【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第26讲平面向量数量积的应用

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1. (人A必二P36练习T1)已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则|a|＝_5_，|b|＝_29_，a·b＝_－7_.

【解析】 |a|＝(－3)2＋42＝5，|b|＝52＋22＝29，a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.

2.(人A必二P61复习参考题T13(4))已知e_1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e₁＋e₂与b＝－3e₁＋2e₂的夹角为(　C　)

A. 30°　　　　B. 60°　　　　

C. 120°　　　　D. 150°

【解析】因为e_1，e2是夹角为60°的两个单位向量，所以|e₁|＝1，|e₂|＝1，e₁·e₂＝12.又a·b＝(2e₁＋e₂)·(－3e₁＋2e₂)＝－6e21＋e₁·e₂＋2e22＝－6＋12＋2＝－72，|a|＝(2e1＋e2)2＝21224e＋4e1·e2＋e＝7，|b|＝(－3e1＋2e2)2＝21229e－12e1·e2＋4e＝7，所以cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，所以a＝2e₁＋e₂与b＝－3e₁＋2e₂的夹角为120°.

3. (人A必二P22练习T1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，向量a与b的夹角为π6，向量b与c的夹角为π4，则(a·b)c＝_3c_；a(b·c)＝_32a_．

【解析】 (a·b)c＝|a||b|cos π6c＝1×2×3)2c＝3c，a(b·c)＝a·|b||c|cos π4＝2×3×2)2a＝32a.

4. 已知|a|＝1，b＝(1，3)，a⊥(a＋b)，则向量a在向量b上的投影向量为(　D　)

A. (－1，－3)B. (－3，－1)

C. \a\vs4\al\co1(－\f(1\r(32)D. \a\vs4\al\co1(－\f(1\r(34)

【解析】 由题知|b|＝1＋3＝2，与向量b同向的单位向量为b|b|＝\a\vs4\al\co1(\f(1\r(32).因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝a²＋a·b＝1＋2cos 〈a，b〉＝0，得cos 〈a，b〉＝－12，所以|a|cos 〈a，b〉＝－12，所以向量a在向量b上的投影向量为－12\a\vs4\al\co1(\f(1\r(32)＝\a\vs4\al\co1(－\f(1\r(34).

5. 如图，已知A，B，C是单位圆O上的三点，且→＝→＋→，则→·→＝_－12_．

(第5题)

【解析】 因为→＝→＋→，所以→²＝→²＋→²＋2|→|·|→|·cos ∠BOC，解得cos ∠BOC＝－12.又∠BOC∈[0，π]，所以∠BOC＝2π3，故△OAB，△OAC均是边长为1的正三角形，所以→·→＝1×1×cos 2π3＝－12.

聚焦知识

1. 向量的夹角

已知两个非零向量a，b，作→＝a，→＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是_[0，π]_．

2. 投影向量

如图，设a，b是两个非零向量，→＝a，→＝b，考虑如下变换：过→的起点A和终点B，分别作→所在直线的垂线，垂足分别为A_1，B1，得到→，称上述变换为向量a向向量b投影，→叫做向量a在向量b上的投影向量，且a在b上的投影向量为|a|cos θb|b|＝a·b|b|2·b，θ为a与b的夹角．

3. 平面向量的数量积

已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cos θ叫做向量a，b的数量积，记作a·b.

4. 平面向量数量积的性质

(1) 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos θ(θ为a，e的夹角)；

(2) a⊥b⇔a·b＝0；

(3) 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|；当向量a，b反向时，a·b＝_－|a||b|_，特别地，a·a＝|a|²，|a|＝a·a；

(4) cos θ＝a·b|a||b|(θ为a，b的夹角)；

(5) |a·b|≤_|a||b|_．

5. 平面向量数量积的运算律

(1) 交换律：a·b＝b·a；

(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；

(3) 对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).

6. 平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x_1，y1)，b＝(x_2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

(1) 数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x₁x₂＋y₁y₂_；

(2) 模：|a|＝a·a＝_2121x＋y_；

(3) 夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝_21212222x1x2＋y1y2\r(x＋y)·\r(x＋y)_；

(4) 对两非零向量a，b，a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔_x₁x₂＋y₁y₂＝0_；

(5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x₁x₂＋y₁y₂|≤2121x＋y·2222x＋y.

7. 平面向量数量积运算的常用公式

(1) (a＋b)·(a－b)＝a²－b²；

(2)(a±b)²＝a²±2a·b＋b².

8. 有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2) 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

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举题说法

平面向量的数量积运算

例1　(1) (2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，则→·→＝(　B　)

A. 5B. 3

C. 25D. 5

【解析】方法一：以{→，→}为基底向量，可知|→|＝|→|＝2，→·→＝0，则→＝→＋→＝12→＋→，→＝→＋→＝－12→＋→，所以→·→＝\a\vs4\al\co1(\f(1AB→)→))·\a\vs4\al\co1(－\f(1AB→)→))＝－14→²＋→²＝－1＋4＝3.

(例1(1)答)

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得→＝(1，2)，→＝(－1，2)，所以→·→＝－1＋4＝3.

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