文档内容
几何-直线型几何-燕尾模型-0 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
燕尾模型 C 1.了解燕尾模型的一般形状 少考
2.熟悉燕尾模型的关系式
3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂
的几何问题
知识提要
燕尾模型
燕尾模型
结论一
S AE S BF S CD
（1）
1=
（2）
2=
（3）
3=
S CE S AF S BD
2 3 1
结论二
S +S CO
2 3=
S OF
1精选例题
燕尾模型
1. 如图，△ABC 中 BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC 的面积是阴影三角
形面积的 倍．
【答案】 7
【分析】 如图，连接 AI．
根据燕尾定理，S :S =BD:AD=2:1，S :S =CF:AF=1:2，
△BCI △ACI △BCI △ABI
所以，S :S :S =1:2:4，
△ACI △BCI △ABI
2 2
那么，S = S = S ．
△BCI 1+2+4 △ABC 7 △ABC
2
同理可知 △ACG 和 △ABH 的面积也都等于 △ABC 面积的 ，所以阴影三角形的面积等
7
2 1
于 △ABC 面积的 1- ×3= ，所以 △ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍．
7 72. 如图，已知正方形 ABCD 中，F 是 BC 边的中点，GC=2DG，E 是 DF 与 BG 的
交点．四边形 ABED 的面积与正方形 ABCD 的比是 ．
【答案】 5:8
【分析】 连接 BD、EC，
可得
S 1 S 1
△BDE= , △BDE = ,
S 2 S 1
△BEC △CDE
S :S :S =1:1:2,
△BDE △CDE △BEC
1 1
S = S = S ,
△BDE 4 △BDC 8 ABCD
1 1 5
S =( + )S = S ,
ABED 2 8 ABCD 8 ABCD
四边形 ABED 的面积与正方形 ABCD 的比是 5:8．
3. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且
BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F．则阴影部分面积等于 ．7
【答案】
12
【分析】 方法一：连接 CF，
根据燕尾定理，
S BD 1
△ABF = = ,
S DC 2
△ACF
S AE
△ABF = =1,
S EC
△CBF
设 S =1 份，则 S =2 份，S =3 份，S =S =3 份，如图所标．
△BDF △DCF △ABF △AEF △EFC
所以
5 5
S = S = ,
DCEF 12 △ABC 127
易得，阴影部分面积为 ．
12
方法二：连接 DE，
由题目条件可得到
1 1
S = S = ,
△ABD 3 △ABC 3
1 1 2 1
S = S = × S = ,
△ADE 2 △ADC 2 3 △ABC 3
所以
BF S 1
= △ABD= ,
FE S 1
△ADE
1
S = ×S
△≝¿¿ 2 △DEB
1 1
= × ×S
2 3 △BEC
1 1 1
= × × ×S
2 3 2 △ABC
1
= ,
12
而
2 1 1
S = × ×S = .
△CDE 3 2 △ABC 3
5 7
所以则四边形 DFEC 的面积等于 ．易得，阴影部分面积为 ．
12 12
4. 如下图所示，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且
BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F，则四边形 DFEC 的面积等于 ．5
【答案】
12
【分析】 如下图所示，连接 CF，因为 AE=EC,DC=2BD，三角形 ABC 的面
积是 1，
所以
1 1 1 1
S = S = ,S = S = .
△ABD 3 △ABC 3 △ABE 2 △ABC 2
根据燕尾模型，
S BD 1 S AE
△ABF = = , △ABF = =1,
S DC 2 S EC
△ACF △CBF
所以1 1 1 1 1
S = S = ,S = - = ,
△ABF 4 △ABC 4 △AFE 2 4 4
1 1 5
所以四边形 DFEC 的面积是 1- - = ．
3 4 12
5. 如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 AE:EC=2:3，BD:DC=1:2，AD 与 BE
交于点 F．四边形 DFEC 的面积等于 22cm2，则三角形 ABC 的面积 ．
【答案】 45cm2
【分析】 连接 CF，S BD 1 S AE 2
根据燕尾模型， ΔABF = = ， ΔABF = = ，
S DC 2 S EC 3
ΔACF ΔCBF
2
设 S =1 份，则 S =2 份，S =2 份，S =4 份，S =4× =1.6 份，
ΔBDF ΔDCF ΔABF ΔAFC ΔAEF 2+3
3
S =4× =2.4 份，如图所标，所以 S =2+2.4=4.4 份，
ΔEFC 2+3 平行四边形EFDC
S =2+3+4=9 份．
ΔABC
所以 S =22÷4.4×9=45(cm2 )．
ΔABC
1
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 AE= AB，
3
1
CF= BC，AF 与 CE 相交于 G，若矩形 ABCD 的面积为 120，则 ΔAEG 与 ΔCGF
4
的面积之和为 ．
【答案】 15
【分析】 方法1：如图，连接 AC、BG．根据燕尾模型，S :S =BF:CF=3:1，S :S =BE:AE=2:1，而
ΔABG ΔACG ΔBCG ΔACG
1 3 1
S = S =60，所以 S = S = ×60=30，
ΔABC 2 ▭ABCD ΔABG 3+2+1 ΔABC 2
2 1 1 1
S = S = ×60=20，则 S = S =10，S = S =5，所以两个
ΔBCG 3+2+1 ΔABC 3 ΔAEG 3 ΔABG ΔCFG 4 ΔBCG
三角形的面积之和为 15．
方法2：如图，过 F 做 CE 的平行线交 AB 于 H，
1
则 EH:HB=CF:FB=1:3，所以 AE= EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即
2
1 2 2 2 3 1
AG=2GF，所以 S = × × ×S = × × S =10．且
ΔAEG 2 3 3 ΔABF 9 4 2 ▭ABCD
2 2 3 1 1
EG= HF= × EC= EC，故 CG=≥¿，则 S =1× ×S =5．所以两三角形
3 3 4 2 ΔCGF 2 ΔAEG
面积之和为 10+5=15．
7. 如图所示在 ΔABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE=
．【答案】 8:1
【分析】 连接 OC．
因为 BD:DC=2:1，根据燕尾模型，S :S =BD:BC=2:1，即 S =2S ；又
ΔAOB ΔAOC ΔAOB ΔAOC
AE:EC=1:3，所以 S =4S ．则 S =2S =2×4S =8S ，所以
ΔAOC ΔAOE ΔAOB ΔAOC ΔAOE ΔAOE
OB:OE=S :S =8:1．
ΔAOB ΔAOE8. 如图，三角形 ABC 的面积是 200cm2，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且
AE:EC=3:5，BD:DC=2:3，AD 与 BE 交于点 F．则四边形 DFEC 的面积等于
．
【答案】 93cm2
【分析】 连接 CF，
S BD 2 6 S AE 3 6
根据燕尾定理， △ABF = = = ， △ABF = = = ，
S DC 3 9 S EC 5 10
