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许兴华——杭州市高三数学模拟考题部分题目解法探究
【解题小结】
（1）单选第 8 题正三棱锥外接球问题，核心思路是先由球体积算出外接球半径，设三棱锥的高与底面边长，利用球心、底面中心几何关系建立底面边长和高的等式，写出三棱锥体积函数，再借助导数求函数最大值。这类外接球与几何体体积最值题，关键要找准球心位置，把几何条件转化成代数函数，用导数处理最值，不能只记忆公式，要理清线段之间的数量关系。
(2)多选题集中函数与解析几何。第 9 题三角函数，先由周期求 ω，再求导、代入求值比较函数大小，要注意周期公式、导数运算、特殊角三角函数值，防止周期公式记反。
(3)第 10 题抽象函数，有两种解法，一是赋值法，给 x、y 赋特殊值推导函数值与导数递推关系；二是观察构造出具体函数，发现导数构成等差数列，再用等差数列求和，赋值法是抽象函数通用解题手段。
(4)第 11 题抛物线，灵活运用抛物线定义、角平分线定理，挖掘角度、斜率定值，要熟练掌握抛物线二级结论，结合几何角度分析，减少复杂代数计算。
(5)填空题部分，二项式定理找准通项，根据 x 的指数确定 k 值再算系数；分段函数值域问题，分别分析每一段函数，对数部分结合值域限制得到参数范围；圆圈排列概率利用参照物简化环形排列，转化不定方程，隔板法分组计数，环形排列一定要消除旋转重复。
（6）数列大题，利用an与Sn的递推关系求通项，新数列要理清插入数字的项数规律，划分区间确定前 40 项包含哪些项，分开等比数列与插入项分别求和。椭圆大题，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理，中点问题利用中点坐标相等证明线段相等；原点在圆外转化向量点积大于 0，解不等式得到斜率范围。解析几何要重视向量翻译几何条件，熟练联立方程计算，保证运算准确率。
（7）第 17 题椭圆综合题分为两小问，是高考解析几何典型考法。第一小问利用椭圆基本性质，结合过定点、离心率条件，联立方程组直接求解\(a^2,b^2\)得到椭圆标准方程。第 (2)(i) 中点证明题型，设出过定点的直线方程，和椭圆联立得到一元二次方程，借助韦达定理得到两根之和，利用中点条件解出直线斜率；求出直线与 x 轴、y 轴交点 P、Q，发现 AB 和 PQ 拥有同一个中点，利用中点重合完成线段相等的证明，不必硬算距离，巧用中点几何性质可以简化证明过程。第 (2)(ii) 把 “原点在以 AB 为直径的圆外” 这个几何条件，转化向量
代入向量点积构造不等式，解出斜率取值范围。这道题充分体现解析几何核心思想：几何条件代数翻译，优先挖掘几何性质简化运算，同时对联立后的代数化简计算能力要求很高，计算时要细心展开整理，避免符号出错。
整套试卷启示我们，高考数学既要熟记公式二级结论，也要掌握赋值、构造、导数求最值、几何条件代数化这些通用解题思想，做题时优先挖掘几何性质简化计算，同时保障代数运算严谨，才能高效完成综合题型。
【试题集锦】202609福建高三数学大联考来了！解析几何压轴是大家都喜欢看的！让人耳目一新（许兴华数学）
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