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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知全集
，则
.
2．若复数
满足
，则
．
3．设
，不等式
的解集为 ．
4．设随机变量
服从二项分布
，则
.
5．设
若
，则
．
6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中
，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则
．
7．已知抛物线
上有一点
到准线的距离为
，点
到
轴的距离为
，则抛物线的焦点坐标
为 ．
8．在
中，
，
，
的平分线交BC 于点D，若
，
1
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则
．
9．第5 届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4 名同学参加了连续5 天的志
愿者活动．已知甲同学参加了2 天的活动，其余同学各参加了1 天的活动，则甲同学参加连续两天活动的
概率为 ．（结果用分数表示）
10．设数列
的前
项和为
，若
，
对任意正整数
恒成立，则
．
11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1 百米的半圆形小岛，其圆
心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足
，且AC 长度为3 百米，为便于游客到小岛观光，打
算从点A 到小岛建三段栈道AB、BD 与BE，水面上的点B 在线段AC 上，且BD、BE 均与圆C 相切，切点
分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道
、
以
及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.
12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描
述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线
与它的渐近线以及
直线
所围成的图形，将此图形绕
轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为
．
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．已知a，b 都是实数，那么“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
14．设函数
图像的一条对称轴方程为
，若
、
是函数
的两个不同的
零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，在正方体
中，
分别是
的中点.下列结论错误的是（ ）
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A．
B．
平面
C．
与
所成的角为
D．
平面
A1B1C1D1
16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）
（
）；（2）点
在函数
的图
像上；（3）向量
与
互相平行；（4）
与
的等差中项为
（
）；
那么，这样的数列
，
，
，
的个数为（ ）
A．78
B．80
C．82
D．90
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，在以
为顶点的五面体中，四边形
与四边形
均为等腰梯形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
为线段
上一点，且
，求二面角
的余弦值.
18．已知在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
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(1)若
，求
的面积；
(2)求
的最大值，并求其取得最大值时
的值．
19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类
基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程
度，随机抽取100 名学生作为样本，按照了解程度分为A 等级和B 等级，得到如下列联表：
男生
女
生
总计
A 等级
40
20
60
B 等级
20
20
40
总计
60
40
100
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平
）？
附：
，其中
，
．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人
A 和B 轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A 提问甲赢的概率
为
，主持人B 提问甲赢的概率为
，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人
A 提问．
（i）求比赛只进行3 局就结束的概率；
（ii）设
为结束比赛时甲赢的局数，求
的分布和数学期望
．
20．已知双曲线
的焦距为4，直线l：
与
交于两个不同的
点D､E，且
时直线l 与
的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；
(3)设A､B 分别是
的左､右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P，交直线AD 于点Q，求证：
线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.
21．设
是定义在区间
上的函数，其导函数为
.如果存在实数
和函数
，其
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中
对任意的
都有
，使得
，则称函数
具有性质
.
(1)设函数
，其中
为实数.
（ⅰ）判断函数
是否具有性质
，请说明理由；
（ⅱ）求函数
的单调区间.
(2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围.
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