△ACF △CBF
5 45
设 S =6 份，则 S =9 份，S =10 份，S =9× = 份，
△ABF △ACF △BCF △EFC 3+5 8
3 45 45
S =10× =6 份，所以 S =200÷(6+9+10)×( +6)=8×( +6)=93cm2
△CDF 2+3 DCFE 8 8
9. 在 ΔABC 中，BD:DC=3:2，AE:EC=3:1，求 OB:OE= ．【答案】 2:1
【分析】 连接 OC．
3
因为 BD:DC=3:2，根据燕尾模型，S :S =BD:BC=3:2，即 S = S ；又
ΔAOB ΔAOC ΔAOB 2 ΔAOC
4 3 3 4
AE:EC=3:1，所以 S = S ．S = S = × S =2S ，所以
ΔAOC 3 ΔAOE ΔAOB 2 ΔAOC 2 3 ΔAOE ΔAOE
OB:OE=S :S =2:1．
ΔAOB ΔAOE
10. ABCD 是边长为 12 厘米的正方形，E、F 分别是 AB、BC 边的中点，AF 与 CE 交
于 G，则四边形 AGCD 的面积是 平方厘米．【答案】 96
【分析】 连结 AC、GB．
设 S =1 份，根据燕尾模型得 S =1 份，S =1 份，S =(1+1+1)×2=6
△AGC △AGB △BGC 正方形
4
份，S =3+1=4 份，所以 S =122× =96(cm2 )
ADCG ADCG 6
11. 如图所示，在 △ABC 中，BE:EC=3:1，D 是 AE 的中点，那么 AF:FC=
．【答案】 3:4
【分析】 连接 CD．
由于 S :S =1:1，S :S =3:4，所以 S :S =3:4，
△ABD △BED △BED △BCD △ABD △BCD
根据燕尾定理，AF:FC=S :S =3:4．
△ABD △BCD
12. 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，
四边形 BGHF 的面积是 平方厘米．【答案】 14
【分析】 连接 BH，
根据沙漏模型得 BG:GD=1:2，设 S =1 份，根据燕尾模型 S =2 份，S =2
ΔBHC ΔCHD ΔBHD
1 2 7
份，因此 S =(1+2+2)×2=10 份，S = + = 份，所以
正方形 四边形BFHG 2 3 6
7
S =120÷10× =14（平方厘米）．
四边形BFHG 6
13. 如图，在 △ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若
△ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 ．
7
【答案】
30
【分析】 由于点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求
出 BN、NM、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四
边形 CDMF 的面积．
连接 CM、CN．根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=2:1,
△ABM △ACM
S =2S ,
△ACM △ADM
S =2S =4S ,
△ABM △ACM △ADM
那么 BM=4DM，即
4
BM= BD.
5
那么
BM BF 4 2 1 4
S = × ×S = × × = ,
△BMF BD BC △BCD 5 3 2 15
1 ４ 7
S = - = .
四边形CDMF 2 15 30
另解：得出 S =2S =4S 后，可得
△ABM △ACM △ADM
1 1 1 1
S = S = × = ,
△ADM 5 △ABD 5 2 10
则
1 1 7
S =S -S = - = .
四边形CDMF △ACF △ADM 3 10 30
14. 如下图所示，在 △ABC 中，E 是 BC 上一点，BE:EC=3:1，D 是 AE 的中点，F
是直线 BD 与 AC 的交点，则 AF:FC= ．【答案】 3:4
【分析】 连接 DC，设 △CDE 的面积为 1 份，因为 BE:EC=3:1,AD=DE，
那么 △ADC 的面积也为 1 份，△BDE 的面积为 3 份，那么也可以推出 △ADB 的面积
也为 3 份，所以 △CBD 的面积为 3+1=4 份．
根据燕尾模型 AF:FC=S :S =3:4．
△ADB △CBD
15. 如下图所示，△ABC 中，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上的一点，且 AE=3EC，
O 为 DC 与 BE 的交点．若 △CEO 的面积为 a 平方厘米，△BDO 的面积为 b 平方厘
米．且 b-a 是 2.5 平方厘米，那么 △ABC 的面积是 平方厘米．
【答案】 10
【分析】 连接 AO，可以看到这是个非常典型的燕尾模型．根据三角形等积变换：
由 AD=BD，有 S =b；由 AE=3EC，有 S =3a．再根据燕尾模型：由
△ADO △ABO
1 2
AD=BD，有 S =S =4a；由 AE=3EC，有 S = S = b．所以有
△BCO △ACO △BCO 3 △ABO 3
2
4a= b，又已知 b-a=2.5，所以有 a=0.5,b=3．那么
3
S =2b+4a+4a=10(平方厘米)．
△ABC16. 正六边形 A ,A ,A ,A ,A ,A 的面积是 2009 平方厘米，B ,B ,B ,B ,B ,B 分别
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
【答案】 1148
【分析】 方法一：如下左图，连接 A A ,A G,A A ，过 B 做 A A 的平行线
1 3 1 6 3 6 6 3
B E，交 A A 于 E．因为空白的面积等于 △A A G 面积的 6 倍，所以关键求
6 1 3 2 3
△A A G 的面积，在 △A A A 中用燕尾模型时，需要知道 A D,A D 的长度比，根据
2 3 1 2 3 1 3
沙漏模型得 A D=DE，再根据金字塔模型得 A E=A E，因此 A D:A D=1:3，在
1 1 3 1 3
△A A A 中，设 S =1 份，则 S =3 份，S =3 份，所以
1 2 3 △A A G △A A G △A A G
1 2 2 3 3 1
3 3 1 1 1
S = S = × × S = S ，
△A 2 A 3 G 7 △A 1 A 2 A 3 7 3 2 正六边形 14 正六边形
( 1 ) 4
因此 S = 1- ×6 S = ×2009=1148(平方厘米)．
阴影 14 正六边形 7方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，
把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为
8
×2009=1148(平方厘米)．
14
17. 如下图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC 的面积
是 1，则三角形 ABE 的面积为 ，三角形 AGE 的面积为
，三角形 GHI 的面积为 ．
2 8 1
【答案】 ， ，
5 95 19
【分析】 连接 AH、BI、CG．2
由于 CE:AE=3:2，所以 AE= AC，故
5
2 2
S = S = ;
△ABE 5 △ABC 5
根据燕尾模型，
S :S =CD:BD=2:3,
△ACG △ABG
S :S =CE:EA=3:2,
△BCG △ABG
所以
S :S :S =4:6:9,
△ACG △ABG △BCG
则
4
S = ,
△ACG 19
9
S = ;
△BCG 19
那么
2 2 4 8
S = S = × = ;
△AGE 5 △AGC 5 19 95
9
同样分析可得 S = ，则
△ACH 19
EG:EH=S :S =4:9,
△ACG △ACH
EG:EB=S :S =4:19,
△ACG △ACB
所以
EG:GH:HB=4:5:10,
同样分析可得
AG:GI:ID=10:5:4.
