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考研数学二真题解析:2009考研数学真题解析(知识点标注版)
1 一、选择题
（1）
函数 的可去间断点的个数为（ ）
- （A）1.
- （B）2.
- （C）3.
- （D）无穷多个.
答案： C
知识点：
- 函数间断点的分类
- 可去间断点的判定
- 等价无穷小与洛必达法则
解析：
当 为整数时，，这些点均不在函数定义域内。要使整数点 为可去间断点，还需分子同时为 ：
解得
在这三个点，分子和分母均为一阶零点。例如由洛必达法则，
极限均为有限值。因此可去间断点共有 个，选 C。
（2）
当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： A
知识点：
- 等价无穷小
- 泰勒展开
- 无穷小阶数与系数的比较
解析：
当 时，
而
两者要成为等价无穷小，首先必须消去前者的一次项，故
此时
而
比较系数得
故选 A。
（3）
设函数 的全微分为 ，则点 （ ）
- （A）不是 的连续点.
- （B）不是 的极值点.
- （C）是 的极大值点.
- （D）是 的极小值点.
答案： D
知识点：
- 全微分与偏导数
- 二元函数的驻点
- 二元函数极值的充分条件
解析：
由
可知
因此 是驻点。二阶偏导数为
于是
故 是极小值点，选 D。事实上，由全微分还可得
所以该点也是全局最小值点。
（4）
设函数 连续，则
（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： C
知识点：
- 二重积分的积分区域
- 累次积分交换积分次序
- 平面区域的合并
解析：
第一个累次积分的区域为
交换积分次序后，可写为
第二个累次积分的区域为
两区域恰好沿直线 相接，合并后为
故原式等于
选 C。
（5）
若 不变号，且曲线 在点 处的曲率圆为 ，则函数 在区间 内（ ）
- （A）有极值点，无零点.
- （B）无极值点，有零点.
- （C）有极值点，有零点.
- （D）无极值点，无零点.
答案： B
知识点：
- 曲率圆与曲率中心
- 导数的几何意义
- 二阶导数与单调性
- 零点定理
解析：
曲率圆 的圆心为 ，在点 处的切线斜率为 ，故
曲线 在 处的曲率中心为
将曲率中心 和 代入，得
由于 不变号，故在 内 ，从而 不增，并有
因此 在 上严格递减，不存在极值点。
又因为 ，由导数的定义可知，存在充分小的 ，使得当 时，
分别在 与 上应用拉格朗日中值定理，可得
于是 。而 ，由零点定理， 在 内有零点。故选 B。
（6）
设函数 在区间 上的图形为（图示略），则函数 的图形为（图示略）
- （A）图示略.
- （B）图示略.
- （C）图示略.
- （D）图示略.
答案： D
知识点：
- 变上限积分函数
- 微积分基本定理
- 导数符号与函数单调性
- 定积分的几何意义
解析：
由微积分基本定理，
因此应根据原图中 的正负判断 的增减，并结合 判断其位置。由题目所给图形可知：
- 当 时，，故 且递减；
- 当 时，，故 递增；
- 当 时，，故 为常函数；
- 当 时，由原图可知 为常数，故 为线性函数，且 。
结合 的连续性，选 D。
（7）
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： B
知识点：
- 分块矩阵的逆矩阵
- 伴随矩阵与逆矩阵的关系
- 分块矩阵的行列式
解析：
令
因为 、，所以 均可逆，并且
直接验证可得
因此
故选 B。
（8）
设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且
。
若 ，，则 为（ ）
- （A）.
- （B）.
- （C）.
- （D）.
