厦门高一数学月考对比：二中、六中、科技，与一双外到底差在哪？

大家好，我是厦门数学陈老师，曾任职厦门某知名三字机构，专注厦门高中数学教学。平时结合厦门各校月考、质检与高考真题，分享学习方法、失分点与提分思路。

高一第一次月考结束，家长最想问的，往往是这几句话：

别的学校考得怎么样？孩子觉得难，是他没学好，还是卷子本身就难？在自己学校成绩还可以，放到其他学校，还跟不跟得上？

我是数学陈老师

这次，我把厦门一中、双十、外国语、二中、六中、科技、松柏、翔安一中的八份试卷，放在一起逐题看了一遍。

看完以后，我觉得值得聊。尤其是，有些题目考查的知识并没有超出多少，但对孩子的要求，已经明显不同了。

同样学集合，有的题要求算出交集、并集，有的要求根据新定义证明元素之间的关系；同样学函数，有的题给出式子让你求值，有的要把单调性、复合关系和参数条件连起来研究。

这些差别，家长只看分数，是看不出来的。

今天按照一中、双十、外国语；二中、六中、科技；松柏、翔安一中三组展开。

先说明，下面谈的是这次试卷的题面要求。我没有各校均分、排名和逐题得分率，因此不做跨校分数换算，也不会根据一份卷子，就判断某所学校的学生一定比另一所学校强。

但卷子到底难在哪里，孩子接下来应该练什么，我想说得具体一点。

01. 一中、双十、外国语：难在条件给了以后，还要自己往下走

如果让我概括这一组后段综合题比较突出的要求，我会说：孩子得能自己组织条件，继续推理。方法未必直接摆在眼前。

先看一中：

第7题把偶函数、图像关于一个点对称，以及一小段区间上的解析式放在一起，让学生求另一个位置的函数值。

孩子即使记得每一条性质，也得想清楚怎样把这些性质接起来，把要求的位置转到已知区间。

最后的第19题，这种要求更明显。

题目定义了集合D(x₀)，里面放的是那些能使f(x₀+d)>f(x₀)成立的数d。先在具体函数下求集合，再证明集合之间的包含关系，最后根据给出的性质证明f(0)≥1。

图注：从按定义计算，到利用定义证明。

这道题的难度，是往后逐步增加的。第一问还能对着具体函数算。到了后面，学生要把"属于集合"翻译成不等式，再把不等式与其他条件联系起来。

我觉得，这很能看出孩子对定义的理解到了哪一步。定义读得懂，和能拿定义做证明，中间还有一段距离。

双十的末题，则更强调从具体例子走向一般规律。

第19题定义了"封闭集"：集合中任取规定的两个元素，它们的和或差，至少有一个仍在集合中。题目先让学生判断两个具体集合，再研究四个元素的情况，最后推到2026个元素。

图注：例子能算出来，一般规律怎样推？

做到这里，逐个列举就很难继续了，得开始寻找限制。比如，最大的元素与自身相加，已经超过集合里的最大值。那么，根据定义，另一个条件会逼出什么？

我看这道题，会特别留意孩子有没有这样的意识：先找一个确定的事实，再用它推动后面的推理。

外国语的后段题，难点又有所不同。

第19题研究一个二次函数，先求值域，再研究f(f(x))<0没有解，最后比较f(x)=x与f(f(x))=x的解集。

图注：同一个函数，逐步增加复合与解集条件。

前一问会求二次函数的值域，后面未必就能顺着做下去。孩子还得分清：里面的函数先取了什么值，外面的函数接着怎样变化；两个方程的解，又有什么联系。

所以，这一组后段综合题给我的感受是：学过的方法要会，还要能判断什么时候用、怎样组合。

如果孩子做常规题很顺，碰到这些题却不知道从哪里开始，复习就应该增加读定义、转条件和独立推理的训练。

02. 二中、六中、科技：组内差别也不小，不能统称为"比一双外简单"

