
40-5 1
10+ 10=2 10-5× 10
10 + 10= 5
2 10.
图11 3
如图11 3,两个圆的圆心相同,半径分别为
R,r,面积分别为18,8.求圆环的宽度(两
圆半径之差).
?
由圆的面积公式,得R= 18
π,r=
8
π .则
R-r=
18
π -
8
π
=
18π
π
- 8π
π
=32π
π -22π
π
= 1
π 2π.
答:圆环的宽度为1
π 2π.
169
11.3
二
次
根
式
的
加
减
1.计算:
(1)2+ 8;
(2)36- 5-1
2 6+25;
(3)2 1
27-2
3 18-( 4
3 -4 1
2 );
(4)4 ab+5 ab-3
2 ab- 4ab(
a≥0,b≥0).
2.分别求下列两个正方形的边长之和:
(1)两个正方形的面积分别为2,8;
(2)两个正方形的面积分别为S,4S.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算往往涉及代数式的各种运算,一般需要综
合运用各种运算律、运算法则和运算性质.
计算:
(1)( 5
12+23)× 15;
(2)(3+ 10)(2- 5).
?
(1) ( 5
12+23)× 15=
5
12× 15+23× 15
=
5
4×5+2 9×5= 5
2+65;
(2) (3+ 10)(2- 5)=32-35+ 10× 2- 10× 5
=32-35+25-52
=-22- 5.
第11 章
二次根式
170
计算:
(1)(3+ 2)(3- 2);
(2)(3+25)
2 .
?
(1)(3+ 2)(3- 2)= (3)
2-(2)
2 =3-2=1;
(2)(3+25)
2 =3
2+2×3×25+(25)
2
=9+125+20=29+125.
计算:
(1)(6+23)÷ 3; (2)
5
3+ 5
+
5
3- 5
.
?
(1)(6+23)÷ 3= 6
3
+23
3
= 2+2.
(2)
5
3+ 5
+
5
3- 5
=
5(3- 5)
(3+ 5)(3- 5)+
5(3+ 5)
(3- 5)(3+ 5)
=35-5
9-5 +35+5
9-5
=35-5+35+5
9-5
=65
4 = 3
2 5.
1.计算:
(1)(3+22)× 6; (2)5×(10- 5);
(3)(6- 3+1)×23;
(4)(5- 6)(3+ 2).
2.计算:
(1)(3+1)(3-1);
(2)(5-2)
2 ;
(3)(6+ 2)
2 ;
(4)(12+ 2)÷ 2;
(5)
3
5-2
+
3
5+2
;
(6)(a+b)(a-b).
171
11.3
二
次
根
式
的
加
减
互为有理化因式
像3· 3=3, a· a=a(a≥0), (b+1)(b-1)=b-1(b≥0)
…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个
代数式互为有理化因式.例如, 5· 5,(2+1)·(2-1),(23+
35)·(23-35)最后的结果都不含二次根式,所以5与5, 2+1
与2-1,23+35与23-35是互为有理化因式.
a+b 2 (其中a,b为有理数)的有理化因式是什么呢?
不难发现(a+b 2)·(a-b 2)=a2-2b2,最后的结果不含二次根
式,因此a+b 2的有理化因式是a-b 2.
在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以将分母有理化.
例如:
1
23
=
3
23× 3
= 3
6;
2
3+1
=
2×(3-1)
(3+1)(3-1)=2×(3-1)
(3)
2-12 = 3-1;
1
2+ 3
+
1
2-1
=
2- 3
(2+ 3)(2- 3)+
2+1
(2-1)(2+1)
=2- 3+ 2+1
=3- 3+ 2.
你能化简
1
2-1
,
1
5+ 3
吗?
1.计算:
(1)5 12+ 48; (2) 80- 20;
(3)2 18-
1
2;
(4) 9
2 +
1
8.
