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2021 年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，请将每个小题所给四个选项中唯一
正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1.
的相反数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项．
【详解】解：
的相反数是
；
故选B．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2. 计算
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解．
【详解】解：
；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
3. 在庆祝新中国成立70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5 名进入
决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11 名同学成绩的( )
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前5 名参加决赛，共有11 名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5 个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
【详解】解：A.
，故A 选项错误；
B.
，故B 选项错误；
C.
，故C 选项错误；
D.
，故D 选项正确．
故答案为D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握
相关运算法则是解答本题的关键．
5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A.
B.
C.
D.
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2
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为
；
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
6. 如图，在菱形
中，
是
的中点，
，交
于点
，如果
，那么菱形
的周长是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得
，则有
，然后可得
，进而根据菱形的性质可求
解．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，即
，
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3
∵
，
∴
，
∵四边形
是菱形，
∴
；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形
的性质是解题的关键．
7. 如图，在
中，
，
于点
，
，
，
，则
的长
是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得
，
，则有
，然后可得
，然后根
据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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4
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8. 如图，面积为
的正方形
内接于⊙O，则
的长度为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD、AC，由题意易得
，然后根据弧长计算公式可求解．
【详解】解：连接BD、AC，
∵四边形
是正方形，且面积为18，
∴
，
∴
，
∴
，
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5
∴
的长度为
；
故选C．
【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键．
9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为
的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与
轴没有交点
B. 当
时
C. 图象与
轴的交点是
D.
随
的增大而减小
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．
【详解】解：由图象可得：
，即
，
A、图象与x 轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当
时，
，错误，故不符合题意；
C、图象与y 轴的交点是
，错误，故不符合题意；
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6
D、当
时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永远小于0，当
时，y 随x 的增大而减小，且y 的值永
远大于0，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10. 已知点
在第一象限，且
，点
在
轴上，当
为直角三角形时，点
的坐标为（ ）
A.
，
或
B.
，
或
C.
，
或
D.
，
或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可分当
时和当
时，然后根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：由题意得：
当
时，如图所示：
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
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7
∴
；
当
时，过点M 作MB⊥x 轴于点B，如图所示：
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴当
时，则
；当
时，则
，
∴
或
；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质
与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分，请将正确答案填写在答题卡相应的横
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8
线上）
11. 计算：
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果．
【详解】解：
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律．
12. 北京时间
年
月
日
时
分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，
顺利进入近火点，高度约
，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，
用科学记数法可以
表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：把
用科学记数法可以表示为
；
故答案为
．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
13. 因式分解：
_____．
【答案】
【解析】
【详解】原式=
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14. 若二次根式
在实数范围内有意义，则
的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式
在实数范围内有意义可得：
，解得：
；
故答案为
．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15. 实数
，
是一元二次方程
的两个根，则多项式
的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得
，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
，
是一元二次方程
的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得
，
∴
；
故答案
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关
键．
16. 若式子
的值为零，则
＝___．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
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10
【详解】解：由式子
的值为零可得：
，
∴
且
，
∴
；
故答案为0．
【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为
、
，若
，
，
则
的度数是____．
【答案】40°
【解析】
【分析】如图，由折叠的性质可得
，进而可得
，然后
易得四边形
是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．
【详解】解：如图所示：
∵
，
由折叠的性质可得
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
；
故答案为40°．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性
质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
18. 古希腊数学家把，
，
，
，
，
，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表
示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为
，第二个图形表示的三角形数记为
，…，
则第
个图形表示的三角形数
＝___．（用含
的式子表达）
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得
，
，
，
；…..；然后由此
规律可得第
个图形表示的三角形数．
【详解】解：由图及题意可得：
，
，
，
；…..
