杨裕前
董林伟
主编
义务教育教科书
数学
九年级上册
主 编 杨裕前 董林伟
责任编辑 许礼光 闵正年 沈 琼
责任校对 仲 敏
出
版 江苏凤凰科学技术出版社
出版社地址 南京市湖南路1号A楼,邮编:210009
编读信箱 skjc2022@163.com
重 印 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
发
行 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
照 排 江苏凤凰制版有限公司
印 刷
开 本 787mm×1092mm 1/16
印 张 9.75
版 次 2006年6月第1版 2014年6月第3版
印 次
标准书号 ISBN978 7 5537 2974 9
定 价
如发现印、装质量问题,请与凤凰传媒联系,电话:400 828 1132
亲爱的伙伴:
祝贺你升入九年级!
两年来我们在数学王国里探索,翻过了一座座“山峰”,当你蓦然回首
时,会发现自己“长高”了.这册课本将陪伴你继续攀登,进一步领略数
学王国里的多姿多彩.
“一元二次方程”是又一个刻画现实世界数量关系的数学模型,你将在
学习一元二次方程各种解法的过程中,进一步体会转化的思想,并尝试应
用一元二次方程的知识解决一些实际问题.
红日、车轮、硬币……圆象征着完美、和谐, “对称图形———圆”将引
导你运用圆的对称性探索圆的一些性质,运用图形运动和推理的方法证实
圆的有关性质.
“数据的集中趋势和离散程度”将介绍平均数、中位数、众数和方差,
并引导你根据具体问题,选用这些统计量来描述、分析数据.
袋子中装有红球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外都相同.搅匀
后从中摸出1个球,摸到红球、白球、黑球的可能性相同吗? 学习了“等
可能条件下的概率”以后,你将会计算这样的一类事件发生的概率.
“实践与探索”、“观察与思考”、“操作与思考”、“尝试与交流”、“思考
与探索”、“拓展与延伸”等,本册课本设计的这些栏目,不仅有助于你学
懂知识、学会技能,而且能引导你体会数学的本质,感悟基本数学思想.
目 录
第1章
一元二次方程
1.1 一元二次方程
6
……………………………………………………
1.2 一元二次方程的解法
9
……………………………………………
*1.3 一元二次方程的根与系数的关系
21
……………………………
1.4 用一元二次方程解决问题
24
……………………………………
数学活动
矩形绿地中的花圃设计
32
…………………………
小结与思考
32
……………………………………………………
复习题
33
…………………………………………………………
第2章
对称图形——圆
2.1 圆
38
………………………………………………………………
2.2 圆的对称性
44
……………………………………………………
2.3 确定圆的条件
50
…………………………………………………
2.4 圆周角
53
…………………………………………………………
2.5 直线与圆的位置关系
63
…………………………………………
2.6 正多边形与圆
77
…………………………………………………
2.7 弧长及扇形的面积
83
……………………………………………
1
2.8 圆锥的侧面积
86
…………………………………………………
数学活动
图形的密铺
88
………………………………………
小结与思考
89
……………………………………………………
复习题
90
…………………………………………………………
第3章
数据的集中趋势和离散程度
3.1 平均数
98
…………………………………………………………
3.2 中位数与众数
104
…………………………………………………
3.3 用计算器求平均数
110
……………………………………………
3.4 方差
113
……………………………………………………………
3.5 用计算器求方差
118
………………………………………………
数学活动
估测时间
121
…………………………………………
小结与思考
122
……………………………………………………
复习题
122
…………………………………………………………
第4章
等可能条件下的概率
4.1 等可能性
128
………………………………………………………
4.2 等可能条件下的概率(一)
131
…………………………………
2
4.3 等可能条件下的概率(二)
140
…………………………………
数学活动
调查“小概率事件”
143
……………………………
小结与思考
144
……………………………………………………
复习题
144
…………………………………………………………
课题学习
收集数据
分析数据
探索规律
148
……
数学活动评价表
149
………………………………………………
3
第1章
一元二次方程
4
x2+(x-1)
2 =52
从“一次”到“二次”,建立了新的数学模型;
从“二次”到“一次”,用转化思想解决问题.
本章将学习一元二次方程的概念、解法和应用.
一块石头从离海面45m高的绝壁上落下, 试估计这块石头经过多少时间落到海面.
设石头在下落过程中离海面的高度h 与下落的时间t有如下的关系:
h=-5t2+45.
1.填表:
t/s
0
0.5
1
1.5
2
2.5
…
h/m
…
2.石头经过多少时间落到海面?
第1章
一元二次方程
6
1.
1
一元二次方程
正方形桌面的面积是2m2.设正方形桌面的边长是xm,可以用
方程
x2=2
来描述该桌面的边长与面积之间的数量关系.
图1 1
如图1 1,矩形花圃一面靠
墙,另外三面所围的栅栏的总长度
是19m,花圃的面积是24m2.设
花圃的宽是x m,则花圃的长是
(19-2x)m,可以用方程
x(19-2x)=24
来描述该花圃的宽与面积之间的数量关系.
2020~2022年,我国农村居民人均可支配收入在两年内从17131.5
元增加到20132.8元.设农村居民人均可支配收入平均每年增长的百
分率是x,则2021年我国农村居民人均可支配收入为17131.5(1+x)
元,2022年为[17131.5(1+x)](1+x)元,可以用方程
17131.5(1+x)
2=20132.8
来描述2020~2022年我国农村居民人均可支配收入平均每年增长的百
分率与人均可支配收入之间的数量关系.
图1 2
如图1 2,长5m 的梯子斜靠在墙
上,梯子底端到墙面的距离比梯子顶端
到地面的距离多1m.设梯子底端到墙面
的距离是xm,怎样用方程来描述其中的
数量关系?
1.1 一元二次方程
7
方程x2=2、x(19-2x)=24、17131.5(1+x)
2=20132.8、
x2+(x-1)
2=25有哪些共同的特征?
方程x2=2、x(19-2x)=24、17131.5(1+x)
2=20132.8、
x2+(x-1)
2=25,它们都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数
是2.像这样的方程叫做一元二次方程(quadraticequationwithone
unknown).
关于x的一元二次方程的一般形
式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,
a≠0).其中,ax2、bx、c分别叫做二
次项、一次项和常数项,a、b分别叫
做二次项系数、一次项系数.
例如,方程x(19-2x)=24可以整理成-2x2+19x-24=0,它
的二次项系数、一次项系数和常数项分别为-2、19、-24.
(第1题)
1.用方程描述下列问题中的数量关系:
(1)一张面积是240cm2 的长方形彩纸,长比宽多8cm.设
它的宽为xcm,可得方程 .
(2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为
1cm的正方形孔.已知正方形面积是
圆面积的1
9 .设圆的半径为xcm,
可得方程 .
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项.
(1)x2-x=2; (2)4x+1=x2 ;
(3)2x2 =-3x+1;
(4)x(x+3)=-2.
第1章
一元二次方程
8
１.１
1.用方程描述下列问题中的数量关系:
(1)一个正方体的表面积是150cm2.设这个正方体的棱长为
xcm,可得方程 .
(2)一个长方形操场的面积是7200m2,长是宽的2倍.设这个操
场的宽为xm,可得方程 .
(3)两个连续奇数的积为323,设其中的一个奇数为x,可得方
程 .
(4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高
到16900台.设平均每年增长的百分率为x,可得方程
.
2.你能找到第1(1)题所列方程的解吗? 试一试.
1.2 一元二次方程的解法
9
1.
2
一元二次方程的解法
我们已经会解一元一次方程,如何解一元二次方程?
对于一元二次方程x2 =2,根
据平方根的意义,x 是2的平方根,
即x=± 2.
于是,我们知道一元二次方程x2=2有两个根,它们分别记为
x1 = 2,x2 =- 2.
这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
例1 解下列方程:
(1)x2-4=0;
(2)4x2-1=0.
解: (1)移项,得
x2 =4.
因为x是4的平方根,
所以
x=±2,
即
x1 =2,x2 =-2.
(2)移项,得
4x2 =1.
两边都除以4,得
x2 = 1
4 .
因为x是1
4 的平方根,
所以
x=±1
2 ,
即
x1 = 1
2,x2 =-1
2 .
第1章
一元二次方程
10
例2 解方程:(x+1)
2 =2.
分析:只要把(
x+1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解.
解: 因为(x+1)是2的平方根,
所以
x+1=± 2,
即
x1 =-1+ 2,x2 =-1- 2.
形如(x+h)
2 =k(h、
k为常数,
k≥0)的一元二次方程,可以用直
接开平方法求解.
方程(x+1)
2=0,(x+1)
2=-1有解吗? 如果有,你能求出它们
的解吗?
1.解下列方程:
(1)x2 =16;
(2)x2-0.81=0;
(3)y
2-144=0;
(4)9x2 =4.
2.解下列方程:
(1)(x-1)
2 =4;
(2)(x+2)
2 =3;
(3)(x-4)
2-25=0;
(4)(2x+3)
2-5=0.
如何解方程x2+6x+4=0?
把常数项移到方程的右边,得
x2+6x=-4,
即
x2+2·x·3=-4.
在方程的两边都加上一次项系数6
的一半的平方,即32 后,得
x2+2·x·3+32 =-4+32 .
1.2 一元二次方程的解法
11
整理,得
(x+3)
2 =5.
解这个方程,得
x+3=± 5.
所以
x1 =-3+ 5,x2 =-3- 5.
把一个一元二次方程变形为(x+h)
2 =k(h、
k为常数)的形式,当
k≥0时,就可以用直接开平方法求出方程的解.这种解一元二次方
程的方法叫做配方法.
例3 解下列方程:
(1)x2-4x+3=0; (2)x2+3x-1=0.
解: (1)移项,得
x2-4x=-3.
配方,得
x2-2·x·2+22 =-3+22 ,
(x-2)
2 =1.
解这个方程,得
x-2=±1.
所以
x1 =3,x2 =1.
(2)移项,得
x2+3x=1.
配方,得
x2+2·x·3
2+ 3
2
2
=1+ 3
2
2
,
x+3
2
2
=13
4 .
解这个方程,得
x+3
2 =± 13
2 .
所以
x1 =-3
2+ 13
2 ,x2 =-3
2- 13
2 .
第1章
一元二次方程
12
用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0,配方的过程可以用拼
图(如图1 3)直观地表示.
把方程x2+2x-24=0变形为x2+2x=24,即x(x+2)=24.
配方的过程,可以看成将一个长是(x+2)、宽是x、面积是24
的矩形割补成一个正方形.
割
补
成
一
个
正
方
形
一个矩形通过割、拼、
补,成为一个正方形的过程
配方的过程
24
x
xĐ2
x(x+2)=24
x
x2
x
1
1
1·x 1·x
x
x2
x
1
1·x
1·x
x2+2x=24
x2
1
12
1·x
1·x
x
x2+2x+12 =24+12
xĐ1
xĐ1
25
(x+1)
2 =25
配
方
图1 3
为什么在配方过程中,方程的两边要加上一次项系数一半的平方?
1.2 一元二次方程的解法
13
1.填空:
(1)x2-2x+ = (x- )
2 ;
(2)x2+8x+ = (x+ )
2 ;
(3)x2-5x+ = (
x- )
2 ;
(4)x2+3
2x+ = (
x+ )
2.
2.解下列方程:
(1)x2+2x=3; (2)x2-6x=4;
(3)x2+10x+20=0;
(4)x2-x-1=0.
当一元二次方程的二次项系数不是1时,怎样用配方法求解?
例4 解方程:2x2-5x+2=0.
解: 两边都除以2,得
x2-5
2x+1=0.
移项,得
x2-5
2x=-1.
配方,得
x2-5
2x+ 5
4
2
=-1+ 5
4
2
,
x-5
4
2
= 9
16.
解这个方程,得
x-5
4 =±3
4 .
所以
x1 = 1
2,x2 =2.
第1章
一元二次方程
14
例5 解方程:-3x2+4x+1=0.
解: 两边都除以-3,得
x2-4
3x-1
3 =0.
移项,得
x2-4
3x= 1
3 .
配方,得
x2-4
3x+ 2
3
2
= 1
3+ 2
3
2
,
x-2
3
2
= 7
9 .
解这个方程,得
x-2
3 =± 7
3 .
所以
x1 = 2
3+ 7
3,x2 = 2
3- 7
3 .
方程2x2+2x+1
2=0,2x2-x+1=0有解吗? 如果有,你能求
出它们的解吗?
解下列方程:
(1)2x2-8x+1=0; (2)1
2x2+2x-1=0;
(3)2x2+3x=0;
(4)3x2-1=6x;
(5)-x2-x+1
2 =0;
(6)-5x2+2x+1=0.
如何解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)?
1.2 一元二次方程的解法
15
因为a≠0,所以方程两边都除以a,得
x2+b
ax+c
a =0.
移项,得
x2+b
ax =-c
a .
配方,得
x2+2·b
2a·x+ b
2a
2
=-c
a + b
2a
2
,
x+b
2a
2
=b2-4ac
4a2
.
因为a≠0,所以4a2 >0.
当b2-4ac≥0时,
x+b
2a=± b2-4ac
2a
.
所以
x=-b
2a± b2-4ac
2a
,
即
x= -b± b2-4ac
2a
.
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的各
项系数a、
b、
c确定的,当b2-4ac≥0 时,它的实数根是
x= -b± b2-4ac
2a
.
这叫做一元二次方程的求根公式.解一元二次方程时,把各项系
数的值直接代入这个公式,若b2-4ac≥0,就可以求得方程的根.这
种解一元二次方程的方法叫做公式法.
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,如果b2-4ac<0,
那么方程有实数根吗? 为什么?
第1章
一元二次方程
16
例6 解下列方程:
(1)x2+3x+2=0; (2)2(x2-2)=7x.
解: (1)∵a=1,b=3,c=2,
b2-4ac=32-4×1×2=1>0,
∴x= -3± 1
2×1
= -3±1
2
.
∴x1 =-1,x2 =-2.
(2)把方程2(x2-2)=7x化成一般形式,得
2x2-7x-4=0.
∵a=2,b=-7,c=-4,
b2-4ac= (-7)
2-4×2×(-4)=81>0,
∴x=7± 81
2×2 =7±9
4
.
∴x1 =-1
2,x2 =4.
用公式法解下列方程:
(1)x2-3x-4=0; (2)2x2+x-1=0;
(3)x2-2x=3;
(4)20x2 =8x+1;
(5)x(x-6)=6;
(6)4x(x-1)=1.
例7 解下列方程:
(1)x2+x-1=0; (2)x2-23x+3=0;
(3)2x2-2x+1=0.
解: (1)∵a=1,b=1,c=-1,
b2-4ac=12-4×1×(-1)=5,
∴x= -1± 5
2×1
= -1± 5
2
.
∴x1 = -1+ 5
2
,x2 = -1- 5
2
.
(2)∵a=1,b=-23,c=3,
b2-4ac= (-23)
2-4×1×3=0,
1.2 一元二次方程的解法
17
∴x=23± 0
2×1
=23
2 = 3.
∴x1 =x2 = 3.
(3)∵a=2,b=-2,c=1,
b2-4ac= (-2)
2-4×2×1=-4<0,
∴这个方程没有实数根.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况如下:
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).
当b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,没有实数根.
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的
判别式.
1.不解方程,判别方程根的情况:
(1)x2+3x-1=0; (2)x2-6x+5=0;
(3)2y
2-3y+4=0;
(4)x2+5=25x.
2.k取什么值时,关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两
个相等的实数根? 求此时方程的根.
如何解方程x2-x=0?
将方程的左边分解因式,得
x(x-1)=0.
第1章
一元二次方程
18
此时x和x-1两个因式中至少有一个为0,即
x=0或x-1=0,
所以
x1 =0,x2 =1.
当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式
的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方
程,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例8 解下列方程:
(1)x2 =-4x; (2)x+3-x(x+3)=0.
解: (1)原方程可变形为
x2+4x=0,
x(x+4)=0.
x=0或x+4=0.
所以
x1 =0,x2 =-4.
(2)原方程可变形为
(x+3)(1-x)=0.
x+3=0或1-x=0.
所以
x1 =-3,x2 =1.
例9 解方程:(2x-1)
2-x2 =0.
解: 原方程可变形为
(2x-1+x)(2x-1-x)=0,
即
(3x-1)(x-1)=0.
3x-1=0或x-1=0.
所以
x1 = 1
3,x2 =1.
1.2 一元二次方程的解法
19
解方程(x+2)
2=4(x+2).小丽、小明的解法如下:
小丽、小明的解法,哪个正确?
1.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-3x=0;
(2)3x2 =x;
(3)2(x-1)+x(x-1)=0;
(4)4x(2x-1)=3(2x-1).
2.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+1)
2-9=0;
(2)(x-2)
2-9(x+1)
2 =0;
(3)(x-1)
2-2(x-1)+1=0.
１.２
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-36=0;
(2)3x2-1
3 =0;
(3)(x+4)
2-2=0;
(4)(2x+1)
2-3=0;
(5)2(x-1)
2-5=0;
(6)1
3(x+1)
2-1=0.
2.用配方法解下列方程:
(1)x2-7x+12=0;
(2)x2+6x-16=0;
(3)x2-4x=2;
(4)x2+5x+5=0;
(5)x2-0.2x-0.03=0;
(6)x2+2
5x-3
5 =0.
第1章
一元二次方程
20
3.用配方法解下列方程:
(1)4x2-20x+21=0;
(2)2x2-x-1=0;
(3)2y
2-y-1
2 =0;
(4)1
2t2+3t=1;
(5)-3(x2+5)=18x;
(6)1
2x2+1
3x-1=0.
4.用公式法解下列方程:
(1)x2+4x-5=0;
(2)3x2-x-2=0;
(3)2x2-5x+1=0;
(4)4x(x-2)=1;
(5)-2x2+22x+1=0;
(6)2(x-2)
2 =7x-5.
5.用因式分解法解下列方程:
(1)x2+6x=0;
(2)3x(x-2)=x-2;
(3)(x-1)
2-4=0;
(4)9t2-(
t-1)
2 =0;
(5)25x2-5x+1
4 =0;
(6)(x+1)
2+8(x+1)+16=0.
6.解下列方程:
(1)x2-5x-6=0;
(2)x2+12x+27=0;
(3)x(x-3)=10;
(4)(2x-1)(x+3)=4.
7.不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)x2-4x-5=0;
(2)3x2-x+1=0;
(3)5x2+4x-1=0;
(4)2x(2-x)=3.
8.已知y1 =x2-2x+3,y2 =3x-1,x取什么值时,y1 与y2 相等?
9.k取什么值时,关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个
相等的实数根? 有两个不相等的实数根?
*1.3 一元二次方程的根与系数的关系
21
*
1.
3
一元二次方程的根与系数的关系
1.观察下表,你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系?
ax2+bx+c=0
x1
x2
x2-3x+2=0
1
2
x2+3x+2=0
-1
-2
x2-5x+6=0
2
3
x2+5x+6=0
-2
-3
x2-3x=0
0
3
2.方程2x2-5x-3=0的两根是x1=3,
x2=-1
2 ,这两根的和、两
根的积与系数有什么关系?
