杨裕前 董林伟 主编
图书在版编目(CIP)数据
数学.九年级.下册/杨裕前,董林伟主编. 南
京:江苏凤凰科学技术出版社,2014.12(2022.12重印)
ISBN978 7 5537 0472 2
Ⅰ.①数… Ⅱ.①杨… ②董… Ⅲ.①中学数学课
初中教学参考资料 Ⅳ.①G634.603
中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第256432号
义务教育教科书
数学 九年级下册
主 编 杨裕前 董林伟
责任编辑 许礼光 闵正年 沈 琼
责任校对 仲 敏
出
版 江苏凤凰科学技术出版社
出版社地址 南京市湖南路1号A楼,邮编:210009
编读信箱 skjc2022@163.com
重 印 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
发
行 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
照 排 江苏凤凰制版有限公司
印 刷 江苏凤凰新华印务集团有限公司
开 本 787mm×1092mm 1/16
印 张 10
版 次 2006年12月第1版 2014年12月第3版
印 次 2022年12月第17次印刷
标准书号 ISBN978 7 5537 0472 2
定 价 9.88元
如发现印、装质量问题,请与凤凰传媒联系,电话:400 828 1132
亲爱的伙伴:
这套数学课本与你同行了3个春秋,那一串串走过的脚印是你成长
的记录.
本册课本将继续引导你实践、操作、探索、交流,并通过数学思考
解决一些实际问题.在这样的过程中你将学到更多的数学知识,变得更
加聪明,更加富有创造性.
某种粮大户今年多承租多少亩水稻,才能使总收益最大? 一艘满载
抗洪救灾物资的船只,能否通过抛物线形的桥洞……学习了“二次函数”
的概念、图像和性质后,你就能解决这样的实际问题.
“图形的相似”将引导你经历从“全等”到“相似”的探索过程,感悟特
殊与一般的关系,并进而探索相似图形的性质,判定两个三角形相似的
方法,以及它们的一些应用.
当你爬楼梯的时候,你会感到楼梯很陡或比较平缓;当你乘坐的汽
车行驶在盘山公路上时,你也许会想,山路陡不陡? “锐角三角函数”能
帮助你做出这种判断;树有多高,河有多宽? 当你乘坐摩天轮时,你也
许想知道自己升高了多少……“锐角三角函数”会给你解决这些问题的
方法.
你校全体学生的视力情况如何? 影响视力的因素是什么? 对于保护
视力你能提出哪些合理的建议? 某地区的空气质量如何? 怎样才能更好
地保护环境……设计调查方案,选取调查样本,收集、整理、描述、分
析调查所得到的数据,就能对这样的问题做出合理的判断和预测.“统
计和概率的简单应用”将引导你经历统计的全过程,体会统计对决策的
作用.
你是否认为,抽签时先抽的人沾光,后抽的人吃亏? 先抽与后抽中
签的可能性一样吗? 保险公司怎样才能不亏本? 怎样估计一条河流中某
种鱼的数量……“统计和概率的简单应用”将引导你研究、解决这样的
问题.
你曾是“小树”,现在“长大”了.当你学完这册课本
的时候,将带着成功的体验和数学给你的知识和智慧,
充满自信地走向新的学习生活.
目 录
第5章
二次函数
5.
1 二次函数
6
………………………………………………
5.
2 二次函数的图像和性质
9
………………………………
5.
3 用待定系数法确定二次函数表达式
21
………………
5.
4 二次函数与一元二次方程
24
…………………………
5.
5 用二次函数解决问题
29
………………………………
数学活动
校园景观设计
34
…………………………
小结与思考
34
…………………………………………
复习题
35
………………………………………………
第6章
图形的相似
6.
1 图上距离与实际距离
40
………………………………
6.
2 黄金分割
44
……………………………………………
6.
3 相似图形
48
……………………………………………
6.
4 探索三角形相似的条件
53
……………………………
6.
5 相似三角形的性质
69
…………………………………
6.
6 图形的位似
76
…………………………………………
6.
7 用相似三角形解决问题
81
……………………………
数学活动
测量两地间的距离
87
……………………
小结与思考
88
…………………………………………
复习题
88
………………………………………………
1
第7章
锐角三角函数
7.
1 正切
96
…………………………………………………
7.
2 正弦、余弦
100
…………………………………………
7.
3 特殊角的三角函数
105
…………………………………
7.
4 由三角函数值求锐角
107
………………………………
7.
5 解直角三角形
109
………………………………………
7.
6 用锐角三角函数解决问题
113
…………………………
数学活动
测量建筑物的高度
118
……………………
小结与思考
119
…………………………………………
复习题
119
………………………………………………
第8章
统计和概率的简单应用
8.
1 中学生的视力情况调查
124
……………………………
8.
2 货比三家
130
……………………………………………
8.
3 统计分析帮你做预测
134
………………………………
8.
4 抽签方法合理吗
137
……………………………………
8.
5 概率帮你做估计
139
……………………………………
8.
6 收取多少保险费才合理
143
……………………………
数学活动
香烟浸出液对种子发芽的影响
146
………
小结与思考
146
…………………………………………
复习题
147
………………………………………………
2
课题学习
制作“动画片”
152
………………………………
数学活动评价表
154
………………………………………………
3
8
6
4
2
2
2
O
4
4
x
y
yĢ(x+1)2
yĢ(x+1)2+2
yĢx2
一次函数、反比例函数、二次函数……
揭示了变量之间的关系;
直线、双曲线、抛物线……
直观地显示了函数的性质.
本章将学习二次函数的概念, 二次函数的图像、性质及二次函数的应用.
图中分别记录了小球滚落0.1s、0.2s、0.3s、0.4s、0.5s时的位置.
(1) 观察图中小球各时刻的位置与起点的距离, 并将结果填入下表:
时刻t/s
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
距离s/cm
(2) 以表中t的值为点的横坐标、对应的s 的值为点的纵坐标, 在平面直角坐标系
中描出各点, 并把它们用平滑曲线顺次连接.
(3) 在小球滚落的过程中, 距离s是时刻t的一次函数吗?
第5章
二次函数
6
5.1
二次函数
水滴激起的波纹不断向外扩展,所形成的圆的面积S 与半径r 之
间的函数关系为S =πr2.
我们曾讨论过“用长16m 的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,
怎样围可使小兔的活动范围较大”的问题.
设长方形的长为xm,则宽为(8-x)m,面积y(m2)与长x(m)之
间的函数关系为y=x(8-x)=-x2+8x.
一面长与宽之比为2∶1的矩形镜子,四周镶有边框.已知镜面
的价格是每平方米120 元,边框的价格是每米30 元,加工费
为45元.
5.1 二次函数
7
设镜面宽为x m,则长为2xm,镜面面积为
2x2m2,镜面费用为120×2x2 元,即240x2 元;边框
费用为30(2x+x+2x+x)元,即180x 元. 总费用
y(元)与镜面宽x(m)之间的函数关系为:
y=240x2+180x+45.
函数表达式S=πr2、y=-x2+8x和y=240x2+180x+45有什
么共同特征?
一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的函数叫
做二次函数(quadraticfunction),其中x是自变量,y是x 的函数.
通常,二次函数y=ax2+bx+c的自变量x 可以是任意实数.
如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量,那么它的取
值范围受到实际意义的限制. 例如,在以上实际问题中,二次函数
S=πr2、y=-x2+8x和y =240x2+180x+45的自变量的取值范围
分别是r>0、0<x<8和x>0.
生活中有许多类似的实例,你还能举出一些例子吗?
1. 写出正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的
函数表达式.
2. 写出高为14cm 的圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之
间的函数表达式.
3. 如图,矩形纸片长为30cm、宽为20cm,剪去一个边长为
xcm 的正方形,写出剩余部分的面积S(cm2)与x(cm)之间
的函数表达式.
(第3题)
第5章
二次函数
8
５.１
1. 某矩形的长是宽的1.6倍,写出这个矩形的面积S 与宽x 之间的
函数表达式.
2. 一个圆柱的高与底面直径相等,写出它的表面积S 与底面半径r
之间的函数表达式.
3. 写出下列问题中y与x 之间的函数表达式,并写出自变量的取值
范围:
(1)如图,在长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形
道路,设道路宽为x(m),绿地面积为y(m2);
200
140
x
x
(第3题(1))
(2)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,设该厂11月、12月的
月平均增长率为x,12月份化肥的产量为y(
t);
(3)如图,用长50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园,设矩形花园
的长为x(m),面积为y(m2).
x
(第3题(3))
5.2 二次函数的图像和性质
9
5.2
二次函数的图像和性质
我们已经学习了一次函数和反比例函数的图像的画法,并借助图
像研究这些函数的性质.
二次函数的图像是什么形状? 二次函数有什么性质?
我们先研究二次函数y=x2 的图像和性质.
根据二次函数表达式y=x2,你能描述它的图像有什么特征吗?
1. 在图5 1的平面直角坐标系中,用描点法画出二次函数y =
x2 的图像.
(1)列表:恰当地选取自变量x的几个值,计算函数y对应的值:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
(2)描点:以表中各对x、y的值为点的坐标,在图5 1的平面
直角坐标系中描出对应的点.
(3)连线:用平滑曲线顺次连接描出的各点.
第5章
二次函数
10
y
x
图5 1
y
x
10
图5 2
2. 类似地,在图5
2 的平面直角坐标系中画出二次函数
y=-x2 的图像.
3. 函数y=x2 的图像与函数y=-x2 的图像有什么共同特征?
如图5 3,二次函数y =x2 、y =-x2 的图像都是抛物线
(parabola),且关于y轴对称.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的
顶点.
y
yĢx2
x
(1)
y
x
yĢĒx2
10
(2)
图5 3
5.2 二次函数的图像和性质
11
1. 在平面直角坐标系中,分别画出下列函数的图像:
(1)y= 1
2x2;
(2)y=2x2.
x
y
y
x
2. 在平面直角坐标系中,分别画出下列函数的图像:
(1)y=-1
2x2;
(2)y=-2x2.
x
y
x
y
函数y= 1
2x2 和y=2x2、y=-1
2x2 和y=-2x2 的图像各有什
么特征? 与同学交流.
ᤇˏ˓ѥ ᄉڎϷᦏ ྫྷ
ጲḞ ྫྷ
ጲᄉ ԯՓʼḞ
ሥᣈ yᣈḞᮆཁڙԓཁḞᮆཁ ྫྷ
ጲᄉ ͯ
ཁ
y
y
O
O
x
x
y= x2
2
1
y= x2
2
第5章
二次函数
12
ᤇˏ˓ѥ ᄉڎϷᦏ ྫྷ
ጲḞ ྫྷ
ጲᄉ ԯՓʽḞ
ሥᣈ yᣈḞᮆཁڙԓཁḞᮆཁ ྫྷ
ጲᄉ ᰳ
ཁ
y
y
O
O
x
x
y= x2
2
1
y= x2
2
二次函数y=ax2 的图像是一条抛物线,抛物线的顶点在原点、
对称轴是y轴.
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
1. 观察y=ax2 的图像(如图5 4),你还能发现什么?
图5 4
5.2 二次函数的图像和性质
13
2. 如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降?
ڎϷþʼӣԺ̾
ၸþxܘܷ
Ḟy˶ܘܷ
ᤗ
ڎϷþʽᬋԺ̾
ၸþxܘܷ
Ḟyђ ᤗ
二次函数y=ax2 的性质:
(1)a>0,
当x<0时,y随x 增大而减小;
当x>0时,y随x 增大而增大;
当x=0时,y的值最小,最小值是0.
(2)a<0,
当x<0时,y随x 增大而增大;
当x>0时,y随x 增大而减小;
当x=0时,y的值最大,最大值是0.
1. 分别说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标与对称轴:
y=-3x2,y= 1
3x2,y=5x2,y=-3
4x2.
2. 填空:
(1)对于函数y=-7x2,当x<0时,
y随x增大而 ;当
x>0时,y随x增大而 ;当x= 时,
y的值最 ,最 值是 .
(2)对于函数y= 2
3x2,当x<0时,y随x增大而 ;
当x>0时,y 随x 增大而 ;当x=
时,y的值最 ,最 值是 .
3. 已知二次函数y=ax2 的图像经过点P(2,3),确定图像的
开口方向.
第5章
二次函数
14
函数y=x2+1的图像与函数y=x2 的图像之间有什么关系?
̅
Վʶ˓ᒬԪ᧙ᄉϘḞˏ˓
ѥ ᄉϘᄰ
Ā
Ā
Ā
Ā
Ā
Ā
2 1
4
1
0
0
1
2
1
4
5
2
1
2
5
x
y=x2
y=x2+1
A
A′
ཁA(1 1)Փʼ ሧ˓
Ӭͮ᫁
ҁཁA′(1 2)ĀĀ
y=x2
yĢx2
图5 5
函数y=x2+1的图像可以由函
数y=x2 的图像向上平移1个单位长
度得到(如图5 5),它是一条开口向
上的抛物线,顶点坐标是(0,1),对
称轴是y轴.
根据图5 5,可以知道:当x<0
时,y随x增大而减小;当x >0时,
y随x 增大而增大;当x=0时,y的
值最小,最小值是1.
你能说出函数y=-x2+1的图像与函数y=-x2 的图像之间有什
么关系吗?
函数y= (x+3)
2 的图像与函数y=x2 的图像之间有什么关系?
y=x2
5.2 二次函数的图像和性质
15
yĢ(x+3)2
yĢx2
图5 6
函数y= (x+3)
2 的图像可以由
函数y=x2 的图像向左平移3个单位
长度得到(如图5 6),它是一条开
口向上的抛物线, 顶点坐标是
(-3,0),对称轴是过点(-3,0)
且平行于y轴的直线.
根据图5 6,可以知道:
当x<-3时,y随x 增大而减小;
当x>-3时,y随x 增大而增大;
当x=-3时,y的值最小,最小值是0.
你能说出函数y=-(x+3)
2的图像与函数y=-x2的图像之间有
什么关系吗?
1. 说出函数y=x2-1的图像与函数y=x2 的图像之间的位置
关系,并画出它的图像.
yĢx2
9
(第1题)
y
x
yĢĒx2
10
(第2题)
2. 说出函数y=-(x-2)
2 的图像与函数y=-x2 的图像之间
的位置关系,并画出它的图像.
第5章
二次函数
16
根据图5 7,说出函数y= (x+1)
2+2的图像与函数y=x2 的图
像之间的关系,以及这个图像的特征. 函数y=(x+1)
2+2有什么
性质?
图5 7
ᄉ
函数y=-(x+1)
2+2的图像与函数y=-x2 的图像之间有什么
关系? 函数y=-(x+1)
2+2有什么性质?
一般地,二次函数y=ax2+bx+c可以变形为y=a(x+h)
2+k
的形式:
y=ax2+bx+c
=ax2+b
ax
+c
=ax2+2·b
2ax+ b
2a
2
- b
2a
2
+c
=ax+b
2a
2
-b2
4a+c
=ax+b
2a
2
+4ac-b2
4a .
5.2 二次函数的图像和性质
17
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线,它的顶点坐标
是-b
2a,4ac-b2
4a
,对称轴是过顶点且平行于y轴的直线.
a>0,抛物线开口向上,当x=-b
2a时,函数y=ax2+bx+c
的值最小,y最小值=4ac-b2
4a
;
a<0,抛物线开口向下,当x=-b
2a时,函数y=ax2+bx+c
的值最大,y最大值=4ac-b2
4a .
例 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像,并指出它的开口方
向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.
分析: 要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像,可先将函数表达
式变形为y=a(x+h)
2+k的形式.
解:y=-x2-4x-5
=-(x2+4x+4-4)-5
=-(x+2)
2-1.
二次项系数-1<0,函数图像开口向下,顶点坐标是(-2,-1),
对称轴是过点(-2,-1)且平行于y轴的直线.
二次函数y=-x2-4x-5的图像如图5 8所示.
图5 8
当x=-2时,y的值最大,最大值是-1.
第5章
二次函数
18
1. 填空:
(1)x2+4x+ = (x+ )
2;
(2)x2-7
2x+ = (x- )
2;
(3)x2+6x+12= (x+3)
2+ ;
(4)x2-7x+13= x-7
2
2
+ .
2. 画出函数y= 1
2x2-3x-5
2 的图像.
3. 填表:
函 数
图像特征
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
函数的最大值
或最小值
y=2x-1
2
2
-2
过点
1
2,-2
且
平行于y轴的直线
当x= 时,
y最( )值=
y=2x-3
2
2
+5
当x= 时,
y最( )值=
y=2x+3
2
2
-1
2
当x= 时,
y最( )值=
y=-2x-3
2
2
+1
2
当x= 时,
y最( )值=
用动态几何软件研究二次函数的性质
1. 画二次函数y=ax2 的图像.
(1)打开动态几何软件,过x轴上任意一点作x 轴的垂线,在该垂
线上任取一点A 后隐去垂线(如图1);
5.2 二次函数的图像和性质
19
图1
(2)度量点A 的纵坐标,改用字母a表示这个纵坐标;
(3)以a的值为二次项系数,画二次函数y=ax2 的图像,则此图
像随a的值的变化而变化.
2. 操作与观察.
(1)用鼠标拖动点A,观察a的值由正变为负时,抛物线开口方向
的变化;
(2)过y轴上任意一点作y 轴的垂线,观察a的绝对值由小变大时,
抛物线与垂线的两个交点间的距离的变化;
(3)在抛物线上任取一点P,度量点P 的横坐标,用鼠标拖动点P,
观察点P 的横坐标变化时,点P 在抛物线上的位置变化.
3. 结论.
交流由观察而得到的结论.
你会用类似的方法,研究系数a、b、c对二次函数y =ax2+bx+c
的图像的影响吗?
５.２
1. 在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图像:
y= 3
2x2, y= 2
3x2, y=-3
2x2, y=-2
3x2.
2. 已知函数:
①y=0.5x2, ②y= 2
5x2,
③y=-11x2,
④y= 7
4x2.
第5章
二次函数
20
(1)图像开口向下的是 ,图像开口向
上的是 ;
(2)当x<0时,y随x 增大而增大的是
,
当x>0时,y随x 增大而增大的是
.
3. 二次函数y=ax2 的图像经过点A (-2,5).
(1)写出点A 关于y 轴对称的点B 的坐标,点B 在这个二次函数
的图像上吗? 为什么?
(2)y有最大值还是有最小值? x 为何值时,y 的最大值或最小值
是多少?
4. 在同一平面直角坐标系中,函数y =- 1
2x2 、y =- 1
2x2 +2、
y=-1
2x2-2的图像有怎样的位置关系?
5. 在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图像及其对称轴,并
写出它们的顶点坐标:
y= 2
3x2,y= 2
3(x-2)
2.
6. 画出下列函数的图像及其对称轴,并写出它们的顶点坐标:
(1)y=2(x+2)
2+1; (2)y=-3
4(x-3)
2+2.
7. 画出下列函数的图像:
(1)y=x2-x-2;
(2)y=-1
2x2-x+2.
8. 求下列函数的最大值或最小值:
(1)y=x2-2x-3;
(2)y=-2x2-5x+7;
(3)y=3x2+2x;
(4)y= 5
2x-2-3x2.
9. 怎样平移函数y=-x2的图像,可以得到函数y=-x2-8x-7的
图像?
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
21
5.3
用待定系数法确定二次函数表达式
我们知道,根据已知条件用待定系数法可以确定一次函数、反比
例函数的表达式.类似地,根据已知条件用待定系数法也可以确定二
次函数的表达式.
例1 已知二次函数y=ax2 的图像经过点(-2,8),求a的值.
