文档内容
厦门外国语学校 2025－2026 学年高三第一学期 12 月月考
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在
答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目
指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后
再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法及乘法运算，再结合虚部定义判断.
【详解】因为复数 ，则 ，则 的虚部为 .
故选：A.
2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】化简集合 ，根据并集的定义求解.
【详解】由已知 ，
所以 ，
故选：B.
3. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知求得 ，再利用 运算.
【详解】 ，故 ，解得 ，
则 .
故选：A
4. 已知 且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据 的取值范围，判断 的符号，再利用平方关系求值.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B
5. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 8 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对数的运算法则求出 的值，再利用基本不等式可求 的最小值.
【详解】由 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：C
6. 已知直线 与 ： 交于 两点，若 在 上的投影向量的模
为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为 ，利用点到线的距离公式，即可求解.
【详解】因为 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又易知直线 过定点 ，
如图，过 作 于 ，因为 在 上的投影向量的模为 ，
则 ，所以 ，则 ，解得 ，
故选：D.
7. 双曲线 左的、右焦点分别为 ， ，点 是以 为直径的圆与双曲线
的一个交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 点在 轴右侧，由双曲线定义可得 ， ，由
是直角三角形，建立等式求解即可.
【详解】如图，设 点在 轴右侧，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
因为点 在以 为直径的圆上，
所以 是直角三角形， ，
即 ，化简得 ，
所以离心率 .
故选：D
8. 定义： 表示不超过 的最大整数，如 ， ．已知 为坐标原点，点 在曲线 ：
， 上，记 的最小值为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，令 ， ，利用导
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学科网（北京）股份有限公司数求得 ， ，根据二次函数性质结合题意计算即可求解.
【详解】设点 的坐标为 ，
则 ，
令 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
因为 ， ， ， ，
由零点存在性定理可知， ，使得 ，即 ，
即 ， ， ， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 ，令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
由二次函数性质可知， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，故 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ）
A. 底面半径为1 B. 表面积为
C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆锥的组成和侧面积、体积公式易判断ABC项，作出图可得圆锥的轴截面 为正三角
形，从而可得外接球与内切球的球心相同，利用正三角形的性质易判断D项.
【详解】设圆锥的底面圆半径为 ，依题意，圆锥的母线长为 ，且 ，解得 ，故A正确；
圆锥的表面积为 ，故B正确；
因圆锥的高为 ，则其体积为 ，故C错误；
如图作出圆锥和外接球，内切球的轴截面，易知 为正三角形，外接球和内切球的球心为同一点 ，
点 为圆锥底面圆的圆心，则 分别为外接球和内切球的半径，由正三角形的性质易得
，故D正确.
.
故选：ABD
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学科网（北京）股份有限公司10. （多选）若数列 的首项 ，且 ，则（ ）
A. 数列 为等比数列 B.
C. 数列 为递增数列 D. 存在三个不相等正整数 ，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验证等式是否成立，
逐一验证各选项.
【详解】选项A，由 ，取倒数得 ，变形得 .
首项 ，故 是以 为首项、 为公比的等比数列，A正确.
选项B，由 的通项得 ，故 ，即 .
选项B中表达式为 ，与推导结果不符，B错误.
选项C， ，因 随 增大而递增， 随 增大而递减，
故 随 增大而递增，数列 为递增数列，C正确.
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学科网（北京）股份有限公司选项D，假设存在不相等正整数 ，使得 ，
由C选项分析可知，数列 为递增数列，
则对于任意不相等的正整数 ，有 ，
而 ，则 ，
所以等式无法成立，故不存在这样的 ，D错误.
故答案为：AC
的
11. 已知抛物线 焦点为 ，准线为 ，过点 作斜率为 的直线与 相交于
两点， 为弦 的中点， 于点 ， 为 与 的交点，则（ ）
A. B.
C. D. 若 ，且 ，则 的取值范围
为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由抛物线的定义，可得 ，得 ；对B，证明 ，可
得 ，得解；对C，在 中，可证 结合抛物线定义得
，得解；对D，设直线 交准线 于点 ，直线 的倾斜角为 ，由抛物线定义结合相似
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学科网（北京）股份有限公司三角形可得 ，进而求出 得范围，得解.
【详解】如图，作 于点 于点 ．
对于A，由抛物线的定义得 ， ，所以 ，
所以 是以 为斜边的直角三角形，即 ，故A正确；
对于B，由 ， ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，在 中，由 ，可知 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故C错误；
对于D，设直线 交准线 于点 ，直线 的倾斜角为 ， ，
则 ，则 ，由 ，可得 ，
所以 ，因为 是关于 的减函数，
又 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ．所以 的取值范围是 ，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线 的方向向量为 ， ，则空间一点 到直线 的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间点线距的计算公式求得正确答案.
【详解】 ，
所以空间一点 到直线l的距离为 .
故答案为：
13. 已知函数 ，则 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，得 ， 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，得 ， 在 上单调递增，
又
，故 为 上的偶函数，
故 等价于 ，
即 ，两边平方解得 或 .