3.先求出方程3x2-7x+4=0的解,再验证这个方程的根与系数是
否有小明、小丽发现的关系.
第1章
一元二次方程
22
一般地,在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a ≠0)中,如果
b2-4ac≥0,那么它的两个根分别是
x1 = -b+ b2-4ac
2a
、x2 = -b- b2-4ac
2a
.
于是可得
x1+x2 = -b+ b2-4ac
2a
+-b- b2-4ac
2a
=-b
a;
x1·x2 = -b+ b2-4ac
2a
·-b- b2-4ac
2a
= (-b)
2-(b2-4ac)
2
4a2
=4ac
4a2 =c
a .
一元二次方程的根与系数有如下关系:
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2,
x1+x2 =-b
a,x1·x2 =c
a .
例 求下列方程两根的和与两根的积:
(1)x2+2x-5=0;
(2)2x2+x=1.
解: (1)设方程x2+2x-5=0的两根分别是x1、x2 .
因为a=1,b=2,c=-5,
所以x1+x2 =-b
a =-2,x1·x2 =c
a =-5.
(2)把方程2x2+x=1化成一般形式,得2x2+x-1=0.
设它的两根分别是x1、x2.
因为a=2,b=1,c=-1,
所以x1+x2 =-b
a =-1
2,x1·x2 =c
a =-1
2 .
小明在一本课外读物中读到如下一段文字:
一元二次方程x2-
x
=0的两根是2+ 3和2- 3.
你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗?
*1.3 一元二次方程的根与系数的关系
23
*
1.求下列方程两根的和与两根的积:
(1)x2-4x+1=0; (2)2x2-3x=2;
(3)3x2+2x=0;
(4)4x2 =1.
*
2.下列结论是否正确?
(1)设x1、x2 是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根,则
x1+x2 =5;
(2)设x1、x2 是一元二次方程x2 -3x =1的两个根,则
x1·x2 =1.
１.３
*
1.求下列方程两根的和与两根的积:
(1)x2+6x-6=0; (2)3x2-23x+1=0;
(3)x2+x=1;
(4)5x2 =6x.
*
2.已知关于x的方程2x2+mx+50=0的一个根是10,求它的另一
个根和m 的值.
*
3.已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是2+1、2-1,
求b、c的值.
第1章
一元二次方程
24
1.
4
用一元二次方程解决问题
我们已经知道,生产、生活中的一些实际问题,有时可以用一元
二次方程来描述其中数量之间的相等关系,运用一元二次方程的有关
知识,常常可以使这些实际问题得到解决.
问题1 用一根长22cm的铁丝:
(1)能否围成面积是30cm2 的矩形?
(2)能否围成面积是32cm2 的矩形?
解: 设这根铁丝围成的矩形的长是xcm,则矩形的宽是(11-x)cm.
(1)根据题意,得
x(11-x)=30,
即
x2-11x+30=0.
解这个方程,得
x1 =5,x2 =6.
当x1 =5时,11-x1 =6;
当x2 =6时,11-x2 =5.
答: 用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2 的矩形.
(2)根据题意,得
x(11-x)=32,
即
x2-11x+32=0.
因为b2-4ac= (-11)
2-4×1×32=121-128=-7<0,
所以此方程没有实数根.
答: 用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2 的矩形.
1.4 用一元二次方程解决问题
25
问题2 某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到
3600元,平均每月利润增长的百分率是多少?
分析: 设平均每月利润增长的百分率是x,则7月份的利润是
2500(1+x)元,8月份的利润是[2500(1+x)](1+x)元.
解: 设平均每月利润增长的百分率是x.
根据题意,得
2500(1+x)
2 =3600.
解这个方程,得
x1 =0.2,x2 =-2.2(不合题意,舍去).
答: 平均每月利润增长的百分率是20% .
1.一块长方形菜地的面积是150m2.如果它的长减少5m,那
么它就成为正方形菜地.求这个长方形菜地的长和宽.
2.用一根长100cm 的金属丝能否制成面积是600cm2 的矩形
框子? 能否制成面积是800cm2 的矩形框子?
3.我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫.已知我国
2017年农村贫困人口为3046万人,2019年农村贫困人口
为551万人,求我国2017~2019年农村贫困人口平均每年
下降的百分率.
问题3 某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利
40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定
范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价
后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元?
分析: 设衬衫的单价降了x元,则商场平均每天可多售出2x件衬
衫,每件衬衫盈利(40-x)元.
解: 设衬衫的单价降了x元.
根据题意,得
(20+2x)(40-x)=1250,
第1章
一元二次方程
26
即
x2-30x+225=0.
解这个方程,得
x1 =x2 =15.
答: 衬衫的单价降了15元.
问题4
根据上述旅游信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游,支付
给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗?
分析: 由800×30=24000<28000,可知参加这次旅游的人数(x)
大于30,人均收费降低10(x-30)元,于是可列出方程求解.但考虑到
人均收费应不低于550元,因而必须检验求得的解是否符合题意.
解: 设参加这次旅游共有x人,由800×30=24000<28000,可
知x>30,人均收费为[800-10(x-30)]元.
根据题意,得
x·[800-10(x-30)]=28000.
整理,得
x2-110x+2800=0.
解这个方程,得
x1 =40,x2 =70.
1.4 用一元二次方程解决问题
27
当x=40时,800-10(x-30)=800-10(40-30)=700>550.
当x=70时,800-10(x-30)=800-10(70-30)
=400<550(不合题意,舍去).
答: 参加这次旅游共有40人.
1. 在本节问题4中,该公司又组织第二批员工到这个风景区旅
游,并支付给旅行社29250元.求该公司第二批参加旅游
的员工人数.
2.某商店经销的某种商品,每件成本为40元.经市场调研,
售价为50元时,可销售200件;售价每增加1元,销售量
将减少10件.如果这种商品全部销售完,那么该商店可盈
利2000元.问:该商店销售了这种商品多少件? 每件售价
多少元?
问题5 如图1 4,海关缉私人员驾艇在C 处发现正北方向30km
的A 处有一艘可疑船只,并测得它正以60km/h的速度向正东方向航
行,缉私艇随即以75km/h的速度在B 处将可疑船只拦截.缉私艇从
C 处到B 处需航行多长时间?
A
C
B ԛ
图1 4
第1章
一元二次方程
28
分析: 设缉私艇从C 处到B 处需航行x h,则AB =60xkm,
BC =75xkm.根据题意,可知△ABC 是直角三角形,利用勾股定理
可以列出方程.
解: 设缉私艇从C 处到B 处需航行xh,则AB =60xkm,BC =
75xkm.
根据题意,得
△ABC 是直角三角形,AC =30km.
于是
(60x)
2+302 = (75x)
2 .
解这个方程,得
x1 = 2
3,x2 =-2
3 (不合题意,舍去).
答: 缉私艇从C 处到B 处需航行2
3h.
D
C
Q
B
P
A
图1 5
问题6 如图1 5,在矩形ABCD 中,AB =
6cm,BC = 12cm,点P 从点A 出发沿AB 以
1cm/s的速度向点B 移动;同时,点Q 从点B 出发
沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动.几秒钟后
△DPQ 的面积等于28cm2?
分析: 设xs后△DPQ 的面积为28cm2,则
AP、PB、BQ、QC 的长度分别可用含x 的代数式
表示,从而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD 的面积也都可用含x 的
代数式表示,于是可以列出方程.
解: 设xs后△DPQ 的面积等于28cm2 ,则△DAP、△PBQ、
△QCD 的面积分别为1
2×12x、1
2×2x(6-x)、1
2×6×(12-2x).
根据题意,得
6×12-1
2×12x-1
2×2x(6-x)-1
2×6×(12-2x)=28,
1.4 用一元二次方程解决问题
29
整理,得
x2-6x+8=0.
解这个方程,得
x1 =2,x2 =4.
答: 2s或4s后△DPQ 的面积等于28cm2.
(第2题)
1.一个直角三角形的两条直角边的和是28cm,面积是96cm2.
求这个直角三角形两条直角边及斜边的长.
2.如图,在矩形ABCD 中,AB =
7cm,BC =2 2cm,点P 从点A
出发沿AB以1cm/s的速度向点B
移动.点P 出发几秒后,点P、A
的距离是点P、C的距离的2倍.
１.４
1.一个两位数的两个数字的和为9,把这个两位数的个位数字与十位
数字互换得到一个新的两位数,它与原两位数的积为1458.求原
两位数.
2.我国通过药品集中采购,大大减轻了群众的医药负担.如果某种
药品经过两次降价,药价从每盒140元下调至35元,那么平均每
次降价的百分率是多少?
3.某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t,平均每年增
产的百分率是多少?
4.如图,一段水管内壁均匀地形成一层厚3mm的矿物沉淀物,导致
水管过水的横截面面积减少到原来的4
9 .求该水管原来的内径.
(第4题)
第1章
一元二次方程
30
5.如图,在长40m、宽22m的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂
直的道路,余下部分铺上草坪.要使草坪的面积达到760m2,道
路的宽应为多少?
(第5题)
6.把一根长80cm 的绳子剪成两段,并把每一段绳子围成一个正
方形.
(1)要使这两个正方形的面积的和等于200cm2,应该怎样剪?
(2)这两个正方形面积的和可能等于488cm2 吗?
7.某商店的一种服装,每件成本为50元.经市场调研,售价为60
元时,可销售800件;售价每提高5元,销售量将减少100件.
已知商店销售这批服装获利12000元,问这种服装每件售价是
多少元?
8.某体育用品商店销售一批运动鞋,零售价每双240元.如果一次
购买超过10双,那么每多购1双,所购运动鞋的单价降低6元,
但单价不能低于150元.一位顾客购买这种运动鞋支付了3600
元,这位顾客买了多少双?
9.一个直角三角形三边的长为连续整数,求这个三角形的斜边长.
10.建造一个池底为正方形、深度为2m 的长方体无盖水池,池壁的
造价为每平方米100元,池底的造价为每平方米200元,总造价为
6400元.求该水池池底的边长.
A
E
C
F
B
D
(第11题)
11.如图,在Rt△ABC中,AB =BC=12cm,
点D 从点A 出发沿AB 以2cm/s的速度
向点B 移动,移动过程中始终保持
DE ∥BC,DF ∥AC(点E、F分别在AC、
BC 上).点D 出发几秒后四边形DFCE
的面积为20cm2?
1.4 用一元二次方程解决问题
31
各类方程的解法
回顾我们曾学过的各类方程的解法:
解一元一次方程,把它转化为x=a的形式(去分母、去括号、移项、
合并同类项、将未知数的系数化为1).
解二元一次方程组,把它转化为解一元一次方程(用代入法或加减法
消元);类似的,解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.
解一元二次方程,把它转化为解两个一元一次方程(用直接开平方法、
配方法、公式法、因式分解法).
解分式方程,把它转化为解整式方程(用去分母的方法).由于“去
分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.
各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想———
转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,
一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+
x-2)=0,解一元一次方程x=0和一元二次方程x2+x-2=0,可得
x1 =0,x2 =-2,x3 =1;
无理方程(根号下含有未知数的方程) x+1 =2,可以通过方程两边
平方把它转化为x+1=4,解得x=3.通过“方程两边平方”解方程,有
可能产生增根,必须对解得的根进行检验.例如,把方程
2x+3=x两
边平方,得2x+3=x2,解得x1 =3,x2 =-1.经检验,x2 =-1不是原方
程的根,是增根.
第1章
一元二次方程
32
图1 6
矩形绿地中的花圃设计
在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内, 要围出一个花圃, 使
花圃面积是矩形面积的一半.你能给出设计方案吗?
思考: 花圃可以有多种设计方案, 例
如, 在绿地中间开辟一个矩形的花圃
(如图1 6),使四周的绿地等宽, 绿地的
面积与花圃的面积相等.你能计算出绿
地的宽吗?
探索: 请你再设计两种不同的方案.
交流: 你的设计方案有哪些特点?
1.一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程组等内容的延伸和发展,
是今后学习其他数学知识的基础.
2.解一元二次方程的基本思路是把它转化为解一元一次方程.转化的实质
是“降次” .转化的途径: 一是根据平方根的定义, 方程两边开平方(直接开平
方法、配方法、公式法); 二是通过因式分解, 把一元二次方程化成两个一元一
次方程(因式分解法) .
一般地, 一元二次方程都可以用公式法求解, 而根据方程的特点灵活选用
方法, 可以使求解过程较为简便.
3.用一元二次方程解决实际问题时, 通常要经历以下过程:
用一元二次方程解决实际问题的关键是找出问题中数量之间的相等关系,
列出方程.
4.一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个重要的数学模型.编拟一
个用一元二次方程解决的实际问题, 并列出方程求解.
1
复习题
33
复习巩固
1.解下列方程:
(1)x2-4x-45=0;
(2)x(x+4)=-3(x+4);
(3)(4y-1)
2-5=0;
(4)(x+3)
2 =2x+5;
(5)(2x+1)(x-3)=-6;
(6)x2-42x+8=0.
2.当x为何值时,代数式2x2-3的值与x的值相等?
3.已知x=2时,二次三项式x2-2mx+4的值等于-4.x为何值
时,这个二次三项式的值是-1?
4.已知y1 =x2-9,y2 =3-x.x为何值时,y1 与y2 相等?
5.已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1.求
m 的值.
6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和.求这个数.
7.印度古算书中有一首用韵文写成的诗: “一群猴子分两队,高高兴
兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里.其余十二高声喊,
充满活跃的空气.告我总数共多少,两队猴子在一起?”
大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的1
8 的平
方,另一队猴子数是12,那么这群猴子的总数是多少?
8.某地农村人居环境显著改善,农村卫生厕所普及率两年内实现翻一
番,求该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率(精确到
0.1%).
9.一个直角三角形的斜边长25cm,两条直角边长的和是6cm .求
这两条直角边的长.
第1章
一元二次方程
34
10.学校打算用长16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔,生
物园的一面靠墙(如图),面积是30m2.求这个生物园的长和宽.
(第10题)
(第11题)
11.如图,用长6m 的铝合金条制成“日”字形窗框,窗框的宽和高
各是多少时,窗户的透光面积为1.5m2(铝合金条的宽度不计)?
灵活运用
12.某剧院举办文艺演出.经调研,如果票价定为每张30元,那么
1200张门票可以全部售出;如果票价每增加1元,那么售出的
门票就减少30张.要使门票收入达到36750元,票价应定为多
少元?
13.一个容器盛满纯药液63L,第一次倒出一部分纯药液后,用水加
满;第二次又倒出同样多的药液,若此时容器内剩下的纯药液是
28L,则每次倒出的液体是多少?
A
D
Q
C
B
P
(第14题)
14.如图,在矩形ABCD 中,AB =16cm,BC =
6cm,点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s的速度
向点B 移动,一直到达点B 为止;同时,点Q
从点C出发沿CD 以2cm/s的速度向点D 移动.
经过多长时间P、Q 两点之间的距离是10cm?
15.已知5个连续整数的和是m,它们的平方和是
n,且n=2(6m+5).求这5个连续整数.
16.某农场去年种植南瓜10亩,总产量为20000kg.今年该农场扩
大了种植面积,并引进新品种,使总产量增长到60000kg.已知
种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍,求平均亩产量的
增长率.
1
复习题
35
探索研究
17.写出一个一元二次方程,使它的两个根分别是3、-2.
(第18题)
18.如图,一个边长为8m 的正方形花坛由4
块全等的小正方形组成.在小正方形
ABCD 中, 点G、E、F 分别在CD、
AB、AD 上,且DG =1m,AE =AF .
在△AEF、△DFG、五边形EBCGF 三
个区域上种植不同的花卉,每平方米的
种植成本分别是20元、20元、10元.
问点E 在什么位置时,正方形花坛种植
花卉所需的总费用是715元?
PC =PD,AC
︵=AD
︵,BC
︵=BD
︵
红日、车轮、硬币……圆的形象完美、和谐.
圆的对称性蕴含了圆的许多性质.
本章将在小学学习的基础上, 进一步研究圆的性质, 探索点与圆、直线与
圆的位置关系.
如图, 篮球场地上画有一些圆形、圆弧形的图案.
(1) 你知道这些图案的含义吗?
(2) 到学校篮球场上实际测量这些圆或半圆的直径, 计算它们的周长和面积.
你还知道体育运动中, 哪些项目的场地上画有圆形或圆弧形的图案? 请与同学
交流.
图(1)~图(4)中的正方形的边长都相等, 曲线都是圆或圆弧, 它们阴影部分的面积
都相等吗?
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
图(5)中4个小圆的面积相等, 大圆的半径等于小圆的直径.探索图中阴影部分的面
积与大圆的面积之间的数量关系, 并说明理由.
图(5)
第2章
对称图形———圆
38
2.
1
圆
战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中,就有“圆,一中同
长也”的记载.你理解这句话的意思吗?
P
O
图2 1
如图2 1,在平面内把线段OP 绕着端点O
旋转1周,端点P 运动所形成的图形叫做圆
(circle).其中, 点O 叫做圆心(centreofa
circle),线段OP 叫做半径(radius).
以点O为圆心的圆,记作“☉O ”,读作“圆O ”.
在纸上画一个圆、一个点,这个点与圆的位置关系有哪几种? 这
个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系有哪几种? 怎样用数量之间
的关系来描述点与圆的位置关系?
图2 2
通过操作、观察可以发现:
圆上的点(如图2 2中的点P)到圆心的距
离都等于半径,到圆心的距离等于半径的点都在
圆上.也就是说,圆是到定点(圆心)的距离
等于定长(半径)的点的集合.
2.1 圆
39
圆内的点(如图2 2中的点P1)到圆心的距离都小于半径,到圆
心的距离小于半径的点都在圆内.也就是说,圆的内部是到圆心的距
离小于半径的点的集合.
圆外的点(如图2 2中的点P2)到圆心的距离都大于半径,到圆
心的距离大于半径的点都在圆外.也就是说,圆的外部是到圆心的距
离大于半径的点的集合.
如果☉O 的半径为r,点P到圆心O 的距离为d,那么
点P在圆内⇔d<r;
点P在圆上⇔d=r;
点P在圆外⇔d>r.
符号“⇔”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端,从右端
也可以推出左端.
如图2 3,线段PQ =2cm.
(1)画出下列图形:
到点P 的距离等于1cm的点的集合;
到点Q 的距离等于1.5cm的点的集合.
Q
P
图2 3
(2)在所画图中,到点P 的距离等于1cm,且到点Q 的距离等于
1.5cm的点有几个? 在图中将它们表示出来.
(3)在所画图中,到点P 的距离小于或等于1cm,且到点Q 的
距离大于或等于1.5cm 的点的集合是怎样的图形? 在图中将它表示
出来.
第2章
对称图形———圆
40
1.已知☉O 的半径为4cm .如果点P 到圆心O 的距离为
4.5cm,那么点P 与☉O 有怎样的位置关系? 如果点P 到圆
心O 的距离为4cm、3cm呢?
2.用图形表示到点A 的距离小于或等于2cm的点的集合.
3.已知矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O .点A、B、
C、D 是否在以点O 为圆心的同一个圆上? 为什么?
B
A
C
D
O
图2 4
连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).