所以5 5 2 1
S = S = × = ,
△BIE 10 △BAE 10 5 5
5 5 1 1
S = S = × = .
△GHI 19 △BIE 19 5 19
18. 如图，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，则 AF:BF=
【答案】 5:2
【分析】 根据燕尾模型有 S :S =2:3=10:15，S :S =5:3=10:6，
△ABG △ACG △ABG △BCG
所以 S :S =15:6=5:2=AF:BF．
△ACG △BCG
19. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，
那么平行四边形 BODC 的面积为 ．
【答案】 24
【分析】 连接 AO,BD，根据燕尾定理
S :S =AF:FD=1:2,
△ABO △BDO
S :S =AE:BE=2:1,
△AOD △BOD
设 S =1，则其他图形面积，如图所标，所以
△BEO
S =2S =2×12=24.
BODC AEOF
20. 如下图所示，△ABC 中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么 △ABC 的面积是阴
影三角形面积的 倍．
【答案】 7
【分析】 如下图所示，连接 AI．根据燕尾模型，S :S =BD:AD=2:1,S :S =CF:AF=1:2，
△BCI △ACI △BCI △ABI
所以
S :S :S =1:2:4,
△ACI △BCI △ABI
那么
2 2
S = S = S .
△BCI 1+2+4 △ABC 7 △ABC
2
同理可知 △ACG 和 △ABH 的面积也都等于 △ABC 面积的 ，所以阴影三角形的面积等
7
2 1
于 △ABC 面积的 1- ×3= ，所以 △ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍．
7 7
21. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且
BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
5
【答案】
12【分析】 方法一：如图所示，
S BD 1 S AE
根据燕尾模型， △ABF = = ， △ABF = =1．
S DC 2 S EC
△ACF △CBF
设 S =1 份，则 S =2 份，S =3 份，S =S =3 份，如图所标
△BDF △DCF △ABF △AEF △EFC
5 5
所以 S = S = ．
DCEF 12 △ABC 12
方法二：如图所示，
1 1
连接 DE，由题目条件可得到 S = S = ，
△ABD 3 △ABC 3
1 1 2 1
S = S = × S = ，
△ADE 2 △ADC 2 3 △ABC 3
BF S 1
所以 = △ABD= ，
FE S 1
△ADE
S
1 1 1 1 1 1 1 ，
△≝¿= ×S = × ×S = × × ×S = ¿
2 △DEB 2 3 △BEC 2 3 2 △ABC 12
2 1 1 5
而 S = × ×S = ．所以则四边形 DFEC 的面积等于 ．
△CDE 3 2 △ABC 3 12
22. 如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米，D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部
分的面积是 平方厘米．【答案】 12.5
【分析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个
三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 △BEF 与 △EMN 的面积之差，又可以
转化为 △BCM 与 △CFN 的面积之差．
（法一）如图，连接 DE．
由于 D、E、F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面
积的一半，即 30 平方厘米；那么 △BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15
平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，
则
EM:BM=DE:BC=1:2,
所以
1
EM= EB;
3
EN:FN=DE:FC=1:1,
所以
1
EN= EF.
21 1 1
那么 △EMN 的面积占 △BEF 面积的 × = ，所以阴影部分面积为
2 3 6
( 1)
15× 1- =12.5(平方厘米).
6
（法二）如图，连接 AM．
根据燕尾定理，
S :S =AE:EC=1:1,
△ABM △BCM
S :S =AD:DB=1:1,
△ACM △BCM
所以
1 1
S = S = ×60=20(平方厘米),
△BCO 3 △ABC 3
而
1 1
S = S = ×60=30(平方厘米),
△BDC 2 △ABC 2
所以
1
S = S =7.5(平方厘米),
△FCN 4 △BDC
那么阴影部分面积为
20-7.5=12.5(平方厘米).
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
（1）利用面积公式：底×高÷2；
（2）利用整体减去部分；
（3）利用比例和模型．
23. 下图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和
BE 的交点为 H，AC 和 BD 的交点为 G，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则
ABCD 的面积是 平方厘米．【答案】 180
【分析】 解法一：蝴蝶模型与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以
S
△≝¿:S :S :S =1:2:2:4.¿
△DAF △BEF △ABF
（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 、S 占平行四
△ABG △ADG △BEC
1 3
边形面积的 ，梯形 S 占平行四边形面积的 ；
4 ABED 4
（3）所以
3 2 1
S = × = ,
△DAF 4 1+2+2+4 6
1 1 1
S = - = ,
△GAF 4 6 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（4）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（5）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法二：相似模型、等积变形与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1:2，而 DG=GB，
1 (1 1 )
DF:FG= : - =2:1;
1+2 2 1+2（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 占平行四边形面
△ABG △ADG
1
积的 ，所以
4
1 1 1
S = × = ,
△GAF 4 2+1 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法三：燕尾模型与一半模型．
1
（1）设平行四边形面积为“1”．S = ．
△ADC 2
（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC，
设 S 为 1 份，S 也为 1 份，根据燕尾 S 为 2 份，再根据燕尾 S 也为
△≝¿¿ △ECF △ADF △ACF
2 份，根据按比例分配，S 、S 都为 1 份，所以
△AGF △GCF
1 1
S = ÷(2+1+1+1+1)= ,
△GAF 2 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12解法四：风筝模型与一半模型．