分析: 如果一个点在函数的图像上,那么这个点的坐标适合函数
的表达式.要确定“a”的值,只要根据已知条件“图像经过点
(-2,8)”列出关于a的一元一次方程.
解: 由二次函数y=ax2 的图像经过点(-2,8),
得
8= (-2)
2a.
解得
a=2.
例2 已知二次函数y =ax2 +c 的图像经过点(-2,8)和
(-1,5),求a、c的值.
分析: 要确定“a”、“
c”的值,只要根据已知条件“图像经过点
(-2,8)和(-1,5)”列出关于a、c的二元一次方程组.
解: 由二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2,8)和(-1,5),
得
8= (-2)
2a+c,
5= (-1)
2a+c.
解得
a=1,c=4.
第5章
二次函数
22
*
例3 已知二次函数y =ax2 +bx +c的图像经过点(-3,6)、
(-2,-1)和(0,-3),求这个二次函数的表达式.
解: 由二次函数y =ax2 +bx +c 的图像经过点(-3,6)、
(-2,-1)和(0,-3),
得
6= (-3)
2a-3b+c,
-1= (-2)
2a-2b+c,
-3=c.
解得
a=2,
b=3,
c=-3.
所求二次函数表达式为y=2x2+3x-3.
通常,要确定函数表达式中几个待定的系数,相应地需要几个已
知条件,根据这些已知条件列出方程(组)求解.
1. 已知二次函数y =ax2 +bx 的图像经过点(-2,8)和
(-1,5),求这个二次函数的表达式.
*
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(0,3)、(3,0)
和(1,4),求这个二次函数的表达式.
５.３
1. 已知二次函数y=ax2+bx+1的图像经过点(1,3)和(3,-5),求
a、b的值.
*
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,-6)、(1,4)
和(3,6),求这个二次函数的表达式.
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
23
3. 这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字,你
能写出被墨迹污染的二次项系数吗?
+
第5章
二次函数
24
5.4
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有怎
样的关系?
根据二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0
的关系,我们可以由二次函数y=ax2+bx+c的图像确定一元二次方
程ax2+bx+c=0的根的情况.
图5 9
如图5 9,二次函数y=x2-2x-3
的图像与x 轴的交点坐标分别是
M(3,0)、N(-1,0)
.
由此可知,当x =3时,y=0,即
x2-2x-3=0.也就是说,x=3是一元
二次方程x2-2x-3=0的一个根.
同样,x=-1是一元二次方程x2-
2x-3=0的另一个根.
观察二次函数y=-1
2x2-4x-6、y=x2-6x+9、y=x2-2x+3
的图像(如图5 10),分别说出一元二次方程-1
2x2-4x-6=0、x2-
6x+9=0、x2-2x+3=0的根的情况.
5.4 二次函数与一元二次方程
25
yĢĒx2Ē4xĒ6
yĢx26x+Ǖ
yĢx22x+4
图5 10
如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x 轴有两个公共点,那么
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x 轴有且只有一个公共
点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x 轴没有公共点,那么一
元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.
反过来,根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,可以判
断二次函数y=ax2+bx+c的图像与x 轴的公共点的个数.
例 不画图像,判断二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴是否
有公共点.
解: 因为一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式
b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)<0,
所以方程-x2+5x-8=0没有实数根.
二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点.
不画图像,判断下列函数的图像与x轴的公共点的个数:
(1)y=x2-x;
(2)y=-x2+6x-9;
(3)y=3x2+6x+11.
第5章
二次函数
26
yĢx2.4x+3
2
P
学会“读”二次函数的图像
二次函数y=ax2+bx+c的图像,不仅
直观地显示了函数的性质,而且从中还可以
“读”出其他的相关信息.
例如,从二次函数y=x2-4x+3的图
像中,可以“读”出如下信息:
这个函数的图像开口向上,顶点的坐标
是(2,-1),对称轴是过点(2,-1)且平行
于y 轴的直线,与x 轴交于M (1,0)、
N(3,0)两点, 进而可知MN 的中点
P(2,0)在对称轴上.
根据函数y=x2-4x+3的图像,我们还可以知道:
(1)当x<2时,y随x 增大而减小;当x=2时,y的值最小,最小
值是-1;当x>2时,y随x 增大而增大.
(2)x=1或x=3是一元二次方程x2-4x+3=0的根.
(3)当x<1或x>3时,图像上所有点的纵坐标y都大于0.也就是
说,x<1或x>3是一元二次不等式x2-4x+3>0的解集.
当1<x <3时,图像上所有点的纵坐标y 都小于0. 也就是说,
1<x<3是一元二次不等式x2-4x+3<0的解集.
你能利用函数y=x2+2x-5的图像(如图5 11),探索方程x2+
2x-5=0的根的取值范围吗?
yĢx2+2x.5
图5 11
5.4 二次函数与一元二次方程
27
从图5 11可以看出,函数y=x2+2x-5的图像与x轴有两个
公共点,它们分别位于表示实数1与2、-4与-3的点之间,所以一
元二次方程x2+2x-5=0有两个根,它们分别介于实数1与2、-4
与-3之间.
下面,我们借助计算器,探索介于1与2之间的根的近似值.
表1
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
-1.59
-1.16
-0.71
-0.24
0.25
0.76
所以1.4<x<1.5.
表2
x
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
y
-0.1919 -0.1436 -0.0951 -0.0464 0.0025
0.0516
所以1.44<x<1.45.
表3
x
1.441
…
1.447
1.448
1.449
1.450
y
-0.041519
…
-0.012191 -0.007296 -0.0023990.0025
所以1.449<x<1.450.
︙
如此继续进行下去,可以进一步缩小这个根的取值范围.在解决
实际问题时,常常需要取一元二次方程根的近似值.例如,取方程
x2+2x-5=0介于1与2之间的根的近似值,如果要精确到0.1,
根据表1,可知x≈1.4;如果要精确到0.01,根据表2,可知x ≈
1.45;如果要精确到0.001,根据表3,可知x≈1.449.
利用二次函数y =x2+2x-5的图像,借助计算器探索方程
x2+2x-5=0的另一个介于-4与-3之间的根的近似值
(精确到0.01).
第5章
二次函数
28
５.４
1. 不画图像,判断下列函数的图像与x 轴是否有公共点. 如果有,
写出公共点的坐标.
(1)y=2x2+x+1; (2)y=x2+x-6.
2. 已知二次函数y =ax2 +bx +16 的图像经过点(-2,40)和
点(6,-8),求一元二次方程ax2+bx+16=0的根.
3. 利用二次函数的图像,借助计算器求下列方程的根的近似值(精确
到0.1):
(1)x2+x-3=0;
(2)1
2x2-x-1=0.
5.5 用二次函数解决问题
29
5.5
用二次函数解决问题
我们已经知道,生产、生活中的一些实际问题,有时可以用二次
函数来揭示其中数量之间的关系,运用二次函数的有关知识,常常可
以使这些实际问题得到解决.
问题1 某种粮大户去年种植水稻400亩,平均每亩收益960元.
他计划今年多承租若干亩稻田,预计原400亩稻田平均每亩收益不变,
新承租的稻田每增加1亩,其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2
元.该种粮大户今年应多承租多少亩稻田才能使总收益最大?
分析: 如果今年多承租x 亩稻田,那么新承租的稻田共收益
(960-2x)x元.
解: 设今年多承租x亩稻田,总收益为y元,则
y=960×400+(960-2x)x=-2(x-240)
2+499200.
当x=240时,y的值最大,最大值是499200.
答: 该种粮大户今年应多承租240亩稻田才能使总收益最大,最
大收益为499200元.
第5章
二次函数
30
问题2 某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾,预计平均每千尾鱼的产量
为1000kg.若再向该鱼塘里投放鱼苗,每多投放鱼苗1千尾,每千尾
鱼的产量将减少50kg. 应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大? 最
大总产量是多少?
分析: 若向鱼塘里再投放鱼苗x千尾,则鱼塘里共有鱼苗(10+x)
千尾,每千尾鱼的产量为(1000-50x)kg.
解: 设向鱼塘里再投放鱼苗x千尾,总产量为ykg,则
y= (1000-50x)(10+x)=-50(x-5)
2+11250.
当x=5时,y的值最大,最大值是11250.
答: 应再投放鱼苗5 千尾才能使总产量最大,最大总产量为
11250kg.
某商场以每件42元的价格购进一种服装,由试销知,每天的销
量t(件)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为t=204-3x.
(1)试写出每天销售这种服装的毛利润y(元)与每件销售价
x(元)之间的函数表达式(毛利润=销售价-进货价);
(2)每件销售价多少元才能使每天的毛利润最大? 最大毛利润
是多少?
问题3 河上有一座抛物线形的拱桥,水面宽6m 时,水面离桥
拱顶部3m.因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为多少(精确到0.1m)?
图5 12
分析: 解决这个实际问题,先要把它数学化———恰当地建立平面
直角坐标系,把抛物线形的桥拱看作一个二次函数的图像,并写出这
个函数的表达式,然后根据题设条件求解.
解: 如图5 12,以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横
轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立平面
直角坐标系.抛物线形的桥拱是二次函
数y=ax2 的图像.
因为当水面宽AB=6m 时,水面
离桥拱顶部3m,所以点A 的坐标是
(3,-3)
.
5.5 用二次函数解决问题
31
把x=3、y=-3代入y=ax2,得
-3=a×32.
解得
a=-1
3.
把y=-2代入y=-1
3x2,得
-2=-1
3x2.
解得
x=± 6.
所以,点C、D 的坐标分别为(6,-2)、(- 6,-2),
CD =26≈4.9.
答: 水位上升1m时,水面宽约为4.9m.
图5 13
根据问题3给出的条件,一艘装满物
资的小船,露出水面部分的高为0.5m、宽
为4m (横断面如图5 13). 暴雨后这艘
船能从这座拱桥下通过吗?
我国隋朝建造的赵州石拱桥闻名中外. 假设石拱桥的桥拱是抛
物线形,已知石拱跨径AB 为37.02m,拱高CD 为7.23m. 把
桥拱看作一个二次函数的图像,建立恰当的平面直角坐标系,
写出这个函数的表达式.
第5章
二次函数
32
５.５
(第1题)
1. 比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔. 据说物
理学家伽利略曾利用这座塔做过著名的自由
落体试验. 在地球上同一地点,不同质量的
物体从同一高度同时下落,如果除地球引力
外不考虑其他外力的作用,那么它们的落地
时间相同,物体的下落距离h(m)与下落时间
t(s)之间的函数表达式为h=1
2gt2.g的取值
为9.8m/s2 时,h=4.9t2. 已知比萨斜塔的
高度为55m,试计算试验物大约经过多少时
间从塔顶落到地面(精确到0.1s)
.
2. 小明根据第1题中的自由落体运动规律表达式,用一块小石子来
估算一口枯井的深度.如果石子从井口脱手1.3s时听到石子落到
井底的声音(不计声音传播的时间),那么该枯井大约有多深(精确
到0.1m)?
3. 用长16m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔
的活动范围最大?
4. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时,100辆汽车可以全
部租出. 若每辆汽车的月租费每增加50元,则将少租出1辆汽
车.已知每辆租出的汽车支付月维护费200元,问每月租出多少辆
汽车时,该出租公司的月收益最大? 最大月收益是多少?
(第5题)
5. 某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线
形不锈钢管组成,如果每段护栏都按0.4m的
间距加装不锈钢管的立柱(如图),那么制作
这些立柱共需要多少不锈钢管(精确到1m)?
6. 正常水位时,抛物线形拱桥下的水面宽20m. 水面上升3m 达到
警戒水位时,桥下水面宽10m.
(1)把桥拱看作一个二次函数的图像,建立恰当的平面直角坐标
系,写出这个函数的表达式;
(2)如果水位以0.2m/h的速度持续上涨,那么达到警戒水位后,
再过多长时间此桥孔将被淹没?
5.5 用二次函数解决问题
33
把实际问题数学化
在本章中,我们把一些实际问题中的数量关系抽象成为二次函数,并
应用二次函数的有关知识解决了这些问题. 事实上,日常生产、生活中的
许多实际问题,都可以抽象成为数学问题.
例如,道路两旁种植行道树,选择哪种树更好呢?
选择行道树要考虑的因素很多,比如树形要美、树冠要大、存活率要
高、落叶要少……如果只考虑树冠的大小、存活率的高低两个因素,那么
就可以用如下的方法把这个实际问题数学化:
设树冠直径为d,存活率为h,
在平面直角坐标系中画出点(d,h).
在所画的点中,与原点距离较远的点
所表示的树种较优,因为这种树种或
树冠直径较大、或存活率较高. 如
图,OA>OB,A 树种比B 树种优.
若表示两种树种的点与原点的距离相等,则可先分别计算它们的d与h
的差的绝对值,再比较这些绝对值的大小,绝对值较小的树种较优,因为
这种树种的树冠的大小和存活率的高低没有明显的缺陷. 如图,OB=OC,
且|d2-h2|<|d3-h3|,B 树种比C 树种优.
像这样,如果一个实际问题涉及的因素较多,那么应根据实际需要选
择其中的一些主要因素,舍弃次要因素,然后通过抽象建立数学模型,再
运用有关的数学知识解决实际问题. 应当指出:数学问题的解,需要检验
它是否符合实际. 如果符合,那么要对解的意义做出解释;如果不符合,
那么要建立新的数学模型,重新尝试解决实际问题.
第5章
二次函数
34
校园景观设计
如图5 14, 学校计划在流经校园的小河上建造一座抛物线形的小
拱桥, 桥拱的跨径为4m、拱高为2.5m.
(1) 把该桥拱看作一个二次函数的图像, 请你建立恰当的平面直角
坐标系, 写出这个函数的表达式;
(2) 施工时, 工人师傅先要制作如图5 15的桥孔模型, 请你帮助
工人师傅计算模型中各立柱的高;
(3) 如有条件, 可选择适当材料, 按1∶20的比例制作这座桥的模型.
图5 14
图5 15
1. 形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0) 的函数是二次函数, 它是
描述现实世界数量变化及其关系的一种数学模型.
2. 二次函数的图像是抛物线, 它直观地揭示了二次函数的性质, 你能根据
二次函数y =ax2 的图像的开口方向、对称轴和顶点位置, 说出二次函数
y=ax2 的性质吗?
3. 你知道二次函数y=ax2+k、y=a(x+h)2、y=a(x+h)2+k的图像与y=
ax2 的图像有怎样的位置关系吗?
通过配方, 把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x+h)2+k的形式, 可以方
便地确定抛物线的顶点坐标和对称轴的位置.
4. 确定一个二次函数表达式中的待定系数, 通常需要根据问题中的已知条
件建立方程(组).待定系数个数与问题中的条件数有什么关系?
5. 我们曾通过“读” 一次函数的图像, 发现了一次函数与一元一次方程、
一元一次不等式之间的联系.你能通过“读” 二次函数的图像发现什么?
6. 用二次函数解决实际问题通常经历怎样的过程? 试举例说明.
5
复习题
35
复习巩固
1. 画出下列函数的图像:
(1)y= (x-2)
2; (2)y= (x+2)
2;
(3)y= (x-2)
2+3;
(4)y= (x+2)
2-3.
2. (1)填表:
函 数
图像特征
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
函数的最大值
或最小值
y=2x2+3x
y=-x2-2x
y=2x2-6x+3
y=-1
3x2+4x-8
(2)画出上表中各个二次函数的图像.
3. 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-1
4x2 、y=-1
4(x-1)
2、
y=-1
4(x-1)
2+1的图像.指出这三个函数图像之间的位置关系,
并画出它们的对称轴,写出顶点坐标.
4. 已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x 轴的两个交点的横坐标
分别为1和2.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)指出这个二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴的
位置;
(3)x在什么范围内,y随x 增大而增大?
(4)x在什么范围内,y随x 增大而减小?
第5章
二次函数
36
5. 一座不锈钢拱门的拱高和底宽都是192m. 如果把拱门看作一条抛
物线,试建立恰当的平面直角坐标系,并写出与该抛物线相应的函
数表达式.
6. 两个数的和是100,这两个数积的最大值是多少?
(第7题)
7. 我国是最早发明火箭的国家,制作火箭
模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一
项科技活动. 已知学校航模组设计制作
的火箭,它的升空高度h(m)与飞行时间
t(s)满足函数表达式h=-t2+26t+1.
如果火箭在点火升空到最高点时打开降
落伞,那么火箭点火后多少时间降落伞
将打开? 这时该火箭的高度是多少?
8. 把一根长100cm 的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,这两
个正方形的面积和最小是多少?
A
D
C
B
135°
(第9题)
9. 如图,利用135°的墙角修建一个梯形
ABCD 的储料场,并使∠C=90°.如果新
建墙BCD 总长15m,那么怎样修建才能
使储料场的面积最大?
灵活运用
10. (1)已知二次函数y=x2-mx+m 的图像与x 轴有且只有一个公
共点,求m 的值;
(2)已知二次函数y=ax2-2x-3的图像与x轴有两个公共点,
求a的取值范围.
11. 当自变量x=4时,二次函数的值最小,最小值为-3,且这个函
数的图像与x轴的一个交点的横坐标为1.求:
(1)这个二次函数的表达式;
(2)这个函数的图像与x轴另一个交点的横坐标.
12. 一艘装有防汛器材的运输船,露出水面部分的宽为4m,高为
0.75m.当水面与抛物线形桥拱的顶部相距5m 时,桥下水面宽为
8m.要使该船顺利通过桥孔,水面与顶部至少相距多少?
5
复习题
37
13. 心理学家研究发现,某年龄段的学生30min内对概念的接受能力
y与提出概念所用时间x 之间满足函数表达式:y =-0.1x2 +
2.6x+43(0≤x≤30).何时学生接受概念的能力最强? 什么时
段学生接受概念的能力逐步降低?
探索研究
14. 把二次函数y=x2+bx+c的图像向下平移1个单位长度,再向左
平移5个单位长度后,所得的抛物线的顶点坐标为(-2,0).写
出原抛物线相应的函数表达式.
15. 如图,在Rt△ABC 中,∠B =90°,AB =3cm,BC =4cm.点P
从点A 出发,以1cm/s的速度沿AB 运动;同时,点Q 从点B 出
发,以2cm/s的速度沿BC 运动.当点Q 到达点C 时,P、Q 两点
同时停止运动.
(1)试写出△PBQ 的面积S(cm2)与动点运动时间t(s)之间的函数
表达式;
(2)运动时间t为何值时,△PBQ 的面积最大? 最大面积是多少?
(第15题)
16. 某水果店出售一种水果,每只定价20元时,每周可卖出300只.
试销发现:
(1)每只水果每降价1元,每周可多卖出25只,如何定价,才能
使一周销售收入最多?
(2)每只水果每涨价1元,每周将少卖出10只,如何定价,才能
使一周销售收入最多?
(3)根据以上信息,你认为应当如何定价才能使一周销售收入
最多?
17. 根据函数表达式y= 1
x2,你能说出它的图像具有的一些特征吗? 试
画出它的图像.
△ABC ∽△ADE
“全等”、“相似”,具有特殊与一般的关系,
研究“相似”,可以有效地解决一些实际问题.
本章将学习相似形的概念, 探索并证明三角形相似的判定方法和相似三角
形的性质, 并运用这些知识解决简单的实际问题.
把图(1)中的熊猫图案放大, 画到图(2)的方格中.
图(1)
图(2)
把图(3)中的多边形放大, 画到图(4)的方格中.
图(3)
图(4)
这两个多边形的形状相同吗?
度量这两个多边形对应的边和角, 你有什么发现? 请与同学交流.
