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厦门外国语学校 2025－2026 学年高三第一学期 12 月月考
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在
答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目
指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后
再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 已知 且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 8 D. 3
6. 已知直线 与 ： 交于 两点，若 在 上的投影向量的模
为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是以 为直径的圆与双曲线
的一个交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
.
A B. C. D.
8. 定义： 表示不超过 的最大整数，如 ， ．已知 为坐标原点，点 在曲线 ：
， 上，记 的最小值为 ，则 （ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ）
A. 底面半径为1 B. 表面积为
C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为2
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学科网（北京）股份有限公司10. （多选）若数列 的首项 ，且 ，则（ ）
A. 数列 为等比数列 B.
C. 数列 为递增数列 D. 存在三个不相等正整数 ，使得
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 作斜率为 的直线与 相交于
两点， 为弦 的中点， 于点 ， 为 与 的交点，则（ ）
.
A B.
C. D. 若 ，且 ，则 取值范围
的
为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线 的方向向量为 ， ，则空间一点 到直线 的距离为______.
13. 已知函数 ，则 的解集为______.
14. 在长方体 中， ， ，点M是平面 内的动点，且
，则 的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）已知 ， 为边 上一点，且 ， ，求 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
（1）数列 的通项公式;
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
17. 如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ， ，
.
（1）证明： ；
（2）当直线 与平面 所成的角最大时，求三棱台 的体积.
18. 已知椭圆 的短轴长为2，与双曲线 有相同的左右焦点 ，
点 是椭圆上的动点， 的延长线的交点
在椭圆 上.
的
（1）求椭圆 方程；
（2）若点 的纵坐标为 ，求 内切圆的方程；
（3）设 分别为 的内切圆半径，证明： .
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学科网（北京）股份有限公司19. 定义：函数 图像上不同的三点 ， ， ．它们的横坐标依次成等差数列，且函数 在点
处的切线斜率恒小于直线 的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数
．
（1）讨论函数 的极值；
（2）若函数 是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，数列 满足 ， ．其前 项和为 ，试证明：
．
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