连接 EG 同样可解．
24. 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中
点，求阴影部分的面积．
【答案】 3.125
【分析】 令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN．在 △ABC 中，根据燕尾定理，S :S =AE:CE=1:1，
△ABM △BCM
S :S =AD:BD=1:1，
△ACM △BCM
1
所以 S =S =S = S
△ABM △ACM △BCN 3 △ABC
1 1
由于 S = S = S S，所以 BM:ME=2:1
△AEM 2 △AMC 2 △ABM
在 △EBC 中，根据燕尾定理，S :S =BF:CF=1:1 S :S =ME:MB=1:2
△BEN △CEN △CEN △CBN
设 S =1(份)，则 S =1(份)，S =2(份)，S =4(份)，
△CEN △BEN △BCN △BCE
1 1 1 1
所以 S = S = S ，S = S = S ，因为 BM:ME=2:1，F 为
△BCN 2 △BCE 4 △ABC △BNE 4 △BCE 8 △ABC
BC 中点，
2 2 1 1 1 1 1 1
所以 S = S = × S = S ，S = S = × = S ，
△BMN 3 △BNE 3 8 △ABC 12 △ABC △BFN 2 △BNC 2 4 8 △ABC
( 1 1) 5 5
所以 S = + S = S = ×15=3.125(平方厘米)
阴影 12 8 △ABC 24 △ABC 24
25. 如图，△ABC 中，AE=ED，BD:DC=1:3，阴影部分的面积占三角形 ABC 面积的几
分之几？
1
【答案】
5
【分析】 详解：连结 CE，如图所示标份数．已知阴影的面积占三角形 ABC 面积
1
旳 ．
526. 如下图，三角形 ABC 中，BD:DC=4:5，CE:EA=2:3，求 AF:FB．
【答案】 15:8
【分析】 根据燕尾定理，
S BD 4 12
△ABO = = = ,
S DC 5 15
△ACO
S AE 3 12
△ABO= = = ,
S EC 2 8
△CBO
所以
S 15
△ACO= ,
S 8
△BCO
所以
AF:FB=15:8.27. 三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，那么三角形
AMN（阴影部分）的面积为多少？
【答案】 0.3
【分析】 连接 BN．
△ABC 的面积为 3×2÷2=3
根据燕尾定理，△ACN:△ABN=CD:BD=2:1；
同理 △CBN:△CAN=BM:AM=1:1
设 △AMN 面积为 1 份，则 △MNB 的面积也是 1 份，所以 △ANB 的面积是 1+1=2
份，而 △ACN 的面积就是 2×2=4 份，△CBN 也是 4 份，这样 △ABC 的面积为
4+4+1+1=10 份，所以 △AMN 的面积为 3÷10×1=0.3．
28. 如图，三角形 ABD 的面积是 35，三角形 ACD 的面积是 25，三角形 BCD 的面积是
24，求三角形 CDE 的面积．【答案】 10
【分析】 根据燕尾模型，S :S =BE:CE=S :S =35:25=7:5，并且
△ABD △ACD ΔBDE △CDE
5
有 S +S =S =24，故而 S =24× =10．
△BDE △CDE △BCD △CDE 7+5
29. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，那
么平行四边形 BODC 的面积为________．
【答案】 24
【分析】 连接 AO,BD，根据燕尾模型
S :S =AF:FD=1:2,
△ABO △BDO
S :S =AE:BE=2:1,
△AOD △BOD
S :S :S =1:2:4,
ΔABO △BDO △AOD
设 S =1 份，则其他图形面积，如图所标，所以
△BEO
S =2S =2×12=24.
BODC AEOF
30. 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC=2DE，F 是 DG 的中点．阴影部分
的面积是多少平方厘米？
5
【答案】
12
【分析】 连结 FC，设 S =1 份，则 S =2 份，因为 FD:FG=1:1，S =3 份．
△FED △FEC △FGC
5 5 1 5
设 S 份，则根据燕尾模型其他面积如图所示 S = S = × S = 平
△≝¿=1¿ 阴影 12 △BCD 12 2 ▫ABCD 12
方厘米．
31. 如图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积．
【答案】 12.5
【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关
系，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积．又因为阴影部分是一个不规则四边形，所
以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
方法一：连接 CF，因为 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 30，
所以
1
S = S =10,
△ABE 3 △ABC1
S = S =15.
△ABD 2 △ABC
根据燕尾模型，
S AE 1
△ABF = = ,
S EC 2
△CBF
S BD
△ABF = =1,
S CD
△ACF
S :S :S =1:2:1.
ΔABF ΔBFC ΔAFC
所以
1
S = S =7.5,
△ABF 4 △ABC
S =15-7.5=7.5,
△BFD
所以阴影部分面积是 30-10-7.5=12.5．
方法二：连接 DE，由题目条件可得到
1
S = S =10,
△ABE 3 △ABC
1 1 2
S = S = × S =10,
△BDE 2 △BEC 2 3 △ABC
所以
AF S 1
= △ABE = ,
FD S 1
△BDE
1
S = ×S
△≝¿¿ 2 △DEA
1 1
= × ×S
2 3 △ADC
1 1 1
= × × ×S
2 3 2 △ABC
=2.5,
而
1 2
S = × ×S =10.
△CDE 2 3 △ABC
所以阴影部分的面积为 12.5．
32. 如下图所示，三角形 ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是
AC 边的三等分点．请问阴影部分的面积是多少？5
【答案】
42
【分析】 如下图所示，连接 CM，设 S =a,S =b，则
△CMG △CME
S =2a,S =2b，
△AMG △BME1
{3a+b=
3 1
从而有 ，易得 a+b= ．
1 6
3b+a=
3
1 1 1 1 2 1 1
说明 S = ，所以 S = - = ．S = - = ．
四边形EMGC 6 △AMG 3 6 6 △BAM 3 6 2
1 1
所以 BM:MG=S :S = : =3:1．
△ABM △AMG 2 6
再连接 GN，根据燕尾模型，可以得到
S :S =BM:MG=3:1,
△ABN △ANG
S :S =AF:FG=1:1,
△ABN △BNG
则求出
3 3 2 2
S = S = × = ,
△BNG 7 △ABG 7 3 7
1 1 2 2
S = S = × = .
△ANG 7 △ABG 7 3 21
图中阴影部分面积为
1 1
S +S = S + S
△MNG △NFG 4 △BNG 2 △ANG
5
¿ = .
42
33. 三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC=CD，CD=2BD，AM=BM，三角形 AMN
（阴影部分）的面积为 1，求三角形 ABC 的面积．
【答案】 10．【分析】 连接 BN．
根据燕尾模型，
△ACN:△ABN=CD:BD=2:1;
同理
△CBN:△CAN=BM:AM=1:1,
S :S :S =2:1:2.
