【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第49讲第1课时变量的相关关系及线性回归模型

研题型　素养养成

举题说法

变量的相关关系

例1　某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：

根据表中数据，下列说法正确的是(　A　)

A. 利润率与人均销售额成正相关关系

B. 利润率与人均销售额成负相关关系

C. 利润率与人均销售额成正比例函数关系

D. 利润率与人均销售额成反比例函数关系

【解析】 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．

判定两个变量相关性的方法

(1) 画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．

(2) 样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．

(3) 经验回归方程：当^＞0时，正相关；当^＜0时，负相关．

变式1　在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是(　B　)

(变式1)

A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%

B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

【解析】 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.

样本相关系数

例2(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m²)和材积量(单位：m³)，得到如下数据：

并计算得∑¹⁰_i＝1x2i＝0.038，∑¹⁰_i＝1y2i＝1.615 8，∑¹⁰_i＝1x_iy_i＝0.247 4.

(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

【解答】 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.610＝0.06，样本中10棵这种树木的材积量的平均值 y＝3.910＝0.39，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m²，平均一棵的材积量为0.39 m³.

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

【解答】r＝∑¹⁰_{i＝1)) (xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)}\o(∑¹⁰_{i＝1))(xi－\x\to(x)}¹⁰_{i＝1))(yi－\x\to(y))2}

＝2i2i∑¹⁰_{i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y}（\o(∑¹⁰_{i＝1))x－10\x\to(x}¹⁰_{i＝1))y－10\x\to(y)2）}

＝0.247 4－10×0.06×0.39\r((0.038－10×0.062)(1.615 8－10×0.392))

＝0.013 4\r(0.000 189 6)

≈0.013 40.013 77≈0.97.

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m².已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

参考数据：1.896≈1.377.

【解答】 设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m³.由已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39＝186Y，解得Y＝1 209，则估计该林区这种树木的总材积量为 1 209 m³.

线性经验回归方程

例3(2024·武汉2月调研)某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．

若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答下列问题：

(1) 试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；

【解答】x＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y＝15.4＋25.4＋35.4＋85.4＋155.4＋195.46＝85.4，∑⁶_i＝1x2i－6x²＝1＋4＋9＋16＋25＋36－6×494＝17.5，所以r＝2i∑⁶_{i＝1))xiyi－6\x\to(x)　\x\to(y}\o(∑⁶_{i＝1))x－6\x\to(x)2}⁶_{i＝1)) (yi－\x\to(y))2}＝7217.5)×20\r(70＝67020×35≈0.96.

(2) 试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．(^，^均保留一位小数)

参考数据：∑⁶_i＝1x_iy_i＝2 463.4，∑⁶_{i＝1)) (yi－\x\to(y)}＝2070.

【解答】 由题意知 ^＝2i∑⁶_{i＝1))xiyi－6\x\to(x)　\x\to(y}∑⁶_{i＝1))x－6\x\to(x}＝7217.5≈38.3，所以^＝85.4－

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