经过圆心的弦叫做直径(diameter).如图2 4,
CD 是☉O 的弦,AB 是☉O 的直径.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称
弧(arc),用符号“
︵”表示.如图2 4,以C、
D 为端点的弧,记作CD
︵,读作“弧CD”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半
圆.大于半圆的弧叫做优弧(majorarc),小于半圆的弧叫做劣弧(minor
arc).如图2 5,BAC
︵是优弧,BC
︵是劣弧.
O
A
B
C
图2 5
O
A
B
图2 6
顶点在圆心的角叫做圆心角(centralangle).如图2 6,∠AOB 是
圆心角.
圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆(concentriccircles).
能够互相重合的两个圆叫做等圆(equalcircle).能够互相重合的弧叫
做等弧(equalarc).
同圆或等圆的半径相等.
2.1 圆
41
例 如图2 7,点A、B 和点C、D 分别在以点O 为圆心的两个
同心圆上,且∠AOB = ∠COD .∠C 与∠D 相等吗? 为什么?
B
A
C
D
O
图2 7
解: ∠C 与∠D 相等.
∵∠AOB = ∠COD,
∴∠BOC = ∠AOD .
又∵OB =OA,OC =OD (同圆的半径相等),
∴△BOC ≌△AOD .
∴∠C = ∠D .
如图2 8,AB 是☉O 的直径,C 是BA 延长线上一点,点D 在
☉O 上,且CD=OA,CD 的延长线交☉O 于点E.若∠C=20°,求
∠BOE 的度数.
图2 8
1.如图,点A、B、C、D 在☉O 上.在图中画出以这4点中
的2点为端点的弦,这样的弦共有几条? 是哪几条?
(第1题)
(第2题)
2.在图中,画出☉O 的两条直径,依次连接这两条直径的端
点,得到一个四边形.判断这个四边形的形状,并说明
理由.
第2章
对称图形———圆
42
3.如图,AB 是☉O 的弦,点C、D 在AB 上,且AC=BD .判
断△OCD 的形状,并说明理由.
(第3题)
２.１
1.已知☉O 的半径为3cm,A 是线段OP 的中点.根据下列条件,
判断点A 与☉O 的位置关系:
(1)OP =4cm;(2)OP =6cm;(3)OP =8cm.
A
F
C
B
E
(第2题)
2.如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC =4,
BC =3,E、F 分别是AB、AC 的中点.以
点B 为圆心,BC 为半径画圆,判断点A、
C、E、F 与☉B 的位置关系,并说明理由.
3.在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,以点
A 为圆心画圆,使点B 在☉A 内,点C 在
☉A 外.求☉A 的半径r的取值范围.
4.如图,BD、CE 是△ABC 的高,M 是BC 的中点.点B、C、D、
E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上? 为什么?
(第4题)
A
O
D
B
C
(第5题)
5.如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,且CD⊥AB,垂足为
D,CD =4,OD =3.求AB 的长.
2.1 圆
43
6.如图,OA、OB 是☉O 的半径,C、D 分别是OA、OB 的中点.
AD 与BC 相等吗? 为什么?
A
O
D
B
C
(第6题)
(第7题)
7.如图,在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的半径OA、OB 分
别交小圆于点C、D .AB 与CD 有怎样的位置关系? 为什么?
8.如图,☉O 的直径AB =4,半径OC ⊥AB,点D 在BC
︵上,
DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E、F .求EF 的长.
(第8题)
第2章
对称图形———圆
44
2.
2
圆的对称性
轮子绕固定轴心旋转,不论转到什么位
置,都与初始位置重合.
一个圆绕圆心旋转任何角度后,都能与原
来的图形重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
1.在两张透明纸片上,分别画半径相等的☉O 和☉O'.
2.在☉O 和☉O'中,分别画相等的圆心角∠AOB 和∠A'O'B',
连接AB、A'B'(如图2 9).
图2 9
在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧?
.
.
(1)
(2)
图2 10
我们可以运用图形运动的方
法证实小丽、小明的猜想:
将图2 9中的两张纸片叠
合在一起,使点O 与点O'重合
(如图2 10(1)),再将☉O'绕
2.2 圆的对称性
45
点O旋转,使射线O'A'与射线OA 重合.因为∠A'O'B' = ∠AOB ,
所以射线O'B'与射线OB 重合.又因为O'A'=OA,O'B'=OB ,所
以点A'与点A 重合,点B'与点B 重合(如图2 10(2)).这样,A'B'
︵与
AB
︵重合,A'B'与AB 重合,即AB
︵=A'B'
︵,AB =A'B'.
上面的结论,在同圆中也成立.
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦
相等吗? 这两个圆心角相等吗? 为什么?
如果圆心角所对的弦相等呢?
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
O
B
A
图2 11
我们知道,将顶点在圆心的周角等分
成360份,每一份圆心角是1°的角.因为
同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以
整个圆也被等分成360份.我们把1°的圆
心角所对的弧叫做1°的弧(如图211).
一般地,n°的圆心角对着n°的弧,
n°的弧对着n°的圆心角.
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
A
C
B
O
图2 12
例1 如图2 12,AB、AC、BC 是☉O
的弦,∠AOC= ∠BOC .∠ABC 与∠BAC 相
等吗? 为什么?
解: ∠ABC 与∠BAC 相等.
在☉O 中,
第2章
对称图形———圆
46
∵∠AOC = ∠BOC,
∴AC =BC (在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等).
∴∠ABC = ∠BAC .
(第3题)
1.如图,在☉O中,AC
︵=BD
︵,∠AOB=50°.求∠COD 的度数.
A
B
C
D
O
(第1题)
(第2题)
2.如图,在☉O 中,AB
︵=AC
︵,∠A=40°.求
∠ABC 的度数.
3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=28°,
以点C 为圆心,CA 为半径的圆交AB 于点
D,交BC 于点E .求AD
︵、DE
︵的度数.
在纸上画☉O,把☉O 剪下并折叠,使折痕两旁的部分完全重合,
你发现了什么?
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.
A
O
D
P
B
C
图2 13
画☉O 和☉O 的直径AB、弦CD,使
AB⊥CD,垂足为P(如图2 13).在所画图
中有哪些相等的线段、相等的弧?
.
.
2.2 圆的对称性
47
我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:
A
O
P
B
C
(D)
图2 14
将图2 13中的ADB
︵沿直径AB 翻折.因
为圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都
是它的对称轴,所以ADB
︵与ACB
︵重合.又因为
∠APD = ∠APC =90°,所以射线PD 与射线
PC 重合(如图2 14),于是点D 与点C 重合.
这样,PC =PD,AC
︵=AD
︵,BC
︵=BD
︵.
图2 15
以上结论还可以用下面的方法加以证实:
如图2 15,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O
的弦,AB⊥CD,垂足为P .
连接OC、OD .
在△OCD 中,
∵OC =OD,OP ⊥CD,
∴PC =PD,∠BOC = ∠BOD.
∴∠AOC = ∠AOD.
∴BC
︵=BD
︵,AC
︵=AD
︵(同圆中,相等的圆心角所对的弧相等).
于是,我们得到如下定理:
*垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
A
B
C
D
O
P
图2 16
例2 如图2 16,在以点O 为圆心的两个
同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C、D .AC
与BD 相等吗? 为什么?
解: AC 与BD 相等.
过点O 作OP⊥AB,垂足为P .
∵OP⊥AB,
∴AP =BP,CP =DP (垂直于弦的直径平分弦).
∴AP -CP =BP -DP,
即 AC =BD .
第2章
对称图形———圆
48
图2 17
如图2
17,AB、CD 是☉O 的两条弦,
AB∥CD .AC
︵与BD
︵相等吗? 为什么?
A
B
O
P
(第3题)
1.如何确定圆形纸片的圆心? 说说你的想法.
2.(1)下列图形中,哪些是轴对称图形? 哪些是中心对称图
形? 如果是轴对称图形,指出它的对称轴;如果是中心
对称图形,指出它的对称中心.
O
C
B
A
D
①
O
C
B
A
②
O
C
B
A
D
③
O
C
A
D
B
④
O
⑤
(第2题)
(2)当图①中的弦AB 为直径(AB 与CD 互相垂直的条件不
变)时,图形具有怎样的对称性?
(3)当图②中的点B 在☉O 上运动到什么位置时,图形成为
轴对称图形?
*
3.如图,☉O 的直径为10,弦AB 的长为8,
点P 在AB 上运动.求OP 的取值范围.
２.２
1.画一个圆和圆的一些弦,使所画图形分别满足下列条件:
(1)是中心对称图形,但不是轴对称图形;
B
C
D
O
A
(第2题)
(2)是轴对称图形,但不是中心对称图形;
(3)既是轴对称图形,又是中心对称图形.
2.如图,点A、B、C、D 在☉O 上,且AB
︵=
DC
︵.AC 与BD 相等吗? 为什么?
2.2 圆的对称性
49
3.如图,OA、OB、OC 是☉O 的半径,且AC
︵=BC
︵,D、E 分别是
OA、OB 的中点.CD 与CE 相等吗? 为什么?
(第3题)
(第4题)
4.如图,AB、CD 是☉O的直径,弦CE ∥AB,CE
︵为40°.求∠AOC
的度数.
*
5.如图,在☉O 中,直径AB =10,弦CD ⊥AB,垂足为E,OE =3.
求弦CD 的长.
O
C
B
E
A
D
(第5题)
O
P
(第6题)
*
6.如图,过☉O 内一点P 画弦AB,使P 是AB 的中点.
*
7.如图,AB、AC 是☉O 的两条弦,且AB⊥AC,AB=8,AC=6.
求☉O 的半径.
(第7题)
O
B
A
(第8题)
*
8.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后,其横截面如图.
若油面宽AB =600mm,求油的最大深度.
第2章
对称图形———圆
50
2.
3
确定圆的条件
1.怎样作一个圆,使它经过已知点A? 这样的圆可以作多少个?
ݜ
2.怎样作一个圆,使它经过已知点A、B? 这样的圆可以作多
少个?
3.能否作一个圆,使它经过A、B、C 三点? 如果能,这样的圆
可以作多少个?
图2 18
如图2 18,当A、B、C 三点在一
条直线上时,线段AB、BC 的垂直平分
线l1、l2 相互平行,它们没有交点,不
能作出经过A、B、C 三点的圆.
2.3 确定圆的条件
51
如图2 19,当A、B、C 三点不在一条直线上时,l1 与l2 相交.
A
B
C
l1
l2
图2 19
A
B
C
l2
l1
O
图2 20
设l1 与l2 的交点为O(如图2 20),因为OA =OB =OC,所以以
点O 为圆心,OA 为半径的圆经过A、B、C 三点.又因为l1 与l2 相
交,只有一个交点,所以经过A、B、C 三点的圆有且只有一个.
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
A
B
O
C
图2 21
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫
做三角形的外接圆(circumcircleoftriangle).
外接圆的圆心叫做三角形的外心(circumcenter
oftriangle),这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图2 21,☉O 是△ABC 的外接圆,△ABC
是☉O 的内接三角形.
怎样用直尺和圆规作三角形的外接圆?
已知△ABC .根据下列作法,用直尺和圆规作△ABC 的外接圆.
作 法
图 形
1.分别作边AB、BC 的垂直平分线l1、l2,
l1 与l2 的交点为O .
2.以点O 为圆心,OA 为半径作圆.
☉O 就是所求作的圆.
A
B
C
第2章
对称图形———圆
52
1.如图,已知AB
︵.试确定AB
︵所在圆的圆心.
A
B
(第1题)
2.通过作图我们知道,当△ABC是锐角三角形时,外心O 在
三角形的内部.当△ABC 是直角三角形、钝角三角形时,
外心O 在什么位置? 分别作出它们的外接圆,验证你的
猜想.
２.３
1.如图,在围成新月形的两条弧(AmB
︵和AnB
︵)中,哪一条弧的半径
较大? 分别作出它们所在的圆,验证你的猜想.
A
B
n
m
(第1题)
(第3题)
2.已知AB =4cm,作半径为3cm的圆,使它经过A、B 两点,这样
的圆能作多少个? 如果半径为2cm呢?
3.如图,在四边形ABCD 中,∠A= ∠C=90°.经过A、B、D 三点
作☉O,点C 在☉O 上吗? 试说明理由.
2.4 圆周角
53
2.
4
圆周角
图2 22
图2 22中的∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C 有
什么共同特征?
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆
周角(angleinacircularsegment).如图2 22,
∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C 都是☉O 中BC
︵所对的圆周角.
图2 23
1.在图2 23中,OB⊥OC,画BC
︵所对的圆
周角∠BAC.BC
︵所对的圆周角可以画多少个? 你
所画的圆周角为多少度? 试说明理由.
BCᝬᄥ+ > Б
*ᬌ͖
ᏒFᓃ
AOC᭛0
6,>̵
>ᒎU
F0κc
BA1Ca
BA2Ca
BAC= 1
2 ×90°=45°
BA3C
A1
A2
A3
B
B
C
O
A
C
O
图2 24
2.在图2 24中,∠BOC=60°,画BC
︵所对的圆
周角∠BAC .你所画的圆周角为多少度? 为什么? 你
还有什么发现?
第2章
对称图形———圆
54
小明的猜想是否成立? 怎样证实呢?
图2 25
小明的猜想可以证实如下:
(1)先研究圆心在圆周角的一边上的情形.
如图2
25,由OC=OA,可得∠OCA =
∠OAC,于是∠BOC=∠OCA+∠OAC=2∠OAC,
即∠BAC=1
2∠BOC.
(2)对于圆心在圆周角内部的情形(如图2 26(1)),只要作直径
AD(如图2 26(2)),圆周角∠BAC 就分成了两个圆周角∠BAD、
∠CAD,且圆心O在它们的边AD 上,由(1)可知:∠BAC=∠BAD+
∠CAD=1
2∠BOD+1
2∠COD=1
2(∠BOD+∠COD)=1
2∠BOC .
(1)
(2)
图2 26
(3)对于圆心在圆周角外部的情形, 你能证明∠BAC =
1
2∠BOC吗?
2.4 圆周角
55
于是,我们得到如下定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等
弧所对的圆周角相等.
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,所以我们也可以说,
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
图2 27
例1 如图2 27,☉O 的弦AB、DC
的延长线相交于点E,∠AOD =150°,BC
︵
为70°.求∠ABD、∠AED 的度数.
解: 在☉O 中,
∵∠AOD =150°,
∴∠ABD =75°(圆周角的度数等于它
所对弧上的圆心角度数的一半).
∵BC
︵为70°,
∴∠BDC =35°(圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半).
又∵∠ABD = ∠AED +∠BDC,
∴∠AED = ∠ABD -∠BDC =75°-35°=40°.
1.下列各图中的角是否是圆周角? 为什么?
①
②
③
④
(第1题)
第2章
对称图形———圆
56
2.如图,点A、B、C、D 在☉O 上,∠BAC=35°.求∠BDC、
∠BOC 的度数.
(第2题)
(第3题)
3.如图,点A、B、C、D 在☉O 上,∠ACB=∠BDC=60°,
BC=3.求△ABC 的周长.
1.在图2 28中,BC 是☉O 的直径,圆周角∠BAC 为多少度?
为什么?
A
O
C
B
图2 28
2
1
2 ×180°
1
BOC
2.在图2 29中,圆周角∠BAC =90°.若连接BC,则BC 过圆
心O 吗? 为什么?
A
O
C
B
图2 29
直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
2.4 圆周角
57
A
O
D
B
E
C
图2 30
例2 如图2 30,AB 是☉O 的直径,弦CD
交AB 于点E,∠ACD =60°,∠ADC =50°.求
∠CEB 的度数.
解: 连接DB .
∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ADB =90°(直径所对的圆周角是直角).
∵∠ADC =50°,
∴∠EDB = ∠ADB-∠ADC =90°-50°=40°.
又∵∠ABD = ∠ACD =60°(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CEB = ∠ABD +∠EDB =60°+40°=100°.
例3 如图2 31,BC 是☉O 的直径,点A 在☉O 上,AD⊥BC,
垂足为D,AE
︵=AB
︵,BE 分别交AD、AC 于点F、G.判断△FAG 的
形状,并说明理由.
A
O
G
E
F
D
B
C
图2 31
解: △FAG 是等腰三角形.
∵BC 是☉O 的直径,
∴∠BAC =90°(直径所对的圆周角是直角).
∴∠ABE+∠AGB =90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ACB+∠DAC =90°.
又∵AE
︵=AB
︵,
∴∠ABE = ∠ACB (等弧所对的圆周角相等).
∴∠AGB = ∠DAC .
∴△FAG 是等腰三角形.
第2章
对称图形———圆
58
A
C
D
O
F
E
G
B
图2 32
在例3中,若点E 与点A 在直径
BC 的两侧,BE、AC 的延长线交于点
G,AD 的延长线交BE 于点F,其余
条件不变(如图2 32),例3中的结论
还成立吗?
(第3题)
1.利用三角尺可以确认图中的弦AB 是圆的直径,为什么? 你
能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗?
A
B
C
(第1题)
A
O
B
E
C
D
(第2题)
2.如图,AB、CD 是☉O 的直径,弦
CE∥AB .BD
︵与BE
︵相等吗? 为什么?
3.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,直径
AD =4,∠ABC = ∠DAC .求AC
的长.
图2 33
一个四边形的4个顶点都在同一个圆
上,这个四边形叫做圆的内接四边形
(quadrilateralinacircle),这个圆叫做四边
形的外接圆.如图2 33,四边形ABCD
是☉O 的内接四边形,☉O 是四边形ABCD
的外接圆.
2.4 圆周角
59
图2 34
1.如图2
34,在☉O 的内接四边形
ABCD中,BD 是☉O 的直径.∠A 与∠C、
∠ABC 与∠ADC 有怎样的数量关系?
图2 35
2.如图2 35,若圆心O 不在☉O 的内
接四边形ABCD 的对角线上,小明、小丽发
现的结论是否仍然成立?
于是,我们得到如下定理:
圆内接四边形的对角互补.
例4 如图2 36,在☉O 的内接四边形ABCD 中,AB=AD,
∠C=110°.若点E 在AD
︵上,求∠E 的度数.
图2 36
解: 连接BD .
∵四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,
∴∠BAD +∠C=180°(圆内接四边形的
对角互补).
∴∠BAD =180°-∠C=180°-110°=70°.
在△ABD 中,
∵AB =AD,∠BAD =70°,
第2章
对称图形———圆
60
∴∠ABD = ∠ADB = 1
2×(180°-70°)=55°.
又∵四边形ABDE 是☉O 的内接四边形,
∴∠ABD +∠E =180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠E =180°-∠ABD =180°-55°=125°.
1.圆的内接平行四边形是矩形吗? 为什么?
2.如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,∠CBE 是它
的一个外角.若∠D =100°,求∠CBE 的度数.
(第2题)
(第3题)
3.如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,∠C =130°.求
∠BOD 的度数.
２.４
1.如图,点A、B、C、D 在同一个圆上.图中有几对相等的圆周
角? 是哪几对?
(第1题)
(第2题)
2.如图,点A、B、C、D、E 在☉O 上,且AE
︵为40°.求∠B+
∠D 的度数.
