近80年来，数学家们一直在研究一个看似简单的问题:如果你放置一个nn平面上的点，有多少对点可以确切的距离？11分开？

这是平面单位距离问题，最早由保罗·埃尔多斯于1946年提出。这是组合几何学中最著名的问题之一，容易表述，但非常难以解决。2005年的书离散几何研究问题，由Brass，Moser和Pach，称之为“可能是最著名的（和最简单的解释）的组合几何问题”。诺加阿隆，一个领先的组合在普林斯顿，形容它为“一个鄂尔多斯最喜欢的问题。“鄂尔多斯甚至为解决这个问题提供了金钱奖励。

今天，我们分享一个关于单位距离问题的突破。自鄂尔多斯的原始工作以来，普遍的信念是，下面进一步描述的“方形网格”结构基本上是最优的，可以最大限度地增加单位距离对的数量。OpenAI的内部模型推翻了这一长期存在的猜测，提供了无数例子，带来了多项式改进。这个证明已经被一组外部数学家核查过了。他们还撰写了一篇配套论文，对其中的论点进行了阐释，并提供了更多背景信息，以阐明这一研究成果的重要意义。

这个结果也值得注意的是它是如何被发现的。证明来自一个新的通用推理模型，而不是一个专门为数学训练的系统，这个系统被用来搜索证明策略，或者特别针对单位距离问题。作为更广泛的努力的一部分，以测试先进的模型是否可以有助于前沿研究，我们评估了鄂尔多斯问题的集合。在这种情况下，它生成了一个解决了开放问题的证明。

这一证明对于数学和人工智能领域而言是一个重要的里程碑。它标志着一个突出的开放性问题首次被人工智能自主解决，而这一问题对于数学的一个子领域而言至关重要。这也展示了这些系统目前所支持的推理深度。数学为推理提供了一个尤为清晰的测试平台：问题具有精确性，潜在的证明可进行核查，且一个冗长的论证只有在推理自始至终保持一致的情况下才有效。解决该问题的方法也颇为引人注目。该证明将代数数论中出人意料的复杂理念应用于一个基础的几何问题之上。

菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯在同期发表的论文中写道，这一成果是“人工智能数学领域的一座里程碑”。据著名数论学家阿鲁尔·尚卡尔表示：“在我看来，这篇论文表明，当前的人工智能模型已不仅仅是为人类数学家提供帮助的工具——它们有能力产生原创性的创新想法，并能将这些想法付诸实践。”

证据是可用的在这里⁠（在新窗口中打开）由知名外部数学家撰写的配套论文现已可供查阅在这里⁠（在新窗口中打开）.你可以找到模型思维链的缩略版在这里⁠（在新窗口中打开）.

让u(n)u(n)是单位距离对中尽可能多的对。nn平面上的点。获得线性增长率的例子很容易构造:放置nn在一行中点给出n−1n−1对，而方形网格大约给出2n2n对。之前最著名的结构来自一个重新缩小的方形网格，结果证明它提供了更多:n1+C/log⁡log⁡(n)n1+C/loglog(n)对于一个常数CC. 自 年以来log⁡log⁡(n)瞧g瞧g(n)倾向于无限nn，指数中的附加项倾向于00，这意味着这些结构实现增长的速度仅略快于线性。几十年来，人们普遍认为这个速度本质上是最好的，没有任何建筑能够在方形网格上显著改善。从技术上讲，鄂尔多斯推测了一个上界的n1+o(1)n1+o(1)其中附加条款o(1)o(1)指示一个术语倾向于...00和nn.

我们的新结果反驳了这一猜想。更准确地说，对于无限多的价值来说nn，该证明构造了 的配置nn至少具有以下几项的积分n1+δn1+d单位距离对，用于某些固定指数δ>0d>0.（原始的 AI 证明并未给出明确的表述。）δd，但普林斯顿大学数学教授威尔·萨温即将进行的一项改进表明，人们可以接受δ=0.014d=0.014.)