△ACN △ABN △CBN
设 △AMN 面积为 1 份，则 △MNB 的面积也是 1 份，所以 △ANB 的面积是 1+1=2
份，而 △ACN 的面积就是 2×2=4 份，△CBN 也是 4 份，这样 △ABC 的面积为
4+4+1+1=10 份，所以 △ABC 的面积为 1×10÷1=10．
34. 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地打招
呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北
四部分（如图）．修剪西部、东部、南部各需 10 分钟、16 分钟、20 分钟，请你想一想修
剪北部需要多少分钟？”【答案】 44
【分析】 如上图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母．
即有
{(10+x):20= y:16
,
(16+ y):x=20:10
即有
{5 y=40+4x
,
2x=16+ y
解得
{x=20
.
y=24
所以修剪北部草坪需要
20+24=44(分钟).
35. 如图，已知 D 是 BC 上的中点，E 是 AC 上的中点，F 是 AB 上的点，且如下图，
已知 AF:FB=3:4，BD:DC=8:3，求 CE:EA．
【答案】 1:2
【分析】 连接 AD、BE．
S BC 5 S AF 3
根据燕尾定理， △ABE = = ， △ADE= = ，
S DC 3 S BF 4
△ADE △BDE
所以
3 1
S = ×S = S .
△ADE 12 △ABD 4 △ABD
因为
3
S = S ,
△ACD 8 △ABD
所以1
S = S ,
△ECD 8 △ABD
所以 CE:EA=1:2．
36. 如图，三角形 ABC 的面积是 30，AE=EC，BC=3DC，那么三角形 AEF 的面积是
多少？
【答案】 3
【分析】 如图所示：
根据燕尾模型可知
S :S ＝3:1
△ABF △ACF
S :S ＝1:1
△ABF △CBF
因为 S ＝30，设 S 为 1 份，则其他三角形可以根据比例关系求出，最后
△ABC △AEF
S ＝3
△AEF37. 在 △ABC 中，F 是 AD 的中点，EC=3AE，△ABC 的面积是 1，则阴影部分的面
积是多少？
7
【答案】
12
【分析】
连接 CF，设 S 是 1 份，那么 S 是 3 份，那么 S 是 4 份，S =S ，
△AFE △CFE △CFD △ABF △BDF
根据燕尾模型可知 S :S =1:3，则 S 是 2 份，S 是 2 份，因为三角形
△ABF △CFB △ABF △BDF
7
ABC 的面积是 1，那么阴影部分的面积是 ．
12
38. 如图，三角形 ABC 中，已知 EC=2AE，BD:DC=2:1，请在图上标出各个小三角形
的面积份数．（即三角形 COE、BOD、AOB、的面积份数）【答案】 见解析．
【分析】 根据燕尾模型可知：
S :S ＝1:2
△ABO △BOC
S :S ＝2:1
△ABO △AOC
设 S 为 1 份，则其他三角形份数如图所示：
△AOE
39. 如图所示，在三角形 ABC 中，AE=ED，D 点是 BC 的四等分点，请问：阴影部分的
面积占三角形 ABC 面积的几分之几？3
【答案】
7
【分析】 连结四边形 CDEF 的对角线 CE，将其分为 △EFC 和 △ECD，如下图
所示．
由题意，D 点是 BC 的四等分点，不妨就设 △CDE 的面积是“1”，而 △BDE 的面积则
是“3”．再根据 E 是 AD 的中点，那么 △ABE 的面积就是“3”，△ACE 的面积是“1
”．
AF S 3 3
根据燕尾模型得 = △CDF = ，所以 △AEF 的面积就是“ ”份，△ECF 的面积就是
FC S 4 7
△CDB
4
“ ”份，如下图所示．
73
由此可得阴影部分的面积和是“3 ”，而 △ABC 的总面积是“8”，所以阴影部分占总面
7
3 3
积的 3 ÷8= ．
7 7
40. 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求 AF:FB．
【答案】 15:8
【分析】 根据燕尾模型得 S :S =BD:CD=2:3=10:15
△AOB △AOC
S :S =AE:CE=5:4=10:8（都有 △AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），
△AOB △BOC
所以 S :S =15:8=AF:FB．
△AOC △BOC
41. 如右图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI 的面积
是 1，求三角形 ABC 的面积．【答案】 19
【分析】 连接 BG．
S =6 份．
△AGC
根据燕尾模型，
S :S =AF:FB=3:2=6:4,
△AGC △BGC
S :S =BD:DC=3:2=9:6.
△ABG △AGC
得
S =4(份),S =9(份),
△BGC △ABG
则 S =19（份），因此
△ABC
S 6
△AGC = .
S 19
△ABC
同理连接 AI、CH．得
S 6 S 6
△ABH = , △BIC = ,
S 19 S 19
△ABC △ABC
所以
S 19-6-6-6 1
△GHI = = .
S 19 19
△ABC
三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19．
42. 如图，△ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是 AC 边的三
等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？9
【答案】
70
【分析】 连接 CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S :S =CD:BD=1:2，S :S =AG:CG=1:2，
△ACK △ABK △ABK △CBK
1 1 1 1
所以 S :S :S =1:2:4，那么 S = = ，S = S = ．
△ACK △ABK △CBK △ACK 1+2+4 7 △AGK 3 △ACK 21
2
类似分析可得 S = ．
△AGI 15
1
又 S :S =AF:CF=2:1，S :S =BD:CD=2:1，可得 S = ．
△ABJ △CBJ △ABJ △ACJ △ACJ 4
1 1 17
那么，S = - = ．
CGKJ 4 21 84
17
根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 ，那么四边形 JKIH 周围的图形的面积之
84
17 2 1 61
和为 S ×2+S +S = ×2+ + = ，所以四边形 JKIH 的面积为
CGKJ △AGI △ABE 84 15 3 70
61 9
1- = ．
70 70
43. 如图，三角形 ABC 的面积是 120，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且
BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F．则四边形 DEFC 的面积是多少？【答案】 50
【分析】 方法一：连接 CF．
根据燕尾模型，
S BD 1
△ABF = = ,
S DC 2
△ACF
S AE
△ABF = =1,
S EC
△CBF
设 S =1 份，则 S =2 份，S =3 份，S =S =3 份，所以
△BDF △DCF △ABF △AEF △EFC
5
S = S =50.
DCEF 12 △ABC
方法二：连接 DE．由题目条件可得到
1
S = S =40,
△ABD 3 △ABC
1 1 2
S = S = × S =40,
△ADE 2 △ADC 2 3 △ABC
所以
BF S 1
= △ABD= ,
FE S 1
△ADE
S
1 1 1 1 1 1
△≝¿= ×S = × ×S = × × ×S =10,¿
2 △DEB 2 3 △BEC 2 3 2 △ABC
而
2 1
S = × ×S =40.