2.4 圆周角
61
3.如图,点A、B、C在☉O 上,D 是AB
︵的中点,CD 交OB 于点E.
若∠AOB =100°,∠OBC =55°,求∠OEC 的度数.
A
B
C
D
E
O
(第3题)
A
B
C
D
O
P
(第4题)
*
4.如图,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,CD⊥AB,P 是CD
︵上
一点(不与点C、D 重合).∠APC 与∠APD 相等吗? 为什么?
5.如图,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,∠DCB =30°.求
∠ABD 的度数.
(第5题)
(第6题)
*
6.如图,AB是☉O的弦,以OA 为直径的圆交AB 于点C.若AB =
10,求AC 的长.
7.如图,AB 是☉O 的直径,D 是弦AC 的延长线上一点,且CD =
AC,DB 的延长线交☉O 于点E .CD 与CE 相等吗? 为什么?
(第7题)
(第8题)
8.如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,∠BAD 是△ABC 的一个外
角,∠BAC、∠BAD 的平分线分别交☉O 于点E、F .若连接
第2章
对称图形———圆
62
EF,则EF 与BC 有怎样的位置关系? 为什么?
9.在圆内接四边形ABCD 中,∠A、∠B、∠C 的度数之比为
3∶4∶6.求四边形ABCD 各内角的度数.
10.如图,在☉O 的内接四边形ABCD 中,∠BAD =60°,∠ACB =
70°.求∠BCD 和∠ABD 的度数.
(第10题)
(第11题)
11.如图,AB 是半圆的直径,C、D 是半圆上的两点,且∠BAC =
20°,AD
︵=CD
︵.求四边形ABCD 各内角的度数.
12.如图,在☉O 的内接四边形ABCD 中,DB=DC,∠DAE 是四
边形ABCD 的一个外角.∠DAE 与∠DAC 相等吗? 为什么?
(第12题)
2.5 直线与圆的位置关系
63
2.
5
直线与圆的位置关系
转眼间天边出现了一道红霞.过了一会儿,在那个地方出现
了太阳的小半边脸.太阳好像负着重荷似的一步一步,慢慢地努
力上升,到了最后,终于冲破了云霞,完全跳出了海面.
———巴 金
先在纸上画一个圆,再将一把直尺在纸上平移.如果把直尺的边
缘看作一条直线,那么在直尺平移的过程中,直线与圆的位置关系怎
样变化? 这种变化怎样用数量之间的关系来描述?
ᰵ
第2章
对称图形———圆
64
直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交.
直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆
的切线(
tangentlineofacircle),这个公共点叫做切点(
tangentpoint).
直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.
如图2 37,OD⊥l,垂足为D,☉O 的半径为r.
在图2 37(1)中,直线l与☉O 相交,OD<r;
在图2 37(2)中,直线l与☉O 相切,OD=r;
在图2 37(3)中,直线l与☉O 相离,OD>r.
(1)
(2)
(3)
图2 37
于是,我们得到如下结论:
如果☉O 的半径为r,圆心O 到直线l的距离为d,那么
直线l与☉O 相交⇔d<r;
直线l与☉O 相切⇔d=r;
直线l与☉O 相离⇔d>r.
点与圆有3种不同的位置关系,直线与圆也有3种不同的位置关
系,这两者之间有怎样的联系?
2.5 直线与圆的位置关系
65
例1 已知∠BAC=45°,点O 在AC 上,且AO =4,以点O 为圆
心,r为半径画圆.根据下列r的值,判断AB 所在直线与☉O 的位
置关系:
(1)r=2; (2)r=22; (3)r=3.
解: 过点O 作OD⊥AB,垂足为D(如图2 38).
在Rt△AOD 中,
∵∠A =45°,
∴∠AOD = ∠A,OD =AD .
又∵OD2+AD2 =AO2,AO =4,
∴2OD2 =16,OD =22,
即 圆心O 到AB 所在直线的距离d =22.
O
(1)
O
(2)
O
(3)
图2 38
(1)当r=2时,d>r,AB 所在直线与☉O 相离(如图2 38(1));
(2)当r=22时,d=r,AB所在直线与☉O相切(如图2 38(2));
(3)当r=3时,d<r,AB 所在直线与☉O 相交(如图2 38(3)).
1.填表:
直线与
圆的位
置关系
图 形
公共点
个数
直线的
名称
公共点
名称
圆心到直线的
距离d 与半
径r的关系
相 交
—
—
相 切
相 离
—
—
2.已知☉O的直径为8,圆心O到直线l的距离为5.直线l与
☉O有怎样的位置关系? 圆心O到直线l的距离为4或3呢?
第2章
对称图形———圆
66
在图2 39中,经过☉O 的半径OD 的外端点D,作直线l⊥OD,
直线l与☉O 有怎样的位置关系? 为什么?
图2 39
图2 40
如图2 40,因为圆心O 到直线l的距离OD
等于☉O 的半径r,所以直线l与☉O 相切.
于是,我们得到如下结论:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图2 41,直线l是☉O 的切线,切点为D .直线l与半径OD
有怎样的位置关系? 为什么?
O
D
l
图2 41
图2 42
我们可以用反证法证明l⊥OD .
假设直线l与OD 不垂直,过圆心O 作
OD'⊥l,垂足为D'(如图2 42).因为直线l
与☉O 相切,所以圆心O 到直线l 的距离
OD'等于☉O 的半径,点D'在☉O 上.这
样,直线l与☉O 有两个公共点D、D'.这
与“直线l与☉O 相切”矛盾,所以l⊥OD .
2.5 直线与圆的位置关系
67
于是,我们得到如下结论:
圆的切线垂直于经过切点的半径.
例2 如图2 43,△ABC 是☉O 的内接三角形,AB 是☉O 的直
径,∠CAD =∠ABC .判断直线AD 与☉O 的位置关系,并说明理由.
解: 直线AD 与☉O 相切.
A
D
C
B
O
图2 43
∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ACB =90°.
∴∠ABC+∠BAC =90°.
又∵∠CAD = ∠ABC,
∴∠CAD +∠BAC =90°,
即 AD⊥AB .
∴直线AD 与☉O 相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线).
例3 如图2 44,AB 是☉O 的直径,弦AD 平分∠BAC,过点
D 的切线交AC 于点E .DE 与AC 有怎样的位置关系? 为什么?
A
O
B
D
C
E
图2 44
解: DE 与AC 互相垂直.
连接OD .
∵OD =OA,
∴∠ODA = ∠OAD .
又∵∠OAD = ∠CAD,
∴∠ODA = ∠CAD .
∴OD ∥AC .
∵DE 是☉O 的切线,
∴DE⊥OD(圆的切线垂直于经过切点的半径),
即 ∠ODE=90°.
于是,∠DEA=90°,DE⊥AC .
第2章
对称图形———圆
68
1.如图,点P 在☉O 上,过点P 画☉O 的切线.
P
O
(第1题)
A
C
B
(第2题)
2.如图,在△ABC 中,∠ABC =45°,AB =AC .直线AC 与以
AB 为直径的☉O 有怎样的位置关系? 为什么?
*3.
如图,在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小
圆于点P .PA 与PB 相等吗? 为什么?
P
O
A
B
(第3题)
要从一块三角形铁皮余料中剪一个圆,如何使剪得的圆面积
最大?
观察图2 45可以发现,要使剪得的圆面积最大,这个圆应与三
角形的各边都相切.
(1) (2) (3)
图2 45
2.5 直线与圆的位置关系
69
如何作一个圆,使它与已知三角形的各边都相切?
已知△ABC .根据下列作法,用直尺和圆规作☉O,使它与
△ABC 的各边都相切.
作 法
图 形
1.分别作∠ABC、∠ACB 的平分线BM、
CN,BM 与CN 的交点为O .
2.过点O,作OD⊥BC,垂足为D .
3.以点O 为圆心,OD 为半径作☉O .
☉O 就是所求作的圆.
图2 46
与三角形各边都相切的圆叫做三角形
的内切圆(
inscribedcircleoftriangle).内
切圆的圆心叫做三角形的内心(
incenterof
triangle),这个三角形叫做圆的外切三角
形.如图2 46,☉O 是△ABC 的内切圆,
△ABC 是☉O 的外切三角形.
例4 如图2 47,☉O 是△ABC 的内切圆,切点分别为D、E、
F,∠B =60°,∠C =70°.求∠EDF 的度数.
A
O
B
F
E
C
D
图2 47
解: 连接OE、OF .
在△ABC 中,
∠A =180°-(∠B+∠C)
=180°-(60°+70°)
=50°.
∵☉O 是△ABC 的内切圆,
∴AB⊥OF,AC⊥OE(圆的切线垂直于经过
切点的半径).
第2章
对称图形———圆
70
在四边形AFOE 中,
∠EOF =360°-(∠A+∠AFO+∠AEO)
=360°-(50°+90°+90°)
=130°,
∴∠EDF = 1
2∠EOF =65°.
1.如图,点O 是△ABC 的内心.根据下列条件,求∠BOC 的
度数.
(1)∠ABC =50°,∠ACB =60°;
(2)∠A =50°.
(第1题)
(第2题)
2.如图,点C、D 分别在射线OA、OB 上.求作☉P,使它与
OA、OB、CD 都相切.
图2 48
如图2 48,PA、PB 是☉O 的切
线,切点分别为A、B.PA 与PB 相
等吗?
2.5 直线与圆的位置关系
71
我们可以用下面的方法证实小明、小丽的猜想:
在图2 48中,连接OA、OB、OP(如图2 49).
图2 49
∵PA、PB 是☉O 的切线,
∴PA⊥OA,PB⊥OB(圆的切线垂
直于经过切点的半径),
即 △POA、△POB 是直角三角形.
又∵OA =OB,OP =OP,
∴△POA ≌△POB .
∴PA =PB .
我们也可以运用图形运动的方法证实PA =PB.
图2 50
在图2 49中,由OA ⊥PA,
OB ⊥PB,OA = OB,可知点O 在
∠APB 的平分线上. 于是, 把
图2 49中的PB沿直线OP 翻折,射
线PB与射线PA 重合(如图2 50).
因为过点O 有且只有一条直线与
PA(PB)垂直,所以OB 与OA 重合,
即点B 与点A 重合,PA =PB .
在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的线段的长,叫
做这点到圆的切线长(
lengthofthetangent).
于是,我们得到如下定理:
*过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
第2章
对称图形———圆
72
图2 51
例5 如图2 51,在以点O 为圆心的两
个同心圆中,大圆的弦AB、AC 分别与小圆
相切于点D、E .AB 与AC 相等吗? 为
什么?
解: AB 与AC 相等.
连接OD、OE .
∵AB、AC 是小圆的两条切线,切点分别为D、E,
∴AD =AE (过圆外一点所画的圆的两条切线长相等),
AB⊥OD,AC⊥OE(圆的切线垂直于经过切点的半径).
又∵AB、AC 是大圆的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AB =2AD,AC =2AE .
∴AB =AC .
在图2 51中,如果连接DE、BC,那么DE 与BC 有怎样的关
系? 为什么?
*
1.如图,AB、AC、BD 是☉O 的切线,切点分别为P、C、
D .若AB =5,AC =3,求BD 的长.
(第1题)
D
E
(第2题)
*
2.如图,PA、PB 是☉O 的切线,切点分别为A、B,直线
OP 交☉O 于点C、D,交AB 于点E .根据题设条件,你
能得到哪些结论? 为什么?
2.5 直线与圆的位置关系
73
２.５
1.已知☉O 的直径为10,圆心O 到直线l的距离为3.直线l与☉O
有怎样的位置关系? 圆心O 到直线l的距离为5或8呢?
2.如图,☉O 的半径为22,AB、AC 是☉O 的两条弦,AB =23,
AC =4.如果以点O 为圆心作一个与AC 相切的圆,那么这个圆
的半径是多少? 它与AB 所在直线有怎样的位置关系?
(第2题)
(第3题)
3.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC =3,BC =4,以点C为圆心,
r为半径画圆.根据下列r的值,判断圆与AB所在直线的位置关系:
(1)r=2;(2)r=2.4;(3)r=3.
4.如图,AB 是☉O 的直径,AD 是☉O 的弦,过点B 的切线交AD
的延长线于点C .若AD =DC,求∠ABD 的度数.
(第4题)
(第5题)
5.如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,过点C 的切线交AB
的延长线于点D .若∠D =30°,求∠A 的度数.
6.如图,直线AB 经过☉O 上一点C,且OA =OB,CA =CB .直线
AB 与☉O 相切吗? 为什么?
(第6题)
(第7题)
7.如图,AB 是☉O 的弦,点C 在过点B 的切线上,且OC⊥OA,
OC 交AB 于点P .判断△CBP 的形状,并说明理由.
第2章
对称图形———圆
74
8.如图,P 是∠BAC 的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D .AB
与以点P 为圆心,PD 为半径的圆相切吗? 为什么?
(第8题)
(第9题)
9.如图,已知Rt△ABC(∠C=90°).作一个圆,使圆心O 在AC
上,且与AB、BC 所在直线相切(不写作法,保留作图痕迹,并
说明作图的理由).
10.如图,I是△ABC 的内心,AI的延长线交△ABC 的外接圆于点
D .BD 与ID 相等吗? 为什么?
(第10题)
(第12题)
11.△ABC 的周长为24,面积为24,求它的内切圆的半径.
*
12.如图,PA、PB 是☉O 的切线,切点分别为A、B,点C 在AB
︵
上,过点C 的切线分别交PA、PB 于点D、E.设PA =10,求
△PDE 的周长.
*
13.如图,四边形ABCD 的各边与☉O 分别相切于点E、F、G、H .
AB、BC、CD、DA 之间有怎样的数量关系? 为什么?
(第13题)
(第14题)
*
14.如图,AB 是☉O 的切线,切点为B,AO 交☉O 于点C,过点C
的切线交AB 于点D .若AD=2BD,CD=2,求☉O 的半径.
2.5 直线与圆的位置关系
75
圆与圆的位置关系
借助学习点与圆、直线与圆的位置关系所获得的经验,我们来探索圆
与圆的位置关系.
在平面内,两圆相对运动,可以得到下列不同的位置关系(如图(1)):
O1
O2
①
O1
O2
②
O1
O2
③
O1
O2
④
O1
O2
⑤
图(1)
这5种位置关系分别称为两圆外离、外切、相交、内切和内含.
像点与圆、直线与圆的位置关系那样,圆与圆的位置关系与相应的数
量关系之间也有着内在的联系.
如图(2),设☉O1、☉O2 的半径分别为R、r,圆心O1、O2 之间的距
离为d.
O1
R
r
d
O2
①
O1
R
r
d
O2
②
O1
R
r
d O2
③
O1
R
r
d O2
④
O1
R
r
d O2
⑤
图(2)
第2章
对称图形———圆
76
观察图(2),我们可以用d与R、r之间的数量关系来描述两圆的位置
关系:
两圆外离⇔d>R+r;
两圆外切⇔d=R+r;
两圆相交⇔R-r<d<R+r(R ≥r);
两圆内切⇔d=R-r(R >r);
两圆内含⇔d<R-r(R >r).
图形的位置关系决定了相应数量之间的关系;反过来,由数量之间的
关系可以判定图形的位置关系.
2.6 正多边形与圆
77
2.
6
正多边形与圆
我们已经学习过等边三角形(正三角形)、正方形(正四边形).正
三角形、正四边形的各边相等,各角也相等.
生活中,各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见.例
如,图2 52中霓虹灯的边框、螺帽的边缘等.
(1)
(2)
图2 52
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形(regularpolygon).
我们知道,三边相等的三角形是正三角形,三角相等的三角形也
是正三角形.能否说各边相等的多边形是正多边形? 或者说各角相等
的多边形是正多边形? 试举例说明.
O
图2 53
如图2 53,已知☉O .
(1)用量角器把☉O 五等分,依次连接各等
分点,得五边形ABCDE;
(2)五边形ABCDE 是正五边形吗? 为什么?
A
B
C
D
E
O
图2 54
如图2 54,点A、B、C、D、E把☉O五等分.
∵AB
︵=BC
︵=CD
︵=DE
︵=EA
︵,
∴AB =BC =CD =DE =EA,
BCE
︵=CDA
︵.
∴∠A = ∠B .
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E .
∴五边形ABCDE 是正五边形.
第2章
对称图形———圆
78
图2 55
如图2 55,点A、B、C、D、E、F 把
☉O 六等分.
(1)在一张透明纸上画与图2 55形状、
大小相同的图形,并把它们叠合在一起;
(2)把所画图形绕点O 旋转60°,你发
现了什么? 再旋转60°呢?
你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF 是正六边形吗?
一般地,只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分
点就能得到这个圆的内接正n 边形,这个圆是这个正n 边形的外接
圆.正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫
做正多边形的半径.
例 如图2 56,正六边形ABCDEF 的半径为4.求这个正六边
形的周长和面积.
A
B
C
D
E
F
G
O
图2 56
解: 作半径OA、OB .
根据题意,得∠AOB =360°
6 =60°.
∵OA =OB,
∴△OAB 为等边三角形,AB =OA =4.
正六边形的周长l=4×6=24.
过点O 作OG⊥AB,垂足为G .
在Rt△OAG 中,
∵OA =4,AG = 1
2AB =2,
∴OG =
OA2-AG2 =
42-22 =23.
正六边形的面积S= 1
2×4×23×6=243.
2.6 正多边形与圆
79
1.求半径为r的圆内接正方形的边长和面积.
2.如图,正六边形ABCDEF 的边长为5,求对角线AD、AC
的长.
(第2题)
图2 57中的正多边形,哪些是轴对称图形? 哪些是中心对称图
形? 如果是轴对称图形,画出它的对称轴;如果是中心对称图形,找
出它的对称中心.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
图2 57
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n 条对称轴,每条
对称轴都经过正n边形的中心.一个正多边形,如果有偶数条边,那
么它又是中心对称图形,对称中心就是这个正多边形的中心.
用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形.
第2章
对称图形———圆
80
1.作正方形.
作 法
图 形
1.在☉O 中作两条互相垂直的直径AC、BD .
2.依次连接A、B、C、D 各点.
四边形ABCD 就是所求作的正方形.
如何作正八边形?
2.作正六边形.
作 法
图 形
1.在☉O 中任意作一条直径AD .
2.分别以点A、D 为圆心,☉O 的半径为半
径作弧, 与☉O 相交于点B、F 和点
C、E .
3.依次连接A、B、C、D、E、F 各点.
六边形ABCDEF 就是所求作的正六边形.
如何作正三角形、正十二边形?
1.将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度,就能与它自身
重合? 正五边形呢?
2.图中的两个三角形分别是圆的外切正三角形和内接正三角
形.这个图形是轴对称图形吗? 如果是,画出它的对称轴.
3.用等分圆周的方法画出下列图形:
(第2题)
①
②
(第3题)
2.6 正多边形与圆
81
判定正多边形的条件
三边相等的三角形是正三角形.
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
不难发现,这两个定义有差异.这是因为:在三角形中,由三角形
的三条边相等可以推出它的三个角也相等,因而正三角形的定义中只需
要“三边相等”的条件.但是,边数大于3的多边形的各边(或各角)相
等时,它的各角(或各边)不一定相等.例如,菱形的四条边相等,但它
的四个角不都相等;矩形的四个角相等,但它的四条边不都相等.因而
边数大于3的正多边形定义中需要“各边相等、各角也相等”的条件.
