【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第1讲集合及其运算

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式

第1讲　集合及其运算

链教材　夯基固本

激活思维

1. (人A必一P9习题T1改)若集合A＝{x|x²－1＝0}，则下列结论错误的是(　D　)

A. 1∈AB. {－1}⊆A

C. ∅⊆AD. {－1，1}∉A

2. (多选)已知集合A＝{x|x²－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2^x≤8}，则下列判断正确的是(　BC　)

A. A∪B＝B

B. (∁_RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}　　　　

C. A∩B＝{x|1＜x≤2}　

D. (∁_RB)∪(∁_RA)＝R

【解析】 因为x²－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2^x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(∁_RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(∁_RB)∪(∁_RA)＝{x|x≤1或x＞2}．

3. (人A必一P35复习参考题T9改)已知集合A＝{1，3，a²}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_2_．

【解析】 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a²时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.

4. (人A必一P9习题T5改)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_[2，＋∞)_．

【解析】 由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.

(第4题答)

聚焦知识

1. 集合与元素

(1) 集合中元素的三个特性：_确定性_、_互异性_、_无序性_．

(2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4) 常见集合的符号表示

2. 集合间的基本关系

注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有_2ⁿ_个子集，_2ⁿ－1_个真子集．

3. 集合的基本运算

4. 常见结论与等价关系

(1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2) (∁_UA)∪A＝_U_；∁_U(∁_UA)＝_A_．

(3) 摩根定律：∁_U(A∩B)＝(∁_UA)∪(∁_UB)，∁_U(A∪B)＝(∁_UA)∩(∁_UB).

研题型　素养养成

举题说法

集合中元素的性质

例1　(1) 若集合{x|x²＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是_{1，－1}_．

【解析】 若集合{x|x²＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x²＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)²－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．

(2) 已知a，b∈R，若a，\f(ba)，1)＝{a^2，a＋b，0}，则a^{2 024}＋b^{2 024}＝(　C　)

A. －1B. 0

C. 1D. －1或0

【解析】 因为a，\f(ba)，1)＝{a^2，a＋b，0}，所以b＝0，所以{a，0，1}＝{a^2，a，0}，则1＝a²且a≠1，解得a＝－1，故a^{2 024}＋b^{2 024}＝1.

集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．

变式1　(1) (2025·沈阳期初联考)设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N^*|x＜6}，则实数a＝_2_．

【解析】 因为A∪B＝{x∈N^*|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，所以B⊆A∪B，即{1，a＋2，2a＋1}⊆{1，2，3，4，5}，所以1＜a＋2≤5，1＜2a＋1≤5，a＋2≠2a＋1，a∈Z，解得a＝2.当a＝2时，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，4，5}，满足条件．

(2) 已知集合A＝{x|(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_1或53_．

【解析】①若a²－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－\f(12))，符合题意；当a＝－1时，A＝∅，不符合题意．②若a²－1≠0，则Δ＝0，即(a＋1)²－4(a²－1)＝0，解得a＝53，此时A＝－\f(34))，符合题意．综上所述，a＝1或53.

集合间的关系

例2　(1) (2024·潍坊、滨州一模)已知集合A＝{x|log₃(2x＋1)＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝(　D　)

A. 1B. 2　

C. 3D. 4

【解析】 由log₃(2x＋1)＝2，得2x＋1＝3²，解得x＝4，所以A＝{x|log₃(2x＋1)＝2}＝{4}．又B＝{2，a}，A∪B＝B，故A⊆B，所以a＝4.

(2) (2024·济宁一模)设集合A＝{x|x²－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_[3，＋∞)_．

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