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今天做综合运用题，第5到第10题，涉及集合、恒等式证明、图像分析和实际应用，内容很丰富。
先看第5题选择题。第（1）小题：已知集合大诶等于歪满足歪等于以2为底埃克斯的对数，埃克斯大于1；集合比等于歪满足歪等于2分之1的埃克斯次方，埃克斯大于1。求大诶交比。
分别算出两个集合的值域。集合大诶中，歪等于以2为底埃克斯的对数，埃克斯大于1，所以歪大于0。埃克斯越大，歪越大，没有上界，所以大诶的值域是歪大于0。
集合比中，歪等于2分之1的埃克斯次方，埃克斯大于1。2分之1的埃克斯次方是减函数，埃克斯大于1时歪小于2分之1。又因为歪恒大于0，所以比的值域是0小于歪小于2分之1。
交集就是两个条件的公共部分：歪大于0并且0小于歪小于2分之1，即0小于歪小于2分之1。选A。
第（2）小题：已知埃夫埃克斯等于伊的常用对数的绝对值。若诶等于埃夫4分之1，必等于埃夫3分之1，西等于埃夫2，比较诶、必、西的大小。
关键是搞清楚伊的常用对数的绝对值的图像。当埃克斯等于1时，常用对数为0。埃克斯大于1时常用对数为正，埃克斯小于1时常用对数为负，取绝对值后变正。
先算诶：4分之1小于1，常用对数为负，绝对值等于以10为底4的对数，即2乘以10分之2，约等于0点6 0 2。必：3分之1小于1，绝对值等于以10为底3的对数，约等于0点4 7 7。西：2大于1，常用对数约0点3 0 1，绝对值就是0点3 0 1。
所以诶约0点6 0 2，必约0点4 7 7，西约0点3 0 1，大小关系是西小于必小于诶。选D。
更本质的理解：埃夫埃克斯等于伊的常用对数的绝对值，图像在埃克斯等于1处取最小值0，向两侧递增。离1越远，绝对值越大。4分之1离1最远，3分之1次之，2最近，所以诶最大，必次之，西最小。
第（3）小题：三个函数的零点诶、必、西的大小比较。埃夫埃克斯等于2的埃克斯次方加埃克斯，吉埃克斯等于以2为底埃克斯的对数加埃克斯，艾奇埃克斯等于埃克斯的立方加埃克斯。
三个函数的零点就是让函数等于0的埃克斯值。埃夫埃克斯等于0，即2的埃克斯次方等于负埃克斯；吉埃克斯等于0，即以2为底埃克斯的对数等于负埃克斯；艾奇埃克斯等于0，即埃克斯的立方等于负埃克斯。
逐一分析。先看埃夫：2的埃克斯次方恒正，负埃克斯在埃克斯小于0时为正，所以零点在埃克斯小于0的区域。埃克斯等于负1时，2的负1次方等于2分之1，负负1等于1，2分之1小于1，埃夫负1小于0。埃克斯等于0时，埃夫0等于1大于0。所以零点在负1和0之间，诶大于负1。
再看吉：以2为底埃克斯的对数要求埃克斯大于0。以2为底埃克斯的对数等于负埃克斯，当埃克斯等于1时对数为0，负1小于0，吉1大于0。当埃克斯趋于0时对数趋于负无穷大，负埃克斯趋于0，所以吉趋于负无穷大。零点在0和1之间，0小于必小于1。
最后看艾奇：埃克斯的立方加埃克斯等于埃克斯乘埃克斯的平方加1。埃克斯的平方加1恒正，所以艾奇埃克斯等于0只有埃克斯等于0一个解。西等于0。
比较三者：诶在负1和0之间，必在0和1之间，西等于0。所以必大于西大于诶？不对，西等于0，诶大于负1但小于0，必在0和1之间。所以必大于西大于诶，即必大于西大于诶。选B。
等等，让我再确认。诶是埃夫的零点，在负1和0之间，所以诶小于0。西等于0。必在0和1之间，必大于0。所以必大于西大于诶，选B，必大于西大于诶。
第6题：设埃夫埃克斯等于2分之伊的埃克斯次方减伊的负埃克斯次方，吉埃克斯等于2分之伊的埃克斯次方加伊的负埃克斯次方。求证三个恒等式。
这其实就是双曲函数！埃夫埃克斯叫双曲正弦，吉埃克斯叫双曲余弦。先看第（1）小题：吉埃克斯的平方减埃夫埃克斯的平方等于1。
直接展开。吉埃克斯的平方等于4分之伊的2埃克斯次方加2加伊的负2埃克斯次方。埃夫埃克斯的平方等于4分之伊的2埃克斯次方减2加伊的负2埃克斯次方。两者相减，4分之4等于1。证毕！
很像三角函数的阔斯平方减正弦平方等于1，但这里没有负号，是加号。
对，双曲恒等式和三角恒等式很像，区别在于符号。第（2）小题：埃夫2埃克斯等于2乘埃夫埃克斯乘吉埃克斯。
埃夫2埃克斯等于2分之伊的2埃克斯次方减伊的负2埃克斯次方。而2乘埃夫埃克斯乘吉埃克斯等于2乘4分之伊的埃克斯次方减伊的负埃克斯次方乘以伊的埃克斯次方加伊的负埃克斯次方，等于2分之伊的2埃克斯次方减伊的负2埃克斯次方。完全一致！
这也类似正弦2倍的公式，正弦2替等于2正弦替阔斯替，双曲版本完全一样。第（3）小题：吉2埃克斯等于吉埃克斯的平方加埃夫埃克斯的平方。