由此可见,三角形(特殊的多边形)具有稳定性,边数大于3的多边形
不具有稳定性,使正三角形的定义与正多边形的定义产生了“差异”.
２.６
1.正五边形被过它的顶点的半径分成多少个等腰三角形? 这些等腰
三角形全等吗? 为什么? 正六边形、正八边形呢?
(第2题)
2.如图,把一个边长为a的正三角形纸片剪成
正六边形(图中的阴影部分),剪去的3个小
三角形的边长应是多少? 为什么?
3.用长24m 的木栅栏围成正三角形或正方形
或正六边形的绿地.这三种围法中,哪一种
围成的绿地面积最大? 为什么?
4.用等分圆周的方法画出下列图形:
①
②
(第4题)
第2章
对称图形———圆
82
5.如图,AC 是☉O 的内接正六边形的一边,点B 在AC
︵上,且BC
是☉O 的内接正八边形的一边.AB 是否为☉O 的内接正n 边形的
一边? 如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.
(第5题)
(第6题)
6.观察圆内接正五边形ABCDE(如图),解答下列问题:
(1)图中,以AB 为底,且顶角为36°的等腰三角形有多少个? 以
AB 为腰,且顶角为36°的等腰三角形有多少个? 将它们表示
出来;
(2)图中,以AB 为底,且底角为36°的等腰三角形有多少个? 以
AB 为腰,且底角为36°的等腰三角形有多少个? 将它们表示
出来.
2.7 弧长及扇形的面积
83
2.
7
弧长及扇形的面积
我们知道,圆上任意两点间的部分叫做弧,一条弧和经过这条弧
的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.弧是圆的一部分,扇面是
圆面的一部分.
A
B
O
R
l
n
图2 58
如图2 58,当圆的半径R 确定时,扇形的弧
长随所对圆心角大小的变化而变化.设n°的圆心
角所对的弧长为l,探索l与n 之间的数量关系.
在半径为R 的圆中,弧长l与所对的圆心角度数n 之间有如下
关系:
l= n
360×2πR =nπR
180 .
在这个关系式中,当R 为常数时,l是n 的正比例函数;当n为
常数时,l是R 的正比例函数.
仿照上面的过程,当圆的半径R 确定时,探索扇形的面积S扇形与
扇形的圆心角度数n之间的数量关系.
第2章
对称图形———圆
84
在半径为R 的圆中,扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间有如下
关系:
S扇形= n
360πR2.
上述公式揭示了S扇形与n、R 之间的数量关系.试探索S扇形与l、
R 之间的数量关系.
S扇形= n
360πR2 = 1
2·nπR
180·R,于是
S扇形= 1
2lR .
例1 如图2 59,△ABC 是☉O 的内接三角形,∠BAC=60°.
设☉O 的半径为2,求BC
︵的长.
图2 59
解: 连接OB、OC,则∠BOC 为BC
︵
所对的圆心角.
∵∠BAC =60°,
∴∠BOC =2∠BAC =120°.
∴BC
︵的长l=120π×2
180
=4
3π.
A
B
O D
C
图2 60
例2 如图2
60,折扇打开后,
OA、OB 的夹角为120°,OA 的长为
30cm,AC 的长为20cm.求图中阴影部
分的面积S.
解:S=S扇形OAB -S扇形OCD.
2.7 弧长及扇形的面积
85
∵S扇形OAB =120π×302
360
=300π(cm2),
S扇形OCD =120π×102
360
=100
3π(cm2),
∴S=300π-100
3π=800
3π(cm2).
A
B
O
D
C
图2 61
如图2 61,半圆的直径AB=40,
C、D 是半圆的3等分点.求弦AC、AD
与CD
︵围成的阴影部分的面积.
1.已知圆弧所在圆的半径为24,所对的圆心角为60°,求这条
弧的长.
2.已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π,求这个扇形的
面积.
２.７
1.已知75°的圆心角所对的弧长为5π,求这条弧所在圆的半径.
2.已知扇形的面积为6π,半径为4,求这个扇形的弧长.
3.如图,OA、OB 是☉O 的两条半径,以OA 为直径的☉O1 交OB
于点C .AB
︵与AC
︵的长相等吗? 为什么?
(第3题)
(第4题)
4.如图,AB 是☉O 的切线,切点为B,AO 交☉O 于点C,且
AC=OC .
(1)求BC
︵的度数;
(2)设☉O 的半径为5,求图中阴影部分的面积.
第2章
对称图形———圆
86
2.
8
圆锥的侧面积
我们把连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线.
如图2 62,线段SA 是圆锥的母线.
l
S
A
r
O
图2 62
在图2 62中,设圆锥的母线长为l,圆锥
的底面圆半径为r,你能计算圆锥的侧面积吗?
例 用铁皮制作的圆锥形容器盖如图2 63所示,求这个容器盖
铁皮的面积(精确到1cm2).
解: 圆锥形容器盖的底面圆周长为2π×40=80π(cm).
图2 63
容器盖的面积
S= 1
2×80π×50
≈6283(cm2).
答: 这个圆锥形容器盖铁皮的面积约为6283cm2.
图2 64
在半径为2的圆形纸片中,剪一个圆心角为
90°的扇形(图2 64中的阴影部分).
(1)求这个扇形的面积(结果保留π);
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,
能否从剪下的3块余料中选取一块,剪出一个圆作
为这个圆锥的底面?
2.8 圆锥的侧面积
87
1.设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为l,用含r、l的
式子表示圆锥的全面积S(圆锥的全面积为圆锥的侧面积与
底面积的和).
2.用半径为30,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧
面,求这个圆锥的底面圆半径.
２.８
1.给一个圆锥形零件的侧面涂漆,零件的尺寸要求如图所示.求需
涂漆的面积(精确到1cm2).
12 cm
12 cm
(第1题)
(第2题)
2.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD=2,AB=2 2,以点
A 为圆心,AD 为半径的圆与BC 相切于点E,交AB 于点F .用
扇形AFD 围成一个圆锥的侧面,求这个圆锥底面圆的半径.
3.如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4.
(第3题)
(1)分别以AC、BC 所在直线为轴,把
△ABC 旋转1周,得到两个不同的
圆锥.求这两个圆锥的侧面积.
(2)以AB 所在直线为轴,把△ABC 旋
转1周,求所得几何体的表面积.
第2章
对称图形———圆
88
图形的密铺
如图2 65, 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼
接, 使图形之间没有空隙, 也没有重叠地铺成一片, 叫做图形的密铺.
图2 65
图2 66是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面.
(1)
(2)
图2 66
思考:
用边长相同的正三角形、正六边形两种材料组合能够密铺地面吗?
要使这两种材料组合能够密铺地面, 就必须满足: 有公共顶点的若
干个(m 个)正三角形的内角与若干个(n 个)正六边形的内角的和等于
360°, 也就是二元一次方程m·60°+n·120°=360°要有正整数解.不难
知道, 这个二元一次方程有正整数解m=4,
n=1
或m=2,
n=2.
我们可以拼出如图2 67所示的密铺图形:
(1)
(2)
图2 67
2
小结与思考
89
探索:
(1) 用全等的五边形材料能够密铺地面吗?
(2) 如果限于用一种边长相同的正多边形材料密铺地面, 那么哪几
种材料能够密铺地面?
(3) 在边长相同的正三角形、正方形、正六边形材料中, 哪几种材
料组合能够密铺地面?
操作:
准备硬纸板、水彩等材料, 三角尺、圆规、剪刀等工具.
(1) 用硬纸板剪若干块边长相同的正三角形和正方形, 用这两种图
形组合密铺地面;
(2) 用硬纸板剪若干块边长相同的正三角形、正方形、正六边形,
用这3种图形组合密铺地面.
1.本章知识结构
2.圆是中心对称图形、轴对称图形; 圆还具有绕圆心旋转任意角度都能与
它自身重合的性质.
利用圆的对称性, 可以得到圆的如下性质:
圆心角、弧、弦之间的关系: 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
第2章
对称图形———圆
90
*
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
*
切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
回顾上述定理的探索、证明过程, 体会“对称” 在研究图形性质中的作用.
3.探索并证明图形性质常常经历如下过程: 通过操作、观察……发现图形
可能具有的性质; 用图形运动的方法或通过推理论证, 证实图形的性质.举例
说明, 在本章中, 哪些定理的探索、证明经历了这样的过程.
4.在探索圆周角与圆心角之间数量关系时, 先对圆心与圆周角的位置关系
进行分类, 再从特殊情形入手, 通过一般到特殊的转化证实了结论.
点与圆、直线与圆的位置关系反映了数与形之间的内在联系: 由图形的位
置关系决定数量关系, 由数量关系判定图形的位置关系.
复习巩固
1.如图,AB是☉O的直径,AC
︵=CD
︵=DE
︵,∠AOC =40°.求∠BOE
的度数.
(第1题)
(第2题)
2.如图,OA、OB 是☉O 的半径,C 是☉O 上一点,∠AOB=40°,
∠OBC=50°.求∠OAC 的度数.
*
3.如图,BC 是☉O 的弦,半径OA ⊥BC,点D 在☉O 上,且
∠ADB =25°.求∠AOC 的度数.
(第3题)
(第4题)
*
4.如图,在☉O 中,直径AB 交弦CD 于点E,OF⊥CD,垂足为F,
AE =1,BE =5,OF =1.求CD 的长.
5.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E 是
2
复习题
91
BC 上一点,过C、E、D 三点的圆交AE 于点F.∠DFE 与
∠BAC 相等吗? 为什么?
(第5题)
(第6题)
6.如图,AD 是☉O 的弦,AB 经过圆心O 交☉O 于点C,∠A =
∠B =30°.BD 与☉O 有怎样的位置关系? 为什么?
7.如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,AB 是☉O 的直径,∠BAC =
2∠B,过点A 的切线交OC 的延长线于点D .若☉O 的半径为2,
求AD 的长.
(第7题)
(第8题)
8.如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,AD 垂直于过点C 的切
线,垂足为D,且∠BAD =80°.求∠DAC 的度数.
9.如图,△ABC是☉O 的内接三角形,AE 是☉O 的直径,AF 是☉O
的弦,且AF⊥BC,垂足为D.BE与CF相等吗? 为什么?
A
B
C
E
F
O
D
(第9题)
第2章
对称图形———圆
92
10.如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,∠ACB 的平分线交
☉O 于点D .若AB =10,AC =6,求BC、BD 的长.
(第10题)
(第11题)
11.如图,四边形ABCD 内接于☉O,AD、BC 的延长线相交于点E,
AB、DC 的延长线相交于点F,且∠E=50°,∠F=30°.求∠A
的度数.
12.如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,AB =2,∠BAC =
30°.在图中作弦AD,使AD =1,并求∠CAD 的度数.
(第12题)
(第13题)
*
13.如图,AC 是☉O 的直径,PA、PB 是☉O 的切线,切点分别为
A、B .OP 与CB 有怎样的位置关系? 为什么?
14.(1)如图①,点A、B、C 在☉O 上,点D 在☉O 外,比较∠BAC
与∠BDC 的大小,并说明理由;
(2)如图②,点A、B、C 在☉O 上,点D 在☉O 内,比较∠BAC
与∠BDC 的大小,并说明理由.
①
②
(第14题)
2
复习题
93
灵活运用
15.如图,扇形OAB 的圆心角为直角,边长为1的正方形OCDE 的
顶点C、D、E 分别在OA、AB
︵、OB 上,AF⊥ED,交ED 的延
长线于点F .求图中阴影部分的面积.
(第15题)
(第16题)
*
16.如图,在△ABC 中,∠C=90°,☉O 是△ABC 的内切圆,切点分
别为D、E、F .若BD =6,AD =4,求☉O 的半径r.
17.如图,在平面直角坐标系中,☉O 的半径为1,过点A(2,0)的直
线与☉O 相切于点B,与y轴相交于点C .
(1)求AB 的长;
(2)求直线AC 相应的一次函数表达式.
(第17题)
(第18题)
18.如图,AB 是☉O 的弦,AB=2,点P 在AmB
︵上运动,且∠APB
=30°.
(1)求☉O 的半径;
(2)设点P 到直线AB 的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求
y与x 之间的函数关系,并写出自变量x的取值范围.
第2章
对称图形———圆
94
(第19题)
*
19.如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,
且AC⊥BD,OF⊥AB,垂足分别为E、F .
OF 与CD 有怎样的数量关系? 为什么?
20.在同一平面内,已知点O 到直线l的距离为
5.以点O 为圆心,r为半径画圆.
(1)当r= 时,☉O上有且只有1个点到直线l的距离等于3;
(2)当r= 时,☉O上有且只有3个点到直线l的距离等于3;
(3)随着r的变化,☉O 上到直线l的距离等于3的点的个数有哪
些变化? 求出相对应的r的值或取值范围.
探索研究
21.如图,△ABC 是边长为1cm的正三角形.
(1)画图:将线段CA 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1,形成
扇形D1;将线段BP1 绕点B 按顺时针方向旋转120°至BP2,
形成扇形D2;将线段AP2 绕点A 按顺时针方向旋转120°至
AP3,形成扇形D3;将线段CP3 绕点C 按顺时针方向旋转
120°至CP4,形成扇形D4……
(第21题)
(2)设ln 为扇形Dn 的弧长(n=1,2,3……).
2
复习题
95
填表:
n
1
2
3
4
ln
根据上表所反映的规律,试估计n至少为何值时,扇形Dn 的
弧长能够绕地球赤道1周(设地球赤道半径为6400km).
22.如图,点A、B、C、D 在☉O 上,且AD
︵=BC
︵,E 是AB 延长线
上一点,且BE=AB,F 是EC 的中点.
(1)探索BF 与BD 之间的数量关系,并说明理由;
(2)设G 是BD 的中点,在☉O 上是否存在点P (点B 除外),使
得PG=PF? 为什么?
(第22题)
(第23题)
23.运用图形运动的方法研究下列问题:
如图,AB 是☉O 的直径,CD、EF 是☉O 的弦,且AB∥CD∥
EF,AB=10,CD=6,EF=8.求图中阴影部分的面积.
Ц
Ц
x=1×4+2×8+3×6+4×2
4+8+6+2
了解数据的集中趋势和离散程度,
可以更加有效地认识、利用数据.
本章将学习平均数、中位数、众数、极差、方差的概念, 并利用它们分析
数据的集中趋势和离散程度.
第28届奥运会男子50m步枪3×40决赛中, 甲、乙两名运动员10次射击的成绩如
下(单位: 环):
第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次
甲
9.4
10.1
10.4
8.4
8.7
9.9
9.9
8.8
7.8
10.1
乙
9.4
10.4
9.3
10.4
9.5
10.1
9.9
9.4
10.0
0
(1) 计算甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩;
(2) 你认为甲、乙两名运动员这10次射击的平均成绩能较好地反映他们的实际水平
吗? 说说你的理由.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
98
3.
1
平均数
小学里,我们已经学习了计算一组数据的平均数的方法.
一般地,如果有n个数
x1,x2,…,xn,
那么
x=x1+x2+…+xn
n
叫做这n个数的算术平均数(arithmeticmean),简称为平均数.“x ”
读作“x拔”.
通常,平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.
小明和小丽所在的A、B两个小组的同学身高如下(单位:cm):
A组
B组
164,168,171,166,
170,168,166,164,
169,170,166,168
166,172,170,162,
164,169,170,165,
167,168
计算A组同学的平均身高xA,B组同学的平均身高xB.
小明用下面的方法计算xA:
首先整理数据,列频数分布表,然后再计算.
身高/cm
164
166
168
169
170
171
划 记
频 数
2
3
3
1
2
1
3.1 平均数
99
xA =164×2+166×3+168×3+169×1+170×2+171×1
2+3+3+1+2+1
=167.5(cm).
小丽用下面的方法计算xB:
先将各数据同时减去165,得到一组新数据1,7,5,-3,-1,
4,5,0,2,3,再计算这组新数据的平均数,得
x'= 1
10(1+7+5-3-1+4+5+0+2+3)=2.3.
xB =x'+165=167.3(cm).
小明和小丽的计算方法,各有什么特点?
由xA>xB 可以断定小明比小丽高吗? 为什么?
1.小丽某周每天的睡眠时间如下(单位:h):
9,10,9,9,8,11,9.
求小丽该周每天的平均睡眠时间.
2.已知一组数据85、80、x、90的平均数为85,求x的值.
3.某舞蹈队20名队员的身高如下(单位:cm):
172,170,169,172,162,167,168,165,172,170,
160,175,168,165,171,169,167,174,170,164.
求这些队员的平均身高(精确到1cm).
问题1 为了解某市九年级学生开展“综合与实践”活动的情况,
抽样调查了该市200名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的
第3章
数据的集中趋势和离散程度
100
天数,并根据调查所得的数据绘制条形统计图如下:
6
5
4
3
2
图3 1
求这200名学生参加“综合与实践”活动的平均天数.
你认为上述两种算法哪一个正确? 为什么?
这200名学生参加“综合与实践”活动的平均天数,不仅与参加
活动的天数有关,还与相应的人数有关,因此小丽的算法是正确的.
问题2 某电视台要招聘1名记者,甲、乙、丙三人应聘参加了3
项素质测试,成绩如下(单位:分):
人 员
采访写作
计算机操作
创意设计
甲
70
60
86
乙
90
75
51
丙
60
84
78
如果采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按5∶2∶3计算,
那么哪个人的素质测试平均成绩最高?
采访写作、计算机操作和创意设计成绩按5∶2∶3计算,说明采
访写作、计算机操作、创意设计的“重要程度”不一样,它们分别占
总成绩的
5
5+2+3、
2
5+2+3、
3
5+2+3.这样,
3.1 平均数
101
甲的得分=70×
5
5+2+3+60×
2
5+2+3+86×
3
5+2+3
=70×5+60×2+86×3
5+2+3
=72.8(分);
乙的得分=90×5+75×2+51×3
5+2+3
=75.3(分);
丙的得分=60×5+84×2+78×3
5+2+3
=70.2(分).
如果采访写作、计算机操作和创意设计成绩按4∶2∶4计算,那
么哪个人的素质测试平均成绩最高?
一组数据的平均数,不仅与这组数据中各个数据的值有关,而且
与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”
的数值叫做权(weight).例如:
“问题1”中的人数10、30、60、50、50分别是天数2、3、4、5、
6的“权”;
“问题2” 中的
5
5+2+3、
2
5+2+3、
3
5+2+3 或
4
4+2+4、
2
4+2+4、
4
4+2+4 分别是采访写作、计算机操作、创意设计成绩的“权”.
“问题1”中的4.5是数2、3、4、5、6的“加权平均数”.“问题
2”中甲的得分72.8是数70、60、86按5∶2∶3计算所得的“加权平
均数”;74.4是数70、60、86按4∶2∶4计算所得的加权平均数.