∴第
个图形表示的三角形数
；
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故答案为
．
【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解
答或证明的主要步骤）
19. 计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题主要考查零次幂、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幂、特殊三角函数值及算术
平方根是解题的关键．
20. 解不等式组：
，并在数轴上表示它的解集．
【答案】无解，数轴见详解
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可．
详解】解：
由①得：
，
由②得：
，
∴原方程无解，
在数轴上的表示如图所示：
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【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21. 如图，在
中，点
在
边上，
，将边
绕点
旋转到
的位置，使得
，连接
与
交于点
，且
，
．
（1）求证：
；
（2）求
的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得
，
，则有
，然后问题可求证；
（2）由（1）可得
，然后可得
，进而根据三角形外角的性质可进
行求解．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
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∴根据三角形内角和可得
，
∴
，
由（1）可得
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等
三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 为庆祝中国共产党成立
周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代
号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生
进行问卷调查．根据统计
数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）该校此次调查共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
（3）若该校共有
名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．
活动名称
朗诵
合唱
舞蹈
绘画
征文
活动代号
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【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240 名学生参加舞蹈活动．
【解析】
【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6 名，然后补全条形统计图即可；
（3）由（2）及题意可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
该校此次调查共抽取的学生人数为
（名）；
故答案为50；
（2）由（1）及题意可得：
参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；
补全条形统计图如图所示：
（3）由题意得：
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（名）；
答：该校有240 名学生参加舞蹈活动．
【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可．
23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．
年为庆祝湘西
自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉
学校数学实践活动小组为测量“一心阁”
的高度，在楼前的平地上A 处，观测到楼顶
处的仰角为
30°，在平地上
处观测到楼顶
处的仰角为
，并测得A、
两处相距
，求“一心阁”
的高
度．（结果保留小数点后一位，参考数据：
，
）
【答案】
m
【解析】
【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有
m，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有
m，
∴
，即
，
解得：
，
∴
m．
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【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24. 如图，
为⊙
的直径，
为⊙O 上一点，
和过点
的切线互相垂直，垂足为
．
（1）求证：
平分
；
（2）若
，
，求：边
及
的长．
【答案】（1）见详解；（2）
，
【解析】
【分析】（1 ）连接OC ，由题意易得
，则有
，进而可得
，然后问题可求证；
（2）连接BC，由题意及（1）易得
，则有DC=6，然后可得
，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD 是⊙O 的切线，
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∴
，
∵AD⊥CD，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
平分
；
（2）解：连接BC，如图所示：
由（1）可得：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为⊙
的直径，
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19
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
25.
年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开
始组建团队，制作面向
、
两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作
个
类微课和
个
类微课
需要4600 元成本，制作
个
类微课和
个
类微课需要
元成本．李老师又把做好的微课出售给某
视频播放网站，每个
类微课售价
元，每个
类微课售价
元．该团队每天可以制作个
类微
课或者
个
类微课，且团队每月制作的
类微课数不少于
类微课数的
倍（注：每月制作的
、
两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有
天制作微课，其中制作
类微课
天，制作
、
两类
微课的月利润为
元．
（1）求团队制作一个
类微课和一个
类微课的成本分别是多少元？
（2）求
与
之间的函数关系式，并写出
的取值范围；
（3）每月制作
类微课多少个时，该团队月利润
最大，最大利润是多少元？
【答案】（1 ）团队制作一个
类微课和一个
类微课的成本分别是700 元、500 元；（2 ）
，
；（3）每月制作
类微课
个时，该团队月利润
最大，最大利润是
元．
【解析】
【分析】（1）设团队制作一个
类微课
成本为
元，制作一个
类微课的成本为
元，由题意得
，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】解：（1）设团队制作一个
类微课的成本为
元，制作一个
类微课的成本为
元，由题意得：
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20
，
解得：
；
答：团队制作一个
类微课和一个
类微课的成本分别是700 元、500 元．
（2）由题意得制作
类微课
天，则有：
，
∵团队每月制作的
类微课数不少于
类微课数的
倍，
∴
，且
，解得：
，
（3）由（2）可得：
，
，
∴
随
的增大而增大，
∵每月制作的
、
两类微课的个数均为整数，
∴
为偶数，
∴当
时，w 取最大，最大值为
；
答：每月制作
类微课
个时，该团队月利润
最大，最大利润是
元．
【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一
次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线
经过
，
两点，交
轴于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接
，求直线
的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点
，使
的值最小，求点
的坐标，并求出此时
的
最小值；
（4）点
为
轴上一动点，在抛物线上是否存在一点
，使得以
、
、
、
四点为顶点的四边
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21
形是平行四边形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
；（2 ）直线
的解析式为
；（3 ）
，此时
的最小值为
；（4）存在，
或
．
【解析】
【分析】（1）把点A、B 的坐标代入求解即可；
（2）设直线
的解析式为
，然后把点B、C 的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得
，要使
的值为最小，则需满足点B、P、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点
，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，
③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线
经过
，
两点，
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22
∴
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为
，
∵抛物线与y 轴的交点为C，
∴
，
设直线
的解析式为
，把点B、C 的坐标代入得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
；
（3）由抛物线
可得对称轴为直线
，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B 关于抛物线的对称轴对称，
∴
，
∴
，
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23
要使
的值为最小，则需满足点B、P、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即
为所求的P 点，
∵
，
∴
，
∴
的最小值为
，
∵点P 在直线BC 上，
∴把
代入得：
，
∴
；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点
，
，当以
、
、
、
四点为顶点的
四边形是平行四边形，则可分：
①当AC 为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC 于点D，
∵四边形ANCM 是平行四边形，
∴点D 为AC、MN 的中点，
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24
∴根据中点坐标公式可得：
，即
，
解得：
，
∴
；
②当AM 为对角线时，同理可得：
，即
，
解得：
，
∴
；
③当AN 为对角线时，同理可得：
，即
，
解得：
，
∴
；
∴综上所述：当以
、
、
、
四点为顶点的四边形是平行四边形，点
的坐标为
或
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
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