△CDE 3 2 △ABC
所以四边形 DFEC 的面积等于
5
S =50.
12 △ABC
44. 在三角形 ABC 中，AE=2EC，BF:FE=1:1，阴影部分面积占 △ABC 的几分之几？2
【答案】
5
【分析】
如图所示，设 S 为 1 份，那么 S 为 2 份，S 是 2 份，根据燕尾定理可知，
△CEF △AEF △ABF
S :S =2:1,
△ABF △BCF
则 S 是 1 份，且
△BCF
BD:BC=2:3,
2
可以求出 S 为 0.4 份，所以阴影部分的面积占 S 的 ．
△BDF △ABC 5
45. 如图，△ABC 的面积等于 28 平方厘米．其中 AE=EC，BD:DC=3:1，求阴影三角
形的面积．
【答案】 12 平方厘米．
【分析】 详解：连结 CF，设 S 面积为 1 份，如图所示标份数，可得
△CFE6
S = ×28=12(平方厘米).
△ABF 1+1+6+4.5+1.5
46. 如图，在三角形 ABC 中，AE=ED，D 点是 BC 的四等分点，阴影部分的面积占三角
形 ABC 面积的几分之几？3
【答案】
7
【分析】 设 S =1，则 S =S =3，根据燕尾模型有 S =1，
△CDE △BDE △ABE △AEC
AF S 3 3
= △ABE= ，所以 S = ，因此
CF S 4 △AEF 7
△BCE
3
3+
S 7 3
阴影 = = .
S 3+3+1+1 7
△ABC
47. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，
BCDE 是平行四边形．那么四边形 ABCD 的面积是多少？
【答案】 56
【分析】 详解：连结 BD 和 AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出 △ABD
中每一块的份数．因为 BCDE 是平行四边形，可知 △BCD 的面积也是 7 份．
12÷6×(2+4+8+6+1+7)=56,
四边形 ABCD 的面积是 56．48. 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E、F 分别是 DC 和 AD 边的中点，阴影部分的
面积是多少？
【答案】 24
【分析】 设 AE 和 CF 的交点为 O，连结 OD，连结 AC，1
设 △AFO 的面积为 1，标出份数．可看出三角形 AOC 的面积是三角形 ACD 的 ，则
3
1 1 1
三角形 AOC 的面积是正方形 ABCD 的 × = ．所以阴影部分的面积是正方形 ABCD
2 3 6
1 1 2 2
的 + = ，面积是 62× =24．
6 2 3 3
49. 如图，三角形 ABD 的面积都是 15，三角形 ACD 的面积都是 20，三角形 CDE 的面
积是 8，求三角形 BDE 的面积．
【答案】 6；6．
【分析】 对于左图
S :S =BD:CD
△BDE △CDE
¿ =15:20
¿ ¿
3
所以，S =8× =6．
△BDE 4
而右图是典型的燕尾模型，S :S =S :S
△BDE △CDE △ABD △ACD
¿ =15:20
¿ ¿
计算同样得 6．
50. 在三角形 ABC 中，2AE=EB，AD=CD，阴影部分面积占 △ABC 的几分之几？
7
【答案】
20
【分析】
设 S 为 3 份，那么 S 为 3 份，根据燕尾定理可以求出 S 为 12 份，进而求
△ADF △CFD △CFB
出 S 为 12 份，而 2AE=EB，所以求出 S 为 4 份，所以阴影部分面积占
△ABF △AEF
7
△ABC 的
20
DC EA FB 1 △GHI的面积
51. 如图在 △ABC 中， = = = ，求 的值．
DB EC FA 3 △ABC的面积4
【答案】
13
【分析】 连接 BG．
设 S =1，
△BGC
根据燕尾模型，
S :S =AF:FB=3:1,
△AGC △BGC
S :S =BD:DC=3:1,
△ABG △ACG
得
S =3(份),S =9(份),
△AGC △ABG
则
S =13(份),
△ABC
所以S 3
△AGC = ,
S 13
△ABC
同理连接 AI、CH 得
S 3
△ABH = ,
S 13
△ABC
S 3
△BIC = ,
S 13
△ABC
所以
S 13-3-3-3 4
△GHI = = .
S 13 13
△ABC
1
52. 如图，△ABC 中，AF=FD，AE= AC 求四边形 CEFD 的面积是三角形 ABC 的
3
几分之几．
5
【答案】
12
5
【分析】 连结 CF，如图所示标份数．可知四边形 CEFD 占三角形 ABC 的 ．
121
53. 三角形 ABC 中 AE= EC，CF=3DF，四边形 ADFE 的面积是三角形 ABC 的几
2
分之几？
1
【答案】
6
【分析】设 S ＝1，那么 S ＝2，则 S ＝1，则 S ＝S ，说明 AD=DE，三角
△AEF △EFC △ADF △ADF △AEF
形 ABC 是等腰三角形，则 S ＝2，进而推出 S =6，那么四边形 ADFE 的面积是
△DBF △CBF
1
三角形 ABC 的 ．
6
54. 如下图所示，点 G 为三角形内一点，连接 AG,BG,CG 分别交 BC,AC,AB 边于点
D,E,F．若三角形 AFG,CEG,BDG,CDG 之面积分别为 126 平方厘米，280 平方厘米，
270 平方厘米，360 平方厘米．请问三角形 ABC 的面积为多少平方厘米？
【答案】 1365 平方厘米
【分析】 设 S 为 x，S 为 y．根据燕尾模型可以得到
△AEG △BFG
(126+ y):(x+280)=270:360=3:4;
(126+ y):(270+360)=x:280,转化为二元一次方程组．如下：
{(126+ y)×4=(x+280)×3 {x=140
，解得 ，那么三角形 ABC 的面积为
(126+ y)×280=630×x y=189
126+189+270+140+280+360=1365(平方厘米).