1.小明统计了15天同一时段通过某路口的汽车流量如下(单
位:辆):
汽车流量
142
145
157
156
天 数
2
2
5
6
求这15天在这个时段通过该路口的汽车平均流量.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
102
(第2题)
2. 某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据
如图所示,求该食堂销售午餐盒饭的平
均价格.
3.某风景区内5个景点的门票价格调整
如下:
景 点
A
B
C
D
E
原价/(元/人)
40
40
60
80
100
现价/(元/人)
30
30
60
90
110
日平均游
客人数
1000
1000
2000
3000
3000
风景区管理部门强调:调价前、后这5个景点门票的平均
价格不变,并没有通过调价来增加收入;游客认为:调价后风
景区的日平均收入相对于调价前实际增加了约5.4% .
你赞成哪一种说法,并说明理由.
３.１
1.某校九年级甲班40名学生中,5人13岁,30人14岁,5人15岁.
求这个班级学生的平均年龄.
2.某手表厂抽查了100只手表的日走时误差,数据如下(单位:s):
日走时误差
-2
-1
0
1
2
3
4
数量/只
3
10
18
28
20
16
5
求这100只手表的平均日走时误差.
3.某足球队20场比赛的进球数如图所示:
(第3题)
求该足球队平均每场的进球数.
3.1 平均数
103
4.5根钢材的平均长度为3.21m,在每根钢材上分别截下相同长度
的一段后,余下部分的长度(单位:m)分别为0.30,0.25,0.15,
0.10,0.20.求在每根钢材上截下部分的长度.
5.小丽等5人在草地上做游戏,他们的平均年龄是13岁,这5个人
可能的年龄有哪些? 请写出几组他们可能的年龄.小丽的年龄14
岁,如果按年龄从大到小的顺序排列,小丽可以排第几?
6. 某单位要招聘1名英语翻译,甲、乙两人报名参加了4项素质测
试,成绩如下(单位:分):
人 员
听
说
读
写
甲
90
80
85
78
乙
78
82
85
88
如果把听、说、读、写的成绩按3∶3∶2∶2计算素质测试平均成
绩,那么谁的平均成绩最高? 如果把听、说、读、写的成绩按2∶
2∶3∶3计算呢?
7.某公司为了解每天的用电情况,抽查了某月10天该公司的用电
量,统计如下(单位:kW·h):
用电量
90
93
102
113
114
120
天 数
1
1
2
3
1
2
(1)求该公司这10天的日平均用电量;
(2)估计该公司该月的用电量(按30天计算).
8.某灯泡厂为了检测本厂生产的某种型号灯泡的使用寿命,从中抽
取了400只灯泡,测得它们的使用寿命如下(单位:h):
使用寿命
550
650
750
850
950
1050
数量/只
20
80
108
92
76
24
(1)在这个问题中,总体和样本各指什么?
(2)求样本平均数;
(3)估计该灯泡厂生产的这种型号灯泡的平均使用寿命.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
104
3.
2
中位数与众数
问题1 在“献爱心”捐款活动中,某校九年级(1)班第3小组11
名同学的捐款数如下(单位:元):
4,4,2,3,3,5,7,6,8,10,80.
计算可得,这个小组平均每名同学捐款12元.你认为数据“12”
能较好地反映该组同学捐款数的“集中趋势”吗?
问题2 第28届奥运会男子50m步枪3×40决赛中,甲、乙两名
运动员10次射击的成绩如下(单位:环):
第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次总环数
甲9.4
10.1 10.4
8.4
8.7
9.9
9.9
8.8
7.8
10.1 93.5
乙9.4
10.4
9.3
10.4
9.5
10.1
9.9
9.4
10.0
0
88.4
乙运动员因第10次射击脱靶而失去了冠军.你认为乙运动员这
10次射击的平均成绩8.84环能反映他的实际水平吗?
平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系.
如果一组数据中所有数据的大小差异不大,那么平均数就能较好
地反映这组数据的集中趋势.
如果一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大(如“问题
1”中的“80”,“问题2”中的“0”),那么平均数就不能较好地反映
3.2 中位数与众数
105
这组数据的集中趋势.像这样的一组数据的集中趋势怎样来描述呢?
将“问题1”中11名同学的捐款数按从小到大的顺序排列:
2,3,3,4,4,5,6,7,8,10,80.
在这组数据中,比5小的数有5个,比5大的数有5个,处于中
间位置的数是5,我们用“5”来描述这组数据的集中趋势.
将“问题2”中乙运动员10次射击的环数按从小到大的顺序排列:
0,9.3,9.4,9.4,9.5,9.9,10.0,10.1,10.4,10.4.
在这组数据中,处于中间位置的数是9.5和9.9,我们用这两个
数的平均数“9.7”来描述这组数据的集中趋势.
一般地,将一组数据按大小顺序排列,如果数据的个数是奇数,那
么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数(median);如果数据的个数
是偶数,那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.
例如,“问题1”中数据的中位数是5;“问题2”中数据的中位数是9.7.
当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时,通常用中
位数来描述这组数据的集中趋势.
问题3 小明在校内抽样调查了30名男同学的衬衫尺码,数据如
下(单位:cm):
领口大小
37
38
39
40
41
42
划 记
正
正正
正
人 数
3
6
14
5
1
1
你认为学校商店应多采购哪种尺码的男衬衫? 说说你的理由.
/M ๓ᄻͦ
FP+==+Ϧᰬ
ๆUᏀๆFBE.ᅦ-+==
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(mode). 例
如,在“问题3”中,数据“39”出现的次数最多,“39”是这组数据
第3章
数据的集中趋势和离散程度
106
的众数.
当一组数据中有较多的重复数据时,常用众数来描述这组数据的
集中趋势.
1.某校九年级8个班级图书角图书的数量情况如下(单位:册):
班 级
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
八班
数 量
89
96
100
90
90
120
110
90
(1)求平均每个班级图书角图书的数量;
(2)求图书角图书数量的中位数和众数.
2.某射击小组20人某次射击训练的成绩如图所示:
(第2题)
(1)求该小组这次射击的平均成绩;
(2)求这组数据的中位数和众数.
平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势.在实际问
题中,如何选用平均数、中位数和众数呢?
某企业职工的月工资情况如下(单位:元):
月工资10000 9000 8000 7000 6500 6000 5800 5600 5000
人 数
1
2
5
10
17
23
28
10
4
根据上表,可以算得该企业职工月工资的平均数、中位数和众数
分别为6249元、6000元、5800元.如果你是该企业的一员,那么
会更加关注其中的哪一个数据?
3.2 中位数与众数
107
ຮ᭛цͧ
ፙUᰠ
ڟ"ๆ5ݕ+UᙋڠB+
᭛5ᰴB+у
平均数、中位数、众数都能刻画数据的集中趋势,在实际应用中,
应根据需要恰当地进行选择.
将一根绳子拉直.
(1)每位同学目测、估计这根绳子的长度;
(2)将全班同学的估计值绘制成统计表和统计图,并计算平均数、
中位数和众数;
(3)参照“(2)”中计算的结果,每人重新估计这根绳子的长度;
(4)测出这根绳子的实际长度,与你的估计值相比较.
1.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取8件产
品,对其使用寿命进行跟踪调查,结果如下(单位:年):
甲:3,4,5,6,8,8,8,10;
乙:4,6,6,6,8,9,12,13;
丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
(1)根据调查结果,三个厂家在广告中都称自己产品的使用
寿命是8年,请分析他们各自的理由;
(2)你认为哪个厂家的产品使用寿命更长一些? 说说你的
理由.
2.某车间员工某月生产零件的数量情况如下(单位:个):
数 量
150
140
120
人 数
1
1
18
第3章
数据的集中趋势和离散程度
108
(1)求该车间员工该月生产零件数量的平均数、中位数和
众数;
(2)你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个描述该车间
员工该月生产零件数量的“集中趋势”较为合适? 说说
你的理由.
３.２
1.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码,数据如下(单位:码):
码 号
33
34
35
36
37
人 数
7
6
15
1
1
在这组数据的平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是哪一个?
2. 某市2022 年2 月5 日~2 月14 日每天的最低气温如图所示
(单位:℃):
(第2题)
求这10天中该市最低气温的众数和中位数.
3.小明调查了学校九年级(1)班40名同学上学路上所花的时间,数
据如下(单位:min):
10,40,10,30,30,30,30,10,20,20,
20,20,10,20,30,50,30,10,30,10,
20,30,60,60,10,20,20,20,20,40,
10,40,20,30,30,40,40,40,50,20.
(1)求这组数据的平均数、中位数和众数;
(2)你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个描述该班全体同学
上学路上所花时间的“集中趋势”较为合适? 说说你的理由.
3.2 中位数与众数
109
4.某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下(单位:件):
月销售量
600
500
400
350
300
200
人数
1
4
4
6
7
3
(1)求该公司营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数;
(2)假设你是销售部负责人,你认为应怎样制定每位营销人员的月
销售量指标? 说说你的理由.
5.某校为了普及环保知识,从七~九年级中各选出10名学生参加环
保知识竞赛,成绩如下(满分100分):
年级
竞赛成绩
七年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
八年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
九年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
(1)计算各年级参赛学生成绩的平均数、中位数和众数,并对3个
年级参赛学生的成绩进行评价;
(2)如果从每个年级参赛学生中各选出3名学生参加决赛,你认为
哪个年级的选手实力更强一些? 说说你的理由.
6.调查本小组同学这学期阅读课外书籍的册数,求这组数据的平均
数、中位数和众数,并说出它们的意义.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
110
3.
3
用计算器求平均数
用计算器可以便捷地计算一组数据的平均数.
用计算器计算一组数据的平均数的操作顺序如下:
1.按开机键
,打开计算器.
2.按
键选择
,进入statx模式,即单变量统计模式.
3.按第三功能键
及
键进入统计数据的录入模式.
4.输入x1 的值.
5.按光标键
,确认.
6.输入x1 值的频数(FRQ),其中FRQ的默认值=1.
7.重复步骤4、5和6,直到输入所有数据为止.
8.按第三功能键
及
键退出统计数据的录入模式,再按
第三功能键
、平均值键
和
得到结果.
例 某中学九年级(1)班学生上学路上所花时间如图3 2所示(单
位:min):
图3 2
用计算器计算该班学生上学路上的平均用时数(精确到1min).
3.3 用计算器求平均数
111
解: 按
键选择
,进入statx模式,然后依次按键:
显示结果为30.85714286.
该班学生上学路上平均用时约为31min.
1. 目测、估计教室内黑板的长度;
2. 记录全班每位同学的估计值,并用计算器计算这些估计值的平
均值;
3. 测出教室内黑板的实际长度,这个测量值与你的估计值、全班同
学估计值的平均值接近吗?
1.某足球队比赛的场数及进球数如下:
进球数
0
1
2
3
4
5
6
场 数
6
1
5
10
12
5
1
用计算器求该队平均每场比赛的进球数.
2.抽样调查了10名学生文字录入的速度如下(单位:字/分):
38,41,43,62,63,70,74,90,69,72.
用计算器求这组数据的平均数.
３.３
1.用计算器求下列5个城市某年的降水量(单位:mm)的平均数(精
确到0.1mm):
城 市
西 安
北 京
广 州
上 海
银 川
降水量
588.4
279.8
1577.2
1419.3
169.2
第3章
数据的集中趋势和离散程度
112
2.某校九年级(1)班男生的身高如图所示(单位:cm):
(第2题)
用计算器计算该班男生的平均身高.
3.4 方差
113
3.
4
方差
在实际生产、生活中,我们不仅需要描述一组数据的集中趋势,
而且还需要描述一组数据的离散程度.
乒乓球的标准直径为40mm .质检部门抽取了A 厂生产的10只
乒乓球,对其直径进行检测,结果如下(单位:mm):
40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1.
上述这组数据中,最大值为40.2mm,最小值为39.8mm,最
大值与最小值的差为40.2-39.8=0.4(mm).我们把这样的差叫
做极差.
极差反映了一组数据的变化范围,在一定程度上描述了这组数据
的离散程度.
质检部门又抽取了B厂生产的10只乒乓球,对其直径进行检测,
结果如下(单位:mm):
40.0,40.2,39.8,40.1,39.9,40.1,39.9,40.2,39.8,40.0.
这组数据的极差是多少?
通过计算可以发现,上述两组数据的极差都是0.4mm .怎样比
较这两组数据的离散程度呢?
第3章
数据的集中趋势和离散程度
114
将上面的两组数据绘制成图3 3:
ᄐ /mm
༝ۜ
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A厂
3
2
1
4
5
6
7
8
9 10
ᄐ /mm
༝ۜ
B厂
图3 3
图3 3直观地反映了这两组数据的离散程度,怎样用数量来描述
这两组数据的离散程度呢?
描述一组数据的离散程度,可以采用多种方法.在统计中,常采
用下面的方法:
用一组数据x1、x2、…、xn 与它们的平均数x的差的平方的平均
数,即
s2 = 1
n[(x1-x)
2+(x2-x)
2+…+(xn-x)
2]
来描述这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差(variance).
一组数据的方差越大,说明这组数据的离散程度越大;一组数据
的方差越小,说明这组数据的离散程度越小.
3.4 方差
115
下面我们计算所抽取的A、B两厂生产的乒乓球直径的方差:
xA =40.0+39.9+…+40.0+40.1
10
=40(mm),
xB =40.0+40.2+…+39.8+40.0
10
=40(mm).
于是,
s2
A = (40.0-40)
2+(39.9-40)
2+…+(40.0-40)
2+(40.1-40)
2
10
=0.012(mm2),
s2
B = (40.0-40)
2+(40.2-40)
2+…+(39.8-40)
2+(40.0-40)
2
10
=0.02(mm2).
由s2
A <s2
B,可以推断A厂生产的乒乓球直径的离散程度较小,A
厂生产的乒乓球质量比较稳定.
标 准 差
极差是一组数据中最大值与最小值的差,反映这组数据的变化范围.
方差较为精确地反映一组数据相对于平均数的平均偏差,是一个被广
泛用来描述数据离散程度的量.但方差以原始数据的单位的平方作为单
位,所以在统计中,也用方差的算术平方根,即
s=
1
n[(x1-x)
2+(x2-x)
2+… +(xn-x)
2]
来描述一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差(standard
deviation).
标准差的单位与原始数据的单位相同.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
116
1.某地某日最高气温为12℃,最低气温为-7℃,该日气温的
极差是多少?
2.计算并比较下列两组数据的极差和方差:
甲组:5,15,10,10,9.2,10,10.1,10,10.8,9.9;
乙组:9,11,8,12,7,13,6,14,10,10.
3.某市2021年、2022年3月上旬的日最高气温(℃)如下:
年 份3月
1日
3月
2日
3月
3日
3月
4日
3月
5日
3月
6日
3月
7日
3月
8日
3月
9日
3月
10日
2021
13
14
15
20
12
11
12
16
18
19
2022
14
15
13
10
17
18
16
12
17
18
该市这两年中,哪一年3月上旬的日最高气温比较稳定? 为
什么?
３.４
1.某种零件的标准直径为10mm,从甲、乙两台机床加工的这种零
件中各抽取5件,对其直径进行检测,结果如下(单位:mm):
甲机床:10.05,10.02,9.97,9.96,10.00;
乙机床:10.00,10.01,10.02,9.97,10.00.
(1)分别求这两个样本的极差、方差;
(2)估计哪一台机床加工的产品质量比较稳定.
2.从某商店采购的一批标准直径为30mm 的机器零件中抽取18件,
对其直径进行检测,结果如下(单位:mm):
30.0,29.8,30.1,30.2,29.9,
30.0,30.2,29.8,30.2,29.8,
30.0,30.0,29.8,30.2,30.0,
30.1,30.0,29.9.
根据抽样检测结果,估计该商店采购的
这批零件直径的方差.
3.4 方差
117
3.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加校际100m比赛,对这两名运
动员进行了10次测试,成绩如下(单位:s):
甲12.8 12.9 12.9 12.7 13.2 13.1 12.8 13.0 12.7 12.9
乙12.9 12.8 12.8 12.9 13.0 12.9 12.9 13.1 12.9 12.8
根据测试成绩,你认为选派哪一名运动员参赛更好些? 为什么?
4. 某家电销售商店1~6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示
(单位:台):
(第4题)
(1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均
数和方差;
(2)根据计算结果及折线统计图,对该商店今后采购这两种品牌冰
箱的意向提出建议,并说明理由.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
118
3.
5
用计算器求方差
我们也可以用计算器来计算一组数据的平均数、方差.
甲、乙两人在相同条件下10
次射击的成绩如下(单位:环):
甲:10,7,8,8,8,8,8,
8,9,6;
乙:8,8,8,8,5,8,8,
9,9,9.
用计算器计算这两组数据的平均数、方差,比较甲、乙两人射击
成绩的稳定性.
方法一:
按开机键
后,首先将计算器功能模式设定为统计模式,
依次按键:
显示结果为8.
显示结果为1.
即甲射击成绩的平均数x=8,方差s2 =1.
依次按键:
显示结果为8.
显示结果为1.2.
即乙射击成绩的平均数x=8,方差s2 =1.2.
3.5 用计算器求方差
119
方法二:
按
键显示主菜单,使用光标键
或
选择统计图标,按
键
将计算器功能设定为统计模式,再按
(单变量统计)
(统计)
(开),选择计算类型.
依次按键:
(单变量计算)显
示结果为┆x =8
σ2x
=1
︙
即甲射击成绩的平均数x=8,方差s2=1.
依次按键:
(单变量计算)显示结果为┆x =8
σ2x
=1.2
︙
即乙射击成绩的平均数x=8,方差s2=1.2.
这两组数据的平均数相同,但第一组数据的方差小于第二组数据
的方差,说明甲射击成绩比乙稳定.
1.甲、乙两家水果店1~6月份某种水果的销售情况如下(单
位:kg):
水果店
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲 店
520
490
530
470
630
600
乙 店
530
510
520
540
570
570
分别计算这两家水果店1~6月份该种水果月销售量的平均
数、方差(精确到1kg).
2.从甲、乙两台包装机包装的标准质量为400g的袋装食品中
各抽取10袋,测得其实际质量如下(单位:g):
甲:401,400,408,406,410,409,400,393,394,394;
乙:403,404,402,396,399,401,405,397,402,399.
(1)分别计算这两个样本的平均数、方差;
(2)比较这两台包装机包装质量的稳定性.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
120
３.５
1.甲、乙两只股票某时段的收盘价格如下(单位:元):
日 期
9日
12日
13日
14日
15日
16日
19日
20日
甲股票14.11 14.59 14.27 14.25 14.62 14.55 14.39 14.93
乙股票15.49 15.53 15.51 16.07 15.88 15.98 16.67 16.80
日 期21日
22日
23日
26日
27日
28日
29日
30日
甲股票14.93 14.97 14.89 14.59 14.76 15.03 15.12 14.87
乙股票16.61 16.60 16.41 16.31 16.39 16.04 16.15 16.17
分别计算这两只股票在该时段收盘价格的平均数、极差、方差.
