数项级数:精选习题

阅读须知：

1.本文较长，一共13题，如有错漏请指出;

2.本次选择的习题均是我做过的认为比较有意义的题目，不见得一定很难或者很简单，请根据自己的需要来学习。

★先来例8和例9练练手：

★比较判别法的极限形式常常联系等价无穷小的知识来简便计算：

★

学习下题构造等价无穷小的技巧：

★下题对于我们理解反常积分里面的柯西判别法非常有帮助，因为柯西积分判别法要借助反常积分的知识数分二 反常积分(广义积分)：

★要理解为什么(ii)里面用到了ε，我们先来复习反常积分里面的柯西判别法：

★这里的柯西判别法本质上还是利用比较来判别，就是利用已知敛散性的积分，然后比较未知积分和已知积分趋于零的速率快慢。

★这道题用到的就是一个必须熟记的积分：

★下图说明用ε的原因：

★下面这道题是非常纯粹的柯西收敛准则否定形式的应用，如果证明题比较薄弱，就要好好理解这一题：

★下面这题考察的是数列和级数收敛的定义。数列收敛我们都很熟悉，而级数收敛等价于部分和数列的极限存在（或说部分和数列收敛）

★下面这两题本质一样，但是做法不同。一个是利用比值法，另一个是先求出部分和，利用定义说明敛散性。

★学习下题裂项以及求部分和的方法：

★下面这道题用到了我们常用结论的一个小拓展，算是比较简单的结论。

★遇到双阶乘，基本用拉贝判别法。

★下面这道题里证明部分和数列有界的方法比较重要，也是非常典型的如果没有做过或者不记住就大概率无法独立想出的解法，用积化和差公式不是最关键的，最关键的是如何想得到用这个公式证明部分和有界。

★掌握了这种做法之后，下面这两道题就能够轻松“秒杀”了。

★已知an单调趋于零，我们直接看绝对值级数，考虑狄利克雷判别法，只需要再证|cosnx|的部分和数列有界即可。

★而在上面我们已经有了证明的通法，所以|cosnx|的部分和数列有界，由狄利克雷判别法，级数绝对收敛，自然地，级数本身也收敛。

★在这里给出证明|cosnx|的部分和数列有界的构造步骤，|sinnx|的证明同理。建议自己动笔试一试，记得更牢：

★此时虽然在数项级数里面同时出现了n和x，但是我们实际上将x看成有范围的常量，所以称作“有界”而非“一致有界”，即此处求出的界可以和x有关。这和函数列：如何理解逐点收敛和一致收敛？类似。

★到函数列的部分时，我们就能证明例题这一类级数一致有界。

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