55. 在下图中，三角形 ABC 是直角三角形，已知 AB=BC=14 且 BE=BD=6．请问图中
阴影部分的面积是多少？
【答案】 39.2
【分析】 如下图所示，连接 BF，根据燕尾模型．
S :S =BD:DC=6:8=3:4，S :S =AE:EB=8:6=4:3，设 △AFB 的面
△AFB △AFC △AFC △BFC
积为 3 份，那么 △AFC 的面积为 4 份，△BFC 的面积也为 3 份，那么 △AFC 占整个
4 4 2 2 1
图形面积的 = = ，阴影部分的面积为 × ×14×14=39.2．
4+3+3 10 5 5 256. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求 AF:FB．
【答案】 10:9
【分析】 方法1：根据燕尾模型得 S :S =BD:CD=3:4=15:20
ΔAOB ΔAOC
S :S =AE:CE=5:6=15:18（都有 △AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），
△AOB △BOC
所以 S :S =20:18=10:9=AF:FB．
△AOC △BOCBD CE 3 6 9
方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 × = × = ．
DC EA 4 5 10
BD CE AF AF 9 10
由赛瓦定理： × × =1，则 =1÷ =
DC EA FB FB 10 9
57. 如下图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，△ABC 由这 6
部分组成，其中⑵比⑸大 6 平方厘米，那么 △ABC 的面积是多少平方厘米？
【答案】 48
【分析】 解法一：因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 FE
平行于 AD，则四边形 ADEF 为梯形．
在梯形 ADEF 中有 ⑶=⑷，⑵×⑸=⑶×⑷，⑵:⑸=AD2:FE2=4．
又已知 ⑵-⑸=6，所以
⑸=6÷(4-1)=2,⑵=⑸×4=8;
所以
⑵×⑸=⑷×⑶=2×8=16,
而 ⑶=⑷，所以 ⑶=⑷=4，梯形 ADEF 的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四块图形的面积和，为
8+4+4+2=18.
有 △CEF 与 △≝¿ 的面积相等，为 2+4=6．
所以 △ADC 面积为 18+6=24．
因为 D 是 BC 中点，所以 △ABC 的面积是：
S =2S =2×24=48(平方厘米).
△ABC △ACD
解法二：如下图所示：题上给出了
S =S +6,
△ADG △EFG
所以
S =S
△ADE △≝¿+6;¿
因为 E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，
由共边定理得：
S =S =2×S =2×S
△ADE △AEC △ECF △≝¿;¿
所以由上面的分析得到：
S
△≝¿+6=2×S ¿
△≝¿,¿
S
△≝¿=6;¿
进一步共边原理可得：
S =2×S
△ABC △ADC
¿ =8×S =8×6
△≝¿¿
¿ ¿
同样这个题目可以用相似模型也能解．
58. △ABC 中，BD:DC=3:2，AE:CE=3:1，OB 与 OE 的比是多少？【答案】 2:1
【分析】
如图所示：连接 CO，设 S 为 4 份，那么 S 为 6 份，根据燕尾模型，S 为
△COD △BOD △AOB
30 份，S 为 20 份，因为 AE:CE=3:1，所以 S 为 5 份，S 为 15 份，
△AOC △COE △ＡＯＥ
所以 OB 与 OE 的比是 2:1
59. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求中心六边形面积．1
【答案】
10
【分析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR
在 △ABC 中根据燕尾定理，S :S =BG:CG.=2:1，
△ABR △ACR
S :S =AI:CI=1:2
△ABR △CBR
2 2 2
所以 S = S ，同理 S = S ，S = S
△ABR 7 △ABC △ACS 7 △ABC △CQB 7 △ABC
2 2 2 1
所以 S =1- - - =
△RQS 7 7 7 7
1
同理 S =
△MNP 7
1 1 13 1
根据容斥原理，和上题结果 S = + - =
六边形 7 7 70 10
60. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求阴影部分面积．13
【答案】
70
【分析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与
CE 的交点为 Q，连接 AM、BN、CP
（1）求 S ：在 △ABC 中，根据燕尾定理，S :S =AI:CI=1:2
四边形ADMI △ABM △CBM
S :S =AD:BD=1:2
△ACM △CBM
设 S =1(份)，则 S =2(份)，S =1(份)，S =4(份)，
△ABM △CBM △ACM △ABC
1 1 1 1
所以 S =S = S ，所以 S = S = S ，S = S ，
△ABM △ACM 4 △ABC △ADM 3 △ABM 12 △ABC △AIM 12 △ABC
1 1 1
所以 S =( + )S = S ，
四边形ADMI 12 12 △ABC 6 △ABC
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 △ABC 面积的
6
（2）求 S ：在 △ABC 中，根据燕尾定理 S :S =BF:CF=1:2
五边形DNPQE △ABN △ACN
S :S =AD:BD=1:2，
△ACN △BCN
1 1 1 1 1
所以 S = S = × S = S ，同理 S = S
△ADN 3 △ABN 3 7 △ABC 21 △ABC △BEQ 21 △ABC
在 △ABC 中，根据燕尾定理 S :S =BF:CF=1:2，S :S =AI:CI=1:2
△ABP △ACP △ABP △CBP
1
所以 S = S
△ABP 5 △ABC
(1 1 1 ) 11
所以 S =S -S -S = - - S = S
五边形DNPQE △ABP △ADN △BEP 5 21 21 △ABC 105 △ABC
11
同理另外两个五边形面积是 △ABC 面积的
105
1 11 13
所以 S =1- ×3- ×3=
阴影 6 105 70
61. 在 △ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE=？【答案】 8:1
【分析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也
可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到
边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所
以第一步要连接 OC．
连接 OC．
因为 BD:DC=2:1，根据燕尾定理，S :S =BD:BC=2:1，即 S =2S ；
△AOB △AOC △AOB △AOC
又 AE:EC=1:3，所以 S =4S ．则 S =2S =2×4S =8S ，
△AOC △AOE △AOB △AOC △AOE △AOE
所以 OB:OE=S :S =8:1．
△AOB △AOE
62. 在三角形 ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 BO:OE．
【答案】 8:1
【分析】 解法一：连接 OC．AE:EC=1:3，可得
S :S =1:3,
△AOE △COE
设 S =x，则
△AOE
S =3x、
△COE
S =4x,
△AOC
再根据燕尾定理，
S :S =BD:DC=2:1,
△AOB △AOC
所以
S =8x,
△AOB
所以
BO:OE=S :S =8:1.
△AOB △AOE
解法二：可以用梯形蝴蝶定理来．
2 1
连接 DE，把三角形 ABC 的面积看做“1”，S = ，而 AE 的长占 AC 的 ，
ABD 3 4
1 1 1 1
CD 的长占 CB 的 ， × =
3 4 3 12
来表示 △AED 的面积，所以
BO:OE=S :S =8:1.
△ABD △AED63. 如图，三角形 ABD 的面积是 15，三角形 ACD 的面积是 20，三角形 BCD 的面积是
14，求三角形 CDE 的面积．
【答案】 8
【分析】 根据燕尾模型，S :S =BE:CE=S :S =15:20=3:4，并且
△ABD △ACD △BDE △CDE
4
有 S +S =S =14，故而 S =14× =8．
△BDE △CDE △BCD △CDE 3+4
64. 如图，AD=6，CD=14，三角形 ABE 的面积是 24，求三角形 BEC 的面积？【答案】 56
S AD
【分析】 详解：
△ABE=
，所以
S CD
△CBE
CD
S = ×S =56.