2.进行抛掷一枚质地均匀的硬币的试验,得到的数据如下:
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
抛掷次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
正面朝上
的频数
4
8
16
19
28
34
40
44
50
52
正面朝上
的频率
0.4000.4000.5330.4750.5600.5670.5710.5500.5560.520
试验序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
抛掷次数
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
正面朝上
的频数
54
56
60
69
74
81
84
90
94
101
正面朝上
的频率
0.4910.4670.4620.4930.4930.5060.4940.5000.4950.505
(1)分别计算序号为1~10、11~20的试验中,“正面朝上的频率”
的极差、方差(精确到0.0001);
(2)比较序号为1~10、11~20的试验中, “正面朝上的频率”的
稳定性.
3
数学活动
121
用电子表格软件求平均数、中位数、众数和方差
电子表格软件不仅可以很方便地画出统计图,而且可以很方便地求出
一组数据的平均数、中位数、众数和方差.
例如,10名同学的身高(单位:cm)分别为:160,162,163,165,
165,165,167,171,175,177.在工作表中的第一列逐个输入这些数
据,一个数据占一个单元格.选中一个空白单元格,作为计算机给出答案
的位置.点击工具栏中的“=”后,会出现一个下拉菜单.点击这个菜
单,选中“AVERAGE”并拖动鼠标,将刚才输入的数据全部选中.这
样,在Number1这一格中就会显示这列数据所在的范围(从A1 到A10),
按一下“确定”,立即会在刚才选中的位置显示出“平均数”为167.要计
算中位数,就选中“MEDIAN”,可得“中位数”为165.要计算众数,
就选中“MODE”,可得“众数”为165.要计算方差,就选中“VARP”,
可得“方差”为28.2.
估测时间
全班同学分为两人一个小组做同一个试验: 分别在安静和吵闹的环
境中, 估计1min的时间.
(1) 在安静的环境中, 一人估计1min的时间, 另一人看着秒表记
下实际时间.然后, 汇总全班同学估计的数据, 计算这些数据的平均
数、极差和方差, 并将这些数据绘制成频数分布直方图.
(2) 在吵闹的环境中, 一人估计1min的时间, 另一人看着秒表记
下实际时间.然后, 汇总全班同学估计的数据, 计算这些数据的平均
数、极差和方差, 并将这些数据绘制成频数分布直方图.
(3) 这两组数据的平均数、极差和方差是否一致? 频数分布直方图
各有什么特点?
第3章
数据的集中趋势和离散程度
122
1.本章知识结构
数据的集中趋
势和离散程度
数据的
集中趋势
平均数
中位数
众数
数据的
离散程度
方差
用样本估计总体: 用样
本平均数估计总体平均
数; 用样本方差估计总
体方差
2.平均数、中位数和众数从不同角度描述一组数据的集中趋势.平均数、
中位数、众数各有什么特点? 举例说明, 在解决实际问题时, 如何合理选用平
均数、中位数和众数.
3.方差刻画一组数据的离散程度.一组数据的方差越大, 说明这组数据的
离散程度越大; 一组数据的方差越小, 说明这组数据的离散程度越小.这样,
我们可以通过计算两组数据的方差来比较这两组数据的离散程度.请举出几个
与方差有关的生活实例.
复习巩固
1.小明在某次百科知识趣味比赛中,海洋、天文、历史3个专题的平
均成绩为80分,地理、文学2个专题的平均成绩为85分.求小明
这5个专题的平均成绩.
2.在一次考试中,某题(满分10分)的得分情况如下:
得 分
0
2
4
6
8
10
百分率
15%
10%
25%
30%
15%
5%
求该题的平均得分.
3.某校九年级甲班50名学生的年龄情况如下(单位:岁):
年 龄
14
15
16
17
人 数
4
21
24
1
求这个班级学生年龄的平均数、众数和中位数.
4.某消费者调查了某商品在20家商店的销售价格如下(单位:元):
75,77,74,80,78,77,79,74,80,76,
76,77,76,80,74,77,80,78,74,78.
求这组数据的平均数、方差.
3
复习题
123
5.甲、乙两班各选10名学生参加电脑汉字录入比赛,参赛学生每分
钟录入汉字的数量如下(单位:个):
录入汉字数量
132
133
134
135
136
137
甲班参赛学生人数
1
0
1
5
2
1
乙班参赛学生人数
0
1
4
1
2
2
分别求甲、乙两班参赛学生比赛成绩的平均数、中位数、众数和
方差.
6.某篮球队在一次联赛中共进行了10场比赛.已知这10场比赛的平
均得分为88分,且前9场比赛的得分依次为:97,91,85,91,
84,86,85,82,88.
(1)求第10场比赛的得分;
(2)求这10场比赛得分的中位数、众数和方差.
7.要从甲、乙两名运动员中选出一名参加400m 比赛,对这两名运动
员进行了8次测试,成绩如下(单位:s):
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
选手甲成绩
52.1 52.2
53
52.5 53.1 52.5 52.4 52.2
选手乙成绩
52
52.4 52.8
53
52.2 52.8 52.3 52.5
根据测试成绩,你认为选派哪一名运动员参赛更好些? 为什么?
8.某品牌汽车销售公司有营销员14人,销售部为制定营销人员月销
售汽车定额,统计了这14人某月的销售量如下(单位:辆):
销售量
20
17
13
8
5
4
人 数
1
1
2
5
3
2
(1)求这14位营销员该月销售量的平均数、众数、中位数;
(2)销售部经理把每位营销员月销售量定额定为9辆,你认为是否
合理,为什么? 如果不合理,请你设计一个较为合理的销售定
额,并说明理由.
灵活运用
9. 一组数据6,8,10,x的中位数与平均数相等,求x的值.
第3章
数据的集中趋势和离散程度
124
10.甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如图所示:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ܬ
༝ۜ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ܬ
༝ۜ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
乙
(第10题)
(1)填表:
人 员
平均数
方 差
中位数
命中10环次数
甲
乙
(2)评价甲、乙两人射击的成绩.
11.甲、乙两支篮球队进行了5场选拔赛,比赛成绩绘制成图①、
图②.
①
②
(第11题)
(1)在图②中画出折线统计图表示乙队这5场比赛成绩的变化
趋势;
(2)分别求甲、乙两队这5场比赛成绩的平均数和方差;
(3)根据计算结果和折线统计图,你认为哪支球队参赛更能取得
好成绩?
3
复习题
125
12. 某鱼塘中养了某种鱼2000条,为了估计鱼塘中该种鱼的总质量,
从鱼塘中随机捕捞了3次,取得的数据如下:
捕捞次序
数量/条
平均每条鱼的质量/kg
第1次捕捞
15
1.6
第2次捕捞
15
2.0
第3次捕捞
10
1.8
(1)求样本中平均每条鱼的质量;
(2)估计鱼塘中该种鱼的总质量;
(3)设该种鱼每千克的售价为12元,求出售该种鱼的收入y (元)
与出售该种鱼的质量x (kg)之间的函数关系,并估计自变量
x的取值范围.
探索研究
13.在一组数据x1、x2、…、xn 中,各数据与它们的平均数x的差的
绝对值的平均数,即
T=1
n(|x1-x|+|x2-x|+…+|xn-x|)
叫做这组数据的“平均差”. “平均差”也能描述一组数据的离散
程度,“平均差”越大,说明数据的离散程度越大.
(1)分别计算下列两组数据的“平均差”,并根据计算结果比较这
两组数据的稳定性.
甲:12,13,11,15,10,16,13,14,15,11;
乙:11,16,6,14,13,19,17,8,10,16.
(2)分别计算甲、乙两组数据的方差,并根据计算结果比较这两
组数据的稳定性.
14.把一次函数y=kx+b中自变量的一组值x1、x2、…、xn 和对应
的函数值y1、y2、…、yn 分别看成一个样本,这两个样本的平均
数之间、方差之间分别有怎样的函数关系?
15.人端坐在板凳上,头顶与凳面之间的距离称为“坐高”.量出你所
在小组各位同学的坐高(精确到1cm),求出坐高的极差和方差,
并与班级的其他小组进行比较.
P(摸到白球)= 3
5
摸球、抛硬币……试验的结果具有等可能性,
列举法帮助我们计算这类简单事件的概率.
本章将学习等可能条件下的概率, 并运用列举法(包括列表、画树状图)
计算这类事件发生的概率.
抛掷一枚质地均匀的硬币1次, 可能出现哪些结果? 这些结果出现的可能性相同吗?
出现正面朝上的概率有多大?
抛掷一枚质地均匀的硬币2次, 可能出现哪些结果? 这些结果出现的可能性相同吗?
出现2次都是正面朝上的概率有多大?
第4章
等可能条件下的概率
128
4.
1
等可能性
图4 1
如图4 1,一只不透明的袋子中装有标号为0、
1、2、…、9的10个小球,这些球除标号外都相同,
搅匀后从中任意摸出1个球,会有哪些可能的结果?
这些结果出现的可能性相同吗?
我们已经知道,在“抛掷硬币试验”中,假设硬
币的质地是均匀的,出现“正面朝上”与出现“反面朝上”的机会均
等,试验的结果就具有等可能性.
一般地,设一个试验的所有可能发生的结果有n个,它们都是随
机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现
的机会均等,那么我们说这n个事件的发生是等可能的,也称这个试
验的结果具有等可能性.
例1 在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码,做成
3支签,放在一个盒子中,搅匀后从中任意抽出1支签,会有哪些可
能的结果? 这些结果的出现是等可能的吗? 为什么?
解: 在这种情况下,会出现3种可能的结果:
抽到1号签,抽到2号签,抽到3号签.
由于每支签被抽到的机会都相同,因此这3种结果的出现是等可
能的.
例2 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球,这些球除颜
色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到白球与摸到红球是等
可能的吗? 为什么?
4.1 等可能性
129
小明、小丽的说法哪一个正确?
解: 因为这3个球除颜色外都相同,所以搅匀后从中摸出每一个
球的可能性是相同的.红球有2个,如果把它们编号为红球1、红球
2,那么搅匀后从中任意摸出1个球有3种可能的结果:摸到白球,摸
到红球1,摸到红球2.
这3种结果的出现是等可能的,因此摸到红球的可能性大,小丽
的说法正确.
图4 2是一个质地均匀的正十二面体,12个面上分别标有1~12
这12个整数,抛掷这个正十二面体1次.
(1)会有哪些可能的结果? 这些结果的出现是等可能的吗?
(2)出现朝上一面的数是奇数与出现朝上一面的数是偶数是等可
能的吗? 为什么?
(3)出现朝上一面的数是4的倍数与出现朝上一面的数是6的倍
数是等可能的吗? 为什么?
图4 2
(第3题)
1.A、B两地之间的电缆有一处断点,断点出现在电缆的各个
位置的可能性相同吗?
2.把C、H、I、N、A这5个字母分别写在5张相同的小纸
条上,放在一个盒子中,搅匀后从中任意摸出1张纸条,
会有哪些可能的结果? 这些结果的出现是等可能的吗?
3.一只不透明的袋子中装有7个红球和3
个白球,这些球除颜色外都相同,搅
匀后从中任意摸出1个球,会有哪些
可能的结果? 这些结果的出现是等可
能的吗?
第4章
等可能条件下的概率
130
４.１
1.一套书共有上、中、下三册,将它们任意摆放到书架的同一层上,
按从左向右的顺序列出所有可能摆放的结果,这些结果的出现是
等可能的吗?
2.从一名男生和两名女生中任选一名去学校图书馆帮助整理图书,
会有哪些可能的结果? 这些结果的出现是等可能的吗?
3. 将如图所示的9张牌的背面朝上,洗匀后从中任意抽取1张.
(第3题)
(1)会有哪些可能的结果? 这些结果的出现是等可能的吗?
(2)抽到牌面是奇数的牌与抽到牌面是偶数的牌是等可能的吗? 为
什么?
4.一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球,这些球除颜色外都
相同,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到哪种颜色的球的可能性
大? 为什么?
4.2 等可能条件下的概率(一)
131
4.
2
等可能条件下的概率（一）
抛掷一枚质地均匀的骰子1次,出现“朝上一面的点数大于4”
与“朝上一面的点数不大于4”这两个事件中,哪个事件发生的可能
性大?
抛掷一枚质地均匀的骰子1次,有6种可能的结果:1点朝上,
2点朝上,3点朝上,4点朝上,5点朝上,6点朝上.这6种结果
的出现是等可能的.
当朝上一面的点数是5或6时, “朝上一面的点数大于4”这一
事件(记为事件A)才能发生,于是事件A 发生的概率
P(A)= 2
6 = 1
3 .
当朝上一面的点数是1、2、3、4之一时, “朝上一面的点数不大
于4”这一事件(记为事件B)才能发生,于是事件B 发生的概率
P(B)= 4
6 = 2
3 .
由于P(B)>P(A),所以出现“朝上一面的点数不大于4”的可能
性大.
一般地,如果一个试验有n个等可能的结果,当其中的m 个结果
之一出现时,事件A 发生,那么事件A 发生的概率
P(A)=m
n .
事件A 发生可能出现的结果数
所有等可能出现的结果数
第4章
等可能条件下的概率
132
例1 某班级有21名男生和19名女生,名字彼此不同.现有相
同的40张小纸条,每名学生分别将自己的名字写在纸条上,放入一个
盒子中,搅匀后从中任意抽出1张纸条.比较“抽到男生名字”与
“抽到女生名字”的概率的大小.
解: 全班40名学生中,每一名学生的名字被抽到的可能性是相
同的.
P(抽到男生名字)=21
40,
P(抽到女生名字)=19
40,
所以“抽到男生名字”的概率大.
例2 一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球,这些球除颜
色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.
(1)会有哪些等可能的结果?
(2)摸到白球、摸到红球的概率各是多少?
图4 3
解: 如图4 3,分别给这5个球编上号码1、2、
3、4、5.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,有5种可能的
结果:
摸到1号球,摸到2号球,摸到3号球,摸到4
号球,摸到5号球.这5种结果的出现是等可能的.
(2)摸到1号球、摸到2号球、摸到3号球这3种结果之一出现
时,“摸到白球”这一事件发生,所以
P(摸到白球)= 3
5 .
摸到4号球、摸到5号球这2种结果之一出现时,“摸到红球”这
一事件发生,所以
P(摸到红球)= 2
5 .
4.2 等可能条件下的概率(一)
133
甲袋中装有3个白球和2个红球,乙袋中装有30个白球和20个
红球,这些球除颜色外都相同.把两只袋子中的球搅匀,并分别从
中任意摸出1个球.比较从甲、乙两只袋子中摸到红球的概率的
大小.
1.一道选择题有A、B、C、D四个选项,其中有且只有一个正
确的选项.在A、B、C、D中随意选择一个选项,所选选
项恰好正确的概率是多少?
2.一只袋子中装有3个白球和7个红球,这些球除颜色外都相
同,搅匀后从中任意摸出1个球.
P(摸到白球)= ,P(摸到红球)= ,
P(摸到绿球)= ,P(摸到白球或红球)= .
3.请举出一些事件,它们发生的概率都是3
5 .
抛掷一枚质地均匀的硬币2次,2次抛掷的结果都是正面朝上的
概率是多少?
正面
反面
在抛掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中,我们把第1次正面朝
上、第2次正面朝上记作(正,正),第1次正面朝上、第2次反面朝
上记作(正,反),第1次反面朝上、第2次正面朝上记作(反,正),
第1次反面朝上、第2次反面朝上记作(反,反),并将这4种可能的
结果列表如下:
第4章
等可能条件下的概率
134
第一次抛掷
第二次抛掷
正
反
正
(正,正)
(正,反)
反
(反,正)
(反,反)
这4种结果的出现是等可能的.其中,2次抛掷的结果都是“正
面朝上”只有1种,所以P(正,正)= 1
4 .
我们还可以画出图4 4,列出2次抛掷所有等可能出现的结果:
图4 4
像图4 4这样的图称为树状图(treederivation),它直观地显示了
一个随机事件在一次试验中所有可能的结果.通过列表或画树状图列
出这些结果,必须做到既不重复,又不遗漏.
例3 小明有红色、绿色、蓝色上衣各1件,有蓝色、棕色裤子
各1条.小明任意取出1件上衣和1条裤子,恰好取到蓝色上衣和蓝
色裤子的概率是多少?
解: 用树状图列出所有可能的结果:
4.2 等可能条件下的概率(一)
135
图4 5
由图4 5可知,共有6种可能的结果,并且它们的出现是等可能
的.“恰好取到蓝色上衣和蓝色裤子”记为事件A,它的发生只有1种
可能,所以事件A 发生的概率
P(A)= 1
6,
即恰好取到蓝色上衣和蓝色裤子的概率是1
6 .
抛掷一枚质地均匀的硬币3次,3次抛掷的结果都是正面朝上的
概率是多少?
1.一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球,
球面上分别标有数字1、-2、3、-4,搅匀后先从中任意摸
出1个球(不放回),再从余下的3个球中任意摸出1个球.
(1)用树状图列出所有可能出现的结果;
(2)求2次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率.
2.小明同时抛掷一枚质地均匀的硬币和骰子.
(1)用树状图列出所有可能出现的结果;
(2)求各种结果出现的概率.
第4章
等可能条件下的概率
136
图4 6
例4 一只不透明的袋子中装有1个白球和2
个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意
摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意
摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
解: 如图4 6,把2个红球编号为红球1、
红球2,用表格列出所有可能的结果:
第一次摸球
第二次摸球
白
红1
红2
白
(白,白)
(白,红1)
(白,红2)
红1
(红1,白)
(红1,红1)
(红1,红2)
红2
(红2,白)
(红2,红1)
(红2,红2)
由表格可知,共有9种可能的结果,并且它们的出现是等可能
的.“两次都摸到红球”记为事件B,它的发生有4种可能,所以事件
B 发生的概率
P(B)= 4
9,
即两次都摸到红球的概率是4
9 .
例5 北京2008年奥运会吉祥物“福娃”是“贝贝、晶晶、欢
欢、迎迎、妮妮”:
将5张分别印有5个“福娃”图案的卡片(卡片的形状、大小、质
地都相同)放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、
搅匀,再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率:
(1)取出的2张卡片图案相同;
4.2 等可能条件下的概率(一)
137
(2)取出的2张卡片中,1张为“欢欢”,1张为“贝贝”;
(3)取出的2张卡片中,至少有1张为“欢欢”.
解: 将印有“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”的卡片分别编号
为1、2、3、4、5,用表格列出所有可能的结果:
第一次取出卡片
第二次取出卡片
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由表格可知,共有25种可能的结果,并且它们的出现是等可能的.
(1)“取出的2张卡片图案相同”记为事件A,它的发生有5种可
能,即(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5),所以事件A 发生的
概率
P(A)= 5
25= 1
5,
即取出的2张卡片图案相同的概率是1
5 ;
(2)“取出的2张卡片中,1张为‘欢欢’,1张为‘贝贝’”记为
事件B,它的发生有2种可能,即(1,3)、(3,1),所以事件B 发生
的概率
P(B)= 2
25,
即取出的2张卡片中,1张为“欢欢”,1张为“贝贝”的概率是2
25;
(3) “取出的2张卡片中,至少有1张为‘欢欢’”记为事件C,
它的发生有9种可能,即(1,3)、(2,3)、(3,3)、(4,3)、(5,3)、
(3,1)、(3,2)、(3,4)、(3,5),所以事件C 发生的概率
第4章
等可能条件下的概率
138
P(C)= 9
25,
即取出的2张卡片中,至少有1张为“欢欢”的概率是9
25.