答案： A
知识点：
- 二次型的合同变换
- 换基矩阵
- 矩阵乘法
解析：
令
则 。因此
故选 A。
2 二、填空题
（9）
曲线 在点 处的切线方程为 ________。
答案：
知识点：
- 参数方程所确定曲线的切线；
- 变上限积分的求导；
- 复合函数求导及参数曲线斜率公式。
解析：
曲线经过 时，由 可取 ，此时 。分别对参数 求导：
于是
故曲线在该点的切线斜率为
因此切线方程为
（10）
已知 ，则 ________。
答案：
知识点：
- 无穷区间上的反常积分；
- 偶函数的积分性质；
- 指数函数反常积分的敛散性。
解析：
积分收敛必须有 。利用被积函数的偶性，得
由题意 ，故
（11）
________。
答案：
知识点：
- 定积分的计算；
- 分部积分法；
- 数列极限及有界量估计。
解析：
记
分部积分（或利用指数函数与三角函数乘积的积分公式）可得
由于 ，，故
因此
（12）
设 是由方程 确定的隐函数，则 ________。
答案：
知识点：
- 隐函数的求导；
- 二阶导数；
- 复合函数求导。
解析：
令 ，由原方程得 ，所以 。
对原方程两边关于 求导，得
令 、，得
再次求导，得
将 、、 代入，得
故
（13）
函数 在区间 上的最小值为 ________。
答案：
知识点：
- 幂指函数的对数求导；
- 函数的单调性与极值；
- 区间上最值的判定。
解析：
将函数写成
求导得
在 上，；在 上，。因此 为最小值点。又
故区间上的最小值为
（14）
设 为 3 维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 ________。
答案：
知识点：
- 相似矩阵的性质；
- 矩阵的迹；
- 列向量与行向量乘积的迹。
解析：
相似矩阵的迹相等，因此
另一方面，直接按矩阵乘法可得
所以
3 三、解答题
（15）
求极限
。
知识点：
- 等价无穷小；
- 泰勒公式；
- 未定式极限的计算。
解析：
当 时，
又由
以及
可得
从而
因此原极限为
（16）
计算不定积分
。
知识点：
- 不定积分的分部积分法；
- 根式换元；
- 有理函数的部分分式分解。
解析：
令
则 ，且
对原积分作分部积分，得
作部分分式分解：
于是
因此
由
以及
代回 ，得
（17）
设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 与 。
知识点：
- 多元复合函数的偏导数；
- 全微分；
- 二阶混合偏导数与链式法则。
解析：
令
记 为 关于第 个变量的一阶偏导数， 为相应的二阶偏导数，以下各偏导数均在点 处取值。
由复合函数求导法则，
故
再对 关于 求偏导。由于 具有二阶连续偏导数，混合偏导数可以交换，整理得
（18）
设非负函数 满足微分方程 。当曲线 过原点时，其与直线 及 围成的平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体的体积。
知识点：
- 可降阶的二阶微分方程；
- 定积分的几何应用；
- 旋转体体积的柱壳法。
解析：
令 ，则原方程化为
当 时，
积分得
再积分得微分方程的通解
曲线过原点，故 。由面积条件，
所以 ，从而
区域 绕 轴旋转，采用柱壳法计算体积：
（19）
计算二重积分
，
其中
。
知识点：
- 二重积分的极坐标变换；
- 极坐标下积分区域的确定；
- 换元积分法。
解析：
作极坐标变换
圆域条件化为
而 对应 。因此区域 可表示为
于是
令 ，则
故
（20）
设 是区间 内过点 的光滑曲线。当 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 时，函数 满足 。求函数 的表达式。
知识点：
- 曲线的切线与法线；
- 一阶可分离变量微分方程；
- 二阶常系数线性非齐次微分方程；
- 分段函数的光滑衔接条件。
解析：
当 时，曲线在点 处的法线斜率为 。由于法线过原点，其斜率也等于 ，故
即
积分得
将点 代入，得 。由于曲线经过的已知点的纵坐标为正，故在 上取圆的上半支：
由此
当 时，方程
的通解为
曲线光滑，故函数及其一阶导数在 处连续。因此
代入通解得
所以
（21）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得 。
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 。
知识点：
- 罗尔定理与拉格朗日中值定理；
- 辅助函数法；
- 单侧导数的定义；
- 极限的复合传递。
解析：
（Ⅰ）构造辅助函数
由题设， 在 上连续，在 内可导，且
根据罗尔定理，存在 ，使得 ，即
因此
拉格朗日中值定理得证。
（Ⅱ）任取 。由于 在 处连续，且在 内可导，所以 在 上满足拉格朗日中值定理的条件。故存在 ，使
当 时，由 知 。又因
所以
由右导数的定义， 存在，且
（22）
设
。
（Ⅰ）求满足 ， 的所有向量 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 ，证明： 线性无关。
知识点：
- 非齐次线性方程组的通解；
- 齐次线性方程组的基础解系；
- 向量组线性无关的证明；
- 矩阵乘法与幂的性质。
解析：
（Ⅰ）先求 。容易验证
而齐次方程 的解空间为
故 的全部解为
再计算
设 ，则方程 等价于
而 为自由未知量。因此全部解为
（Ⅱ）设
由 、 以及 ，对上式两边左乘 ，得
因为 ，所以 。原式化为
再对其两边左乘 ，得
故 ，进而 。因此
线性无关。
（23）
设二次型
。
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值。
知识点：
- 二次型的矩阵表示；
- 特征多项式与特征值；
- 实二次型的规范形；
- 惯性定理及正、负惯性指数。
解析：
（Ⅰ）二次型 的矩阵为
其特征多项式为
所以 的全部特征值为
（Ⅱ）规范形为 ，说明该二次型的正惯性指数为 、负惯性指数为 ，且秩为 。因此三个特征值中应有两个为正数、一个为零。
由
得可能的取值为 。分别考察：
只有 时恰有两个正特征值和一个零特征值。因此
