复旦大学 2004~2005 学年第二学期期末考试试卷

一、填充题（每空格 5 分，共 30 分）

(1)，则当  时， 是关于  的 ＿＿＿＿ 阶无穷小量。

(2) ＿＿＿＿

(3) 幂级数  的和函数与收敛范围为 ＿＿＿＿

(4) 的幂级数展开中  的系数为 ＿＿＿＿

(5) 反常积分  收敛，则  的取值范围为 ＿＿＿＿

(6) 函数项序列  在区间  上一致收敛，则  的取值范围为 ＿＿＿＿

二、解答题（每题 10 分）

2. 计算积分 。

3.， 收敛，问是否有 ？是的话证明之，不一定的话举出反例。

4. 求曲线  绕  轴旋转所得旋转体的体积。

5. 求  在  的幂级数展开，并求  的值。

6. 设底面直径为 2 米、高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米深的海底，打捞作业时需要将桶内的水"抽"到海面上，问将桶内的水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重  与重力加速度 ）。

7. 判断  与  在  上的一致收敛性，并证明你的断言。

8. 设函数  在  上一致连续， 收敛，证明 。