第6章
图形的相似
40
6.1
图上距离与实际距离
在上面的两幅江苏省地图中,设连接南京与徐州的线段分别为a、
b,它们的比(即a与b的长度的比)为a∶b或a
b,连接南京与连云港的
线段分别为c、d,它们的比为c∶d或c
d,这两个比值相等吗?
在四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么这
四条线段叫做成比例线段.
1. 在图6 1中,哪两个矩形的长和宽是成比例线段?
(1)
(2)
(3)
图6 1
6.1 图上距离与实际距离
41
2. 如图6 2,线段A1B1、B1C1、A2B2、B2C2 的端点都在边长为1
的小正方形的顶点上.这四条线段是成比例线段吗? 为什么?
图6 2
在小学里,我们学习过比例的基本性质:如果a∶b=c∶d,那么
ad =bc;反过来,如果ad =bc(
b≠0,d≠0),那么a∶b=c∶d.
在比例式a∶b=b∶c中,b叫做a 和c的比例中项.
例1 某公园平面图上有一块三角形草地,三边长分别为4cm、
5cm、6cm.已知这块三角形草地最短边的实际长度为80m,求另外两
条边的实际长度.
解: 比例尺=图上距离∶实际距离=4∶8000=1∶2000.
三角形草地的另外两条边的实际长度分别为
5×2000=10000(cm)=100m,
6×2000=12000(cm)=120m.
答: 这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100m 和
120m.
例2 已知x
3 =y
5,且x+y=24.求x、y的值.
解: 设x
3 =y
5 =k,则x=3k,y=5k.
∵x+y=24,
∴3k+5k=24,k=3.
∴x=9,y=15.
第6章
图形的相似
42
1. 根据本节开头提供的地图,分别求南京与徐州、南京与连云
港之间的实际距离.
2. 小丽的身高为1.6m,在某一时刻,她的影长为2m. 求此
时小丽的身高与影长的比.
3. 图纸上画出的某个工件的长为40mm,如果比例尺为1∶30,
那么这个工件实际长度是多少? 如果比例尺为2∶1呢?
4. 如图,AD
DB = AE
EC,AD =15,AB =40,AC =28. 求AE
的长.
(第4题)
６.１
1. 在比例尺为1∶38000的城市交通地图上,某条道路的长为7cm.
求这条道路的实际长度.
2. 已知a
9 = b
11= c
14,且a+b+c=68.求a、b、c的值.
3. 如图,AD
DB =AE
EC =2.求AB
DB、AE
AC 的值.
(第3题)
(第4题)
4. 如图,AG
AD=EF
BC,EF=10,BC=15,GD=4,求AD 的长.
6.1 图上距离与实际距离
43
5. 给出下列一组矩形:
①
②
③
④
(第5题)
请调查10名(或更多)同学,他们最喜欢这组矩形中的哪一个? 并
记录调查结果.
第6章
图形的相似
44
6.2
黄金分割
上海东方明珠电视塔设计
巧妙,整个塔体挺拔秀丽.
度量图中线段AB、AC 的
长度,并计算线段AB 与AC、
BC 与AB 的比值.
芭蕾舞演员身体各部分之
间适当的比例给人以匀称、协
调的美感.
度量图中线段AB、AC 的
长度,并计算线段AB 与AC、
BC 与AB 的比值.
6.2 黄金分割
45
在习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”调查活动中,小丽调查
了10名同学,其中有8名同学最喜欢第②个矩形. 度量这个矩形
(如图6 3)的边BC、AB 的长度,计算它们的比值,你发现了
什么?
图6 3
例 如图6 4,点B 在线段AC 上,且BC
AB =AB
AC.设AC =1,求
AB 的长.
图6 4
解: 设AB =x,则BC =AC-AB =1-x.
由BC
AB =AB
AC,得
1-x
x
=x,
即 x2+x-1=0.
解这个方程,得
x1 = 5-1
2
,x2 = - 5-1
2
(不合题意,舍去)
.
于是,AB 的长为5-1
2 .
像图6 4那样,点B 把线段AC 分成两部分,如果BC
AB =AB
AC,那
么称线段AC 被点B 黄金分割(goldensection),点B 为线段AC 的黄
第6章
图形的相似
46
金分割点.AB 与AC(或BC 与AB)的比称为黄金比,它们的比值为
5-1
2
,在计算时,通常取它的近似值0.618.
“黄金分割”给人以美感,它在建筑、艺术等领域有着广泛的
应用.
用黄金比巧妙构思的音乐作品
我国的国歌歌词是散文式的自由体新诗,作曲家聂耳在谱曲时,
创造性地将它谱成由6个长短不等的乐句组成的自由体乐段. 歌曲高
潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置,音乐富有动力,
让人感到无比振奋.
你能举例说明黄金分割在生活中的应用吗?
(第2题)
1.在图6 3中,BC 与AB 的比为黄金比,这样的矩形称为黄
金矩形,它给人以美感.某建筑物的窗户为黄金矩形,已知
它的一边长为3.24m,求它的邻边的长(精确到0.01m).
2. 如图,C、D 是线段AB 的两个黄金分割点,AB =1.求线段
CD 的长.
6.2 黄金分割
47
６.２
(第1题)
1. 东方明珠电视塔高468m,
如果把塔身看作一条线段
AC,中间的球体看作点
B,那么点B 是线段AC 的
黄金分割点.求AB 的长
(精确到0.1m)
.
2. 如图,P 是线段AB 的黄
金分割点,且PA > PB,
S1 表示以PA 为一边的正
方形的面积,S2 表示长为
AB、宽为PB 的矩形的面
积.比较S1 与S2 的大小,并说明理由.
(第2题)
(第3题)
3. 如图,设线段AC=1.
(1)过点C 画CD⊥AC,使CD=1
2AC;连接AD,以点D 为圆
心,DC 的长为半径画弧,交AD 于点E;以点A 为圆心,
AE 的长为半径画弧,交AC 于点B.
(2)在所画的图中,点B 是线段AC 的黄金分割点吗? 为什么?
第6章
图形的相似
48
6.3
相似图形
放映电影时,银幕上的画面是由放映机把底片上的画面经过放大
后投影得到的,底片上的画面与银幕上的画面形状相同.
用复印机可以把图形按比例放大或缩小,得到形状相同的图形.
下列各组图形有什么共同的特征? 你还能举出具有这样特征的图
形吗?
形状相同的图形叫做相似形(similarfigures)
.
在数学中,两个多边形具有怎样的特征才能说它们“形状相同”,
称为相似多边形呢?
1.图6 5(1)中的两个正三角形的边和角分别有怎样的数量关系?
图6 5(2)中的两个三角形呢?
6.3 相似图形
49
(1)
(2)
图6 5
͖͐
̵
>ᒎ+
>,0U D!ҷ
2.图6 6(1)中的两个正方形的边和角分别有怎样的数量关系?
图6 6(2)中的两个四边形呢?
(1)
(2)
图6 6
͖͐
ᒎ+ >
,0U D!ҷ
如图6 5,在△ABC 与△A'B'C'中,∠A=∠A'、∠B=∠B'、
∠C=∠C'、AB
A'B'= BC
B'C'=CA
C'A';如图6 6,在四边形ABCD 与四边
形A'B'C'D'中,∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'、∠D=∠D'、
AB
A'B'= BC
B'C'=CD
C'D'= DA
D'A'.像这样,各角分别相等、各边成比例的两
个多边形,它们的形状相同,称为相似多边形(similarpolygons).
在图6 5中,△ABC与△A'B'C'相似,记作“△ABC∽△A'B'C'”,
读作“△ABC相似于△A'B'C'”;在图6 6中,四边形ABCD 与四边形
A'B'C'D'相似,记作“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”,读作“四边
形ABCD 相似于四边形A'B'C'D'”.
第6章
图形的相似
50
相似多边形的对应角相等,对应边成比例.相似多边形的对应边
的比叫做相似比(similarityratio).
图6 7(1)中的两个矩形是相似多边形吗? 为什么? 图6 7(2)
中的两个菱形呢?
(1)
(2)
图6 7
例1 如图6 8,已知△ABC∽△A'B'C'.求∠α的大小和A'C'
的长.
图6 8
解: 因为△ABC∽△A'B'C',
所以它们的对应角相等,对应边成比例.
由此,得
图6 9
∠α= ∠A =60°,
AB
A'B'= AC
A'C',A'C'=AC·A'B'
AB
=10×6
8
=7.5.
例2 如图6 9,D、E、F 分别是△ABC 三边的
中点.△DEF 与△ABC 相似吗? 为什么?
分析: 判定两个三角形相似,需要知道它们的
各角分别相等,各边成比例.
6.3 相似图形
51
解: 由三角形中位线的性质,知
EF ∥BC,DE ∥AB,DF ∥AC;
EF = 1
2BC,DE = 1
2AB,DF = 1
2AC.
于是,在▱AFDE、▱BDEF、▱CEFD 中,
∠EDF = ∠A,∠DEF = ∠B,∠DFE = ∠C.
又因为EF
BC =DE
AB =DF
AC = 1
2,
所以△DEF ∽△ABC.
1. 在图④~⑨中,找出分别与图①、图②、图③相似的图形.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
(第1题)
2. 如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'. 求∠α、∠β的大
小和A'D'的长.
(第2题)
第6章
图形的相似
52
６.３
1. 在方格纸中分别画出与下列图形相似的图形.
(第1题)
2. △ABC 的三条边的长分别为4、5、6,与△ABC 相似的△A'B'C'
的最长边的长为18.求△A'B'C'的最短边的长.
3. (1)所有的等腰三角形都相似吗? 为什么?
(2)所有的直角三角形都相似吗? 所有的等腰直角三角形呢? 为
什么?
4. 如图,在四边形ABCD 的边AB 上任取一点O(不与点A、B 重
合),连接OC、OD,分别取OA、OB、OC、OD 的中点A'、B'、
C'、D',连接A'D'、D'C'、C'B'.四边形A'B'C'D'与四边形
ABCD 相似吗? 为什么?
D
A
B
C
(第4题)
6.4 探索三角形相似的条件
53
6.4
探索三角形相似的条件
我们知道,两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例.反过
来,当两个三角形具备几对角相等或几对边成比例的条件时,它们就
相似呢?
1. 在练习本上,先画3条互相平行的直线l1、l2、l3,再任意画2
条直线a、b,使a、b与l1、l2、l3 分别相交于点A、B、C 和点D、E、F
(如图6 10)
.
(1)
(2)
(3)
图6 10
2. 度量所画图中AB、BC、DE、EF 的长度,并计算对应线段的
比值.你有什么发现? 请与同学交流.
在练习本上,画4条、5条……互相平行的直线,重复上面的过
程,你发现的结论还成立吗?
实践告诉我们一个基本事实:
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
第6章
图形的相似
54
例1 如图6 11,在△ABC 中,点D、E 分别在AB、AC 上,且
DE ∥BC.试说明△ADE 与△ABC 相似的理由.
分析: 由题意知,在△ADE和△ABC中,各角分别相等,且AD
AB=
AE
AC,要说明△ADE∽△ABC,只需要AD
AB=DE
BC .为此,把DE平移到
FC的位置(作DF∥AC,交BC于点F)就可以了.
解: 过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F.
图6 11
∵DE ∥BC,DF ∥AC,
∴AD
AB =AE
AC,AD
AB =FC
BC (两条直线被一组
平行线所截,所得的对应线段成比例)
.
∵四边形DFCE 是平行四边形,
∴DE =FC.
∴AD
AB =AE
AC =DE
BC.
∵DE ∥BC,
∴∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C.
又∵∠DAE = ∠BAC,
∴△ADE ∽△ABC.
由例1,我们得到如下结论:
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所截得的三角形与原
三角形相似.
(第1题)
1. 如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3
分别相交于点A、B、C 和点D、E、F.
设AB =3,BC =5,DE =4,求EF
的长.
6.4 探索三角形相似的条件
55
C
(第2题)
2. 如图,OC 是∠AOB 内的一条射线,点
D、D'在OC 上,过点D、D'分别作
OA、OB 的垂线,垂足分别为E、E'和
F、F'.
(1)图中有几对相似三角形? 是哪几对?
(2)DE
D'E'与DF
D'F'相等吗? 为什么?
图6 12
如图6 12,已知∠α、∠β.
作△ABC,使∠A = ∠α,∠B =
∠β.这样的三角形可以作多少个? 它
们都相似吗?
图6 13
如图6 13,在△ABC 和△A'B'C'
中,∠A = ∠A',∠B = ∠B'.
我们可以用如下方法证实△ABC∽
△A'B'C':
平移△A'B'C',使点A'与点A 重
合,A'B'落在AB 上(假设AB >
图6 14
A'B')
.由∠A'= ∠A,可知A'C'落在
AC 上(如图6 14)
.
又由∠AB'C'= ∠B,可知B'C'∥BC.
这样,根据本节例1所得的结论,
可得△ABC ∽△AB'C'.
因为平移△A'B'C'不改变它的形
状、大小,所以△ABC ∽△A'B'C'.
于是,我们得到如下定理:
两角分别相等的两个三角形相似.
第6章
图形的相似
56
例2 如图6 15,在△ABC 和△A'B'C'中,∠A =50°,∠B =
∠B'=60°,∠C'=70°.△ABC 与△A'B'C'相似吗? 为什么?
50°
60°
70°
60°
图6 15
解: △ABC 与△A'B'C'相似.
在△ABC 中,
∵∠A =50°,∠B =60°,
∴∠C =180°-(50°+60°)=70°.
在△ABC 和△A'B'C'中,
∵∠B = ∠B',∠C = ∠C',
∴△ABC ∽△A'B'C'(两角分别相等的两个三角形相似)
.
例3 如图6 16,在△ABC 中,AB = AC,点D、E 分别在
BC、AB 上,且∠BDE = ∠CAD.△ADE 与△ABD 相似吗? 为
什么?
分析: 在△ADE 和△ABD 中,∠DAB 是公共角,如果∠ADE=
∠B (或∠AED=∠ADB),那么这两个三角形就相似.
图6 16
解: △ADE 与△ABD 相似.
∵∠ADB = ∠ADE+∠BDE,
∠ADB = ∠CAD +∠C,
∠BDE = ∠CAD,
∴∠ADE = ∠C.
又∵AB =AC,
∴∠B = ∠C.
∴∠ADE = ∠B.
在△ADE 和△ABD 中,
∵∠DAE = ∠BAD,∠ADE = ∠B,
∴△ADE ∽△ABD (两角分别相等的两个三角形相似)
.
6.4 探索三角形相似的条件
57
1. 在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',AB
A'B'=k,∠B=∠B'.
(1)当k=1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
(2)当k≠1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
2. 如图,BC ∥ED,计算AB、AC 的长.
(第2题)
(第3题)
3. 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC,垂足为E. 图中有哪些三角形
与△ABC 相似? 为什么?
图6 17
如图6 17,已知△ABC.
作△A'B'C',使∠A' = ∠A,
A'B'
AB =A'C'
AC =1
2.所作的△A'B'C'
与△ABC 相似吗?
设A'B'
AB =A'C'
AC =k,改变k值的大小,再试一试.
图6 18
图6 19
如图6
18,在△ABC 和
△A'B'C'中,∠A= ∠A',AB
A'B'=
AC
A'C'.
我们可以用如下方法证实
△ABC∽△A'B'C':
在AB上截取AB″=A'B'(假
设AB >A'B'),过点B″作B″C″∥
BC,交AC 于点C″(如图6 19)
.
第6章
图形的相似
58
根据本节例1所得的结论,可以知道△ABC ∽△AB″C″.
于是,AB
AB″= AC
AC″.
又由AB″=A'B',AB
A'B'= AC
A'C',可得AC″=A'C'.
这样,△AB″C″≌△A'B'C',△ABC ∽△A'B'C'.
于是,我们得到如下定理:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
例4 如图6 20,点D 在△ABC内,点E在△ABC外,且∠1=
∠2,∠3= ∠4.△DBE 与△ABC 相似吗? 为什么?
分析: 在△DBE 和△ABC 中,易知∠DBE=∠ABC. 如果BD
AB=
BE
BC,那么这两个三角形就相似.
图6 20
解: △DBE 与△ABC 相似.
在△ABD 和△CBE 中,
∵∠1= ∠2,∠3= ∠4,
∴△ABD∽△CBE(两角分别相等的两个
三角形相似).
∴BD
AB =BE
BC (相似三角形的对应边成比例).
又∵∠2= ∠1,
∴∠DBE = ∠ABC.
在△DBE 和△ABC 中,
∵BD
AB =BE
BC,∠DBE = ∠ABC,
∴△DBE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
图6 21
如图6 21,在△ABC中,AB =4,AC =2.
(1)试在AB 上确定点D 的位置,使
△ACD ∽△ABC;
6.4 探索三角形相似的条件
59
(2)试在AC 的延长线上确定点E 的位置,使△AEB∽△ABC.
此时,BE与DC有怎样的位置关系? 为什么?
1. 在△ABC 和△A'B'C'中,∠A = ∠A',AB
A'B'= AC
A'C'=k.
(1)当k=1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
(2)当k≠1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
2. 如图,∠1=∠2.要使△ABC∽△ADE,还需要添加什么
条件?
2
1
(第2题)
E
F
(第3题)
3. 如图,在正方形ABCD 中,E是AD 的中点,点F在CD 上,
且CF =3FD.△ABE 与△DEF 相似吗? 为什么?
图6 22
如图6 22,已知△ABC.
作△A'B'C',使A'B'
AB =B'C'
BC =
C'A'
CA
= 1
2. 所作的△A'B'C' 与
△ABC 相似吗?
设A'B'
AB =B'C'
BC =C'A'
CA =k,改变k值的大小,再试一试.
如图6 23,在△ABC 和△A'B'C'中,AB
A'B'= BC
B'C'= CA
C'A'.
我们可以用如下方法证实△ABC ∽△A'B'C':
在AB 上截取AB″=A'B'(假设AB>A'B'),过点B″作B″C″∥BC,
交AC 于点C″(如图6 24)
.
第6章
图形的相似
60
图6 23
图6 24
根据本节例1所得的结论,可以知道△ABC ∽△AB″C″.
于是,AB
AB″= BC
B″C″= CA
C″A.
又由AB
A'B' = BC
B'C' = CA
C'A',AB″ =A'B',
可得B″C″ =B'C',C″A =C'A'.
这样,△AB″C″≌△A'B'C',△ABC ∽△A'B'C'.
于是,我们得到如下定理:
三边成比例的两个三角形相似.
图6 25
例5 如图6
25,在四边形ABCD 中,
AC、BD 相交于点F,点E 在BD 上,且AB
AE =
BC
ED = AC
AD.
(1)∠1与∠2相等吗? 为什么?
(2)判断△ABE 与△ACD 是否相似,并说
明理由.
解: (1)∠1与∠2相等.
在△ABC 和△AED 中,
∵AB
AE =BC
ED = AC
AD,
∴△ABC ∽△AED (三边成比例的两个三角形相似)
.
∴∠BAC = ∠EAD (相似三角形的对应角相等)
.
∴∠1= ∠2.
6.4 探索三角形相似的条件
61
(2)△ABE 与△ACD 相似.
由AB
AE = AC
AD,得
AB
AC =AE
AD.
在△ABE 和△ACD 中,
∵AB
AC =AE
AD,∠1= ∠2,
∴△ABE∽△ACD(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
.
在图6 25中,还有哪几对相似三角形? 把它们分别表示出来,
并说明理由.
1. 在△ABC 和△A'B'C'中,AB
A'B'= BC
B'C'= CA
C'A'=k.
(1)当k=1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
(2)当k≠1时,△ABC 与△A'B'C'有怎样的关系?