第11 章
二次根式
172
2.计算:
(1)23-35+55+73;
(2) 12- 27- 20+ 50;
(3) 1
2 - 8+ 1
2
- 1
8
;
(4) 4x+2 2x-1
2 8x-4 x .
3.计算:
(1)(23- 6)× 12;
(2)53×(15+ 6);
(3)(18- 12+ 2)×26.
4.计算:
(1)(2+ 5)(3- 5);
(2)(3- 5)
2 ;
(3)(32+23)(32-23).
5.设直角三角形的两条直角边分别是a,b,斜边是c.
(1)如果a=23+1,b=23-1,求c;
(2)如果a=8- 2,b=8+ 2,求c.
6.已知x= 5-3
2
,y= 5+3
2
,求代数式x
y+y
x的值.
7.设m =-1+ 2,n=-1- 2.
(1)求m
2+2m-1,n
2+2n-1的值;
(2)求m+n,mn的值.
8.已知m 是正整数, 117m是整数,求m 的最小值.
9.判断下列各式是否成立:
(1) 22
3 =2 2
3;
(2) 33
8 =3 3
8;
(3) 44
15 =4 4
15;
(4) 55
24 =5 5
24.
请用含有正整数n(
n≥2)的式子表示上述规律,并加以证明.
173
11.3
二
次
根
式
的
加
减
“海伦—秦九韶公式”
“三斜求积”
在《数书九章》中,南宋数学家秦九韶(1208—
约1261)提出了解决“已知三角形的三条边,求三
角形面积”这个问题的办法,即著名的“三斜求积
术”.用字母表示这个方法就是:若三角形的三边
为a,b,c,那么三角形的面积S的计算公式为
S=
1
4[a2c2-(
c2+a2-b2
2
)
2
](a>b>c).
①
古希腊数学家海伦(HeronofAlexander,约1世纪)也给出了根据
三角形三边求面积的公式,即“海伦公式”:
S=
p(p-a)(p-b)(p-c),其中p= 1
2(a+b+c).
②
实际上,由公式①可以方便地推导出公式②:
1
4[a2c2-(
c2+a2-b2
2
)
2
]
= (1
2ac)
2
-(
c2+a2-b2
4
)
2
= (1
2ac+c2+a2-b2
4
)(1
2ac-c2+a2-b2
4
)
= (2ac+c2+a2-b2
4
)·(2ac-c2-a2+b2
4
)
=
(a+c)
2-b2
4
·b2-(a-c)
2
4
=
a+c+b
2
·a+c-b
2
·b+a-c
2
·b-a+c
2
.
记p=1
2(a+b+c),则可得
1
4 [a2c2-(
c2+a2-b2
2
)
2
]= p(p-a)(p-b)(p-c).
因此“海伦公式”又被称为“海伦秦九韶公式”.
174
画画·算算
图1~图3中,小正方形的边长为1.在图中分别找出以A
为一个顶点的所有矩形(其他三个顶点也是格点),并画出以A
为一个端点的所有对角线.这3个图形中,这样的对角线各有
多少条? 它们的长度的和分别为多少?
自己再用若干个边长为1的小正方形拼一个矩形,仿照上
面方法画出以A 为一个端点的所有对角线,并计算这些对角
线长度的和,试试看.
图1 图2 图3
175
小结与思考
1.本章知识结构:
二次根式
性质
(a)
2 =a(a≥0)
a
2 =|a|
ab = a·b(a≥0,
b≥0)
a
b = a
b
(a≥0,
b>0)
二次根式的
化简与运算
二次根式乘除
二次根式加减
本章中,我们学习了二次根式的概念、性质以及简单的四则运
算,这里的运算实质上是非负实数的算术平方根的相关运算.从整
式、分式,到二次根式,我们对代数式的认识逐渐丰富.
2.二次根式相加减,先将各个二次根式化简,再合并同类二次
根式.二次根式的运算结果一般要求化成最简二次根式.