二中、六中、科技放在一起聊，我觉得有个地方需要先讲清楚：这三份卷子的难度走向，并不完全一致。

二中的一些综合题，常规方法的线索相对清楚。

比如第18题，先在a取确定值时求解，再要求完整地解含参数不等式，最后研究恒成立问题。

图注：从具体求解，走到参数分类与恒成立。

这类题很适合检查孩子的方法是否学完整了。a等于一个数时，孩子可能会做；换成字母，就开始漏情况。

二次项系数为零要不要讨论？系数变号以后，解集怎样改变？两个根的大小关系会不会变化？

这些都需要有依据地分类。

和前面一中、双十所举的末题相比，这道题能比较明确地对应到含参数不等式的常规研究方法。难点更多落在方法是否熟练、分类是否完整。

但六中、科技的部分综合题，已经明显增加了转换和推理要求。

六中第19题定义了"靓点"：坐标满足x+y=xy的点。随后研究直线、二次函数图像上的"靓点"。

图注：读懂新定义，转成方程，再研究交点。

名字是新的，关系式却写得很清楚。学生能不能把它与函数解析式联立，转成方程？转完以后，能不能继续研究解的个数，以及这些解要满足的其他条件？

做到后面，已经需要持续整理条件，不能只靠认题型。

科技第18题也很有代表性。

先求两个函数的解析式，再组成分段函数h(x)，接着研究绝对值变换后的图像，以及h(h(x₀))=x₀的解的个数。

图注：分段、图象与函数复合，连续放在一起考。

这里有个很容易卡住孩子的地方：第一次算出的函数值，决定第二次应该代入哪一段。如果第一次的结果不在h的定义域内，第二次运算就不能继续。

科技最后一道研究f(x)=x²+2/x，又从单调性证明，走到相同函数值对应的两个正数之间的关系，再研究区间与值域的对应。

所以，问"二中、六中、科技和一双外差在哪"，我会分开回答：

二中所举题目的常规方法线索更明确；六中、科技的部分综合题，已经和前一组形成交叉。不能因为学校被放在同一组，就认为卷子也是同一种难度。

另外，二中卷面标注90分钟，科技和六中标注120分钟。做题时间不同，也会影响考场压力，这一点不能忽略。

03. 松柏、翔安一中：熟悉的知识主线里，同样设置了往上走的门槛

看这一组，我会更关注孩子能不能把常规知识做扎实，再往综合题推进。但这不意味着，卷子后面没有难度。

松柏第7题要求含参数的二次不等式恰有两个整数解；第8题给出集合元素之间的变换规则，让学生判断集合至少有多少个元素。

最后一道题，又根据集合元素的和、差的绝对值定义新集合，进一步要求证明四个元素之间的等式关系。

图注：先计算新集合，再利用元素关系完成证明。

这道题第一问可以直接算，后面则要利用元素大小、集合相等这些条件往下推。

孩子如果前面的分段函数、集合包含关系还不稳，我会建议先把这些补好；如果这些已经能独立完成，就应该开始尝试后面的证明。

翔安一中第19题，很适合说明"常规式子也能继续增加要求"。

题目研究kx²−(2k+1)x+2<0，可以分解成(x−2)(kx−1)，随后要求分类求解，再研究解集中能否恰有三个整数。

图注：能分解式子以后，还要处理参数与整数解。

式子分解出来，后面还有不少事情。k=0怎么办？k变号以后，解集怎样变？两个根的顺序什么时候改变？题目是不等号严格小于，端点上的整数算不算？

我觉得，这道题很能检查孩子做题是否完整。

这一组的复习，可以沿着比较熟悉的知识主线推进：先确保会求解，再确保会分类，最后增加整数解、集合证明等要求。每一步都要真正做到，不能因为看过讲解，就以为已经过关。

04. 三个梯度的区别，应该怎样看？

如果只比较上面这些代表题，我会这样理解：

一中、双十、外国语的后段综合题，更突出抽象关系、条件转换和连续推理。

二中、六中、科技这一组跨度较大。既有方法线索较清楚、强调完整分类的题，也有需要多次转换的新定义和函数综合题。

松柏、翔安一中可以沿常规知识主线来安排复习，但局部题目的证明、参数边界和整数解要求，同样不能低估。

这是这次题面的区别，不能直接变成对学生水平的判断。

而且，八份卷子里还有个挺有意思的细节。

一中第10题和二中第11题，在x+y=1、x和y为正数的条件下，给出了相同的最值判断题。

图注：厦门一中T10

图注：厦门二中T11

所以，我更愿意把这些卷子当成一组参照，看看孩子目前能独立处理哪一层要求。

常规求解能不能做对？参数变化能不能分清？换一个定义能不能读懂？前面两问做完，能不能继续往后推？这些问题，比给学校简单排一个顺序，更能帮助我们安排接下来的学习。

05. 差距会不会越来越大？我更担心每天练习的要求不同

只凭这次月考，不能判断学校之间的差距正在扩大。但有一种情况，我觉得值得家长注意。

一个孩子每天都在做自己熟悉的题，遇到变化就等老师提示。另一个孩子在同样的知识范围里，持续练习读条件、分情况、解释依据。

时间长了，两个人独立处理问题的能力，确实可能逐渐拉开。尤其到了后面，知识越来越多，题目越来越综合，老师不可能在考场上提醒：这一题用哪个方法，第一步先做什么。

所以，高一就应该适当接触不同学校的试卷，看看同一个知识点，还有哪些问法。不过，练习要有顺序。

基础薄弱的，先按知识点挑题。

集合运算、函数定义域、命题否定、二次不等式，每次选一个专题，从不同学校找几道基础题。换了数字、换了表达，仍然能独立做对，这一块才算逐渐稳了。空集漏讨论、端点写错、分母为零忘记排除，如果反复出现，就专门补，别一直归成"粗心"。

常规题能做，题目一变就卡的，重点练条件转换和完整分类。

比如把二中的含参数不等式，与松柏、翔安一中的整数解问题放在一起。先弄清解集，再看整数个数怎样限制端点。每分一种情况，都问自己一句：为什么要在这里分？

基础和常规综合都比较稳的，再增加新定义、函数复合和证明训练。

一中、双十的末题，外国语的函数复合，六中的"靓点"，科技的分段函数，都可以选练。先独立尝试，再看提示。看过提示以后，把剩下的过程自己补完整，隔几天再做一次。

我很在意最后这一步。看懂答案，往往只说明你能跟着别人走。隔几天还能自己做出来，才更能说明这道题的思路被你掌握了。

高一才刚开始，发现基础有漏洞，就认真补；发现综合题跟不上，就从能做的第一问、第二问开始往后练。

其他学校的卷子值得做。但"同步难度"，要落实到孩子现在需要补哪一步、下一步准备练什么。

你家孩子这次数学月考，最吃力的是常规题没拿到满分，还是题目一变化，就不知道怎么开始？

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我是数学陈老师，目前在厦门岛内工作室开展高中数学小组教学，专注厦门高中数学，尤其关注基础不够扎实、对数学有畏难情绪以及想做课外拓展提高的学生，帮助他们补足基础、理清思路。

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本文是我基于所提供试卷作出的个人教学分析，不代表学校官方评价或统计结果