2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A(2,0)、
B(4,0)、C(0,4),将各顶点的横坐标、纵坐标都乘2,得相
应的点A'、B'、C'的坐标.
(1)画△A'B'C';
(2)△A'B'C'与△ABC 相似吗? 为什么?
(第2题)
(第3题)
3. 如图,点B、D、E在一条直线上,BE 交AC于点F,AB
AD =
BC
DE =AC
AE.∠BAD 与∠EBC 相等吗? 为什么?
第6章
图形的相似
62
例6 如图6 26,在△ABC 中,AB =AC,点D 在BC 上,AD 的
延长线交△ABC 的外接圆于点E .△ABE 与△CDE 相似吗?为什么?
图6 26
解: △ABE 与△CDE 相似.
∵AB =AC,
∴AB
︵=AC
︵,
∴∠AEB = ∠AEC .
在△ABE 和△CDE 中,
∵∠AEB = ∠DEC,∠BAE = ∠DCE,
∴△ABE ∽△CDE (两角分别相等的两个三角形相似).
在图6 26中,还有哪几对相似三角形? 把它们分别表示出来,
并说明理由.
在七年级,我们通过观察、操作,发现三角形的三条中线相交于
一点.你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗?
κ᭛
FEĺBCU
īȍGEF,
-ȍGBC
̬
如图6 27,△ABC 的中线BE、CF 相交于点G,连接EF,则
FE∥BC,FE=1
2BC.这样,由△GEF∽△GBC,可得GE=1
2GB.
6.4 探索三角形相似的条件
63
图6 27
图6 28
如图6 28,AD 是△ABC 的另一条中线,设AD 与BE 相交于
点G',连接DE,同样可得△G'DE∽△G'AB,G'E=1
2G'B.
于是,点G'与点G 重合,三角形的三条中线相交于一点.
三角形的三条中线相交于一点,这点叫做三角形的重心(barycenter
ofatriangle).
重心是物理学中的一个概念.物理学告诉我们:一个物体的各个
部分都受到重力的作用,从效果看,可以认为各部分受到的重力作用
集中于一点,这点叫做物体的重心.如果我们用一根手指顶在一块质
地均匀的三角形薄板的重心处,这块薄板就能保持平衡.
1. 如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,D 是AC
︵的中点,BD
交AC 于点E.△CDE 与△BDC 相似吗? 为什么?
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在△PAB 中,点C、D 在AB上,且PC =PD =CD,
∠APB =120°.△APC 与△PBD 相似吗? 为什么?
第6章
图形的相似
64
(3)
直觉的误导
在七年级下册“12.2 证明”一节中,我们做过如下实验:
现在,我们用反证法证实图(2)不是长方形.
如图(3),过点D 作DF⊥AC,垂足为F.
假设图(2)是长方形,那么图(2)的右下角就应
是直角.于是,在图(3)中,有∠α+∠γ=90°.
又∠β+∠γ=90°,这样∠α=∠β,Rt△DEF∽
Rt△ABC,EF
BC=DF
AC,即2
3=5
8,这是不可能
的,因而图(2)不是长方形.
由于2
3-5
8=1
24,这个差很小,因此造成了我们视觉上的误差.
这个例子说明:对于数学结论,完全凭借直觉判断是不行的,还需要
通过推理加以证实.
6.4 探索三角形相似的条件
65
６.４
1. 如图,l1 ∥l2 ∥l3,过点A 的直线a、b分别与l1、l2、l3 相交于点
B、C、D 和点E、F、G.图中有几对相似三角形? 是哪几对?
(第1题)
35
45
C
D
A
B
E
(第2题)
2. 如图,刻度尺的分度值为1mm.如果玻璃管的内径DE 正对“30”
刻度线(DE ∥AB),且量得AB 长7mm,那么DE 的长为多少?
如果DE 正对“35”刻度线呢?
3. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,EF∥BC,
交AD 于点G.
(1)图中有几对相似三角形? 是哪几对?
(2)EG
BD与FG
CD相等吗? 为什么?
(第3题)
(第4题)
4. 如图,在△ABC 中,点D、E 分别在AB、AC 上,且∠1= ∠2=
∠3.图中有几对相似三角形? 是哪几对?
(第5题)
5. 如图,在△ABC中,∠ACB =90°,CD ⊥AB,
垂足为D .
(1)△ACD 与△CBD 相似吗? 为什么?
(2)图中还有几对相似三角形? 是哪几对?
第6章
图形的相似
66
6. 如图,∠BAD = ∠CAE,∠B = ∠D.
(1)△ABC 与△ADE 相似吗? 为什么?
(2)如果AB =2AD,BC =4,那么DE 的长为多少?
(第6题)
(第7题)
7. 如图,在▱ABCD 中,E 是BC 的中点,AE 交BD 于点F. 求AF
EF
的值.
8. 在△ABC 中,AB =6,AC =8,∠A =50°;在△DEF 中,DE =
12,∠D =50°.试确定DF 的长,使△ABC ∽△DEF.
9.如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,且AB2 =AD·AC. ∠ABD
与∠C 是否相等? 为什么?
(第9题)
A
A£
B£
C£
B
C
O
(第10题)
10. 如图,O 是△ABC 内的一点,点A'、B'、C'分别在线段OA、OB、
OC 上,且△OA'B' ∽△OAB,△OB'C' ∽△OBC. △OA'C'与
△OAC 相似吗? 为什么?
11. 在△ABC 中,AB =8,AC=6;在△DEF 中,DE =4,DF=3.当
BC 与EF 的比值为多少时,△ABC ∽△DEF?
6.4 探索三角形相似的条件
67
12. 如图,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点
上.△ABC 与△DEF 相似吗? 为什么?
(第12题)
(第13题)
13. 如图,AD、A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线,且
AB
A'B'= BD
B'D'= AD
A'D'.判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明
理由.
14.如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,AD 是△ABC 的高,AE 是
☉O 的直径.△ABE 与△ADC 相似吗? 为什么?
(第14题)
(第15题)
15. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线分别交BC、AC 于点D、
E,BE 交AD 于点F,AB=AD.
(1)判断△FDB 与△ABC 是否相似,并说明理由.
(2)AF 与DF 相等吗? 为什么?
(第16题)
16. 如图,正方形ABCD 的边长为8,E 是CD 的
中点,AE、BC 的延长线相交于点F,AE 的
垂直平分线分别交AE、BC 于点H、G.求FG
的长.
第6章
图形的相似
68
17. 如图,一个三角形钢筋框架的三边长分别为20cm、50cm、
60cm,要再做一个与它相似的三角形钢筋框架. 现有长分别为
30cm、50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根
上截下两段(允许有余料)作为另外两边,你认为有几种不同的
截法?
(第17题)
6.5 相似三角形的性质
69
6.5
相似三角形的性质
相似三角形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外,还具
有什么性质?
图6 29
如图6 29,我们已经知道,当D、E、F 分
别是△ABC 各边的中点时,△DEF∽△ABC,相
似比为1
2.这两个三角形的周长、面积分别有什
么关系?
UႯИ+
J!0κ,Ѩ!
U
,Ѩ!+
ႯИ+L/!0κ
我们可以用如下的方法证实小明、小丽的猜想:
如果△ABC ∽△A'B'C',相似比为k,那么AB
A'B'= BC
B'C'= CA
C'A'=k,
AB =kA'B',BC =kB'C',CA =kC'A'.
所以
AB+BC+CA
A'B'+B'C'+C'A'=kA'B'+kB'C'+kC'A'
A'B'+B'C'+C'A'
=k.
于是,我们得到如下定理:
相似三角形周长的比等于相似比.
类似地,我们还可以得到:
相似多边形周长的比等于相似比.
图6 30
如图6 30,△ABC ∽
△A'B'C',相似比为k,AD、
A'D' 分别是△ABC 和
△A'B'C'的高.
第6章
图形的相似
70
由∠B = ∠B',∠ADB = ∠A'D'B' = 90°,可得△ABD ∽
△A'B'D',AD
A'D'= AB
A'B'=k,AD =kA'D'.
因为BC =kB'C',
所以
△ABC 的面积
△A'B'C'的面积=
1
2BC·AD
1
2B'C'·A'D'
=
1
2kB'C'·kA'D'
1
2B'C'·A'D'
=k2.
于是,我们得到如下定理:
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形,我们还可以
得到:
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
例1 在比例尺为1∶500的地图上,测得三角形地块ABC 的周
长为12cm,面积为6cm2.求这个地块的实际周长和面积.
解: 如果把实际三角形地块记为△A'B'C',那么△ABC ∽
△A'B'C',且相似比k= 1
500.
于是
△ABC 的周长
△A'B'C'的周长= 1
500(相似三角形周长的比等于相似比),
△ABC 的面积
△A'B'C'的面积=
1
500
2
(相似三角形面积的比等于相似比的
平方)
.
∴△A'B'C'的周长=12×500=6000(cm)=60m,
△A'B'C'的面积=6×5002 =1500000(cm2)=150m2.
答: 这个地块的实际周长为60m,面积为150m2.
6.5 相似三角形的性质
71
(第3题)
1. 给形状相同且对应边的比为1∶2的两块多边形标牌的表
面涂漆. 如果小标牌用漆半听,那么大标牌需用漆多
少听?
2. 两个相似多边形面积的比为9∶16,其中较小的多边形的周
长为36cm.求另一个多边形的周长.
3. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,矩形
DEFG 的顶点G、F 分别在AC、BC 上,
DE 在AB 上.设AG=5,AD=4,求
△ADG 与△FEB 的面积的比.
在探索“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的过程中,我们
发现了“相似三角形对应高的比等于相似比”
. 类似地,相似三角形对
应中线、对应角平分线等对应线段的比是否也等于相似比呢?
如图6 31,如果△ABC ∽△A'B'C',相似比为k,AE、A'E'分
别是△ABC 和△A'B'C'的中线,那么AE
A'E'=k.
图6 31
如图6 32,如果△ABC ∽△A'B'C',相似比为k,AF、A'F'分
别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线,那么AF
A'F'=k.
图6 32
第6章
图形的相似
72
如图6 33,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,点G、G'分别
在BC、B'C'上,且BG
B'G'=k,那么AG
A'G'=k.
图6 33
于是,我们得到如下定理:
相似三角形对应线段的比等于相似比.
图6 34
例2 如图6 34,AF 是△ABC 的高,点
D、E 分别在AB、AC 上,且DE∥BC,DE 交
AF 于点G.设DE =6,BC=10,GF=5,求点A
到DE、BC 的距离.
解: 由DE ∥BC,∠AFB =90°,得
∠AGD =90°,即AG ⊥DE.
可知AG、AF 的长分别为点A 到DE、BC 的距离.
由DE ∥BC,得
∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C.
于是,△ADE ∽△ABC,AG
AF =DE
BC,即
AG
AG+5= 3
5.
计算,得AG =7.5,AF =AG+5=12.5,
即点A 到DE、BC 的距离分别为7.5、12.5.
6.5 相似三角形的性质
73
(第3题)
1. 如图,点D、E 分别在AC、AB 上,且∠ADE = ∠B,
F、G 分别是BC、DE 的中点. 设AD =3,AB =5,求
AG
AF的值.
A
E
B
F
C
D
G
(第1题)
(第2题)
2. 如图,在△ABC 和△A'B'C'中,AD、A'D'分别是△ABC、
△A'B'C'的角平分线,且AB = 2A'B',AC = 2A'C',
∠BAC = ∠B'A'C'.求:
(1)AD
A'D'的值;
(2)△ABC 与△A'B'C'的面积的比.
3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,
正方形DEFG 的顶点D、G 分
别在AB、AC 上,EF 在BC
上.设AB=5,BC=6,求正方
形DEFG 的边长.
６.５
1. 在比例尺为1∶5000的地图上,测得一个多边形地块的面积为
24cm2.求这个多边形地块的实际面积.
第6章
图形的相似
74
2. 如图,在△ABC 中,点D、E 分别在AB、AC 上,且DE ∥BC,
△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为1∶3.求AD
AB的值.
(第2题)
(第3题)
3. 如图,在▱ABCD中,E是BC上的3等分点,AE交BD于点F.求:
(1)BF
DF的值;
(2)△BEF 与△DAF 的周长的比、面积的比.
4. 如图,在△ABC 中,AD 是高,点E、F 分别在AB、AC 上,且
EF ∥BC,EF 交AD 于点G,EF
BC = 3
5.求:
(1)AG
AD的值;
(2)△AEF 与△ABC 的面积的比.
(第4题)
(第5题)
5. 如图,在△ABC 中,AD 是高,矩形PQMN 的顶点P、N 分别在
AB、AC 上,QM 在BC 上,AD 交PN 于点E. 设BC =48,
AD =16,PQ∶PN =5∶9,求矩形PQMN 的面积.
6.5 相似三角形的性质
75
6. 如图,在四边形ABCD 中,点E 在AD 上,且EC ∥AB,
EB ∥DC.
(1)△ABE 与△ECD 相似吗? 为什么?
(2)设△ABE 的边BE 上的高为h1,△ECD 的边CD 上的高为
h2,△ABE 的面积为3,△ECD 的面积为1,求h1
h2的值以及
△BCE 的面积.
A
B
E
C
D
(第6题)
第6章
图形的相似
76
6.6
图形的位似
图6 35
在玻璃片上画一个三角形,使玻
璃片与墙面平行,用点光源(如手电
筒光源)把三角形投影到墙面上(如
图6 35).你发现了什么?
保持玻璃片与墙面平行,将玻璃
片前后移动,你又能发现什么?
1. 在图6 36(1)中,连接OA、OB、OC,分别在线段OA、OB、
OC 的反向延长线上取点A'、B'、C',使OA'
OA =OB'
OB =OC'
OC =2;画
△A'B'C'.
(1)
(2)
图6 36
2. 在图6 36(2)中,连接OC、OD,分别在线段OA、OB、OC、
OD 上取点A'、B'、C'、D',使OA'
OA =OB'
OB =OC'
OC =OD'
OD =1
2;画四
边形A'B'C'D'.
6.6 图形的位似
77
如图6 37,两个多边形的顶点A 与A'、B 与B'、C 与C'……所
在的直线都经过同一点O,并且OA'
OA =OB'
OB =OC'
OC =……像这样的两个
多边形叫做位似多边形(homotheticpolygons),点O 叫做位似中心.
(1)
(2)
图6 37
1. 在图6 37(1)中,△ABC 与△A'B'C'是位似形,这两个三角
形相似吗? 它们的对应边有怎样的位置关系? 为什么?
2. 在图6 37(2)中,四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'是位似形,
这两个四边形相似吗? 它们的对应边有怎样的位置关系? 为什么?
两个位似多边形一定相似,并且它们的对应边互相平行(或在同一
条直线上).
利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小.
1. 在图6 38中,以点O 为位似中心,把△ABC 按相似比2∶1
放大(即所画图形与原图形的相似比为2∶1).
第6章
图形的相似
78
2. 在图6 39中,以点O 为位似中心,把四边形ABCD 按相似比
1∶2缩小.
图6 38
图6 39
8
8
10
B
A
图6 40
如图6 40,在平面直角坐
标系中,△OAB 的顶点坐标分别
为O(0,0)、A(5,4)、B(3,0),
分别将点A、B 的横坐标、纵坐
标都乘2,得相应的点A'、B'的
坐标.
(1)画△OA'B';
(2)△OA'B'与△OAB 是位
似形吗? 为什么?
在平面直角坐标系中,
(1)取横坐标、纵坐标都是整数的4个点,画出以这4个
点为顶点的四边形ABCD;
(2)以坐标原点为位似中心,把四边形ABCD 按相似比
2∶1放大,得四边形A'B'C'D';
(3)四边形A'B'C'D'的顶点坐标与四边形ABCD 的顶点坐
标有怎样的数量关系?
6.6 图形的位似
79
特殊—一般—特殊
我们知道,在△ABC 和△A'B'C'中,如果
(1)∠A = ∠A',AB
A'B'=k,∠B = ∠B',
(2)∠A = ∠A',AB
A'B'= AC
A'C'=k,
(3)AB
A'B'= BC
B'C'= CA
C'A'=k,
那么当k=1时,△ABC ≌△A'B'C';当k≠1时,△ABC ∽△A'B'C'.
可见,全等形是特殊的相似形.
位似形不仅相似,而且具有“对应边互相平行(或在同一条直线上),
对应顶点所在直线相交于一点”的特殊位置关系.可见,位似形是特殊的
相似形.
对全等形、相似形、位似形的研究,我们经历了“由特殊到一般,再
由一般到特殊”的认识过程.利用“特殊”与“一般”的关系,常常可以
探索、发现、证实结论.你能举例说明吗?
６.６
1. 根据下列要求画图:
(1)如图①,以AB 的中点O 为位似中心,把矩形ABCD 按相似
比1∶2缩小;
(2)如图②,以点B 为位似中心,把△ABC 按相似比2∶1放大.
①
②
(第1题)
第6章
图形的相似
80
2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为A(2,2)、
B(5,1)、C(4,3).以坐标原点为位似中心,在第一、三象限分别
画出与△ABC位似的三角形,使相似比为2∶1,并分别写出所画三
角形的顶点坐标.
2
2
(第2题)
6.7 用相似三角形解决问题
81
6.7
用相似三角形解决问题
光在传播的过程中,遇到不透明的物体,在这个物体后面光不能
到达的区域便产生影.
图6 41
如图6
41,
在太阳光的照射
下,树木、人都产
生了影. 通常,
我们把太阳光看成
平行光.在平行光
的照射下,物体所
产生的影称为平行
投影(parallelpro-
jection).
在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙三根木杆,在同一时
刻分别测量这三根木杆在阳光下的影长,并将有关数据填入下表:
木杆
木杆长度
杆影长度
木杆长度
杆影长度
甲
乙
丙
通过观察、测量,你发现了什么? 请与同学交流.
在平行光的照射下,在同一时刻,不同物体的物高与影长成比例.
第6章
图形的相似
82
1. 在图6 42中,甲木杆AB 在阳光下的影长为BC.试在图中画
出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长.
A
B
C
图6 42
2. 古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度.当这位学者确认
在阳光下他的影长等于他的身高时(如图6 43(1)),要求他的助手同
时测出金字塔的影长DB 以及金字塔底部正方形的边长,这样他就知
道了金字塔的高度.
˄˅
˄˅
图6 43
如图6 43(2),AC 是金字塔的高,DB 是金字塔的影长.如果
此时测得影长DB 为32m,金字塔底部正方形的边长为230m,你能
帮助这位学者计算这座金字塔的高度吗?
你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗?
1.在阳光下,身高为1.68m 的小强在地面上的影长为2m.
在同一时刻,测得旗杆在地面上的影长为18m.求旗杆的
高度(精确到0.1m).
2.在阳光下,高为6m的旗杆在地面上的影长为4m.在同一
时刻,测得附近一座建筑物的影长为36m.求这座建筑物
的高度.
6.7 用相似三角形解决问题
83
夜晚,当人在路灯下行走时,会看到一个有趣的现象:在灯光照
射范围内,离开路灯越远,影子就越长(如图6 44).
图6 44
通常,路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的.在
点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影(centralprojection).
一般地,在点光源的照射下,同一个物体在不同的位置,它的物
高与影长不成比例.
1. 三根旗杆的底部在同一条直线上,其中两根在同一灯光下的影
长如图6 45.请在图中画出光源的位置,并画出另一根旗杆在该灯
光下的影长(不写画法).
图6 45
2. 如图6 46,马路两侧有两根灯杆AB、CD.当小明站在点N
处时,在灯C 的照射下小明的影长正好为NB,在灯A 的照射下小明
的影长为NE.测得BD =24m,NB =6m,NE =2m,判断这两根灯
杆的高度是否相同,并说明理由.