举例说明,如何利用“树状图”、“表格”列出所有等可能出现的
结果? 它们各有怎样的特点?
1.一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球,这些球除颜
色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放
回、搅匀,再从中任意摸出1个球.求2次摸到的球颜色相
同的概率.
2.甲、乙两盒中各有3张卡片,卡片上分别标有数字-7、
-1、3和-2、1、6,这些卡片除数字外都相同.把卡片洗
匀后,从甲、乙两盒中各任意抽取1张,并把抽得卡片上的
数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标.
(1)列出这样的点所有可能的坐标;
(2)计算这些点落在第三象限的概率.
４.２
1.下列说法正确吗? 为什么?
(1)某篮球运动员投篮1次,因为只有“投中”、“未投中”两种可
能的结果,所以P(投中)=P(未投中)= 1
2 ;
(2)一只袋子中装有黄豆、绿豆、豌豆,从中任意取出1颗恰好是
豌豆的概率为1
3 .
2.抛掷一枚质地均匀的骰子1次,求下列事件发生的概率:
(1)朝上一面的点数是7;
(2)朝上一面的点数是偶数;
(3)朝上一面的点数不大于6.
4.2 等可能条件下的概率(一)
139
3.从一副扑克牌中任意抽取1张,求下列事件发生的概率:
(1)抽到“大王”;
(2)抽到“A”;
(3)抽到“红桃”.
4.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都
相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再
从中任意摸出1个球.求2次都摸到红球的概率.
5.一个质地均匀的正方体每两个相对的面上分别画有相同的图案.
抛掷这个正方体2次,求朝上一面出现相同图案的概率.
6. 有两道选择题,每道题所给的4个选项中,只有1个选项是正确
的,如果从每道题的4个选项中任意选择1个选项,那么所选的
两个选项都正确的概率是多少?
7.“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏,规则是:甲、乙两人
都做出“石头”、“剪子”、“布”3种手势中的1种,其中“石头”
(第7题)
胜“剪子”,
“剪子”胜“布”,
“布”胜“石头”,手势相同不分
胜负.假设甲、乙两人每次都随
意并且同时做出3种手势中的1
种,求下列事件发生的概率:
(1)甲取胜;
(2)乙取胜;
(3)甲、乙两人不分胜负.
8.抛掷一枚质地均匀的骰子2次,朝上一面的点数之和可能有哪些?
它们是等可能的吗? 点数之和为8的概率是多少? 点数之和为多
少时概率最大?
9.小明每天骑自行车上学,都要通过安装有红、绿灯的3个十字路
口.假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同,小明从家到学校,
通过这3个十字路口时至少遇到1次红灯的概率是多少? 没有遇
到红灯的概率是多少?
第4章
等可能条件下的概率
140
4.
3
等可能条件下的概率（二）
转动如图4 7所示的转盘,当转盘停止转动时,指针的位置有多
少种可能的结果? 这些结果具有等可能性吗?
图4 7
图4 8
我们将图4 7所示的转盘分成8个面积相等的
扇形,并涂上不同的颜色(如图4 8),这些扇形除
颜色外都相同.任意转动如图4 8所示的转盘1次,
当转盘停止转动时,指针落在不同扇形就只有8种可
能的结果,并且这些结果的出现是等可能的.由于指针
落在红色区域的可能结果有6个,于是
P(指针落在红色区域)=6
8=3
4 .
图4 9
例 某商场制作了一个可以自由转动的转盘,
转盘分成24个面积相等的扇形,其中红色扇形1
个、蓝色扇形3个、黄色扇形5个、白色扇形15个
(如图4 9).
商场规定:顾客每购满1000元商品,可获得
一次转动转盘的机会;当转盘停止转动时,指针落
在红、蓝、黄区域,顾客可分别获得500元、100
元、50元的礼品.某顾客购物1400元,他获得礼
品的概率是多少? 获得500元、100元、50元礼品的概率各是多少?
解: 该顾客购物1400元,可以获得一次转动转盘的机会.
4.3 等可能条件下的概率(二)
141
转盘被分成24个面积相等的扇形.任意转动转盘1次,当转盘停
止转动时,指针落在不同扇形有24种可能的结果,并且它们的出现是
等可能的.
P(获得礼品)=1+3+5
24
= 9
24= 3
8;
P(获得500元礼品)= 1
24;
P(获得100元礼品)= 3
24= 1
8;
P(获得50元礼品)= 5
24.
即该顾客获得礼品的概率是3
8,获得500元、100元、50元礼品的概
率分别是1
24、1
8、5
24.
设计一个转盘,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,使指针:
(1)落在红色区域、黄色区域、蓝色区域的概率分别为1
2、1
4、1
4;
(2)落在红色区域、黄色区域、蓝色区域的概率分别为1
2、1
4、1
6 .
(第1题)
(第2题)
1.如图,转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次,
当转盘停止转动时,求下列事件发生的
概率:
(1)指针所落扇形中的数为6;
(2)指针所落扇形中的数为偶数;
(3)指针所落扇形中的数小于4;
(4)指针所落扇形中的数不大于4;
(5)指针所落扇形中的数大于0.
2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方
形除颜色外都相同.假设飞镖击中
每一块小正方形是等可能的(击中
小正方形的边界线或没有击中游戏
板,则重投1次),任意投掷飞镖1
次,击中哪种颜色的小正方形的概
率较大? 为什么?
第4章
等可能条件下的概率
142
４.３
1.下列转盘中的各个扇形的面积分别相等,任意转动这3个转盘各1
次,当转盘停止转动时,指针落在红色区域的概率分别是多少?
①
②
③
(第1题)
2.按下列要求设计一个转盘:任意转动转盘1次,当转盘停止转动
时,指针落在红色区域的概率为1
4 .
3.如图,转盘A中的4个扇形的面积相等,转盘B中的6个扇形的
面积相等.有人设计了如下游戏规则:甲、乙两人分别任意转动
转盘A、B1次,当转盘停止转动时,将指针所落扇形中的2个数
相乘,如果所得的积是偶数,那么甲获胜;如果所得的积是奇数,
(第3题)
那么乙获胜.
(1)这样的规则公平吗? 为什么?
(2)如果这样的规则不公平,请
设计一个公平的规则,并说
明理由.
一类事件概率的计算
在4.3节的例题中,如果去掉转盘上的指针,改为向转动中的转盘
投掷一枚飞镖,投到不同区域获得相应的礼品(假设飞镖击中转盘上的每
一点是等可能的).这样,例题中计算的各个概率值不会有变化.事实
上,解决这类问题的关键,在于计算各个区域面积与整个区域面积的
比值.
一般地,设试验结果落在某个区域S 中每一点的机会均等,如果把
“试验结果落在S中的一个小区域M 中”记为事件A,那么
P(A)= M 的面积
S 的面积.
4
数学活动
143
在正方形ABCD 内任取一点O,连接OA、OB
(如图).如果正方形ABCD 内每一点被取到的可能
性都相同,分别求△OAB 是钝角三角形和直角三角
形的概率.
“△OAB 是钝角三角形”这个事件发生相当于点
O 恰好落在以AB 为直径的半圆内,所以
P(△OAB 是钝角三角形)= 以AB 为直径的半圆的面积
正方形ABCD 的面积
=
1
2π· AB
2
2
AB2
= π
8 .
同理,“△OAB 是直角三角形”这个事件发生相当于点O 恰好落在以
AB 为直径的半圆上,所以
P(△OAB 是直角三角形)=
AB
︵的面积
正方形ABCD 的面积=0.
注意,这个例子中,“△OAB 是直角三角形”这个事件发生的概率是
0! 但这并不意味着这个事件不会发生,我们只能说该事件发生的概率为
0.这就是说,概率为0的事件不一定是不可能事件.
调查“小概率事件”
人们常说: “只要有百分之一的希望, 就要做百分之百的努力”、“不
怕一万, 就怕万一” .
概率接近于0的事件叫做小概率事件.生活中, 通常把概率不超过
0.05的事件看成是小概率事件.
小概率事件不是不可能事件.对于一个事件, 不论它发生的概率有
多小, 只要重复试验的次数足够多, 这个事件总是可能发生的.例如,
体育彩票中奖的概率远小于0.05, 但由于买彩票的人足够多, 最终总会
有人中奖.
小概率事件与我们的生活息息相关. “只要有百分之一的希望, 就
要做百分之百的努力”, 就是说, 对于一些有益的小概率事件, 如人体造
血干细胞的配对等, 我们总希望通过努力尽可能促使其发生. “不怕一
万, 就怕万一”, 就是说, 对于造成严重损失的一些小概率事件, 如交通
事故、矿难、地震、海啸等, 我们要强化安全管理, 严加防范, 尽量避
免这些事件的发生或尽量减少损失.
组织一次社会调查, 收集、整理生活中的小概率事件, 并发表你对
这些小概率事件的看法.
第4章
等可能条件下的概率
144
1.什么是试验的结果具有等可能性? 举例说明.
2.一个随机事件发生的概率, 表示该随机事件在一次试验中发生的可能性
的大小.
在有些情况下, 我们可以通过相同条件下多次重复试验, 根据某事件发生
的频率估计该事件发生的概率.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现
的结果是有限个, 且具有等可能性时, 我们只需列出一次试验可能出现的所有
结果, 就可以求出相应的事件发生的概率.
通常, 计算等可能条件下事件发生的概率, 可以通过列表或画树状图, 不
重复、不遗漏地列出所有等可能出现的结果.如果一个试验有n个等可能的结
果, 当其中的m 个结果之一出现时, 事件A 发生, 那么事件A 发生的概率
P(A) = m
n .
3.按下列要求设计一个转盘: 任意转动转盘1次, 当转盘停止转动时,
指针落在红色区域的概率为5
16.
你还能举出一些事件, 它们发生的概率也为5
16吗?
复习巩固
1.100件某种产品中有5件次品,从中任意抽取1件,恰好抽到次品
的概率是多少?
2.一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和5个红球,这些
球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球.求下列事件发
生的概率:
(1)摸到白球; (2)摸到的球不是白球;
(3)摸到黄球; (4)摸到的球不是黄球;
(5)摸到红球; (6)摸到的球不是红球.
4
复习题
145
3.小丽认为:抛掷一枚质地均匀的硬币2次,有3种可能的结果,即
出现2次正面朝上,出现2次反面朝上,出现1次正面朝上和1次
反面朝上,它们是等可能的,概率都是1
3 .小丽的说法正确吗? 为
什么?
4.一只不透明的袋子中装有3个白球、1个红球,这些球除颜色外都
相同,搅匀后从中任意摸出2个球(先摸出1个球,且这个球不放
回,再摸出1个球)恰好是1个红球、1个白球的概率是多少?
5.小明从两副完全相同的手套(分左、右手)中任取两只.求这两只手
套恰好配成一副的概率.
6.从甲地到乙地有A1、A2 两条路线,从乙地到丙地有B1、B2、B3
三条路线,其中A1B2 是最短路线.任选一条从甲地到丙地的路线
恰好选到最短路线的概率是多少?
7.有5根细木棒,它们的长度分别是1cm、3cm、5cm、7cm、
9cm.从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是多少?
8.某班级召开主题班会,准备从由3名男生和2名女生组成的班委会
中任选2名担任主持人.求所选主持人恰好为1名男生和1名女生
的概率.
9.一张圆桌旁设有4个座位,甲先坐在如图所示的座位上,乙、丙、
丁3人等可能地坐到其他3个座位上.分别求乙与甲不相邻而坐、
丙与丁相邻而坐的概率.
(第9题)
(第10题)
10.如图,转盘中各个扇形的面积相等,任意转动这个转盘2次,当
转盘停止转动时,求下列事件发生的概率:
第4章
等可能条件下的概率
146
(1)指针2次都落在红色区域;
(2)指针2次落在不同颜色的区域;
(3)指针2次落在相同颜色的区域.
灵活运用
11.4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4,将卡片的背面朝上,
洗匀后从中任意抽取1张,将卡片上的数字作为被减数;一只不
透明的袋子中装有标号为1、2、3的3个小球,这些球除标号外
都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,将摸到的球的标号作为
减数.
(1)求这两个数的差为0的概率;
(2)游戏规则规定:当抽到的这两个数的差为非负数时,甲获胜;
否则,乙获胜.这样的规则公平吗? 如果不公平,请设计一
个公平的规则,并说明理由.
12.从图中7个无阴影的小正方形中任选1个,使它与图中5个有阴
影的小正方形能折叠成一个正方体.求这个事件发生的概率.
(第12题)
(第13题)
13.如图,将一个棱长为4的正方体的表面涂上红色,再把它分割成
棱长为1的小正方体,从中任取1个小正方体.求这个小正方体
至少有一个面涂有红色的概率.
14.一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球,这些球
除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、
搅匀,再从中任意摸出1个球,像这样有放回地先后摸球3次.
求下列事件发生的概率:
4
复习题
147
(1)3次都摸到红球;
(2)至少有1次摸到红球;
(3)至少有2次摸到红球;
(4)3次摸到的球的颜色都不相同.
探索研究
15. 在本章的“阅读”材料中给出了“一类随机事件概率的计算方
法”:设试验结果落在某个区域S 中每一点的机会均等,如果把
“试验结果落在S 中的一个小区域M 中”记为事件A,那么
P(A)=M 的面积
S的面积.
解答下列问题:
(第15题)
如图,一块边长为30cm 的正方形飞镖游戏板
上画有半径分别为5cm、8cm、12cm 的3个
同心圆.假设飞镖投中游戏板上的每一点是等
可能的(若投中圆的边界或没有投中游戏板,
则重投1次),任意投掷飞镖1次,求下列事
件发生的概率(精确到0.001):
(1)飞镖投中红色小圆;
(2)飞镖投中黑色圆环.
16.4张相同的卡片上分别写有数字-1、-5、2、4,将卡片的背面朝
上,洗匀后从中任意抽取1张,并将所取卡片上的数字记作一次
函数y=kx+b中的k;再从余下的卡片中任意抽取1张,并将
所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的b.分别求这个一
次函数的图像经过第二、三、四象限,经过第一、三、四象限的
概率.
课题学习
148
收集数据 分析数据 探索规律
万事万物都是有规律的.探索事物的规律,可以使我们更好地认
识世界.探索事物的规律有许多方法,收集有关数据,整理、分析数
据,是探索事物规律的一种方法.
活动1 利用树叶的特征对树木分类
(1)收集A、B、C三种不同树种的树叶各若干片(如10片或20片).
(2)分类测量、记录每种树叶的长和宽,并分别计算各类树叶长
与宽的比值.
树种
树叶的长
树叶的宽
长与宽的
比值
(3)根据表中的数据,采用你认为合适的方法对各树种树叶长与
宽的比值作出估计(例如,用各种树叶长与宽比值的平均数、或众数、
或中位数作出估计;也可以用表中“所有树叶长的和÷所有树叶宽的
和”作出估计).
(4)再收集A、B、C三种树叶各1片,验证你的估计.
(5)收集某种树种的树叶1片,测量并计算它的长与宽的比值.
参照(3)中作出的估计,判断这种树种是否属于A、B、C三种树种中
的一种.请生物老师鉴定你们的判断是否正确.
活动2 仿照上面的过程,选择下面的某一课题进行类似的探索:
(1)同一年龄(或年龄段)学生身高与体重的关系;
(2)我国的GDP与出口总量的关系;
(3)其他自己感兴趣的课题.
数学活动评价表
149
数学活动评价表
活动名称
矩形绿地中的花圃设计
活动时间
参加者
自
我
评
价
1.对活动中提出的“求绿地宽度”的问题,你是如何解决的?
2.你提出了哪些新的设计方案? 在设计过程中运用了哪些知识? 能举例说明吗?
3.在与同学的交流中,你认为比较好的设计方案有哪些? 举出1~2例,并说明理由.
4.经历了“问题情境———建立模型———求解———解释与应用”的过程,你有哪些新的感受?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
活动名称
图形的密铺
活动时间
参加者
自
我
评
价
1.举例说明,你是如何运用所学的数学知识解决活动中遇到的问题的?
2.在与同学的合作中,你是否敢于发表自己的意见和建议? 发表了哪些意见和建议? 你是否
从同学的意见和建议中得到启发? 能举例说明吗?
3.活动中,你设计了哪些图案? 愿与同学分享吗?
4.通过本次活动,你对数学与生活的联系有什么感受? 你还有哪些新的收获?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
150
数学活动评价表
活动名称
估测时间
活动时间
参加者
自
我
评
价
1.你觉得这样的活动有趣吗? 你对课本中的活动设计有哪些改进的建议?
2.活动中,你和同学是如何合作的?
3.在“收集数据,整理、描述、分析数据,做出估计”的过程中,你发挥了怎样的作用? 有
哪些收获、体会?
4.通过活动,你对噪声对环境的影响有哪些新的认识?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
活动名称
调查“小概率事件”
活动时间
参加者
自
我
评
价
1.你和小组同学调查、收集、整理了生活中的哪些小概率事件? 举出几例,并谈谈你对这些
小概率事件的认识.
2.活动中,你能与同学合作吗? 在与同学的交流中,你得到哪些启发?
3.能从概率的角度,谈谈你对“只要有百分之一的希望,就要做百分之百的努力”、“不怕一
万,就怕万一”的见解吗?
同学或小组评价
老师评语
后 记
本套教材是以《义务教育数学课程标准(2011年版)》为依据,在广泛听取
专家、实验区师生的意见和建议的基础上,对《义务教育课程标准实验教科
书数学(苏科版)》(以下简称“实验本”)进行修订而成的,供义务教育7~9
年级使用.
本套教材每章的开头部分设置:章头图,章头语,章头问题,本章内容
概述.
每章的内容部分设置:
“数学实验室”———通过“做”数学,感悟、理解数学知识;
“数学活动”———运用本章知识解决一些简单的问题;
“阅读”和“读一读”———介绍数学思想方法、拓展课本内容;
“练一练”———按课时编写,供当堂练习用;
“习题”———按节编写,供本节各个课时课后作业用.
每章的末尾部分设置:
“小结与思考”———梳理本章知识的结构、提炼基本思想;
“复习题” (分为复习巩固、灵活应用、探索研究三个层次)———供本章
复习时用,其中“灵活应用”、“探索研究”部分的习题可根据实际情况选用.
本套教材的每册课本设置一个“课题学习”———综合运用有关知识解决
实际问题.全书使用了卡通人“小明”、“小丽”,并根据课程内容展开的需
要,编写了一些卡通语.
“实验本”教材由杨裕前、董林伟任主编,丁伟明、李善良曾任副主编.
参与本册各章(“实验本”)编写的有朱建明、周凯、孔凡海.
修订后的本套教材由杨裕前、董林伟任主编.参与本册修订的编写人员
有周凯、杨秋萍、徐延觉、朱建明、荆福仁;参与修订讨论的有王永建、周
学祁、陈志廉.
史宁中教授、顾泠沅教授、张英伯教授等专家、同行,对本套教材的修
订给予了热情的帮助和指导,提出了许多宝贵的意见和建议,在此表示衷心
感谢!
定价：9.65元