所以不等式解集为 ，
故答案为：
14. 在长方体 中， ， ，点M是平面 内的动点，且
，则 的最大值为______.
【答案】 ##
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】先确定点 所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结
合点 与截面圆的位置关系求出 的最大值.
【详解】如图，连接AC，由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可知 点在以AC的中点 为球心， 为半径的球面上．
而 又在平面 内，故 为平面 与球 的截面圆上的动点.
取 的中点E， 的中点 的中点 ，连接 ，
由长方体的性质得 平面 且三角形 为直角三角形，
而 平面 ，所以平面 平面 ，
作 于 ，因平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，故 为截面圆的圆心.
又 ，
故截面圆的半径为 ，
即点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
而 既在球面上，又在平面 内，故 在截面圆上，
故 的最大值即为截面圆的直径 ，则 的最大值为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）已知 ， 为边 上一点，且 ， ，求 .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，由 将边转化为角，再利用三角恒等变换求解；
在
（2）先求得 ，然后 中，利用余弦定理求得 .
【小问1详解】
由正弦定理，且 ，
得 ，
，
，则 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
【小问2详解】
如图所示：
因为 ，所以 ，设 ，
则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理得 ，解得 ，
故 .
16. 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
（1）数列 的通项公式;
（2）记 ，数列 前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
的
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出 ，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【小问1详解】
因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， 均为等差数列， ， ．
所以 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ．所以满足条件的最小整数 为9．
17. 如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ， ，
.
（1）证明： ；
（2）当直线 与平面 所成的角最大时，求三棱台 的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的判定性质推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，再结合棱台体积公式计算得解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司在三棱台 中，取 的中点 ，连接 ，
由 ，得 ，由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，得 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 ，则四边形 是菱形， ，
而 平面 ，因此 平面 ，又 平面 ，
所以 .
【小问2详解】
取 中点 ，则 ，由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，则 平面 ，直线 两两垂直，
以点 原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，当且仅当 ，
即 时取等号，
所以三棱台 的体积
.
18. 已知椭圆 的短轴长为2，与双曲线 有相同的左右焦点 ，
点 是椭圆上的动点， 的延长线的交点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 的纵坐标为 ，求 内切圆的方程；
（3）设 分别为 的内切圆半径，证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）求出双曲线 焦点，从而求出 ，可求出椭圆方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由对称性知， 内切圆圆心在 轴正半轴上，且 是切点，利用面积法可求得内切圆半径，
进而可求得内切圆方程；
（3）得到直线 的方程为 ，与椭圆方程联立后得到 的坐标，同理求出 的坐标，
根据 的面积表达出 ，利用基本不等式求出 的最大值，从而得到答案.
【小问1详解】
由 ，所以 ，又 ，所以 ，
故椭圆 的标准方程为
【小问2详解】
因为点 的纵坐标为
又 轴，
由对称性知， 内切圆圆心在 轴正半轴上，且 是切点，
且 的周长为 ，
又 ，
，内切圆的圆心为
内切圆的方程为
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
直线 的方程为 ，
由 ，消 可得 ，
整理得 ，
所以 ，得 ，
所以 .
同理可得 ，
所以
，当且仅当 ，取等号；
则 ，则当 为 时可取等.所以 的最大值为 .
又因为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 定义：函数 图像上不同的三点 ， ， ．它们的横坐标依次成等差数列，且函数 在点
处的切线斜率恒小于直线 的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数
．
（1）讨论函数 的极值；
（2）若函数 是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，数列 满足 ， ．其前 项和为 ，试证明：
．
【答案】（1）若 ，函数无极值；若 ，函数的极小值为 ，无极大值
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分 ， 两种情况讨论函数的单调性，从而得出相应的极值；
（2）根据题给定义列出关于 和点 的斜率表达式，进而列出不等式，构造函数并求导，判断函数单
调性，最后利用函数单调性解不等式求出实数 的取值范围；
（3）根据题给条件得出 与 的关系式，构造函数，根据函数单调性得出 的取值范围，再次构造函
数，利用函数单调性得出缩放关系，最后结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司函数 的定义域为 ，求导得： ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，解得 ， ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
函数 在 处取得极小值，极小值为： ，
且函数无极大值．
综上，若 ，函数无极值；若 ，函数的极小值为 ，无极大值．
【小问2详解】
设三点 的横坐标成等差数列，且满足 ，
则 ， ， ，
函数 在点 处的切线斜率恒小于直线 的斜率，
，化简得 ，即 ，
令 ，则 ，代入可得 ，即
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学科网（北京）股份有限公司令 ，求导得 恒成立，
在 内单调递减， ，即 ，
，解得 ，
实数 的取值范围为：
【小问3详解】
当 时， ， ，
设 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 内单调递增，
，
， 符合题意，
构造函数 ，求导得 ，
在 内单调递增，则 ，
当 时， ，
，即 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，
．
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
