初中数学:化简后二次项没了,去分母后却变成了一元二次方程?

今天在复习课上做了一道一元二次方程的辨析题，虽然做错的学生不多，但部分学生的反应却引起了我的深思。

题目如下：

下列方程中是一元二次方程的是（）

A.B.

C.D.

因为是复习课，类似的题型在新课时已经练过。一眼扫过去，A、D就可以凭借“含未知数且最高次为2的整式方程”定义轻松排除。在对答案时，我发现有几个数学基础非常薄弱的学生选了B。

我随口提示道：“判断一元二次方程，首先按定义看：只含一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2。其次，可以看它能否整理化为一元二次方程的一般形式。B整理后二次项抵消，变成了一元一次方程，所以只能选C。”

大部分同学也都顺势选出了C。可就在这时，一名学生突然举手说：“老师，那D答案去分母后，不也能化为一元二次方程的一般形式吗?”

我一愣，说：“是呀！那为什么D却不对?大家想想。”

数学课代表小声说：“D的分母中含有字母，是分式方程。”

完全正确！可是，刚才那位学生的疑惑并没有真正被解开：B表面看符合定义，但整理后不含二次项；D虽不符合定义，但去分母后也能化为一元二次方程。这到底该怎么区分?

说实话，这个问题我往年上课时也有过一闪而过的疑惑，但没有深究。课后，我特意请教了一位资深数学老师，他用两个词点醒了我：等价变形、定义域（取值范围）。

这让我恍然大悟。但在初中阶段，怎么用更通俗易懂的语言，给孩子们讲明白呢?

我的解法是，用数学符号“⇔”和“⇒”来对比两者的变形过程：

· B的变形：⇔（等价变形）。 两边同时加减同一个整式，或者除以一个非零常数。左右两边是可以互相推导的，没有改变任何隐含条件。

· D的变形：⇒（单向推导）。 左边去分母可以得到右边，但右边推回左边，必须附加一个条件——原分母不能为0（即x ≠‌0）。

所以，D在变形前是一个分式方程，去分母这个动作，强行改变了原方程中未知数的限制条件，不能算作等价变形。

因此，D不能算一元二次方程。这样解释，学生们瞬间就通了。

课后反思：

我们平时教学生判断方程类型，往往只强调了“看形式、看化简”，却忽略了“看变形过程是否等价”。学生之所以出错，是因为他们只看到了“形”，没有看到“形”背后的本质。

这次课堂上的小插曲，也提醒了我：教学不能“不求甚解”。 很多时候，学生的一个“钻牛角尖”，恰恰是倒逼老师把知识讲得更透的契机。

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