别再用“洛希极限”折磨学生了——谈一谈高中物理“建模题”应该如何命制

【一、问题由来】

      高三模拟卷中，多次出现了一类要求“建模推导洛希极限”的题目，看起来情境新颖、考察能力，仔细推敲却发现逻辑千疮百孔，今天就从这道题谈起，聊聊什么样的物理“建模题”才是真正符合科学精神素养的好题。

      乍一看上去似乎没有问题，但仔细推敲就会发现其存在非常明显的严谨性缺失：为什么伴星上距离主星最近的地方最容易解体？难道就因为该处受到主星的引力最大吗？

      实际上伴星整体也在绕主星（更严谨的说法是绕双星质心）运动，或者向主星加速下落，因此真正剩下的并不是主星对某点的绝对引力，而是主星对该点的引力减去主星对伴星中心的引力，这也就是“潮汐力”！

      洛希极限正是潮汐力的一个直接运用，但由于学生在高中完全没有学习过潮汐力，更不知道其精确的数学表达式，故而直接认定伴星上距离主星最近的地方最容易解体是完全没有依据的，这完全是命题理念错误！其相当于要求学生凭直觉“猜出”一个未经证明的结论，再拿它来推另一个问题，这根本不是考“建模”，并且已经违背了数理学科的根本宗旨！与其这样，倒不如给定必要的物理原理，考察学生推导潮汐力。

【二、潮汐力的定性理解】

      我们知道地球上海水的潮汐现象主要是月球造成的，太阳的引力也起一定作用，但如果像该题那样认为潮汐现象是由引力引起的，这就有点费解了，因为太阳对地球的引力比月球对地球的引力大180倍，这到底是怎么回事呢？

      潮汐现象是海水相对于地球表面的涨落，而地球本身在月球引力作用下绕地月质心公转，因此地心参考系是一个非惯性系。我们关心的是海水相对于地球的变形，因此站在地球的角度去观察，即选择地心作为平动参考系，是最符合直觉且便于计算的。在地心参考系中，地球质心是静止的，地心处受到月球的引力，恰好被整个参考系加速运动产生的惯性力精确抵消。但实际上地球处于月球形成的引力场里，地球上不同位置受到的月球引力不同，而地球半径足够大，以至于这个引力的差值不能忽略，因此对于偏离地心的质点，它们受到的月球引力大小和方向与地心不同，而惯性力在平动参考系中是统一给的，这样一来，引力的“均匀部分”被惯性力抵消了，剩下的“残余力”，才是潮汐力的本质！即潮汐力=某点受到的引力-地心受到的引力。

【三、潮汐力公式推导】

      忽略太阳以及其它天体影响，忽略地球自转和海洋流动，认为地球和月球环绕系统质心运动，地月质心系为惯性系。

      以下加粗字符为矢量。

【四、潮汐力的定量理解和实际应用】

      潮汐力在地表上的分布如上图所示：在离月球最近处和最远处是背离地心的，这两处形成海水的最高峰。随着地球的自转，一昼夜之间有两个高峰和两个低谷扫过每个地方，形成两次涨潮和落潮。

      太阳和月亮的潮汐力效果会形成矢量叠加，合成的结果与相对方位有关。在朔日和望日，太阳、地球、月球在同一直线上，形成每月两次的大潮；上弦月和下弦月时月球和太阳与地球的连线形成直角，形成每月两次的小潮。

      最后回到题目的洛希极限推导。只有拿到了潮汐力的表达式，才能有理有据地认为伴星上距离主星最近的位置（也包括距离主星最远的位置）是最容易解体的，临界条件为潮汐力刚好等于伴星自身对该位置的引力。

【五、“建模题”应该如何命制】

      对于涉及课外知识的建模题目，一定要从已知现象和规律出发，给定相关基本原理和物理思想作为引导，让学生合理完成建模，并一步一步严谨推导出结论，这是最为重要的前提！切不可只是简单照扒竞赛或大学内容，更不能只是强调题目中给定了数学小量近似公式，数学上不超纲了就没有问题了，因为物理不是数学的附庸，比如这道题，要是学生都没有引力场的概念，不知道引力场空间分布不均匀，他们又如何能凭空产生求引力差的念头？

      更好的结果是实现“考学一体”：一道好的课外建模题目，完全应该能做到通过让学生做完这道题，能完成一次真正的学习——不光是学到了新的知识，能解释更多实际生活中的现象，更是体验了一次从已有旧知识生长出新知识的科研思维。