学习二次根式的有关内容可以帮助我们深入认识数与式运算中
的运算法则、运算律和运算性质,有助于进一步发展运算能力和推
理能力.
3.把二次根式的运算与幂的运算进行比较,你能发现它们的相
同点和不同点吗?
176
复习题
复习巩固
1.求使下列各式有意义的x的取值范围.
(1) 6+2x ;
(2) 2-x ;
(3) (x-1)
2 ;
(4) x+1
x
.
2.判断下列各式是否正确,如果不正确,举反例来说明:
(1)a+b= a+b;
(2) a
2-b
2=a-b (
a>b).
3.化简:
(1) 72;
(2) 25
2-24
2 ;
(3) 6×12×18;
(4) 25x
2y(x≥0,y≥0).
4.计算:
(1)23+3 12- 48;
(2)8+3 1
3 - 1
2
+ 3
2 ;
(3) 108+
3
25+
1
2 - 32.
5.计算:
(1)(2 12-3 1
3 )× 6;
(2)(25+32)(25-32);
(3)(3+ 2+ 5)(3+ 2- 5).
6.在△ABC 中,∠C =90°,AC =
10,AB =
34.求BC .
灵活运用
7.已知x=3+22,y=3-22.求x
2y+xy
2 的值.
8. 计算: 1
2+1
+
1
3+ 2
+
1
2+ 3
.
177
9.物体从静止状态自由下落的高度hm与所需的时间ts满足
关系式h = 1
2gt
2 ,g 取10m/s
2,这个关系式可以写成
t=
h
5 .如果两个苹果分别从离地面2m,3.6m处落下,
求它们落到地面所用时间的总和.
(第9题)
10.已知实数5的整数部分为m,小数部分为n,你能求出
(3m+2n)(3m-2n)的值吗?
探索研究
11.已知m = -1+ 5
2
,
n= -1- 5
2
,求下列式子的值:
(1)m
2+m-1; (2)n
2+n-1.
12.观察下列运算:
(1)由(2-1)(2+1)=1,得
1
2-1
= 2+1;
(2)由(5-2)(5+2)=1,得
1
5-2
= 5+2;
(3)由(10-3)(10+3)=1,得
1
10-3
= 10+3;
……
请用含有正整数n(
n≥1)的式子表示上述规律,并加以证明.
后 记
本套教科书依据教育部制定的《义务教育数学课程标准
（2022 年版）》编写.
本套教科书全面落实立德树人根本任务，以学生发展为本，
以核心素养为导向，遵循初中学生的认知规律，着力优化课程结
构、内容组织和栏目设计，创新数学活动设计，提高教学效率，
并推进课程改革.
本套教科书的编写充分吸收了我国基础教育课程改革的优秀
成果，继承了2003 年版、2012 年版《义务教育教科书数学》
（杨裕前、董林伟主编）的经验，借鉴了国内外数学教育与教科
书设计的研究案例，充分调研了教科书的使用情况，《义务教育
数学课程标准（2022 年版）》制订组的专家对编写给予了悉心指
导，教材审查组专家提出了中肯建议. 本套教科书凝聚了众多学
科专家、教育专家、教研人员、一线教师的智慧.
鲁小莉、严媛、孙永健、周瑜珍也参加了本册教科书的编写.
章建跃、喻平、傅海伦、丁银杰、叶琳、朱晨菲、庄志红、刘东升、
陈志廉、赵维坤、唐萍、浦叙德、戚有建、谢丽、戴荣生等对本册
进行了细致的审读；还有一大批教研员、教师、学生参与了系统
的试教试用. 在此，我们对所有为本套教科书提供帮助和支持的
专家、教师及社会各界朋友一并表示衷心的感谢！
教材建设是一项长期的系统工程，我们热切期望广大教师、
学生及家长为本套教科书的不断完善提出意见和建议，联系电话
为025
86633140，联系邮箱为skjc2022@163.com.
数学
八年级下册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE
定价： 元