吉2埃克斯等于2分之伊的2埃克斯次方加伊的负2埃克斯次方。而吉埃克斯的平方加埃夫埃克斯的平方，用第（1）小题的结果，吉平方减埃夫平方等于1，所以吉平方加埃夫平方等于2吉平方减1，即2乘4分之伊的2埃克斯次方加2加伊的负2埃克斯次方减1，等于2分之伊的2埃克斯次方加1加伊的负2埃克斯次方减1，等于2分之伊的2埃克斯次方加伊的负2埃克斯次方。与吉2埃克斯完全一致！
也可以直接算：吉平方等于4分之伊的2埃克斯次方加2加伊的负2埃克斯次方，埃夫平方等于4分之伊的2埃克斯次方减2加伊的负2埃克斯次方，相加等于2分之伊的2埃克斯次方加伊的负2埃克斯次方，等于吉2埃克斯。证毕！
第7题：指数函数歪等于埃克斯分之必的埃克斯次方的图像如图所示，求二次函数歪等于诶埃克斯的平方加必埃克斯图像顶点的横坐标的取值范围。
从指数函数的图像能读出什么信息？
虽然看不到图，但根据题目信息可以推断。指数函数歪等于埃克斯分之必的埃克斯次方，底数是埃克斯分之必。从图像来看，函数是递减的，说明底数在0和1之间，即0小于埃克斯分之必小于1。而且图像过点（1，1）附近，说明当埃克斯等于0时歪等于1。另外图像与歪轴的交点在0和1之间，可以推断埃克斯分之必大于0且小于1，又诶大于0，所以0小于必小于诶。
等等，我再想想。底数是埃克斯分之必。如果图像递减，则0小于埃克斯分之必小于1，即0小于必小于诶。图像过点（0，1），即埃克斯分之必的0次方等于1，这恒成立。图像还经过歪轴上方某点，说明埃克斯分之必小于1大于0，所以必小于诶且必大于0。
二次函数歪等于诶埃克斯的平方加必埃克斯的顶点横坐标为负2诶分之必。由0小于必小于诶且诶大于0，得负1小于负诶分之必小于0。所以顶点横坐标在负1到0之间，即开区间负1到0。
第8题是应用题：切尔诺贝利核事故，主要核污染物锶90每年衰减率为2点4 7%。800年后原有锶90还剩百分之几？
衰减问题用指数模型。每年剩余比例为1减2点4 7%，即97点5 3%，也就是0点9 7 5 3。经过800年，剩余量为0点9 7 5 3的800次方。
算这个值：0点9 7 5 3的800次方等于伊的800乘伦0点9 7 5 3次方。伦0点9 7 5 3约等于负0点0 2 5 0。800乘负0点0 2 5 0等于负20。伊的负20次方约等于2点0 6乘10的负9次方。
也就是说，800年后大约还剩2乘10的负7次方%，几乎是零了。这说明锶90的放射性危害持续极长时间，800年都难以完全消除。
第9题：废气过滤中污染物含量皮等于皮零乘伊的负开替次方，皮零和开是正的常数。前5小时消除了10%的污染物。第（1）小题求10小时后还剩百分之几；第（2）小题求污染物减少50%需要多少时间；第（3）小题画皮关于替的函数图像。
先利用前5小时的条件确定开。5小时后剩余90%，即皮零乘伊的负5开次方等于0点9乘皮零，所以伊的负5开次方等于0点9，负5开等于伦0点9，开等于负5分之伦0点9，约等于5分之0点1 0 5 4，约等于0点0 2 1 1。
第（1）小题：10小时后，皮等于皮零乘伊的负10开次方，等于皮零乘伊的负5开次方的平方，等于皮零乘0点9的平方，等于0点8 1皮零，即还剩81%。
第（2）小题：皮等于0点5皮零，即伊的负开替次方等于0点5，负开替等于伦0点5，替等于负开分之伦0点5。代入开约等于0点0 2 1 1，替约等于0点0 2 1 1分之0点6 9 3，约等于33小时。
第（3）小题：皮关于替的图像是一条从皮零开始递减的曲线，趋向于0但永远不到达0，典型的指数衰减图像。
第10题：冷却公式西塔等于西塔零加西塔1减西塔零乘伊的负开替次方。62度的物体放在15度的空气中，1分钟后温度52度。第（1）小题求开，第（2）小题求降到42度和32度分别需要的时间。
代入已知条件：西塔1等于62，西塔零等于15，替等于1时西塔等于52。52等于15加47乘伊的负开次方，47乘伊的负开次方等于37，伊的负开次方等于47分之37，负开等于伦47分之37，开等于负伦47分之37等于伦47分之37分之负1，等于伦37分之47。
伦37分之47等于伦47减伦37，约等于3点8 5 0减3点6 1 1等于0点2 3 9。所以开约等于0点2 4，精确到0点0 1就是0点2 4。
第（2）小题：降到42度时，42等于15加47乘伊的负开替次方，伊的负开替次方等于47分之27，负开替等于伦47分之27，替等于开分之伦47分之27。伦47分之27等于伦47减伦27，约等于3点8 5 0减3点2 9 6等于0点5 5 4。替约等于0点2 4分之0点5 5 4，约等于2点3分钟。
降到32度时，32等于15加47乘伊的负开替次方，伊的负开替次方等于47分之17，替等于开分之伦47分之17。伦47分之17约等于3点8 5 0减2点8 3 3等于1点0 1 7。替约等于0点2 4分之1点0 1 7，约等于4点2分钟。
所以降到42度约需2点3分钟，降到32度约需4点2分钟。冷却速度先快后慢，温差越小冷却越慢，这和指数衰减的规律一致。