图6 46
第6章
图形的相似
84
例 如图6 47,河对岸有一灯杆AB,在灯光下,小丽在点D 处
测得自己的影长DF =3m,沿BD 方向前进到点F 处测得自己的影长
FG =4m.设小丽的身高为1.6m,求灯杆AB 的高度.
图6 47
分析: 由△ABF∽△CDF,且CD、DF 是已知量,可以得到AB
与BF(BD)之间的一个关系式;由△ABG∽△EFG,且EF、FG 是已
知量,可以得到AB 与BG(BD)之间的又一个关系式.这样,根据这
两个关系式可以求得BD 和AB.
解: 在Rt△ABF和Rt△CDF中,
∠AFB = ∠CFD,
于是△ABF ∽△CDF.
所以AB
CD =BF
DF,即
AB
1.6=3+BD
3
.
①
类似的,△ABG ∽△EFG.
所以AB
EF =BG
FG,即
AB
1.6=7+BD
4 .
②
由①、②,得3+BD
3
=7+BD
4
,BD =9.
将BD=9代入①,得AB
1.6=3+9
3 ,AB =6.4.
答:灯杆AB 高6.4m.
(第1题)
1.如图,某学生身高AB =1.70m,
在灯光下,他从灯杆底部点D 处沿
直线前进4m到达点B时,测得他的
影长PB = 2m.求灯杆CD 的
高度.
6.7 用相似三角形解决问题
85
(第2题)
2. 如图,圆桌正上方的灯泡O(看作一个点)发
出的光线照射到桌面后,在地面上形成影.
设桌面的半径AC =0.8m,桌面与地面的距
离AB=1m,灯泡与桌面的距离OA=2m,
求地面上形成的影的面积.
６.７
1. 如图,A、B 两地分别在湖的两侧,点D、E 分别在AC、BC 上.
设CD =20m,CE =40m,AD =100m,BE =20m,DE =45m,
求AB.
A
B
E
D
C
(第1题)
(第2题)
2. 如图,零件的外径为16cm,用卡钳(AD =BC,且OA∶OD =
OB∶OC =3∶1)测得CD =5cm,求零件的壁厚x.
3. 小军想出了一个测量建筑物高度的方法:在地面上点C 处平放一
面镜子,并在镜子上做一个标记,然后向后退去,直至站在点D
处恰好看到建筑物AB 的顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重
合(如图).设小军的眼睛距地面1.65m,BC、CD 的长分别为
60m、3m,求这座建筑物的高度.
(第3题)
第6章
图形的相似
86
4. 如图,在阳光下,旗杆AB 在地面上的影长BC 为20m;在建筑物
墙面上的影长CD 为4m.同一时刻,测得直立于地面长1m 的木
杆的影长为0.8m.求旗杆AB 的高度.
(第4题)
(第5题)
5. 如图,竖立在点B 处的标杆AB 高2.5m,站立在点F 处的观察者
从点E 处看到标杆顶A、树顶C 在一条直线上.设BD =10m,
FB =3m,EF =1.7m,求树高CD(精确到0.1m).
6. 小明把手臂水平向前伸直,手持小尺保持竖直,瞄准小尺的两端
E、F,不断调整站立的位置,使在点D 处时恰好能看到铁塔的顶
部B 和底部A(如图).设小明的手臂长l=50cm,小尺长a =
20cm,点D 到铁塔底部的距离AD =40m,求铁塔的高度.
(第6题)
(第7题)
7. 如图是一个照相机成像的示意图.如果AB 为35mm,点O 到AB
的距离是70mm,那么拍摄5m 外的景物A'B'至少有多宽? 如果
点O 到AB 的距离是50mm呢?
6 数学活动
87
8. 如图,点G 与树AB、CD 的根部点A、点C 在一条直线上,小强
从点G 出发沿GC 方向前进到点H 时,恰好看不到树顶D.已知
小强的眼睛离地面1.6m,AB=6m,CD=9m,AC=6m,求
AH 的长.
G
H
(第8题)
图6 48
测量两地间的距离
要测量不能到达的两个目标A、B 间的距离, 一种测量方法如下:
(1) 选择两个观测点C、D, 测出它们之间的距离, 并按一定的比例
尺将它们画在纸上;
(2) 在点C 处测出∠ACD 和∠BCD 的度数, 在点D 处测出∠ADC
和∠BDC 的度数;
(3) 在纸上分别画出∠ACD、
∠BCD、∠ADC 和∠BDC, 从而确定点
A、B 在纸上的位置(如图6 48).
这样, 量出A、B 两点间的图上距离,
就可以根据比例尺求出A、B两地间的实际
距离.
若测得CD =600m,∠ACD =45°,∠BCD =75°,∠ADC =80°,
∠BDC =54°.用1∶3000的比例尺在纸上分别画出点C、D 和点A、
B, 则A、B 两地间的实际距离为多少?
试在校园内或郊外选择相距100m 左右的两个目标A、B(AB 的长
度可直接测量), 用上述方法测量出A、B 两地间的距离, 再直接量出
AB 的长, 加以检验.
第6章
图形的相似
88
1. 本章知识结构
2. 本章中, 我们从基本事实出发, 通过推理得到“平行于三角形一边的直
线与其他两边相交, 所截得的三角形与原三角形相似” 的结论, 并运用这个结
论探索三角形相似的条件, 进而研究相似三角形的性质.
3. 本章中, 我们通过操作、实践, 了解黄金分割及其在生产、生活中的
一些应用; 通过对具体实例的观察, 了解中心投影和平行投影.把一些实际
问题抽象成相似三角形问题, 然后用相似形的知识解决这些问题, 体现了数
学的价值.
4. 全等形是具有特殊数量关系的相似形, 位似形是具有特殊位置关系的相
似形.对全等形、相似形、位似形的研究, 我们经历了“由特殊到一般, 再由
一般到特殊” 的认识过程.利用“特殊” 与“一般” 的关系, 常常可以探索、
发现、证实结论.你能举例说明吗?
5. 我们已经学习了图形的平移、旋转、对称、位似等变化, 请举出一些应
用实例, 体会从图形运动变化的角度研究图形的方法.
复习巩固
(第2题)
1. 在A市建设规划图上,城区南北长为240cm,
A市城区南北的实际长为18km,试写出该规
划图的比例尺.
2.如图,在△ABC 中,点D、E、F分别在BC、AB、
AC 上,且EF ∥BC,FD ∥AB.设AE =3.6,
BE =2.4,CD =2.8,求BD 的长.
6
复习题
89
3. 满足下列条件的两个三角形是否相似? 为什么?
(1)△ABC 的两个角分别是60°、80°,△A'B'C'的两个角分别是
80°、40°;
(2)△ABC 的两边长分别为8cm、12cm,夹角为60°,△A'B'C'
的两边长分别为15cm、10cm,夹角为60°;
(3)△ABC 的三边长分别为4cm、6cm、8cm,△A'B'C'的三边长
分别为24cm、18cm、12cm.
4.要制作两个相似的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别
为4、6、8,另一个三角形框架的一边长为2.求另一个三角形框
架的其他两边的长.
5. 如图,要使△AFE ∽△ABC,需要添加什么条件?
(第5题)
(第6题)
6. 如图,在△ABC 中,点D、M 在AB 上,点E、N 分别在BC、AC
上,且DE ∥AC,MN ∥BC,DE 交MN 于点O.图中与△ABC 相
似的三角形有多少个? 把它们表示出来,并说明理由.
7. 如图,在△ABC 中,AB =6,AC =8,D 是AB 的中点.试在AC
上确定点E 的位置,使△ADE 与原三角形相似,并求AE 的长.
(第7题)
(第8题)
8. 如图,在矩形ABCD 中,AB∶BC =1∶2,点E 在AD 上,且ED =
3AE.判断△ABC 与△EAB 是否相似,并说明理由.
第6章
图形的相似
90
9. 如图,燃烧的蜡烛AB 经小孔O 在屏幕上成像A'B' .设AB=
30cm,小孔O 到AB、A'B'的距离分别为32cm、20cm,求像A'B'
的高度.
(第9题)
10. 如图,在四边形ABCD 和四边形A'B'C'D'中,∠A = ∠A',
AB
A'B'= BC
B'C'= CD
C'D'= DA
D'A'.判断△BCD 与△B'C'D'是否相似,
并说明理由.
(第10题)
11. 如图,△ABC 与△DEA 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=
∠D=90°,BC分别交AD、AE于点F、G.图中有哪几对相似三角
形? 把它们表示出来,并说明理由.
(第11题)
(第12题)
12. 如图,在△ABC 中,点E 在AB 上,AE∶EB=1∶2,EF∥BC,
交AC 于点F,AD∥BC,交CE 的延长线于点D.设△AEF 的面
积为3,求△CEF 和△CAD 的面积.
6
复习题
91
灵活运用
13. 如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,
且CF=3FD.图中有哪几对相似三角形? 把它们表示出来,并说
明理由.
(第13题)
(第14题)
14. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,3),点B 的坐标
为(3,0).
(1)把△AOB 沿x 轴向左平移1个单位长度得到△A1O1B1,写出
点A1、O1、B1 的坐标;
(2)把△AOB 绕原点旋转180°得到△A2OB2,写出点A2、B2
的坐标;
(3)把△AOB沿x 轴翻折得到△A3OB,写出点A3 的坐标;
(4)以点O 为位似中心,在第一象限内把△AOB 按相似比2∶1放
大,得到△A4OB4,写出点A4、B4 的坐标.
15. 如图,BD、CE 是△ABC 的高.△ADE 与△ABC 相似吗? 为
什么?
(第15题)
(第16题)
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,D是BC的中点,CE ⊥AD,垂
足为E.判断∠BED 与∠ABC 是否相等,并说明理由.
第6章
图形的相似
92
17. 一块直角三角形木板,它的一条直角边AC 长1.5 m,面积为
1.5m2.甲、乙两人分别按图①、图②用它设计一个正方形桌面.
请说明哪个正方形面积较大.
①
②
(第17题)
探索研究
18. 如图,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC 和△A'B'C',其中
∠C= ∠C'=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直
线分割这两个三角形,使△ABC 所分割成的两个黄色三角形与
△A'B'C'所分割成的两个蓝色三角形分别相似? 如果能,请设计
分割方案;如果不能,请说明理由.
①
②
(第18题)
19. 如图,AD 是△ABC 的中线,点E 在AC 上,BE 交AD 于点F.
某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论:
A
B
C
D
E
F
(第19题)
(1)当AF
AD = 1
2 时,AE
AC = 1
3;
(2)当AF
AD = 1
3 时,AE
AC = 1
5;
(3)当AF
AD = 1
4 时,AE
AC = 1
7;
猜想:当AF
AD =
1
n+1时,AE
AC =? 并说明理由.
6
复习题
93
(第20题)
20.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AB =5,
BC =3,点D 在AB 的延长线上,且BD =
3,过点D 作DE ⊥AD,交AC 的延长线于
点E,以DE 为直径的☉O 交AE 于点F.
(1)求☉O 的半径及圆心O 到弦EF 的
距离;
(2)设CD 交☉O 于点G,试说明G 是CD 的中点.
21. 如图,在△ABC 中,AB =4,D是AB 上的一点(不与点A、B重合),
DE ∥BC,交AC 于点E.设△ABC 的面积为S,△DEC 的面积为S'.
(第21题)
(1)当D 是AB 的中点时,求S'
S 的值;
(2)设AD =x,S'
S =y,求y与x 的函数表达
式,并写出自变量x的取值范围;
(3)根据y的取值范围,探索S'与S 之间的大
小关系,并说明理由.
A
F
E
B
C
D
β
α
tanβ=DF
AF
气球有多高,坝底有多宽……
锐角三角函数可以解决这样的问题.
本章将利用相似的直角三角形, 探索并认识锐角三角函数, 并利用锐角三
角函数解直角三角形, 以及解决一些简单的实际问题.
1. 测量学校旗杆的高度.
与同学合作, 利用卷尺测量出同一时刻你与旗杆在太阳光下的影长. 根据你的身高,
确定旗杆的高度.
2. 请你再设计一种借助测量工具(如卷尺、测角仪等)确定旗杆高度的方案.
第7章
锐角三角函数
96
7.1
正
切
某体育馆为了方便观众,设计了不同坡
度的台阶.
1. 在图7 1中,哪个台阶更陡?
图7 1
2. 在图7 2中,哪个台阶最陡? 你是如何判断的?
图7 2
3. 比较图7 3中的两个台阶,你有什么发现?
A
B1
C1
C2
C3
B2
B3
图7 4
图7 3
如图7 4,一般地,如果锐角A 的大小确
定,我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、
Rt△AB3C3……
7.1 正
切
97
那么有
Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2 ∽Rt△AB3C3 ∽……
根据相似三角形性质,得
B1C1
AC1 =B2C2
AC2 =B3C3
AC3 = ……
也就是说,如果直角三角形的一个锐角的大小确定,那么这个锐
角的对边与邻边的比值也确定.
A
C
B
图7 5
如图7 5,在Rt△ABC中,∠C=90°.
我们把∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做
∠A 的正切(tangent),记作tanA,即
tanA = ∠A 的对边
∠A 的邻边=a
b.
例1 如图7 6,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC =4,AB =5.求
tanA.
图7 6
解: 在Rt△ABC 中,
根据勾股定理,得
BC =
AB2-AC2 =
52-42 =3,
tanA =BC
AC = 3
4.
例2 如图7 7,在等边三角形ABC 中,CD⊥AB,垂足为D.
求tanA.
解: 由题意知,AD = 1
2AB = 1
2AC.
图7 7
在Rt△ADC 中,
根据勾股定理,得
CD =
AC2-AD2 =
22-12·AD = 3AD,
tanA =CD
AD = 3.
由例2知道,tan60°= 3.求tan30°的值.
第7章
锐角三角函数
98
1.求图中各直角三角形锐角的正切值.
①
②
(第1题)
2.求45°角的正切值.
如图7 8,当一个点从原点O 出发,沿着65°线移动到点P 时,
这个点沿水平方向前进了1个单位长度,沿垂直方向上升了约2.14个
单位长度.于是,可知tan65°的近似值为2.14.
用同样的方法,写出下表中各角正切的近似值.
2.14
图7 8
θ
tanθ
10°
20°
30°
45°
55°
65°
2.14
随着锐角θ的值增大,tanθ的值怎样变化?
7.1 正
切
99
例3 用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1)tan65°;
(2)tan22°18'.
解: (1)依次按键
,
显示结果为2.144506921,即tan65°≈2.14;
(2)依次按键
,
显示结果为0.4101298895,即tan22°18'≈0.41.
例4 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=40°,AC =10.求BC 的长
(精确到0.01).
解: 由题意知,tanA =BC
AC,
则BC =AC·tanA =10×tan40°,
用计算器计算,得BC≈8.39.
1. 用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1)tan38°;
(2)tan51.34°;
(3)tan12°6'.
2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=25°,AC =4.求BC 的长.
７.１
1. 求图中各直角三角形锐角的正切值.
A
B
C
1
3
①
C1
A1
B1
3
5
②
(第1题)
2.在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =4,tanA = 2
3.求AC 的长.
3.用计算器求下列各值(精确到0.01).
(1)tan15°;
(2)tan48°3'.
4.在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AC =34.求BC 的长.
第7章
锐角三角函数
100
7.2
正弦、余弦
如图7 9,小明沿着某坡道向上行走了13m,他的位置沿垂直方
向上升了5m.
13 m
20 m
5 m
图7 9
如果小明沿着该坡道行走了20m,那么他的位置沿垂直方向上升
了多少? 行走了am呢?
在上述情形中,小明的位置沿水平方向又分别前进了多少?
根据相似三角形的性质可知,当直角三角形的一个锐角的大小确
定时,它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定.
如图7 10,在Rt△ABC 中,∠C =90°.
A
C
B
图7 10
我们把∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做
∠A 的正弦(sine),记作sinA,即
sinA = ∠A 的对边
斜边
=a
c.
我们把∠A 的邻边b与斜边c的比叫做∠A 的余弦(cosine),记作
cosA,即
cosA = ∠A 的邻边
斜边
=b
c.
在Rt△ABC 中,a
c、b
c和a
b的值都随∠A 的大小变化而变化,都
随∠A 的大小确定而唯一确定.∠A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的
三角函数(trigonometricfunction).
7.2 正弦、余弦
101
例1 如图7 11,在等边三角形ABC 中,求cosB.
图7 11
解: 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D.
由题意知,BD = 1
2BC = 1
2AB.
在Rt△ABD 中,
cosB =BD
AB = 1
2.
由例1可知,cos60°= 1
2,求sin60°、sin30°、cos30°的值.
图7 12
如图7 12,当一个点从原
点O 出发,沿着15°线移动了1
个单位长度到点P 时,这个点在
垂直方向上升了约0.26个单位长
度,在水平方向前进了约0.97个
单位长度,于是,可知sin15°≈
0.26,cos15°≈0.97.
你能写出sin75°、cos75°的近
似值吗?
随着锐角θ的增大,sinθ与cosθ的值怎样变化?
例2 用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01):
(1)sin75°;
(2)cos75°;
(3)sin23°13'20″.
解: (1)依次按键
,
显示结果为0.9659258263,即sin75°≈0.97;
第7章
锐角三角函数
102
(2)依次按键
,
显示结果为0.2588190451,即cos75°≈0.26;
(3)依次按键
,
显示结果为0.3942983675,即sin23°13'20″≈0.39.
A
D
B
C
(第1题)
1. 如图,∠ACB =90°,CD ⊥AB,垂足为D.
(1)sinA = ( )
AC
=
BC
( );
(2)sinB =
CD
( )= ( )
AB
;
(3)cos∠ACD =
CD
( ),
cos∠BCD = ( )
BC
;
(4)tanA =
CD
( )= ( )
AC
,
tanB = ( )
BD
=
AC
( ).
2.求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值.
B
C
A
5
2
①
C1
B1
A1
6
4
②
(第2题)
3.用计算器求下列正弦值或余弦值(精确到0.01):
(1)sin36°; (2)cos36°;
(3)sin12.5°;
(4)cos12.5°.
A
B
C
图7 13
例3 如图7 13,在Rt△ABC 中,
∠C =90°,AC =12,BC =5.求sinA、
cosA、sinB、cosB 的值.
解: 在Rt△ABC 中,
7.2 正弦、余弦
103
根据勾股定理,得
AB =
AC2+BC2 =
122+52 =
169=13.
根据正弦、余弦的定义,得
sinA =BC
AB = 5
13,cosA =AC
AB =12
13,
sinB =AC
AB =12
13,cosB =BC
AB = 5
13.
例4 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A =15°,BC =6.求AB 的长
(精确到0.01).
解: 由题意知,sinA =BC
AB,
则AB = BC
sinA =
6
sin15°.
用计算器计算,得AB ≈23.18.
在Rt△ABC(∠C=90°)中,sinA 与cosB、cosA 与sinB 的值
有什么关系?
1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC =8,BC =6.求sinA、cosA、
sinB、cosB 的值.
2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=68°,AB =4.求BC、AC 的
长(精确到0.01).
７.２
1. 求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值.
A
C
B
1
3
①
E
D
F
3
4
②
(第1题)
第7章
锐角三角函数
104
2.用计算器求下列各角的正弦、余弦值(精确到0.01):
(1)15°; (2)72°;
(3)55°12';
(4)22.5°.
3.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC =BC.求:
(1)cosA;
(2)当AB=4时,求BC 的长.
4.在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =50°,AB =5.求BC、AC 的长.
5.在Rt△ABC 中,∠C =90°,cosA = 3
5.求sinA.