问题的历史有助于理解为什么结果令人惊讶。自1946年鄂尔多斯最初建造以来，最著名的下限基本上没有变化。最佳上限，O(n4/3)O(n4/3)该猜想可追溯至1984年Spencer、Szemerédi和Trotter的工作，尽管后来Székely、Katz和Silier、Pach、Raz和Solymosi等人进行了改进和相关的结构性工作，但其上限基本保持不变。为了佐证该猜想，Matoušek和Alon-Bucić-Sauermann研究了平面上非欧几里得距离的问题，并证明“大多数”非欧几里得距离在某种意义上都满足该猜想。

令人惊讶的是，结构的关键成分来自数学中一个非常不同的部分，即代数理论，该理论研究整数扩展中的分解等概念，这些整数被称为代数域。

在高层次上，证明从一个熟悉的几何概念开始，并将其推向一个意想不到的方向。

鄂尔多斯原来的下限可以通过高斯整数来理解：数字的形式a+bi一种+比，在哪里a一种和bb是整数和i我是 的平方根−1−1高斯整数扩展了普通整数，并且像它们一样，享有独特的分解为素数的特性。普通整数或有理数的这种扩展被称为代数数域。新的论点用更复杂的代数数理论推广代替了高斯整，这些推广具有更丰富的对称性，可以产生更多的单位长度差异。

精确的论证使用无穷类场塔和戈洛德-沙法列维奇理论等工具来证明论证所需的数场确实存在。这些想法在代数数论者中是众所周知的，但令人惊讶的是，这些概念对欧几里得平面的几何问题有影响。

这一成果标志着人工智能与数学领域互动中的一个重要时刻：一个人工智能系统已自主解决了长期悬而未决的一个核心开放性问题。这同时也为人工智能与人类数学家之间的新型协作模式提供了早期的一瞥。在此案例中，外部数学家的辅助工作所呈现出的图景远比单纯依靠原始解决方案要丰富得多。

正如托马斯·布卢姆在附注中写道:

“在评估人工智能生成的证明的重要性和影响力时，我会自问这样一个问题：这是否让我们对问题有了新的认识？我们现在是否对离散几何有了更深入的了解？我认为答案在一定程度上是肯定的：这表明在解决此类问题时，数论构造所蕴含的信息远不止我们先前所预料的；此外，所需的数论知识可能非常深奥。毫无疑问，未来数月内，许多代数数论学家将密切关注离散几何领域中的其他未决问题。”

解所揭示的代数数论与离散几何之间的意想不到的联系是该结果引人注目的部分原因。它不仅仅解决了一个特定的猜想，还可能为数学家们提供一个开始探索进一步相关问题的桥梁。

布卢姆还指出了一种更广泛的可能性:

“知识的前沿领域非常具有挑战性，毫无疑问，未来数月乃至数年内，数学的诸多其他领域也将见证类似的成就。在这些领域中，长期悬而未决的开放性问题正被人工智能所解决，它揭示了意想不到的联系，并将现有技术体系推至极限。人工智能正帮助我们更全面地探索我们几个世纪以来所构建的数学殿堂；除此之外，还有哪些未被发现的奇迹正蓄势待发呢？”

这一成果提供了一个颇具前景的范例：人工智能不仅贡献了一种解决方案，还促成了一项数学发现。随着后续人类对其理解的深入，这项发现的意义将变得更加清晰和丰富。

这一结论所揭示的意义远不止于此。更为缜密的数学推理可使人工智能成为更为强大的研究伙伴：它能够整合复杂的思维脉络、连接跨越不同知识领域的理念、发掘出专家可能未曾优先考虑的颇具潜力的路径，并帮助研究人员在原本过于复杂或耗时过久而无法应对的问题上取得进展。

这些能力的重要性不仅限于数学。如果一个模型能够保持复杂论点的连贯性，将不同知识领域的观点联系起来，并产生经专家审查的成果，这些能力在生物、物理、材料科学、工程和医学中也是有用的，并且是我们走向更自动化研究的长期道路的一部分:系统可以帮助科学家和工程师探索更多想法并追求更难的技术问题。

人工智能即将开始在研究领域的创造性环节中扮演极为重要的角色，而其中最为关键的是人工智能研究本身。尽管这一进展并不出人意料，但它进一步突显了我们对于理解人工智能发展的下一阶段、协调高度智能系统所面临的种种挑战以及人类与人工智能协作的未来所具有的紧迫感。

这一未来仍取决于人类的判断。专业知识变得愈加宝贵，而非变得无足轻重。人工智能可协助搜索、提供建议和进行验证。人们会挑选那些重要的问题，解读结果，并决定接下来要探究哪些问题。