△CBE AD △ABE
65. 已知三角形 ABC 中，三角形 ABF 的面积是 60，三角形 AFC 的面积是 20，三角形
BFC 的面积是 56，求三角形 BDF 和三角形 CDF 的面积．
【答案】 △BDF 的面积是 42，△CDF 的面积是 14
BD S 3
【分析】 = △ABF =3，所以 △BDF 的面积是 △BFC 的 ，△CDF 的面积
DC S 4
△ACF
1
是 △BFC 的 ，面积分别是 42 和 14．
4
66. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、
AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的
面积是 ．【答案】 36
【分析】 方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，
得
2 3
S = ,S = ,
1 5 2 5
再由蝴蝶模型，S =S ，所以
△BDE △ADE
2 12
S =2+ = ,
△BDM 5 5
18
同理 S = ，而
△CDM 5
2
MD:DA= :2=1:5,
5
所以 S =5S ，同理 S =5S ，所以
△ABD △BDM △ACD △CDM
(12 18)
S =6S =6× + =36.
△ABC △BDC 5 5方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF＝2，而
S =1+2+3=6,
△AEF
所以等腰直角 △ABC 的高为
6×2÷2=6,
所以 △ABC 的面积是
6×6÷2×2=36.
67. 如图，ΔABC 中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求 AF:FB．
【答案】 27:16
【分析】 根据燕尾模型得 S :S =BD:CD=4:9=12:27
△AOB △AOC
S :S =AE:CE=3:4=12:16（都有 △AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），
△AOB △BOC
所以 S :S =27:16=AF:FB．
△AOC △BOC
事实上本题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理：
BD CE AF
× × =1
DC EA FB
68. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求 AF:FB．【答案】 27:16
【分析】 根据燕尾定理得
S :S =BD:CD=4:9=12:27
△AOB △AOC
S :S =AE:CE=3:4=12:16
△AOB △BOC
所以
S :S =27:16=AF:FB
△AOC △BOC
69. 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求阴影部分面积．（如果结果是分数，将结果化成最简分数．）
13
【答案】
70
【分析】 令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交
点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM，BN，CP．
求四边形 ADMI 的面积：在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =AI:CI=1:2,
△ABM △CBM
S :S =AD:BD=1:2,
△ACM △CBM所以
1
S = S ,
△ABM 4 △ABC
1 1
S = S = S ,
△ADM 3 △ABM 12 △ABC
1
S = S ,
△AIM 12 △ABC
因而四边形 ADMI 的面积为
1 1 1
S + S = S ,
12 △ABC 12 △ABC 6 △ABC
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 △ABC 的 ．
6
求五边形 DNPQE 的面积：在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=1:2,
△ABN △ACN
所以
1 1
S = S = S ,
△ADN 3 △ABN 21 △ABC
同理可得
1
S = S .
△BEQ 21 △ABC
在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=1:2,
△ABP △ACP
S :S =AI:CI=1:2,
△ABP △CBP
所以
1
S = S ,
△ABP 5 △ABC
因此五边形 DNPQE 的面积为
1 1 1 11
S - S - S = S ,
5 △ABC 21 △ABC 21 △ABC 105 △ABC
同理另外两个五边形的面积也是
11
S .
105 △ABC
所以阴影部分的面积为
1 11 13 13
S -3× S -3× S = S = .
△ABC 6 △ABC 105 △ABC 70 △ABC 70
70. 如图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，求四边形
CEFD 的面积是多少？【答案】 15 平方厘米
【分析】 连接 FC，设 S ="1" 则由 EC=2AE 知：S ="2"，又
△AEF △EFC
BD=DC，由燕尾模型结论知：S ="3" 再由 EC=2AE 以及燕尾模型知 S ="6"
△ABF △BFC
因为 BD=DC，所以 S ="3" 所以 S =1+2+3+6=12（份）
△DFC △ABC
S =36÷12×(2+3)=15（平方厘米）
阴
71. 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，
四边形 BGHF 的面积是________平方厘米．
【答案】 141
【分析】 EG:GC=EB:CD=1:2，所以 EG= EC，
3
1 1 1 1
S△EBG= × AB× BC= ×120=10 连接 BH，设 S ="1"，则 S ="2"，
2 2 3 12 △BGH △AGH
由燕尾模型知 S ="3"，所以 S ="5"，又因为 S =4S =40，所以
△DHC △DGC △DGC △EBG
1
S =8，S =S -S = S -"2"=30-16=14
△BGH ❑ BGHF ❑ △DBF ❑ △DGH 4 ▱ABCD
72. 如图，三角形 ABC 被线段 AD、BE 分成 4 个部分，AE:EC=1:2，CD:DB=1:2，
已知三角形 AOE 的面积是 1，请问三角形 ABC 的面积是多少？
【答案】 21
【分析】 连接线段 OC，S :S =CE:AE=2:1,
△COE △AOE
所以 S =2，根据燕尾模型，
△COE
S :S =BD:CD=2:1,
△AOB △AOC
所以 S =6，又因为
△AOB
S :S =OB:OE=S :S =6:1,
△COB △COE △AOB △AOE
所以 S =12，所以
△COB
S =1+6+2+12=21.
△ABC
73. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1，D、E、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三
角形的面积？
1
【答案】
7
【分析】 给中间三角形的 3 个顶点标上字母，如图 1 所示．由于 D、E、F 分别是 3 条边上的三等分点，而 △ABC 的面积为 1，所以 △ABE、
1
△BCF、△CAD 的面积都是 ，这 3 个三角形的面积之和就等于大 △ABC 的面积，它们
3
的重叠部分是 3 个小三角形：△AME、△BNF、△CPD．因此阴影 △MNP 的面积就等于
这 3 个小三角形的面积之和．
假设 S =“1”，由于 D 是 BC 上的三等分点，可知 S =“2”（如图 2 所示）．
△CPD △BPD
S AF S BD
由燕尾模型可得 △APC = =2，所以 S =“6”；而 △ABP = =2，所以
S FB △APC S DC
△BPC △ACP
S =“12”（如图 3 所示）．
△ABP
1
因此，整个 △ABC 的面积是 “12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则 “1”= ，即
21
1
S = ．
△CPD 21
1 1 1
类似地，小 △BNF 和小 △AME 的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是 ×3= ．
21 21 7