7.3 特殊角的三角函数
105
7.3
特殊角的三角函数
请说出30°、45°、60°角的各三角函数值,并说明理由.
30°、45°、60°角的三角函数值列表如下:
θ
三角函数值
sinθ
cosθ
tanθ
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
例1 求下列各式的值:
(1)2sin30°-cos45°;
(2)sin60°cos60°;
(3)tan30°+cos30°.
解: (1)2sin30°-cos45°=2×1
2- 2
2 =2- 2
2
;
(2)sin60°cos60°= 3
2 ×1
2 = 3
4;
(3)tan30°+cos30°= 3
3 + 3
2 =53
6 .
第7章
锐角三角函数
106
例2 求下列等式中的锐角α:
(1)2sinα- 2=0;
(2)3tanα-1=0.
解: (1)由已知,得sinα= 2
2,所以α=45°;
(2)由已知,得tanα= 3
3,所以α=30°.
1.求下列各式的值:
(1)tan45°-sin30°cos60°;
(2)cos45°
tan230°.
2.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB,垂足为D,
BC =2,BD = 3.分别求Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD
中的各锐角.
(第2题)
７.３
1.求下列各式的值:
(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°;
(2)cos30°sin45°+sin30°cos45°;
(3)
cos60°-1
sin30°-2tan45°.
2.求下列等式中的锐角θ:
(1)2cosθ=1;
(2)2sinθ- 2=0.
3.如图,AC 是△ABD 的高,BC =15,∠BAC =30°,∠DAC =45°.
求AD.
(第3题)
7.4 由三角函数值求锐角
107
7.4
由三角函数值求锐角
如图7 14,长13m的笔直滑梯AB 的高BC 为5m,你能知道该
滑梯与地面所成角A 的大小吗?
在Rt△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5.
A
C
B
图7 14
则
sinA = 5
13.
用计算器可以由一个锐角的三角函数值求得这个角的大小.
依次按键
,
显示结果为22.61986495,即∠A ≈22.62°.
例1 根据下列三角函数值,求锐角A(精确到0.01°):
(1)cosA = 1
4; (2)tanA =2.
解: (1)依次按键
,
显示结果为75.52248781,即∠A ≈75.52°;
(2)依次按键
,
显示结果为63.43494882,即∠A ≈63.43°.
图7 15
例2 在等腰三角形ABC 中,AB=AC=
4,BC =6.求∠B(精确到0.1°).
解: 如图7 15,过点A 作AD ⊥BC,垂
足为D.
第7章
锐角三角函数
108
在Rt△ABD 中,AB =4,BD = 1
2BC =3,
则cosB =BD
AB = 3
4.
用计算器计算,得∠B ≈41.4°.
1.根据下列三角函数值,求锐角A(精确到0.01°):
(1)sinA = 1
4;
(2)cosA =0.23;
(3)tanA =10.
2.如图,秋千的长OA 为3.5m,当秋千摆动到OA'位置时,
点A'相对于最低点A 升高了1 m .求∠AOA' (精确
到0.1°).
(第2题)
７.４
1.根据下列三角函数值,求锐角A(精确到0.01°):
(1)sinA =0.82;
(2)cosA = 3
7;
(3)tanA =20
3.
2.如图,AD 是△ABC 的高,CD =16,BD =12,∠C =35°.求∠B
(精确到1°).
A
C
B
D
(第2题)
7.5 解直角三角形
109
7.5
解直角三角形
如图7 16,在Rt△ABC 中,∠C=90°.∠A、∠B、a、b、c这
5个元素之间有怎样的数量关系?
图7 16
以上5个元素之间有以下的数量关系:
(1)三边之间的关系
a2+b2 =c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系
∠A+∠B =90°(直角三角形的两个锐角互余);
(3)边、角之间的关系
sinA =a
c,
cosA =b
c,
tanA =a
b.
直角三角形的2个锐角和3条边共5个元素中,需要知道哪几个
元素的值,你就能确定其余的未知元素的值.
由直角三角形的边、角中的已知元素,求出所有边、角中的未知
元素的过程,叫做解直角三角形.
第7章
锐角三角函数
110
例1 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,a=5.解这个直角三
角形.
解: 在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,
∴∠B =90°-∠A =90°-30°=60°.
∵sinA =a
c,
∴c=
a
sinA =
5
sin30°=10.
∵tanB =b
a,
∴b=a·tanB =5·tan60°=53.
例2 在Rt△ABC 中,∠C =90°,a=104,
b=20.49.
(1)求c的值(精确到0.01);
(2)求∠A、∠B 的大小(精确到0.01°).
解: (1)在Rt△ABC 中,
根据勾股定理,得
c= a2+b2 =
1042+20.492,
用计算器计算,得c≈106.00.
(2)由题意知,tanA =a
b = 104
20.49,
用计算器计算,得∠A ≈78.85°.
∴∠B =90°-78.85°=11.15°.
在Rt△ABC 中,∠C =90°,根据下列条件解直角三角形(边长
精确到0.1,角度精确到0.1°):
(1)a=9,
b=6;
(2)∠A =18°,
c=13.
图7 17
例3 如图7 17,在△ABC 中,
AC =8,∠B =45°,∠A =30°.求
AB.
分析: 因为△ABC 不是直角三
角形,因此要设法构造直角三角形.
7.5 解直角三角形
111
解: 过点C 作CD ⊥AB,垂足为D.
在Rt△ADC 中,
AD =AC·cos30°=8× 3
2 =43,
CD =AC·sin30°=8×1
2 =4.
在Rt△BCD 中,
∵∠B =45°,
∴BD =CD =4.
∴AB =AD +DB =43+4.
例4 如图7 18,☉O 的半径为10,求☉O 的内接正五边形
ABCDE的边长(精确到0.1).
图7 18
解: ∵五边形ABCDE 是正五边形,
∴∠AOB =360°
5 =72°.
过点O 作OH ⊥AB,垂足为H.
在Rt△AHO 中,
∵∠AHO =90°,∠AOH = 1
2∠AOB =36°,OA =10,
∴AH =OA·sin36°.
∴正五边形ABCDE的边长AB =2AH =2×10×sin36°≈11.8.
1.在▱ABCD 中,∠A =60°,AB =8,AD=6.求▱ABCD 的
面积.
2.求半径为12的圆的内接正八边形的边长(精确到0.1).
第7章
锐角三角函数
112
７.５
1.在Rt△ABC 中,∠C =90°,
b=23,
c=4.解这个直角三角形.
2.在Rt△ABC 中,∠C=90°.
(1)已知AB =4,∠B =25°,求BC、AC (精确到0.1);
(2)已知AB =5,BC =4.2,求∠A (精确到0.1°).
3. 求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积(精确到0.1).
4.如图,在菱形钢架ABCD 中,AB=2m,∠BAD=72°,焊接这个
钢架约需多长的钢材(精确到0.1m)?
A
B
C
D
(第4题)
7.6 用锐角三角函数解决问题
113
7.6
用锐角三角函数解决问题
锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系,在许多实际问
题中,我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出(或构造出)一个
直角三角形,利用锐角三角函数的相关知识解决问题.
问题1 如图7 19,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC 的
坡角α为30°,背水坡AD 的坡度i(即tanβ)为1∶1.2,坝顶DC=
2.5m,坝高4.5m.求:
(1)背水坡AD 的坡角β(精确到0.1°);
(2)坝底AB 的长(精确到0.1m).
A
D
C
B
F
E
图7 19
分析: 作梯形ABCD 的高CE、
DF.根据题意,在Rt△AFD 和
Rt△BEC中,可以分别求出AF 与
BE 的长,从而可求得坝底AB
的长.
解: 作CE ⊥AB,DF ⊥AB,垂足分别为E、F.
(1)背水坡AD 的坡度i=tanβ=1∶1.2= 5
6.
用计算器计算,得β≈39.8°.
(2)在Rt△BEC 中,
α=30°,∠BCE =90°-30°=60°,
EB =CE·tan∠BCE =4.5×tan60°.
在Rt△AFD 中,
∵DF
AF =1∶1.2,
∴AF =1.2DF =1.2×4.5=5.4.
又FE =DC =2.5,
∴AB =AF+FE+EB =5.4+2.5+4.5×tan60°≈15.7.
答:背水坡AD 的坡角β约为39.8°,坝底AB 的长约为15.7m.
第7章
锐角三角函数
114
在问题1中,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定
加固堤坝,要求坝顶DC 加宽0.5 m,背水坡AD 的坡度改为
1∶1.4.已知堤坝的总长度为5km,求该项工程所需的土方(精确
到0.1m3).
1.已知一段公路的坡度为1∶26,求沿着这条公路每前进
100m 所上升的高度(精确到0.1m).
2.在坡道两旁种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)为
6m,测得坡道的坡度为1∶3.5.求相邻两树间的坡道距离
(精确到0.1m).
问题2 游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.
小明从摩天轮的底部(与地面相距0.3m)出发开始观光,2min后小明
离地面多高?
图7 20
分析: 如图7 20,用☉O 表示摩天轮,小明从底部点A 出发,
经过2min后到达点B,由题意可求∠BOA 的大小.如果作BC⊥OA,
垂足为C,在Rt△OCB中,可以根据OB 及∠BOA 的大小求得OC,那
么就可知道此时小明离地面的高度.
解: 如图7 20,用☉O 表示摩天轮,A、B 分别表示小明的出发
点和2min后的到达点.由题意知,OB =20,∠BOA =360°÷6=60°.
作BC⊥OA,垂足为C.
在Rt△OCB 中,
7.6 用锐角三角函数解决问题
115
OC =OB·cos∠BOC =20×cos60°=20×1
2 =10,
AC =AO-CO =20-10=10.
因为摩天轮底部与地面相距0.3m,所以小明离地面的高度应为
10.3m.
答:2min后小明离地面10.3m.
1. 摩天轮转动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到15.3m?
2. 摩天轮转动1周,小明在离地面30.3m以上的空中有多长时间?
(第1题)
1.如图,钟摆的摆长AB 为90cm,当它摆动到
AB'的位置时,∠BAB' =11°,这时摆球B'相对
于最低点B 升高了多少(精确到1cm)?
2.已知跷跷板长为4m,当跷跷板的一端碰到地面
时,另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面
的夹角(精确到0.1°).
问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角(从低处观测高
处的目标时,视线与水平线所成的锐角)为27°,然后他沿正对气球
方向前进了50m,此时观测气球的仰角为40°.如果测角仪高度为
1m,那么气球的高度是多少? (精确到0.1m)
分析: 如图7 21,小明分别从点A、B 处观测气球C,CD 表示
气球与小明观测气球时的水平视线的距离,由题意可知∠CAD、
∠CBD 分别为27°和40°,AB=50m.要计算CD,可分别在Rt△ACD
及Rt△BCD中,寻求CD 与已知量的关系式,再计算CD.
40
50 m
x m
A
D
C
B
图7 21
解: 如图7 21,点A、B、C 分别表
示小明两次观测点及气球位置.由题意知,
∠CAD = 27°,∠CBD = 40°,CD ⊥AD,
AB =50m,设CD =xm.
在Rt△BDC 中,
由tan40°=CD
BD,得BD =
x
tan40°.
第7章
锐角三角函数
116
在Rt△ADC 中,
由tan27°=CD
AD,得AD =
x
tan27°.
∵AD -BD =50,
∴
x
tan27°-
x
tan40°=50.
∴x=50·tan27°·tan40°
tan40°-tan27° .
用计算器计算,得x≈64.9.
由于测角仪的高度为1m,因此气球的高度约为65.9m.
答:气球的高度约为65.9m.
大海中某小岛周围的10km范围内有暗礁.一海轮在该岛的南偏
西55°方向的某处,由西向东行驶了20km 后到达该岛的南偏西25°方
向的另一处.如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗?
(第2题)
1.飞机沿水平直线飞行时,观测正前方停泊在海面上某船
只的俯角(从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成
的锐角)为15°,面向船只方向继续飞行10km 后观测该
船只的俯角为52°.求飞机飞行的高度(精确到1m).
(第1题)
2.如图,长4 m 的楼梯AB 的倾斜角
∠ABD 为65°,为了改善楼梯的安全性
能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角
∠ACD 为40°.求调整后的楼梯AC 的
长(精确到0.1m).
7.6 用锐角三角函数解决问题
117
７.６
1.如图,一间屋子的横截面由等腰三角形ABE 与矩形BCDE 组成.
CD =8m,DE =5m,∠AEB =24°.求点A 相对于地面的高度(精
确到0.1m).
(第1题)
(第2题)
2.如图,小明从点A 出发,沿着坡角为10°的坡道向上走了120m到
达点B,再沿着坡角为15°的坡道向上走了160m 到达点C.小明
沿垂直方向升高了多少(精确到0.1m)?
(第3题)
3.如图,护林员在离树20m 的A 处观测树
顶的仰角为35°,已知护林员的眼睛离地
面1.6m.求树的高度(精确到0.1m).
4.飞机的飞行高度为1500m,此时从飞机上
看地面控制点的俯角为18°24'.求飞机到控
制点的距离(精确到1m).
5.一艘轮船在A 处观测灯塔S 在船的北偏东38°,轮船向正北航行
15km后到达B 处,这时灯塔S 恰好在船的正东方向.求灯塔S
到达B 处的距离(精确到0.1km).
6.如图,某塔TC 高为120m,在塔的东、西两侧的点A、B 观测塔
顶的仰角分别为15°、28°.求A、B 两点的距离(精确到0.1m).
(第6题)
第7章
锐角三角函数
118
三角学和它的应用
三角学发展的最初阶段与天文学有着密切的关系.如航海时需要根据
天体的位置来准确地确定船只航行的方向.我国古代的天文学很发达,很
早就积累了大量测量方面的知识.在公元前1世纪左右的数学著作《周髀
算经》里,已有关于平面测量术的记载.在我国古代编制历法的典籍中,
可以看到,由于节令不同,计算时所采用的表(就是竿子)的影长也不同.
这些不同的影长实际构成了一个余切函数表(一个锐角的余切与它的正切互
为倒数).现在我们所采用的三角函数名称正弦、余弦、正切等,也都是沿
袭了16世纪以来我国古算书上所采用的名称.
三角学的内容早在18世纪初就奠定了基础.采用近代形式的叙述,却
是在18世纪的后半叶.著名的数学家欧拉(1707~1783年)把三角函数看
作线段之比的新观点,使三角学在理论和实际应用方面大大前进了一步.
测量建筑物的高度
活动1 测量底部可以到达的某建筑物的高度.
(1) 准备测量工具.
根据测量底部可以到达的建筑物的高度的需要, 准备好测角仪和卷
尺(若观测点与被测物之间的水平距离较远可以考虑使用水准仪).
(2) 确定测量对象.
可以选取学校内的教学楼、办公楼等底部可以到达的建筑物.
(3) 设计测量的方法.
(4) 收集测得的数据, 并进行计算.
(5) 填写数学活动记录.
活动2 参照活动1的程序, 测量底部不能到达的某建筑物的高度.
7
小结与思考
119
1. 如图7 22, 在Rt△ABC 中, ∠C=90°, 其余5个元素之间有以下关系:
图7 22
(1) 三边之间的关系:a2+b2 =c2;
(2) 锐角之间的关系: ∠A+∠B =90°;
(3) 边、角之间的关系: sinA = a
c ,
cosA = b
c ,
tanA = a
b .
利用以上关系, 如果知道这5个元素中的2个(其中至少有1个是边), 那么
就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形的边、角中的已知元素, 求出
所有边、角中的未知元素的过程, 叫做解直角三角形.
2. 锐角三角函数在生活、生产中有着广泛的应用.如测量、航海、工程技
术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算, 可以转化为解直角三角形的问
题加以解决.
3. 锐角变化时, 它的三角函数值是如何变化的?
复习巩固
1. 在△ABC 中,∠C =90°.
(1)若∠A =45°,则BC∶AC∶AB = ;
(2)若∠A =30°,则BC∶AC∶AB = .
2.求下列各式的值:
(1)tan260°+4sin30°cos45°; (2) cos30°
1+sin30°+tan60°.
3.用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1)sin70°;
(2)cos24°12';
(3)tan65°.
4. 根据下列三角函数值,求锐角α(精确到0.01°):
(1)sinα=0.3657;
(2)cosα=0.9150;
(3)tanα=6.
5.在△ABC 中,∠C =90°.
(1)已知∠A =30°,BC =8cm,求AB 和AC 的长;
(2)已知∠A =60°,AC = 3cm,求AB 和BC 的长.
6. 已知等边三角形的边长为a,求它的面积.
第7章
锐角三角函数
120
7.如图,一座堤坝的横截面是梯形ABCD,根据图中给出的数据,求
坝高和坝底宽(精确到0.1m).
(第7题)
A
B
C
(第8题)
8.如图,工件上有一个V 形槽,测得它的上口宽为30 mm,深为
12mm.求∠ACB 的大小(精确到0.1°).
9.某商场的自动扶梯长为8m,它上升的高度为4.2m.求自动扶梯与
地面所成锐角的大小(精确到0.1°).
(第9题)
10.秋千吊绳的长度为3m.当秋千摆动时,吊绳向两边摆动的角度均为
30°.求秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差(精确到0.1m).
11.如图,在离楼房AB45m的C 处,利用测角仪观测该楼顶部的仰
角为32°.已知测角仪的高度为1.2m,求该楼房的高度(精确到
0.1m).
(第11题)
(第12题)
12.如图,在一笔直的海岸线上有A、B 两个观测站,A 在B 的正西方
向,AB=2km,从A 测得船C在北偏东56°的方向,从B 测得船C
在北偏西20°的方向.求船C离海岸线的距离(精确到0.1km).
7
复习题
121
灵活运用
13.已知∠A 为锐角,且cosA = 5
13.求sinA、tanA.
(第14题)
14.如图,平地上一幢建筑物AB
与铁塔CD 相距60m,在建
筑物的顶部分别观测铁塔底
部的俯角为30°、铁塔顶部的
仰角为45°.求铁塔的高度
(精确到1m).
15.证明:锐角三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积
的一半.
探索研究
16.把一根长5cm 的铁丝折成顶角为120°的等腰三角形,求此三角形
的各边长(精确到0.1cm).
17. 探索锐角α的三角函数值之间的关系.
运用统计、概率知识可以帮助
我们做出估计、推断、决策.
本章将应用统计、概率知识解决一些简单的实际问题.
调查你校九年级学生课外阅读情况:
(1) 制定一个调查方案.
(2) 对调查收集的数据进行整理、描述、分析, 获取相关信息, 提出合理的建议.
做抛掷一枚质地均匀的骰子的游戏: 两人一组, 游戏前, 每人各选一个数字; 每人
各掷一次, 如果骰子的点数之和与自己所选数字相同, 那么得1分, 先得10分者为
赢家.
(1) 如果要求两人在“5” 或“6” 中选一个数字, 你认为选“5” 或“6” 中的哪一
个数字获胜的概率较大? 为什么?
(2) 为使获胜的概率最大, 你认为应选什么数字? 说说你的理由.
第8章
统计和概率的简单应用
124
8.1
中学生的视力情况调查
通过调查中学生的视力情况,收集有关数据,并对数据进行整理、
描述、分析,可以提出保护视力的建议.
你认为可以怎样收集数据?
5名学生分别采用如下方式对本地区中学生的视力情况进行调查,
并计算视力不良率(视力低于5.0为视力不良):
学生A在眼镜店调查了50名中学生的视力,并根据调查结果(如
图8 1),算得这50名学生的视力不良率为96%,由此估计本地区中
学生的视力不良率超过95%.
图8 1
图8 2
学生B在邻居中调查了20名中学生的视力,并根据调查结果(如
图8 2),算得这20名学生的视力不良率为75%,由此估计本地区中
学生的视力不良率在75%左右.
学生C调查了所在学校每个年级10名学生的视力,并根据调查结
果(如图8 3),算得这60名学生的视力不良率约为56.7%,由此估
计本地区中学生的视力不良率接近60%.
学生D查阅了本地区每个中学医务室检查学生视力的资料,并计
算出本地区中学生的视力不良率为66.1%.
8.1 中学生的视力情况调查
125
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图8 3
学生E随机调查了本地区10%的中学生的视力,并通过对数据的整
理、描述、分析,做出本地区中学生的视力不良率约为66.2%的估计.
你对这5名学生的调查方式有何评价? 请与同学交流.
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在统计里,我们通常是从总体中抽取样本,并根据样本的某种特
性估计总体的相应特性.为了使估计、推断更加准确,抽样时要注意
样本的代表性.
要从某校九年级800名学生中抽查50名学生的视力,怎样抽取才
能使样本具有代表性?
我们可以将这800名学生依次编号(号码从1、2、…、800),并
将号码写在形状、大小、质地都相同的号签上,放入一个盒子中.抽
签时,每次先将号签搅匀再从中随机抽取一个号签(抽出的号签不放
回),号签的号码所对应的个体就入选,连续抽取50次,便得到一个
容量为50的样本.
一般地,从个体总数为N 的总体中抽取容量为n 的样本(n <
N),且每次抽取样本时,总体中的每个个体被抽到的可能性相同,
这种抽样方法叫做简单随机抽样(simplerandomsampling).
第8章
统计和概率的简单应用
126
1.判断下列抽样调查选取样本的方法是否合适,并说明理由:
(1)为了解某地区老年人的健康状况,在该地区医院里调查
了100名老年病人1年内生病的次数;
(2)某方便面厂家为了解产品质量情况,在其生产线上每
100包随机抽取1包进行检查;
(3)为了解某城市的空气污染情况,调查了该城市某个月的
空气污染情况.
2.某班50名学生的身高如下(单位:cm):
150,148,159,156,157,163,156,164,156,159,
169,163,170,162,163,164,155,162,153,155,
177,165,160,161,166,159,161,157,155,167,
162,165,159,147,163,172,156,165,157,164,
152,156,153,164,165,162,167,151,175,162.
(1)计算这50名学生身高的平均数和方差;
(2)用简单随机抽样的方法,抽取样本容量为20的两个样
本,并分别计算这两个样本的平均数和方差,所得的结
果一致吗? 与总体的平均数和方差一致吗?
为了解某市七~九年级学生的视力情况,计划采用抽样调查的方
法,从该市2万名七~九年级学生中抽查300名学生的视力,并进行整
理分析.考虑到七~九年级学生的视力有较明显的差异,我们采用简单
随机抽样的方法从每个年级中各抽查100名学生的视力,整理如下:
七~九年级各100名学生的视力统计表
视力
频数
七年级
八年级
九年级
视力
频数
七年级
八年级
九年级
4.0
0
0
0
4.7
4
5
7
4.1
0
0
1
4.8
8
15
12
4.2
0
0
2
4.9
16
8
14
4.3
0
0
1
5.0
25
28
24
4.4
0
3
6
5.1
30
21
15
4.5
0
6
5
5.2
9
6
5
4.6
4
5
6
5.3
4
3
2
8.1 中学生的视力情况调查
127
七~九年级各100名学生的视力频数分布表
视力
七年级
八年级
九年级
频数
频率
频数
频率
频数
频率
3.95~4.15
0
0
0
0
1
0.01
4.15~4.35
0
0
0
0
3
0.03
4.35~4.55
0
0
9
0.09
11
0.11
4.55~4.75
8
0.08
10
0.10
13
0.13
4.75~4.95
24
0.24
23
0.23
26
0.26
4.95~5.15
55
0.55
49
0.49
39
0.39
5.15~5.35
13
0.13
9
0.09
7
0.07
七年级100名学生的视力频数分布直方图
八年级100名学生的视力频数分布直方图
九年级100名学生的视力频数分布直方图
1. 从上面的视力统计表、视力频数分布表和视力频数分布直方图
中,你能获得哪些信息?
第8章
统计和概率的简单应用
128
ᝬ៩ᴑ+
ᝬ៩ᴑ+
2. 根据获得的信息,你对该市七~九年级学生的视力情况做怎样
的分析、推断?
1. 某市环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30
天的空气质量,结果如下:
空气质量指数(W)
40
60
90
110
120
天数(
t)
11
15
2
1
1
其中,W ≤50时,空气质量为优;50<W ≤100时,空气质量
为良;100<W ≤150时,空气质量为轻微污染.请估计该城
市这一年(365天)中有多少天空气质量达到良以上.
2. 某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法,对本校九年级
学生周末家庭劳动时间(单位:min)进行了抽样调查,并
把所得数据整理后绘制成频数分布直方图:
(第2题)
根据提供的信息回答问题:
(1)该研究性学习小组抽取的样本容量是多少?
(2)在所抽查的学生中,周末家庭劳动时间超过120min的频
率是多少?
(3)调查所得数据的中位数落在什么范围内?
(4)你对该校九年级学生周末家庭劳动时间做怎样的分析、
推断?
8.1 中学生的视力情况调查
129
８.１
1.一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体.用简单随机抽
样的方法从中抽取1个容量为2的样本,这样的样本共有多少个?
写出所有可能的样本.
2. 在一次中学生知识竞赛中,主办方共拟定了20道文学题、15道历
史题、15道地理题,并规定每名参赛选手要选答10道题,其中文
学题4道、历史题3道、地理题3道.你认为应如何用简单随机
抽样的方法确定这10道题?
3.为检验某种产品的质量,质检员每天需要按时段抽检生产线上的
该种产品30次,若以10min为一“段”,把0~24h分为144个
时间段,试用简单随机抽样的方法确定这30个时间段(同一个时
间段不能被重复抽取).
4. 某校为了解九年级480名学生对网络安全知识的掌握情况,组织
了一次检测,并采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的
检测成绩进行分析,绘制成下表(72分及以上为“及格”,96分及
以上为“优秀”):
九年级学生网络安全知识检测抽样统计表
样本
容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
极 差
方 差
87.5
120
29
334.9
分数段统计
分数段0~35.5 35.5~47.5 47.5~59.5 59.5~71.5 71.5~83.5 83.5~95.5 95.5~107.5107.5~119.5120
频数
1
3
9
10
6
1
频率
0.04
0.08
0.28
0.12
(1)填写表中的空格;
(2)估计这480名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内;
(3)从两个不同角度对本次检测的总体情况做出评价.
第8章
统计和概率的简单应用
130
8.2
货比三家
小明家准备购买一台冰箱,下面是小明父母、小明分别收集的A、
B、C三种品牌冰箱销售的有关数据:
小明父母收集厂家提供的A、B、C三种品牌冰箱销售的有关数据
及统计图如下:
小明通过互联网收集A、B、C三种品牌冰箱销售的有关数据,并
列出统计表、绘制出折线统计图如下:
8.2 货比三家
131
A、B、C三种品牌冰箱月平均销售量统计表(单位:万台)
年份
A品牌
B品牌
C品牌
2016
15.20
88.42
51.50
2017
27.70
82.50
56.25
2018
42.20
76.82
60.10
2019
52.48
64.15
68.25
2020
62.28
55.10
72.02
2021
73.12
52.62
75.20
A、B、C三种品牌冰箱月平均销售量折线统计图
你如何评价这些信息? 你建议小明家购买哪种品牌的冰箱? 说说
你的想法.
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媒体提供的数据很多,从中能够获得许多有用的信息,但有些信
第8章
统计和概率的简单应用
132
息不一定客观、全面.因此,我们在做出决策时要全面综合考虑各种
因素,“货比三家”.
1.下面是5名学生身高的2幅统计图,对此你有何评价?
غ/m
༰ A
༰ B
༰ C ༰ D
༰ E
1.80
غ/m
༰ A
༰ B
༰ C ༰ D
༰ E
2.有一则广告称: “有70%的人使用本公司的产品.”对这则
广告你有什么想法?
3.某商场统计了A、B两种品牌电视机7个月的销售情况,并
将获得的数据绘制成折线统计图.
(第3题)
(1)分别求这7个月A、B两种品牌电视机月销售量的平均
数、中位数和方差;
(2)你对这两种品牌电视机的销售情况做怎样的分析、
推断?
8.2 货比三家
133
８.２
1.甲、乙两家公司2016~2020年的利润统计图如下:
你认为哪家公司的利润增长较快? 为什么?
2.某种产品质量检验的结果如下:
厂家
甲厂
乙厂
被检数
60
6
不合格数
13
1
有人由此认为“乙厂该产品的不合格率较低,更让人放心”.你同
意这种说法吗? 为什么?
3.某商场对A、B、C三种品牌洗衣机的销售情况进行了调查,并抽
取三种品牌洗衣机各220名用户进行了满意度调查,获得的信息
整理如下:
A、B、C三种品牌洗衣机
市场占有率扇形统计图
用户对A、B、C三种品牌洗衣机
的满意情况统计表
内容
质量
价格
广告
品牌
A
B
C
A
B
C
A
B
C
满意户数195120118 95 93 94 145150 95
根据提供的信息,回答问题:
(1)哪种品牌洗衣机的市场占有率最高? 它的主要竞争优势是
什么?
(2)广告对用户选择洗衣机品牌有影响吗? 说说你的理由.
第8章
统计和概率的简单应用
134
8.3
统计分析帮你做预测
我国2011~2020年国内生产总值(GDP)如下:
2011~2020年中国GDP统计表
年份
2011
2012
2013
2014
2015
GDP/亿元
487940.2 538580.0 592963.2 643563.1 688858.2
年份
2016
2017
2018
2019
2020
GDP/亿元
746395.1 832035.9 919281.1 986515.2 1015986.2
数据来源:《中国统计年鉴—2021》
从表中,你能获得哪些信息?
为了解2011~2020年我国GDP随年份变化而变化的大致发展趋
势,我们建立以年份为横坐标、GDP为纵坐标的平面直角坐标系,
并根据统计表中的数值画出对应的点(如图8 4).
图8 4
图8 5
从图8 4可以看出,这些点大致分布在一条直线附近.
如果在这些点中恰当地选择两个点,过这两点作一条直线,并尽
量使其他的点都在这条直线附近(例如,图8 5中的直线AB),那么
我们就可以用这样的直线近似地表示我国2011~2020年GDP不断增
长的变化趋势.
8.3 统计分析帮你做预测
135
设直线AB 上点的坐标满足函数表达式y =kx+b.
由直线AB 过点(2011,487940.2)、(2020,1015986.2),
可得方程组
2011k+b=487940.2,
2020k+b=1015986.2.
解得k≈58671.8,b≈-117501049.6.
于是,2011~2020年我国GDP与年份之间的关系可以近似地用
函数表达式y=58671.8x-117501049.6表示.若按照我国2011~
2020年GDP这样的增长趋势,则可以由这个表达式估计2020年以后
我国的GDP.
还可以选用其他的直线来近似地表示我国2011~2020年GDP不
断增长的变化趋势吗?
在日常生活中,类似这样的例子还很多.例如,学生的身高和体
重之间,同一种树的树叶长与宽之间等,都存在着某种关系.你不妨
做一些调查,探索相应的两个量之间的关系.
随机调查了某校10名九年级男生的身高和体重,整理如下:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
体重/kg
49
43
65
46
62
56
60
52
48
69
身高/cm
170 165 177 167 176 172 175 171 168 183
(1)以体重为横坐标,身高为纵坐标,在平面直角坐标系中画
出对应的点,并选用一条适当的直线近似表示这10名男生
身高与体重之间的变化趋势;
(2)求这10名男生身高与体重之间关系的近似表达式,并由这个
表达式估计该校身高180cm的九年级男生的体重情况.
第8章
统计和概率的简单应用
136
８.３
我国2011~2020年高速铁路的营业里程数据如下:
年份
2011
2012
2013
2014
2015
营业里程/km
6601
9356
11028
16456
19838
年份
2016
2017
2018
2019
2020
营业里程/km
22980
25164
29904
35388
37929
数据来源:《中国统计年鉴—2021》
(1)以年份为横坐标,营业里程为纵坐标,在平面直角坐标系中画出
对应的点,并选用一条适当的直线近似表示我国2011~2020年
高速铁路的营业里程与年份之间的变化趋势;
(2)求我国2011~2020年高速铁路的营业里程与年份之间关系的近
似表达式,并由这个表达式估计2023年我国高速铁路的营业
里程.
8.4 抽签方法合理吗
137
8.4
抽签方法合理吗
生活中,我们有时会用抽签的方法来决定某件事情.
例如,用抽签的方法从3名学生中选1名出席某场音乐会,我们
可以先准备3张相同的纸条,并在其中1张纸条上画上记号,再把它们
放在一个盒子中搅匀,然后让这3名学生先后从中各抽取1张纸条(抽出
的纸条不放回),抽到纸条上画有记号的学生将出席这场音乐会.
抽签有先有后,先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗?
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˖ኣ
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ʶ̎
Ḟ
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ԺᑞՈ̆
下面,我们运用概率知识解决这个问题.
假设甲、乙、丙3名学生抽签的顺序依次为:甲第一,乙第二,
丙第三;3张纸条中,画有记号的纸条记作A,其余2张纸条分别记
作B1 和B2.
用树状图列出所有可能出现的结果:
图8 6
第8章
统计和概率的简单应用
138
从图8 6可以看出,甲、乙、丙依次抽签,一共有6种可能出现
的结果,并且它们是等可能的.其中,
AB1B2 和AB2B1 这两种结果为甲中签,P(甲中签)= 1
3;
B1AB2 和B2AB1 这两种结果为乙中签,P(乙中签)= 1
3;
B1B2A 和B2B1A 这两种结果为丙中签,P(丙中签)= 1
3.
由此可知,抽签虽然有先有后,但是先抽的人与后抽的人中签的
概率是相同的,这样的抽签方法是合理的.
1. 有A、B、C、D4部不同的电影,甲、乙2人分别从中任意
选择1部观看.求甲、乙2人选择同1部电影的概率.
2. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球,这些球除颜
色外都相同.
(1)将球搅匀,从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅
匀,再从中任意摸出1 个球,求2 次都摸到红球的
概率;
(2)将球搅匀,从中任意摸出2个球(相当于第1次摸出的
球不放回,第2次再从余下的球中任意摸出1个球),
求摸到2个红球的概率.
８.４
1. 用抽签的方法从3名学生中选出2名参加环保活动.这种方法公
平吗? 请说明理由.
2. 一只不透明的袋子中装有2个白球和2个红球,这些球除颜色外都
相同,搅匀后甲、乙、丙3人依次按顺序从中任意摸出1个球(摸
出的球不放回).甲、乙、丙3 人摸到白球的概率相同吗? 为
什么?
8.5 概率帮你做估计
139
8.5
概率帮你做估计
一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球,这些球除颜色外都相
同.做摸球试验:
(1)两人一组,一人从袋中任意摸出1个球,另一人记下颜色后将
球放回并搅匀,各组连续做20次这样的试验;
(2)汇总全班各组数据,并填表:
球的颜色
白色
红色
频数
频率
根据试验的结果,你能估计袋子中白球数与红球数的比吗?
假设全班一共做了400次这样的摸球试验,摸到白球的频数为40,
且已知袋中有白球5个,你能估计袋中红球的个数吗?
由400次摸球试验中摸到白球的频数为40,可知摸到白球的频率
为0.1.当试验次数很大时,用频率作为概率的估计值,可以估计摸
到白球的概率为0.1.
设袋中有红球x个,则袋中共有球(x+5)个,从袋中任意摸出1
个球是白球的概率为P (摸到白球)=
5
x+5.
由
5
x+5=0.1,得x=45.
这样,我们可以估计袋中有红球45个.
鱼塘内养了若干条青鱼,怎样估计鱼塘内青鱼的条数呢? 这个问
题与“数学实验室”中的摸球游戏有怎样的联系?
第8章
统计和概率的简单应用
140
我们可以先从鱼塘内捞一些青鱼,并给每条青鱼做上记号,再将
这些带有记号的青鱼投放回鱼塘,然后进行多次捕捞(每次捕捞后都放
回,稍后再次捕捞),记录捕到的青鱼、带有记号的青鱼的频数.计
算捕到带有记号的青鱼的频率并把它作为捕到带有记号的青鱼的概率
的估计值,这样,我们就可以估算出鱼塘内青鱼的条数.例如:
设鱼塘内有青鱼N 条,先从鱼塘内捕捞60条青鱼做上记号,然
后放回鱼塘,由多次捕捞、记数(每次捕捞后都放回,稍后再次捕捞),
算得捕到带有记号的青鱼的频率为1
24,并把它作为捕到带有记号的青
鱼的概率的估计值,由P(捕到带有记号的青鱼)=60
N = 1
24,得N =
1440.这样,我们可以估计该鱼塘内共有青鱼1440条.
在科学研究中,生物学家常常用上述方法估计某个种群的数量.
例如,某地区野鹿的只数,某山区某种鸟的数量,等等.
1.一只不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球360个,这些
球除颜色外都相同.小明每次从中任意摸出1个球,记下颜
色后将球放回并搅匀,通过多次重复试验,算得摸到红球、
黄球和蓝球的频率分别是25%、35%和40%.试估计这只
袋子中3种颜色的球的数目.
2.为估计鱼塘中鱼的数量,先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记,
然后放回鱼塘.经过一段时间,待有标记的鱼完全混合于鱼
群后,再从中多次捕捞,并算得平均每200条鱼中带有标记
的鱼有5条.试估计该鱼塘中鱼的数量.
8.5 概率帮你做估计
141
估计圆周率π的值
圆周率π是无理数,它的值为3.141592653589793238462643383….
圆周率π在数学和其他学科中有着重要作用,从古到今世界各国数学家都
曾孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.下面我们通过试验,应用统计与概
率知识来估计它的值.
在桌面上放一张画有30cm×30cm 的正方
形及其内切圆的白纸(如图),随机地将一把大米
撒到白纸上,计算落在圆内的米粒数m、落在正
方形内的米粒数n 和相应的频率m
n .每人做3
次,汇总全班结果.
在“等可能条件下的概率”一章中,我们通过“阅读”知道:设试验结
果落在某区域S中每一点的机会均等,如果把“试验结果落在S中的一个小
区域M 中”记为事件A,那么P(A)=M 的面积
S的面积.于是, “米粒落在圆内”
这个事件(记为事件A)发生的概率P(A)=π×152
30×30=π
4.
我们还知道,当试验次数很大时,事件发生的频率可以作为这个事件发
生的概率的估计值.这样,我们可以用m
n 来估计π
4,从而求得圆周率π的估
计值.
同学们不妨自己做一做这样的试验.
８.５
1.某种绿豆在相同条件下的发芽试验结果如下:
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
发芽的频率m
n
1
0.8 0.9 0.88 0.92 0.926 0.928 0.931
一般地,在相同条件下,5000粒该种绿豆大约有多少粒不能
发芽?
第8章
统计和概率的简单应用
142
2. 生物学家估计某一地区的野鹿只数时,常采用“捉放捉”的方法,
即先捕捉野鹿n只,分别给它们做上记号,然后放归;一段时间
后,重新捕捉一些野鹿作为样本.如果多次这样捕捉到的野鹿中
平均每m 只有a 只带有记号,试估计该地区野鹿的只数(用含m、
n、a的代数式表示).
3.一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球,这些球除颜色外都
相同.某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1
个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据
如下:
摸球的次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率m
n
(1)填写表中的空格;
(2)当摸球次数很大时,摸到白球的概率的估计值是多少?
(3)若已知袋中有白球24个,试估计袋中红球的个数.
8.6 收取多少保险费才合理
143
8.6
收取多少保险费才合理
奖券中奖的概率为0.01.虽然我们不能断定,在100张奖券中必
有1张中奖,但是我们可以说,当购买的奖券数很大时,在100张一
组的奖券中,平均会有100×0.01张,即1张中奖.
类似地,一名篮球运动员罚球命中的概率是0.8,我们可以说,当
罚球次数很大时,在10次一组的罚球中,该运动员平均会有10×0.8
次,即8次投中.
……
一般地,如果随机事件A 发生的概率是P(A),那么在相同条件
下重复n次试验,事件A 发生的次数的平均值为n×P(A).
假设某航班平均每次约有100 名乘客,飞机失事的概率
p=0.00005.一家保险公司要为乘客保险,承诺飞机一旦失事,将向
每名乘客赔偿人民币40万元.平均来说,保险公司应该如何收取保
险费呢?
设该保险公司向每名乘客收取保险费x元,则在n次飞行中共收
取保险费100nx元.
由在n次飞行中,飞机平均失事np次,平均赔偿400000×100×
np元,保险公司必须保证收入不小于支出,可得
100nx ≥40000000np,
即
100nx ≥40000000×n×0.00005.
100nx ≥2000n.
x≥20.
所以该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于20元.
在实践中,飞机失事的概率现已远远低于0.00005,保险公司向
每名乘客收取20元保险费,平均来说,对保险公司是非常有利的.
要想更加准确地讨论保险业中遇到的类似问题,还需要更进一步
学习概率知识.由此不难看出,概率论也是保险业健康发展的重要理
论基础.
第8章
统计和概率的简单应用
144
1.某奖券的中奖率是1%,买100张奖券,一定会中奖吗?
2.一批电子产品的抽样合格率为75%,当购买该电子产品足够多
时,平均来说,购买多少个这样的电子产品,可能会出现1个
次品?
3. 如果事件A 发生的概率是5
100,那么下列推断,哪几个是正
确的?
(1)做100次这种试验,事件A 必发生5次;
(2)大量重复做这种试验,事件A 平均每100次发生5次;
(3)做100次这种试验,事件A 不可能发生6次.
８.６
1.某车间生产的零件不合格的概率为1
1000.如果每天从他们生产的
零件中任取10个做检验,那么在大量重复检验中,平均来说,多
少天会查到1个次品?
2.某商场为吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:
每购买100元商品可以获得一次转动转盘的机会;如果转盘停止
转动时,指针正好落在红、绿、黄区域,那么顾客可以分别获得
80元、30元、10元购物券,否则不获奖;如果不愿转转盘,那么
可以直接获得10元购物券.设转盘停止转动时,指针正好落在
红、绿、黄区域的概率依次为0.1、0.15、0.25.
(1)当转盘转动次数很大时,平均来说,每转动转盘1次所获购物
券的金额是多少?
(2)小明在家也做了一个同样的试验,转动转盘10次后共得购物
券90元.据此,小明认为,还是直接领取10元购物券合算.
你同意他的说法吗?
3. 某航空公司的保险合同上有这样一个条款:飞机一旦失事,将向
每名乘客赔偿人民币50万元,但保险公司需向每名乘客收取保险
费20元.如果该航空公司航班平均每次约有120名乘客,那么平
均来说,当飞机失事的概率不超过多少时,才能保证保险公司的
收入不小于支出?
8.6 收取多少保险费才合理
145
概率帮你解释实验数据
由第一代开白花的纯种豌豆和开红花的纯种豌豆彼此授粉,杂交所得
到的种子进行培育便得到开粉红花的第二代杂种豌豆;再由第二代杂种豌
豆彼此授粉,杂交所得到的种子进行培育便得到第三代豌豆.在这第三代
豌豆中,有开白花的,也有开粉红花、红花的.
据史料记载,在种植的564株第三代豌豆中,开白花的有141株,开
粉红花的有291株,开红花的有132株.人们不难看出,实验所得出的3
个数字之比近似等于1∶2∶1.怎样解释这一现象呢?
假设第一代开白花的纯种豌豆的基因是WW,第一代开红花的纯种豌
豆的基因是RR,则第二代杂种豌豆的基因是WR.
再由第二代杂种豌豆彼此授粉会出现如下可能的结果:
W
R
W
WW (白)
WR (粉红)
R
RW (粉红)
RR (红)
这4种结果是等可能的.
因此,P(开白花)= 1
4,P(开粉红花)= 2
4,P(开红花)= 1
4.
所以在第三代豌豆中,开白花的株数∶开粉红花的株数∶开红花的株数=
1
4∶2
4∶1
4 =1∶2∶1.
上面的解释其实就是奥地利遗传学家孟德尔(JohannGregorMendel,
1822~1884年)于1865年发表的论文的基本想法.
想一想,生活中还有类似的现象吗? 你能解释这些现象吗?
第8章
统计和概率的简单应用
146
香烟浸出液对种子发芽的影响
吸烟有害人类健康, 香烟对植物的生长是否也有害呢? 下面我们做
一个“香烟浸出液对种子发芽影响” 的实验.
实验材料: 绿豆若干, 清水若干, 香烟浸出液A (2支香烟浸于
200mL清水中), 香烟浸出液B (3支香烟浸于200mL清水中), 香烟浸
出液C(4支香烟浸于200mL清水中).
每位学生将绿豆四份(每份50粒)分别浸于清水、香烟浸出液A、香
烟浸出液B、香烟浸出液C中, 并填表:
溶液
发芽数目
第一天
第二天
清水
香烟浸出液A
香烟浸出液B
香烟浸出液C
(1) 汇总全组实验数据, 分别计算第一天和第二天各种不同溶液中
种子发芽数的平均数和方差;
(2) 汇总全班实验数据, 分别计算第一天和第二天各种不同溶液中
种子发芽数的平均数和方差;
(3) 香烟浸出液浓度对绿豆发芽率有什么影响? 如果再重复这个实
验, 实验数据是否一致?
(4) 选取其他种子(如黄豆) 再做一次类似实验;
(5) 香烟浸出液浓度对种子发芽率有什么影响? 怎样解释这种现象?
1. 数据是蕴涵信息的.收集、整理、描述、分析数据有助于我们从数据中
获取信息, 帮助我们做出估计、推断、决策, 解决日常生活中的一些问题.你
能举例说明吗?
2.在统计里, 我们通常是从总体中抽取样本, 并对样本数据进行整理、描
述、分析, 目的是获得样本的某种特性, 从而根据样本特性去估计总体的相应
特性.
从局部推断整体是统计学的一个基本思想.一方面, 因为局部是整体的一
部分, 所以局部的特性在某种程度上能反映整体的相应特性; 另一方面, 局部
8
复习题
147
的特性又不能精确无误地反映整体的相应特性, 因此通过抽样(局部) 对总体
(整体) 做出估计、推断, 要注意样本的容量及其代表性.
“简单随机抽样” 是最常用的一种抽样方法, 其特点是抽取样本时总体中的
每个个体被抽到的可能性相同.你能结合具体实例说说如何运用“简单随机抽
样” 的方法从总体中抽取样本吗?
3.概率就在我们周围, 概率可以帮助我们解决一些实际问题.
抽签有先有后, 对各人公平吗? 中奖率为1
1000的彩票, 买1000张一定中奖
吗……通过“统计和概率的简单应用” 的学习, 我们澄清了日常生活中的一些错
误认识.
你还能再举出这样的例子吗?
4.概率可以帮助我们解释现象、做出估计和决策.
(1) 你能利用概率知识解释“为什么篮球不容易连投连中” 吗?
(2) 你能设计一个方案估计某山区某种鸟的数量吗?
复习巩固
1.某牙膏厂的广告称: “据调查统计,使用本厂牙膏可以使蛀牙率减
少30%.”你怎样看待这则广告?
2.如果你班50名学生中有2名学生的生日相同,那么能说明每50名
学生中有2名学生生日相同的概率为1吗? 如果你班50名学生中
没有2名学生的生日相同,那么能说明每50名学生中有2名学生
生日相同的概率为0吗?
3.如图,转盘被分成2个半圆.甲、乙2人玩转盘游戏,规则如下:
转动转盘2次,当转盘停止转动时,如果指针所落半圆内的字母相
同,那么甲得1分;如果指针所落半圆内的字母不同,那么乙得1
分;做10次这样的游戏,得分高的为赢家.你认为这个游戏规则
对双方公平吗? 为什么?
A
B
(第3题)
(第4题)
4.如图,电路图上有A、B、C、D4个开关和1个小灯泡,闭合开关
D 或同时闭合开关A、B、C 都可以使小灯泡发亮.
第8章
统计和概率的简单应用
148
(1)任意闭合其中的1个开关,小灯泡发亮的概率是多少?
(2)任意闭合其中的2个开关,小灯泡发亮的概率是多少?
(第5题)
5.如图,在3×3的正方形网格中,点A、B、
C、D、E、F 都是格点.
(1)从A、D、E、F 四点中任意取一点,以
这点及点B、C 为顶点画三角形,求所
画三角形是等腰三角形的概率;
(2)从A、D、E、F 四点中任意取两点,以
这两点及点B、C 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边
形的概率.
6. 将A、B、C、D 四人随机分成甲、乙两组参加乒乓球双打比赛.
求下列事件发生的概率:
(1)A在甲组;
(2)A、B都在甲组.
7. 某公司A、B两种同类型产品从2018年到2020年3年间的销售额
情况如下:
年份
A种产品销售额/万元
B种产品销售额/万元
2018
300
500
2019
360
550
2020
450
624
公司市场分析部画出了下面的统计图:
A、B两种产品销售额同步增长
怎样评价这张统计图? 谈谈你的想法.
8. 某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法,对本校学生暑假期间
平均每天的阅读时间t (单位:h)进行了调查,并将所得数据整理
8
复习题
149
后绘制出频数分布直方图(如图).设图中从左到右表示不同阅读时间
的频率依次为0.01、0.02、0.13、0.25、0.28、0.17、0.12、0.02,
阅读时间0.5~1h的频数为4(每组只含最小值,不含最大值).
(第8题)
(1)该课外活动小组抽取的样本容量是多少?
(2)样本中,阅读时间在哪个范围内的人数最多? 该范围的人数是
多少?
(3)设该校有学生1350名,你对该校学生暑假期间的阅读时间做
怎样的分析、推断?
9.某年级140名学生的体重如下(单位:kg):
49,48,43,52,62,74,43,51,46,47,51,45,50,46,
52,54,50,58,55,58,48,48,53,49,56,55,56,43,
54,68,47,61,51,44,41,49,53,52,49,52,62,58,
52,54,50,47,66,46,47,44,72,55,43,60,51,41,
48,49,43,52,63,44,41,47,48,49,55,53,58,50,
50,43,60,61,52,50,42,44,46,67,47,66,46,47,
69,48,43,50,50,43,46,47,44,42,55,56,55,56,
43,54,49,56,55,56,65,43,60,51,41,48,43,52,
62,46,52,54,50,58,58,52,49,48,43,50,50,47,
44,42,55,63,60,48,43,50,50,43,49,53,52,49.
(1)用计算器或计算机计算总体的平均数、方差(精确到0.01),并
绘制频数分布直方图;
(2)用简单随机抽样的方法,从上述数据中抽取容量为10的两个样
本,并分别计算这两个样本的平均数、方差,所得的结果一致
第8章
统计和概率的简单应用
150
吗? 与总体的平均数、方差一致吗? 如果抽取容量为20的样
本呢?
(3)通过以上的抽样和计算,你有什么发现? 请与同学交流.
灵活运用
10.如图,转盘A、B中各个扇形的面积都相等,且分别标有数字.
小明和小丽玩转盘游戏,规则如下:分别转动转盘A、B,当转盘
停止转动时,将指针所落扇形内的数字相乘,若积为3的倍数,
小明得2分;若积为5的倍数,小丽得3分;得分高的为赢家.
这个游戏规则对双方公平吗? 如果公平,请说明理由;如果不公
平,请修改规则,使游戏对双方公平.
(第10题)
11. 某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动,聘请甲、乙2名员工分
别设计抽奖方案,要求是:顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1
次抽奖机会,其中中大奖的概率为0.1,中小奖的概率为0.9.甲
员工给出的设计方案是:准备10张相同的纸条,并在其中1张纸
条上画上记号,把它们放在1个盒子中,搅匀后从中任意抽取1
张纸条,抽到纸条上画有记号的顾客中大奖,否则中小奖;乙员
工给出的设计方案是:在1个盒子中放入2个红球和3个白球,
这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出2个球,摸到2个
红球的顾客中大奖,否则中小奖.
(1)甲、乙2名员工的设计方案符合商场的要求吗? 为什么?
(2)请举出一些事件,它们发生的概率都是0.1.
12. 甲、乙、丙3名学生各自随机选择到A、B2个书店购书.
(1)求甲、乙2名学生在不同书店购书的概率;
(2)求甲、乙、丙3名学生在同一书店购书的概率.
8
复习题
151
探索研究
13. 设y= (x-a1)
2+ (x-a2)
2+…+ (x-an)
2,求证:当x是a1、
a2、…、an的平均数时,y的值最小.
14. 甲、乙、丙3人间相互传球.假设他们相互间传球是等可能的,
并且由甲开始传球.
(1)经过2次传球后,球仍回到甲手中的概率是多少? 经过3次传
球后呢?
(2)探索:经过4次传球后,球传到甲、乙、丙3人手中的概率各
是多少?
(3)猜想:经过n次传球后,球传到甲、乙、丙3人手中的概率之
间的大小关系.
15.全班分为4个小组,以小组为单位,合作测量全班同学的身高和
两臂展开宽(两臂侧向最大限度地水平伸展时,两中指指尖点之间
的距离).
(1)测量、记录小组每位成员的身高和两臂展开宽,并分别计算
小组同学的身高、两臂展开宽的平均数和方差;
(2)汇总全班每个小组的数据,并分别计算全班同学的身高、两
臂展开宽的平均数和方差;
(3)你们小组同学的身高、两臂展开宽的平均数和方差能代表全
班同学的身高、两臂展开宽的平均数和方差吗?
(4)根据收集的数据,探索身高和两臂展开宽之间的关系.
课题学习
152
制作“动画片”
一个静态物体的两幅画面,按一定时
间依次呈现,使人觉得是一个动态的物体,
即同一个物体从一个位置移动到另一个位
置.依据这一现象可以制作动画片.
最早的动画片都是手画的,需要大量
的画师进行创作,现在大量的动画片都是
利用数字图像,即利用计算机来创作的.
动画片中的人与物“动”起来的效果,则
是利用画面上图形的位置变化产生的.
如下图,在20×20的方格纸中,小车依次向左平移一格,连续的
若干幅画装订在一起,快速翻动,你会发现小车在“向左开动”.
分小组制作动画片:确定一个主题,在大小相同的20×20的方格
纸上相应地制作一些图画(至少24幅),把这些图画装订成一本小画
册.快速翻动这本小画册,达到你设计的效果了吗?
课题学习
153
推荐“主题”:
1.一个慢慢升起的气球.
2.点动成线:画反比例函数y=1
x 在第一象限内的一支图像.在
这支图像上从左到右依次取24个点,第一幅画第一个点,后面的每幅
画都比前一幅画多画一个点.
1.交流各组的作品.
2.如果连续的若干幅画的图形依次按比例缩小或放大,这样制作
的动画片会有怎样的效果?
3.试制作动画片:一艘渐渐远去的小船.
数学活动评价表
154
数学活动评价表
活动名称
校园景观设计
活动时间
参加者
自
我
评
价
1. 你能根据景观设计要求,求出抛物线形拱桥的函数表达式吗?
2. 你能根据函数表达式求得施工中各支撑柱的高度吗? 你有没有从同学的意见中得到启发?
3. 你能制作抛物线形拱桥模型吗? 能与同学分享你的制作过程吗?
4. 通过活动,你对生活与数学的联系,数学在解决实际问题中的作用有哪些新的体会?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
活动名称
测量两地间的距离
活动时间
活动形式
以小组为单位
小组成员
测量
数据
第1次
第2次
第3次
平均值
自
我
评
价
1. 在测量过程中遇到了哪些问题? 你和小组同学是如何解决的?
2. 活动中,你和小组同学是如何分工合作的?
3. 测量中,是否产生过误差? 你能分析产生误差的原因吗?
4. 你能运用图形相似的知识解释课本提供的测量方法的合理性吗? 通过活动,你感受到数学
与生活的联系吗?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
155
数学活动评价表
活动名称
测量建筑物的高度
活动时间
活动形式
以小组为单位
小组成员
测量
数据
第1次
第2次
第3次
平均值
自
我
评
价
1. 你和小组同学测量时选择了怎样的建筑物? 测得了哪些数据? 利用这些数据能计算出建筑
物的高度吗? 请举例说明.
2. 活动中遇到什么困难? 你和小组同学是如何克服的?
3. 测量中是否产生过误差? 你能分析产生误差的原因吗?
4. 你在活动中有“创造”吗? 愿意将你的创意与同学分享吗?
同学或小组评价
老师评语
数学活动评价表
活动名称
香烟浸出液对种子发芽的影响
活动时间
活动形式
以小组为单位
小组成员
自
我
评
价
1. 你和小组同学制定了怎样的实验计划和步骤,得出了怎样的结论? 你能对得到的结论做出
解释吗?
2. 在实验中,你和小组同学是如何分工合作的?
3. 在“操作实验,收集、整理、描述、分析数据,做出结论”的过程中,你发挥了什么作用?
有哪些收获、体会?
4. 通过实验,你对“吸烟有害健康”有进一步的认识吗? 愿意成为一名宣传吸烟危害性的志
愿者吗?
同学或小组评价
老师评语
后 记
本套教材是以《义务教育数学课程标准(2011年版)》为依据,在广泛听取
专家、实验区师生的意见和建议的基础上,对《义务教育课程标准实验教科书
数学(苏科版)》(以下简称“实验本”)进行修订而成的,供义务教育7~9年级
使用.
本套教材每章的开头部分设置:
章头图,章头语,章头问题,本章内容概述.
每章的内容部分设置:
“数学实验室”———通过“做”数学,感悟、理解数学知识;
“数学活动”———运用本章知识解决一些简单的问题;
“阅读”和“读一读”———介绍数学思想方法、拓展课本内容;
“练习”———按课时编写,供当堂练习用;
“习题”———按节编写,供本节各个课时课后作业用.
每章的末尾部分设置:
“小结与思考”———梳理本章知识的结构、提炼基本思想;
“复习题”(分为复习巩固、灵活应用、探索研究三个层次)———供本章复
习时用,其中“灵活应用”、“探索研究”部分的习题可根据实际情况选用.
本套教材的每册课本设置一个“课题学习”———综合运用有关知识解决
实际问题.全书使用了卡通人“小明”、“小丽”等,并根据课程内容展开的
需要,编写了一些卡通语.
“实验本”教材由杨裕前、董林伟任主编,丁伟明、李善良曾任副主编.
参与本册(“实验本”)各章编写的有徐延觉、周凯、董林伟、孔凡海.
修订后的本套教材由杨裕前、董林伟任主编.参与本册修订的编写人员
有周凯、杨秋萍、徐延觉、董林伟、荆福仁;参与修订讨论的有王永建、周
学祁、陈志廉.
史宁中教授、顾泠沅教授、张英伯教授等专家、同行,对本套教材的修订
给予了热情的帮助和指导,提出了许多宝贵的意见和建议,在此表示衷心感谢!
定价：9.88元
